3.209 \(\int \frac{\tanh ^3(x)}{\sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=183 \[ \frac{b \tanh ^{-1}\left (\frac{2 a+b \coth ^2(x)}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )}{4 a^{3/2}}-\frac{\tanh ^2(x) \sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}{2 a}-\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{2 a+b \coth ^2(x)}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )}{2 \sqrt{a}}+\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{2 a+(b+2 c) \coth ^2(x)+b}{2 \sqrt{a+b+c} \sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )}{2 \sqrt{a+b+c}} \]

[Out]

-ArcTanh[(2*a + b*Coth[x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4])]/(2*Sqrt[a]) + (b*ArcTanh[(2*a +
b*Coth[x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4])])/(4*a^(3/2)) + ArcTanh[(2*a + b + (b + 2*c)*Coth
[x]^2)/(2*Sqrt[a + b + c]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4])]/(2*Sqrt[a + b + c]) - (Sqrt[a + b*Coth[x]^2 +
c*Coth[x]^4]*Tanh[x]^2)/(2*a)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.332368, antiderivative size = 183, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 11, number of rules used = 6, integrand size = 23, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.261, Rules used = {3701, 1251, 960, 730, 724, 206} \[ \frac{b \tanh ^{-1}\left (\frac{2 a+b \coth ^2(x)}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )}{4 a^{3/2}}-\frac{\tanh ^2(x) \sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}{2 a}-\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{2 a+b \coth ^2(x)}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )}{2 \sqrt{a}}+\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{2 a+(b+2 c) \coth ^2(x)+b}{2 \sqrt{a+b+c} \sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )}{2 \sqrt{a+b+c}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Tanh[x]^3/Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4],x]

[Out]

-ArcTanh[(2*a + b*Coth[x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4])]/(2*Sqrt[a]) + (b*ArcTanh[(2*a +
b*Coth[x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4])])/(4*a^(3/2)) + ArcTanh[(2*a + b + (b + 2*c)*Coth
[x]^2)/(2*Sqrt[a + b + c]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4])]/(2*Sqrt[a + b + c]) - (Sqrt[a + b*Coth[x]^2 +
c*Coth[x]^4]*Tanh[x]^2)/(2*a)

Rule 3701

Int[cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(f_.))^(n_.) + (c_.)*(cot[(d_.) + (e
_.)*(x_)]*(f_.))^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> -Dist[f/e, Subst[Int[((x/f)^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p)/(f^2 + x^
2), x], x, f*Cot[d + e*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

Rule 1251

Int[(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Dist[1/2,
Subst[Int[x^((m - 1)/2)*(d + e*x)^q*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x, x^2], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p, q}, x] &&
IntegerQ[(m - 1)/2]

Rule 960

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :
> Int[ExpandIntegrand[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] &
& NeQ[e*f - d*g, 0] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && (IntegerQ[p] || (ILtQ[m, 0] &&
ILtQ[n, 0])) &&  !(IGtQ[m, 0] || IGtQ[n, 0])

Rule 730

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(e*(d + e*x)^(m + 1)
*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1))/((m + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x] + Dist[(2*c*d - b*e)/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e
^2)), Int[(d + e*x)^(m + 1)*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c,
0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && NeQ[2*c*d - b*e, 0] && EqQ[m + 2*p + 3, 0]

Rule 724

Int[1/(((d_.) + (e_.)*(x_))*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Dist[-2, Subst[Int[1/(4*c*d
^2 - 4*b*d*e + 4*a*e^2 - x^2), x], x, (2*a*e - b*d - (2*c*d - b*e)*x)/Sqrt[a + b*x + c*x^2]], x] /; FreeQ[{a,
b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[2*c*d - b*e, 0]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\tanh ^3(x)}{\sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}} \, dx &=-\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x^3 \left (1+x^2\right ) \sqrt{a-b x^2+c x^4}} \, dx,x,-i \coth (x)\right )\\ &=-\left (\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x^2 (1+x) \sqrt{a-b x+c x^2}} \, dx,x,-\coth ^2(x)\right )\right )\\ &=-\left (\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \left (\frac{1}{x^2 \sqrt{a-b x+c x^2}}-\frac{1}{x \sqrt{a-b x+c x^2}}+\frac{1}{(1+x) \sqrt{a-b x+c x^2}}\right ) \, dx,x,-\coth ^2(x)\right )\right )\\ &=-\left (\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x^2 \sqrt{a-b x+c x^2}} \, dx,x,-\coth ^2(x)\right )\right )+\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x \sqrt{a-b x+c x^2}} \, dx,x,-\coth ^2(x)\right )-\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(1+x) \sqrt{a-b x+c x^2}} \, dx,x,-\coth ^2(x)\right )\\ &=-\frac{\sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)} \tanh ^2(x)}{2 a}-\frac{b \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x \sqrt{a-b x+c x^2}} \, dx,x,-\coth ^2(x)\right )}{4 a}-\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{4 a-x^2} \, dx,x,\frac{2 a+b \coth ^2(x)}{\sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )+\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{4 a+4 b+4 c-x^2} \, dx,x,\frac{2 a+b+(b+2 c) \coth ^2(x)}{\sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )\\ &=-\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{2 a+b \coth ^2(x)}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )}{2 \sqrt{a}}+\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{2 a+b+(b+2 c) \coth ^2(x)}{2 \sqrt{a+b+c} \sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )}{2 \sqrt{a+b+c}}-\frac{\sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)} \tanh ^2(x)}{2 a}+\frac{b \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{4 a-x^2} \, dx,x,\frac{2 a+b \coth ^2(x)}{\sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )}{2 a}\\ &=-\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{2 a+b \coth ^2(x)}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )}{2 \sqrt{a}}+\frac{b \tanh ^{-1}\left (\frac{2 a+b \coth ^2(x)}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )}{4 a^{3/2}}+\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{2 a+b+(b+2 c) \coth ^2(x)}{2 \sqrt{a+b+c} \sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )}{2 \sqrt{a+b+c}}-\frac{\sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)} \tanh ^2(x)}{2 a}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 20.6866, size = 2574, normalized size = 14.07 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Tanh[x]^3/Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4],x]

[Out]

Sqrt[(3*a - b + 3*c - 4*a*Cosh[2*x] + 4*c*Cosh[2*x] + a*Cosh[4*x] + b*Cosh[4*x] + c*Cosh[4*x])/(3 - 4*Cosh[2*x
] + Cosh[4*x])]*(-1/(2*a) + Sech[x]^2/(2*a)) + (((2*a - b)*Sqrt[a + b + c]*ArcTanh[(2*a - (2*a + b)*Cosh[x]^2)
/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a - (2*a + b)*Cosh[x]^2 + (a + b + c)*Cosh[x]^4])] + 2*a^(3/2)*ArcTanh[(-a + c + (a + b + c)*
Cosh[2*x])/(2*Sqrt[a + b + c]*Sqrt[a - (2*a + b)*Cosh[x]^2 + (a + b + c)*Cosh[x]^4])])*Sqrt[3*a - b + 3*c - 4*
(a - c)*Cosh[2*x] + (a + b + c)*Cosh[4*x]]*Csch[x]^2*((-5*Sqrt[(3*a)/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x]) - b/(3 - 4*
Cosh[2*x] + Cosh[4*x]) + (3*c)/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x]) - (4*a*Cosh[2*x])/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x]) +
(4*c*Cosh[2*x])/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x]) + (a*Cosh[4*x])/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x]) + (b*Cosh[4*x])/(
3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x]) + (c*Cosh[4*x])/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x])]*Sech[x]*Sinh[3*x])/(2*(3*a - b + 3
*c - 4*a*Cosh[2*x] + 4*c*Cosh[2*x] + a*Cosh[4*x] + b*Cosh[4*x] + c*Cosh[4*x])) + (b*Sqrt[(3*a)/(3 - 4*Cosh[2*x
] + Cosh[4*x]) - b/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x]) + (3*c)/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x]) - (4*a*Cosh[2*x])/(3 -
4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x]) + (4*c*Cosh[2*x])/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x]) + (a*Cosh[4*x])/(3 - 4*Cosh[2*x] + Co
sh[4*x]) + (b*Cosh[4*x])/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x]) + (c*Cosh[4*x])/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x])]*Sech[x]*
Sinh[3*x])/(a*(3*a - b + 3*c - 4*a*Cosh[2*x] + 4*c*Cosh[2*x] + a*Cosh[4*x] + b*Cosh[4*x] + c*Cosh[4*x])) + (Sq
rt[(3*a)/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x]) - b/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x]) + (3*c)/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x])
- (4*a*Cosh[2*x])/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x]) + (4*c*Cosh[2*x])/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x]) + (a*Cosh[4*x
])/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x]) + (b*Cosh[4*x])/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x]) + (c*Cosh[4*x])/(3 - 4*Cosh[2*x
] + Cosh[4*x])]*Sech[x]*Sinh[5*x])/(2*(3*a - b + 3*c - 4*a*Cosh[2*x] + 4*c*Cosh[2*x] + a*Cosh[4*x] + b*Cosh[4*
x] + c*Cosh[4*x])) + (5*Sqrt[(3*a)/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x]) - b/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x]) + (3*c)/(3
- 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x]) - (4*a*Cosh[2*x])/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x]) + (4*c*Cosh[2*x])/(3 - 4*Cosh[2*x]
+ Cosh[4*x]) + (a*Cosh[4*x])/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x]) + (b*Cosh[4*x])/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x]) + (c*
Cosh[4*x])/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x])]*Tanh[x])/(3*a - b + 3*c - 4*a*Cosh[2*x] + 4*c*Cosh[2*x] + a*Cosh[4*x
] + b*Cosh[4*x] + c*Cosh[4*x]) - (3*b*Sqrt[(3*a)/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x]) - b/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x
]) + (3*c)/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x]) - (4*a*Cosh[2*x])/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x]) + (4*c*Cosh[2*x])/(3
- 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x]) + (a*Cosh[4*x])/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x]) + (b*Cosh[4*x])/(3 - 4*Cosh[2*x] + Co
sh[4*x]) + (c*Cosh[4*x])/(3 - 4*Cosh[2*x] + Cosh[4*x])]*Tanh[x])/(a*(3*a - b + 3*c - 4*a*Cosh[2*x] + 4*c*Cosh[
2*x] + a*Cosh[4*x] + b*Cosh[4*x] + c*Cosh[4*x]))))/(4*a^(3/2)*Sqrt[a + b + c]*Sqrt[(3*a - b + 3*c - 4*(a - c)*
Cosh[2*x] + (a + b + c)*Cosh[4*x])*Csch[x]^4]*(-(((2*a - b)*Sqrt[a + b + c]*ArcTanh[(2*a - (2*a + b)*Cosh[x]^2
)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a - (2*a + b)*Cosh[x]^2 + (a + b + c)*Cosh[x]^4])] + 2*a^(3/2)*ArcTanh[(-a + c + (a + b + c)
*Cosh[2*x])/(2*Sqrt[a + b + c]*Sqrt[a - (2*a + b)*Cosh[x]^2 + (a + b + c)*Cosh[x]^4])])*Sqrt[3*a - b + 3*c - 4
*(a - c)*Cosh[2*x] + (a + b + c)*Cosh[4*x]]*Coth[x]*Csch[x]^2)/(2*a^(3/2)*Sqrt[a + b + c]*Sqrt[(3*a - b + 3*c
- 4*(a - c)*Cosh[2*x] + (a + b + c)*Cosh[4*x])*Csch[x]^4]) + (Sqrt[3*a - b + 3*c - 4*(a - c)*Cosh[2*x] + (a +
b + c)*Cosh[4*x]]*Csch[x]^2*(((2*a - b)*Sqrt[a + b + c]*(-(((2*a + b)*Cosh[x]*Sinh[x])/(Sqrt[a]*Sqrt[a - (2*a
+ b)*Cosh[x]^2 + (a + b + c)*Cosh[x]^4])) - ((2*a - (2*a + b)*Cosh[x]^2)*(-2*(2*a + b)*Cosh[x]*Sinh[x] + 4*(a
+ b + c)*Cosh[x]^3*Sinh[x]))/(4*Sqrt[a]*(a - (2*a + b)*Cosh[x]^2 + (a + b + c)*Cosh[x]^4)^(3/2))))/(1 - (2*a -
(2*a + b)*Cosh[x]^2)^2/(4*a*(a - (2*a + b)*Cosh[x]^2 + (a + b + c)*Cosh[x]^4))) + (2*a^(3/2)*(-((-a + c + (a
+ b + c)*Cosh[2*x])*(-2*(2*a + b)*Cosh[x]*Sinh[x] + 4*(a + b + c)*Cosh[x]^3*Sinh[x]))/(4*Sqrt[a + b + c]*(a -
(2*a + b)*Cosh[x]^2 + (a + b + c)*Cosh[x]^4)^(3/2)) + (Sqrt[a + b + c]*Sinh[2*x])/Sqrt[a - (2*a + b)*Cosh[x]^2
+ (a + b + c)*Cosh[x]^4]))/(1 - (-a + c + (a + b + c)*Cosh[2*x])^2/(4*(a + b + c)*(a - (2*a + b)*Cosh[x]^2 +
(a + b + c)*Cosh[x]^4)))))/(4*a^(3/2)*Sqrt[a + b + c]*Sqrt[(3*a - b + 3*c - 4*(a - c)*Cosh[2*x] + (a + b + c)*
Cosh[4*x])*Csch[x]^4]) + (((2*a - b)*Sqrt[a + b + c]*ArcTanh[(2*a - (2*a + b)*Cosh[x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a - (
2*a + b)*Cosh[x]^2 + (a + b + c)*Cosh[x]^4])] + 2*a^(3/2)*ArcTanh[(-a + c + (a + b + c)*Cosh[2*x])/(2*Sqrt[a +
b + c]*Sqrt[a - (2*a + b)*Cosh[x]^2 + (a + b + c)*Cosh[x]^4])])*Csch[x]^2*(-8*(a - c)*Sinh[2*x] + 4*(a + b +
c)*Sinh[4*x]))/(8*a^(3/2)*Sqrt[a + b + c]*Sqrt[3*a - b + 3*c - 4*(a - c)*Cosh[2*x] + (a + b + c)*Cosh[4*x]]*Sq
rt[(3*a - b + 3*c - 4*(a - c)*Cosh[2*x] + (a + b + c)*Cosh[4*x])*Csch[x]^4]) - (((2*a - b)*Sqrt[a + b + c]*Arc
Tanh[(2*a - (2*a + b)*Cosh[x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a - (2*a + b)*Cosh[x]^2 + (a + b + c)*Cosh[x]^4])] + 2*a^(3/2
)*ArcTanh[(-a + c + (a + b + c)*Cosh[2*x])/(2*Sqrt[a + b + c]*Sqrt[a - (2*a + b)*Cosh[x]^2 + (a + b + c)*Cosh[
x]^4])])*Sqrt[3*a - b + 3*c - 4*(a - c)*Cosh[2*x] + (a + b + c)*Cosh[4*x]]*Csch[x]^2*(-4*(3*a - b + 3*c - 4*(a
- c)*Cosh[2*x] + (a + b + c)*Cosh[4*x])*Coth[x]*Csch[x]^4 + Csch[x]^4*(-8*(a - c)*Sinh[2*x] + 4*(a + b + c)*S
inh[4*x])))/(8*a^(3/2)*Sqrt[a + b + c]*((3*a - b + 3*c - 4*(a - c)*Cosh[2*x] + (a + b + c)*Cosh[4*x])*Csch[x]^
4)^(3/2))))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.274, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{ \left ( \tanh \left ( x \right ) \right ) ^{3}{\frac{1}{\sqrt{a+b \left ({\rm coth} \left (x\right ) \right ) ^{2}+c \left ({\rm coth} \left (x\right ) \right ) ^{4}}}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(tanh(x)^3/(a+b*coth(x)^2+c*coth(x)^4)^(1/2),x)

[Out]

int(tanh(x)^3/(a+b*coth(x)^2+c*coth(x)^4)^(1/2),x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\tanh \left (x\right )^{3}}{\sqrt{c \coth \left (x\right )^{4} + b \coth \left (x\right )^{2} + a}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)^3/(a+b*coth(x)^2+c*coth(x)^4)^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(tanh(x)^3/sqrt(c*coth(x)^4 + b*coth(x)^2 + a), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 19.6342, size = 24602, normalized size = 134.44 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)^3/(a+b*coth(x)^2+c*coth(x)^4)^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/8*(((2*a^2 + a*b - b^2 + (2*a - b)*c)*cosh(x)^4 + 4*(2*a^2 + a*b - b^2 + (2*a - b)*c)*cosh(x)*sinh(x)^3 +
(2*a^2 + a*b - b^2 + (2*a - b)*c)*sinh(x)^4 + 2*(2*a^2 + a*b - b^2 + (2*a - b)*c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(2*a^2 + a*
b - b^2 + (2*a - b)*c)*cosh(x)^2 + 2*a^2 + a*b - b^2 + (2*a - b)*c)*sinh(x)^2 + 2*a^2 + a*b - b^2 + (2*a - b)*
c + 4*((2*a^2 + a*b - b^2 + (2*a - b)*c)*cosh(x)^3 + (2*a^2 + a*b - b^2 + (2*a - b)*c)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(
a)*log(((8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c)*cosh(x)^8 + 8*(8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (8*a^2 +
8*a*b + b^2 + 4*a*c)*sinh(x)^8 - 4*(8*a^2 - b^2 - 4*a*c)*cosh(x)^6 + 4*(7*(8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c)*cosh(
x)^2 - 8*a^2 + b^2 + 4*a*c)*sinh(x)^6 + 8*(7*(8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c)*cosh(x)^3 - 3*(8*a^2 - b^2 - 4*a*c)
*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(24*a^2 - 8*a*b + 3*b^2 + 12*a*c)*cosh(x)^4 + 2*(35*(8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c)*cosh
(x)^4 - 30*(8*a^2 - b^2 - 4*a*c)*cosh(x)^2 + 24*a^2 - 8*a*b + 3*b^2 + 12*a*c)*sinh(x)^4 + 8*(7*(8*a^2 + 8*a*b
+ b^2 + 4*a*c)*cosh(x)^5 - 10*(8*a^2 - b^2 - 4*a*c)*cosh(x)^3 + (24*a^2 - 8*a*b + 3*b^2 + 12*a*c)*cosh(x))*sin
h(x)^3 - 4*(8*a^2 - b^2 - 4*a*c)*cosh(x)^2 + 4*(7*(8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c)*cosh(x)^6 - 15*(8*a^2 - b^2 -
4*a*c)*cosh(x)^4 + 3*(24*a^2 - 8*a*b + 3*b^2 + 12*a*c)*cosh(x)^2 - 8*a^2 + b^2 + 4*a*c)*sinh(x)^2 + 4*sqrt(2)*
((2*a + b)*cosh(x)^4 + 4*(2*a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (2*a + b)*sinh(x)^4 - 2*(2*a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(2*a
+ b)*cosh(x)^2 - 2*a + b)*sinh(x)^2 + 4*((2*a + b)*cosh(x)^3 - (2*a - b)*cosh(x))*sinh(x) + 2*a + b)*sqrt(a)*
sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 - 2*a +
2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^
3 + sinh(x)^4)) + 8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c + 8*((8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c)*cosh(x)^7 - 3*(8*a^2 - b^2 -
4*a*c)*cosh(x)^5 + (24*a^2 - 8*a*b + 3*b^2 + 12*a*c)*cosh(x)^3 - (8*a^2 - b^2 - 4*a*c)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh
(x)^8 + 8*cosh(x)*sinh(x)^7 + sinh(x)^8 + 4*(7*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^6 + 4*cosh(x)^6 + 8*(7*cosh(x)^3 + 3*cos
h(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*cosh(x)^4 + 30*cosh(x)^2 + 3)*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)^4 + 8*(7*cosh(x)^5 + 10*cosh(x)^3
+ 3*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*cosh(x)^6 + 15*cosh(x)^4 + 9*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 4*cosh(x)^2 + 8*(cosh(x)
^7 + 3*cosh(x)^5 + 3*cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)) - 2*(a^2*cosh(x)^4 + 4*a^2*cosh(x)*sinh(x)^3 + a^2*sin
h(x)^4 + 2*a^2*cosh(x)^2 + 2*(3*a^2*cosh(x)^2 + a^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 4*(a^2*cosh(x)^3 + a^2*cosh(x))*sinh(x)
)*sqrt(a + b + c)*log(((a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c
+ c^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*sinh(x)^8 - 4*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(
x)^6 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^2 - a^2 - a*b + b*c + c^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 +
2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^3 - 3*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2 + 2*a*b
+ 2*(a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^4 - 30*(a^2 + a*b - b
*c - c^2)*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c +
c^2)*cosh(x)^5 - 10*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x))*sinh(x
)^3 - 4*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^6 - 15*(a^2 +
a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^4 + 3*(3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^2 - a^2 - a*b + b*c + c^2)*sinh(
x)^2 + sqrt(2)*((a + b + c)*cosh(x)^4 + 4*(a + b + c)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 2*(a - c)*co
sh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 - a + c)*sinh(x)^2 + 4*((a + b + c)*cosh(x)^3 - (a - c)*cosh(x))*sinh(x)
+ a + b + c)*sqrt(a + b + c)*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*
(a + b + c)*cosh(x)^2 - 2*a + 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*s
inh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)) + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2 + 8*((a^2 + 2*a*b + b^2 +
2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^7 - 3*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^5 + (3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*co
sh(x)^3 - (a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 +
4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)) + 4*sqrt(2)*(a^2 + a*b + a*c)*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b + c)*sin
h(x)^4 - 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 - 2*a + 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh(x)^4 -
4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)))/((a^3 + a^2*b + a^2*c)*cosh(
x)^4 + 4*(a^3 + a^2*b + a^2*c)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^3 + a^2*b + a^2*c)*sinh(x)^4 + a^3 + a^2*b + a^2*c + 2*(
a^3 + a^2*b + a^2*c)*cosh(x)^2 + 2*(a^3 + a^2*b + a^2*c + 3*(a^3 + a^2*b + a^2*c)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a
^3 + a^2*b + a^2*c)*cosh(x)^3 + (a^3 + a^2*b + a^2*c)*cosh(x))*sinh(x)), -1/8*(4*(a^2*cosh(x)^4 + 4*a^2*cosh(x
)*sinh(x)^3 + a^2*sinh(x)^4 + 2*a^2*cosh(x)^2 + 2*(3*a^2*cosh(x)^2 + a^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 4*(a^2*cosh(x)^3 +
a^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a - b - c)*arctan(sqrt(2)*((a + b + c)*cosh(x)^4 + 4*(a + b + c)*cosh(x)*sinh(x)^
3 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 2*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 - a + c)*sinh(x)^2 + 4*((a + b +
c)*cosh(x)^3 - (a - c)*cosh(x))*sinh(x) + a + b + c)*sqrt(-a - b - c)*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b + c
)*sinh(x)^4 - 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 - 2*a + 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh(x
)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4))/((a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*
(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^2 + 2*a*b + b^2
+ 2*(a + b)*c + c^2)*sinh(x)^8 - 4*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c +
c^2)*cosh(x)^2 - a^2 - a*b + b*c + c^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^3 -
3*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^4 + 2*(
35*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^4 - 30*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 2*a*b -
b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^5 - 10*(a^2 + a*
b - b*c - c^2)*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 4*(a^2 + a*b - b
*c - c^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^6 - 15*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh
(x)^4 + 3*(3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^2 - a^2 - a*b + b*c + c^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2
*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2 + 8*((a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^7 - 3*(a^2 + a*b - b*c - c
^2)*cosh(x)^5 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^3 - (a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x))*sin
h(x))) + ((2*a^2 + a*b - b^2 + (2*a - b)*c)*cosh(x)^4 + 4*(2*a^2 + a*b - b^2 + (2*a - b)*c)*cosh(x)*sinh(x)^3
+ (2*a^2 + a*b - b^2 + (2*a - b)*c)*sinh(x)^4 + 2*(2*a^2 + a*b - b^2 + (2*a - b)*c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(2*a^2 +
a*b - b^2 + (2*a - b)*c)*cosh(x)^2 + 2*a^2 + a*b - b^2 + (2*a - b)*c)*sinh(x)^2 + 2*a^2 + a*b - b^2 + (2*a - b
)*c + 4*((2*a^2 + a*b - b^2 + (2*a - b)*c)*cosh(x)^3 + (2*a^2 + a*b - b^2 + (2*a - b)*c)*cosh(x))*sinh(x))*sqr
t(a)*log(((8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c)*cosh(x)^8 + 8*(8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (8*a^2
+ 8*a*b + b^2 + 4*a*c)*sinh(x)^8 - 4*(8*a^2 - b^2 - 4*a*c)*cosh(x)^6 + 4*(7*(8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c)*cos
h(x)^2 - 8*a^2 + b^2 + 4*a*c)*sinh(x)^6 + 8*(7*(8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c)*cosh(x)^3 - 3*(8*a^2 - b^2 - 4*a*
c)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(24*a^2 - 8*a*b + 3*b^2 + 12*a*c)*cosh(x)^4 + 2*(35*(8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c)*co
sh(x)^4 - 30*(8*a^2 - b^2 - 4*a*c)*cosh(x)^2 + 24*a^2 - 8*a*b + 3*b^2 + 12*a*c)*sinh(x)^4 + 8*(7*(8*a^2 + 8*a*
b + b^2 + 4*a*c)*cosh(x)^5 - 10*(8*a^2 - b^2 - 4*a*c)*cosh(x)^3 + (24*a^2 - 8*a*b + 3*b^2 + 12*a*c)*cosh(x))*s
inh(x)^3 - 4*(8*a^2 - b^2 - 4*a*c)*cosh(x)^2 + 4*(7*(8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c)*cosh(x)^6 - 15*(8*a^2 - b^2
- 4*a*c)*cosh(x)^4 + 3*(24*a^2 - 8*a*b + 3*b^2 + 12*a*c)*cosh(x)^2 - 8*a^2 + b^2 + 4*a*c)*sinh(x)^2 + 4*sqrt(2
)*((2*a + b)*cosh(x)^4 + 4*(2*a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (2*a + b)*sinh(x)^4 - 2*(2*a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(2
*a + b)*cosh(x)^2 - 2*a + b)*sinh(x)^2 + 4*((2*a + b)*cosh(x)^3 - (2*a - b)*cosh(x))*sinh(x) + 2*a + b)*sqrt(a
)*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 - 2*a
+ 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x
)^3 + sinh(x)^4)) + 8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c + 8*((8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c)*cosh(x)^7 - 3*(8*a^2 - b^2
- 4*a*c)*cosh(x)^5 + (24*a^2 - 8*a*b + 3*b^2 + 12*a*c)*cosh(x)^3 - (8*a^2 - b^2 - 4*a*c)*cosh(x))*sinh(x))/(co
sh(x)^8 + 8*cosh(x)*sinh(x)^7 + sinh(x)^8 + 4*(7*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^6 + 4*cosh(x)^6 + 8*(7*cosh(x)^3 + 3*c
osh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*cosh(x)^4 + 30*cosh(x)^2 + 3)*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)^4 + 8*(7*cosh(x)^5 + 10*cosh(x)^
3 + 3*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*cosh(x)^6 + 15*cosh(x)^4 + 9*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 4*cosh(x)^2 + 8*(cosh(
x)^7 + 3*cosh(x)^5 + 3*cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)) + 4*sqrt(2)*(a^2 + a*b + a*c)*sqrt(((a + b + c)*cosh
(x)^4 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 - 2*a + 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a
- b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)))/((a^3
+ a^2*b + a^2*c)*cosh(x)^4 + 4*(a^3 + a^2*b + a^2*c)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^3 + a^2*b + a^2*c)*sinh(x)^4 + a^
3 + a^2*b + a^2*c + 2*(a^3 + a^2*b + a^2*c)*cosh(x)^2 + 2*(a^3 + a^2*b + a^2*c + 3*(a^3 + a^2*b + a^2*c)*cosh(
x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^3 + a^2*b + a^2*c)*cosh(x)^3 + (a^3 + a^2*b + a^2*c)*cosh(x))*sinh(x)), 1/4*(((2*a^2 +
a*b - b^2 + (2*a - b)*c)*cosh(x)^4 + 4*(2*a^2 + a*b - b^2 + (2*a - b)*c)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (2*a^2 + a*b - b
^2 + (2*a - b)*c)*sinh(x)^4 + 2*(2*a^2 + a*b - b^2 + (2*a - b)*c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(2*a^2 + a*b - b^2 + (2*a -
b)*c)*cosh(x)^2 + 2*a^2 + a*b - b^2 + (2*a - b)*c)*sinh(x)^2 + 2*a^2 + a*b - b^2 + (2*a - b)*c + 4*((2*a^2 +
a*b - b^2 + (2*a - b)*c)*cosh(x)^3 + (2*a^2 + a*b - b^2 + (2*a - b)*c)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a)*arctan(1/2*s
qrt(2)*((2*a + b)*cosh(x)^4 + 4*(2*a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (2*a + b)*sinh(x)^4 - 2*(2*a - b)*cosh(x)^2 + 2*
(3*(2*a + b)*cosh(x)^2 - 2*a + b)*sinh(x)^2 + 4*((2*a + b)*cosh(x)^3 - (2*a - b)*cosh(x))*sinh(x) + 2*a + b)*s
qrt(-a)*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2
- 2*a + 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*
sinh(x)^3 + sinh(x)^4))/((a^2 + a*b + a*c)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 + a*b + a*c)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^2 + a*b + a*
c)*sinh(x)^8 - 4*(a^2 - a*c)*cosh(x)^6 + 4*(7*(a^2 + a*b + a*c)*cosh(x)^2 - a^2 + a*c)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 +
a*b + a*c)*cosh(x)^3 - 3*(a^2 - a*c)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2 - a*b + 3*a*c)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^2 + a*
b + a*c)*cosh(x)^4 - 30*(a^2 - a*c)*cosh(x)^2 + 3*a^2 - a*b + 3*a*c)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 + a*b + a*c)*cosh(x
)^5 - 10*(a^2 - a*c)*cosh(x)^3 + (3*a^2 - a*b + 3*a*c)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 4*(a^2 - a*c)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^
2 + a*b + a*c)*cosh(x)^6 - 15*(a^2 - a*c)*cosh(x)^4 + 3*(3*a^2 - a*b + 3*a*c)*cosh(x)^2 - a^2 + a*c)*sinh(x)^2
+ a^2 + a*b + a*c + 8*((a^2 + a*b + a*c)*cosh(x)^7 - 3*(a^2 - a*c)*cosh(x)^5 + (3*a^2 - a*b + 3*a*c)*cosh(x)^
3 - (a^2 - a*c)*cosh(x))*sinh(x))) + (a^2*cosh(x)^4 + 4*a^2*cosh(x)*sinh(x)^3 + a^2*sinh(x)^4 + 2*a^2*cosh(x)^
2 + 2*(3*a^2*cosh(x)^2 + a^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 4*(a^2*cosh(x)^3 + a^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b + c)*log((
(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)*sinh(x)^
7 + (a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*sinh(x)^8 - 4*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(a^2 + 2*a*
b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^2 - a^2 - a*b + b*c + c^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b
)*c + c^2)*cosh(x)^3 - 3*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*
cosh(x)^4 + 2*(35*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^4 - 30*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^2 + 3
*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^5 - 10*(a
^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 4*(a^2 + a*b - b*
c - c^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^6 - 15*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(
x)^4 + 3*(3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^2 - a^2 - a*b + b*c + c^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*((a + b
+ c)*cosh(x)^4 + 4*(a + b + c)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 2*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b +
c)*cosh(x)^2 - a + c)*sinh(x)^2 + 4*((a + b + c)*cosh(x)^3 - (a - c)*cosh(x))*sinh(x) + a + b + c)*sqrt(a + b
+ c)*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 -
2*a + 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*si
nh(x)^3 + sinh(x)^4)) + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2 + 8*((a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cos
h(x)^7 - 3*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^5 + (3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^3 - (a^2 + a*b -
b*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 +
sinh(x)^4)) - 2*sqrt(2)*(a^2 + a*b + a*c)*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 4*(a - c)*cosh
(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 - 2*a + 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) +
6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)))/((a^3 + a^2*b + a^2*c)*cosh(x)^4 + 4*(a^3 + a^2*b +
a^2*c)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^3 + a^2*b + a^2*c)*sinh(x)^4 + a^3 + a^2*b + a^2*c + 2*(a^3 + a^2*b + a^2*c)*co
sh(x)^2 + 2*(a^3 + a^2*b + a^2*c + 3*(a^3 + a^2*b + a^2*c)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^3 + a^2*b + a^2*c)*cos
h(x)^3 + (a^3 + a^2*b + a^2*c)*cosh(x))*sinh(x)), 1/4*(((2*a^2 + a*b - b^2 + (2*a - b)*c)*cosh(x)^4 + 4*(2*a^2
+ a*b - b^2 + (2*a - b)*c)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (2*a^2 + a*b - b^2 + (2*a - b)*c)*sinh(x)^4 + 2*(2*a^2 + a*b -
b^2 + (2*a - b)*c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(2*a^2 + a*b - b^2 + (2*a - b)*c)*cosh(x)^2 + 2*a^2 + a*b - b^2 + (2*a -
b)*c)*sinh(x)^2 + 2*a^2 + a*b - b^2 + (2*a - b)*c + 4*((2*a^2 + a*b - b^2 + (2*a - b)*c)*cosh(x)^3 + (2*a^2 +
a*b - b^2 + (2*a - b)*c)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a)*arctan(1/2*sqrt(2)*((2*a + b)*cosh(x)^4 + 4*(2*a + b)*cosh
(x)*sinh(x)^3 + (2*a + b)*sinh(x)^4 - 2*(2*a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(2*a + b)*cosh(x)^2 - 2*a + b)*sinh(x)^2 +
4*((2*a + b)*cosh(x)^3 - (2*a - b)*cosh(x))*sinh(x) + 2*a + b)*sqrt(-a)*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b +
c)*sinh(x)^4 - 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 - 2*a + 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh
(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4))/((a^2 + a*b + a*c)*cos
h(x)^8 + 8*(a^2 + a*b + a*c)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^2 + a*b + a*c)*sinh(x)^8 - 4*(a^2 - a*c)*cosh(x)^6 + 4*(7*
(a^2 + a*b + a*c)*cosh(x)^2 - a^2 + a*c)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 + a*b + a*c)*cosh(x)^3 - 3*(a^2 - a*c)*cosh(x))
*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2 - a*b + 3*a*c)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^2 + a*b + a*c)*cosh(x)^4 - 30*(a^2 - a*c)*cosh(x)^2
+ 3*a^2 - a*b + 3*a*c)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 + a*b + a*c)*cosh(x)^5 - 10*(a^2 - a*c)*cosh(x)^3 + (3*a^2 - a*b
+ 3*a*c)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 4*(a^2 - a*c)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 + a*b + a*c)*cosh(x)^6 - 15*(a^2 - a*c)*cosh
(x)^4 + 3*(3*a^2 - a*b + 3*a*c)*cosh(x)^2 - a^2 + a*c)*sinh(x)^2 + a^2 + a*b + a*c + 8*((a^2 + a*b + a*c)*cosh
(x)^7 - 3*(a^2 - a*c)*cosh(x)^5 + (3*a^2 - a*b + 3*a*c)*cosh(x)^3 - (a^2 - a*c)*cosh(x))*sinh(x))) - 2*(a^2*co
sh(x)^4 + 4*a^2*cosh(x)*sinh(x)^3 + a^2*sinh(x)^4 + 2*a^2*cosh(x)^2 + 2*(3*a^2*cosh(x)^2 + a^2)*sinh(x)^2 + a^
2 + 4*(a^2*cosh(x)^3 + a^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a - b - c)*arctan(sqrt(2)*((a + b + c)*cosh(x)^4 + 4*(a + b
+ c)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 2*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 - a + c)*si
nh(x)^2 + 4*((a + b + c)*cosh(x)^3 - (a - c)*cosh(x))*sinh(x) + a + b + c)*sqrt(-a - b - c)*sqrt(((a + b + c)*
cosh(x)^4 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 - 2*a + 2*c)*sinh(x)^2 +
3*a - b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4))/((
a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)*sinh(x)^7
+ (a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*sinh(x)^8 - 4*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b
+ b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^2 - a^2 - a*b + b*c + c^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)
*c + c^2)*cosh(x)^3 - 3*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c +
3*c^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^4 - 30*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x
)^2 + 3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*co
sh(x)^5 - 10*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x))*sinh(x
)^3 - 4*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^6 - 15*(a^2 +
a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^4 + 3*(3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^2 - a^2 - a*b + b*c + c^
2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2 + 8*((a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^7 -
3*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^5 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^3 - (a^2 + a*b - b
*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x))) - 2*sqrt(2)*(a^2 + a*b + a*c)*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b + c)*sinh(x)^4
- 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 - 2*a + 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cos
h(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)))/((a^3 + a^2*b + a^2*c)*cosh(x)^4 +
4*(a^3 + a^2*b + a^2*c)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^3 + a^2*b + a^2*c)*sinh(x)^4 + a^3 + a^2*b + a^2*c + 2*(a^3 +
a^2*b + a^2*c)*cosh(x)^2 + 2*(a^3 + a^2*b + a^2*c + 3*(a^3 + a^2*b + a^2*c)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^3 + a
^2*b + a^2*c)*cosh(x)^3 + (a^3 + a^2*b + a^2*c)*cosh(x))*sinh(x))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\tanh ^{3}{\left (x \right )}}{\sqrt{a + b \coth ^{2}{\left (x \right )} + c \coth ^{4}{\left (x \right )}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)**3/(a+b*coth(x)**2+c*coth(x)**4)**(1/2),x)

[Out]

Integral(tanh(x)**3/sqrt(a + b*coth(x)**2 + c*coth(x)**4), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)^3/(a+b*coth(x)^2+c*coth(x)^4)^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out