3.467 \(\int (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{3/2} \sin ^{\frac{3}{2}}(d+e x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=371 \[ \frac{2 \left (a^2-b^2+c^2\right ) \sin ^{\frac{3}{2}}(d+e x) \sqrt{\frac{a \sin (d+e x)+b+c \cos (d+e x)}{\sqrt{a^2+c^2}+b}} (a+b \csc (d+e x)+c \cot (d+e x))^{3/2} \text{EllipticF}\left (\frac{1}{2} \left (-\tan ^{-1}(c,a)+d+e x\right ),\frac{2 \sqrt{a^2+c^2}}{\sqrt{a^2+c^2}+b}\right )}{3 e (a \sin (d+e x)+b+c \cos (d+e x))^2}+\frac{8 b \sin ^{\frac{3}{2}}(d+e x) (a+b \csc (d+e x)+c \cot (d+e x))^{3/2} E\left (\frac{1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(c,a)\right )|\frac{2 \sqrt{a^2+c^2}}{b+\sqrt{a^2+c^2}}\right )}{3 e (a \sin (d+e x)+b+c \cos (d+e x)) \sqrt{\frac{a \sin (d+e x)+b+c \cos (d+e x)}{\sqrt{a^2+c^2}+b}}}-\frac{2 \sin ^{\frac{3}{2}}(d+e x) (a \cos (d+e x)-c \sin (d+e x)) (a+b \csc (d+e x)+c \cot (d+e x))^{3/2}}{3 e (a \sin (d+e x)+b+c \cos (d+e x))} \]

[Out]

(8*b*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(3/2)*EllipticE[(d + e*x - ArcTan[c, a])/2, (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b
+ Sqrt[a^2 + c^2])]*Sin[d + e*x]^(3/2))/(3*e*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])*Sqrt[(b + c*Cos[d + e*x] +
a*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]) + (2*(a^2 - b^2 + c^2)*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(3/2)*Ell
ipticF[(d + e*x - ArcTan[c, a])/2, (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*Sin[d + e*x]^(3/2)*Sqrt[(b + c*C
os[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])])/(3*e*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])^2) - (2*(a +
c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(3/2)*Sin[d + e*x]^(3/2)*(a*Cos[d + e*x] - c*Sin[d + e*x]))/(3*e*(b + c*Cos[d
+ e*x] + a*Sin[d + e*x]))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.383481, antiderivative size = 371, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 7, integrand size = 33, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.212, Rules used = {3164, 3120, 3149, 3119, 2653, 3127, 2661} \[ \frac{2 \left (a^2-b^2+c^2\right ) \sin ^{\frac{3}{2}}(d+e x) \sqrt{\frac{a \sin (d+e x)+b+c \cos (d+e x)}{\sqrt{a^2+c^2}+b}} (a+b \csc (d+e x)+c \cot (d+e x))^{3/2} F\left (\frac{1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(c,a)\right )|\frac{2 \sqrt{a^2+c^2}}{b+\sqrt{a^2+c^2}}\right )}{3 e (a \sin (d+e x)+b+c \cos (d+e x))^2}+\frac{8 b \sin ^{\frac{3}{2}}(d+e x) (a+b \csc (d+e x)+c \cot (d+e x))^{3/2} E\left (\frac{1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(c,a)\right )|\frac{2 \sqrt{a^2+c^2}}{b+\sqrt{a^2+c^2}}\right )}{3 e (a \sin (d+e x)+b+c \cos (d+e x)) \sqrt{\frac{a \sin (d+e x)+b+c \cos (d+e x)}{\sqrt{a^2+c^2}+b}}}-\frac{2 \sin ^{\frac{3}{2}}(d+e x) (a \cos (d+e x)-c \sin (d+e x)) (a+b \csc (d+e x)+c \cot (d+e x))^{3/2}}{3 e (a \sin (d+e x)+b+c \cos (d+e x))} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(3/2)*Sin[d + e*x]^(3/2),x]

[Out]

(8*b*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(3/2)*EllipticE[(d + e*x - ArcTan[c, a])/2, (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b
+ Sqrt[a^2 + c^2])]*Sin[d + e*x]^(3/2))/(3*e*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])*Sqrt[(b + c*Cos[d + e*x] +
a*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]) + (2*(a^2 - b^2 + c^2)*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(3/2)*Ell
ipticF[(d + e*x - ArcTan[c, a])/2, (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*Sin[d + e*x]^(3/2)*Sqrt[(b + c*C
os[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])])/(3*e*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])^2) - (2*(a +
c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(3/2)*Sin[d + e*x]^(3/2)*(a*Cos[d + e*x] - c*Sin[d + e*x]))/(3*e*(b + c*Cos[d
+ e*x] + a*Sin[d + e*x]))

Rule 3164

Int[((a_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(c_.))^(n_)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_),
x_Symbol] :> Dist[(Sin[d + e*x]^n*(a + b*Csc[d + e*x] + c*Cot[d + e*x])^n)/(b + a*Sin[d + e*x] + c*Cos[d + e*
x])^n, Int[(b + a*Sin[d + e*x] + c*Cos[d + e*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] &&  !IntegerQ[n]

Rule 3120

Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> -Simp[((c*Cos[d
+ e*x] - b*Sin[d + e*x])*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n - 1))/(e*n), x] + Dist[1/n, Int[Simp[n*a^2 +
(n - 1)*(b^2 + c^2) + a*b*(2*n - 1)*Cos[d + e*x] + a*c*(2*n - 1)*Sin[d + e*x], x]*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin
[d + e*x])^(n - 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && GtQ[n, 1]

Rule 3149

Int[((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])/Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.)
+ (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Dist[B/b, Int[Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]
, x], x] + Dist[(A*b - a*B)/b, Int[1/Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
, A, B, C}, x] && EqQ[B*c - b*C, 0] && NeQ[A*b - a*B, 0]

Rule 3119

Int[Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Dist[Sqrt[a + b*C
os[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]/Sqrt[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])], Int[Sqrt[a/(a
+ Sqrt[b^2 + c^2]) + (Sqrt[b^2 + c^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[b, c]])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])], x], x] /; FreeQ[{a
, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[b^2 + c^2, 0] &&  !GtQ[a + Sqrt[b^2 + c^2], 0]

Rule 2653

Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[(2*Sqrt[a + b]*EllipticE[(1*(c - Pi/2 + d*x)
)/2, (2*b)/(a + b)])/d, x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[a + b, 0]

Rule 3127

Int[1/Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Dist[Sqrt[(a +
b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]/Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]], Int[1/Sqrt[
a/(a + Sqrt[b^2 + c^2]) + (Sqrt[b^2 + c^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[b, c]])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])], x], x] /; Free
Q[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[b^2 + c^2, 0] &&  !GtQ[a + Sqrt[b^2 + c^2], 0]

Rule 2661

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[(2*EllipticF[(1*(c - Pi/2 + d*x))/2, (2*b)
/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[a + b, 0]

Rubi steps

\begin{align*} \int (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{3/2} \sin ^{\frac{3}{2}}(d+e x) \, dx &=\frac{\left ((a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{3/2} \sin ^{\frac{3}{2}}(d+e x)\right ) \int (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x))^{3/2} \, dx}{(b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x))^{3/2}}\\ &=-\frac{2 (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{3/2} \sin ^{\frac{3}{2}}(d+e x) (a \cos (d+e x)-c \sin (d+e x))}{3 e (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x))}+\frac{\left (2 (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{3/2} \sin ^{\frac{3}{2}}(d+e x)\right ) \int \frac{\frac{1}{2} \left (a^2+3 b^2+c^2\right )+2 b c \cos (d+e x)+2 a b \sin (d+e x)}{\sqrt{b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x)}} \, dx}{3 (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x))^{3/2}}\\ &=-\frac{2 (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{3/2} \sin ^{\frac{3}{2}}(d+e x) (a \cos (d+e x)-c \sin (d+e x))}{3 e (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x))}+\frac{\left (4 b (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{3/2} \sin ^{\frac{3}{2}}(d+e x)\right ) \int \sqrt{b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x)} \, dx}{3 (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x))^{3/2}}+\frac{\left (\left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{3/2} \sin ^{\frac{3}{2}}(d+e x)\right ) \int \frac{1}{\sqrt{b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x)}} \, dx}{3 (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x))^{3/2}}\\ &=-\frac{2 (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{3/2} \sin ^{\frac{3}{2}}(d+e x) (a \cos (d+e x)-c \sin (d+e x))}{3 e (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x))}+\frac{\left (4 b (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{3/2} \sin ^{\frac{3}{2}}(d+e x)\right ) \int \sqrt{\frac{b}{b+\sqrt{a^2+c^2}}+\frac{\sqrt{a^2+c^2} \cos \left (d+e x-\tan ^{-1}(c,a)\right )}{b+\sqrt{a^2+c^2}}} \, dx}{3 (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x)) \sqrt{\frac{b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x)}{b+\sqrt{a^2+c^2}}}}+\frac{\left (\left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{3/2} \sin ^{\frac{3}{2}}(d+e x) \sqrt{\frac{b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x)}{b+\sqrt{a^2+c^2}}}\right ) \int \frac{1}{\sqrt{\frac{b}{b+\sqrt{a^2+c^2}}+\frac{\sqrt{a^2+c^2} \cos \left (d+e x-\tan ^{-1}(c,a)\right )}{b+\sqrt{a^2+c^2}}}} \, dx}{3 (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x))^2}\\ &=\frac{8 b (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{3/2} E\left (\frac{1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(c,a)\right )|\frac{2 \sqrt{a^2+c^2}}{b+\sqrt{a^2+c^2}}\right ) \sin ^{\frac{3}{2}}(d+e x)}{3 e (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x)) \sqrt{\frac{b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x)}{b+\sqrt{a^2+c^2}}}}+\frac{2 \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{3/2} F\left (\frac{1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(c,a)\right )|\frac{2 \sqrt{a^2+c^2}}{b+\sqrt{a^2+c^2}}\right ) \sin ^{\frac{3}{2}}(d+e x) \sqrt{\frac{b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x)}{b+\sqrt{a^2+c^2}}}}{3 e (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x))^2}-\frac{2 (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{3/2} \sin ^{\frac{3}{2}}(d+e x) (a \cos (d+e x)-c \sin (d+e x))}{3 e (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x))}\\ \end{align*}

Mathematica [F]  time = 53.4074, size = 0, normalized size = 0. \[ \int (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{3/2} \sin ^{\frac{3}{2}}(d+e x) \, dx \]

Verification is Not applicable to the result.

[In]

Integrate[(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(3/2)*Sin[d + e*x]^(3/2),x]

[Out]

Integrate[(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(3/2)*Sin[d + e*x]^(3/2), x]

________________________________________________________________________________________

Maple [C]  time = 0.677, size = 20858, normalized size = 56.2 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+c*cot(e*x+d)+b*csc(e*x+d))^(3/2)*sin(e*x+d)^(3/2),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (c \cot \left (e x + d\right ) + b \csc \left (e x + d\right ) + a\right )}^{\frac{3}{2}} \sin \left (e x + d\right )^{\frac{3}{2}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+c*cot(e*x+d)+b*csc(e*x+d))^(3/2)*sin(e*x+d)^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((c*cot(e*x + d) + b*csc(e*x + d) + a)^(3/2)*sin(e*x + d)^(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left ({\left (c \cot \left (e x + d\right ) + b \csc \left (e x + d\right ) + a\right )}^{\frac{3}{2}} \sin \left (e x + d\right )^{\frac{3}{2}}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+c*cot(e*x+d)+b*csc(e*x+d))^(3/2)*sin(e*x+d)^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((c*cot(e*x + d) + b*csc(e*x + d) + a)^(3/2)*sin(e*x + d)^(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+c*cot(e*x+d)+b*csc(e*x+d))**(3/2)*sin(e*x+d)**(3/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (c \cot \left (e x + d\right ) + b \csc \left (e x + d\right ) + a\right )}^{\frac{3}{2}} \sin \left (e x + d\right )^{\frac{3}{2}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+c*cot(e*x+d)+b*csc(e*x+d))^(3/2)*sin(e*x+d)^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((c*cot(e*x + d) + b*csc(e*x + d) + a)^(3/2)*sin(e*x + d)^(3/2), x)