### 3.522 $$\int x^3 \text{csch}^3(a+b x) \text{sech}^3(a+b x) \, dx$$

Optimal. Leaf size=240 $\frac{3 x^2 \text{PolyLog}\left (2,-e^{2 a+2 b x}\right )}{b^2}-\frac{3 x^2 \text{PolyLog}\left (2,e^{2 a+2 b x}\right )}{b^2}-\frac{3 x \text{PolyLog}\left (3,-e^{2 a+2 b x}\right )}{b^3}+\frac{3 x \text{PolyLog}\left (3,e^{2 a+2 b x}\right )}{b^3}-\frac{3 \text{PolyLog}\left (2,-e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^4}+\frac{3 \text{PolyLog}\left (2,e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^4}+\frac{3 \text{PolyLog}\left (4,-e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^4}-\frac{3 \text{PolyLog}\left (4,e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^4}-\frac{3 x^2 \text{csch}(2 a+2 b x)}{b^2}-\frac{6 x \tanh ^{-1}\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b^3}+\frac{4 x^3 \tanh ^{-1}\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b}-\frac{2 x^3 \coth (2 a+2 b x) \text{csch}(2 a+2 b x)}{b}$

[Out]

(-6*x*ArcTanh[E^(2*a + 2*b*x)])/b^3 + (4*x^3*ArcTanh[E^(2*a + 2*b*x)])/b - (3*x^2*Csch[2*a + 2*b*x])/b^2 - (2*
x^3*Coth[2*a + 2*b*x]*Csch[2*a + 2*b*x])/b - (3*PolyLog[2, -E^(2*a + 2*b*x)])/(2*b^4) + (3*x^2*PolyLog[2, -E^(
2*a + 2*b*x)])/b^2 + (3*PolyLog[2, E^(2*a + 2*b*x)])/(2*b^4) - (3*x^2*PolyLog[2, E^(2*a + 2*b*x)])/b^2 - (3*x*
PolyLog[3, -E^(2*a + 2*b*x)])/b^3 + (3*x*PolyLog[3, E^(2*a + 2*b*x)])/b^3 + (3*PolyLog[4, -E^(2*a + 2*b*x)])/(
2*b^4) - (3*PolyLog[4, E^(2*a + 2*b*x)])/(2*b^4)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.304029, antiderivative size = 240, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 16, number of rules used = 9, integrand size = 20, $$\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}$$ = 0.45, Rules used = {5461, 4186, 4182, 2279, 2391, 2531, 6609, 2282, 6589} $\frac{3 x^2 \text{PolyLog}\left (2,-e^{2 a+2 b x}\right )}{b^2}-\frac{3 x^2 \text{PolyLog}\left (2,e^{2 a+2 b x}\right )}{b^2}-\frac{3 x \text{PolyLog}\left (3,-e^{2 a+2 b x}\right )}{b^3}+\frac{3 x \text{PolyLog}\left (3,e^{2 a+2 b x}\right )}{b^3}-\frac{3 \text{PolyLog}\left (2,-e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^4}+\frac{3 \text{PolyLog}\left (2,e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^4}+\frac{3 \text{PolyLog}\left (4,-e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^4}-\frac{3 \text{PolyLog}\left (4,e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^4}-\frac{3 x^2 \text{csch}(2 a+2 b x)}{b^2}-\frac{6 x \tanh ^{-1}\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b^3}+\frac{4 x^3 \tanh ^{-1}\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b}-\frac{2 x^3 \coth (2 a+2 b x) \text{csch}(2 a+2 b x)}{b}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Int[x^3*Csch[a + b*x]^3*Sech[a + b*x]^3,x]

[Out]

(-6*x*ArcTanh[E^(2*a + 2*b*x)])/b^3 + (4*x^3*ArcTanh[E^(2*a + 2*b*x)])/b - (3*x^2*Csch[2*a + 2*b*x])/b^2 - (2*
x^3*Coth[2*a + 2*b*x]*Csch[2*a + 2*b*x])/b - (3*PolyLog[2, -E^(2*a + 2*b*x)])/(2*b^4) + (3*x^2*PolyLog[2, -E^(
2*a + 2*b*x)])/b^2 + (3*PolyLog[2, E^(2*a + 2*b*x)])/(2*b^4) - (3*x^2*PolyLog[2, E^(2*a + 2*b*x)])/b^2 - (3*x*
PolyLog[3, -E^(2*a + 2*b*x)])/b^3 + (3*x*PolyLog[3, E^(2*a + 2*b*x)])/b^3 + (3*PolyLog[4, -E^(2*a + 2*b*x)])/(
2*b^4) - (3*PolyLog[4, E^(2*a + 2*b*x)])/(2*b^4)

Rule 5461

Int[Csch[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sech[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Dis
t[2^n, Int[(c + d*x)^m*Csch[2*a + 2*b*x]^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && RationalQ[m] && IntegerQ[n]

Rule 4186

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> -Simp[(b^2*(c + d*x)^m*Cot[e
+ f*x]*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2))/(f*(n - 1)), x] + (Dist[(b^2*d^2*m*(m - 1))/(f^2*(n - 1)*(n - 2)), Int[(c + d
*x)^(m - 2)*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2), x], x] + Dist[(b^2*(n - 2))/(n - 1), Int[(c + d*x)^m*(b*Csc[e + f*x])^(n
- 2), x], x] - Simp[(b^2*d*m*(c + d*x)^(m - 1)*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2))/(f^2*(n - 1)*(n - 2)), x]) /; FreeQ[
{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[n, 1] && NeQ[n, 2] && GtQ[m, 1]

Rule 4182

Int[csc[(e_.) + (Complex[0, fz_])*(f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c + d*x)^m*Ar
cTanh[E^(-(I*e) + f*fz*x)])/(f*fz*I), x] + (-Dist[(d*m)/(f*fz*I), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(-(I*e) + f*
fz*x)], x], x] + Dist[(d*m)/(f*fz*I), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(-(I*e) + f*fz*x)], x], x]) /; FreeQ[{c,
d, e, f, fz}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2279

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2391

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, -(c*e*x^n)]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 6609

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[((e + f*x)^m*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]), x] - Dist[(f*m)/(b*c*p*Log[F]), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rubi steps

\begin{align*} \int x^3 \text{csch}^3(a+b x) \text{sech}^3(a+b x) \, dx &=8 \int x^3 \text{csch}^3(2 a+2 b x) \, dx\\ &=-\frac{3 x^2 \text{csch}(2 a+2 b x)}{b^2}-\frac{2 x^3 \coth (2 a+2 b x) \text{csch}(2 a+2 b x)}{b}-4 \int x^3 \text{csch}(2 a+2 b x) \, dx+\frac{6 \int x \text{csch}(2 a+2 b x) \, dx}{b^2}\\ &=-\frac{6 x \tanh ^{-1}\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b^3}+\frac{4 x^3 \tanh ^{-1}\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b}-\frac{3 x^2 \text{csch}(2 a+2 b x)}{b^2}-\frac{2 x^3 \coth (2 a+2 b x) \text{csch}(2 a+2 b x)}{b}-\frac{3 \int \log \left (1-e^{2 a+2 b x}\right ) \, dx}{b^3}+\frac{3 \int \log \left (1+e^{2 a+2 b x}\right ) \, dx}{b^3}+\frac{6 \int x^2 \log \left (1-e^{2 a+2 b x}\right ) \, dx}{b}-\frac{6 \int x^2 \log \left (1+e^{2 a+2 b x}\right ) \, dx}{b}\\ &=-\frac{6 x \tanh ^{-1}\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b^3}+\frac{4 x^3 \tanh ^{-1}\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b}-\frac{3 x^2 \text{csch}(2 a+2 b x)}{b^2}-\frac{2 x^3 \coth (2 a+2 b x) \text{csch}(2 a+2 b x)}{b}+\frac{3 x^2 \text{Li}_2\left (-e^{2 a+2 b x}\right )}{b^2}-\frac{3 x^2 \text{Li}_2\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b^2}-\frac{3 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1-x)}{x} \, dx,x,e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^4}+\frac{3 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1+x)}{x} \, dx,x,e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^4}-\frac{6 \int x \text{Li}_2\left (-e^{2 a+2 b x}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{6 \int x \text{Li}_2\left (e^{2 a+2 b x}\right ) \, dx}{b^2}\\ &=-\frac{6 x \tanh ^{-1}\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b^3}+\frac{4 x^3 \tanh ^{-1}\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b}-\frac{3 x^2 \text{csch}(2 a+2 b x)}{b^2}-\frac{2 x^3 \coth (2 a+2 b x) \text{csch}(2 a+2 b x)}{b}-\frac{3 \text{Li}_2\left (-e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^4}+\frac{3 x^2 \text{Li}_2\left (-e^{2 a+2 b x}\right )}{b^2}+\frac{3 \text{Li}_2\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^4}-\frac{3 x^2 \text{Li}_2\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b^2}-\frac{3 x \text{Li}_3\left (-e^{2 a+2 b x}\right )}{b^3}+\frac{3 x \text{Li}_3\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b^3}+\frac{3 \int \text{Li}_3\left (-e^{2 a+2 b x}\right ) \, dx}{b^3}-\frac{3 \int \text{Li}_3\left (e^{2 a+2 b x}\right ) \, dx}{b^3}\\ &=-\frac{6 x \tanh ^{-1}\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b^3}+\frac{4 x^3 \tanh ^{-1}\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b}-\frac{3 x^2 \text{csch}(2 a+2 b x)}{b^2}-\frac{2 x^3 \coth (2 a+2 b x) \text{csch}(2 a+2 b x)}{b}-\frac{3 \text{Li}_2\left (-e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^4}+\frac{3 x^2 \text{Li}_2\left (-e^{2 a+2 b x}\right )}{b^2}+\frac{3 \text{Li}_2\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^4}-\frac{3 x^2 \text{Li}_2\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b^2}-\frac{3 x \text{Li}_3\left (-e^{2 a+2 b x}\right )}{b^3}+\frac{3 x \text{Li}_3\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b^3}+\frac{3 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(-x)}{x} \, dx,x,e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^4}-\frac{3 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(x)}{x} \, dx,x,e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^4}\\ &=-\frac{6 x \tanh ^{-1}\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b^3}+\frac{4 x^3 \tanh ^{-1}\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b}-\frac{3 x^2 \text{csch}(2 a+2 b x)}{b^2}-\frac{2 x^3 \coth (2 a+2 b x) \text{csch}(2 a+2 b x)}{b}-\frac{3 \text{Li}_2\left (-e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^4}+\frac{3 x^2 \text{Li}_2\left (-e^{2 a+2 b x}\right )}{b^2}+\frac{3 \text{Li}_2\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^4}-\frac{3 x^2 \text{Li}_2\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b^2}-\frac{3 x \text{Li}_3\left (-e^{2 a+2 b x}\right )}{b^3}+\frac{3 x \text{Li}_3\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b^3}+\frac{3 \text{Li}_4\left (-e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^4}-\frac{3 \text{Li}_4\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^4}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 7.51133, size = 274, normalized size = 1.14 $\frac{\left (6 b^2 x^2-3\right ) \text{PolyLog}\left (2,-e^{2 (a+b x)}\right )+\left (3-6 b^2 x^2\right ) \text{PolyLog}\left (2,e^{2 (a+b x)}\right )-6 b x \text{PolyLog}\left (3,-e^{2 (a+b x)}\right )+6 b x \text{PolyLog}\left (3,e^{2 (a+b x)}\right )+3 \text{PolyLog}\left (4,-e^{2 (a+b x)}\right )-3 \text{PolyLog}\left (4,e^{2 (a+b x)}\right )-4 b^3 x^3 \log \left (1-e^{2 (a+b x)}\right )+4 b^3 x^3 \log \left (e^{2 (a+b x)}+1\right )-b^3 x^3 \text{csch}^2(a+b x)-b^3 x^3 \text{sech}^2(a+b x)+3 b^2 x^2 \text{csch}(a) \sinh (b x) \text{csch}(a+b x)-3 b^2 x^2 \text{csch}(a) \text{sech}(a)+3 b^2 x^2 \text{sech}(a) \sinh (b x) \text{sech}(a+b x)+6 b x \log \left (1-e^{2 (a+b x)}\right )-6 b x \log \left (e^{2 (a+b x)}+1\right )}{2 b^4}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Integrate[x^3*Csch[a + b*x]^3*Sech[a + b*x]^3,x]

[Out]

(-(b^3*x^3*Csch[a + b*x]^2) + 6*b*x*Log[1 - E^(2*(a + b*x))] - 4*b^3*x^3*Log[1 - E^(2*(a + b*x))] - 6*b*x*Log[
1 + E^(2*(a + b*x))] + 4*b^3*x^3*Log[1 + E^(2*(a + b*x))] + (-3 + 6*b^2*x^2)*PolyLog[2, -E^(2*(a + b*x))] + (3
- 6*b^2*x^2)*PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))] - 6*b*x*PolyLog[3, -E^(2*(a + b*x))] + 6*b*x*PolyLog[3, E^(2*(a + b*
x))] + 3*PolyLog[4, -E^(2*(a + b*x))] - 3*PolyLog[4, E^(2*(a + b*x))] - 3*b^2*x^2*Csch[a]*Sech[a] - b^3*x^3*Se
ch[a + b*x]^2 + 3*b^2*x^2*Csch[a]*Csch[a + b*x]*Sinh[b*x] + 3*b^2*x^2*Sech[a]*Sech[a + b*x]*Sinh[b*x])/(2*b^4)

________________________________________________________________________________________

Maple [A]  time = 0.064, size = 445, normalized size = 1.9 \begin{align*} -2\,{\frac{{x}^{2}{{\rm e}^{2\,bx+2\,a}} \left ( 2\,bx{{\rm e}^{4\,bx+4\,a}}+3\,{{\rm e}^{4\,bx+4\,a}}+2\,bx-3 \right ) }{{b}^{2} \left ( 1+{{\rm e}^{2\,bx+2\,a}} \right ) ^{2} \left ({{\rm e}^{2\,bx+2\,a}}-1 \right ) ^{2}}}-3\,{\frac{a\ln \left ({{\rm e}^{bx+a}}-1 \right ) }{{b}^{4}}}+2\,{\frac{{x}^{3}\ln \left ( 1+{{\rm e}^{2\,bx+2\,a}} \right ) }{b}}+3\,{\frac{{x}^{2}{\it polylog} \left ( 2,-{{\rm e}^{2\,bx+2\,a}} \right ) }{{b}^{2}}}-3\,{\frac{x{\it polylog} \left ( 3,-{{\rm e}^{2\,bx+2\,a}} \right ) }{{b}^{3}}}+12\,{\frac{{\it polylog} \left ( 3,-{{\rm e}^{bx+a}} \right ) x}{{b}^{3}}}-2\,{\frac{\ln \left ( 1-{{\rm e}^{bx+a}} \right ){x}^{3}}{b}}-6\,{\frac{{\it polylog} \left ( 2,{{\rm e}^{bx+a}} \right ){x}^{2}}{{b}^{2}}}+12\,{\frac{{\it polylog} \left ( 3,{{\rm e}^{bx+a}} \right ) x}{{b}^{3}}}-6\,{\frac{{\it polylog} \left ( 2,-{{\rm e}^{bx+a}} \right ){x}^{2}}{{b}^{2}}}-3\,{\frac{x\ln \left ( 1+{{\rm e}^{2\,bx+2\,a}} \right ) }{{b}^{3}}}+3\,{\frac{{\it polylog} \left ( 2,-{{\rm e}^{bx+a}} \right ) }{{b}^{4}}}+2\,{\frac{{a}^{3}\ln \left ({{\rm e}^{bx+a}}-1 \right ) }{{b}^{4}}}-{\frac{3\,{\it polylog} \left ( 2,-{{\rm e}^{2\,bx+2\,a}} \right ) }{2\,{b}^{4}}}+3\,{\frac{{\it polylog} \left ( 2,{{\rm e}^{bx+a}} \right ) }{{b}^{4}}}-12\,{\frac{{\it polylog} \left ( 4,-{{\rm e}^{bx+a}} \right ) }{{b}^{4}}}+{\frac{3\,{\it polylog} \left ( 4,-{{\rm e}^{2\,bx+2\,a}} \right ) }{2\,{b}^{4}}}-2\,{\frac{\ln \left ( 1+{{\rm e}^{bx+a}} \right ){x}^{3}}{b}}+3\,{\frac{\ln \left ( 1+{{\rm e}^{bx+a}} \right ) x}{{b}^{3}}}+3\,{\frac{\ln \left ( 1-{{\rm e}^{bx+a}} \right ) x}{{b}^{3}}}-2\,{\frac{\ln \left ( 1-{{\rm e}^{bx+a}} \right ){a}^{3}}{{b}^{4}}}-12\,{\frac{{\it polylog} \left ( 4,{{\rm e}^{bx+a}} \right ) }{{b}^{4}}}+3\,{\frac{\ln \left ( 1-{{\rm e}^{bx+a}} \right ) a}{{b}^{4}}} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(x^3*csch(b*x+a)^3*sech(b*x+a)^3,x)

[Out]

-2*x^2*exp(2*b*x+2*a)*(2*b*x*exp(4*b*x+4*a)+3*exp(4*b*x+4*a)+2*b*x-3)/b^2/(1+exp(2*b*x+2*a))^2/(exp(2*b*x+2*a)
-1)^2-3/b^4*a*ln(exp(b*x+a)-1)+2*x^3*ln(1+exp(2*b*x+2*a))/b+3*x^2*polylog(2,-exp(2*b*x+2*a))/b^2-3*x*polylog(3
,-exp(2*b*x+2*a))/b^3+12/b^3*polylog(3,-exp(b*x+a))*x-2/b*ln(1-exp(b*x+a))*x^3-6/b^2*polylog(2,exp(b*x+a))*x^2
+12/b^3*polylog(3,exp(b*x+a))*x-6/b^2*polylog(2,-exp(b*x+a))*x^2-3*x*ln(1+exp(2*b*x+2*a))/b^3+3/b^4*polylog(2,
-exp(b*x+a))+2/b^4*a^3*ln(exp(b*x+a)-1)-3/2*polylog(2,-exp(2*b*x+2*a))/b^4+3/b^4*polylog(2,exp(b*x+a))-12/b^4*
polylog(4,-exp(b*x+a))+3/2*polylog(4,-exp(2*b*x+2*a))/b^4-2/b*ln(1+exp(b*x+a))*x^3+3/b^3*ln(1+exp(b*x+a))*x+3/
b^3*ln(1-exp(b*x+a))*x-2/b^4*ln(1-exp(b*x+a))*a^3-12/b^4*polylog(4,exp(b*x+a))+3/b^4*ln(1-exp(b*x+a))*a

________________________________________________________________________________________

Maxima [A]  time = 1.16782, size = 514, normalized size = 2.14 \begin{align*} -\frac{2 \,{\left ({\left (2 \, b x^{3} e^{\left (6 \, a\right )} + 3 \, x^{2} e^{\left (6 \, a\right )}\right )} e^{\left (6 \, b x\right )} +{\left (2 \, b x^{3} e^{\left (2 \, a\right )} - 3 \, x^{2} e^{\left (2 \, a\right )}\right )} e^{\left (2 \, b x\right )}\right )}}{b^{2} e^{\left (8 \, b x + 8 \, a\right )} - 2 \, b^{2} e^{\left (4 \, b x + 4 \, a\right )} + b^{2}} + \frac{2 \,{\left (4 \, b^{3} x^{3} \log \left (e^{\left (2 \, b x + 2 \, a\right )} + 1\right ) + 6 \, b^{2} x^{2}{\rm Li}_2\left (-e^{\left (2 \, b x + 2 \, a\right )}\right ) - 6 \, b x{\rm Li}_{3}(-e^{\left (2 \, b x + 2 \, a\right )}) + 3 \,{\rm Li}_{4}(-e^{\left (2 \, b x + 2 \, a\right )})\right )}}{3 \, b^{4}} - \frac{2 \,{\left (b^{3} x^{3} \log \left (e^{\left (b x + a\right )} + 1\right ) + 3 \, b^{2} x^{2}{\rm Li}_2\left (-e^{\left (b x + a\right )}\right ) - 6 \, b x{\rm Li}_{3}(-e^{\left (b x + a\right )}) + 6 \,{\rm Li}_{4}(-e^{\left (b x + a\right )})\right )}}{b^{4}} - \frac{2 \,{\left (b^{3} x^{3} \log \left (-e^{\left (b x + a\right )} + 1\right ) + 3 \, b^{2} x^{2}{\rm Li}_2\left (e^{\left (b x + a\right )}\right ) - 6 \, b x{\rm Li}_{3}(e^{\left (b x + a\right )}) + 6 \,{\rm Li}_{4}(e^{\left (b x + a\right )})\right )}}{b^{4}} - \frac{3 \,{\left (2 \, b x \log \left (e^{\left (2 \, b x + 2 \, a\right )} + 1\right ) +{\rm Li}_2\left (-e^{\left (2 \, b x + 2 \, a\right )}\right )\right )}}{2 \, b^{4}} + \frac{3 \,{\left (b x \log \left (e^{\left (b x + a\right )} + 1\right ) +{\rm Li}_2\left (-e^{\left (b x + a\right )}\right )\right )}}{b^{4}} + \frac{3 \,{\left (b x \log \left (-e^{\left (b x + a\right )} + 1\right ) +{\rm Li}_2\left (e^{\left (b x + a\right )}\right )\right )}}{b^{4}} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3*csch(b*x+a)^3*sech(b*x+a)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

-2*((2*b*x^3*e^(6*a) + 3*x^2*e^(6*a))*e^(6*b*x) + (2*b*x^3*e^(2*a) - 3*x^2*e^(2*a))*e^(2*b*x))/(b^2*e^(8*b*x +
8*a) - 2*b^2*e^(4*b*x + 4*a) + b^2) + 2/3*(4*b^3*x^3*log(e^(2*b*x + 2*a) + 1) + 6*b^2*x^2*dilog(-e^(2*b*x + 2
*a)) - 6*b*x*polylog(3, -e^(2*b*x + 2*a)) + 3*polylog(4, -e^(2*b*x + 2*a)))/b^4 - 2*(b^3*x^3*log(e^(b*x + a) +
1) + 3*b^2*x^2*dilog(-e^(b*x + a)) - 6*b*x*polylog(3, -e^(b*x + a)) + 6*polylog(4, -e^(b*x + a)))/b^4 - 2*(b^
3*x^3*log(-e^(b*x + a) + 1) + 3*b^2*x^2*dilog(e^(b*x + a)) - 6*b*x*polylog(3, e^(b*x + a)) + 6*polylog(4, e^(b
*x + a)))/b^4 - 3/2*(2*b*x*log(e^(2*b*x + 2*a) + 1) + dilog(-e^(2*b*x + 2*a)))/b^4 + 3*(b*x*log(e^(b*x + a) +
1) + dilog(-e^(b*x + a)))/b^4 + 3*(b*x*log(-e^(b*x + a) + 1) + dilog(e^(b*x + a)))/b^4

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 2.98907, size = 17071, normalized size = 71.13 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3*csch(b*x+a)^3*sech(b*x+a)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

-(2*(2*b^3*x^3 + 3*b^2*x^2)*cosh(b*x + a)^6 + 40*(2*b^3*x^3 + 3*b^2*x^2)*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^3 + 30*
(2*b^3*x^3 + 3*b^2*x^2)*cosh(b*x + a)^2*sinh(b*x + a)^4 + 12*(2*b^3*x^3 + 3*b^2*x^2)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x +
a)^5 + 2*(2*b^3*x^3 + 3*b^2*x^2)*sinh(b*x + a)^6 + 2*(2*b^3*x^3 - 3*b^2*x^2)*cosh(b*x + a)^2 + 2*(2*b^3*x^3 +
15*(2*b^3*x^3 + 3*b^2*x^2)*cosh(b*x + a)^4 - 3*b^2*x^2)*sinh(b*x + a)^2 + 3*((2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^8 +
56*(2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*(2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*(
2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7 + (2*b^2*x^2 - 1)*sinh(b*x + a)^8 - 2*(2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x +
a)^4 + 2*(35*(2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^4 - 2*b^2*x^2 + 1)*sinh(b*x + a)^4 + 2*b^2*x^2 + 8*(7*(2*b^2*x^2 -
1)*cosh(b*x + a)^5 - (2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + 4*(7*(2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^6 - 3
*(2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + 8*((2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^7 - (2*b^2*x^2 - 1)*cosh(
b*x + a)^3)*sinh(b*x + a) - 1)*dilog(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a)) - 3*((2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^8 + 56*
(2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*(2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*(2*b^
2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7 + (2*b^2*x^2 - 1)*sinh(b*x + a)^8 - 2*(2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^4
+ 2*(35*(2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^4 - 2*b^2*x^2 + 1)*sinh(b*x + a)^4 + 2*b^2*x^2 + 8*(7*(2*b^2*x^2 - 1)*c
osh(b*x + a)^5 - (2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + 4*(7*(2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^6 - 3*(2*
b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + 8*((2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^7 - (2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x
+ a)^3)*sinh(b*x + a) - 1)*dilog(I*cosh(b*x + a) + I*sinh(b*x + a)) - 3*((2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^8 + 56*
(2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*(2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*(2*b^
2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7 + (2*b^2*x^2 - 1)*sinh(b*x + a)^8 - 2*(2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^4
+ 2*(35*(2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^4 - 2*b^2*x^2 + 1)*sinh(b*x + a)^4 + 2*b^2*x^2 + 8*(7*(2*b^2*x^2 - 1)*c
osh(b*x + a)^5 - (2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + 4*(7*(2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^6 - 3*(2*
b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + 8*((2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^7 - (2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x
+ a)^3)*sinh(b*x + a) - 1)*dilog(-I*cosh(b*x + a) - I*sinh(b*x + a)) + 3*((2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^8 + 56
*(2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*(2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*(2*b
^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7 + (2*b^2*x^2 - 1)*sinh(b*x + a)^8 - 2*(2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^
4 + 2*(35*(2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^4 - 2*b^2*x^2 + 1)*sinh(b*x + a)^4 + 2*b^2*x^2 + 8*(7*(2*b^2*x^2 - 1)*
cosh(b*x + a)^5 - (2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + 4*(7*(2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^6 - 3*(2
*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + 8*((2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^7 - (2*b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x
+ a)^3)*sinh(b*x + a) - 1)*dilog(-cosh(b*x + a) - sinh(b*x + a)) + ((2*b^3*x^3 - 3*b*x)*cosh(b*x + a)^8 + 56*
(2*b^3*x^3 - 3*b*x)*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*(2*b^3*x^3 - 3*b*x)*cosh(b*x + a)^2*sinh(b*x + a)^6 +
8*(2*b^3*x^3 - 3*b*x)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7 + (2*b^3*x^3 - 3*b*x)*sinh(b*x + a)^8 + 2*b^3*x^3 - 2*(2*
b^3*x^3 - 3*b*x)*cosh(b*x + a)^4 - 2*(2*b^3*x^3 - 35*(2*b^3*x^3 - 3*b*x)*cosh(b*x + a)^4 - 3*b*x)*sinh(b*x + a
)^4 + 8*(7*(2*b^3*x^3 - 3*b*x)*cosh(b*x + a)^5 - (2*b^3*x^3 - 3*b*x)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + 4*(7*(2*
b^3*x^3 - 3*b*x)*cosh(b*x + a)^6 - 3*(2*b^3*x^3 - 3*b*x)*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 - 3*b*x + 8*((2*b^3*
x^3 - 3*b*x)*cosh(b*x + a)^7 - (2*b^3*x^3 - 3*b*x)*cosh(b*x + a)^3)*sinh(b*x + a))*log(cosh(b*x + a) + sinh(b*
x + a) + 1) + ((2*a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)^8 + 56*(2*a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*(2*a^3 -
3*a)*cosh(b*x + a)^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*(2*a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7 + (2*a^3 - 3*a)*sinh(b*x
+ a)^8 - 2*(2*a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)^4 + 2*(35*(2*a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)^4 - 2*a^3 + 3*a)*sinh(b*x + a)^4
+ 8*(7*(2*a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)^5 - (2*a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + 2*a^3 + 4*(7*(2*a^3 - 3*
a)*cosh(b*x + a)^6 - 3*(2*a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + 8*((2*a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)^7 - (2*
a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)^3)*sinh(b*x + a) - 3*a)*log(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a) + I) + ((2*a^3 - 3*a)*cosh(
b*x + a)^8 + 56*(2*a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*(2*a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)^2*sinh(b*x + a)
^6 + 8*(2*a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7 + (2*a^3 - 3*a)*sinh(b*x + a)^8 - 2*(2*a^3 - 3*a)*cosh(b*x
+ a)^4 + 2*(35*(2*a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)^4 - 2*a^3 + 3*a)*sinh(b*x + a)^4 + 8*(7*(2*a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)
^5 - (2*a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + 2*a^3 + 4*(7*(2*a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)^6 - 3*(2*a^3 - 3*
a)*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + 8*((2*a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)^7 - (2*a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)^3)*sinh(b
*x + a) - 3*a)*log(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a) - I) - ((2*a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)^8 + 56*(2*a^3 - 3*a)*cosh
(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*(2*a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*(2*a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)
*sinh(b*x + a)^7 + (2*a^3 - 3*a)*sinh(b*x + a)^8 - 2*(2*a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)^4 + 2*(35*(2*a^3 - 3*a)*cosh(
b*x + a)^4 - 2*a^3 + 3*a)*sinh(b*x + a)^4 + 8*(7*(2*a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)^5 - (2*a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a))*
sinh(b*x + a)^3 + 2*a^3 + 4*(7*(2*a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)^6 - 3*(2*a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^
2 + 8*((2*a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)^7 - (2*a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)^3)*sinh(b*x + a) - 3*a)*log(cosh(b*x + a) +
sinh(b*x + a) - 1) - ((2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a)^8 + 56*(2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a
)*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*(2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a)^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*(
2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7 + (2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*sinh(b*x +
a)^8 + 2*b^3*x^3 - 2*(2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a)^4 - 2*(2*b^3*x^3 - 35*(2*b^3*x^3 + 2*a^3
- 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a)^4 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*sinh(b*x + a)^4 + 8*(7*(2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)
*cosh(b*x + a)^5 - (2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + 2*a^3 + 4*(7*(2*b^3*x^3
+ 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a)^6 - 3*(2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2
- 3*b*x + 8*((2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a)^7 - (2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x +
a)^3)*sinh(b*x + a) - 3*a)*log(I*cosh(b*x + a) + I*sinh(b*x + a) + 1) - ((2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*cos
h(b*x + a)^8 + 56*(2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*(2*b^3*x^3 + 2*a^3 -
3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a)^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*(2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)
^7 + (2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*sinh(b*x + a)^8 + 2*b^3*x^3 - 2*(2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(
b*x + a)^4 - 2*(2*b^3*x^3 - 35*(2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a)^4 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*sinh(b
*x + a)^4 + 8*(7*(2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a)^5 - (2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*
x + a))*sinh(b*x + a)^3 + 2*a^3 + 4*(7*(2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a)^6 - 3*(2*b^3*x^3 + 2*a^
3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 - 3*b*x + 8*((2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a)
^7 - (2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a)^3)*sinh(b*x + a) - 3*a)*log(-I*cosh(b*x + a) - I*sinh(b*x
+ a) + 1) + ((2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a)^8 + 56*(2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*
x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*(2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a)^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*(2*b^3*x^3
+ 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7 + (2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*sinh(b*x + a)^8 + 2*
b^3*x^3 - 2*(2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a)^4 - 2*(2*b^3*x^3 - 35*(2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x -
3*a)*cosh(b*x + a)^4 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*sinh(b*x + a)^4 + 8*(7*(2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x
+ a)^5 - (2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + 2*a^3 + 4*(7*(2*b^3*x^3 + 2*a^3 -
3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a)^6 - 3*(2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 - 3*b*x +
8*((2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a)^7 - (2*b^3*x^3 + 2*a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a)^3)*sin
h(b*x + a) - 3*a)*log(-cosh(b*x + a) - sinh(b*x + a) + 1) + 12*(cosh(b*x + a)^8 + 56*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x
+ a)^5 + 28*cosh(b*x + a)^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7 + sinh(b*x + a)^8 + 2*(35*cosh(b
*x + a)^4 - 1)*sinh(b*x + a)^4 - 2*cosh(b*x + a)^4 + 8*(7*cosh(b*x + a)^5 - cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + 4
*(7*cosh(b*x + a)^6 - 3*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + 8*(cosh(b*x + a)^7 - cosh(b*x + a)^3)*sinh(b*x + a)
+ 1)*polylog(4, cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a)) - 12*(cosh(b*x + a)^8 + 56*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 2
8*cosh(b*x + a)^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7 + sinh(b*x + a)^8 + 2*(35*cosh(b*x + a)^4
- 1)*sinh(b*x + a)^4 - 2*cosh(b*x + a)^4 + 8*(7*cosh(b*x + a)^5 - cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + 4*(7*cosh(b
*x + a)^6 - 3*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + 8*(cosh(b*x + a)^7 - cosh(b*x + a)^3)*sinh(b*x + a) + 1)*poly
log(4, I*cosh(b*x + a) + I*sinh(b*x + a)) - 12*(cosh(b*x + a)^8 + 56*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*cosh
(b*x + a)^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7 + sinh(b*x + a)^8 + 2*(35*cosh(b*x + a)^4 - 1)*s
inh(b*x + a)^4 - 2*cosh(b*x + a)^4 + 8*(7*cosh(b*x + a)^5 - cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + 4*(7*cosh(b*x + a
)^6 - 3*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + 8*(cosh(b*x + a)^7 - cosh(b*x + a)^3)*sinh(b*x + a) + 1)*polylog(4,
-I*cosh(b*x + a) - I*sinh(b*x + a)) + 12*(cosh(b*x + a)^8 + 56*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*cosh(b*x
+ a)^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7 + sinh(b*x + a)^8 + 2*(35*cosh(b*x + a)^4 - 1)*sinh(b
*x + a)^4 - 2*cosh(b*x + a)^4 + 8*(7*cosh(b*x + a)^5 - cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + 4*(7*cosh(b*x + a)^6 -
3*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + 8*(cosh(b*x + a)^7 - cosh(b*x + a)^3)*sinh(b*x + a) + 1)*polylog(4, -cos
h(b*x + a) - sinh(b*x + a)) - 12*(b*x*cosh(b*x + a)^8 + 56*b*x*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*b*x*cosh(b
*x + a)^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*b*x*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7 + b*x*sinh(b*x + a)^8 - 2*b*x*cosh(b*x + a)^4
+ 2*(35*b*x*cosh(b*x + a)^4 - b*x)*sinh(b*x + a)^4 + 8*(7*b*x*cosh(b*x + a)^5 - b*x*cosh(b*x + a))*sinh(b*x +
a)^3 + 4*(7*b*x*cosh(b*x + a)^6 - 3*b*x*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + b*x + 8*(b*x*cosh(b*x + a)^7 - b*x*
cosh(b*x + a)^3)*sinh(b*x + a))*polylog(3, cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a)) + 12*(b*x*cosh(b*x + a)^8 + 56*b*x*c
osh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*b*x*cosh(b*x + a)^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*b*x*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7
+ b*x*sinh(b*x + a)^8 - 2*b*x*cosh(b*x + a)^4 + 2*(35*b*x*cosh(b*x + a)^4 - b*x)*sinh(b*x + a)^4 + 8*(7*b*x*co
sh(b*x + a)^5 - b*x*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + 4*(7*b*x*cosh(b*x + a)^6 - 3*b*x*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*
x + a)^2 + b*x + 8*(b*x*cosh(b*x + a)^7 - b*x*cosh(b*x + a)^3)*sinh(b*x + a))*polylog(3, I*cosh(b*x + a) + I*s
inh(b*x + a)) + 12*(b*x*cosh(b*x + a)^8 + 56*b*x*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*b*x*cosh(b*x + a)^2*sinh
(b*x + a)^6 + 8*b*x*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7 + b*x*sinh(b*x + a)^8 - 2*b*x*cosh(b*x + a)^4 + 2*(35*b*x*co
sh(b*x + a)^4 - b*x)*sinh(b*x + a)^4 + 8*(7*b*x*cosh(b*x + a)^5 - b*x*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + 4*(7*b*
x*cosh(b*x + a)^6 - 3*b*x*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + b*x + 8*(b*x*cosh(b*x + a)^7 - b*x*cosh(b*x + a)^
3)*sinh(b*x + a))*polylog(3, -I*cosh(b*x + a) - I*sinh(b*x + a)) - 12*(b*x*cosh(b*x + a)^8 + 56*b*x*cosh(b*x +
a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*b*x*cosh(b*x + a)^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*b*x*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7 + b*x*sin
h(b*x + a)^8 - 2*b*x*cosh(b*x + a)^4 + 2*(35*b*x*cosh(b*x + a)^4 - b*x)*sinh(b*x + a)^4 + 8*(7*b*x*cosh(b*x +
a)^5 - b*x*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + 4*(7*b*x*cosh(b*x + a)^6 - 3*b*x*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2
+ b*x + 8*(b*x*cosh(b*x + a)^7 - b*x*cosh(b*x + a)^3)*sinh(b*x + a))*polylog(3, -cosh(b*x + a) - sinh(b*x + a)
) + 4*(3*(2*b^3*x^3 + 3*b^2*x^2)*cosh(b*x + a)^5 + (2*b^3*x^3 - 3*b^2*x^2)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))/(b^4*
cosh(b*x + a)^8 + 56*b^4*cosh(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^5 + 28*b^4*cosh(b*x + a)^2*sinh(b*x + a)^6 + 8*b^4*cosh
(b*x + a)*sinh(b*x + a)^7 + b^4*sinh(b*x + a)^8 - 2*b^4*cosh(b*x + a)^4 + 2*(35*b^4*cosh(b*x + a)^4 - b^4)*sin
h(b*x + a)^4 + b^4 + 8*(7*b^4*cosh(b*x + a)^5 - b^4*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + 4*(7*b^4*cosh(b*x + a)^6
- 3*b^4*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + 8*(b^4*cosh(b*x + a)^7 - b^4*cosh(b*x + a)^3)*sinh(b*x + a))

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int x^{3} \operatorname{csch}^{3}{\left (a + b x \right )} \operatorname{sech}^{3}{\left (a + b x \right )}\, dx \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x**3*csch(b*x+a)**3*sech(b*x+a)**3,x)

[Out]

Integral(x**3*csch(a + b*x)**3*sech(a + b*x)**3, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int x^{3} \operatorname{csch}\left (b x + a\right )^{3} \operatorname{sech}\left (b x + a\right )^{3}\,{d x} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3*csch(b*x+a)^3*sech(b*x+a)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(x^3*csch(b*x + a)^3*sech(b*x + a)^3, x)