### 3.523 $$\int x^2 \text{csch}^3(a+b x) \text{sech}^3(a+b x) \, dx$$

Optimal. Leaf size=149 $\frac{2 x \text{PolyLog}\left (2,-e^{2 a+2 b x}\right )}{b^2}-\frac{2 x \text{PolyLog}\left (2,e^{2 a+2 b x}\right )}{b^2}-\frac{\text{PolyLog}\left (3,-e^{2 a+2 b x}\right )}{b^3}+\frac{\text{PolyLog}\left (3,e^{2 a+2 b x}\right )}{b^3}-\frac{2 x \text{csch}(2 a+2 b x)}{b^2}-\frac{\tanh ^{-1}(\cosh (2 a+2 b x))}{b^3}+\frac{4 x^2 \tanh ^{-1}\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b}-\frac{2 x^2 \coth (2 a+2 b x) \text{csch}(2 a+2 b x)}{b}$

[Out]

(4*x^2*ArcTanh[E^(2*a + 2*b*x)])/b - ArcTanh[Cosh[2*a + 2*b*x]]/b^3 - (2*x*Csch[2*a + 2*b*x])/b^2 - (2*x^2*Cot
h[2*a + 2*b*x]*Csch[2*a + 2*b*x])/b + (2*x*PolyLog[2, -E^(2*a + 2*b*x)])/b^2 - (2*x*PolyLog[2, E^(2*a + 2*b*x)
])/b^2 - PolyLog[3, -E^(2*a + 2*b*x)]/b^3 + PolyLog[3, E^(2*a + 2*b*x)]/b^3

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.198246, antiderivative size = 149, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 10, number of rules used = 7, integrand size = 20, $$\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}$$ = 0.35, Rules used = {5461, 4186, 3770, 4182, 2531, 2282, 6589} $\frac{2 x \text{PolyLog}\left (2,-e^{2 a+2 b x}\right )}{b^2}-\frac{2 x \text{PolyLog}\left (2,e^{2 a+2 b x}\right )}{b^2}-\frac{\text{PolyLog}\left (3,-e^{2 a+2 b x}\right )}{b^3}+\frac{\text{PolyLog}\left (3,e^{2 a+2 b x}\right )}{b^3}-\frac{2 x \text{csch}(2 a+2 b x)}{b^2}-\frac{\tanh ^{-1}(\cosh (2 a+2 b x))}{b^3}+\frac{4 x^2 \tanh ^{-1}\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b}-\frac{2 x^2 \coth (2 a+2 b x) \text{csch}(2 a+2 b x)}{b}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Int[x^2*Csch[a + b*x]^3*Sech[a + b*x]^3,x]

[Out]

(4*x^2*ArcTanh[E^(2*a + 2*b*x)])/b - ArcTanh[Cosh[2*a + 2*b*x]]/b^3 - (2*x*Csch[2*a + 2*b*x])/b^2 - (2*x^2*Cot
h[2*a + 2*b*x]*Csch[2*a + 2*b*x])/b + (2*x*PolyLog[2, -E^(2*a + 2*b*x)])/b^2 - (2*x*PolyLog[2, E^(2*a + 2*b*x)
])/b^2 - PolyLog[3, -E^(2*a + 2*b*x)]/b^3 + PolyLog[3, E^(2*a + 2*b*x)]/b^3

Rule 5461

Int[Csch[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sech[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Dis
t[2^n, Int[(c + d*x)^m*Csch[2*a + 2*b*x]^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && RationalQ[m] && IntegerQ[n]

Rule 4186

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> -Simp[(b^2*(c + d*x)^m*Cot[e
+ f*x]*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2))/(f*(n - 1)), x] + (Dist[(b^2*d^2*m*(m - 1))/(f^2*(n - 1)*(n - 2)), Int[(c + d
*x)^(m - 2)*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2), x], x] + Dist[(b^2*(n - 2))/(n - 1), Int[(c + d*x)^m*(b*Csc[e + f*x])^(n
- 2), x], x] - Simp[(b^2*d*m*(c + d*x)^(m - 1)*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2))/(f^2*(n - 1)*(n - 2)), x]) /; FreeQ[
{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[n, 1] && NeQ[n, 2] && GtQ[m, 1]

Rule 3770

Int[csc[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> -Simp[ArcTanh[Cos[c + d*x]]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rule 4182

Int[csc[(e_.) + (Complex[0, fz_])*(f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c + d*x)^m*Ar
cTanh[E^(-(I*e) + f*fz*x)])/(f*fz*I), x] + (-Dist[(d*m)/(f*fz*I), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(-(I*e) + f*
fz*x)], x], x] + Dist[(d*m)/(f*fz*I), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(-(I*e) + f*fz*x)], x], x]) /; FreeQ[{c,
d, e, f, fz}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rubi steps

\begin{align*} \int x^2 \text{csch}^3(a+b x) \text{sech}^3(a+b x) \, dx &=8 \int x^2 \text{csch}^3(2 a+2 b x) \, dx\\ &=-\frac{2 x \text{csch}(2 a+2 b x)}{b^2}-\frac{2 x^2 \coth (2 a+2 b x) \text{csch}(2 a+2 b x)}{b}-4 \int x^2 \text{csch}(2 a+2 b x) \, dx+\frac{2 \int \text{csch}(2 a+2 b x) \, dx}{b^2}\\ &=\frac{4 x^2 \tanh ^{-1}\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b}-\frac{\tanh ^{-1}(\cosh (2 a+2 b x))}{b^3}-\frac{2 x \text{csch}(2 a+2 b x)}{b^2}-\frac{2 x^2 \coth (2 a+2 b x) \text{csch}(2 a+2 b x)}{b}+\frac{4 \int x \log \left (1-e^{2 a+2 b x}\right ) \, dx}{b}-\frac{4 \int x \log \left (1+e^{2 a+2 b x}\right ) \, dx}{b}\\ &=\frac{4 x^2 \tanh ^{-1}\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b}-\frac{\tanh ^{-1}(\cosh (2 a+2 b x))}{b^3}-\frac{2 x \text{csch}(2 a+2 b x)}{b^2}-\frac{2 x^2 \coth (2 a+2 b x) \text{csch}(2 a+2 b x)}{b}+\frac{2 x \text{Li}_2\left (-e^{2 a+2 b x}\right )}{b^2}-\frac{2 x \text{Li}_2\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b^2}-\frac{2 \int \text{Li}_2\left (-e^{2 a+2 b x}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{2 \int \text{Li}_2\left (e^{2 a+2 b x}\right ) \, dx}{b^2}\\ &=\frac{4 x^2 \tanh ^{-1}\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b}-\frac{\tanh ^{-1}(\cosh (2 a+2 b x))}{b^3}-\frac{2 x \text{csch}(2 a+2 b x)}{b^2}-\frac{2 x^2 \coth (2 a+2 b x) \text{csch}(2 a+2 b x)}{b}+\frac{2 x \text{Li}_2\left (-e^{2 a+2 b x}\right )}{b^2}-\frac{2 x \text{Li}_2\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b^2}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(-x)}{x} \, dx,x,e^{2 a+2 b x}\right )}{b^3}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(x)}{x} \, dx,x,e^{2 a+2 b x}\right )}{b^3}\\ &=\frac{4 x^2 \tanh ^{-1}\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b}-\frac{\tanh ^{-1}(\cosh (2 a+2 b x))}{b^3}-\frac{2 x \text{csch}(2 a+2 b x)}{b^2}-\frac{2 x^2 \coth (2 a+2 b x) \text{csch}(2 a+2 b x)}{b}+\frac{2 x \text{Li}_2\left (-e^{2 a+2 b x}\right )}{b^2}-\frac{2 x \text{Li}_2\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b^2}-\frac{\text{Li}_3\left (-e^{2 a+2 b x}\right )}{b^3}+\frac{\text{Li}_3\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b^3}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 6.36937, size = 192, normalized size = 1.29 $-\frac{-4 b x \text{PolyLog}\left (2,-e^{2 (a+b x)}\right )+4 b x \text{PolyLog}\left (2,e^{2 (a+b x)}\right )+2 \text{PolyLog}\left (3,-e^{2 (a+b x)}\right )-2 \text{PolyLog}\left (3,e^{2 (a+b x)}\right )+4 b^2 x^2 \log \left (1-e^{2 (a+b x)}\right )-4 b^2 x^2 \log \left (e^{2 (a+b x)}+1\right )+b^2 x^2 \text{csch}^2(a+b x)+b^2 x^2 \text{sech}^2(a+b x)+4 \tanh ^{-1}\left (e^{2 (a+b x)}\right )-2 b x \text{csch}(a) \sinh (b x) \text{csch}(a+b x)+2 b x \text{csch}(a) \text{sech}(a)-2 b x \text{sech}(a) \sinh (b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b^3}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Integrate[x^2*Csch[a + b*x]^3*Sech[a + b*x]^3,x]

[Out]

-(4*ArcTanh[E^(2*(a + b*x))] + b^2*x^2*Csch[a + b*x]^2 + 4*b^2*x^2*Log[1 - E^(2*(a + b*x))] - 4*b^2*x^2*Log[1
+ E^(2*(a + b*x))] - 4*b*x*PolyLog[2, -E^(2*(a + b*x))] + 4*b*x*PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))] + 2*PolyLog[3, -E^
(2*(a + b*x))] - 2*PolyLog[3, E^(2*(a + b*x))] + 2*b*x*Csch[a]*Sech[a] + b^2*x^2*Sech[a + b*x]^2 - 2*b*x*Csch[
a]*Csch[a + b*x]*Sinh[b*x] - 2*b*x*Sech[a]*Sech[a + b*x]*Sinh[b*x])/(2*b^3)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.057, size = 299, normalized size = 2. \begin{align*} -4\,{\frac{x{{\rm e}^{2\,bx+2\,a}} \left ( bx{{\rm e}^{4\,bx+4\,a}}+{{\rm e}^{4\,bx+4\,a}}+bx-1 \right ) }{{b}^{2} \left ({{\rm e}^{2\,bx+2\,a}}-1 \right ) ^{2} \left ( 1+{{\rm e}^{2\,bx+2\,a}} \right ) ^{2}}}-2\,{\frac{\ln \left ( 1+{{\rm e}^{bx+a}} \right ){x}^{2}}{b}}-4\,{\frac{x{\it polylog} \left ( 2,-{{\rm e}^{bx+a}} \right ) }{{b}^{2}}}+2\,{\frac{{x}^{2}\ln \left ( 1+{{\rm e}^{2\,bx+2\,a}} \right ) }{b}}+2\,{\frac{x{\it polylog} \left ( 2,-{{\rm e}^{2\,bx+2\,a}} \right ) }{{b}^{2}}}-2\,{\frac{\ln \left ( 1-{{\rm e}^{bx+a}} \right ){x}^{2}}{b}}-4\,{\frac{x{\it polylog} \left ( 2,{{\rm e}^{bx+a}} \right ) }{{b}^{2}}}-{\frac{{\it polylog} \left ( 3,-{{\rm e}^{2\,bx+2\,a}} \right ) }{{b}^{3}}}+4\,{\frac{{\it polylog} \left ( 3,{{\rm e}^{bx+a}} \right ) }{{b}^{3}}}+4\,{\frac{{\it polylog} \left ( 3,-{{\rm e}^{bx+a}} \right ) }{{b}^{3}}}+{\frac{\ln \left ({{\rm e}^{bx+a}}-1 \right ) }{{b}^{3}}}-{\frac{\ln \left ( 1+{{\rm e}^{2\,bx+2\,a}} \right ) }{{b}^{3}}}+{\frac{\ln \left ( 1+{{\rm e}^{bx+a}} \right ) }{{b}^{3}}}+2\,{\frac{\ln \left ( 1-{{\rm e}^{bx+a}} \right ){a}^{2}}{{b}^{3}}}-2\,{\frac{{a}^{2}\ln \left ({{\rm e}^{bx+a}}-1 \right ) }{{b}^{3}}} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(x^2*csch(b*x+a)^3*sech(b*x+a)^3,x)

[Out]

-4*x*exp(2*b*x+2*a)*(b*x*exp(4*b*x+4*a)+exp(4*b*x+4*a)+b*x-1)/b^2/(exp(2*b*x+2*a)-1)^2/(1+exp(2*b*x+2*a))^2-2/
b*ln(1+exp(b*x+a))*x^2-4*x*polylog(2,-exp(b*x+a))/b^2+2*x^2*ln(1+exp(2*b*x+2*a))/b+2*x*polylog(2,-exp(2*b*x+2*
a))/b^2-2/b*ln(1-exp(b*x+a))*x^2-4*x*polylog(2,exp(b*x+a))/b^2-polylog(3,-exp(2*b*x+2*a))/b^3+4*polylog(3,exp(
b*x+a))/b^3+4*polylog(3,-exp(b*x+a))/b^3+1/b^3*ln(exp(b*x+a)-1)-1/b^3*ln(1+exp(2*b*x+2*a))+1/b^3*ln(1+exp(b*x+
a))+2/b^3*ln(1-exp(b*x+a))*a^2-2/b^3*a^2*ln(exp(b*x+a)-1)

________________________________________________________________________________________

Maxima [A]  time = 1.18679, size = 369, normalized size = 2.48 \begin{align*} -\frac{4 \,{\left ({\left (b x^{2} e^{\left (6 \, a\right )} + x e^{\left (6 \, a\right )}\right )} e^{\left (6 \, b x\right )} +{\left (b x^{2} e^{\left (2 \, a\right )} - x e^{\left (2 \, a\right )}\right )} e^{\left (2 \, b x\right )}\right )}}{b^{2} e^{\left (8 \, b x + 8 \, a\right )} - 2 \, b^{2} e^{\left (4 \, b x + 4 \, a\right )} + b^{2}} + \frac{2 \, b^{2} x^{2} \log \left (e^{\left (2 \, b x + 2 \, a\right )} + 1\right ) + 2 \, b x{\rm Li}_2\left (-e^{\left (2 \, b x + 2 \, a\right )}\right ) -{\rm Li}_{3}(-e^{\left (2 \, b x + 2 \, a\right )})}{b^{3}} - \frac{2 \,{\left (b^{2} x^{2} \log \left (e^{\left (b x + a\right )} + 1\right ) + 2 \, b x{\rm Li}_2\left (-e^{\left (b x + a\right )}\right ) - 2 \,{\rm Li}_{3}(-e^{\left (b x + a\right )})\right )}}{b^{3}} - \frac{2 \,{\left (b^{2} x^{2} \log \left (-e^{\left (b x + a\right )} + 1\right ) + 2 \, b x{\rm Li}_2\left (e^{\left (b x + a\right )}\right ) - 2 \,{\rm Li}_{3}(e^{\left (b x + a\right )})\right )}}{b^{3}} - \frac{\log \left (e^{\left (2 \, b x + 2 \, a\right )} + 1\right )}{b^{3}} + \frac{\log \left (e^{\left (b x + a\right )} + 1\right )}{b^{3}} + \frac{\log \left (e^{\left (b x + a\right )} - 1\right )}{b^{3}} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^2*csch(b*x+a)^3*sech(b*x+a)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

-4*((b*x^2*e^(6*a) + x*e^(6*a))*e^(6*b*x) + (b*x^2*e^(2*a) - x*e^(2*a))*e^(2*b*x))/(b^2*e^(8*b*x + 8*a) - 2*b^
2*e^(4*b*x + 4*a) + b^2) + (2*b^2*x^2*log(e^(2*b*x + 2*a) + 1) + 2*b*x*dilog(-e^(2*b*x + 2*a)) - polylog(3, -e
^(2*b*x + 2*a)))/b^3 - 2*(b^2*x^2*log(e^(b*x + a) + 1) + 2*b*x*dilog(-e^(b*x + a)) - 2*polylog(3, -e^(b*x + a)
))/b^3 - 2*(b^2*x^2*log(-e^(b*x + a) + 1) + 2*b*x*dilog(e^(b*x + a)) - 2*polylog(3, e^(b*x + a)))/b^3 - log(e^
(2*b*x + 2*a) + 1)/b^3 + log(e^(b*x + a) + 1)/b^3 + log(e^(b*x + a) - 1)/b^3

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 2.63012, size = 12081, normalized size = 81.08 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^2*csch(b*x+a)^3*sech(b*x+a)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

-(4*(b^2*x^2 + b*x)*cosh(b*x + a)^6 + 80*(b^2*x^2 + b*x)*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^3 + 60*(b^2*x^2 + b*x)*
cosh(b*x + a)^2*sinh(b*x + a)^4 + 24*(b^2*x^2 + b*x)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^5 + 4*(b^2*x^2 + b*x)*sinh(b*
x + a)^6 + 4*(b^2*x^2 - b*x)*cosh(b*x + a)^2 + 4*(15*(b^2*x^2 + b*x)*cosh(b*x + a)^4 + b^2*x^2 - b*x)*sinh(b*x
+ a)^2 + 4*(b*x*cosh(b*x + a)^8 + 56*b*x*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*b*x*cosh(b*x + a)^2*sinh(b*x +
a)^6 + 8*b*x*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7 + b*x*sinh(b*x + a)^8 - 2*b*x*cosh(b*x + a)^4 + 2*(35*b*x*cosh(b*x
+ a)^4 - b*x)*sinh(b*x + a)^4 + 8*(7*b*x*cosh(b*x + a)^5 - b*x*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + 4*(7*b*x*cosh(
b*x + a)^6 - 3*b*x*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + b*x + 8*(b*x*cosh(b*x + a)^7 - b*x*cosh(b*x + a)^3)*sinh
(b*x + a))*dilog(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a)) - 4*(b*x*cosh(b*x + a)^8 + 56*b*x*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a
)^5 + 28*b*x*cosh(b*x + a)^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*b*x*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7 + b*x*sinh(b*x + a)^8 - 2*b
*x*cosh(b*x + a)^4 + 2*(35*b*x*cosh(b*x + a)^4 - b*x)*sinh(b*x + a)^4 + 8*(7*b*x*cosh(b*x + a)^5 - b*x*cosh(b*
x + a))*sinh(b*x + a)^3 + 4*(7*b*x*cosh(b*x + a)^6 - 3*b*x*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + b*x + 8*(b*x*cos
h(b*x + a)^7 - b*x*cosh(b*x + a)^3)*sinh(b*x + a))*dilog(I*cosh(b*x + a) + I*sinh(b*x + a)) - 4*(b*x*cosh(b*x
+ a)^8 + 56*b*x*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*b*x*cosh(b*x + a)^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*b*x*cosh(b*x + a)
*sinh(b*x + a)^7 + b*x*sinh(b*x + a)^8 - 2*b*x*cosh(b*x + a)^4 + 2*(35*b*x*cosh(b*x + a)^4 - b*x)*sinh(b*x + a
)^4 + 8*(7*b*x*cosh(b*x + a)^5 - b*x*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + 4*(7*b*x*cosh(b*x + a)^6 - 3*b*x*cosh(b*
x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + b*x + 8*(b*x*cosh(b*x + a)^7 - b*x*cosh(b*x + a)^3)*sinh(b*x + a))*dilog(-I*cosh(b
*x + a) - I*sinh(b*x + a)) + 4*(b*x*cosh(b*x + a)^8 + 56*b*x*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*b*x*cosh(b*x
+ a)^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*b*x*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7 + b*x*sinh(b*x + a)^8 - 2*b*x*cosh(b*x + a)^4 +
2*(35*b*x*cosh(b*x + a)^4 - b*x)*sinh(b*x + a)^4 + 8*(7*b*x*cosh(b*x + a)^5 - b*x*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)
^3 + 4*(7*b*x*cosh(b*x + a)^6 - 3*b*x*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + b*x + 8*(b*x*cosh(b*x + a)^7 - b*x*co
sh(b*x + a)^3)*sinh(b*x + a))*dilog(-cosh(b*x + a) - sinh(b*x + a)) + ((2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^8 + 56*(2
*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*(2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*(2*b^2*
x^2 - 1)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7 + (2*b^2*x^2 - 1)*sinh(b*x + a)^8 - 2*(2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^4 +
2*(35*(2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^4 - 2*b^2*x^2 + 1)*sinh(b*x + a)^4 + 2*b^2*x^2 + 8*(7*(2*b^2*x^2 - 1)*cos
h(b*x + a)^5 - (2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + 4*(7*(2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^6 - 3*(2*b^
2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + 8*((2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^7 - (2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x +
a)^3)*sinh(b*x + a) - 1)*log(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a) + 1) - ((2*a^2 - 1)*cosh(b*x + a)^8 + 56*(2*a^2 - 1
)*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*(2*a^2 - 1)*cosh(b*x + a)^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*(2*a^2 - 1)*cosh(b*x +
a)*sinh(b*x + a)^7 + (2*a^2 - 1)*sinh(b*x + a)^8 - 2*(2*a^2 - 1)*cosh(b*x + a)^4 + 2*(35*(2*a^2 - 1)*cosh(b*x
+ a)^4 - 2*a^2 + 1)*sinh(b*x + a)^4 + 8*(7*(2*a^2 - 1)*cosh(b*x + a)^5 - (2*a^2 - 1)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x +
a)^3 + 4*(7*(2*a^2 - 1)*cosh(b*x + a)^6 - 3*(2*a^2 - 1)*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + 2*a^2 + 8*((2*a^2
- 1)*cosh(b*x + a)^7 - (2*a^2 - 1)*cosh(b*x + a)^3)*sinh(b*x + a) - 1)*log(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a) + I)
- ((2*a^2 - 1)*cosh(b*x + a)^8 + 56*(2*a^2 - 1)*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*(2*a^2 - 1)*cosh(b*x + a)
^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*(2*a^2 - 1)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7 + (2*a^2 - 1)*sinh(b*x + a)^8 - 2*(2*a^2 - 1)
*cosh(b*x + a)^4 + 2*(35*(2*a^2 - 1)*cosh(b*x + a)^4 - 2*a^2 + 1)*sinh(b*x + a)^4 + 8*(7*(2*a^2 - 1)*cosh(b*x
+ a)^5 - (2*a^2 - 1)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + 4*(7*(2*a^2 - 1)*cosh(b*x + a)^6 - 3*(2*a^2 - 1)*cosh(b*
x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + 2*a^2 + 8*((2*a^2 - 1)*cosh(b*x + a)^7 - (2*a^2 - 1)*cosh(b*x + a)^3)*sinh(b*x + a
) - 1)*log(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a) - I) + ((2*a^2 - 1)*cosh(b*x + a)^8 + 56*(2*a^2 - 1)*cosh(b*x + a)^3*
sinh(b*x + a)^5 + 28*(2*a^2 - 1)*cosh(b*x + a)^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*(2*a^2 - 1)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7
+ (2*a^2 - 1)*sinh(b*x + a)^8 - 2*(2*a^2 - 1)*cosh(b*x + a)^4 + 2*(35*(2*a^2 - 1)*cosh(b*x + a)^4 - 2*a^2 + 1
)*sinh(b*x + a)^4 + 8*(7*(2*a^2 - 1)*cosh(b*x + a)^5 - (2*a^2 - 1)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + 4*(7*(2*a^
2 - 1)*cosh(b*x + a)^6 - 3*(2*a^2 - 1)*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + 2*a^2 + 8*((2*a^2 - 1)*cosh(b*x + a)
^7 - (2*a^2 - 1)*cosh(b*x + a)^3)*sinh(b*x + a) - 1)*log(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a) - 1) - 2*((b^2*x^2 - a^
2)*cosh(b*x + a)^8 + 56*(b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*(b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^2*s
inh(b*x + a)^6 + 8*(b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7 + (b^2*x^2 - a^2)*sinh(b*x + a)^8 - 2*(b^2*x^
2 - a^2)*cosh(b*x + a)^4 + 2*(35*(b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^4 - b^2*x^2 + a^2)*sinh(b*x + a)^4 + b^2*x^2 +
8*(7*(b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^5 - (b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + 4*(7*(b^2*x^2 - a^2)*c
osh(b*x + a)^6 - 3*(b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 - a^2 + 8*((b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^7
- (b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^3)*sinh(b*x + a))*log(I*cosh(b*x + a) + I*sinh(b*x + a) + 1) - 2*((b^2*x^2 -
a^2)*cosh(b*x + a)^8 + 56*(b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*(b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^2
*sinh(b*x + a)^6 + 8*(b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7 + (b^2*x^2 - a^2)*sinh(b*x + a)^8 - 2*(b^2*
x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^4 + 2*(35*(b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^4 - b^2*x^2 + a^2)*sinh(b*x + a)^4 + b^2*x^2
+ 8*(7*(b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^5 - (b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + 4*(7*(b^2*x^2 - a^2)
*cosh(b*x + a)^6 - 3*(b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 - a^2 + 8*((b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)
^7 - (b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^3)*sinh(b*x + a))*log(-I*cosh(b*x + a) - I*sinh(b*x + a) + 1) + 2*((b^2*x^2
- a^2)*cosh(b*x + a)^8 + 56*(b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*(b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a
)^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*(b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7 + (b^2*x^2 - a^2)*sinh(b*x + a)^8 - 2*(b
^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^4 + 2*(35*(b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^4 - b^2*x^2 + a^2)*sinh(b*x + a)^4 + b^2*x
^2 + 8*(7*(b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^5 - (b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + 4*(7*(b^2*x^2 - a
^2)*cosh(b*x + a)^6 - 3*(b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 - a^2 + 8*((b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x +
a)^7 - (b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^3)*sinh(b*x + a))*log(-cosh(b*x + a) - sinh(b*x + a) + 1) - 4*(cosh(b*x
+ a)^8 + 56*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*cosh(b*x + a)^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*cosh(b*x + a)*sinh(b*x +
a)^7 + sinh(b*x + a)^8 + 2*(35*cosh(b*x + a)^4 - 1)*sinh(b*x + a)^4 - 2*cosh(b*x + a)^4 + 8*(7*cosh(b*x + a)^5
- cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + 4*(7*cosh(b*x + a)^6 - 3*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + 8*(cosh(b*x +
a)^7 - cosh(b*x + a)^3)*sinh(b*x + a) + 1)*polylog(3, cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a)) + 4*(cosh(b*x + a)^8 + 56
*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*cosh(b*x + a)^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7 + sinh
(b*x + a)^8 + 2*(35*cosh(b*x + a)^4 - 1)*sinh(b*x + a)^4 - 2*cosh(b*x + a)^4 + 8*(7*cosh(b*x + a)^5 - cosh(b*x
+ a))*sinh(b*x + a)^3 + 4*(7*cosh(b*x + a)^6 - 3*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + 8*(cosh(b*x + a)^7 - cosh
(b*x + a)^3)*sinh(b*x + a) + 1)*polylog(3, I*cosh(b*x + a) + I*sinh(b*x + a)) + 4*(cosh(b*x + a)^8 + 56*cosh(b
*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*cosh(b*x + a)^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7 + sinh(b*x +
a)^8 + 2*(35*cosh(b*x + a)^4 - 1)*sinh(b*x + a)^4 - 2*cosh(b*x + a)^4 + 8*(7*cosh(b*x + a)^5 - cosh(b*x + a))*
sinh(b*x + a)^3 + 4*(7*cosh(b*x + a)^6 - 3*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + 8*(cosh(b*x + a)^7 - cosh(b*x +
a)^3)*sinh(b*x + a) + 1)*polylog(3, -I*cosh(b*x + a) - I*sinh(b*x + a)) - 4*(cosh(b*x + a)^8 + 56*cosh(b*x + a
)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*cosh(b*x + a)^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7 + sinh(b*x + a)^8 +
2*(35*cosh(b*x + a)^4 - 1)*sinh(b*x + a)^4 - 2*cosh(b*x + a)^4 + 8*(7*cosh(b*x + a)^5 - cosh(b*x + a))*sinh(b
*x + a)^3 + 4*(7*cosh(b*x + a)^6 - 3*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + 8*(cosh(b*x + a)^7 - cosh(b*x + a)^3)*
sinh(b*x + a) + 1)*polylog(3, -cosh(b*x + a) - sinh(b*x + a)) + 8*(3*(b^2*x^2 + b*x)*cosh(b*x + a)^5 + (b^2*x^
2 - b*x)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))/(b^3*cosh(b*x + a)^8 + 56*b^3*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*b^3*
cosh(b*x + a)^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*b^3*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7 + b^3*sinh(b*x + a)^8 - 2*b^3*cosh(b*x +
a)^4 + 2*(35*b^3*cosh(b*x + a)^4 - b^3)*sinh(b*x + a)^4 + 8*(7*b^3*cosh(b*x + a)^5 - b^3*cosh(b*x + a))*sinh(
b*x + a)^3 + b^3 + 4*(7*b^3*cosh(b*x + a)^6 - 3*b^3*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + 8*(b^3*cosh(b*x + a)^7
- b^3*cosh(b*x + a)^3)*sinh(b*x + a))

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int x^{2} \operatorname{csch}^{3}{\left (a + b x \right )} \operatorname{sech}^{3}{\left (a + b x \right )}\, dx \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x**2*csch(b*x+a)**3*sech(b*x+a)**3,x)

[Out]

Integral(x**2*csch(a + b*x)**3*sech(a + b*x)**3, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int x^{2} \operatorname{csch}\left (b x + a\right )^{3} \operatorname{sech}\left (b x + a\right )^{3}\,{d x} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^2*csch(b*x+a)^3*sech(b*x+a)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(x^2*csch(b*x + a)^3*sech(b*x + a)^3, x)