3.178 \(\int x (g+h \log (f (d+e x)^n)) \text{PolyLog}(2,c (a+b x)) \, dx\)

Optimal. Leaf size=2252 \[ \text{result too large to display} \]

[Out]

(a*g*x)/(2*b) - ((1 - a*c)*g*x)/(4*b*c) - (5*a*h*n*x)/(4*b) + ((1 - a*c)*h*n*x)/(2*b*c) - (7*d*h*n*x)/(8*e) +
(3*h*n*x^2)/16 + ((1 - a*c)^2*h*n*Log[1 - a*c - b*c*x])/(4*b^2*c^2) - (h*n*x^2*Log[1 - a*c - b*c*x])/4 - (3*a*
h*n*(1 - a*c - b*c*x)*Log[1 - a*c - b*c*x])/(4*b^2*c) - (3*d*h*n*(1 - a*c - b*c*x)*Log[1 - a*c - b*c*x])/(4*b*
c*e) + (d^2*h*n*Log[d + e*x])/(8*e^2) - (d^2*h*n*Log[1 - a*c - b*c*x]*Log[(b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)]
)/(4*e^2) - (a*d*h*n*Log[1 - a*c - b*c*x]*Log[(b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(2*b*e) + (a*h*(d + e*x)*L
og[f*(d + e*x)^n])/(2*b*e) - ((1 - a*c)*h*(d + e*x)*Log[f*(d + e*x)^n])/(4*b*c*e) - (x^2*(g + h*Log[f*(d + e*x
)^n]))/8 - (a*x*Log[1 - a*c - b*c*x]*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]))/(2*b) + (x^2*Log[1 - a*c - b*c*x]*(g + h*Log[
f*(d + e*x)^n]))/4 + (a*(1 - a*c)*Log[(e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)]*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]))/(
2*b^2*c) - ((1 - a*c)^2*Log[(e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)]*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]))/(4*b^2*c^2)
+ (a^2*h*n*(Log[c*(a + b*x)] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(b*c*(d + e*x))] - Log[((b*c*d + e - a*c*e)*(a + b*x))
/(b*(d + e*x))])*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]^2)/(4*b^2) - (d^2*h*n*(Log[c*(a + b*x)] +
Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(b*c*(d + e*x))] - Log[((b*c*d + e - a*c*e)*(a + b*x))/(b*(d + e*x))])*Log[(b*(d + e*x
))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]^2)/(4*e^2) + (a^2*h*n*Log[c*(a + b*x)]*Log[d + e*x]*Log[1 - c*(a + b*x)])/
(2*b^2) - (d^2*h*n*Log[c*(a + b*x)]*Log[d + e*x]*Log[1 - c*(a + b*x)])/(2*e^2) - (a^2*h*n*(Log[c*(a + b*x)] -
Log[-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])
^2)/(4*b^2) + (d^2*h*n*(Log[c*(a + b*x)] - Log[-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*
(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])^2)/(4*e^2) - (a^2*g*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(2*b^2) + (a^2*h*n*Po
lyLog[2, c*(a + b*x)])/(4*b^2) + (a*d*h*n*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(2*b*e) + (d*h*n*x*PolyLog[2, c*(a + b*x)])
/(2*e) - (h*n*x^2*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/4 - (d^2*h*n*Log[d + e*x]*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(2*e^2) + (a^2*h
*(n*Log[d + e*x] - Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(2*b^2) + (x^2*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*Poly
Log[2, c*(a + b*x)])/2 - (d^2*h*n*PolyLog[2, (e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(4*e^2) - (a*d*h*n*Po
lyLog[2, (e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(2*b*e) + (a^2*h*n*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c
*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])*PolyLog[2, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/(2*b^2) - (d^2*h*n*(Log[(b*(d + e
*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])*PolyLog[2, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/(2*e^2) +
(a*(1 - a*c)*h*n*PolyLog[2, (b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(2*b^2*c) - ((1 - a*c)^2*h*n*PolyLog[2, (b*
c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(4*b^2*c^2) + (a^2*h*n*(Log[d + e*x] - Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 -
c*(a + b*x)))])*PolyLog[2, 1 - c*(a + b*x)])/(2*b^2) - (d^2*h*n*(Log[d + e*x] - Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)
*(1 - c*(a + b*x)))])*PolyLog[2, 1 - c*(a + b*x)])/(2*e^2) - (a^2*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a
+ b*x)))]*PolyLog[2, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/(2*b^2) + (d^2*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d -
a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/(2*e^2) + (a^2*h*n*Log[(b*(d +
e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/(2*b^2) - (d
^2*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e
*x))])/(2*e^2) - (a^2*h*n*PolyLog[3, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/(2*b^2) + (d^2*h*n*PolyLog[3, (b*(d + e*x))/(
b*d - a*e)])/(2*e^2) - (a^2*h*n*PolyLog[3, 1 - c*(a + b*x)])/(2*b^2) + (d^2*h*n*PolyLog[3, 1 - c*(a + b*x)])/(
2*e^2) - (a^2*h*n*PolyLog[3, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/(2*b^2) + (d^2*h*n*PolyLog[3, -((e*(1
- c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/(2*e^2) + (a^2*h*n*PolyLog[3, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))
])/(2*b^2) - (d^2*h*n*PolyLog[3, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/(2*e^2)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 2.90446, antiderivative size = 2252, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 67, number of rules used = 20, integrand size = 25, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.8, Rules used = {6603, 2430, 43, 2416, 2389, 2295, 2394, 2393, 2391, 2439, 2395, 2440, 2438, 2437, 2435, 6595, 2444, 2421, 6598, 6597} \[ \text{result too large to display} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[x*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)],x]

[Out]

(a*g*x)/(2*b) - ((1 - a*c)*g*x)/(4*b*c) - (5*a*h*n*x)/(4*b) + ((1 - a*c)*h*n*x)/(2*b*c) - (7*d*h*n*x)/(8*e) +
(3*h*n*x^2)/16 + ((1 - a*c)^2*h*n*Log[1 - a*c - b*c*x])/(4*b^2*c^2) - (h*n*x^2*Log[1 - a*c - b*c*x])/4 - (3*a*
h*n*(1 - a*c - b*c*x)*Log[1 - a*c - b*c*x])/(4*b^2*c) - (3*d*h*n*(1 - a*c - b*c*x)*Log[1 - a*c - b*c*x])/(4*b*
c*e) + (d^2*h*n*Log[d + e*x])/(8*e^2) - (d^2*h*n*Log[1 - a*c - b*c*x]*Log[(b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)]
)/(4*e^2) - (a*d*h*n*Log[1 - a*c - b*c*x]*Log[(b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(2*b*e) + (a*h*(d + e*x)*L
og[f*(d + e*x)^n])/(2*b*e) - ((1 - a*c)*h*(d + e*x)*Log[f*(d + e*x)^n])/(4*b*c*e) - (x^2*(g + h*Log[f*(d + e*x
)^n]))/8 - (a*x*Log[1 - a*c - b*c*x]*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]))/(2*b) + (x^2*Log[1 - a*c - b*c*x]*(g + h*Log[
f*(d + e*x)^n]))/4 + (a*(1 - a*c)*Log[(e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)]*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]))/(
2*b^2*c) - ((1 - a*c)^2*Log[(e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)]*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n]))/(4*b^2*c^2)
+ (a^2*h*n*(Log[c*(a + b*x)] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(b*c*(d + e*x))] - Log[((b*c*d + e - a*c*e)*(a + b*x))
/(b*(d + e*x))])*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]^2)/(4*b^2) - (d^2*h*n*(Log[c*(a + b*x)] +
Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(b*c*(d + e*x))] - Log[((b*c*d + e - a*c*e)*(a + b*x))/(b*(d + e*x))])*Log[(b*(d + e*x
))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]^2)/(4*e^2) + (a^2*h*n*Log[c*(a + b*x)]*Log[d + e*x]*Log[1 - c*(a + b*x)])/
(2*b^2) - (d^2*h*n*Log[c*(a + b*x)]*Log[d + e*x]*Log[1 - c*(a + b*x)])/(2*e^2) - (a^2*h*n*(Log[c*(a + b*x)] -
Log[-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])
^2)/(4*b^2) + (d^2*h*n*(Log[c*(a + b*x)] - Log[-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*
(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])^2)/(4*e^2) - (a^2*g*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(2*b^2) + (a^2*h*n*Po
lyLog[2, c*(a + b*x)])/(4*b^2) + (a*d*h*n*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(2*b*e) + (d*h*n*x*PolyLog[2, c*(a + b*x)])
/(2*e) - (h*n*x^2*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/4 - (d^2*h*n*Log[d + e*x]*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(2*e^2) + (a^2*h
*(n*Log[d + e*x] - Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(2*b^2) + (x^2*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*Poly
Log[2, c*(a + b*x)])/2 - (d^2*h*n*PolyLog[2, (e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(4*e^2) - (a*d*h*n*Po
lyLog[2, (e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(2*b*e) + (a^2*h*n*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c
*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])*PolyLog[2, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/(2*b^2) - (d^2*h*n*(Log[(b*(d + e
*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])*PolyLog[2, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/(2*e^2) +
(a*(1 - a*c)*h*n*PolyLog[2, (b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(2*b^2*c) - ((1 - a*c)^2*h*n*PolyLog[2, (b*
c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)])/(4*b^2*c^2) + (a^2*h*n*(Log[d + e*x] - Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 -
c*(a + b*x)))])*PolyLog[2, 1 - c*(a + b*x)])/(2*b^2) - (d^2*h*n*(Log[d + e*x] - Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)
*(1 - c*(a + b*x)))])*PolyLog[2, 1 - c*(a + b*x)])/(2*e^2) - (a^2*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a
+ b*x)))]*PolyLog[2, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/(2*b^2) + (d^2*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d -
a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/(2*e^2) + (a^2*h*n*Log[(b*(d +
e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/(2*b^2) - (d
^2*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e
*x))])/(2*e^2) - (a^2*h*n*PolyLog[3, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/(2*b^2) + (d^2*h*n*PolyLog[3, (b*(d + e*x))/(
b*d - a*e)])/(2*e^2) - (a^2*h*n*PolyLog[3, 1 - c*(a + b*x)])/(2*b^2) + (d^2*h*n*PolyLog[3, 1 - c*(a + b*x)])/(
2*e^2) - (a^2*h*n*PolyLog[3, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/(2*b^2) + (d^2*h*n*PolyLog[3, -((e*(1
- c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/(2*e^2) + (a^2*h*n*PolyLog[3, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))
])/(2*b^2) - (d^2*h*n*PolyLog[3, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/(2*e^2)

Rule 6603

Int[((g_.) + Log[(f_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(h_.))*(x_)^(m_.)*PolyLog[2, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))], x
_Symbol] :> Simp[(x^(m + 1)*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(m + 1), x] + (Dist[b/(m + 1),
Int[ExpandIntegrand[(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*Log[1 - a*c - b*c*x], x^(m + 1)/(a + b*x), x], x], x] - Dist[(
e*h*n)/(m + 1), Int[ExpandIntegrand[PolyLog[2, c*(a + b*x)], x^(m + 1)/(d + e*x), x], x], x]) /; FreeQ[{a, b,
c, d, e, f, g, h, n}, x] && IntegerQ[m] && NeQ[m, -1]

Rule 2430

Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((f_.) + Log[(h_.)*((i_.) + (j_.)*(x_))^(m_.)]*
(g_.)), x_Symbol] :> Simp[x*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]), x] + (-Dist[g*j*m, Int[(x
*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p)/(i + j*x), x], x] - Dist[b*e*n*p, Int[(x*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(p - 1)*(f
+ g*Log[h*(i + j*x)^m]))/(d + e*x), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, m, n}, x] && IGtQ[p, 0]

Rule 43

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x)^m*(c + d
*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[m, 0] && ( !IntegerQ[n] || (EqQ[c, 0]
&& LeQ[7*m + 4*n + 4, 0]) || LtQ[9*m + 5*(n + 1), 0] || GtQ[m + n + 2, 0])

Rule 2416

Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((h_.)*(x_))^(m_.)*((f_) + (g_.)*(x_)^(r_.))^(q
_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p, (h*x)^m*(f + g*x^r)^q, x], x] /; FreeQ[{a,
b, c, d, e, f, g, h, m, n, p, q, r}, x] && IntegerQ[m] && IntegerQ[q]

Rule 2389

Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Dist[1/e, Subst[Int[(a + b*Log[c*
x^n])^p, x], x, d + e*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x]

Rule 2295

Int[Log[(c_.)*(x_)^(n_.)], x_Symbol] :> Simp[x*Log[c*x^n], x] - Simp[n*x, x] /; FreeQ[{c, n}, x]

Rule 2394

Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))/((f_.) + (g_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(Log[(e*(f +
g*x))/(e*f - d*g)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/g, x] - Dist[(b*e*n)/g, Int[Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)]/(d +
e*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && NeQ[e*f - d*g, 0]

Rule 2393

Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))]*(b_.))/((f_.) + (g_.)*(x_)), x_Symbol] :> Dist[1/g, Subst[Int[(a +
b*Log[1 + (c*e*x)/g])/x, x], x, f + g*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && NeQ[e*f - d*g, 0] && EqQ[g
+ c*(e*f - d*g), 0]

Rule 2391

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, -(c*e*x^n)]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rule 2439

Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((f_.) + Log[(h_.)*((i_.) + (j_.)*(x_))^(m_.)]*
(g_.))*(x_)^(r_.), x_Symbol] :> Simp[(x^(r + 1)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]))/(r +
1), x] + (-Dist[(g*j*m)/(r + 1), Int[(x^(r + 1)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p)/(i + j*x), x], x] - Dist[(b*e*n*
p)/(r + 1), Int[(x^(r + 1)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(p - 1)*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]))/(d + e*x), x], x]) /
; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, m, n}, x] && IGtQ[p, 0] && IntegerQ[r] && (EqQ[p, 1] || GtQ[r, 0]) && N
eQ[r, -1]

Rule 2395

Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))*((f_.) + (g_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[((f + g
*x)^(q + 1)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/(g*(q + 1)), x] - Dist[(b*e*n)/(g*(q + 1)), Int[(f + g*x)^(q + 1)/(d +
e*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, q}, x] && NeQ[e*f - d*g, 0] && NeQ[q, -1]

Rule 2440

Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))*((f_.) + Log[(h_.)*((i_.) + (j_.)*(x_))^(m_.)]*(g_.))
*((k_) + (l_.)*(x_))^(r_.), x_Symbol] :> Dist[1/l, Subst[Int[x^r*(a + b*Log[c*(-((e*k - d*l)/l) + (e*x)/l)^n])
*(f + g*Log[h*(-((j*k - i*l)/l) + (j*x)/l)^m]), x], x, k + l*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k,
l, m, n}, x] && IntegerQ[r]

Rule 2438

Int[(((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))*(Log[(h_.)*((i_.) + (j_.)*(x_))^(m_.)]*(g_.) + (f_))
)/(x_), x_Symbol] :> Dist[f, Int[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/x, x], x] + Dist[g, Int[(Log[h*(i + j*x)^m]*(a + b
*Log[c*(d + e*x)^n]))/x, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, m, n}, x] && NeQ[e*i - d*j, 0]

Rule 2437

Int[(Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*Log[(h_.)*((i_.) + (j_.)*(x_))^(m_.)])/(x_), x_Symbol] :> Dist[m, In
t[(Log[i + j*x]*Log[c*(d + e*x)^n])/x, x], x] - Dist[m*Log[i + j*x] - Log[h*(i + j*x)^m], Int[Log[c*(d + e*x)^
n]/x, x], x] /; FreeQ[{c, d, e, h, i, j, m, n}, x] && NeQ[e*i - d*j, 0] && NeQ[i + j*x, h*(i + j*x)^m]

Rule 2435

Int[(Log[(a_) + (b_.)*(x_)]*Log[(c_) + (d_.)*(x_)])/(x_), x_Symbol] :> Simp[Log[-((b*x)/a)]*Log[a + b*x]*Log[c
+ d*x], x] + (Simp[(1*(Log[-((b*x)/a)] - Log[-(((b*c - a*d)*x)/(a*(c + d*x)))] + Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x)
)])*Log[(a*(c + d*x))/(c*(a + b*x))]^2)/2, x] - Simp[(1*(Log[-((b*x)/a)] - Log[-((d*x)/c)])*(Log[a + b*x] + Lo
g[(a*(c + d*x))/(c*(a + b*x))])^2)/2, x] + Simp[(Log[c + d*x] - Log[(a*(c + d*x))/(c*(a + b*x))])*PolyLog[2, 1
+ (b*x)/a], x] + Simp[(Log[a + b*x] + Log[(a*(c + d*x))/(c*(a + b*x))])*PolyLog[2, 1 + (d*x)/c], x] + Simp[Lo
g[(a*(c + d*x))/(c*(a + b*x))]*PolyLog[2, (c*(a + b*x))/(a*(c + d*x))], x] - Simp[Log[(a*(c + d*x))/(c*(a + b*
x))]*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))], x] - Simp[PolyLog[3, 1 + (b*x)/a], x] - Simp[PolyLog[3, 1 + (d*x
)/c], x] + Simp[PolyLog[3, (c*(a + b*x))/(a*(c + d*x))], x] - Simp[PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))], x]
) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]

Rule 6595

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp[x*PolyLog[n, c*(a + b*x)^p], x] + (-Dist[
p, Int[PolyLog[n - 1, c*(a + b*x)^p], x], x] + Dist[a*p, Int[PolyLog[n - 1, c*(a + b*x)^p]/(a + b*x), x], x])
/; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && GtQ[n, 0]

Rule 2444

Int[((a_.) + Log[(c_.)*(v_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*(u_.), x_Symbol] :> Int[u*(a + b*Log[c*ExpandToSum[v, x]^n])^p
, x] /; FreeQ[{a, b, c, n, p}, x] && LinearQ[v, x] &&  !LinearMatchQ[v, x] &&  !(EqQ[n, 1] && MatchQ[c*v, (e_.
)*((f_) + (g_.)*x) /; FreeQ[{e, f, g}, x]])

Rule 2421

Int[((a_.) + Log[(c_.)*(v_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*(u_)^(q_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^q*(a + b*Log[c*
ExpandToSum[v, x]^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, n, p, q}, x] && BinomialQ[u, x] && LinearQ[v, x] &&  !(Binomial
MatchQ[u, x] && LinearMatchQ[v, x])

Rule 6598

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[2, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))], x_Symbol] :> Simp[((d + e*x)^(m + 1)*Po
lyLog[2, c*(a + b*x)])/(e*(m + 1)), x] + Dist[b/(e*(m + 1)), Int[((d + e*x)^(m + 1)*Log[1 - a*c - b*c*x])/(a +
b*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && NeQ[m, -1]

Rule 6597

Int[PolyLog[2, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(Log[d + e*x]*PolyLog[2, c*
(a + b*x)])/e, x] + Dist[b/e, Int[(Log[d + e*x]*Log[1 - a*c - b*c*x])/(a + b*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
e}, x] && NeQ[c*(b*d - a*e) + e, 0]

Rubi steps

\begin{align*} \int x \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x)) \, dx &=\frac{1}{2} x^2 \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))+\frac{1}{2} b \int \left (-\frac{a \log (1-a c-b c x) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )}{b^2}+\frac{x \log (1-a c-b c x) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )}{b}+\frac{a^2 \log (1-a c-b c x) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )}{b^2 (a+b x)}\right ) \, dx-\frac{1}{2} (e h n) \int \left (-\frac{d \text{Li}_2(c (a+b x))}{e^2}+\frac{x \text{Li}_2(c (a+b x))}{e}+\frac{d^2 \text{Li}_2(c (a+b x))}{e^2 (d+e x)}\right ) \, dx\\ &=\frac{1}{2} x^2 \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))+\frac{1}{2} \int x \log (1-a c-b c x) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \, dx-\frac{a \int \log (1-a c-b c x) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \, dx}{2 b}+\frac{a^2 \int \frac{\log (1-a c-b c x) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )}{a+b x} \, dx}{2 b}-\frac{1}{2} (h n) \int x \text{Li}_2(c (a+b x)) \, dx+\frac{(d h n) \int \text{Li}_2(c (a+b x)) \, dx}{2 e}-\frac{\left (d^2 h n\right ) \int \frac{\text{Li}_2(c (a+b x))}{d+e x} \, dx}{2 e}\\ &=-\frac{a x \log (1-a c-b c x) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )}{2 b}+\frac{1}{4} x^2 \log (1-a c-b c x) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )+\frac{d h n x \text{Li}_2(c (a+b x))}{2 e}-\frac{1}{4} h n x^2 \text{Li}_2(c (a+b x))-\frac{d^2 h n \log (d+e x) \text{Li}_2(c (a+b x))}{2 e^2}+\frac{1}{2} x^2 \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))+\frac{a^2 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (-\frac{-a b c-b (1-a c)}{b}-c x\right ) \left (g+h \log \left (f \left (-\frac{-b d+a e}{b}+\frac{e x}{b}\right )^n\right )\right )}{x} \, dx,x,a+b x\right )}{2 b^2}-\frac{1}{2} (a c) \int \frac{x \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )}{1-a c-b c x} \, dx+\frac{1}{4} (b c) \int \frac{x^2 \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )}{1-a c-b c x} \, dx-\frac{1}{4} (b h n) \int \frac{x^2 \log (1-a c-b c x)}{a+b x} \, dx-\frac{\left (b d^2 h n\right ) \int \frac{\log (1-a c-b c x) \log (d+e x)}{a+b x} \, dx}{2 e^2}+\frac{(d h n) \int \log (1-c (a+b x)) \, dx}{2 e}-\frac{(a d h n) \int \frac{\log (1-c (a+b x))}{a+b x} \, dx}{2 e}-\frac{1}{4} (e h n) \int \frac{x^2 \log (1-a c-b c x)}{d+e x} \, dx+\frac{(a e h n) \int \frac{x \log (1-a c-b c x)}{d+e x} \, dx}{2 b}\\ &=-\frac{a x \log (1-a c-b c x) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )}{2 b}+\frac{1}{4} x^2 \log (1-a c-b c x) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )+\frac{d h n x \text{Li}_2(c (a+b x))}{2 e}-\frac{1}{4} h n x^2 \text{Li}_2(c (a+b x))-\frac{d^2 h n \log (d+e x) \text{Li}_2(c (a+b x))}{2 e^2}+\frac{1}{2} x^2 \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))-\frac{1}{2} (a c) \int \left (-\frac{g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )}{b c}+\frac{(-1+a c) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )}{b c (-1+a c+b c x)}\right ) \, dx+\frac{1}{4} (b c) \int \left (\frac{(-1+a c) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )}{b^2 c^2}-\frac{x \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )}{b c}-\frac{(-1+a c)^2 \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )}{b^2 c^2 (-1+a c+b c x)}\right ) \, dx+\frac{\left (a^2 g\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (-\frac{-a b c-b (1-a c)}{b}-c x\right )}{x} \, dx,x,a+b x\right )}{2 b^2}+\frac{\left (a^2 h\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (-\frac{-a b c-b (1-a c)}{b}-c x\right ) \log \left (f \left (-\frac{-b d+a e}{b}+\frac{e x}{b}\right )^n\right )}{x} \, dx,x,a+b x\right )}{2 b^2}-\frac{1}{4} (b h n) \int \left (-\frac{a \log (1-a c-b c x)}{b^2}+\frac{x \log (1-a c-b c x)}{b}+\frac{a^2 \log (1-a c-b c x)}{b^2 (a+b x)}\right ) \, dx-\frac{\left (d^2 h n\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (-\frac{-a b c-b (1-a c)}{b}-c x\right ) \log \left (-\frac{-b d+a e}{b}+\frac{e x}{b}\right )}{x} \, dx,x,a+b x\right )}{2 e^2}+\frac{(d h n) \int \log (1-a c-b c x) \, dx}{2 e}-\frac{(a d h n) \int \frac{\log (1-a c-b c x)}{a+b x} \, dx}{2 e}-\frac{1}{4} (e h n) \int \left (-\frac{d \log (1-a c-b c x)}{e^2}+\frac{x \log (1-a c-b c x)}{e}+\frac{d^2 \log (1-a c-b c x)}{e^2 (d+e x)}\right ) \, dx+\frac{(a e h n) \int \left (\frac{\log (1-a c-b c x)}{e}-\frac{d \log (1-a c-b c x)}{e (d+e x)}\right ) \, dx}{2 b}\\ &=-\frac{a x \log (1-a c-b c x) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )}{2 b}+\frac{1}{4} x^2 \log (1-a c-b c x) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )-\frac{d^2 h n \left (\log (c (a+b x))+\log \left (\frac{b c d+e-a c e}{b c (d+e x)}\right )-\log \left (\frac{(b c d+e-a c e) (a+b x)}{b (d+e x)}\right )\right ) \log ^2\left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )}{4 e^2}-\frac{d^2 h n \log (c (a+b x)) \log (d+e x) \log (1-c (a+b x))}{2 e^2}+\frac{d^2 h n \left (\log (c (a+b x))-\log \left (-\frac{e (a+b x)}{b d-a e}\right )\right ) \left (\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )+\log (1-c (a+b x))\right )^2}{4 e^2}-\frac{a^2 g \text{Li}_2(c (a+b x))}{2 b^2}+\frac{d h n x \text{Li}_2(c (a+b x))}{2 e}-\frac{1}{4} h n x^2 \text{Li}_2(c (a+b x))-\frac{d^2 h n \log (d+e x) \text{Li}_2(c (a+b x))}{2 e^2}+\frac{1}{2} x^2 \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))-\frac{d^2 h n \left (\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )+\log (1-c (a+b x))\right ) \text{Li}_2\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{2 e^2}-\frac{d^2 h n \left (\log (d+e x)-\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )\right ) \text{Li}_2(1-c (a+b x))}{2 e^2}+\frac{d^2 h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right ) \text{Li}_2\left (-\frac{e (1-c (a+b x))}{b c (d+e x)}\right )}{2 e^2}-\frac{d^2 h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right ) \text{Li}_2\left (\frac{(b d-a e) (1-c (a+b x))}{b (d+e x)}\right )}{2 e^2}+\frac{d^2 h n \text{Li}_3\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{2 e^2}+\frac{d^2 h n \text{Li}_3(1-c (a+b x))}{2 e^2}+\frac{d^2 h n \text{Li}_3\left (-\frac{e (1-c (a+b x))}{b c (d+e x)}\right )}{2 e^2}-\frac{d^2 h n \text{Li}_3\left (\frac{(b d-a e) (1-c (a+b x))}{b (d+e x)}\right )}{2 e^2}-\frac{1}{4} \int x \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \, dx+\frac{a \int \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \, dx}{2 b}+\frac{(a (1-a c)) \int \frac{g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )}{-1+a c+b c x} \, dx}{2 b}-\frac{(1-a c) \int \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \, dx}{4 b c}-\frac{(1-a c)^2 \int \frac{g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )}{-1+a c+b c x} \, dx}{4 b c}-2 \left (\frac{1}{4} (h n) \int x \log (1-a c-b c x) \, dx\right )+\frac{\left (a^2 h n\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (-\frac{-a b c-b (1-a c)}{b}-c x\right ) \log \left (-\frac{-b d+a e}{b}+\frac{e x}{b}\right )}{x} \, dx,x,a+b x\right )}{2 b^2}+\frac{(a h n) \int \log (1-a c-b c x) \, dx}{4 b}+\frac{(a h n) \int \log (1-a c-b c x) \, dx}{2 b}-\frac{\left (a^2 h n\right ) \int \frac{\log (1-a c-b c x)}{a+b x} \, dx}{4 b}-\frac{(a d h n) \int \frac{\log (1-a c-b c x)}{d+e x} \, dx}{2 b}+\frac{(d h n) \int \log (1-a c-b c x) \, dx}{4 e}-\frac{(a d h n) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1-c x)}{x} \, dx,x,a+b x\right )}{2 b e}-\frac{(d h n) \operatorname{Subst}(\int \log (x) \, dx,x,1-a c-b c x)}{2 b c e}-\frac{\left (d^2 h n\right ) \int \frac{\log (1-a c-b c x)}{d+e x} \, dx}{4 e}-\frac{\left (a^2 h \left (n \log (d+e x)-\log \left (f (d+e x)^n\right )\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (-\frac{-a b c-b (1-a c)}{b}-c x\right )}{x} \, dx,x,a+b x\right )}{2 b^2}\\ &=\frac{a g x}{2 b}-\frac{(1-a c) g x}{4 b c}-\frac{d h n x}{2 e}-\frac{d h n (1-a c-b c x) \log (1-a c-b c x)}{2 b c e}-\frac{d^2 h n \log (1-a c-b c x) \log \left (\frac{b c (d+e x)}{b c d+e-a c e}\right )}{4 e^2}-\frac{a d h n \log (1-a c-b c x) \log \left (\frac{b c (d+e x)}{b c d+e-a c e}\right )}{2 b e}-\frac{1}{8} x^2 \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )-\frac{a x \log (1-a c-b c x) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )}{2 b}+\frac{1}{4} x^2 \log (1-a c-b c x) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )+\frac{a (1-a c) \log \left (\frac{e (1-a c-b c x)}{b c d+e-a c e}\right ) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )}{2 b^2 c}-\frac{(1-a c)^2 \log \left (\frac{e (1-a c-b c x)}{b c d+e-a c e}\right ) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )}{4 b^2 c^2}+\frac{a^2 h n \left (\log (c (a+b x))+\log \left (\frac{b c d+e-a c e}{b c (d+e x)}\right )-\log \left (\frac{(b c d+e-a c e) (a+b x)}{b (d+e x)}\right )\right ) \log ^2\left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )}{4 b^2}-\frac{d^2 h n \left (\log (c (a+b x))+\log \left (\frac{b c d+e-a c e}{b c (d+e x)}\right )-\log \left (\frac{(b c d+e-a c e) (a+b x)}{b (d+e x)}\right )\right ) \log ^2\left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )}{4 e^2}+\frac{a^2 h n \log (c (a+b x)) \log (d+e x) \log (1-c (a+b x))}{2 b^2}-\frac{d^2 h n \log (c (a+b x)) \log (d+e x) \log (1-c (a+b x))}{2 e^2}-\frac{a^2 h n \left (\log (c (a+b x))-\log \left (-\frac{e (a+b x)}{b d-a e}\right )\right ) \left (\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )+\log (1-c (a+b x))\right )^2}{4 b^2}+\frac{d^2 h n \left (\log (c (a+b x))-\log \left (-\frac{e (a+b x)}{b d-a e}\right )\right ) \left (\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )+\log (1-c (a+b x))\right )^2}{4 e^2}-\frac{a^2 g \text{Li}_2(c (a+b x))}{2 b^2}+\frac{a d h n \text{Li}_2(c (a+b x))}{2 b e}+\frac{d h n x \text{Li}_2(c (a+b x))}{2 e}-\frac{1}{4} h n x^2 \text{Li}_2(c (a+b x))-\frac{d^2 h n \log (d+e x) \text{Li}_2(c (a+b x))}{2 e^2}+\frac{a^2 h \left (n \log (d+e x)-\log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))}{2 b^2}+\frac{1}{2} x^2 \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))+\frac{a^2 h n \left (\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )+\log (1-c (a+b x))\right ) \text{Li}_2\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{2 b^2}-\frac{d^2 h n \left (\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )+\log (1-c (a+b x))\right ) \text{Li}_2\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{2 e^2}+\frac{a^2 h n \left (\log (d+e x)-\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )\right ) \text{Li}_2(1-c (a+b x))}{2 b^2}-\frac{d^2 h n \left (\log (d+e x)-\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )\right ) \text{Li}_2(1-c (a+b x))}{2 e^2}-\frac{a^2 h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right ) \text{Li}_2\left (-\frac{e (1-c (a+b x))}{b c (d+e x)}\right )}{2 b^2}+\frac{d^2 h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right ) \text{Li}_2\left (-\frac{e (1-c (a+b x))}{b c (d+e x)}\right )}{2 e^2}+\frac{a^2 h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right ) \text{Li}_2\left (\frac{(b d-a e) (1-c (a+b x))}{b (d+e x)}\right )}{2 b^2}-\frac{d^2 h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right ) \text{Li}_2\left (\frac{(b d-a e) (1-c (a+b x))}{b (d+e x)}\right )}{2 e^2}-\frac{a^2 h n \text{Li}_3\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{2 b^2}+\frac{d^2 h n \text{Li}_3\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{2 e^2}-\frac{a^2 h n \text{Li}_3(1-c (a+b x))}{2 b^2}+\frac{d^2 h n \text{Li}_3(1-c (a+b x))}{2 e^2}-\frac{a^2 h n \text{Li}_3\left (-\frac{e (1-c (a+b x))}{b c (d+e x)}\right )}{2 b^2}+\frac{d^2 h n \text{Li}_3\left (-\frac{e (1-c (a+b x))}{b c (d+e x)}\right )}{2 e^2}+\frac{a^2 h n \text{Li}_3\left (\frac{(b d-a e) (1-c (a+b x))}{b (d+e x)}\right )}{2 b^2}-\frac{d^2 h n \text{Li}_3\left (\frac{(b d-a e) (1-c (a+b x))}{b (d+e x)}\right )}{2 e^2}+\frac{(a h) \int \log \left (f (d+e x)^n\right ) \, dx}{2 b}-\frac{((1-a c) h) \int \log \left (f (d+e x)^n\right ) \, dx}{4 b c}-\frac{\left (a^2 h n\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1-c x)}{x} \, dx,x,a+b x\right )}{4 b^2}-\frac{(a h n) \operatorname{Subst}(\int \log (x) \, dx,x,1-a c-b c x)}{4 b^2 c}-\frac{(a h n) \operatorname{Subst}(\int \log (x) \, dx,x,1-a c-b c x)}{2 b^2 c}-2 \left (\frac{1}{8} h n x^2 \log (1-a c-b c x)+\frac{1}{8} (b c h n) \int \frac{x^2}{1-a c-b c x} \, dx\right )-\frac{\left (b c d^2 h n\right ) \int \frac{\log \left (-\frac{b c (d+e x)}{-b c d-(1-a c) e}\right )}{1-a c-b c x} \, dx}{4 e^2}-\frac{(d h n) \operatorname{Subst}(\int \log (x) \, dx,x,1-a c-b c x)}{4 b c e}-\frac{(a c d h n) \int \frac{\log \left (-\frac{b c (d+e x)}{-b c d-(1-a c) e}\right )}{1-a c-b c x} \, dx}{2 e}+\frac{1}{8} (e h n) \int \frac{x^2}{d+e x} \, dx-\frac{(a (1-a c) e h n) \int \frac{\log \left (\frac{e (-1+a c+b c x)}{-b c d+(-1+a c) e}\right )}{d+e x} \, dx}{2 b^2 c}+\frac{\left ((1-a c)^2 e h n\right ) \int \frac{\log \left (\frac{e (-1+a c+b c x)}{-b c d+(-1+a c) e}\right )}{d+e x} \, dx}{4 b^2 c^2}\\ &=\frac{a g x}{2 b}-\frac{(1-a c) g x}{4 b c}-\frac{3 a h n x}{4 b}-\frac{3 d h n x}{4 e}-\frac{3 a h n (1-a c-b c x) \log (1-a c-b c x)}{4 b^2 c}-\frac{3 d h n (1-a c-b c x) \log (1-a c-b c x)}{4 b c e}-\frac{d^2 h n \log (1-a c-b c x) \log \left (\frac{b c (d+e x)}{b c d+e-a c e}\right )}{4 e^2}-\frac{a d h n \log (1-a c-b c x) \log \left (\frac{b c (d+e x)}{b c d+e-a c e}\right )}{2 b e}-\frac{1}{8} x^2 \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )-\frac{a x \log (1-a c-b c x) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )}{2 b}+\frac{1}{4} x^2 \log (1-a c-b c x) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )+\frac{a (1-a c) \log \left (\frac{e (1-a c-b c x)}{b c d+e-a c e}\right ) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )}{2 b^2 c}-\frac{(1-a c)^2 \log \left (\frac{e (1-a c-b c x)}{b c d+e-a c e}\right ) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )}{4 b^2 c^2}+\frac{a^2 h n \left (\log (c (a+b x))+\log \left (\frac{b c d+e-a c e}{b c (d+e x)}\right )-\log \left (\frac{(b c d+e-a c e) (a+b x)}{b (d+e x)}\right )\right ) \log ^2\left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )}{4 b^2}-\frac{d^2 h n \left (\log (c (a+b x))+\log \left (\frac{b c d+e-a c e}{b c (d+e x)}\right )-\log \left (\frac{(b c d+e-a c e) (a+b x)}{b (d+e x)}\right )\right ) \log ^2\left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )}{4 e^2}+\frac{a^2 h n \log (c (a+b x)) \log (d+e x) \log (1-c (a+b x))}{2 b^2}-\frac{d^2 h n \log (c (a+b x)) \log (d+e x) \log (1-c (a+b x))}{2 e^2}-\frac{a^2 h n \left (\log (c (a+b x))-\log \left (-\frac{e (a+b x)}{b d-a e}\right )\right ) \left (\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )+\log (1-c (a+b x))\right )^2}{4 b^2}+\frac{d^2 h n \left (\log (c (a+b x))-\log \left (-\frac{e (a+b x)}{b d-a e}\right )\right ) \left (\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )+\log (1-c (a+b x))\right )^2}{4 e^2}-\frac{a^2 g \text{Li}_2(c (a+b x))}{2 b^2}+\frac{a^2 h n \text{Li}_2(c (a+b x))}{4 b^2}+\frac{a d h n \text{Li}_2(c (a+b x))}{2 b e}+\frac{d h n x \text{Li}_2(c (a+b x))}{2 e}-\frac{1}{4} h n x^2 \text{Li}_2(c (a+b x))-\frac{d^2 h n \log (d+e x) \text{Li}_2(c (a+b x))}{2 e^2}+\frac{a^2 h \left (n \log (d+e x)-\log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))}{2 b^2}+\frac{1}{2} x^2 \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))+\frac{a^2 h n \left (\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )+\log (1-c (a+b x))\right ) \text{Li}_2\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{2 b^2}-\frac{d^2 h n \left (\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )+\log (1-c (a+b x))\right ) \text{Li}_2\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{2 e^2}+\frac{a^2 h n \left (\log (d+e x)-\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )\right ) \text{Li}_2(1-c (a+b x))}{2 b^2}-\frac{d^2 h n \left (\log (d+e x)-\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )\right ) \text{Li}_2(1-c (a+b x))}{2 e^2}-\frac{a^2 h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right ) \text{Li}_2\left (-\frac{e (1-c (a+b x))}{b c (d+e x)}\right )}{2 b^2}+\frac{d^2 h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right ) \text{Li}_2\left (-\frac{e (1-c (a+b x))}{b c (d+e x)}\right )}{2 e^2}+\frac{a^2 h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right ) \text{Li}_2\left (\frac{(b d-a e) (1-c (a+b x))}{b (d+e x)}\right )}{2 b^2}-\frac{d^2 h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right ) \text{Li}_2\left (\frac{(b d-a e) (1-c (a+b x))}{b (d+e x)}\right )}{2 e^2}-\frac{a^2 h n \text{Li}_3\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{2 b^2}+\frac{d^2 h n \text{Li}_3\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{2 e^2}-\frac{a^2 h n \text{Li}_3(1-c (a+b x))}{2 b^2}+\frac{d^2 h n \text{Li}_3(1-c (a+b x))}{2 e^2}-\frac{a^2 h n \text{Li}_3\left (-\frac{e (1-c (a+b x))}{b c (d+e x)}\right )}{2 b^2}+\frac{d^2 h n \text{Li}_3\left (-\frac{e (1-c (a+b x))}{b c (d+e x)}\right )}{2 e^2}+\frac{a^2 h n \text{Li}_3\left (\frac{(b d-a e) (1-c (a+b x))}{b (d+e x)}\right )}{2 b^2}-\frac{d^2 h n \text{Li}_3\left (\frac{(b d-a e) (1-c (a+b x))}{b (d+e x)}\right )}{2 e^2}+\frac{(a h) \operatorname{Subst}\left (\int \log \left (f x^n\right ) \, dx,x,d+e x\right )}{2 b e}-\frac{((1-a c) h) \operatorname{Subst}\left (\int \log \left (f x^n\right ) \, dx,x,d+e x\right )}{4 b c e}-2 \left (\frac{1}{8} h n x^2 \log (1-a c-b c x)+\frac{1}{8} (b c h n) \int \left (\frac{-1+a c}{b^2 c^2}-\frac{x}{b c}-\frac{(-1+a c)^2}{b^2 c^2 (-1+a c+b c x)}\right ) \, dx\right )-\frac{(a (1-a c) h n) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (1+\frac{b c x}{-b c d+(-1+a c) e}\right )}{x} \, dx,x,d+e x\right )}{2 b^2 c}+\frac{\left ((1-a c)^2 h n\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (1+\frac{b c x}{-b c d+(-1+a c) e}\right )}{x} \, dx,x,d+e x\right )}{4 b^2 c^2}+\frac{\left (d^2 h n\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (1+\frac{e x}{-b c d-(1-a c) e}\right )}{x} \, dx,x,1-a c-b c x\right )}{4 e^2}+\frac{(a d h n) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (1+\frac{e x}{-b c d-(1-a c) e}\right )}{x} \, dx,x,1-a c-b c x\right )}{2 b e}+\frac{1}{8} (e h n) \int \left (-\frac{d}{e^2}+\frac{x}{e}+\frac{d^2}{e^2 (d+e x)}\right ) \, dx\\ &=\frac{a g x}{2 b}-\frac{(1-a c) g x}{4 b c}-\frac{5 a h n x}{4 b}+\frac{(1-a c) h n x}{4 b c}-\frac{7 d h n x}{8 e}+\frac{1}{16} h n x^2-\frac{3 a h n (1-a c-b c x) \log (1-a c-b c x)}{4 b^2 c}-\frac{3 d h n (1-a c-b c x) \log (1-a c-b c x)}{4 b c e}-2 \left (-\frac{(1-a c) h n x}{8 b c}-\frac{1}{16} h n x^2-\frac{(1-a c)^2 h n \log (1-a c-b c x)}{8 b^2 c^2}+\frac{1}{8} h n x^2 \log (1-a c-b c x)\right )+\frac{d^2 h n \log (d+e x)}{8 e^2}-\frac{d^2 h n \log (1-a c-b c x) \log \left (\frac{b c (d+e x)}{b c d+e-a c e}\right )}{4 e^2}-\frac{a d h n \log (1-a c-b c x) \log \left (\frac{b c (d+e x)}{b c d+e-a c e}\right )}{2 b e}+\frac{a h (d+e x) \log \left (f (d+e x)^n\right )}{2 b e}-\frac{(1-a c) h (d+e x) \log \left (f (d+e x)^n\right )}{4 b c e}-\frac{1}{8} x^2 \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )-\frac{a x \log (1-a c-b c x) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )}{2 b}+\frac{1}{4} x^2 \log (1-a c-b c x) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )+\frac{a (1-a c) \log \left (\frac{e (1-a c-b c x)}{b c d+e-a c e}\right ) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )}{2 b^2 c}-\frac{(1-a c)^2 \log \left (\frac{e (1-a c-b c x)}{b c d+e-a c e}\right ) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )}{4 b^2 c^2}+\frac{a^2 h n \left (\log (c (a+b x))+\log \left (\frac{b c d+e-a c e}{b c (d+e x)}\right )-\log \left (\frac{(b c d+e-a c e) (a+b x)}{b (d+e x)}\right )\right ) \log ^2\left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )}{4 b^2}-\frac{d^2 h n \left (\log (c (a+b x))+\log \left (\frac{b c d+e-a c e}{b c (d+e x)}\right )-\log \left (\frac{(b c d+e-a c e) (a+b x)}{b (d+e x)}\right )\right ) \log ^2\left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )}{4 e^2}+\frac{a^2 h n \log (c (a+b x)) \log (d+e x) \log (1-c (a+b x))}{2 b^2}-\frac{d^2 h n \log (c (a+b x)) \log (d+e x) \log (1-c (a+b x))}{2 e^2}-\frac{a^2 h n \left (\log (c (a+b x))-\log \left (-\frac{e (a+b x)}{b d-a e}\right )\right ) \left (\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )+\log (1-c (a+b x))\right )^2}{4 b^2}+\frac{d^2 h n \left (\log (c (a+b x))-\log \left (-\frac{e (a+b x)}{b d-a e}\right )\right ) \left (\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )+\log (1-c (a+b x))\right )^2}{4 e^2}-\frac{a^2 g \text{Li}_2(c (a+b x))}{2 b^2}+\frac{a^2 h n \text{Li}_2(c (a+b x))}{4 b^2}+\frac{a d h n \text{Li}_2(c (a+b x))}{2 b e}+\frac{d h n x \text{Li}_2(c (a+b x))}{2 e}-\frac{1}{4} h n x^2 \text{Li}_2(c (a+b x))-\frac{d^2 h n \log (d+e x) \text{Li}_2(c (a+b x))}{2 e^2}+\frac{a^2 h \left (n \log (d+e x)-\log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))}{2 b^2}+\frac{1}{2} x^2 \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))-\frac{d^2 h n \text{Li}_2\left (\frac{e (1-a c-b c x)}{b c d+e-a c e}\right )}{4 e^2}-\frac{a d h n \text{Li}_2\left (\frac{e (1-a c-b c x)}{b c d+e-a c e}\right )}{2 b e}+\frac{a^2 h n \left (\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )+\log (1-c (a+b x))\right ) \text{Li}_2\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{2 b^2}-\frac{d^2 h n \left (\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )+\log (1-c (a+b x))\right ) \text{Li}_2\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{2 e^2}+\frac{a (1-a c) h n \text{Li}_2\left (\frac{b c (d+e x)}{b c d+e-a c e}\right )}{2 b^2 c}-\frac{(1-a c)^2 h n \text{Li}_2\left (\frac{b c (d+e x)}{b c d+e-a c e}\right )}{4 b^2 c^2}+\frac{a^2 h n \left (\log (d+e x)-\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )\right ) \text{Li}_2(1-c (a+b x))}{2 b^2}-\frac{d^2 h n \left (\log (d+e x)-\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )\right ) \text{Li}_2(1-c (a+b x))}{2 e^2}-\frac{a^2 h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right ) \text{Li}_2\left (-\frac{e (1-c (a+b x))}{b c (d+e x)}\right )}{2 b^2}+\frac{d^2 h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right ) \text{Li}_2\left (-\frac{e (1-c (a+b x))}{b c (d+e x)}\right )}{2 e^2}+\frac{a^2 h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right ) \text{Li}_2\left (\frac{(b d-a e) (1-c (a+b x))}{b (d+e x)}\right )}{2 b^2}-\frac{d^2 h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right ) \text{Li}_2\left (\frac{(b d-a e) (1-c (a+b x))}{b (d+e x)}\right )}{2 e^2}-\frac{a^2 h n \text{Li}_3\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{2 b^2}+\frac{d^2 h n \text{Li}_3\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{2 e^2}-\frac{a^2 h n \text{Li}_3(1-c (a+b x))}{2 b^2}+\frac{d^2 h n \text{Li}_3(1-c (a+b x))}{2 e^2}-\frac{a^2 h n \text{Li}_3\left (-\frac{e (1-c (a+b x))}{b c (d+e x)}\right )}{2 b^2}+\frac{d^2 h n \text{Li}_3\left (-\frac{e (1-c (a+b x))}{b c (d+e x)}\right )}{2 e^2}+\frac{a^2 h n \text{Li}_3\left (\frac{(b d-a e) (1-c (a+b x))}{b (d+e x)}\right )}{2 b^2}-\frac{d^2 h n \text{Li}_3\left (\frac{(b d-a e) (1-c (a+b x))}{b (d+e x)}\right )}{2 e^2}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 8.83211, size = 1996, normalized size = 0.89 \[ \text{result too large to display} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[x*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)],x]

[Out]

((g - h*n*Log[d + e*x] + h*Log[f*(d + e*x)^n])*(-(b*c*x*(2 - 6*a*c + b*c*x)) + (-2 - 6*a^2*c^2 + 2*b^2*c^2*x^2
- 4*a*c*(-2 + b*c*x))*Log[1 - a*c - b*c*x] - 4*c^2*(a^2 - b^2*x^2)*PolyLog[2, c*(a + b*x)]))/(8*b^2*c^2) + (h
*n*(4*b^2*c^2*(e*x*(2*d - e*x) - 2*(d^2 - e^2*x^2)*Log[d + e*x])*PolyLog[2, c*(a + b*x)] + 8*b*c*d*e*(1 - a*c
- b*c*x + (-1 + a*c + b*c*x - a*c*Log[c*(a + b*x)])*Log[1 - a*c - b*c*x] - a*c*PolyLog[2, 1 - a*c - b*c*x]) +
e^2*(c*(-4*a^2*c + a*(4 - 6*b*c*x) + b*x*(2 + b*c*x)) + (2 + 6*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2*x^2 + 4*a*c*(-2 + b*c*x) -
4*a^2*c^2*Log[c*(a + b*x)])*Log[1 - a*c - b*c*x] - 4*a^2*c^2*PolyLog[2, 1 - a*c - b*c*x]) - 8*b^2*c^2*d^2*(Log
[c*(a + b*x)]*Log[1 - a*c - b*c*x]*Log[d + e*x] + ((Log[c*(a + b*x)] - Log[(e*(a + b*x))/(-(b*d) + a*e)])*Log[
(b*(d + e*x))/(b*d - a*e)]*(-2*Log[1 - a*c - b*c*x] + Log[(b*(d + e*x))/(b*d - a*e)]))/2 + (-Log[c*(a + b*x)]
+ Log[(e*(a + b*x))/(-(b*d) + a*e)])*Log[(b*(d + e*x))/(b*d - a*e)]*Log[-((b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c
+ b*c*x)))] + (Log[-((b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c + b*c*x)))]^2*(Log[c*(a + b*x)] - Log[((b*c*d + e -
a*c*e)*(a + b*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c + b*c*x))] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(e - a*c*e - b*c*e*x)]))/2 + (L
og[d + e*x] - Log[-((b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c + b*c*x)))])*PolyLog[2, 1 - a*c - b*c*x] + (Log[1 - a
*c - b*c*x] + Log[-((b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c + b*c*x)))])*PolyLog[2, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)] +
Log[-((b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c + b*c*x)))]*(PolyLog[2, (b*c*(d + e*x))/(e*(-1 + a*c + b*c*x))] - P
olyLog[2, -((b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c + b*c*x)))]) - PolyLog[3, 1 - a*c - b*c*x] - PolyLog[3, (b*(d
+ e*x))/(b*d - a*e)] - PolyLog[3, (b*c*(d + e*x))/(e*(-1 + a*c + b*c*x))] + PolyLog[3, -((b*(d + e*x))/((b*d
- a*e)*(-1 + a*c + b*c*x)))]) + 2*(b*c*(e*(d*(2 - 2*a*c - 3*b*c*x) + e*x*(3 - 3*a*c + b*c*x)) + (d + e*x)*(2*(
-1 + a*c)*e + b*c*(d - e*x))*Log[d + e*x]) + Log[1 - a*c - b*c*x]*(e*(-1 + a*c + b*c*x)*((-1 + a*c)*e + b*c*(2
*d - e*x)) - 2*e^2*(1 - 2*a*c + a^2*c^2 - b^2*c^2*x^2)*Log[d + e*x] + 2*(-(b^2*c^2*d^2) + (-1 + a*c)^2*e^2)*Lo
g[(b*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)]) + 2*(-(b^2*c^2*d^2) + (-1 + a*c)^2*e^2)*PolyLog[2, (e*(-1 + a*c + b*c*
x))/(-(b*c*d) + (-1 + a*c)*e)] + 4*a*c*e*(e - a*c*e - 2*b*c*e*x + b*c*d*Log[d + e*x] + b*c*e*x*Log[d + e*x] -
Log[1 - a*c - b*c*x]*(-(e*(-1 + a*c + b*c*x)) + e*(-1 + a*c + b*c*x)*Log[d + e*x] + (b*c*d + e - a*c*e)*Log[(b
*c*(d + e*x))/(b*c*d + e - a*c*e)]) - (b*c*d + e - a*c*e)*PolyLog[2, (e*(-1 + a*c + b*c*x))/(-(b*c*d) + (-1 +
a*c)*e)]) + 4*a^2*c^2*e^2*(Log[c*(a + b*x)]*Log[1 - a*c - b*c*x]*Log[d + e*x] + ((Log[c*(a + b*x)] - Log[(e*(a
+ b*x))/(-(b*d) + a*e)])*Log[(b*(d + e*x))/(b*d - a*e)]*(-2*Log[1 - a*c - b*c*x] + Log[(b*(d + e*x))/(b*d - a
*e)]))/2 + (-Log[c*(a + b*x)] + Log[(e*(a + b*x))/(-(b*d) + a*e)])*Log[(b*(d + e*x))/(b*d - a*e)]*Log[-((b*(d
+ e*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c + b*c*x)))] + (Log[-((b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c + b*c*x)))]^2*(Log[c*
(a + b*x)] - Log[((b*c*d + e - a*c*e)*(a + b*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c + b*c*x))] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(
e - a*c*e - b*c*e*x)]))/2 + (Log[d + e*x] - Log[-((b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c + b*c*x)))])*PolyLog[2,
1 - a*c - b*c*x] + (Log[1 - a*c - b*c*x] + Log[-((b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c + b*c*x)))])*PolyLog[2,
(b*(d + e*x))/(b*d - a*e)] + Log[-((b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c + b*c*x)))]*(PolyLog[2, (b*c*(d + e*x
))/(e*(-1 + a*c + b*c*x))] - PolyLog[2, -((b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c + b*c*x)))]) - PolyLog[3, 1 - a
*c - b*c*x] - PolyLog[3, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)] - PolyLog[3, (b*c*(d + e*x))/(e*(-1 + a*c + b*c*x))] + Pol
yLog[3, -((b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(-1 + a*c + b*c*x)))]))))/(16*b^2*c^2*e^2)

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.289, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int x \left ( g+h\ln \left ( f \left ( ex+d \right ) ^{n} \right ) \right ){\it polylog} \left ( 2,c \left ( bx+a \right ) \right ) \, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(x*(g+h*ln(f*(e*x+d)^n))*polylog(2,c*(b*x+a)),x)

[Out]

int(x*(g+h*ln(f*(e*x+d)^n))*polylog(2,c*(b*x+a)),x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \frac{{\left (2 \, e^{2} h x^{2} \log \left ({\left (e x + d\right )}^{n}\right ) + 2 \, d e h n x - 2 \, d^{2} h n \log \left (e x + d\right ) -{\left (e^{2} h n - 2 \, e^{2} h \log \left (f\right ) - 2 \, e^{2} g\right )} x^{2}\right )}{\rm Li}_2\left (b c x + a c\right )}{4 \, e^{2}} + \int \frac{2 \, b e^{2} h x^{2} \log \left (-b c x - a c + 1\right ) \log \left ({\left (e x + d\right )}^{n}\right ) +{\left (2 \, b d e h n x - 2 \, b d^{2} h n \log \left (e x + d\right ) -{\left (b e^{2} h n - 2 \, b e^{2} h \log \left (f\right ) - 2 \, b e^{2} g\right )} x^{2}\right )} \log \left (-b c x - a c + 1\right )}{4 \,{\left (b e^{2} x + a e^{2}\right )}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x*(g+h*log(f*(e*x+d)^n))*polylog(2,c*(b*x+a)),x, algorithm="maxima")

[Out]

1/4*(2*e^2*h*x^2*log((e*x + d)^n) + 2*d*e*h*n*x - 2*d^2*h*n*log(e*x + d) - (e^2*h*n - 2*e^2*h*log(f) - 2*e^2*g
)*x^2)*dilog(b*c*x + a*c)/e^2 + integrate(1/4*(2*b*e^2*h*x^2*log(-b*c*x - a*c + 1)*log((e*x + d)^n) + (2*b*d*e
*h*n*x - 2*b*d^2*h*n*log(e*x + d) - (b*e^2*h*n - 2*b*e^2*h*log(f) - 2*b*e^2*g)*x^2)*log(-b*c*x - a*c + 1))/(b*
e^2*x + a*e^2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (h x{\rm Li}_2\left (b c x + a c\right ) \log \left ({\left (e x + d\right )}^{n} f\right ) + g x{\rm Li}_2\left (b c x + a c\right ), x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x*(g+h*log(f*(e*x+d)^n))*polylog(2,c*(b*x+a)),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(h*x*dilog(b*c*x + a*c)*log((e*x + d)^n*f) + g*x*dilog(b*c*x + a*c), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x*(g+h*ln(f*(e*x+d)**n))*polylog(2,c*(b*x+a)),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (h \log \left ({\left (e x + d\right )}^{n} f\right ) + g\right )} x{\rm Li}_2\left ({\left (b x + a\right )} c\right )\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x*(g+h*log(f*(e*x+d)^n))*polylog(2,c*(b*x+a)),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((h*log((e*x + d)^n*f) + g)*x*dilog((b*x + a)*c), x)