3.13 \(\int \frac{\sqrt{x+\sqrt{1+x}}}{\sqrt{1+x} \left (1+x^2\right )} \, dx\)

Optimal. Leaf size=365 \[ -\frac{i \tan ^{-1}\left (\frac{-\left (1-2 \sqrt{1-i}\right ) \sqrt{x+1}+\sqrt{1-i}+2}{2 \sqrt{i+\sqrt{1-i}} \sqrt{x+\sqrt{x+1}}}\right )}{2 \sqrt{\frac{1-i}{i+\sqrt{1-i}}}}+\frac{i \tan ^{-1}\left (\frac{-\left (1-2 \sqrt{1+i}\right ) \sqrt{x+1}+\sqrt{1+i}+2}{2 \sqrt{\sqrt{1+i}-i} \sqrt{x+\sqrt{x+1}}}\right )}{2 \sqrt{-\frac{1+i}{i-\sqrt{1+i}}}}+\frac{i \tanh ^{-1}\left (\frac{-\left (1+2 \sqrt{1-i}\right ) \sqrt{x+1}-\sqrt{1-i}+2}{2 \sqrt{\sqrt{1-i}-i} \sqrt{x+\sqrt{x+1}}}\right )}{2 \sqrt{-\frac{1-i}{i-\sqrt{1-i}}}}-\frac{i \tanh ^{-1}\left (\frac{-\left (1+2 \sqrt{1+i}\right ) \sqrt{x+1}-\sqrt{1+i}+2}{2 \sqrt{i+\sqrt{1+i}} \sqrt{x+\sqrt{x+1}}}\right )}{2 \sqrt{\frac{1+i}{i+\sqrt{1+i}}}} \]

[Out]

((-I/2)*ArcTan[(2 + Sqrt[1 - I] - (1 - 2*Sqrt[1 - I])*Sqrt[1 + x])/(2*Sqrt[I + S
qrt[1 - I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]])])/Sqrt[(1 - I)/(I + Sqrt[1 - I])] + ((I/2)*Ar
cTan[(2 + Sqrt[1 + I] - (1 - 2*Sqrt[1 + I])*Sqrt[1 + x])/(2*Sqrt[-I + Sqrt[1 + I
]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]])])/Sqrt[(-1 - I)/(I - Sqrt[1 + I])] + ((I/2)*ArcTanh[(2
- Sqrt[1 - I] - (1 + 2*Sqrt[1 - I])*Sqrt[1 + x])/(2*Sqrt[-I + Sqrt[1 - I]]*Sqrt
[x + Sqrt[1 + x]])])/Sqrt[(-1 + I)/(I - Sqrt[1 - I])] - ((I/2)*ArcTanh[(2 - Sqrt
[1 + I] - (1 + 2*Sqrt[1 + I])*Sqrt[1 + x])/(2*Sqrt[I + Sqrt[1 + I]]*Sqrt[x + Sqr
t[1 + x]])])/Sqrt[(1 + I)/(I + Sqrt[1 + I])]

_______________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 1.78518, antiderivative size = 365, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 20, number of rules used = 8, integrand size = 28, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.286 \[ -\frac{i \tan ^{-1}\left (\frac{-\left (1-2 \sqrt{1-i}\right ) \sqrt{x+1}+\sqrt{1-i}+2}{2 \sqrt{i+\sqrt{1-i}} \sqrt{x+\sqrt{x+1}}}\right )}{2 \sqrt{\frac{1-i}{i+\sqrt{1-i}}}}+\frac{i \tan ^{-1}\left (\frac{-\left (1-2 \sqrt{1+i}\right ) \sqrt{x+1}+\sqrt{1+i}+2}{2 \sqrt{\sqrt{1+i}-i} \sqrt{x+\sqrt{x+1}}}\right )}{2 \sqrt{-\frac{1+i}{i-\sqrt{1+i}}}}+\frac{i \tanh ^{-1}\left (\frac{-\left (1+2 \sqrt{1-i}\right ) \sqrt{x+1}-\sqrt{1-i}+2}{2 \sqrt{\sqrt{1-i}-i} \sqrt{x+\sqrt{x+1}}}\right )}{2 \sqrt{-\frac{1-i}{i-\sqrt{1-i}}}}-\frac{i \tanh ^{-1}\left (\frac{-\left (1+2 \sqrt{1+i}\right ) \sqrt{x+1}-\sqrt{1+i}+2}{2 \sqrt{i+\sqrt{1+i}} \sqrt{x+\sqrt{x+1}}}\right )}{2 \sqrt{\frac{1+i}{i+\sqrt{1+i}}}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Int[Sqrt[x + Sqrt[1 + x]]/(Sqrt[1 + x]*(1 + x^2)),x]

[Out]

((-I/2)*ArcTan[(2 + Sqrt[1 - I] - (1 - 2*Sqrt[1 - I])*Sqrt[1 + x])/(2*Sqrt[I + S
qrt[1 - I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]])])/Sqrt[(1 - I)/(I + Sqrt[1 - I])] + ((I/2)*Ar
cTan[(2 + Sqrt[1 + I] - (1 - 2*Sqrt[1 + I])*Sqrt[1 + x])/(2*Sqrt[-I + Sqrt[1 + I
]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]])])/Sqrt[(-1 - I)/(I - Sqrt[1 + I])] + ((I/2)*ArcTanh[(2
- Sqrt[1 - I] - (1 + 2*Sqrt[1 - I])*Sqrt[1 + x])/(2*Sqrt[-I + Sqrt[1 - I]]*Sqrt
[x + Sqrt[1 + x]])])/Sqrt[(-1 + I)/(I - Sqrt[1 - I])] - ((I/2)*ArcTanh[(2 - Sqrt
[1 + I] - (1 + 2*Sqrt[1 + I])*Sqrt[1 + x])/(2*Sqrt[I + Sqrt[1 + I]]*Sqrt[x + Sqr
t[1 + x]])])/Sqrt[(1 + I)/(I + Sqrt[1 + I])]

_______________________________________________________________________________________

Rubi in Sympy [A]  time = 168.401, size = 700, normalized size = 1.92 \[ - \frac{\sqrt{- 2 i + \sqrt{2} \left (\sqrt{1 + \sqrt{2}} + \sqrt{- \sqrt{2} + 1}\right )} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{2} \left (\sqrt{x + 1} \left (-1 + \sqrt{2 + 2 \sqrt{2}} + \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2}\right ) + \frac{\sqrt{2 + 2 \sqrt{2}}}{2} + 2 + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2}}{2}\right )}{2 \sqrt{- 2 i + \sqrt{2} \left (\sqrt{1 + \sqrt{2}} + \sqrt{- \sqrt{2} + 1}\right )} \sqrt{x + \sqrt{x + 1}}} \right )}}{2 \left (- \sqrt{-1 + \sqrt{2}} + i \sqrt{1 + \sqrt{2}}\right )} - \frac{\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{2}} - \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 1} + 2 i} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{2} \left (\sqrt{x + 1} \left (- \sqrt{2 + 2 \sqrt{2}} + 1 + \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2}\right ) - 2 - \frac{\sqrt{2 + 2 \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2}}{2}\right )}{2 \sqrt{x + \sqrt{x + 1}} \sqrt{\sqrt{2} \left (\sqrt{1 + \sqrt{2}} - \sqrt{- \sqrt{2} + 1}\right ) + 2 i}} \right )}}{2 \left (\sqrt{-1 + \sqrt{2}} + i \sqrt{1 + \sqrt{2}}\right )} + \frac{\sqrt{- 2 i - \sqrt{2} \left (- \sqrt{1 + \sqrt{2}} + \sqrt{- \sqrt{2} + 1}\right )} \operatorname{atanh}{\left (\frac{\sqrt{2} \left (\sqrt{x + 1} \left (1 + \sqrt{2 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2}\right ) - 2 + \frac{\sqrt{2 + 2 \sqrt{2}}}{2} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2}}{2}\right )}{2 \sqrt{- 2 i - \sqrt{2} \left (- \sqrt{1 + \sqrt{2}} + \sqrt{- \sqrt{2} + 1}\right )} \sqrt{x + \sqrt{x + 1}}} \right )}}{2 \sqrt{-1 + \sqrt{2}} + 2 i \sqrt{1 + \sqrt{2}}} + \frac{\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{2}} + \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 1} + 2 i} \operatorname{atanh}{\left (\frac{\sqrt{2} \left (\sqrt{x + 1} \left (- \sqrt{2 + 2 \sqrt{2}} - 1 - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2}\right ) - \frac{\sqrt{2 + 2 \sqrt{2}}}{2} + 2 - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2}}{2}\right )}{2 \sqrt{x + \sqrt{x + 1}} \sqrt{\sqrt{2} \left (\sqrt{1 + \sqrt{2}} + \sqrt{- \sqrt{2} + 1}\right ) + 2 i}} \right )}}{2 \left (- \sqrt{-1 + \sqrt{2}} + i \sqrt{1 + \sqrt{2}}\right )} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  rubi_integrate((x+(1+x)**(1/2))**(1/2)/(x**2+1)/(1+x)**(1/2),x)

[Out]

-sqrt(-2*I + sqrt(2)*(sqrt(1 + sqrt(2)) + sqrt(-sqrt(2) + 1)))*atan(sqrt(2)*(sqr
t(x + 1)*(-1 + sqrt(2 + 2*sqrt(2)) + sqrt(-2*sqrt(2) + 2)) + sqrt(2 + 2*sqrt(2))
/2 + 2 + sqrt(-2*sqrt(2) + 2)/2)/(2*sqrt(-2*I + sqrt(2)*(sqrt(1 + sqrt(2)) + sqr
t(-sqrt(2) + 1)))*sqrt(x + sqrt(x + 1))))/(2*(-sqrt(-1 + sqrt(2)) + I*sqrt(1 + s
qrt(2)))) - sqrt(sqrt(2)*sqrt(1 + sqrt(2)) - sqrt(2)*sqrt(-sqrt(2) + 1) + 2*I)*a
tan(sqrt(2)*(sqrt(x + 1)*(-sqrt(2 + 2*sqrt(2)) + 1 + sqrt(-2*sqrt(2) + 2)) - 2 -
sqrt(2 + 2*sqrt(2))/2 + sqrt(-2*sqrt(2) + 2)/2)/(2*sqrt(x + sqrt(x + 1))*sqrt(s
qrt(2)*(sqrt(1 + sqrt(2)) - sqrt(-sqrt(2) + 1)) + 2*I)))/(2*(sqrt(-1 + sqrt(2))
+ I*sqrt(1 + sqrt(2)))) + sqrt(-2*I - sqrt(2)*(-sqrt(1 + sqrt(2)) + sqrt(-sqrt(2
) + 1)))*atanh(sqrt(2)*(sqrt(x + 1)*(1 + sqrt(2 + 2*sqrt(2)) - sqrt(-2*sqrt(2) +
2)) - 2 + sqrt(2 + 2*sqrt(2))/2 - sqrt(-2*sqrt(2) + 2)/2)/(2*sqrt(-2*I - sqrt(2
)*(-sqrt(1 + sqrt(2)) + sqrt(-sqrt(2) + 1)))*sqrt(x + sqrt(x + 1))))/(2*sqrt(-1
+ sqrt(2)) + 2*I*sqrt(1 + sqrt(2))) + sqrt(sqrt(2)*sqrt(1 + sqrt(2)) + sqrt(2)*s
qrt(-sqrt(2) + 1) + 2*I)*atanh(sqrt(2)*(sqrt(x + 1)*(-sqrt(2 + 2*sqrt(2)) - 1 -
sqrt(-2*sqrt(2) + 2)) - sqrt(2 + 2*sqrt(2))/2 + 2 - sqrt(-2*sqrt(2) + 2)/2)/(2*s
qrt(x + sqrt(x + 1))*sqrt(sqrt(2)*(sqrt(1 + sqrt(2)) + sqrt(-sqrt(2) + 1)) + 2*I
)))/(2*(-sqrt(-1 + sqrt(2)) + I*sqrt(1 + sqrt(2))))

_______________________________________________________________________________________

Mathematica [B]  time = 6.37989, size = 2177, normalized size = 5.96 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]  Integrate[Sqrt[x + Sqrt[1 + x]]/(Sqrt[1 + x]*(1 + x^2)),x]

[Out]

((I/2)*(-I + Sqrt[1 - I])*ArcTan[((-1 - 2*I) + (2 - 4*I)*Sqrt[1 - I] - (6 - 6*I)
*Sqrt[1 + x] - (1 - 2*I)*Sqrt[1 - I]*Sqrt[1 + x] + (4*I)*(1 + x) + (1 + 3*I)*Sqr
t[1 - I]*(1 + x) + (4 - 4*I)*Sqrt[I - Sqrt[1 - I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] - 2*Sqr
t[1 - I]*Sqrt[I - Sqrt[1 - I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] - (2 - 2*I)*Sqrt[I - Sqrt[1
- I]]*Sqrt[1 + x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] - 4*Sqrt[1 - I]*Sqrt[I - Sqrt[1 - I]]*S
qrt[1 + x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]])/(1 - (4 - 2*I)*Sqrt[1 - I] - (2 - 2*I)*Sqrt[1
+ x] + (4*Sqrt[1 + x])/Sqrt[1 - I] + (6 - 4*I)*(1 + x) + 8*Sqrt[1 - I]*(1 + x))]
)/(Sqrt[1 - I]*Sqrt[I - Sqrt[1 - I]]) + ((I/2)*Sqrt[I + Sqrt[1 - I]]*ArcTan[((1
+ 2*I) + (2 - 4*I)*Sqrt[1 - I] + (6 - 6*I)*Sqrt[1 + x] - (1 - 2*I)*Sqrt[1 - I]*S
qrt[1 + x] - (4*I)*(1 + x) + (1 + 3*I)*Sqrt[1 - I]*(1 + x) - (4 - 4*I)*Sqrt[I +
Sqrt[1 - I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] - 2*Sqrt[1 - I]*Sqrt[I + Sqrt[1 - I]]*Sqrt[x
+ Sqrt[1 + x]] + (2 - 2*I)*Sqrt[I + Sqrt[1 - I]]*Sqrt[1 + x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x
]] - 4*Sqrt[1 - I]*Sqrt[I + Sqrt[1 - I]]*Sqrt[1 + x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]])/(-1
- (4 - 2*I)*Sqrt[1 - I] + (2 - 2*I)*Sqrt[1 + x] + (4*Sqrt[1 + x])/Sqrt[1 - I] -
(6 - 4*I)*(1 + x) + 8*Sqrt[1 - I]*(1 + x))])/Sqrt[1 - I] - ((-I + Sqrt[1 + I])*A
rcTan[((-2 - I) + (4 - 2*I)*Sqrt[1 + I] + (6 - 6*I)*Sqrt[1 + x] - (2 - I)*Sqrt[1
+ I]*Sqrt[1 + x] + 4*(1 + x) - (3 + I)*Sqrt[1 + I]*(1 + x) + (2*I)*Sqrt[1 + I]*
Sqrt[I - Sqrt[1 + I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] + (4*I)*Sqrt[1 + I]*Sqrt[I - Sqrt[1
+ I]]*Sqrt[1 + x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]])/((-4 + 5*I) + 2*Sqrt[1 + I] + (2 + 6*I)
*Sqrt[1 + x] + (2 + 8*I)*Sqrt[1 + I]*Sqrt[1 + x] + (3 + 3*I)*(1 + x) + (4*I)*Sqr
t[1 + I]*(1 + x))])/(2*Sqrt[1 + I]*Sqrt[I - Sqrt[1 + I]]) - (Sqrt[I + Sqrt[1 + I
]]*ArcTan[((2 + I) + (4 - 2*I)*Sqrt[1 + I] - (6 - 6*I)*Sqrt[1 + x] - (2 - I)*Sqr
t[1 + I]*Sqrt[1 + x] - 4*(1 + x) - (3 + I)*Sqrt[1 + I]*(1 + x) + (2*I)*Sqrt[1 +
I]*Sqrt[I + Sqrt[1 + I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] + (4*I)*Sqrt[1 + I]*Sqrt[I + Sqrt
[1 + I]]*Sqrt[1 + x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]])/((4 - 5*I) + 2*Sqrt[1 + I] - (2 + 6*
I)*Sqrt[1 + x] + (2 + 8*I)*Sqrt[1 + I]*Sqrt[1 + x] - (3 + 3*I)*(1 + x) + (4*I)*S
qrt[1 + I]*(1 + x))])/(2*Sqrt[1 + I]) - ((-I + Sqrt[1 - I])*Log[(Sqrt[1 - I] - S
qrt[1 + x])^2])/(4*Sqrt[1 - I]*Sqrt[I - Sqrt[1 - I]]) - ((I/4)*Sqrt[I + Sqrt[1 +
I]]*Log[(Sqrt[1 + I] - Sqrt[1 + x])^2])/Sqrt[1 + I] - (Sqrt[I + Sqrt[1 - I]]*Lo
g[(Sqrt[1 - I] + Sqrt[1 + x])^2])/(4*Sqrt[1 - I]) - ((I/4)*(-I + Sqrt[1 + I])*Lo
g[(Sqrt[1 + I] + Sqrt[1 + x])^2])/(Sqrt[1 + I]*Sqrt[I - Sqrt[1 + I]]) + ((-I + S
qrt[1 - I])*Log[(3 + 5*I) + 4/Sqrt[1 - I] - 8*Sqrt[1 + x] + (3 - 7*I)*Sqrt[1 - I
]*Sqrt[1 + x] - (8 - 5*I)*(1 + x) - (4*(1 + x))/Sqrt[1 - I] - 2*(1 - I)^(3/2)*Sq
rt[I - Sqrt[1 - I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] - 4*(1 - I)^(3/2)*Sqrt[I - Sqrt[1 - I]
]*Sqrt[1 + x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]]])/(4*Sqrt[1 - I]*Sqrt[I - Sqrt[1 - I]]) + (S
qrt[I + Sqrt[1 - I]]*Log[(-3 - 5*I) + 4/Sqrt[1 - I] + 8*Sqrt[1 + x] + (3 - 7*I)*
Sqrt[1 - I]*Sqrt[1 + x] + (8 - 5*I)*(1 + x) - (4*(1 + x))/Sqrt[1 - I] - 2*(1 - I
)^(3/2)*Sqrt[I + Sqrt[1 - I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] - 4*(1 - I)^(3/2)*Sqrt[I + S
qrt[1 - I]]*Sqrt[1 + x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]]])/(4*Sqrt[1 - I]) + ((I/4)*(-I + S
qrt[1 + I])*Log[(-5 + 5*I) - (6 - 2*I)*Sqrt[1 + I] + (1 + 3*I)*Sqrt[1 + I]*Sqrt[
1 + x] - 5*(1 + x) + (6 - 2*I)*Sqrt[1 + I]*(1 + x) + 8*Sqrt[I - Sqrt[1 + I]]*Sqr
t[x + Sqrt[1 + x]] + (4*Sqrt[I - Sqrt[1 + I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]])/Sqrt[1 + I]
- 4*Sqrt[I - Sqrt[1 + I]]*Sqrt[1 + x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] + (8*Sqrt[I - Sqrt[
1 + I]]*Sqrt[1 + x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]])/Sqrt[1 + I]])/(Sqrt[1 + I]*Sqrt[I - S
qrt[1 + I]]) + ((I/4)*Sqrt[I + Sqrt[1 + I]]*Log[(5 - 5*I) - (6 - 2*I)*Sqrt[1 + I
] + (1 + 3*I)*Sqrt[1 + I]*Sqrt[1 + x] + 5*(1 + x) + (6 - 2*I)*Sqrt[1 + I]*(1 + x
) - 8*Sqrt[I + Sqrt[1 + I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] + (4*Sqrt[I + Sqrt[1 + I]]*Sqr
t[x + Sqrt[1 + x]])/Sqrt[1 + I] + 4*Sqrt[I + Sqrt[1 + I]]*Sqrt[1 + x]*Sqrt[x + S
qrt[1 + x]] + (8*Sqrt[I + Sqrt[1 + I]]*Sqrt[1 + x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]])/Sqrt[1
+ I]])/Sqrt[1 + I]

_______________________________________________________________________________________

Maple [C]  time = 0.04, size = 109, normalized size = 0.3 \[ -{\frac{1}{2}\sum _{{\it \_R}={\it RootOf} \left ({{\it \_Z}}^{8}-4\,{{\it \_Z}}^{6}+8\,{{\it \_Z}}^{5}+20\,{{\it \_Z}}^{4}-48\,{{\it \_Z}}^{3}+40\,{{\it \_Z}}^{2}-8\,{\it \_Z}+1 \right ) }{\frac{2\,{{\it \_R}}^{5}-5\,{{\it \_R}}^{4}+5\,{{\it \_R}}^{2}-1}{{{\it \_R}}^{7}-3\,{{\it \_R}}^{5}+5\,{{\it \_R}}^{4}+10\,{{\it \_R}}^{3}-18\,{{\it \_R}}^{2}+10\,{\it \_R}-1}\ln \left ( \sqrt{x+\sqrt{1+x}}-\sqrt{1+x}-{\it \_R} \right ) }} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  int((x+(1+x)^(1/2))^(1/2)/(x^2+1)/(1+x)^(1/2),x)

[Out]

-1/2*sum((2*_R^5-5*_R^4+5*_R^2-1)/(_R^7-3*_R^5+5*_R^4+10*_R^3-18*_R^2+10*_R-1)*l
n((x+(1+x)^(1/2))^(1/2)-(1+x)^(1/2)-_R),_R=RootOf(_Z^8-4*_Z^6+8*_Z^5+20*_Z^4-48*
_Z^3+40*_Z^2-8*_Z+1))

_______________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \int \frac{\sqrt{x + \sqrt{x + 1}}}{{\left (x^{2} + 1\right )} \sqrt{x + 1}}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate(sqrt(x + sqrt(x + 1))/((x^2 + 1)*sqrt(x + 1)),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sqrt(x + sqrt(x + 1))/((x^2 + 1)*sqrt(x + 1)), x)

_______________________________________________________________________________________

Fricas [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \text{Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate(sqrt(x + sqrt(x + 1))/((x^2 + 1)*sqrt(x + 1)),x, algorithm="fricas")

[Out]

Timed out

_______________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \int \frac{\sqrt{x + \sqrt{x + 1}}}{\sqrt{x + 1} \left (x^{2} + 1\right )}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((x+(1+x)**(1/2))**(1/2)/(x**2+1)/(1+x)**(1/2),x)

[Out]

Integral(sqrt(x + sqrt(x + 1))/(sqrt(x + 1)*(x**2 + 1)), x)

_______________________________________________________________________________________

GIAC/XCAS [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \text{Exception raised: RuntimeError} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate(sqrt(x + sqrt(x + 1))/((x^2 + 1)*sqrt(x + 1)),x, algorithm="giac")

[Out]

Exception raised: RuntimeError