3.179 \(\int (g+h \log (f (d+e x)^n)) \text{PolyLog}(2,c (a+b x)) \, dx\)

Optimal. Leaf size=1653 \[ \text{result too large to display} \]

[Out]

-(g*x) + 3*h*n*x - (g*(1 - a*c - b*c*x)*Log[1 - a*c - b*c*x])/(b*c) + (2*h*n*(1 - a*c - b*c*x)*Log[1 - a*c - b
*c*x])/(b*c) + (d*h*n*Log[c*(a + b*x)]*Log[1 - a*c - b*c*x]*Log[-d - e*x])/e + (d*h*n*Log[1 - a*c - b*c*x]*Log
[(b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/e + (d*h*n*(Log[c*(a + b*x)] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(b*c*(d + e*x))]
- Log[((b*c*d + e - a*c*e)*(a + b*x))/(b*(d + e*x))])*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - a*c - b*c*x))]^2)/(
2*e) - (d*h*n*(Log[c*(a + b*x)] - Log[-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])*(Log[1 - a*c - b*c*x] + Log[(b*(d + e*x))
/((b*d - a*e)*(1 - a*c - b*c*x))])^2)/(2*e) - (h*(d + e*x)*Log[f*(d + e*x)^n])/e + h*x*Log[1 - a*c - b*c*x]*Lo
g[f*(d + e*x)^n] - ((1 - a*c)*h*Log[(e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)]*Log[f*(d + e*x)^n])/(b*c) - (a*
h*n*(Log[c*(a + b*x)] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(b*c*(d + e*x))] - Log[((b*c*d + e - a*c*e)*(a + b*x))/(b*(d +
e*x))])*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]^2)/(2*b) - (a*h*n*Log[c*(a + b*x)]*Log[d + e*x]*Lo
g[1 - c*(a + b*x)])/b + (a*h*n*(Log[c*(a + b*x)] - Log[-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d
- a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])^2)/(2*b) + (a*g*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/b - (a*h*n*PolyLo
g[2, c*(a + b*x)])/b - (a*h*(n*Log[d + e*x] - Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/b + x*(g + h*Log[f*
(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)] + (d*h*n*(Log[-d - e*x] - Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - a*c - b*c*
x))])*PolyLog[2, 1 - a*c - b*c*x])/e + (d*h*n*PolyLog[2, (e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/e - h*n*x
*PolyLog[2, a*c + b*c*x] + (d*h*n*Log[-d - e*x]*PolyLog[2, a*c + b*c*x])/e - (d*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d -
a*e)*(1 - a*c - b*c*x))]*PolyLog[2, -((e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*(d + e*x)))])/e + (d*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((
b*d - a*e)*(1 - a*c - b*c*x))]*PolyLog[2, ((b*d - a*e)*(1 - a*c - b*c*x))/(b*(d + e*x))])/e + (d*h*n*(Log[1 -
a*c - b*c*x] + Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - a*c - b*c*x))])*PolyLog[2, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/e -
(a*h*n*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])*PolyLog[2, (b*(d + e*x))/(b
*d - a*e)])/b - ((1 - a*c)*h*n*PolyLog[2, (b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(b*c) - (a*h*n*(Log[d + e*x] -
Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))])*PolyLog[2, 1 - c*(a + b*x)])/b + (a*h*n*Log[(b*(d + e*x))
/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/b - (a*h*n*Log[(b*(d +
e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/b - (d*h*n*
PolyLog[3, 1 - a*c - b*c*x])/e - (d*h*n*PolyLog[3, -((e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*(d + e*x)))])/e + (d*h*n*PolyL
og[3, ((b*d - a*e)*(1 - a*c - b*c*x))/(b*(d + e*x))])/e + (a*h*n*PolyLog[3, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/b - (d
*h*n*PolyLog[3, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/e + (a*h*n*PolyLog[3, 1 - c*(a + b*x)])/b + (a*h*n*PolyLog[3, -((e
*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/b - (a*h*n*PolyLog[3, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/b

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 3.18592, antiderivative size = 1653, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 42, number of rules used = 17, integrand size = 24, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.708, Rules used = {6600, 2418, 2389, 2295, 2394, 2393, 2391, 6688, 43, 2416, 6742, 2430, 2440, 2437, 2435, 6595, 6597} \[ \text{result too large to display} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)],x]

[Out]

-(g*x) + 3*h*n*x - (g*(1 - a*c - b*c*x)*Log[1 - a*c - b*c*x])/(b*c) + (2*h*n*(1 - a*c - b*c*x)*Log[1 - a*c - b
*c*x])/(b*c) + (d*h*n*Log[c*(a + b*x)]*Log[1 - a*c - b*c*x]*Log[-d - e*x])/e + (d*h*n*Log[1 - a*c - b*c*x]*Log
[(b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/e + (d*h*n*(Log[c*(a + b*x)] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(b*c*(d + e*x))]
- Log[((b*c*d + e - a*c*e)*(a + b*x))/(b*(d + e*x))])*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - a*c - b*c*x))]^2)/(
2*e) - (d*h*n*(Log[c*(a + b*x)] - Log[-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])*(Log[1 - a*c - b*c*x] + Log[(b*(d + e*x))
/((b*d - a*e)*(1 - a*c - b*c*x))])^2)/(2*e) - (h*(d + e*x)*Log[f*(d + e*x)^n])/e + h*x*Log[1 - a*c - b*c*x]*Lo
g[f*(d + e*x)^n] - ((1 - a*c)*h*Log[(e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)]*Log[f*(d + e*x)^n])/(b*c) - (a*
h*n*(Log[c*(a + b*x)] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(b*c*(d + e*x))] - Log[((b*c*d + e - a*c*e)*(a + b*x))/(b*(d +
e*x))])*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]^2)/(2*b) - (a*h*n*Log[c*(a + b*x)]*Log[d + e*x]*Lo
g[1 - c*(a + b*x)])/b + (a*h*n*(Log[c*(a + b*x)] - Log[-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d
- a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])^2)/(2*b) + (a*g*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/b - (a*h*n*PolyLo
g[2, c*(a + b*x)])/b - (a*h*(n*Log[d + e*x] - Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/b + x*(g + h*Log[f*
(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)] + (d*h*n*(Log[-d - e*x] - Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - a*c - b*c*
x))])*PolyLog[2, 1 - a*c - b*c*x])/e + (d*h*n*PolyLog[2, (e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/e - h*n*x
*PolyLog[2, a*c + b*c*x] + (d*h*n*Log[-d - e*x]*PolyLog[2, a*c + b*c*x])/e - (d*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d -
a*e)*(1 - a*c - b*c*x))]*PolyLog[2, -((e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*(d + e*x)))])/e + (d*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((
b*d - a*e)*(1 - a*c - b*c*x))]*PolyLog[2, ((b*d - a*e)*(1 - a*c - b*c*x))/(b*(d + e*x))])/e + (d*h*n*(Log[1 -
a*c - b*c*x] + Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - a*c - b*c*x))])*PolyLog[2, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/e -
(a*h*n*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])*PolyLog[2, (b*(d + e*x))/(b
*d - a*e)])/b - ((1 - a*c)*h*n*PolyLog[2, (b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(b*c) - (a*h*n*(Log[d + e*x] -
Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))])*PolyLog[2, 1 - c*(a + b*x)])/b + (a*h*n*Log[(b*(d + e*x))
/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/b - (a*h*n*Log[(b*(d +
e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/b - (d*h*n*
PolyLog[3, 1 - a*c - b*c*x])/e - (d*h*n*PolyLog[3, -((e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*(d + e*x)))])/e + (d*h*n*PolyL
og[3, ((b*d - a*e)*(1 - a*c - b*c*x))/(b*(d + e*x))])/e + (a*h*n*PolyLog[3, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/b - (d
*h*n*PolyLog[3, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/e + (a*h*n*PolyLog[3, 1 - c*(a + b*x)])/b + (a*h*n*PolyLog[3, -((e
*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/b - (a*h*n*PolyLog[3, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/b

Rule 6600

Int[((g_.) + Log[(f_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(h_.))*PolyLog[2, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))], x_Symbol] :>
Simp[x*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)], x] + (Dist[b, Int[(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*Log[1
- a*c - b*c*x]*ExpandIntegrand[x/(a + b*x), x], x], x] - Dist[e*h*n, Int[PolyLog[2, c*(a + b*x)]*ExpandIntegr
and[x/(d + e*x), x], x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, n}, x]

Rule 2418

Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*(RFx_), x_Symbol] :> With[{u = ExpandIntegrand[
(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p, RFx, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && RationalFunct
ionQ[RFx, x] && IntegerQ[p]

Rule 2389

Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Dist[1/e, Subst[Int[(a + b*Log[c*
x^n])^p, x], x, d + e*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x]

Rule 2295

Int[Log[(c_.)*(x_)^(n_.)], x_Symbol] :> Simp[x*Log[c*x^n], x] - Simp[n*x, x] /; FreeQ[{c, n}, x]

Rule 2394

Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))/((f_.) + (g_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(Log[(e*(f +
g*x))/(e*f - d*g)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/g, x] - Dist[(b*e*n)/g, Int[Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)]/(d +
e*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && NeQ[e*f - d*g, 0]

Rule 2393

Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))]*(b_.))/((f_.) + (g_.)*(x_)), x_Symbol] :> Dist[1/g, Subst[Int[(a +
b*Log[1 + (c*e*x)/g])/x, x], x, f + g*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && NeQ[e*f - d*g, 0] && EqQ[g
+ c*(e*f - d*g), 0]

Rule 2391

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, -(c*e*x^n)]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rule 6688

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = SimplifyIntegrand[u, x]}, Int[v, x] /; SimplerIntegrandQ[v, u, x]]

Rule 43

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x)^m*(c + d
*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[m, 0] && ( !IntegerQ[n] || (EqQ[c, 0]
&& LeQ[7*m + 4*n + 4, 0]) || LtQ[9*m + 5*(n + 1), 0] || GtQ[m + n + 2, 0])

Rule 2416

Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((h_.)*(x_))^(m_.)*((f_) + (g_.)*(x_)^(r_.))^(q
_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p, (h*x)^m*(f + g*x^r)^q, x], x] /; FreeQ[{a,
b, c, d, e, f, g, h, m, n, p, q, r}, x] && IntegerQ[m] && IntegerQ[q]

Rule 6742

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = ExpandIntegrand[u, x]}, Int[v, x] /; SumQ[v]]

Rule 2430

Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((f_.) + Log[(h_.)*((i_.) + (j_.)*(x_))^(m_.)]*
(g_.)), x_Symbol] :> Simp[x*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]), x] + (-Dist[g*j*m, Int[(x
*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p)/(i + j*x), x], x] - Dist[b*e*n*p, Int[(x*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(p - 1)*(f
+ g*Log[h*(i + j*x)^m]))/(d + e*x), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, m, n}, x] && IGtQ[p, 0]

Rule 2440

Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))*((f_.) + Log[(h_.)*((i_.) + (j_.)*(x_))^(m_.)]*(g_.))
*((k_) + (l_.)*(x_))^(r_.), x_Symbol] :> Dist[1/l, Subst[Int[x^r*(a + b*Log[c*(-((e*k - d*l)/l) + (e*x)/l)^n])
*(f + g*Log[h*(-((j*k - i*l)/l) + (j*x)/l)^m]), x], x, k + l*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k,
l, m, n}, x] && IntegerQ[r]

Rule 2437

Int[(Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*Log[(h_.)*((i_.) + (j_.)*(x_))^(m_.)])/(x_), x_Symbol] :> Dist[m, In
t[(Log[i + j*x]*Log[c*(d + e*x)^n])/x, x], x] - Dist[m*Log[i + j*x] - Log[h*(i + j*x)^m], Int[Log[c*(d + e*x)^
n]/x, x], x] /; FreeQ[{c, d, e, h, i, j, m, n}, x] && NeQ[e*i - d*j, 0] && NeQ[i + j*x, h*(i + j*x)^m]

Rule 2435

Int[(Log[(a_) + (b_.)*(x_)]*Log[(c_) + (d_.)*(x_)])/(x_), x_Symbol] :> Simp[Log[-((b*x)/a)]*Log[a + b*x]*Log[c
+ d*x], x] + (Simp[(1*(Log[-((b*x)/a)] - Log[-(((b*c - a*d)*x)/(a*(c + d*x)))] + Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x)
)])*Log[(a*(c + d*x))/(c*(a + b*x))]^2)/2, x] - Simp[(1*(Log[-((b*x)/a)] - Log[-((d*x)/c)])*(Log[a + b*x] + Lo
g[(a*(c + d*x))/(c*(a + b*x))])^2)/2, x] + Simp[(Log[c + d*x] - Log[(a*(c + d*x))/(c*(a + b*x))])*PolyLog[2, 1
+ (b*x)/a], x] + Simp[(Log[a + b*x] + Log[(a*(c + d*x))/(c*(a + b*x))])*PolyLog[2, 1 + (d*x)/c], x] + Simp[Lo
g[(a*(c + d*x))/(c*(a + b*x))]*PolyLog[2, (c*(a + b*x))/(a*(c + d*x))], x] - Simp[Log[(a*(c + d*x))/(c*(a + b*
x))]*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))], x] - Simp[PolyLog[3, 1 + (b*x)/a], x] - Simp[PolyLog[3, 1 + (d*x
)/c], x] + Simp[PolyLog[3, (c*(a + b*x))/(a*(c + d*x))], x] - Simp[PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))], x]
) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]

Rule 6595

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp[x*PolyLog[n, c*(a + b*x)^p], x] + (-Dist[
p, Int[PolyLog[n - 1, c*(a + b*x)^p], x], x] + Dist[a*p, Int[PolyLog[n - 1, c*(a + b*x)^p]/(a + b*x), x], x])
/; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && GtQ[n, 0]

Rule 6597

Int[PolyLog[2, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(Log[d + e*x]*PolyLog[2, c*
(a + b*x)])/e, x] + Dist[b/e, Int[(Log[d + e*x]*Log[1 - a*c - b*c*x])/(a + b*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
e}, x] && NeQ[c*(b*d - a*e) + e, 0]

Rubi steps

\begin{align*} \int \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x)) \, dx &=x \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))+b \int \left (\frac{1}{b}-\frac{a}{b (a+b x)}\right ) \log (1-a c-b c x) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \, dx-(e h n) \int \left (\frac{1}{e}-\frac{d}{e (d+e x)}\right ) \text{Li}_2(c (a+b x)) \, dx\\ &=x \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))+b \int \frac{x \log (1-a c-b c x) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )}{a+b x} \, dx-(e h n) \int \frac{x \text{Li}_2(a c+b c x)}{d+e x} \, dx\\ &=x \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))+b \int \left (\frac{g x \log (1-a c-b c x)}{a+b x}+\frac{h x \log (1-a c-b c x) \log \left (f (d+e x)^n\right )}{a+b x}\right ) \, dx-(e h n) \int \left (\frac{\text{Li}_2(a c+b c x)}{e}+\frac{d \text{Li}_2(a c+b c x)}{e (-d-e x)}\right ) \, dx\\ &=x \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))+(b g) \int \frac{x \log (1-a c-b c x)}{a+b x} \, dx+(b h) \int \frac{x \log (1-a c-b c x) \log \left (f (d+e x)^n\right )}{a+b x} \, dx-(h n) \int \text{Li}_2(a c+b c x) \, dx-(d h n) \int \frac{\text{Li}_2(a c+b c x)}{-d-e x} \, dx\\ &=x \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))-h n x \text{Li}_2(a c+b c x)+\frac{d h n \log (-d-e x) \text{Li}_2(a c+b c x)}{e}+(b g) \int \left (\frac{\log (1-a c-b c x)}{b}-\frac{a \log (1-a c-b c x)}{b (a+b x)}\right ) \, dx+(b h) \int \left (\frac{\log (1-a c-b c x) \log \left (f (d+e x)^n\right )}{b}-\frac{a \log (1-a c-b c x) \log \left (f (d+e x)^n\right )}{b (a+b x)}\right ) \, dx-(h n) \int \log (1-a c-b c x) \, dx+(a c h n) \int \frac{\log (1-a c-b c x)}{a c+b c x} \, dx+\frac{(b c d h n) \int \frac{\log (1-a c-b c x) \log (-d-e x)}{a c+b c x} \, dx}{e}\\ &=x \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))-h n x \text{Li}_2(a c+b c x)+\frac{d h n \log (-d-e x) \text{Li}_2(a c+b c x)}{e}+g \int \log (1-a c-b c x) \, dx-(a g) \int \frac{\log (1-a c-b c x)}{a+b x} \, dx+h \int \log (1-a c-b c x) \log \left (f (d+e x)^n\right ) \, dx-(a h) \int \frac{\log (1-a c-b c x) \log \left (f (d+e x)^n\right )}{a+b x} \, dx+\frac{(a h n) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1-x)}{x} \, dx,x,a c+b c x\right )}{b}+\frac{(h n) \operatorname{Subst}(\int \log (x) \, dx,x,1-a c-b c x)}{b c}+\frac{(d h n) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (-\frac{-a b c^2-b c (1-a c)}{b c}-x\right ) \log \left (-\frac{b c d-a c e}{b c}-\frac{e x}{b c}\right )}{x} \, dx,x,a c+b c x\right )}{e}\\ &=h n x+\frac{h n (1-a c-b c x) \log (1-a c-b c x)}{b c}+\frac{d h n \log (c (a+b x)) \log (1-a c-b c x) \log (-d-e x)}{e}+\frac{d h n \left (\log (c (a+b x))+\log \left (\frac{b c d+e-a c e}{b c (d+e x)}\right )-\log \left (\frac{(b c d+e-a c e) (a+b x)}{b (d+e x)}\right )\right ) \log ^2\left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right )}{2 e}-\frac{d h n \left (\log (c (a+b x))-\log \left (-\frac{e (a+b x)}{b d-a e}\right )\right ) \left (\log (1-a c-b c x)+\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right )\right )^2}{2 e}+h x \log (1-a c-b c x) \log \left (f (d+e x)^n\right )-\frac{a h n \text{Li}_2(c (a+b x))}{b}+x \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))+\frac{d h n \left (\log (-d-e x)-\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right )\right ) \text{Li}_2(1-a c-b c x)}{e}-h n x \text{Li}_2(a c+b c x)+\frac{d h n \log (-d-e x) \text{Li}_2(a c+b c x)}{e}-\frac{d h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right ) \text{Li}_2\left (-\frac{e (1-a c-b c x)}{b c (d+e x)}\right )}{e}+\frac{d h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right ) \text{Li}_2\left (\frac{(b d-a e) (1-a c-b c x)}{b (d+e x)}\right )}{e}+\frac{d h n \left (\log (1-a c-b c x)+\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right )\right ) \text{Li}_2\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{e}-\frac{d h n \text{Li}_3(1-a c-b c x)}{e}-\frac{d h n \text{Li}_3\left (-\frac{e (1-a c-b c x)}{b c (d+e x)}\right )}{e}+\frac{d h n \text{Li}_3\left (\frac{(b d-a e) (1-a c-b c x)}{b (d+e x)}\right )}{e}-\frac{d h n \text{Li}_3\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{e}-\frac{(a g) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1-c x)}{x} \, dx,x,a+b x\right )}{b}-\frac{g \operatorname{Subst}(\int \log (x) \, dx,x,1-a c-b c x)}{b c}-\frac{(a h) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (-\frac{-a b c-b (1-a c)}{b}-c x\right ) \log \left (f \left (-\frac{-b d+a e}{b}+\frac{e x}{b}\right )^n\right )}{x} \, dx,x,a+b x\right )}{b}+(b c h) \int \frac{x \log \left (f (d+e x)^n\right )}{1-a c-b c x} \, dx-(e h n) \int \frac{x \log (1-a c-b c x)}{d+e x} \, dx\\ &=-g x+h n x-\frac{g (1-a c-b c x) \log (1-a c-b c x)}{b c}+\frac{h n (1-a c-b c x) \log (1-a c-b c x)}{b c}+\frac{d h n \log (c (a+b x)) \log (1-a c-b c x) \log (-d-e x)}{e}+\frac{d h n \left (\log (c (a+b x))+\log \left (\frac{b c d+e-a c e}{b c (d+e x)}\right )-\log \left (\frac{(b c d+e-a c e) (a+b x)}{b (d+e x)}\right )\right ) \log ^2\left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right )}{2 e}-\frac{d h n \left (\log (c (a+b x))-\log \left (-\frac{e (a+b x)}{b d-a e}\right )\right ) \left (\log (1-a c-b c x)+\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right )\right )^2}{2 e}+h x \log (1-a c-b c x) \log \left (f (d+e x)^n\right )+\frac{a g \text{Li}_2(c (a+b x))}{b}-\frac{a h n \text{Li}_2(c (a+b x))}{b}+x \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))+\frac{d h n \left (\log (-d-e x)-\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right )\right ) \text{Li}_2(1-a c-b c x)}{e}-h n x \text{Li}_2(a c+b c x)+\frac{d h n \log (-d-e x) \text{Li}_2(a c+b c x)}{e}-\frac{d h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right ) \text{Li}_2\left (-\frac{e (1-a c-b c x)}{b c (d+e x)}\right )}{e}+\frac{d h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right ) \text{Li}_2\left (\frac{(b d-a e) (1-a c-b c x)}{b (d+e x)}\right )}{e}+\frac{d h n \left (\log (1-a c-b c x)+\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right )\right ) \text{Li}_2\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{e}-\frac{d h n \text{Li}_3(1-a c-b c x)}{e}-\frac{d h n \text{Li}_3\left (-\frac{e (1-a c-b c x)}{b c (d+e x)}\right )}{e}+\frac{d h n \text{Li}_3\left (\frac{(b d-a e) (1-a c-b c x)}{b (d+e x)}\right )}{e}-\frac{d h n \text{Li}_3\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{e}+(b c h) \int \left (-\frac{\log \left (f (d+e x)^n\right )}{b c}+\frac{(-1+a c) \log \left (f (d+e x)^n\right )}{b c (-1+a c+b c x)}\right ) \, dx-\frac{(a h n) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (-\frac{-a b c-b (1-a c)}{b}-c x\right ) \log \left (-\frac{-b d+a e}{b}+\frac{e x}{b}\right )}{x} \, dx,x,a+b x\right )}{b}-(e h n) \int \left (\frac{\log (1-a c-b c x)}{e}-\frac{d \log (1-a c-b c x)}{e (d+e x)}\right ) \, dx+\frac{\left (a h \left (n \log (d+e x)-\log \left (f (d+e x)^n\right )\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (-\frac{-a b c-b (1-a c)}{b}-c x\right )}{x} \, dx,x,a+b x\right )}{b}\\ &=-g x+h n x-\frac{g (1-a c-b c x) \log (1-a c-b c x)}{b c}+\frac{h n (1-a c-b c x) \log (1-a c-b c x)}{b c}+\frac{d h n \log (c (a+b x)) \log (1-a c-b c x) \log (-d-e x)}{e}+\frac{d h n \left (\log (c (a+b x))+\log \left (\frac{b c d+e-a c e}{b c (d+e x)}\right )-\log \left (\frac{(b c d+e-a c e) (a+b x)}{b (d+e x)}\right )\right ) \log ^2\left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right )}{2 e}-\frac{d h n \left (\log (c (a+b x))-\log \left (-\frac{e (a+b x)}{b d-a e}\right )\right ) \left (\log (1-a c-b c x)+\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right )\right )^2}{2 e}+h x \log (1-a c-b c x) \log \left (f (d+e x)^n\right )-\frac{a h n \left (\log (c (a+b x))+\log \left (\frac{b c d+e-a c e}{b c (d+e x)}\right )-\log \left (\frac{(b c d+e-a c e) (a+b x)}{b (d+e x)}\right )\right ) \log ^2\left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )}{2 b}-\frac{a h n \log (c (a+b x)) \log (d+e x) \log (1-c (a+b x))}{b}+\frac{a h n \left (\log (c (a+b x))-\log \left (-\frac{e (a+b x)}{b d-a e}\right )\right ) \left (\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )+\log (1-c (a+b x))\right )^2}{2 b}+\frac{a g \text{Li}_2(c (a+b x))}{b}-\frac{a h n \text{Li}_2(c (a+b x))}{b}-\frac{a h \left (n \log (d+e x)-\log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))}{b}+x \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))+\frac{d h n \left (\log (-d-e x)-\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right )\right ) \text{Li}_2(1-a c-b c x)}{e}-h n x \text{Li}_2(a c+b c x)+\frac{d h n \log (-d-e x) \text{Li}_2(a c+b c x)}{e}-\frac{d h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right ) \text{Li}_2\left (-\frac{e (1-a c-b c x)}{b c (d+e x)}\right )}{e}+\frac{d h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right ) \text{Li}_2\left (\frac{(b d-a e) (1-a c-b c x)}{b (d+e x)}\right )}{e}+\frac{d h n \left (\log (1-a c-b c x)+\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right )\right ) \text{Li}_2\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{e}-\frac{a h n \left (\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )+\log (1-c (a+b x))\right ) \text{Li}_2\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{b}-\frac{a h n \left (\log (d+e x)-\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )\right ) \text{Li}_2(1-c (a+b x))}{b}+\frac{a h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right ) \text{Li}_2\left (-\frac{e (1-c (a+b x))}{b c (d+e x)}\right )}{b}-\frac{a h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right ) \text{Li}_2\left (\frac{(b d-a e) (1-c (a+b x))}{b (d+e x)}\right )}{b}-\frac{d h n \text{Li}_3(1-a c-b c x)}{e}-\frac{d h n \text{Li}_3\left (-\frac{e (1-a c-b c x)}{b c (d+e x)}\right )}{e}+\frac{d h n \text{Li}_3\left (\frac{(b d-a e) (1-a c-b c x)}{b (d+e x)}\right )}{e}+\frac{a h n \text{Li}_3\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{b}-\frac{d h n \text{Li}_3\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{e}+\frac{a h n \text{Li}_3(1-c (a+b x))}{b}+\frac{a h n \text{Li}_3\left (-\frac{e (1-c (a+b x))}{b c (d+e x)}\right )}{b}-\frac{a h n \text{Li}_3\left (\frac{(b d-a e) (1-c (a+b x))}{b (d+e x)}\right )}{b}-h \int \log \left (f (d+e x)^n\right ) \, dx-((1-a c) h) \int \frac{\log \left (f (d+e x)^n\right )}{-1+a c+b c x} \, dx-(h n) \int \log (1-a c-b c x) \, dx+(d h n) \int \frac{\log (1-a c-b c x)}{d+e x} \, dx\\ &=-g x+h n x-\frac{g (1-a c-b c x) \log (1-a c-b c x)}{b c}+\frac{h n (1-a c-b c x) \log (1-a c-b c x)}{b c}+\frac{d h n \log (c (a+b x)) \log (1-a c-b c x) \log (-d-e x)}{e}+\frac{d h n \log (1-a c-b c x) \log \left (\frac{b c (d+e x)}{b c d+e-a c e}\right )}{e}+\frac{d h n \left (\log (c (a+b x))+\log \left (\frac{b c d+e-a c e}{b c (d+e x)}\right )-\log \left (\frac{(b c d+e-a c e) (a+b x)}{b (d+e x)}\right )\right ) \log ^2\left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right )}{2 e}-\frac{d h n \left (\log (c (a+b x))-\log \left (-\frac{e (a+b x)}{b d-a e}\right )\right ) \left (\log (1-a c-b c x)+\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right )\right )^2}{2 e}+h x \log (1-a c-b c x) \log \left (f (d+e x)^n\right )-\frac{(1-a c) h \log \left (\frac{e (1-a c-b c x)}{b c d+e-a c e}\right ) \log \left (f (d+e x)^n\right )}{b c}-\frac{a h n \left (\log (c (a+b x))+\log \left (\frac{b c d+e-a c e}{b c (d+e x)}\right )-\log \left (\frac{(b c d+e-a c e) (a+b x)}{b (d+e x)}\right )\right ) \log ^2\left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )}{2 b}-\frac{a h n \log (c (a+b x)) \log (d+e x) \log (1-c (a+b x))}{b}+\frac{a h n \left (\log (c (a+b x))-\log \left (-\frac{e (a+b x)}{b d-a e}\right )\right ) \left (\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )+\log (1-c (a+b x))\right )^2}{2 b}+\frac{a g \text{Li}_2(c (a+b x))}{b}-\frac{a h n \text{Li}_2(c (a+b x))}{b}-\frac{a h \left (n \log (d+e x)-\log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))}{b}+x \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))+\frac{d h n \left (\log (-d-e x)-\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right )\right ) \text{Li}_2(1-a c-b c x)}{e}-h n x \text{Li}_2(a c+b c x)+\frac{d h n \log (-d-e x) \text{Li}_2(a c+b c x)}{e}-\frac{d h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right ) \text{Li}_2\left (-\frac{e (1-a c-b c x)}{b c (d+e x)}\right )}{e}+\frac{d h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right ) \text{Li}_2\left (\frac{(b d-a e) (1-a c-b c x)}{b (d+e x)}\right )}{e}+\frac{d h n \left (\log (1-a c-b c x)+\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right )\right ) \text{Li}_2\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{e}-\frac{a h n \left (\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )+\log (1-c (a+b x))\right ) \text{Li}_2\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{b}-\frac{a h n \left (\log (d+e x)-\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )\right ) \text{Li}_2(1-c (a+b x))}{b}+\frac{a h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right ) \text{Li}_2\left (-\frac{e (1-c (a+b x))}{b c (d+e x)}\right )}{b}-\frac{a h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right ) \text{Li}_2\left (\frac{(b d-a e) (1-c (a+b x))}{b (d+e x)}\right )}{b}-\frac{d h n \text{Li}_3(1-a c-b c x)}{e}-\frac{d h n \text{Li}_3\left (-\frac{e (1-a c-b c x)}{b c (d+e x)}\right )}{e}+\frac{d h n \text{Li}_3\left (\frac{(b d-a e) (1-a c-b c x)}{b (d+e x)}\right )}{e}+\frac{a h n \text{Li}_3\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{b}-\frac{d h n \text{Li}_3\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{e}+\frac{a h n \text{Li}_3(1-c (a+b x))}{b}+\frac{a h n \text{Li}_3\left (-\frac{e (1-c (a+b x))}{b c (d+e x)}\right )}{b}-\frac{a h n \text{Li}_3\left (\frac{(b d-a e) (1-c (a+b x))}{b (d+e x)}\right )}{b}-\frac{h \operatorname{Subst}\left (\int \log \left (f x^n\right ) \, dx,x,d+e x\right )}{e}+\frac{(h n) \operatorname{Subst}(\int \log (x) \, dx,x,1-a c-b c x)}{b c}+\frac{(b c d h n) \int \frac{\log \left (-\frac{b c (d+e x)}{-b c d-(1-a c) e}\right )}{1-a c-b c x} \, dx}{e}+\frac{((1-a c) e h n) \int \frac{\log \left (\frac{e (-1+a c+b c x)}{-b c d+(-1+a c) e}\right )}{d+e x} \, dx}{b c}\\ &=-g x+3 h n x-\frac{g (1-a c-b c x) \log (1-a c-b c x)}{b c}+\frac{2 h n (1-a c-b c x) \log (1-a c-b c x)}{b c}+\frac{d h n \log (c (a+b x)) \log (1-a c-b c x) \log (-d-e x)}{e}+\frac{d h n \log (1-a c-b c x) \log \left (\frac{b c (d+e x)}{b c d+e-a c e}\right )}{e}+\frac{d h n \left (\log (c (a+b x))+\log \left (\frac{b c d+e-a c e}{b c (d+e x)}\right )-\log \left (\frac{(b c d+e-a c e) (a+b x)}{b (d+e x)}\right )\right ) \log ^2\left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right )}{2 e}-\frac{d h n \left (\log (c (a+b x))-\log \left (-\frac{e (a+b x)}{b d-a e}\right )\right ) \left (\log (1-a c-b c x)+\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right )\right )^2}{2 e}-\frac{h (d+e x) \log \left (f (d+e x)^n\right )}{e}+h x \log (1-a c-b c x) \log \left (f (d+e x)^n\right )-\frac{(1-a c) h \log \left (\frac{e (1-a c-b c x)}{b c d+e-a c e}\right ) \log \left (f (d+e x)^n\right )}{b c}-\frac{a h n \left (\log (c (a+b x))+\log \left (\frac{b c d+e-a c e}{b c (d+e x)}\right )-\log \left (\frac{(b c d+e-a c e) (a+b x)}{b (d+e x)}\right )\right ) \log ^2\left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )}{2 b}-\frac{a h n \log (c (a+b x)) \log (d+e x) \log (1-c (a+b x))}{b}+\frac{a h n \left (\log (c (a+b x))-\log \left (-\frac{e (a+b x)}{b d-a e}\right )\right ) \left (\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )+\log (1-c (a+b x))\right )^2}{2 b}+\frac{a g \text{Li}_2(c (a+b x))}{b}-\frac{a h n \text{Li}_2(c (a+b x))}{b}-\frac{a h \left (n \log (d+e x)-\log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))}{b}+x \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))+\frac{d h n \left (\log (-d-e x)-\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right )\right ) \text{Li}_2(1-a c-b c x)}{e}-h n x \text{Li}_2(a c+b c x)+\frac{d h n \log (-d-e x) \text{Li}_2(a c+b c x)}{e}-\frac{d h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right ) \text{Li}_2\left (-\frac{e (1-a c-b c x)}{b c (d+e x)}\right )}{e}+\frac{d h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right ) \text{Li}_2\left (\frac{(b d-a e) (1-a c-b c x)}{b (d+e x)}\right )}{e}+\frac{d h n \left (\log (1-a c-b c x)+\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right )\right ) \text{Li}_2\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{e}-\frac{a h n \left (\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )+\log (1-c (a+b x))\right ) \text{Li}_2\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{b}-\frac{a h n \left (\log (d+e x)-\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )\right ) \text{Li}_2(1-c (a+b x))}{b}+\frac{a h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right ) \text{Li}_2\left (-\frac{e (1-c (a+b x))}{b c (d+e x)}\right )}{b}-\frac{a h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right ) \text{Li}_2\left (\frac{(b d-a e) (1-c (a+b x))}{b (d+e x)}\right )}{b}-\frac{d h n \text{Li}_3(1-a c-b c x)}{e}-\frac{d h n \text{Li}_3\left (-\frac{e (1-a c-b c x)}{b c (d+e x)}\right )}{e}+\frac{d h n \text{Li}_3\left (\frac{(b d-a e) (1-a c-b c x)}{b (d+e x)}\right )}{e}+\frac{a h n \text{Li}_3\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{b}-\frac{d h n \text{Li}_3\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{e}+\frac{a h n \text{Li}_3(1-c (a+b x))}{b}+\frac{a h n \text{Li}_3\left (-\frac{e (1-c (a+b x))}{b c (d+e x)}\right )}{b}-\frac{a h n \text{Li}_3\left (\frac{(b d-a e) (1-c (a+b x))}{b (d+e x)}\right )}{b}+\frac{((1-a c) h n) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (1+\frac{b c x}{-b c d+(-1+a c) e}\right )}{x} \, dx,x,d+e x\right )}{b c}-\frac{(d h n) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (1+\frac{e x}{-b c d-(1-a c) e}\right )}{x} \, dx,x,1-a c-b c x\right )}{e}\\ &=-g x+3 h n x-\frac{g (1-a c-b c x) \log (1-a c-b c x)}{b c}+\frac{2 h n (1-a c-b c x) \log (1-a c-b c x)}{b c}+\frac{d h n \log (c (a+b x)) \log (1-a c-b c x) \log (-d-e x)}{e}+\frac{d h n \log (1-a c-b c x) \log \left (\frac{b c (d+e x)}{b c d+e-a c e}\right )}{e}+\frac{d h n \left (\log (c (a+b x))+\log \left (\frac{b c d+e-a c e}{b c (d+e x)}\right )-\log \left (\frac{(b c d+e-a c e) (a+b x)}{b (d+e x)}\right )\right ) \log ^2\left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right )}{2 e}-\frac{d h n \left (\log (c (a+b x))-\log \left (-\frac{e (a+b x)}{b d-a e}\right )\right ) \left (\log (1-a c-b c x)+\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right )\right )^2}{2 e}-\frac{h (d+e x) \log \left (f (d+e x)^n\right )}{e}+h x \log (1-a c-b c x) \log \left (f (d+e x)^n\right )-\frac{(1-a c) h \log \left (\frac{e (1-a c-b c x)}{b c d+e-a c e}\right ) \log \left (f (d+e x)^n\right )}{b c}-\frac{a h n \left (\log (c (a+b x))+\log \left (\frac{b c d+e-a c e}{b c (d+e x)}\right )-\log \left (\frac{(b c d+e-a c e) (a+b x)}{b (d+e x)}\right )\right ) \log ^2\left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )}{2 b}-\frac{a h n \log (c (a+b x)) \log (d+e x) \log (1-c (a+b x))}{b}+\frac{a h n \left (\log (c (a+b x))-\log \left (-\frac{e (a+b x)}{b d-a e}\right )\right ) \left (\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )+\log (1-c (a+b x))\right )^2}{2 b}+\frac{a g \text{Li}_2(c (a+b x))}{b}-\frac{a h n \text{Li}_2(c (a+b x))}{b}-\frac{a h \left (n \log (d+e x)-\log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))}{b}+x \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))+\frac{d h n \left (\log (-d-e x)-\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right )\right ) \text{Li}_2(1-a c-b c x)}{e}+\frac{d h n \text{Li}_2\left (\frac{e (1-a c-b c x)}{b c d+e-a c e}\right )}{e}-h n x \text{Li}_2(a c+b c x)+\frac{d h n \log (-d-e x) \text{Li}_2(a c+b c x)}{e}-\frac{d h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right ) \text{Li}_2\left (-\frac{e (1-a c-b c x)}{b c (d+e x)}\right )}{e}+\frac{d h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right ) \text{Li}_2\left (\frac{(b d-a e) (1-a c-b c x)}{b (d+e x)}\right )}{e}+\frac{d h n \left (\log (1-a c-b c x)+\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-a c-b c x)}\right )\right ) \text{Li}_2\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{e}-\frac{a h n \left (\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )+\log (1-c (a+b x))\right ) \text{Li}_2\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{b}-\frac{(1-a c) h n \text{Li}_2\left (\frac{b c (d+e x)}{b c d+e-a c e}\right )}{b c}-\frac{a h n \left (\log (d+e x)-\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )\right ) \text{Li}_2(1-c (a+b x))}{b}+\frac{a h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right ) \text{Li}_2\left (-\frac{e (1-c (a+b x))}{b c (d+e x)}\right )}{b}-\frac{a h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right ) \text{Li}_2\left (\frac{(b d-a e) (1-c (a+b x))}{b (d+e x)}\right )}{b}-\frac{d h n \text{Li}_3(1-a c-b c x)}{e}-\frac{d h n \text{Li}_3\left (-\frac{e (1-a c-b c x)}{b c (d+e x)}\right )}{e}+\frac{d h n \text{Li}_3\left (\frac{(b d-a e) (1-a c-b c x)}{b (d+e x)}\right )}{e}+\frac{a h n \text{Li}_3\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{b}-\frac{d h n \text{Li}_3\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{e}+\frac{a h n \text{Li}_3(1-c (a+b x))}{b}+\frac{a h n \text{Li}_3\left (-\frac{e (1-c (a+b x))}{b c (d+e x)}\right )}{b}-\frac{a h n \text{Li}_3\left (\frac{(b d-a e) (1-c (a+b x))}{b (d+e x)}\right )}{b}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 4.92197, size = 1546, normalized size = 0.94 \[ \text{result too large to display} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)],x]

[Out]

((g - h*n*Log[d + e*x] + h*Log[f*(d + e*x)^n])*(-(b*c*x) + (-1 + a*c + b*c*x)*Log[1 - a*c - b*c*x] + c*(a + b*
x)*PolyLog[2, c*(a + b*x)]))/(b*c) + (h*n*((-(e*x) + (d + e*x)*Log[d + e*x])*PolyLog[2, c*(a + b*x)] + (-e + a
*c*e + 2*b*c*e*x - b*c*d*Log[d + e*x] - b*c*e*x*Log[d + e*x] + Log[1 - a*c - b*c*x]*(-(e*(-1 + a*c + b*c*x)) +
e*(-1 + a*c + b*c*x)*Log[d + e*x] + (b*c*d + e - a*c*e)*Log[(b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)]) + e*(-1 + a
*c + b*c*x + (1 - a*c - b*c*x + a*c*Log[c*(a + b*x)])*Log[1 - a*c - b*c*x] + a*c*PolyLog[2, 1 - a*c - b*c*x])
+ (b*c*d + e - a*c*e)*PolyLog[2, (e*(-1 + a*c + b*c*x))/(-(b*c*d) + (-1 + a*c)*e)] + b*c*d*(Log[c*(a + b*x)]*L
og[1 - a*c - b*c*x]*Log[d + e*x] + ((Log[c*(a + b*x)] - Log[(e*(a + b*x))/(-(b*d) + a*e)])*Log[(b*(d + e*x))/(
b*d - a*e)]*(-2*Log[1 - a*c - b*c*x] + Log[(b*(d + e*x))/(b*d - a*e)]))/2 + (-Log[c*(a + b*x)] + Log[(e*(a + b
*x))/(-(b*d) + a*e)])*Log[(b*(d + e*x))/(b*d - a*e)]*Log[-((b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c + b*c*x)))] +
(Log[-((b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c + b*c*x)))]^2*(Log[c*(a + b*x)] - Log[((b*c*d + e - a*c*e)*(a + b*
x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c + b*c*x))] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(e - a*c*e - b*c*e*x)]))/2 + (Log[d + e*x] - L
og[-((b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c + b*c*x)))])*PolyLog[2, 1 - a*c - b*c*x] + (Log[1 - a*c - b*c*x] + L
og[-((b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c + b*c*x)))])*PolyLog[2, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)] + Log[-((b*(d + e
*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c + b*c*x)))]*(PolyLog[2, (b*c*(d + e*x))/(e*(-1 + a*c + b*c*x))] - PolyLog[2, -((b*
(d + e*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c + b*c*x)))]) - PolyLog[3, 1 - a*c - b*c*x] - PolyLog[3, (b*(d + e*x))/(b*d -
a*e)] - PolyLog[3, (b*c*(d + e*x))/(e*(-1 + a*c + b*c*x))] + PolyLog[3, -((b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*
c + b*c*x)))]) - a*c*e*(Log[c*(a + b*x)]*Log[1 - a*c - b*c*x]*Log[d + e*x] + ((Log[c*(a + b*x)] - Log[(e*(a +
b*x))/(-(b*d) + a*e)])*Log[(b*(d + e*x))/(b*d - a*e)]*(-2*Log[1 - a*c - b*c*x] + Log[(b*(d + e*x))/(b*d - a*e)
]))/2 + (-Log[c*(a + b*x)] + Log[(e*(a + b*x))/(-(b*d) + a*e)])*Log[(b*(d + e*x))/(b*d - a*e)]*Log[-((b*(d + e
*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c + b*c*x)))] + (Log[-((b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c + b*c*x)))]^2*(Log[c*(a
+ b*x)] - Log[((b*c*d + e - a*c*e)*(a + b*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c + b*c*x))] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(e -
a*c*e - b*c*e*x)]))/2 + (Log[d + e*x] - Log[-((b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c + b*c*x)))])*PolyLog[2, 1
- a*c - b*c*x] + (Log[1 - a*c - b*c*x] + Log[-((b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c + b*c*x)))])*PolyLog[2, (b
*(d + e*x))/(b*d - a*e)] + Log[-((b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c + b*c*x)))]*(PolyLog[2, (b*c*(d + e*x))/
(e*(-1 + a*c + b*c*x))] - PolyLog[2, -((b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c + b*c*x)))]) - PolyLog[3, 1 - a*c
- b*c*x] - PolyLog[3, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)] - PolyLog[3, (b*c*(d + e*x))/(e*(-1 + a*c + b*c*x))] + PolyLo
g[3, -((b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c + b*c*x)))]))/(b*c)))/e

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.285, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left ( g+h\ln \left ( f \left ( ex+d \right ) ^{n} \right ) \right ){\it polylog} \left ( 2,c \left ( bx+a \right ) \right ) \, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((g+h*ln(f*(e*x+d)^n))*polylog(2,c*(b*x+a)),x)

[Out]

int((g+h*ln(f*(e*x+d)^n))*polylog(2,c*(b*x+a)),x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \frac{{\left (d h n \log \left (e x + d\right ) + e h x \log \left ({\left (e x + d\right )}^{n}\right ) -{\left (e h n - e h \log \left (f\right ) - e g\right )} x\right )}{\rm Li}_2\left (b c x + a c\right )}{e} + \int \frac{b e h x \log \left (-b c x - a c + 1\right ) \log \left ({\left (e x + d\right )}^{n}\right ) +{\left (b d h n \log \left (e x + d\right ) -{\left (b e h n - b e h \log \left (f\right ) - b e g\right )} x\right )} \log \left (-b c x - a c + 1\right )}{b e x + a e}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((g+h*log(f*(e*x+d)^n))*polylog(2,c*(b*x+a)),x, algorithm="maxima")

[Out]

(d*h*n*log(e*x + d) + e*h*x*log((e*x + d)^n) - (e*h*n - e*h*log(f) - e*g)*x)*dilog(b*c*x + a*c)/e + integrate(
(b*e*h*x*log(-b*c*x - a*c + 1)*log((e*x + d)^n) + (b*d*h*n*log(e*x + d) - (b*e*h*n - b*e*h*log(f) - b*e*g)*x)*
log(-b*c*x - a*c + 1))/(b*e*x + a*e), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (h{\rm Li}_2\left (b c x + a c\right ) \log \left ({\left (e x + d\right )}^{n} f\right ) + g{\rm Li}_2\left (b c x + a c\right ), x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((g+h*log(f*(e*x+d)^n))*polylog(2,c*(b*x+a)),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(h*dilog(b*c*x + a*c)*log((e*x + d)^n*f) + g*dilog(b*c*x + a*c), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((g+h*ln(f*(e*x+d)**n))*polylog(2,c*(b*x+a)),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (h \log \left ({\left (e x + d\right )}^{n} f\right ) + g\right )}{\rm Li}_2\left ({\left (b x + a\right )} c\right )\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((g+h*log(f*(e*x+d)^n))*polylog(2,c*(b*x+a)),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((h*log((e*x + d)^n*f) + g)*dilog((b*x + a)*c), x)