3.280 \(\int \frac {e^{\cosh ^{-1}(a+b x)}}{x^2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=109 \[ -\frac {2 a b \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {1-a} \sqrt {a+b x+1}}{\sqrt {a+1} \sqrt {a+b x-1}}\right )}{\sqrt {1-a^2}}-\frac {\sqrt {a+b x-1} \sqrt {a+b x+1}}{x}+2 b \sinh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a+b x-1}}{\sqrt {2}}\right )-\frac {a}{x}+b \log (x) \]

[Out]

-a/x+2*b*arcsinh(1/2*(b*x+a-1)^(1/2)*2^(1/2))+b*ln(x)-2*a*b*arctan((1-a)^(1/2)*(b*x+a+1)^(1/2)/(1+a)^(1/2)/(b*
x+a-1)^(1/2))/(-a^2+1)^(1/2)-(b*x+a-1)^(1/2)*(b*x+a+1)^(1/2)/x

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.07, antiderivative size = 109, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 9, number of rules used = 8, integrand size = 12, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.667, Rules used = {5909, 14, 97, 157, 63, 215, 93, 205} \[ -\frac {2 a b \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {1-a} \sqrt {a+b x+1}}{\sqrt {a+1} \sqrt {a+b x-1}}\right )}{\sqrt {1-a^2}}-\frac {\sqrt {a+b x-1} \sqrt {a+b x+1}}{x}+2 b \sinh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a+b x-1}}{\sqrt {2}}\right )-\frac {a}{x}+b \log (x) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[E^ArcCosh[a + b*x]/x^2,x]

[Out]

-(a/x) - (Sqrt[-1 + a + b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/x + 2*b*ArcSinh[Sqrt[-1 + a + b*x]/Sqrt[2]] - (2*a*b*ArcTan[(S
qrt[1 - a]*Sqrt[1 + a + b*x])/(Sqrt[1 + a]*Sqrt[-1 + a + b*x])])/Sqrt[1 - a^2] + b*Log[x]

Rule 14

Int[(u_)*((c_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(c*x)^m*u, x], x] /; FreeQ[{c, m}, x] && SumQ[u]
&&  !LinearQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (a_) + (b_.)*(v_) /; FreeQ[{a, b}, x] && InverseFunctionQ[v]]

Rule 63

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - (a*d)/b + (d*x^p)/b)^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 93

Int[(((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_))/((e_.) + (f_.)*(x_)), x_Symbol] :> With[{q = Denomin
ator[m]}, Dist[q, Subst[Int[x^(q*(m + 1) - 1)/(b*e - a*f - (d*e - c*f)*x^q), x], x, (a + b*x)^(1/q)/(c + d*x)^
(1/q)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[m + n + 1, 0] && RationalQ[n] && LtQ[-1, m, 0] && SimplerQ[
a + b*x, c + d*x]

Rule 97

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[((a + b
*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p)/(b*(m + 1)), x] - Dist[1/(b*(m + 1)), Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n
- 1)*(e + f*x)^(p - 1)*Simp[d*e*n + c*f*p + d*f*(n + p)*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && LtQ[m
, -1] && GtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] && (IntegersQ[2*m, 2*n, 2*p] || IntegersQ[m, n + p] || IntegersQ[p, m + n])

Rule 157

Int[(((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)*((g_.) + (h_.)*(x_)))/((a_.) + (b_.)*(x_)), x_Symbol]
:> Dist[h/b, Int[(c + d*x)^n*(e + f*x)^p, x], x] + Dist[(b*g - a*h)/b, Int[((c + d*x)^n*(e + f*x)^p)/(a + b*x
), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, n, p}, x]

Rule 205

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]])/a, x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rule 215

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[ArcSinh[(Rt[b, 2]*x)/Sqrt[a]]/Rt[b, 2], x] /; FreeQ[{a, b},
x] && GtQ[a, 0] && PosQ[b]

Rule 5909

Int[E^(ArcCosh[u_]*(n_.))*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[x^m*(u + Sqrt[-1 + u]*Sqrt[1 + u])^n, x] /; RationalQ[m
] && IntegerQ[n] && PolynomialQ[u, x]

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {e^{\cosh ^{-1}(a+b x)}}{x^2} \, dx &=\int \frac {a+b x+\sqrt {-1+a+b x} \sqrt {1+a+b x}}{x^2} \, dx\\ &=\int \left (\frac {a}{x^2}+\frac {b}{x}+\frac {\sqrt {-1+a+b x} \sqrt {1+a+b x}}{x^2}\right ) \, dx\\ &=-\frac {a}{x}+b \log (x)+\int \frac {\sqrt {-1+a+b x} \sqrt {1+a+b x}}{x^2} \, dx\\ &=-\frac {a}{x}-\frac {\sqrt {-1+a+b x} \sqrt {1+a+b x}}{x}+b \log (x)+\int \frac {a b+b^2 x}{x \sqrt {-1+a+b x} \sqrt {1+a+b x}} \, dx\\ &=-\frac {a}{x}-\frac {\sqrt {-1+a+b x} \sqrt {1+a+b x}}{x}+b \log (x)+(a b) \int \frac {1}{x \sqrt {-1+a+b x} \sqrt {1+a+b x}} \, dx+b^2 \int \frac {1}{\sqrt {-1+a+b x} \sqrt {1+a+b x}} \, dx\\ &=-\frac {a}{x}-\frac {\sqrt {-1+a+b x} \sqrt {1+a+b x}}{x}+b \log (x)+(2 b) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{\sqrt {2+x^2}} \, dx,x,\sqrt {-1+a+b x}\right )+(2 a b) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{-1-a-(1-a) x^2} \, dx,x,\frac {\sqrt {1+a+b x}}{\sqrt {-1+a+b x}}\right )\\ &=-\frac {a}{x}-\frac {\sqrt {-1+a+b x} \sqrt {1+a+b x}}{x}+2 b \sinh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {-1+a+b x}}{\sqrt {2}}\right )-\frac {2 a b \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {1-a} \sqrt {1+a+b x}}{\sqrt {1+a} \sqrt {-1+a+b x}}\right )}{\sqrt {1-a^2}}+b \log (x)\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [C]  time = 0.17, size = 140, normalized size = 1.28 \[ -\frac {i a b \log \left (\frac {2 \left (\sqrt {a+b x-1} \sqrt {a+b x+1}+\frac {i \left (a^2+a b x-1\right )}{\sqrt {1-a^2}}\right )}{a b x}\right )}{\sqrt {1-a^2}}-\frac {\sqrt {a+b x-1} \sqrt {a+b x+1}}{x}+b \log \left (\sqrt {a+b x-1} \sqrt {a+b x+1}+a+b x\right )-\frac {a}{x}+b \log (x) \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[E^ArcCosh[a + b*x]/x^2,x]

[Out]

-(a/x) - (Sqrt[-1 + a + b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/x + b*Log[x] + b*Log[a + b*x + Sqrt[-1 + a + b*x]*Sqrt[1 + a +
b*x]] - (I*a*b*Log[(2*(Sqrt[-1 + a + b*x]*Sqrt[1 + a + b*x] + (I*(-1 + a^2 + a*b*x))/Sqrt[1 - a^2]))/(a*b*x)]
)/Sqrt[1 - a^2]

________________________________________________________________________________________

fricas [A]  time = 0.50, size = 334, normalized size = 3.06 \[ \left [\frac {\sqrt {a^{2} - 1} a b x \log \left (\frac {a^{2} b x + a^{3} + {\left (a^{2} - \sqrt {a^{2} - 1} a - 1\right )} \sqrt {b x + a + 1} \sqrt {b x + a - 1} - {\left (a b x + a^{2} - 1\right )} \sqrt {a^{2} - 1} - a}{x}\right ) - {\left (a^{2} - 1\right )} b x \log \left (-b x + \sqrt {b x + a + 1} \sqrt {b x + a - 1} - a\right ) + {\left (a^{2} - 1\right )} b x \log \relax (x) - a^{3} - {\left (a^{2} - 1\right )} b x - {\left (a^{2} - 1\right )} \sqrt {b x + a + 1} \sqrt {b x + a - 1} + a}{{\left (a^{2} - 1\right )} x}, \frac {2 \, \sqrt {-a^{2} + 1} a b x \arctan \left (-\frac {\sqrt {-a^{2} + 1} b x - \sqrt {-a^{2} + 1} \sqrt {b x + a + 1} \sqrt {b x + a - 1}}{a^{2} - 1}\right ) - {\left (a^{2} - 1\right )} b x \log \left (-b x + \sqrt {b x + a + 1} \sqrt {b x + a - 1} - a\right ) + {\left (a^{2} - 1\right )} b x \log \relax (x) - a^{3} - {\left (a^{2} - 1\right )} b x - {\left (a^{2} - 1\right )} \sqrt {b x + a + 1} \sqrt {b x + a - 1} + a}{{\left (a^{2} - 1\right )} x}\right ] \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a+(b*x+a-1)^(1/2)*(b*x+a+1)^(1/2))/x^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

[(sqrt(a^2 - 1)*a*b*x*log((a^2*b*x + a^3 + (a^2 - sqrt(a^2 - 1)*a - 1)*sqrt(b*x + a + 1)*sqrt(b*x + a - 1) - (
a*b*x + a^2 - 1)*sqrt(a^2 - 1) - a)/x) - (a^2 - 1)*b*x*log(-b*x + sqrt(b*x + a + 1)*sqrt(b*x + a - 1) - a) + (
a^2 - 1)*b*x*log(x) - a^3 - (a^2 - 1)*b*x - (a^2 - 1)*sqrt(b*x + a + 1)*sqrt(b*x + a - 1) + a)/((a^2 - 1)*x),
(2*sqrt(-a^2 + 1)*a*b*x*arctan(-(sqrt(-a^2 + 1)*b*x - sqrt(-a^2 + 1)*sqrt(b*x + a + 1)*sqrt(b*x + a - 1))/(a^2
- 1)) - (a^2 - 1)*b*x*log(-b*x + sqrt(b*x + a + 1)*sqrt(b*x + a - 1) - a) + (a^2 - 1)*b*x*log(x) - a^3 - (a^2
- 1)*b*x - (a^2 - 1)*sqrt(b*x + a + 1)*sqrt(b*x + a - 1) + a)/((a^2 - 1)*x)]

________________________________________________________________________________________

giac [B]  time = 0.25, size = 200, normalized size = 1.83 \[ -\frac {\frac {2 \, a b^{2} \arctan \left (\frac {{\left (\sqrt {b x + a + 1} - \sqrt {b x + a - 1}\right )}^{2} - 2 \, a}{2 \, \sqrt {-a^{2} + 1}}\right )}{\sqrt {-a^{2} + 1}} + b^{2} \log \left ({\left (\sqrt {b x + a + 1} - \sqrt {b x + a - 1}\right )}^{2}\right ) - b^{2} \log \left ({\left | b x \right |}\right ) - \frac {4 \, {\left (a b^{2} {\left (\sqrt {b x + a + 1} - \sqrt {b x + a - 1}\right )}^{2} - 2 \, b^{2}\right )}}{{\left (\sqrt {b x + a + 1} - \sqrt {b x + a - 1}\right )}^{4} - 4 \, a {\left (\sqrt {b x + a + 1} - \sqrt {b x + a - 1}\right )}^{2} + 4} + \frac {{\left (b x + a + 1\right )} b^{2} - b^{2}}{b x}}{b} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a+(b*x+a-1)^(1/2)*(b*x+a+1)^(1/2))/x^2,x, algorithm="giac")

[Out]

-(2*a*b^2*arctan(1/2*((sqrt(b*x + a + 1) - sqrt(b*x + a - 1))^2 - 2*a)/sqrt(-a^2 + 1))/sqrt(-a^2 + 1) + b^2*lo
g((sqrt(b*x + a + 1) - sqrt(b*x + a - 1))^2) - b^2*log(abs(b*x)) - 4*(a*b^2*(sqrt(b*x + a + 1) - sqrt(b*x + a
- 1))^2 - 2*b^2)/((sqrt(b*x + a + 1) - sqrt(b*x + a - 1))^4 - 4*a*(sqrt(b*x + a + 1) - sqrt(b*x + a - 1))^2 +
4) + ((b*x + a + 1)*b^2 - b^2)/(b*x))/b

________________________________________________________________________________________

maple [C]  time = 0.02, size = 237, normalized size = 2.17 \[ \frac {\left (-\mathrm {csgn}\relax (b ) \sqrt {a^{2}-1}\, \ln \left (\frac {2 a b x +2 \sqrt {a^{2}-1}\, \sqrt {b^{2} x^{2}+2 a b x +a^{2}-1}+2 a^{2}-2}{x}\right ) x a b +\ln \left (\left (\sqrt {b^{2} x^{2}+2 a b x +a^{2}-1}\, \mathrm {csgn}\relax (b )+b x +a \right ) \mathrm {csgn}\relax (b )\right ) x \,a^{2} b -\sqrt {b^{2} x^{2}+2 a b x +a^{2}-1}\, \mathrm {csgn}\relax (b ) a^{2}-\ln \left (\left (\sqrt {b^{2} x^{2}+2 a b x +a^{2}-1}\, \mathrm {csgn}\relax (b )+b x +a \right ) \mathrm {csgn}\relax (b )\right ) x b +\sqrt {b^{2} x^{2}+2 a b x +a^{2}-1}\, \mathrm {csgn}\relax (b )\right ) \sqrt {b x +a -1}\, \sqrt {b x +a +1}\, \mathrm {csgn}\relax (b )}{\sqrt {b^{2} x^{2}+2 a b x +a^{2}-1}\, \left (a^{2}-1\right ) x}+b \ln \relax (x )-\frac {a}{x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((b*x+a+(b*x+a-1)^(1/2)*(b*x+a+1)^(1/2))/x^2,x)

[Out]

(-csgn(b)*(a^2-1)^(1/2)*ln(2*(a*b*x+(a^2-1)^(1/2)*(b^2*x^2+2*a*b*x+a^2-1)^(1/2)+a^2-1)/x)*x*a*b+ln(((b^2*x^2+2
*a*b*x+a^2-1)^(1/2)*csgn(b)+b*x+a)*csgn(b))*x*a^2*b-(b^2*x^2+2*a*b*x+a^2-1)^(1/2)*csgn(b)*a^2-ln(((b^2*x^2+2*a
*b*x+a^2-1)^(1/2)*csgn(b)+b*x+a)*csgn(b))*x*b+(b^2*x^2+2*a*b*x+a^2-1)^(1/2)*csgn(b))*(b*x+a-1)^(1/2)*(b*x+a+1)
^(1/2)*csgn(b)/(b^2*x^2+2*a*b*x+a^2-1)^(1/2)/(a^2-1)/x+b*ln(x)-a/x

________________________________________________________________________________________

maxima [F(-2)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Exception raised: ValueError} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a+(b*x+a-1)^(1/2)*(b*x+a+1)^(1/2))/x^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError >> Computation failed since Maxima requested additional constraints; using the 'a
ssume' command before evaluation *may* help (example of legal syntax is 'assume(a-1>0)', see `assume?` for mor
e details)Is a-1 zero or nonzero?

________________________________________________________________________________________

mupad [B]  time = 15.82, size = 3029, normalized size = 27.79 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a + (a + b*x - 1)^(1/2)*(a + b*x + 1)^(1/2) + b*x)/x^2,x)

[Out]

((((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))^2*((5*b)/4 - (a^2*b)/4))/((a^2 - 1)*((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/
2))^2) - b/4 + (a*b*((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2))/(2*(a^2 - 1)*((a + 1)^(
1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2))))/(((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))/((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2)) + (
(a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))^3/((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2))^3 - (2*a*((a - 1)^(1/2) - (a + b*
x - 1)^(1/2))^2*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2))/((a^2 - 1)*((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2))^2)) - a/x + b*lo
g(x) - b*atan((((14*a^2 - 42*a^4 + 70*a^6 - 70*a^8 + 42*a^10 - 14*a^12 + 2*a^14 + 4*a^4*(a - 1)^2*(a + 1)^2 -
12*a^6*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 12*a^8*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 4*a^10*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 2*a^2*(a - 1)*(a + 1) +
10*a^4*(a - 1)*(a + 1) - 20*a^6*(a - 1)*(a + 1) + 20*a^8*(a - 1)*(a + 1) - 10*a^10*(a - 1)*(a + 1) + 2*a^12*(
a - 1)*(a + 1) - 2)*512i)/(7*a^2 - 21*a^4 + 35*a^6 - 35*a^8 + 21*a^10 - 7*a^12 + a^14 - 1) + ((2*a^4*(a - 1)^2
*(a + 1)^2 - 6*a^6*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 4*a^6*(a - 1)^3*(a + 1)^3 + 6*a^8*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 4*a^8*(a - 1)
^3*(a + 1)^3 - 2*a^10*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 2*a^2*(a - 1)*(a + 1) - 10*a^4*(a - 1)*(a + 1) + 20*a^6*(a - 1)*(a
+ 1) - 20*a^8*(a - 1)*(a + 1) + 10*a^10*(a - 1)*(a + 1) - 2*a^12*(a - 1)*(a + 1))*128i)/(7*a^2 - 21*a^4 + 35*
a^6 - 35*a^8 + 21*a^10 - 7*a^12 + a^14 - 1) - (((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))*(21*a*(a - 1)^(1/2)*(a +
1)^(1/2) - 126*a^3*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 315*a^5*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 52*a^3*(a - 1)^(3/2)*(a
+ 1)^(3/2) - 420*a^7*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 208*a^5*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 315*a^9*(a - 1)^(1/2
)*(a + 1)^(1/2) - 312*a^7*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 126*a^11*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 47*a^5*(a - 1)^
(5/2)*(a + 1)^(5/2) + 208*a^9*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 21*a^13*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 94*a^7*(a -
1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) - 52*a^11*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 47*a^9*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) - 16*a^7*(a
- 1)^(7/2)*(a + 1)^(7/2))*512i)/(((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2))*(7*a^2 - 21*a^4 + 35*a^6 - 35*a^8 + 21*
a^10 - 7*a^12 + a^14 - 1)) + (((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))*(64*a*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 384*a^
3*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 960*a^5*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 187*a^3*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 12
80*a^7*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 748*a^5*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 960*a^9*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2)
- 1122*a^7*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 384*a^11*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 188*a^5*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)
^(5/2) + 748*a^9*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 64*a^13*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 376*a^7*(a - 1)^(5/2)*(a
+ 1)^(5/2) - 187*a^11*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 188*a^9*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) - 65*a^7*(a - 1)^(7/2)
*(a + 1)^(7/2))*128i)/(((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2))*(7*a^2 - 21*a^4 + 35*a^6 - 35*a^8 + 21*a^10 - 7*a
^12 + a^14 - 1)))/((1024*(a*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 6*a^3*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 15*a^5*(a - 1)^(
1/2)*(a + 1)^(1/2) - 5*a^3*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 20*a^7*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 20*a^5*(a - 1)^(
3/2)*(a + 1)^(3/2) + 15*a^9*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 30*a^7*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 6*a^11*(a - 1)^
(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 4*a^5*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) + 20*a^9*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + a^13*(a - 1)^(1
/2)*(a + 1)^(1/2) - 8*a^7*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) - 5*a^11*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 4*a^9*(a - 1)^(5/
2)*(a + 1)^(5/2)))/(7*a^2 - 21*a^4 + 35*a^6 - 35*a^8 + 21*a^10 - 7*a^12 + a^14 - 1) + (64*(14*a^3*(a - 1)^(3/2
)*(a + 1)^(3/2) - 56*a^5*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 84*a^7*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 28*a^5*(a - 1)^(5/
2)*(a + 1)^(5/2) - 56*a^9*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 56*a^7*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) + 14*a^11*(a - 1)^(
3/2)*(a + 1)^(3/2) - 28*a^9*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) + 14*a^7*(a - 1)^(7/2)*(a + 1)^(7/2)))/(7*a^2 - 21*a^4
+ 35*a^6 - 35*a^8 + 21*a^10 - 7*a^12 + a^14 - 1) - (256*(14*a*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 84*a^3*(a - 1)^(1
/2)*(a + 1)^(1/2) + 210*a^5*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 27*a^3*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 280*a^7*(a - 1)
^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 108*a^5*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 210*a^9*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 162*a^7*(a
- 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 84*a^11*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 9*a^5*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) + 108*a^9*(
a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 14*a^13*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 18*a^7*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) - 27*a^1
1*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 9*a^9*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) + 4*a^7*(a - 1)^(7/2)*(a + 1)^(7/2)))/(7*a^2
- 21*a^4 + 35*a^6 - 35*a^8 + 21*a^10 - 7*a^12 + a^14 - 1) + (1024*((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))*(70*a
^2 - 210*a^4 + 350*a^6 - 350*a^8 + 210*a^10 - 70*a^12 + 10*a^14 - 39*a^4*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 117*a^6*(a - 1)
^2*(a + 1)^2 + 16*a^6*(a - 1)^3*(a + 1)^3 - 117*a^8*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 16*a^8*(a - 1)^3*(a + 1)^3 + 39*a^10
*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 33*a^2*(a - 1)*(a + 1) - 165*a^4*(a - 1)*(a + 1) + 330*a^6*(a - 1)*(a + 1) - 330*a^8*(a
- 1)*(a + 1) + 165*a^10*(a - 1)*(a + 1) - 33*a^12*(a - 1)*(a + 1) - 10))/(((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2
))*(7*a^2 - 21*a^4 + 35*a^6 - 35*a^8 + 21*a^10 - 7*a^12 + a^14 - 1)) - (256*((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/
2))*(252*a^2 - 756*a^4 + 1260*a^6 - 1260*a^8 + 756*a^10 - 252*a^12 + 36*a^14 - 179*a^4*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 5
37*a^6*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 73*a^6*(a - 1)^3*(a + 1)^3 - 537*a^8*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 73*a^8*(a - 1)^3*(a +
1)^3 + 179*a^10*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 142*a^2*(a - 1)*(a + 1) - 710*a^4*(a - 1)*(a + 1) + 1420*a^6*(a - 1)*(a
+ 1) - 1420*a^8*(a - 1)*(a + 1) + 710*a^10*(a - 1)*(a + 1) - 142*a^12*(a - 1)*(a + 1) - 36))/(((a + 1)^(1/2) -
(a + b*x + 1)^(1/2))*(7*a^2 - 21*a^4 + 35*a^6 - 35*a^8 + 21*a^10 - 7*a^12 + a^14 - 1)) - (64*((a - 1)^(1/2) -
(a + b*x - 1)^(1/2))*(56*a^4*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 168*a^6*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 28*a^6*(a - 1)^3*(a + 1)^3 +
168*a^8*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 28*a^8*(a - 1)^3*(a + 1)^3 - 56*a^10*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 28*a^2*(a - 1)*(a +
1) + 140*a^4*(a - 1)*(a + 1) - 280*a^6*(a - 1)*(a + 1) + 280*a^8*(a - 1)*(a + 1) - 140*a^10*(a - 1)*(a + 1) +
28*a^12*(a - 1)*(a + 1)))/(((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2))*(7*a^2 - 21*a^4 + 35*a^6 - 35*a^8 + 21*a^10 -
7*a^12 + a^14 - 1))))*4i - (b*(a^2 - 1)*((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2)))/(((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1
)^(1/2))*(4*a^2 - 4)) + (a*b*log(((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))^2/((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2))
^2 - a^2 - (a^2*((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))^2)/((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2))^2 + (2*a*((a -
1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2))/((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2)) + 1)*(a - 1
)^(1/2)*(a + 1)^(1/2))/(a^2 - 1) - (a*b*log(((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))/((a + 1)^(1/2) - (a + b*x +
1)^(1/2)))*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2))/(a^2 - 1)

________________________________________________________________________________________

sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \frac {a + b x + \sqrt {a + b x - 1} \sqrt {a + b x + 1}}{x^{2}}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a+(b*x+a-1)**(1/2)*(b*x+a+1)**(1/2))/x**2,x)

[Out]

Integral((a + b*x + sqrt(a + b*x - 1)*sqrt(a + b*x + 1))/x**2, x)

________________________________________________________________________________________