3.208 \(\int \frac{\tanh (x)}{\sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=106 \[ \frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{2 a+(b+2 c) \coth ^2(x)+b}{2 \sqrt{a+b+c} \sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )}{2 \sqrt{a+b+c}}-\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{2 a+b \coth ^2(x)}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )}{2 \sqrt{a}} \]

[Out]

-ArcTanh[(2*a + b*Coth[x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4])]/(2*Sqrt[a]) + ArcTanh[(2*a + b +
(b + 2*c)*Coth[x]^2)/(2*Sqrt[a + b + c]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4])]/(2*Sqrt[a + b + c])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.239581, antiderivative size = 106, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 8, number of rules used = 5, integrand size = 21, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.238, Rules used = {3701, 1251, 960, 724, 206} \[ \frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{2 a+(b+2 c) \coth ^2(x)+b}{2 \sqrt{a+b+c} \sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )}{2 \sqrt{a+b+c}}-\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{2 a+b \coth ^2(x)}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )}{2 \sqrt{a}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Tanh[x]/Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4],x]

[Out]

-ArcTanh[(2*a + b*Coth[x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4])]/(2*Sqrt[a]) + ArcTanh[(2*a + b +
(b + 2*c)*Coth[x]^2)/(2*Sqrt[a + b + c]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4])]/(2*Sqrt[a + b + c])

Rule 3701

Int[cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(f_.))^(n_.) + (c_.)*(cot[(d_.) + (e
_.)*(x_)]*(f_.))^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> -Dist[f/e, Subst[Int[((x/f)^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p)/(f^2 + x^
2), x], x, f*Cot[d + e*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

Rule 1251

Int[(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Dist[1/2,
Subst[Int[x^((m - 1)/2)*(d + e*x)^q*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x, x^2], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p, q}, x] &&
IntegerQ[(m - 1)/2]

Rule 960

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :
> Int[ExpandIntegrand[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] &
& NeQ[e*f - d*g, 0] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && (IntegerQ[p] || (ILtQ[m, 0] &&
ILtQ[n, 0])) &&  !(IGtQ[m, 0] || IGtQ[n, 0])

Rule 724

Int[1/(((d_.) + (e_.)*(x_))*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Dist[-2, Subst[Int[1/(4*c*d
^2 - 4*b*d*e + 4*a*e^2 - x^2), x], x, (2*a*e - b*d - (2*c*d - b*e)*x)/Sqrt[a + b*x + c*x^2]], x] /; FreeQ[{a,
b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[2*c*d - b*e, 0]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\tanh (x)}{\sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}} \, dx &=\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x \left (1+x^2\right ) \sqrt{a-b x^2+c x^4}} \, dx,x,-i \coth (x)\right )\\ &=\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x (1+x) \sqrt{a-b x+c x^2}} \, dx,x,-\coth ^2(x)\right )\\ &=\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \left (\frac{1}{(-1-x) \sqrt{a-b x+c x^2}}+\frac{1}{x \sqrt{a-b x+c x^2}}\right ) \, dx,x,-\coth ^2(x)\right )\\ &=\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(-1-x) \sqrt{a-b x+c x^2}} \, dx,x,-\coth ^2(x)\right )+\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x \sqrt{a-b x+c x^2}} \, dx,x,-\coth ^2(x)\right )\\ &=-\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{4 a-x^2} \, dx,x,\frac{2 a+b \coth ^2(x)}{\sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )-\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{4 a+4 b+4 c-x^2} \, dx,x,\frac{-2 a-b+(-b-2 c) \coth ^2(x)}{\sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )\\ &=-\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{2 a+b \coth ^2(x)}{2 \sqrt{a} \sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )}{2 \sqrt{a}}-\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{-2 a-b+(-b-2 c) \coth ^2(x)}{2 \sqrt{a+b+c} \sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )}{2 \sqrt{a+b+c}}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 7.82955, size = 203, normalized size = 1.92 \[ -\frac{\text{csch}^2(x) \sqrt{\cosh (4 x) (a+b+c)-4 (a-c) \cosh (2 x)+3 a-b+3 c} \left (-\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{2 a-(2 a+b) \cosh ^2(x)}{2 \sqrt{a} \sqrt{\cosh ^4(x) (a+b+c)-(2 a+b) \cosh ^2(x)+a}}\right )}{\sqrt{a}}-\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\cosh (2 x) (a+b+c)-a+c}{2 \sqrt{a+b+c} \sqrt{\cosh ^4(x) (a+b+c)-(2 a+b) \cosh ^2(x)+a}}\right )}{\sqrt{a+b+c}}\right )}{2 \sqrt{\text{csch}^4(x) (\cosh (4 x) (a+b+c)-4 (a-c) \cosh (2 x)+3 a-b+3 c)}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Tanh[x]/Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4],x]

[Out]

-((-(ArcTanh[(2*a - (2*a + b)*Cosh[x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a - (2*a + b)*Cosh[x]^2 + (a + b + c)*Cosh[x]^4])]/Sq
rt[a]) - ArcTanh[(-a + c + (a + b + c)*Cosh[2*x])/(2*Sqrt[a + b + c]*Sqrt[a - (2*a + b)*Cosh[x]^2 + (a + b + c
)*Cosh[x]^4])]/Sqrt[a + b + c])*Sqrt[3*a - b + 3*c - 4*(a - c)*Cosh[2*x] + (a + b + c)*Cosh[4*x]]*Csch[x]^2)/(
2*Sqrt[(3*a - b + 3*c - 4*(a - c)*Cosh[2*x] + (a + b + c)*Cosh[4*x])*Csch[x]^4])

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.304, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\tanh \left ( x \right ){\frac{1}{\sqrt{a+b \left ({\rm coth} \left (x\right ) \right ) ^{2}+c \left ({\rm coth} \left (x\right ) \right ) ^{4}}}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(tanh(x)/(a+b*coth(x)^2+c*coth(x)^4)^(1/2),x)

[Out]

int(tanh(x)/(a+b*coth(x)^2+c*coth(x)^4)^(1/2),x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\tanh \left (x\right )}{\sqrt{c \coth \left (x\right )^{4} + b \coth \left (x\right )^{2} + a}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)/(a+b*coth(x)^2+c*coth(x)^4)^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(tanh(x)/sqrt(c*coth(x)^4 + b*coth(x)^2 + a), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 13.8482, size = 18421, normalized size = 173.78 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)/(a+b*coth(x)^2+c*coth(x)^4)^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*((a + b + c)*sqrt(a)*log(((8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c)*cosh(x)^8 + 8*(8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c)*cosh(
x)*sinh(x)^7 + (8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c)*sinh(x)^8 - 4*(8*a^2 - b^2 - 4*a*c)*cosh(x)^6 + 4*(7*(8*a^2 + 8*a
*b + b^2 + 4*a*c)*cosh(x)^2 - 8*a^2 + b^2 + 4*a*c)*sinh(x)^6 + 8*(7*(8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c)*cosh(x)^3 -
3*(8*a^2 - b^2 - 4*a*c)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(24*a^2 - 8*a*b + 3*b^2 + 12*a*c)*cosh(x)^4 + 2*(35*(8*a^2 + 8*
a*b + b^2 + 4*a*c)*cosh(x)^4 - 30*(8*a^2 - b^2 - 4*a*c)*cosh(x)^2 + 24*a^2 - 8*a*b + 3*b^2 + 12*a*c)*sinh(x)^4
+ 8*(7*(8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c)*cosh(x)^5 - 10*(8*a^2 - b^2 - 4*a*c)*cosh(x)^3 + (24*a^2 - 8*a*b + 3*b^2
+ 12*a*c)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 4*(8*a^2 - b^2 - 4*a*c)*cosh(x)^2 + 4*(7*(8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c)*cosh(x)
^6 - 15*(8*a^2 - b^2 - 4*a*c)*cosh(x)^4 + 3*(24*a^2 - 8*a*b + 3*b^2 + 12*a*c)*cosh(x)^2 - 8*a^2 + b^2 + 4*a*c)
*sinh(x)^2 - 4*sqrt(2)*((2*a + b)*cosh(x)^4 + 4*(2*a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (2*a + b)*sinh(x)^4 - 2*(2*a - b
)*cosh(x)^2 + 2*(3*(2*a + b)*cosh(x)^2 - 2*a + b)*sinh(x)^2 + 4*((2*a + b)*cosh(x)^3 - (2*a - b)*cosh(x))*sinh
(x) + 2*a + b)*sqrt(a)*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b
+ c)*cosh(x)^2 - 2*a + 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)
^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)) + 8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c + 8*((8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c)*cosh(x
)^7 - 3*(8*a^2 - b^2 - 4*a*c)*cosh(x)^5 + (24*a^2 - 8*a*b + 3*b^2 + 12*a*c)*cosh(x)^3 - (8*a^2 - b^2 - 4*a*c)*
cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^8 + 8*cosh(x)*sinh(x)^7 + sinh(x)^8 + 4*(7*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^6 + 4*cosh(x)^6 +
8*(7*cosh(x)^3 + 3*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*cosh(x)^4 + 30*cosh(x)^2 + 3)*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)^4 + 8*(7*co
sh(x)^5 + 10*cosh(x)^3 + 3*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*cosh(x)^6 + 15*cosh(x)^4 + 9*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 4
*cosh(x)^2 + 8*(cosh(x)^7 + 3*cosh(x)^5 + 3*cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)) + sqrt(a + b + c)*a*log(((a^2 +
2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a
^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*sinh(x)^8 - 4*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^
2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^2 - a^2 - a*b + b*c + c^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c +
c^2)*cosh(x)^3 - 3*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x
)^4 + 2*(35*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^4 - 30*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^2 + 3*a^2 +
2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^5 - 10*(a^2 + a
*b - b*c - c^2)*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 4*(a^2 + a*b - b*c - c^
2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^6 - 15*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^4 +
3*(3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^2 - a^2 - a*b + b*c + c^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*((a + b + c)*c
osh(x)^4 + 4*(a + b + c)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 2*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*co
sh(x)^2 - a + c)*sinh(x)^2 + 4*((a + b + c)*cosh(x)^3 - (a - c)*cosh(x))*sinh(x) + a + b + c)*sqrt(a + b + c)*
sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 - 2*a +
2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^
3 + sinh(x)^4)) + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2 + 8*((a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^7
- 3*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^5 + (3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^3 - (a^2 + a*b - b*c -
c^2)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x
)^4)))/(a^2 + a*b + a*c), -1/4*(2*a*sqrt(-a - b - c)*arctan(sqrt(2)*((a + b + c)*cosh(x)^4 + 4*(a + b + c)*cos
h(x)*sinh(x)^3 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 2*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 - a + c)*sinh(x)^2 +
4*((a + b + c)*cosh(x)^3 - (a - c)*cosh(x))*sinh(x) + a + b + c)*sqrt(-a - b - c)*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4
+ (a + b + c)*sinh(x)^4 - 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 - 2*a + 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b +
3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4))/((a^2 + 2*a
*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^2 +
2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*sinh(x)^8 - 4*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 +
2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^2 - a^2 - a*b + b*c + c^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)
*cosh(x)^3 - 3*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*co
sh(x)^4 + 2*(35*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^4 - 30*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^2 + 3*a
^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^5 -
10*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 4*(
a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^6 - 15*(a^2 + a*b - b*
c - c^2)*cosh(x)^4 + 3*(3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^2 - a^2 - a*b + b*c + c^2)*sinh(x
)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2 + 8*((a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^7 - 3*(a^2 +
a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^5 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^3 - (a^2 + a*b - b*c - c^2)
*cosh(x))*sinh(x))) - (a + b + c)*sqrt(a)*log(((8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c)*cosh(x)^8 + 8*(8*a^2 + 8*a*b + b^
2 + 4*a*c)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c)*sinh(x)^8 - 4*(8*a^2 - b^2 - 4*a*c)*cosh(x)^6 + 4
*(7*(8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c)*cosh(x)^2 - 8*a^2 + b^2 + 4*a*c)*sinh(x)^6 + 8*(7*(8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a
*c)*cosh(x)^3 - 3*(8*a^2 - b^2 - 4*a*c)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(24*a^2 - 8*a*b + 3*b^2 + 12*a*c)*cosh(x)^4 + 2
*(35*(8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c)*cosh(x)^4 - 30*(8*a^2 - b^2 - 4*a*c)*cosh(x)^2 + 24*a^2 - 8*a*b + 3*b^2 + 1
2*a*c)*sinh(x)^4 + 8*(7*(8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c)*cosh(x)^5 - 10*(8*a^2 - b^2 - 4*a*c)*cosh(x)^3 + (24*a^2
- 8*a*b + 3*b^2 + 12*a*c)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 4*(8*a^2 - b^2 - 4*a*c)*cosh(x)^2 + 4*(7*(8*a^2 + 8*a*b + b^2
+ 4*a*c)*cosh(x)^6 - 15*(8*a^2 - b^2 - 4*a*c)*cosh(x)^4 + 3*(24*a^2 - 8*a*b + 3*b^2 + 12*a*c)*cosh(x)^2 - 8*a^
2 + b^2 + 4*a*c)*sinh(x)^2 - 4*sqrt(2)*((2*a + b)*cosh(x)^4 + 4*(2*a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (2*a + b)*sinh(x
)^4 - 2*(2*a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(2*a + b)*cosh(x)^2 - 2*a + b)*sinh(x)^2 + 4*((2*a + b)*cosh(x)^3 - (2*a -
b)*cosh(x))*sinh(x) + 2*a + b)*sqrt(a)*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 4*(a - c)*cosh(x)
^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 - 2*a + 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*c
osh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)) + 8*a^2 + 8*a*b + b^2 + 4*a*c + 8*((8*a^2 + 8*a*b + b^2
+ 4*a*c)*cosh(x)^7 - 3*(8*a^2 - b^2 - 4*a*c)*cosh(x)^5 + (24*a^2 - 8*a*b + 3*b^2 + 12*a*c)*cosh(x)^3 - (8*a^2
- b^2 - 4*a*c)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^8 + 8*cosh(x)*sinh(x)^7 + sinh(x)^8 + 4*(7*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^6
+ 4*cosh(x)^6 + 8*(7*cosh(x)^3 + 3*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*cosh(x)^4 + 30*cosh(x)^2 + 3)*sinh(x)^4 + 6*cos
h(x)^4 + 8*(7*cosh(x)^5 + 10*cosh(x)^3 + 3*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*cosh(x)^6 + 15*cosh(x)^4 + 9*cosh(x)^2 +
1)*sinh(x)^2 + 4*cosh(x)^2 + 8*(cosh(x)^7 + 3*cosh(x)^5 + 3*cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)))/(a^2 + a*b + a
*c), 1/4*(2*sqrt(-a)*(a + b + c)*arctan(1/2*sqrt(2)*((2*a + b)*cosh(x)^4 + 4*(2*a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (2*
a + b)*sinh(x)^4 - 2*(2*a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(2*a + b)*cosh(x)^2 - 2*a + b)*sinh(x)^2 + 4*((2*a + b)*cosh(x
)^3 - (2*a - b)*cosh(x))*sinh(x) + 2*a + b)*sqrt(-a)*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 4*(
a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 - 2*a + 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3
*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4))/((a^2 + a*b + a*c)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 + a
*b + a*c)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^2 + a*b + a*c)*sinh(x)^8 - 4*(a^2 - a*c)*cosh(x)^6 + 4*(7*(a^2 + a*b + a*c)*c
osh(x)^2 - a^2 + a*c)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 + a*b + a*c)*cosh(x)^3 - 3*(a^2 - a*c)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a
^2 - a*b + 3*a*c)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^2 + a*b + a*c)*cosh(x)^4 - 30*(a^2 - a*c)*cosh(x)^2 + 3*a^2 - a*b + 3*a
*c)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 + a*b + a*c)*cosh(x)^5 - 10*(a^2 - a*c)*cosh(x)^3 + (3*a^2 - a*b + 3*a*c)*cosh(x))*s
inh(x)^3 - 4*(a^2 - a*c)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 + a*b + a*c)*cosh(x)^6 - 15*(a^2 - a*c)*cosh(x)^4 + 3*(3*a^2 -
a*b + 3*a*c)*cosh(x)^2 - a^2 + a*c)*sinh(x)^2 + a^2 + a*b + a*c + 8*((a^2 + a*b + a*c)*cosh(x)^7 - 3*(a^2 - a*
c)*cosh(x)^5 + (3*a^2 - a*b + 3*a*c)*cosh(x)^3 - (a^2 - a*c)*cosh(x))*sinh(x))) + sqrt(a + b + c)*a*log(((a^2
+ 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (
a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*sinh(x)^8 - 4*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b
^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^2 - a^2 - a*b + b*c + c^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c +
c^2)*cosh(x)^3 - 3*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*cosh(
x)^4 + 2*(35*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^4 - 30*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^2 + 3*a^2
+ 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^5 - 10*(a^2 +
a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 4*(a^2 + a*b - b*c - c
^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^6 - 15*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^4
+ 3*(3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^2 - a^2 - a*b + b*c + c^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*((a + b + c)*
cosh(x)^4 + 4*(a + b + c)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 2*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*c
osh(x)^2 - a + c)*sinh(x)^2 + 4*((a + b + c)*cosh(x)^3 - (a - c)*cosh(x))*sinh(x) + a + b + c)*sqrt(a + b + c)
*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 - 2*a
+ 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)
^3 + sinh(x)^4)) + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2 + 8*((a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^
7 - 3*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^5 + (3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^3 - (a^2 + a*b - b*c -
c^2)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(
x)^4)))/(a^2 + a*b + a*c), 1/2*(sqrt(-a)*(a + b + c)*arctan(1/2*sqrt(2)*((2*a + b)*cosh(x)^4 + 4*(2*a + b)*cos
h(x)*sinh(x)^3 + (2*a + b)*sinh(x)^4 - 2*(2*a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(2*a + b)*cosh(x)^2 - 2*a + b)*sinh(x)^2 +
4*((2*a + b)*cosh(x)^3 - (2*a - b)*cosh(x))*sinh(x) + 2*a + b)*sqrt(-a)*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b
+ c)*sinh(x)^4 - 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 - 2*a + 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cos
h(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4))/((a^2 + a*b + a*c)*co
sh(x)^8 + 8*(a^2 + a*b + a*c)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^2 + a*b + a*c)*sinh(x)^8 - 4*(a^2 - a*c)*cosh(x)^6 + 4*(7
*(a^2 + a*b + a*c)*cosh(x)^2 - a^2 + a*c)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 + a*b + a*c)*cosh(x)^3 - 3*(a^2 - a*c)*cosh(x)
)*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2 - a*b + 3*a*c)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^2 + a*b + a*c)*cosh(x)^4 - 30*(a^2 - a*c)*cosh(x)^2
+ 3*a^2 - a*b + 3*a*c)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 + a*b + a*c)*cosh(x)^5 - 10*(a^2 - a*c)*cosh(x)^3 + (3*a^2 - a*b
+ 3*a*c)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 4*(a^2 - a*c)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 + a*b + a*c)*cosh(x)^6 - 15*(a^2 - a*c)*cos
h(x)^4 + 3*(3*a^2 - a*b + 3*a*c)*cosh(x)^2 - a^2 + a*c)*sinh(x)^2 + a^2 + a*b + a*c + 8*((a^2 + a*b + a*c)*cos
h(x)^7 - 3*(a^2 - a*c)*cosh(x)^5 + (3*a^2 - a*b + 3*a*c)*cosh(x)^3 - (a^2 - a*c)*cosh(x))*sinh(x))) - a*sqrt(-
a - b - c)*arctan(sqrt(2)*((a + b + c)*cosh(x)^4 + 4*(a + b + c)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 2
*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 - a + c)*sinh(x)^2 + 4*((a + b + c)*cosh(x)^3 - (a - c)*cosh(x
))*sinh(x) + a + b + c)*sqrt(-a - b - c)*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 4*(a - c)*cosh(
x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 - 2*a + 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6
*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4))/((a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^8 +
8*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*sinh(x)^
8 - 4*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^2 - a^2 - a*b +
b*c + c^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^3 - 3*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cos
h(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a
+ b)*c + c^2)*cosh(x)^4 - 30*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*
sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^5 - 10*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^3 + (3
*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 4*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a
^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^6 - 15*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^4 + 3*(3*a^2 + 2*a*b - b^
2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^2 - a^2 - a*b + b*c + c^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^
2 + 8*((a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^7 - 3*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^5 + (3*a^2 + 2*a*
b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^3 - (a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x))))/(a^2 + a*b + a*c)]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\tanh{\left (x \right )}}{\sqrt{a + b \coth ^{2}{\left (x \right )} + c \coth ^{4}{\left (x \right )}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)/(a+b*coth(x)**2+c*coth(x)**4)**(1/2),x)

[Out]

Integral(tanh(x)/sqrt(a + b*coth(x)**2 + c*coth(x)**4), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\tanh \left (x\right )}{\sqrt{c \coth \left (x\right )^{4} + b \coth \left (x\right )^{2} + a}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)/(a+b*coth(x)^2+c*coth(x)^4)^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(tanh(x)/sqrt(c*coth(x)^4 + b*coth(x)^2 + a), x)