3.14 \(\int \frac{\sqrt{x+\sqrt{1+x}}}{1+x^2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=337 \[ \frac{1}{2} i \sqrt{i+\sqrt{1-i}} \tan ^{-1}\left (\frac{-\left (1-2 \sqrt{1-i}\right ) \sqrt{x+1}+\sqrt{1-i}+2}{2 \sqrt{i+\sqrt{1-i}} \sqrt{x+\sqrt{x+1}}}\right )-\frac{1}{2} i \sqrt{\sqrt{1+i}-i} \tan ^{-1}\left (\frac{-\left (1-2 \sqrt{1+i}\right ) \sqrt{x+1}+\sqrt{1+i}+2}{2 \sqrt{\sqrt{1+i}-i} \sqrt{x+\sqrt{x+1}}}\right )+\frac{1}{2} i \sqrt{\sqrt{1-i}-i} \tanh ^{-1}\left (\frac{-\left (1+2 \sqrt{1-i}\right ) \sqrt{x+1}-\sqrt{1-i}+2}{2 \sqrt{\sqrt{1-i}-i} \sqrt{x+\sqrt{x+1}}}\right )-\frac{1}{2} i \sqrt{i+\sqrt{1+i}} \tanh ^{-1}\left (\frac{-\left (1+2 \sqrt{1+i}\right ) \sqrt{x+1}-\sqrt{1+i}+2}{2 \sqrt{i+\sqrt{1+i}} \sqrt{x+\sqrt{x+1}}}\right ) \]

[Out]

(I/2)*Sqrt[I + Sqrt[1 - I]]*ArcTan[(2 + Sqrt[1 - I] - (1 - 2*Sqrt[1 - I])*Sqrt[1
+ x])/(2*Sqrt[I + Sqrt[1 - I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]])] - (I/2)*Sqrt[-I + Sqrt[1
+ I]]*ArcTan[(2 + Sqrt[1 + I] - (1 - 2*Sqrt[1 + I])*Sqrt[1 + x])/(2*Sqrt[-I + S
qrt[1 + I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]])] + (I/2)*Sqrt[-I + Sqrt[1 - I]]*ArcTanh[(2 -
Sqrt[1 - I] - (1 + 2*Sqrt[1 - I])*Sqrt[1 + x])/(2*Sqrt[-I + Sqrt[1 - I]]*Sqrt[x
+ Sqrt[1 + x]])] - (I/2)*Sqrt[I + Sqrt[1 + I]]*ArcTanh[(2 - Sqrt[1 + I] - (1 + 2
*Sqrt[1 + I])*Sqrt[1 + x])/(2*Sqrt[I + Sqrt[1 + I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]])]

_______________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 1.30312, antiderivative size = 337, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 22, number of rules used = 9, integrand size = 21, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.429 \[ \frac{1}{2} i \sqrt{i+\sqrt{1-i}} \tan ^{-1}\left (\frac{-\left (1-2 \sqrt{1-i}\right ) \sqrt{x+1}+\sqrt{1-i}+2}{2 \sqrt{i+\sqrt{1-i}} \sqrt{x+\sqrt{x+1}}}\right )-\frac{1}{2} i \sqrt{\sqrt{1+i}-i} \tan ^{-1}\left (\frac{-\left (1-2 \sqrt{1+i}\right ) \sqrt{x+1}+\sqrt{1+i}+2}{2 \sqrt{\sqrt{1+i}-i} \sqrt{x+\sqrt{x+1}}}\right )+\frac{1}{2} i \sqrt{\sqrt{1-i}-i} \tanh ^{-1}\left (\frac{-\left (1+2 \sqrt{1-i}\right ) \sqrt{x+1}-\sqrt{1-i}+2}{2 \sqrt{\sqrt{1-i}-i} \sqrt{x+\sqrt{x+1}}}\right )-\frac{1}{2} i \sqrt{i+\sqrt{1+i}} \tanh ^{-1}\left (\frac{-\left (1+2 \sqrt{1+i}\right ) \sqrt{x+1}-\sqrt{1+i}+2}{2 \sqrt{i+\sqrt{1+i}} \sqrt{x+\sqrt{x+1}}}\right ) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Int[Sqrt[x + Sqrt[1 + x]]/(1 + x^2),x]

[Out]

(I/2)*Sqrt[I + Sqrt[1 - I]]*ArcTan[(2 + Sqrt[1 - I] - (1 - 2*Sqrt[1 - I])*Sqrt[1
+ x])/(2*Sqrt[I + Sqrt[1 - I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]])] - (I/2)*Sqrt[-I + Sqrt[1
+ I]]*ArcTan[(2 + Sqrt[1 + I] - (1 - 2*Sqrt[1 + I])*Sqrt[1 + x])/(2*Sqrt[-I + S
qrt[1 + I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]])] + (I/2)*Sqrt[-I + Sqrt[1 - I]]*ArcTanh[(2 -
Sqrt[1 - I] - (1 + 2*Sqrt[1 - I])*Sqrt[1 + x])/(2*Sqrt[-I + Sqrt[1 - I]]*Sqrt[x
+ Sqrt[1 + x]])] - (I/2)*Sqrt[I + Sqrt[1 + I]]*ArcTanh[(2 - Sqrt[1 + I] - (1 + 2
*Sqrt[1 + I])*Sqrt[1 + x])/(2*Sqrt[I + Sqrt[1 + I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]])]

_______________________________________________________________________________________

Rubi in Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \text{Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  rubi_integrate((x+(1+x)**(1/2))**(1/2)/(x**2+1),x)

[Out]

Timed out

_______________________________________________________________________________________

Mathematica [B]  time = 6.41575, size = 2581, normalized size = 7.66 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]  Integrate[Sqrt[x + Sqrt[1 + x]]/(1 + x^2),x]

[Out]

(((1 + I) + Sqrt[1 - I])*ArcTan[((2 - 3*I) + (3 - I)*Sqrt[1 - I] - 8*Sqrt[1 + x]
- 5*Sqrt[1 - I]*Sqrt[1 + x] + (2 + 5*I)*(1 + x) + (5*I)*Sqrt[1 - I]*(1 + x) + 4
*Sqrt[I - Sqrt[1 - I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] + 2*Sqrt[1 - I]*Sqrt[I - Sqrt[1 - I
]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] - (6 + 2*I)*Sqrt[I - Sqrt[1 - I]]*Sqrt[1 + x]*Sqrt[x +
Sqrt[1 + x]] - (8*Sqrt[I - Sqrt[1 - I]]*Sqrt[1 + x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]])/Sqrt[
1 - I])/((-4 + 7*I) - (6 - 2*I)*Sqrt[1 - I] + (4 - 2*I)*Sqrt[1 + x] + (6 - 2*I)*
Sqrt[1 - I]*Sqrt[1 + x] + (10 + I)*(1 + x) + (8 + 4*I)*Sqrt[1 - I]*(1 + x))])/(2
*Sqrt[1 - I]*Sqrt[I - Sqrt[1 - I]]) + (((-1 - I) + Sqrt[1 - I])*ArcTan[((-2 + 3*
I) + (3 - I)*Sqrt[1 - I] + 8*Sqrt[1 + x] - 5*Sqrt[1 - I]*Sqrt[1 + x] - (2 + 5*I)
*(1 + x) + (5*I)*Sqrt[1 - I]*(1 + x) - 4*Sqrt[I + Sqrt[1 - I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 +
x]] + 2*Sqrt[1 - I]*Sqrt[I + Sqrt[1 - I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] + (6 + 2*I)*Sqr
t[I + Sqrt[1 - I]]*Sqrt[1 + x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] - (8*Sqrt[I + Sqrt[1 - I]]*
Sqrt[1 + x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]])/Sqrt[1 - I])/((4 - 7*I) - (6 - 2*I)*Sqrt[1 -
I] - (4 - 2*I)*Sqrt[1 + x] + (6 - 2*I)*Sqrt[1 - I]*Sqrt[1 + x] - (10 + I)*(1 + x
) + (8 + 4*I)*Sqrt[1 - I]*(1 + x))])/(2*Sqrt[1 - I]*Sqrt[I + Sqrt[1 - I]]) - ((I
/2)*((-1 + I) + Sqrt[1 + I])*ArcTan[((1 + 8*I) - 5*(1 + I)^(3/2) - (16 + 8*I)*Sq
rt[1 + x] + (10 + 5*I)*Sqrt[1 + I]*Sqrt[1 + x] + (9 - 8*I)*(1 + x) - (5 - 10*I)*
Sqrt[1 + I]*(1 + x) - 4*Sqrt[I - Sqrt[1 + I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] + (4 - 2*I)*
Sqrt[1 + I]*Sqrt[I - Sqrt[1 + I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] - 8*Sqrt[I - Sqrt[1 + I]
]*Sqrt[1 + x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] + (8 - 4*I)*Sqrt[1 + I]*Sqrt[I - Sqrt[1 + I]
]*Sqrt[1 + x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]])/((9 + 20*I) - 12*(1 + I)^(3/2) - (14 + 20*I
)*Sqrt[1 + x] + (22 + 12*I)*Sqrt[1 + I]*Sqrt[1 + x] + (6 - 15*I)*(1 + x) + (2 +
12*I)*Sqrt[1 + I]*(1 + x))])/(Sqrt[1 + I]*Sqrt[I - Sqrt[1 + I]]) - ((I/2)*((1 -
I) + Sqrt[1 + I])*ArcTan[((-1 - 8*I) - 5*(1 + I)^(3/2) + (16 + 8*I)*Sqrt[1 + x]
+ (10 + 5*I)*Sqrt[1 + I]*Sqrt[1 + x] - (9 - 8*I)*(1 + x) - (5 - 10*I)*Sqrt[1 + I
]*(1 + x) + 4*Sqrt[I + Sqrt[1 + I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] + (4 - 2*I)*Sqrt[1 + I
]*Sqrt[I + Sqrt[1 + I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] + 8*Sqrt[I + Sqrt[1 + I]]*Sqrt[1 +
x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] + (8 - 4*I)*Sqrt[1 + I]*Sqrt[I + Sqrt[1 + I]]*Sqrt[1 +
x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]])/((-9 - 20*I) - 12*(1 + I)^(3/2) + (14 + 20*I)*Sqrt[1
+ x] + (22 + 12*I)*Sqrt[1 + I]*Sqrt[1 + x] - (6 - 15*I)*(1 + x) + (2 + 12*I)*Sqr
t[1 + I]*(1 + x))])/(Sqrt[1 + I]*Sqrt[I + Sqrt[1 + I]]) + ((I/4)*((1 + I) + Sqrt
[1 - I])*Log[(Sqrt[1 - I] - Sqrt[1 + x])^2])/(Sqrt[1 - I]*Sqrt[I - Sqrt[1 - I]])
+ (((1 - I) + Sqrt[1 + I])*Log[(Sqrt[1 + I] - Sqrt[1 + x])^2])/(4*Sqrt[1 + I]*S
qrt[I + Sqrt[1 + I]]) + ((I/4)*((-1 - I) + Sqrt[1 - I])*Log[(Sqrt[1 - I] + Sqrt[
1 + x])^2])/(Sqrt[1 - I]*Sqrt[I + Sqrt[1 - I]]) + (((-1 + I) + Sqrt[1 + I])*Log[
(Sqrt[1 + I] + Sqrt[1 + x])^2])/(4*Sqrt[1 + I]*Sqrt[I - Sqrt[1 + I]]) - ((I/4)*(
(1 + I) + Sqrt[1 - I])*Log[(5 + 17*I) + (14*I)*Sqrt[1 - I] - (10 + 22*I)*Sqrt[1
+ x] + (5 - 19*I)*Sqrt[1 - I]*Sqrt[1 + x] - (25 + 2*I)*(1 + x) - (15 + 9*I)*Sqrt
[1 - I]*(1 + x) - (4 - 4*I)*Sqrt[I - Sqrt[1 - I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] - (6 - 2
*I)*Sqrt[1 - I]*Sqrt[I - Sqrt[1 - I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] - (8 - 8*I)*Sqrt[I -
Sqrt[1 - I]]*Sqrt[1 + x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] - (12 - 4*I)*Sqrt[1 - I]*Sqrt[I
- Sqrt[1 - I]]*Sqrt[1 + x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]]])/(Sqrt[1 - I]*Sqrt[I - Sqrt[1
- I]]) - ((I/4)*((-1 - I) + Sqrt[1 - I])*Log[(-5 - 17*I) + (14*I)*Sqrt[1 - I] +
(10 + 22*I)*Sqrt[1 + x] + (5 - 19*I)*Sqrt[1 - I]*Sqrt[1 + x] + (25 + 2*I)*(1 + x
) - (15 + 9*I)*Sqrt[1 - I]*(1 + x) + (4 - 4*I)*Sqrt[I + Sqrt[1 - I]]*Sqrt[x + Sq
rt[1 + x]] - (6 - 2*I)*Sqrt[1 - I]*Sqrt[I + Sqrt[1 - I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] +
(8 - 8*I)*Sqrt[I + Sqrt[1 - I]]*Sqrt[1 + x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] - (12 - 4*I)*
Sqrt[1 - I]*Sqrt[I + Sqrt[1 - I]]*Sqrt[1 + x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]]])/(Sqrt[1 -
I]*Sqrt[I + Sqrt[1 - I]]) - (((-1 + I) + Sqrt[1 + I])*Log[(-3 + 5*I) - (2 + 4*I)
*Sqrt[1 + I] + (2 - 2*I)*Sqrt[1 + x] - (1 - 3*I)*Sqrt[1 + I]*Sqrt[1 + x] - (8 +
7*I)*(1 + x) + (9 + 3*I)*Sqrt[1 + I]*(1 + x) + (4 + 4*I)*Sqrt[I - Sqrt[1 + I]]*S
qrt[x + Sqrt[1 + x]] - 2*(1 + I)^(3/2)*Sqrt[I - Sqrt[1 + I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x
]] - (8 + 4*I)*Sqrt[I - Sqrt[1 + I]]*Sqrt[1 + x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] + 8*Sqrt[
1 + I]*Sqrt[I - Sqrt[1 + I]]*Sqrt[1 + x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]]])/(4*Sqrt[1 + I]*
Sqrt[I - Sqrt[1 + I]]) - (((1 - I) + Sqrt[1 + I])*Log[(3 - 5*I) - (2 + 4*I)*Sqrt
[1 + I] - (2 - 2*I)*Sqrt[1 + x] - (1 - 3*I)*Sqrt[1 + I]*Sqrt[1 + x] + (8 + 7*I)*
(1 + x) + (9 + 3*I)*Sqrt[1 + I]*(1 + x) - (4 + 4*I)*Sqrt[I + Sqrt[1 + I]]*Sqrt[x
+ Sqrt[1 + x]] - 2*(1 + I)^(3/2)*Sqrt[I + Sqrt[1 + I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] +
(8 + 4*I)*Sqrt[I + Sqrt[1 + I]]*Sqrt[1 + x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] + 8*Sqrt[1 + I
]*Sqrt[I + Sqrt[1 + I]]*Sqrt[1 + x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]]])/(4*Sqrt[1 + I]*Sqrt[
I + Sqrt[1 + I]])

_______________________________________________________________________________________

Maple [C]  time = 0.02, size = 105, normalized size = 0.3 \[{\frac{1}{2}\sum _{{\it \_R}={\it RootOf} \left ({{\it \_Z}}^{8}-4\,{{\it \_Z}}^{6}+8\,{{\it \_Z}}^{5}+20\,{{\it \_Z}}^{4}-48\,{{\it \_Z}}^{3}+40\,{{\it \_Z}}^{2}-8\,{\it \_Z}+1 \right ) }{\frac{{{\it \_R}}^{6}-2\,{{\it \_R}}^{5}+2\,{\it \_R}+1}{{{\it \_R}}^{7}-3\,{{\it \_R}}^{5}+5\,{{\it \_R}}^{4}+10\,{{\it \_R}}^{3}-18\,{{\it \_R}}^{2}+10\,{\it \_R}-1}\ln \left ( \sqrt{x+\sqrt{1+x}}-\sqrt{1+x}-{\it \_R} \right ) }} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  int((x+(1+x)^(1/2))^(1/2)/(x^2+1),x)

[Out]

1/2*sum((_R^6-2*_R^5+2*_R+1)/(_R^7-3*_R^5+5*_R^4+10*_R^3-18*_R^2+10*_R-1)*ln((x+
(1+x)^(1/2))^(1/2)-(1+x)^(1/2)-_R),_R=RootOf(_Z^8-4*_Z^6+8*_Z^5+20*_Z^4-48*_Z^3+
40*_Z^2-8*_Z+1))

_______________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \int \frac{\sqrt{x + \sqrt{x + 1}}}{x^{2} + 1}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate(sqrt(x + sqrt(x + 1))/(x^2 + 1),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sqrt(x + sqrt(x + 1))/(x^2 + 1), x)

_______________________________________________________________________________________

Fricas [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \text{Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate(sqrt(x + sqrt(x + 1))/(x^2 + 1),x, algorithm="fricas")

[Out]

Timed out

_______________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \int \frac{\sqrt{x + \sqrt{x + 1}}}{x^{2} + 1}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((x+(1+x)**(1/2))**(1/2)/(x**2+1),x)

[Out]

Integral(sqrt(x + sqrt(x + 1))/(x**2 + 1), x)

_______________________________________________________________________________________

GIAC/XCAS [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \int \frac{\sqrt{x + \sqrt{x + 1}}}{x^{2} + 1}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate(sqrt(x + sqrt(x + 1))/(x^2 + 1),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(sqrt(x + sqrt(x + 1))/(x^2 + 1), x)