3.279 \(\int \frac {e^{\cosh ^{-1}(a+b x)}}{x} \, dx\)

Optimal. Leaf size=100 \[ 2 \sqrt {1-a^2} \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {1-a} \sqrt {a+b x+1}}{\sqrt {a+1} \sqrt {a+b x-1}}\right )+\sqrt {a+b x-1} \sqrt {a+b x+1}+2 a \sinh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a+b x-1}}{\sqrt {2}}\right )+a \log (x)+b x \]

[Out]

b*x+2*a*arcsinh(1/2*(b*x+a-1)^(1/2)*2^(1/2))+a*ln(x)+2*arctan((1-a)^(1/2)*(b*x+a+1)^(1/2)/(1+a)^(1/2)/(b*x+a-1
)^(1/2))*(-a^2+1)^(1/2)+(b*x+a-1)^(1/2)*(b*x+a+1)^(1/2)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.09, antiderivative size = 100, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 9, number of rules used = 8, integrand size = 12, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.667, Rules used = {5909, 14, 101, 157, 63, 215, 93, 205} \[ 2 \sqrt {1-a^2} \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {1-a} \sqrt {a+b x+1}}{\sqrt {a+1} \sqrt {a+b x-1}}\right )+\sqrt {a+b x-1} \sqrt {a+b x+1}+2 a \sinh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a+b x-1}}{\sqrt {2}}\right )+a \log (x)+b x \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[E^ArcCosh[a + b*x]/x,x]

[Out]

b*x + Sqrt[-1 + a + b*x]*Sqrt[1 + a + b*x] + 2*a*ArcSinh[Sqrt[-1 + a + b*x]/Sqrt[2]] + 2*Sqrt[1 - a^2]*ArcTan[
(Sqrt[1 - a]*Sqrt[1 + a + b*x])/(Sqrt[1 + a]*Sqrt[-1 + a + b*x])] + a*Log[x]

Rule 14

Int[(u_)*((c_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(c*x)^m*u, x], x] /; FreeQ[{c, m}, x] && SumQ[u]
&&  !LinearQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (a_) + (b_.)*(v_) /; FreeQ[{a, b}, x] && InverseFunctionQ[v]]

Rule 63

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - (a*d)/b + (d*x^p)/b)^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 93

Int[(((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_))/((e_.) + (f_.)*(x_)), x_Symbol] :> With[{q = Denomin
ator[m]}, Dist[q, Subst[Int[x^(q*(m + 1) - 1)/(b*e - a*f - (d*e - c*f)*x^q), x], x, (a + b*x)^(1/q)/(c + d*x)^
(1/q)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[m + n + 1, 0] && RationalQ[n] && LtQ[-1, m, 0] && SimplerQ[
a + b*x, c + d*x]

Rule 101

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[((a +
b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^(p + 1))/(f*(m + n + p + 1)), x] - Dist[1/(f*(m + n + p + 1)), Int[(a + b*x)^(m -
1)*(c + d*x)^(n - 1)*(e + f*x)^p*Simp[c*m*(b*e - a*f) + a*n*(d*e - c*f) + (d*m*(b*e - a*f) + b*n*(d*e - c*f))
*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p}, x] && GtQ[m, 0] && GtQ[n, 0] && NeQ[m + n + p + 1, 0] && (Integ
ersQ[2*m, 2*n, 2*p] || (IntegersQ[m, n + p] || IntegersQ[p, m + n]))

Rule 157

Int[(((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)*((g_.) + (h_.)*(x_)))/((a_.) + (b_.)*(x_)), x_Symbol]
:> Dist[h/b, Int[(c + d*x)^n*(e + f*x)^p, x], x] + Dist[(b*g - a*h)/b, Int[((c + d*x)^n*(e + f*x)^p)/(a + b*x
), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, n, p}, x]

Rule 205

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]])/a, x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rule 215

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[ArcSinh[(Rt[b, 2]*x)/Sqrt[a]]/Rt[b, 2], x] /; FreeQ[{a, b},
x] && GtQ[a, 0] && PosQ[b]

Rule 5909

Int[E^(ArcCosh[u_]*(n_.))*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[x^m*(u + Sqrt[-1 + u]*Sqrt[1 + u])^n, x] /; RationalQ[m
] && IntegerQ[n] && PolynomialQ[u, x]

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {e^{\cosh ^{-1}(a+b x)}}{x} \, dx &=\int \frac {a+b x+\sqrt {-1+a+b x} \sqrt {1+a+b x}}{x} \, dx\\ &=\int \left (b+\frac {a}{x}+\frac {\sqrt {-1+a+b x} \sqrt {1+a+b x}}{x}\right ) \, dx\\ &=b x+a \log (x)+\int \frac {\sqrt {-1+a+b x} \sqrt {1+a+b x}}{x} \, dx\\ &=b x+\sqrt {-1+a+b x} \sqrt {1+a+b x}+a \log (x)-\int \frac {1-a^2-a b x}{x \sqrt {-1+a+b x} \sqrt {1+a+b x}} \, dx\\ &=b x+\sqrt {-1+a+b x} \sqrt {1+a+b x}+a \log (x)-\left (1-a^2\right ) \int \frac {1}{x \sqrt {-1+a+b x} \sqrt {1+a+b x}} \, dx+(a b) \int \frac {1}{\sqrt {-1+a+b x} \sqrt {1+a+b x}} \, dx\\ &=b x+\sqrt {-1+a+b x} \sqrt {1+a+b x}+a \log (x)+(2 a) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{\sqrt {2+x^2}} \, dx,x,\sqrt {-1+a+b x}\right )-\left (2 \left (1-a^2\right )\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{-1-a-(1-a) x^2} \, dx,x,\frac {\sqrt {1+a+b x}}{\sqrt {-1+a+b x}}\right )\\ &=b x+\sqrt {-1+a+b x} \sqrt {1+a+b x}+2 a \sinh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {-1+a+b x}}{\sqrt {2}}\right )+2 \sqrt {1-a^2} \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {1-a} \sqrt {1+a+b x}}{\sqrt {1+a} \sqrt {-1+a+b x}}\right )+a \log (x)\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [C]  time = 0.10, size = 141, normalized size = 1.41 \[ i \sqrt {1-a^2} \log \left (\frac {2 \sqrt {a+b x-1} \sqrt {a+b x+1}}{\left (a^2-1\right ) x}+\frac {2 i \left (a^2+a b x-1\right )}{\sqrt {1-a^2} \left (a^2-1\right ) x}\right )+\sqrt {a+b x-1} \sqrt {a+b x+1}+a \log \left (\sqrt {a+b x-1} \sqrt {a+b x+1}+a+b x\right )+a \log (x)+b x \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[E^ArcCosh[a + b*x]/x,x]

[Out]

b*x + Sqrt[-1 + a + b*x]*Sqrt[1 + a + b*x] + a*Log[x] + a*Log[a + b*x + Sqrt[-1 + a + b*x]*Sqrt[1 + a + b*x]]
+ I*Sqrt[1 - a^2]*Log[(2*Sqrt[-1 + a + b*x]*Sqrt[1 + a + b*x])/((-1 + a^2)*x) + ((2*I)*(-1 + a^2 + a*b*x))/(Sq
rt[1 - a^2]*(-1 + a^2)*x)]

________________________________________________________________________________________

fricas [A]  time = 0.98, size = 246, normalized size = 2.46 \[ \left [b x - a \log \left (-b x + \sqrt {b x + a + 1} \sqrt {b x + a - 1} - a\right ) + a \log \relax (x) + \sqrt {a^{2} - 1} \log \left (\frac {a^{2} b x + a^{3} + {\left (a^{2} - \sqrt {a^{2} - 1} a - 1\right )} \sqrt {b x + a + 1} \sqrt {b x + a - 1} - {\left (a b x + a^{2} - 1\right )} \sqrt {a^{2} - 1} - a}{x}\right ) + \sqrt {b x + a + 1} \sqrt {b x + a - 1}, b x - a \log \left (-b x + \sqrt {b x + a + 1} \sqrt {b x + a - 1} - a\right ) + a \log \relax (x) + 2 \, \sqrt {-a^{2} + 1} \arctan \left (-\frac {\sqrt {-a^{2} + 1} b x - \sqrt {-a^{2} + 1} \sqrt {b x + a + 1} \sqrt {b x + a - 1}}{a^{2} - 1}\right ) + \sqrt {b x + a + 1} \sqrt {b x + a - 1}\right ] \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a+(b*x+a-1)^(1/2)*(b*x+a+1)^(1/2))/x,x, algorithm="fricas")

[Out]

[b*x - a*log(-b*x + sqrt(b*x + a + 1)*sqrt(b*x + a - 1) - a) + a*log(x) + sqrt(a^2 - 1)*log((a^2*b*x + a^3 + (
a^2 - sqrt(a^2 - 1)*a - 1)*sqrt(b*x + a + 1)*sqrt(b*x + a - 1) - (a*b*x + a^2 - 1)*sqrt(a^2 - 1) - a)/x) + sqr
t(b*x + a + 1)*sqrt(b*x + a - 1), b*x - a*log(-b*x + sqrt(b*x + a + 1)*sqrt(b*x + a - 1) - a) + a*log(x) + 2*s
qrt(-a^2 + 1)*arctan(-(sqrt(-a^2 + 1)*b*x - sqrt(-a^2 + 1)*sqrt(b*x + a + 1)*sqrt(b*x + a - 1))/(a^2 - 1)) + s
qrt(b*x + a + 1)*sqrt(b*x + a - 1)]

________________________________________________________________________________________

giac [A]  time = 0.23, size = 103, normalized size = 1.03 \[ b x - a \log \left ({\left (\sqrt {b x + a + 1} - \sqrt {b x + a - 1}\right )}^{2}\right ) + a \log \left ({\left | b x \right |}\right ) + 2 \, \sqrt {-a^{2} + 1} \arctan \left (\frac {{\left (\sqrt {b x + a + 1} - \sqrt {b x + a - 1}\right )}^{2} - 2 \, a}{2 \, \sqrt {-a^{2} + 1}}\right ) + \sqrt {b x + a + 1} \sqrt {b x + a - 1} + a + 1 \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a+(b*x+a-1)^(1/2)*(b*x+a+1)^(1/2))/x,x, algorithm="giac")

[Out]

b*x - a*log((sqrt(b*x + a + 1) - sqrt(b*x + a - 1))^2) + a*log(abs(b*x)) + 2*sqrt(-a^2 + 1)*arctan(1/2*((sqrt(
b*x + a + 1) - sqrt(b*x + a - 1))^2 - 2*a)/sqrt(-a^2 + 1)) + sqrt(b*x + a + 1)*sqrt(b*x + a - 1) + a + 1

________________________________________________________________________________________

maple [C]  time = 0.01, size = 156, normalized size = 1.56 \[ \frac {\sqrt {b x +a -1}\, \sqrt {b x +a +1}\, \left (-\mathrm {csgn}\relax (b ) \ln \left (\frac {2 a b x +2 \sqrt {a^{2}-1}\, \sqrt {b^{2} x^{2}+2 a b x +a^{2}-1}+2 a^{2}-2}{x}\right ) \sqrt {a^{2}-1}+\ln \left (\left (\sqrt {b^{2} x^{2}+2 a b x +a^{2}-1}\, \mathrm {csgn}\relax (b )+b x +a \right ) \mathrm {csgn}\relax (b )\right ) a +\sqrt {b^{2} x^{2}+2 a b x +a^{2}-1}\, \mathrm {csgn}\relax (b )\right ) \mathrm {csgn}\relax (b )}{\sqrt {b^{2} x^{2}+2 a b x +a^{2}-1}}+b x +a \ln \relax (x ) \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((b*x+a+(b*x+a-1)^(1/2)*(b*x+a+1)^(1/2))/x,x)

[Out]

(b*x+a-1)^(1/2)*(b*x+a+1)^(1/2)*(-csgn(b)*ln(2*(a*b*x+(a^2-1)^(1/2)*(b^2*x^2+2*a*b*x+a^2-1)^(1/2)+a^2-1)/x)*(a
^2-1)^(1/2)+ln(((b^2*x^2+2*a*b*x+a^2-1)^(1/2)*csgn(b)+b*x+a)*csgn(b))*a+(b^2*x^2+2*a*b*x+a^2-1)^(1/2)*csgn(b))
*csgn(b)/(b^2*x^2+2*a*b*x+a^2-1)^(1/2)+b*x+a*ln(x)

________________________________________________________________________________________

maxima [F(-2)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Exception raised: ValueError} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a+(b*x+a-1)^(1/2)*(b*x+a+1)^(1/2))/x,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError >> Computation failed since Maxima requested additional constraints; using the 'a
ssume' command before evaluation *may* help (example of legal syntax is 'assume(a-1>0)', see `assume?` for mor
e details)Is a-1 zero or nonzero?

________________________________________________________________________________________

mupad [B]  time = 23.41, size = 8883, normalized size = 88.83 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a + (a + b*x - 1)^(1/2)*(a + b*x + 1)^(1/2) + b*x)/x,x)

[Out]

b*x + a*log(x) - a*atan(-(a*(2*a*((32*(a*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 2*a*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 22*a^
3*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 68*a^5*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 4*a^3*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 92*a^
7*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 22*a^5*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 58*a^9*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 5*a^
3*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) + 52*a^7*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 14*a^11*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 12*
a^5*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) - 27*a^9*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 9*a^7*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) + 4*a
^5*(a - 1)^(7/2)*(a + 1)^(7/2)))/(5*a^2 - 10*a^4 + 10*a^6 - 5*a^8 + a^10 - 1) - 2*a*((32*(2*a - 10*a^3 + 20*a^
5 - 20*a^7 + 10*a^9 - 2*a^11 - 2*a*(a - 1)*(a + 1) + 2*a^3*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 6*a^5*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 4
*a^7*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 8*a^3*(a - 1)*(a + 1) - 12*a^5*(a - 1)*(a + 1) + 8*a^7*(a - 1)*(a + 1) - 2*a^9*(a -
1)*(a + 1)))/(5*a^2 - 10*a^4 + 10*a^6 - 5*a^8 + a^10 - 1) + 2*a*((32*(a*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 4*a^3*(
a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 6*a^5*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 5*a^3*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 4*a^7*(a
- 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 10*a^5*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + a^9*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 5*a^7*(a - 1
)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 4*a^5*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2)))/(5*a^2 - 10*a^4 + 10*a^6 - 5*a^8 + a^10 - 1) - (32
*((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))*(60*a^2 - 150*a^4 + 200*a^6 - 150*a^8 + 60*a^10 - 10*a^12 - 39*a^4*(a -
1)^2*(a + 1)^2 + 78*a^6*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 16*a^6*(a - 1)^3*(a + 1)^3 - 39*a^8*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 33*a^
2*(a - 1)*(a + 1) - 132*a^4*(a - 1)*(a + 1) + 198*a^6*(a - 1)*(a + 1) - 132*a^8*(a - 1)*(a + 1) + 33*a^10*(a -
1)*(a + 1) - 10))/(((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2))*(15*a^4 - 6*a^2 - 20*a^6 + 15*a^8 - 6*a^10 + a^12 +
1))) + (32*((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))*(17*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 106*a^2*(a - 1)^(1/2)*(a +
1)^(1/2) + 275*a^4*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 48*a^2*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 380*a^6*(a - 1)^(1/2)*(a
+ 1)^(1/2) + 196*a^4*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 295*a^8*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 300*a^6*(a - 1)^(3/2
)*(a + 1)^(3/2) - 122*a^10*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 47*a^4*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) + 204*a^8*(a - 1)^
(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 21*a^12*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 94*a^6*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) - 52*a^10*(a -
1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 47*a^8*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) - 16*a^6*(a - 1)^(7/2)*(a + 1)^(7/2)))/(((a + 1)^(
1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2))*(15*a^4 - 6*a^2 - 20*a^6 + 15*a^8 - 6*a^10 + a^12 + 1))) + (32*((a - 1)^(1/2) - (a
+ b*x - 1)^(1/2))*(36*a^2 - 216*a^4 + 540*a^6 - 720*a^8 + 540*a^10 - 216*a^12 + 36*a^14 - 6*(a - 1)*(a + 1) +
15*a^2*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 64*a^4*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 9*a^4*(a - 1)^3*(a + 1)^3 + 262*a^6*(a - 1)^2*(a +
1)^2 + 18*a^6*(a - 1)^3*(a + 1)^3 - 392*a^8*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 73*a^8*(a - 1)^3*(a + 1)^3 + 179*a^10*(a - 1
)^2*(a + 1)^2 + 40*a^2*(a - 1)*(a + 1) - 242*a^4*(a - 1)*(a + 1) + 688*a^6*(a - 1)*(a + 1) - 922*a^8*(a - 1)*(
a + 1) + 584*a^10*(a - 1)*(a + 1) - 142*a^12*(a - 1)*(a + 1)))/(((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2))*(15*a^4
- 6*a^2 - 20*a^6 + 15*a^8 - 6*a^10 + a^12 + 1))) - (32*(2*a*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 2*a*(a - 1)*(a + 1) - 8*a^3*
(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 2*a^3*(a - 1)^3*(a + 1)^3 + 12*a^5*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 6*a^5*(a - 1)^3*(a + 1)^3 - 8*a
^7*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 4*a^7*(a - 1)^3*(a + 1)^3 + 2*a^9*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 10*a^3*(a - 1)*(a + 1) - 20*a
^5*(a - 1)*(a + 1) + 20*a^7*(a - 1)*(a + 1) - 10*a^9*(a - 1)*(a + 1) + 2*a^11*(a - 1)*(a + 1)))/(5*a^2 - 10*a^
4 + 10*a^6 - 5*a^8 + a^10 - 1) + (32*((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))*((a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 64*a
^2*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 384*a^4*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 10*a^2*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 96
0*a^6*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 157*a^4*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 1280*a^8*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2)
+ 708*a^6*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 960*a^10*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 4*a^4*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5
/2) - 1097*a^8*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 384*a^12*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 180*a^6*(a - 1)^(5/2)*(a +
1)^(5/2) + 742*a^10*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 64*a^14*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - a^4*(a - 1)^(7/2)*(a
+ 1)^(7/2) - 372*a^8*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) - 187*a^12*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 2*a^6*(a - 1)^(7/2)*
(a + 1)^(7/2) + 188*a^10*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) - 65*a^8*(a - 1)^(7/2)*(a + 1)^(7/2)))/(((a + 1)^(1/2) -
(a + b*x + 1)^(1/2))*(15*a^4 - 6*a^2 - 20*a^6 + 15*a^8 - 6*a^10 + a^12 + 1)))*2i - a*((32*(2*a*(a - 1)^2*(a +
1)^2 - 2*a*(a - 1)*(a + 1) - 8*a^3*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 2*a^3*(a - 1)^3*(a + 1)^3 + 12*a^5*(a - 1)^2*(a + 1)^
2 + 6*a^5*(a - 1)^3*(a + 1)^3 - 8*a^7*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 4*a^7*(a - 1)^3*(a + 1)^3 + 2*a^9*(a - 1)^2*(a + 1
)^2 + 10*a^3*(a - 1)*(a + 1) - 20*a^5*(a - 1)*(a + 1) + 20*a^7*(a - 1)*(a + 1) - 10*a^9*(a - 1)*(a + 1) + 2*a^
11*(a - 1)*(a + 1)))/(5*a^2 - 10*a^4 + 10*a^6 - 5*a^8 + a^10 - 1) + 2*a*((32*(a*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) -
2*a*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 22*a^3*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 68*a^5*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 4*
a^3*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 92*a^7*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 22*a^5*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 58
*a^9*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 5*a^3*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) + 52*a^7*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 14
*a^11*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 12*a^5*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) - 27*a^9*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) +
9*a^7*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) + 4*a^5*(a - 1)^(7/2)*(a + 1)^(7/2)))/(5*a^2 - 10*a^4 + 10*a^6 - 5*a^8 + a^1
0 - 1) + 2*a*((32*(2*a - 10*a^3 + 20*a^5 - 20*a^7 + 10*a^9 - 2*a^11 - 2*a*(a - 1)*(a + 1) + 2*a^3*(a - 1)^2*(a
+ 1)^2 - 6*a^5*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 4*a^7*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 8*a^3*(a - 1)*(a + 1) - 12*a^5*(a - 1)*(a +
1) + 8*a^7*(a - 1)*(a + 1) - 2*a^9*(a - 1)*(a + 1)))/(5*a^2 - 10*a^4 + 10*a^6 - 5*a^8 + a^10 - 1) - 2*a*((32*(
a*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 4*a^3*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 6*a^5*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 5*a^3*
(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 4*a^7*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 10*a^5*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + a^9*(a
- 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 5*a^7*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 4*a^5*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2)))/(5*a^2 - 10
*a^4 + 10*a^6 - 5*a^8 + a^10 - 1) - (32*((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))*(60*a^2 - 150*a^4 + 200*a^6 - 15
0*a^8 + 60*a^10 - 10*a^12 - 39*a^4*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 78*a^6*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 16*a^6*(a - 1)^3*(a + 1)
^3 - 39*a^8*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 33*a^2*(a - 1)*(a + 1) - 132*a^4*(a - 1)*(a + 1) + 198*a^6*(a - 1)*(a + 1) -
132*a^8*(a - 1)*(a + 1) + 33*a^10*(a - 1)*(a + 1) - 10))/(((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2))*(15*a^4 - 6*a
^2 - 20*a^6 + 15*a^8 - 6*a^10 + a^12 + 1))) + (32*((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))*(17*(a - 1)^(1/2)*(a +
1)^(1/2) - 106*a^2*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 275*a^4*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 48*a^2*(a - 1)^(3/2)*(
a + 1)^(3/2) - 380*a^6*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 196*a^4*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 295*a^8*(a - 1)^(1/
2)*(a + 1)^(1/2) - 300*a^6*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 122*a^10*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 47*a^4*(a - 1)
^(5/2)*(a + 1)^(5/2) + 204*a^8*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 21*a^12*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 94*a^6*(a -
1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) - 52*a^10*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 47*a^8*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) - 16*a^6*(a
- 1)^(7/2)*(a + 1)^(7/2)))/(((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2))*(15*a^4 - 6*a^2 - 20*a^6 + 15*a^8 - 6*a^10
+ a^12 + 1))) + (32*((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))*(36*a^2 - 216*a^4 + 540*a^6 - 720*a^8 + 540*a^10 - 2
16*a^12 + 36*a^14 - 6*(a - 1)*(a + 1) + 15*a^2*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 64*a^4*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 9*a^4*(a - 1
)^3*(a + 1)^3 + 262*a^6*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 18*a^6*(a - 1)^3*(a + 1)^3 - 392*a^8*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 73*a^
8*(a - 1)^3*(a + 1)^3 + 179*a^10*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 40*a^2*(a - 1)*(a + 1) - 242*a^4*(a - 1)*(a + 1) + 688*
a^6*(a - 1)*(a + 1) - 922*a^8*(a - 1)*(a + 1) + 584*a^10*(a - 1)*(a + 1) - 142*a^12*(a - 1)*(a + 1)))/(((a + 1
)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2))*(15*a^4 - 6*a^2 - 20*a^6 + 15*a^8 - 6*a^10 + a^12 + 1))) - (32*((a - 1)^(1/2) -
(a + b*x - 1)^(1/2))*((a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 64*a^2*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 384*a^4*(a - 1)^(1/2
)*(a + 1)^(1/2) - 10*a^2*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 960*a^6*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 157*a^4*(a - 1)^(
3/2)*(a + 1)^(3/2) - 1280*a^8*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 708*a^6*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 960*a^10*(a
- 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 4*a^4*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) - 1097*a^8*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 384*a^12
*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 180*a^6*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) + 742*a^10*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 64
*a^14*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - a^4*(a - 1)^(7/2)*(a + 1)^(7/2) - 372*a^8*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) - 18
7*a^12*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 2*a^6*(a - 1)^(7/2)*(a + 1)^(7/2) + 188*a^10*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2)
- 65*a^8*(a - 1)^(7/2)*(a + 1)^(7/2)))/(((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2))*(15*a^4 - 6*a^2 - 20*a^6 + 15*a^
8 - 6*a^10 + a^12 + 1)))*2i)/(2*a*(2*a*((32*(a*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 2*a*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) +
22*a^3*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 68*a^5*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 4*a^3*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) +
92*a^7*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 22*a^5*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 58*a^9*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2)
- 5*a^3*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) + 52*a^7*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 14*a^11*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2)
+ 12*a^5*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) - 27*a^9*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 9*a^7*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2)
+ 4*a^5*(a - 1)^(7/2)*(a + 1)^(7/2)))/(5*a^2 - 10*a^4 + 10*a^6 - 5*a^8 + a^10 - 1) - 2*a*((32*(2*a - 10*a^3 +
20*a^5 - 20*a^7 + 10*a^9 - 2*a^11 - 2*a*(a - 1)*(a + 1) + 2*a^3*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 6*a^5*(a - 1)^2*(a + 1)
^2 + 4*a^7*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 8*a^3*(a - 1)*(a + 1) - 12*a^5*(a - 1)*(a + 1) + 8*a^7*(a - 1)*(a + 1) - 2*a^
9*(a - 1)*(a + 1)))/(5*a^2 - 10*a^4 + 10*a^6 - 5*a^8 + a^10 - 1) + 2*a*((32*(a*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 4
*a^3*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 6*a^5*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 5*a^3*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 4*a
^7*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 10*a^5*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + a^9*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 5*a^7*
(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 4*a^5*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2)))/(5*a^2 - 10*a^4 + 10*a^6 - 5*a^8 + a^10 - 1)
- (32*((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))*(60*a^2 - 150*a^4 + 200*a^6 - 150*a^8 + 60*a^10 - 10*a^12 - 39*a^
4*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 78*a^6*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 16*a^6*(a - 1)^3*(a + 1)^3 - 39*a^8*(a - 1)^2*(a + 1)^2 +
33*a^2*(a - 1)*(a + 1) - 132*a^4*(a - 1)*(a + 1) + 198*a^6*(a - 1)*(a + 1) - 132*a^8*(a - 1)*(a + 1) + 33*a^1
0*(a - 1)*(a + 1) - 10))/(((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2))*(15*a^4 - 6*a^2 - 20*a^6 + 15*a^8 - 6*a^10 + a
^12 + 1))) + (32*((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))*(17*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 106*a^2*(a - 1)^(1/2)
*(a + 1)^(1/2) + 275*a^4*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 48*a^2*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 380*a^6*(a - 1)^(1
/2)*(a + 1)^(1/2) + 196*a^4*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 295*a^8*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 300*a^6*(a - 1
)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 122*a^10*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 47*a^4*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) + 204*a^8*(a
- 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 21*a^12*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 94*a^6*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) - 52*a^10
*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 47*a^8*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) - 16*a^6*(a - 1)^(7/2)*(a + 1)^(7/2)))/(((a
+ 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2))*(15*a^4 - 6*a^2 - 20*a^6 + 15*a^8 - 6*a^10 + a^12 + 1))) + (32*((a - 1)^(1/2
) - (a + b*x - 1)^(1/2))*(36*a^2 - 216*a^4 + 540*a^6 - 720*a^8 + 540*a^10 - 216*a^12 + 36*a^14 - 6*(a - 1)*(a
+ 1) + 15*a^2*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 64*a^4*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 9*a^4*(a - 1)^3*(a + 1)^3 + 262*a^6*(a - 1)^2
*(a + 1)^2 + 18*a^6*(a - 1)^3*(a + 1)^3 - 392*a^8*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 73*a^8*(a - 1)^3*(a + 1)^3 + 179*a^10*
(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 40*a^2*(a - 1)*(a + 1) - 242*a^4*(a - 1)*(a + 1) + 688*a^6*(a - 1)*(a + 1) - 922*a^8*(a
- 1)*(a + 1) + 584*a^10*(a - 1)*(a + 1) - 142*a^12*(a - 1)*(a + 1)))/(((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2))*(1
5*a^4 - 6*a^2 - 20*a^6 + 15*a^8 - 6*a^10 + a^12 + 1))) - (32*(2*a*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 2*a*(a - 1)*(a + 1) -
8*a^3*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 2*a^3*(a - 1)^3*(a + 1)^3 + 12*a^5*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 6*a^5*(a - 1)^3*(a + 1)^3
- 8*a^7*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 4*a^7*(a - 1)^3*(a + 1)^3 + 2*a^9*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 10*a^3*(a - 1)*(a + 1)
- 20*a^5*(a - 1)*(a + 1) + 20*a^7*(a - 1)*(a + 1) - 10*a^9*(a - 1)*(a + 1) + 2*a^11*(a - 1)*(a + 1)))/(5*a^2 -
10*a^4 + 10*a^6 - 5*a^8 + a^10 - 1) + (32*((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))*((a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2)
+ 64*a^2*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 384*a^4*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 10*a^2*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2
) + 960*a^6*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 157*a^4*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 1280*a^8*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)
^(1/2) + 708*a^6*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 960*a^10*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 4*a^4*(a - 1)^(5/2)*(a +
1)^(5/2) - 1097*a^8*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 384*a^12*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 180*a^6*(a - 1)^(5/2
)*(a + 1)^(5/2) + 742*a^10*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 64*a^14*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - a^4*(a - 1)^(7/
2)*(a + 1)^(7/2) - 372*a^8*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) - 187*a^12*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 2*a^6*(a - 1)^
(7/2)*(a + 1)^(7/2) + 188*a^10*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) - 65*a^8*(a - 1)^(7/2)*(a + 1)^(7/2)))/(((a + 1)^(1
/2) - (a + b*x + 1)^(1/2))*(15*a^4 - 6*a^2 - 20*a^6 + 15*a^8 - 6*a^10 + a^12 + 1))) - (64*(22*a^3*(a - 1)^(3/2
)*(a + 1)^(3/2) - 2*a*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 68*a^5*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 92*a^7*(a - 1)^(3/2)*
(a + 1)^(3/2) - 28*a^5*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) - 58*a^9*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 56*a^7*(a - 1)^(5/2)
*(a + 1)^(5/2) + 14*a^11*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 2*a^5*(a - 1)^(7/2)*(a + 1)^(7/2) - 28*a^9*(a - 1)^(5/2
)*(a + 1)^(5/2) + 14*a^7*(a - 1)^(7/2)*(a + 1)^(7/2)))/(5*a^2 - 10*a^4 + 10*a^6 - 5*a^8 + a^10 - 1) + 2*a*((32
*(2*a*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 2*a*(a - 1)*(a + 1) - 8*a^3*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 2*a^3*(a - 1)^3*(a + 1)^3 + 12*a
^5*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 6*a^5*(a - 1)^3*(a + 1)^3 - 8*a^7*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 4*a^7*(a - 1)^3*(a + 1)^3 + 2
*a^9*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 10*a^3*(a - 1)*(a + 1) - 20*a^5*(a - 1)*(a + 1) + 20*a^7*(a - 1)*(a + 1) - 10*a^9*(
a - 1)*(a + 1) + 2*a^11*(a - 1)*(a + 1)))/(5*a^2 - 10*a^4 + 10*a^6 - 5*a^8 + a^10 - 1) + 2*a*((32*(a*(a - 1)^(
3/2)*(a + 1)^(3/2) - 2*a*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 22*a^3*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 68*a^5*(a - 1)^(1/
2)*(a + 1)^(1/2) - 4*a^3*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 92*a^7*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 22*a^5*(a - 1)^(3/
2)*(a + 1)^(3/2) - 58*a^9*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 5*a^3*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) + 52*a^7*(a - 1)^(3/
2)*(a + 1)^(3/2) + 14*a^11*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 12*a^5*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) - 27*a^9*(a - 1)^(
3/2)*(a + 1)^(3/2) + 9*a^7*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) + 4*a^5*(a - 1)^(7/2)*(a + 1)^(7/2)))/(5*a^2 - 10*a^4 +
10*a^6 - 5*a^8 + a^10 - 1) + 2*a*((32*(2*a - 10*a^3 + 20*a^5 - 20*a^7 + 10*a^9 - 2*a^11 - 2*a*(a - 1)*(a + 1)
+ 2*a^3*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 6*a^5*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 4*a^7*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 8*a^3*(a - 1)*(a + 1) -
12*a^5*(a - 1)*(a + 1) + 8*a^7*(a - 1)*(a + 1) - 2*a^9*(a - 1)*(a + 1)))/(5*a^2 - 10*a^4 + 10*a^6 - 5*a^8 + a
^10 - 1) - 2*a*((32*(a*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 4*a^3*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 6*a^5*(a - 1)^(1/2)*(
a + 1)^(1/2) - 5*a^3*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 4*a^7*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 10*a^5*(a - 1)^(3/2)*(a
+ 1)^(3/2) + a^9*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 5*a^7*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 4*a^5*(a - 1)^(5/2)*(a + 1
)^(5/2)))/(5*a^2 - 10*a^4 + 10*a^6 - 5*a^8 + a^10 - 1) - (32*((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))*(60*a^2 - 1
50*a^4 + 200*a^6 - 150*a^8 + 60*a^10 - 10*a^12 - 39*a^4*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 78*a^6*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 16*
a^6*(a - 1)^3*(a + 1)^3 - 39*a^8*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 33*a^2*(a - 1)*(a + 1) - 132*a^4*(a - 1)*(a + 1) + 198*
a^6*(a - 1)*(a + 1) - 132*a^8*(a - 1)*(a + 1) + 33*a^10*(a - 1)*(a + 1) - 10))/(((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)
^(1/2))*(15*a^4 - 6*a^2 - 20*a^6 + 15*a^8 - 6*a^10 + a^12 + 1))) + (32*((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))*(
17*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 106*a^2*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 275*a^4*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 4
8*a^2*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 380*a^6*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 196*a^4*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2)
+ 295*a^8*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 300*a^6*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 122*a^10*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(
1/2) + 47*a^4*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) + 204*a^8*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 21*a^12*(a - 1)^(1/2)*(a + 1
)^(1/2) - 94*a^6*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) - 52*a^10*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 47*a^8*(a - 1)^(5/2)*(a +
1)^(5/2) - 16*a^6*(a - 1)^(7/2)*(a + 1)^(7/2)))/(((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2))*(15*a^4 - 6*a^2 - 20*a
^6 + 15*a^8 - 6*a^10 + a^12 + 1))) + (32*((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))*(36*a^2 - 216*a^4 + 540*a^6 - 7
20*a^8 + 540*a^10 - 216*a^12 + 36*a^14 - 6*(a - 1)*(a + 1) + 15*a^2*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 64*a^4*(a - 1)^2*(a
+ 1)^2 - 9*a^4*(a - 1)^3*(a + 1)^3 + 262*a^6*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 18*a^6*(a - 1)^3*(a + 1)^3 - 392*a^8*(a - 1
)^2*(a + 1)^2 - 73*a^8*(a - 1)^3*(a + 1)^3 + 179*a^10*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 40*a^2*(a - 1)*(a + 1) - 242*a^4*(
a - 1)*(a + 1) + 688*a^6*(a - 1)*(a + 1) - 922*a^8*(a - 1)*(a + 1) + 584*a^10*(a - 1)*(a + 1) - 142*a^12*(a -
1)*(a + 1)))/(((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2))*(15*a^4 - 6*a^2 - 20*a^6 + 15*a^8 - 6*a^10 + a^12 + 1))) -
(32*((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))*((a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 64*a^2*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) -
384*a^4*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - 10*a^2*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 960*a^6*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2
) - 157*a^4*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) - 1280*a^8*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 708*a^6*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)
^(3/2) + 960*a^10*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 4*a^4*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) - 1097*a^8*(a - 1)^(3/2)*(a
+ 1)^(3/2) - 384*a^12*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) + 180*a^6*(a - 1)^(5/2)*(a + 1)^(5/2) + 742*a^10*(a - 1)^(3/
2)*(a + 1)^(3/2) + 64*a^14*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - a^4*(a - 1)^(7/2)*(a + 1)^(7/2) - 372*a^8*(a - 1)^(5/
2)*(a + 1)^(5/2) - 187*a^12*(a - 1)^(3/2)*(a + 1)^(3/2) + 2*a^6*(a - 1)^(7/2)*(a + 1)^(7/2) + 188*a^10*(a - 1)
^(5/2)*(a + 1)^(5/2) - 65*a^8*(a - 1)^(7/2)*(a + 1)^(7/2)))/(((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2))*(15*a^4 - 6
*a^2 - 20*a^6 + 15*a^8 - 6*a^10 + a^12 + 1))) + (64*((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))*(4*a^4*(a - 1)^3*(a
+ 1)^3 - 40*a^4*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 4*a^2*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 200*a^6*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 20*a^6*(a - 1)
^3*(a + 1)^3 - 320*a^8*(a - 1)^2*(a + 1)^2 - 52*a^8*(a - 1)^3*(a + 1)^3 + 220*a^10*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 28*a^
10*(a - 1)^3*(a + 1)^3 - 56*a^12*(a - 1)^2*(a + 1)^2 + 28*a^2*(a - 1)*(a + 1) - 168*a^4*(a - 1)*(a + 1) + 420*
a^6*(a - 1)*(a + 1) - 560*a^8*(a - 1)*(a + 1) + 420*a^10*(a - 1)*(a + 1) - 168*a^12*(a - 1)*(a + 1) + 28*a^14*
(a - 1)*(a + 1)))/(((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2))*(15*a^4 - 6*a^2 - 20*a^6 + 15*a^8 - 6*a^10 + a^12 + 1
))))*4i + ((4*a*((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2)))/((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2)) + (4*a*((a - 1)^(
1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))^3)/((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2))^3 - (8*((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/
2))^2*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2))/((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2))^2)/(((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1
/2))^4/((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2))^4 - (2*((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))^2)/((a + 1)^(1/2) -
(a + b*x + 1)^(1/2))^2 + 1) + log(((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))^2/((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2)
)^2 - a^2 - (a^2*((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))^2)/((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2))^2 + (2*a*((a -
1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))*(a - 1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2))/((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2)) + 1)*(a -
1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2) - log(((a - 1)^(1/2) - (a + b*x - 1)^(1/2))/((a + 1)^(1/2) - (a + b*x + 1)^(1/2)))*(a -
1)^(1/2)*(a + 1)^(1/2)

________________________________________________________________________________________

sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \frac {a + b x + \sqrt {a + b x - 1} \sqrt {a + b x + 1}}{x}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a+(b*x+a-1)**(1/2)*(b*x+a+1)**(1/2))/x,x)

[Out]

Integral((a + b*x + sqrt(a + b*x - 1)*sqrt(a + b*x + 1))/x, x)

________________________________________________________________________________________