3.466 \(\int \frac{\csc ^{\frac{5}{2}}(d+e x)}{(a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{5/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=492 \[ \frac{2 \csc ^{\frac{5}{2}}(d+e x) \sqrt{\frac{a \sin (d+e x)+b+c \cos (d+e x)}{\sqrt{a^2+c^2}+b}} (a \sin (d+e x)+b+c \cos (d+e x))^2 \text{EllipticF}\left (\frac{1}{2} \left (-\tan ^{-1}(c,a)+d+e x\right ),\frac{2 \sqrt{a^2+c^2}}{\sqrt{a^2+c^2}+b}\right )}{3 e \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \csc (d+e x)+c \cot (d+e x))^{5/2}}+\frac{8 b \csc ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (a \sin (d+e x)+b+c \cos (d+e x))^3 E\left (\frac{1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(c,a)\right )|\frac{2 \sqrt{a^2+c^2}}{b+\sqrt{a^2+c^2}}\right )}{3 e \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 \sqrt{\frac{a \sin (d+e x)+b+c \cos (d+e x)}{\sqrt{a^2+c^2}+b}} (a+b \csc (d+e x)+c \cot (d+e x))^{5/2}}+\frac{8 \csc ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (a b \cos (d+e x)-b c \sin (d+e x)) (a \sin (d+e x)+b+c \cos (d+e x))^2}{3 e \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 (a+b \csc (d+e x)+c \cot (d+e x))^{5/2}}-\frac{2 \csc ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (a \cos (d+e x)-c \sin (d+e x)) (a \sin (d+e x)+b+c \cos (d+e x))}{3 e \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \csc (d+e x)+c \cot (d+e x))^{5/2}} \]

[Out]

(8*b*Csc[d + e*x]^(5/2)*EllipticE[(d + e*x - ArcTan[c, a])/2, (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*(b +
c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])^3)/(3*(a^2 - b^2 + c^2)^2*e*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(5/2)*Sqrt[
(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]) + (2*Csc[d + e*x]^(5/2)*EllipticF[(d + e*x - Arc
Tan[c, a])/2, (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])^2*Sqrt[(b + c*C
os[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])])/(3*(a^2 - b^2 + c^2)*e*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e
*x])^(5/2)) - (2*Csc[d + e*x]^(5/2)*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])*(a*Cos[d + e*x] - c*Sin[d + e*x]))/(
3*(a^2 - b^2 + c^2)*e*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(5/2)) + (8*Csc[d + e*x]^(5/2)*(b + c*Cos[d + e*x]
+ a*Sin[d + e*x])^2*(a*b*Cos[d + e*x] - b*c*Sin[d + e*x]))/(3*(a^2 - b^2 + c^2)^2*e*(a + c*Cot[d + e*x] + b*C
sc[d + e*x])^(5/2))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.496998, antiderivative size = 492, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 8, number of rules used = 8, integrand size = 33, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.242, Rules used = {3168, 3129, 3156, 3149, 3119, 2653, 3127, 2661} \[ \frac{2 \csc ^{\frac{5}{2}}(d+e x) \sqrt{\frac{a \sin (d+e x)+b+c \cos (d+e x)}{\sqrt{a^2+c^2}+b}} (a \sin (d+e x)+b+c \cos (d+e x))^2 F\left (\frac{1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(c,a)\right )|\frac{2 \sqrt{a^2+c^2}}{b+\sqrt{a^2+c^2}}\right )}{3 e \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \csc (d+e x)+c \cot (d+e x))^{5/2}}+\frac{8 b \csc ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (a \sin (d+e x)+b+c \cos (d+e x))^3 E\left (\frac{1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(c,a)\right )|\frac{2 \sqrt{a^2+c^2}}{b+\sqrt{a^2+c^2}}\right )}{3 e \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 \sqrt{\frac{a \sin (d+e x)+b+c \cos (d+e x)}{\sqrt{a^2+c^2}+b}} (a+b \csc (d+e x)+c \cot (d+e x))^{5/2}}+\frac{8 \csc ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (a b \cos (d+e x)-b c \sin (d+e x)) (a \sin (d+e x)+b+c \cos (d+e x))^2}{3 e \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 (a+b \csc (d+e x)+c \cot (d+e x))^{5/2}}-\frac{2 \csc ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (a \cos (d+e x)-c \sin (d+e x)) (a \sin (d+e x)+b+c \cos (d+e x))}{3 e \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \csc (d+e x)+c \cot (d+e x))^{5/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Csc[d + e*x]^(5/2)/(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(5/2),x]

[Out]

(8*b*Csc[d + e*x]^(5/2)*EllipticE[(d + e*x - ArcTan[c, a])/2, (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*(b +
c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])^3)/(3*(a^2 - b^2 + c^2)^2*e*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(5/2)*Sqrt[
(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]) + (2*Csc[d + e*x]^(5/2)*EllipticF[(d + e*x - Arc
Tan[c, a])/2, (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])^2*Sqrt[(b + c*C
os[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])])/(3*(a^2 - b^2 + c^2)*e*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e
*x])^(5/2)) - (2*Csc[d + e*x]^(5/2)*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])*(a*Cos[d + e*x] - c*Sin[d + e*x]))/(
3*(a^2 - b^2 + c^2)*e*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(5/2)) + (8*Csc[d + e*x]^(5/2)*(b + c*Cos[d + e*x]
+ a*Sin[d + e*x])^2*(a*b*Cos[d + e*x] - b*c*Sin[d + e*x]))/(3*(a^2 - b^2 + c^2)^2*e*(a + c*Cot[d + e*x] + b*C
sc[d + e*x])^(5/2))

Rule 3168

Int[csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*((a_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(c_.))^(m_)
, x_Symbol] :> Dist[(Csc[d + e*x]^n*(b + a*Sin[d + e*x] + c*Cos[d + e*x])^n)/(a + b*Csc[d + e*x] + c*Cot[d + e
*x])^n, Int[1/(b + a*Sin[d + e*x] + c*Cos[d + e*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[m + n, 0] &&
!IntegerQ[n]

Rule 3129

Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[((-(c*Cos[d
+ e*x]) + b*Sin[d + e*x])*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1))/(e*(n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2)), x] +
Dist[1/((n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2)), Int[(a*(n + 1) - b*(n + 2)*Cos[d + e*x] - c*(n + 2)*Sin[d + e*x])*(a + b*C
os[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && LtQ[n
, -1] && NeQ[n, -3/2]

Rule 3156

Int[((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x
_)]*(B_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]), x_Symbol] :> -Simp[((c*B - b*C - (a*C - c*A)*Cos[d + e*x] + (a*B -
b*A)*Sin[d + e*x])*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1))/(e*(n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2)), x] + Dist[1/
((n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2)), Int[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1)*Simp[(n + 1)*(a*A - b*B - c*C)
+ (n + 2)*(a*B - b*A)*Cos[d + e*x] + (n + 2)*(a*C - c*A)*Sin[d + e*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A,
B, C}, x] && LtQ[n, -1] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[n, -2]

Rule 3149

Int[((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])/Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.)
+ (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Dist[B/b, Int[Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]
, x], x] + Dist[(A*b - a*B)/b, Int[1/Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
, A, B, C}, x] && EqQ[B*c - b*C, 0] && NeQ[A*b - a*B, 0]

Rule 3119

Int[Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Dist[Sqrt[a + b*C
os[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]/Sqrt[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])], Int[Sqrt[a/(a
+ Sqrt[b^2 + c^2]) + (Sqrt[b^2 + c^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[b, c]])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])], x], x] /; FreeQ[{a
, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[b^2 + c^2, 0] &&  !GtQ[a + Sqrt[b^2 + c^2], 0]

Rule 2653

Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[(2*Sqrt[a + b]*EllipticE[(1*(c - Pi/2 + d*x)
)/2, (2*b)/(a + b)])/d, x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[a + b, 0]

Rule 3127

Int[1/Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Dist[Sqrt[(a +
b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]/Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]], Int[1/Sqrt[
a/(a + Sqrt[b^2 + c^2]) + (Sqrt[b^2 + c^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[b, c]])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])], x], x] /; Free
Q[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[b^2 + c^2, 0] &&  !GtQ[a + Sqrt[b^2 + c^2], 0]

Rule 2661

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[(2*EllipticF[(1*(c - Pi/2 + d*x))/2, (2*b)
/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[a + b, 0]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\csc ^{\frac{5}{2}}(d+e x)}{(a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{5/2}} \, dx &=\frac{\left (\csc ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x))^{5/2}\right ) \int \frac{1}{(b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x))^{5/2}} \, dx}{(a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{5/2}}\\ &=-\frac{2 \csc ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x)) (a \cos (d+e x)-c \sin (d+e x))}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right ) e (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{5/2}}+\frac{\left (2 \csc ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x))^{5/2}\right ) \int \frac{-\frac{3 b}{2}+\frac{1}{2} c \cos (d+e x)+\frac{1}{2} a \sin (d+e x)}{(b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x))^{3/2}} \, dx}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{5/2}}\\ &=-\frac{2 \csc ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x)) (a \cos (d+e x)-c \sin (d+e x))}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right ) e (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{5/2}}+\frac{8 \csc ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x))^2 (a b \cos (d+e x)-b c \sin (d+e x))}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 e (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{5/2}}+\frac{\left (4 \csc ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x))^{5/2}\right ) \int \frac{\frac{1}{4} \left (a^2+3 b^2+c^2\right )+b c \cos (d+e x)+a b \sin (d+e x)}{\sqrt{b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x)}} \, dx}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{5/2}}\\ &=-\frac{2 \csc ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x)) (a \cos (d+e x)-c \sin (d+e x))}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right ) e (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{5/2}}+\frac{8 \csc ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x))^2 (a b \cos (d+e x)-b c \sin (d+e x))}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 e (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{5/2}}+\frac{\left (4 b \csc ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x))^{5/2}\right ) \int \sqrt{b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x)} \, dx}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{5/2}}+\frac{\left (\csc ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x))^{5/2}\right ) \int \frac{1}{\sqrt{b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x)}} \, dx}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{5/2}}\\ &=-\frac{2 \csc ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x)) (a \cos (d+e x)-c \sin (d+e x))}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right ) e (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{5/2}}+\frac{8 \csc ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x))^2 (a b \cos (d+e x)-b c \sin (d+e x))}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 e (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{5/2}}+\frac{\left (4 b \csc ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x))^3\right ) \int \sqrt{\frac{b}{b+\sqrt{a^2+c^2}}+\frac{\sqrt{a^2+c^2} \cos \left (d+e x-\tan ^{-1}(c,a)\right )}{b+\sqrt{a^2+c^2}}} \, dx}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{5/2} \sqrt{\frac{b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x)}{b+\sqrt{a^2+c^2}}}}+\frac{\left (\csc ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x))^2 \sqrt{\frac{b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x)}{b+\sqrt{a^2+c^2}}}\right ) \int \frac{1}{\sqrt{\frac{b}{b+\sqrt{a^2+c^2}}+\frac{\sqrt{a^2+c^2} \cos \left (d+e x-\tan ^{-1}(c,a)\right )}{b+\sqrt{a^2+c^2}}}} \, dx}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{5/2}}\\ &=\frac{8 b \csc ^{\frac{5}{2}}(d+e x) E\left (\frac{1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(c,a)\right )|\frac{2 \sqrt{a^2+c^2}}{b+\sqrt{a^2+c^2}}\right ) (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x))^3}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 e (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{5/2} \sqrt{\frac{b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x)}{b+\sqrt{a^2+c^2}}}}+\frac{2 \csc ^{\frac{5}{2}}(d+e x) F\left (\frac{1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(c,a)\right )|\frac{2 \sqrt{a^2+c^2}}{b+\sqrt{a^2+c^2}}\right ) (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x))^2 \sqrt{\frac{b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x)}{b+\sqrt{a^2+c^2}}}}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right ) e (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{5/2}}-\frac{2 \csc ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x)) (a \cos (d+e x)-c \sin (d+e x))}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right ) e (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{5/2}}+\frac{8 \csc ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b+c \cos (d+e x)+a \sin (d+e x))^2 (a b \cos (d+e x)-b c \sin (d+e x))}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 e (a+c \cot (d+e x)+b \csc (d+e x))^{5/2}}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 6.51315, size = 2708, normalized size = 5.5 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Csc[d + e*x]^(5/2)/(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(5/2),x]

[Out]

(Csc[d + e*x]^(5/2)*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])^3*((8*b*(a^2 + c^2))/(3*a*c*(-a^2 + b^2 - c^2)^2) +
(2*(a*b + a^2*Sin[d + e*x] + c^2*Sin[d + e*x]))/(3*c*(a^2 - b^2 + c^2)*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])^2
) - (2*(a^3 + 3*a*b^2 + a*c^2 + 4*a^2*b*Sin[d + e*x] + 4*b*c^2*Sin[d + e*x]))/(3*c*(a^2 - b^2 + c^2)^2*(b + c*
Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x]))))/(e*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(5/2)) + (4*a*b*Csc[d + e*x]^(5/2)*
(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])^(5/2)*(-((a*AppellF1[-1/2, -1/2, -1/2, 1/2, -((b + Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*C
os[d + e*x - ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*(1 - b/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*c))*c)), -((b + Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*Co
s[d + e*x - ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*(-1 - b/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*c))*c))]*Sin[d + e*x - ArcTan[a/c]])/(
Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*Sqrt[(c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2] - c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[a/c]])/(b + c
*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2])]*Sqrt[b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[a/c]]]*Sqrt[(c*Sqrt[(a^2 + c^2)
/c^2] + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[a/c]])/(-b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2])])) - ((2*c*(b + Sqr
t[1 + a^2/c^2]*c*Cos[d + e*x - ArcTan[a/c]]))/(a^2 + c^2) - (a*Sin[d + e*x - ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*
c))/Sqrt[b + Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*Cos[d + e*x - ArcTan[a/c]]]))/(3*(a^2 - b^2 + c^2)^2*e*(a + c*Cot[d + e*x] +
b*Csc[d + e*x])^(5/2)) + (4*b*c^2*Csc[d + e*x]^(5/2)*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])^(5/2)*(-((a*AppellF
1[-1/2, -1/2, -1/2, 1/2, -((b + Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*Cos[d + e*x - ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*(1 - b/(Sqr
t[1 + a^2/c^2]*c))*c)), -((b + Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*Cos[d + e*x - ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*(-1 - b/(Sqr
t[1 + a^2/c^2]*c))*c))]*Sin[d + e*x - ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*Sqrt[(c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2] - c*Sqr
t[(a^2 + c^2)/c^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[a/c]])/(b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2])]*Sqrt[b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]
*Cos[d + e*x - ArcTan[a/c]]]*Sqrt[(c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2] + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[a/c]
])/(-b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2])])) - ((2*c*(b + Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*Cos[d + e*x - ArcTan[a/c]]))/(a^2 + c^2)
- (a*Sin[d + e*x - ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*c))/Sqrt[b + Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*Cos[d + e*x - ArcTan[a/c
]]]))/(3*a*(a^2 - b^2 + c^2)^2*e*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(5/2)) + (2*a*AppellF1[1/2, 1/2, 1/2, 3
/2, -((b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*(1 - b/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2])))
), -((b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*(-1 - b/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2])))
)]*Csc[d + e*x]^(5/2)*Sec[d + e*x + ArcTan[c/a]]*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])^(5/2)*Sqrt[(a*Sqrt[(a^2
+ c^2)/a^2] - a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[c/a]])/(b + a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2])]*Sqrt[b + a*S
qrt[(a^2 + c^2)/a^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[c/a]]]*Sqrt[(a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2] + a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2]*Sin[d
+ e*x + ArcTan[c/a]])/(-b + a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2])])/(3*(a^2 - b^2 + c^2)^2*Sqrt[1 + c^2/a^2]*e*(a + c*Cot[
d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(5/2)) + (2*b^2*AppellF1[1/2, 1/2, 1/2, 3/2, -((b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Sin[d + e*x
+ ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*(1 - b/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2])))), -((b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Sin[d + e*x
+ ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*(-1 - b/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]))))]*Csc[d + e*x]^(5/2)*Sec[d + e*x + ArcTan
[c/a]]*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x])^(5/2)*Sqrt[(a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2] - a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2]*Sin
[d + e*x + ArcTan[c/a]])/(b + a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2])]*Sqrt[b + a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[
c/a]]]*Sqrt[(a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2] + a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[c/a]])/(-b + a*Sqrt[(a^2 +
c^2)/a^2])])/(a*(a^2 - b^2 + c^2)^2*Sqrt[1 + c^2/a^2]*e*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(5/2)) + (2*c^2
*AppellF1[1/2, 1/2, 1/2, 3/2, -((b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*(1 -
b/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2])))), -((b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*(-1 -
b/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]))))]*Csc[d + e*x]^(5/2)*Sec[d + e*x + ArcTan[c/a]]*(b + c*Cos[d + e*x] + a*Sin[d + e*x
])^(5/2)*Sqrt[(a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2] - a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[c/a]])/(b + a*Sqrt[(a^2
+ c^2)/a^2])]*Sqrt[b + a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[c/a]]]*Sqrt[(a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2] + a*S
qrt[(a^2 + c^2)/a^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[c/a]])/(-b + a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2])])/(3*a*(a^2 - b^2 + c^2)^2*Sqr
t[1 + c^2/a^2]*e*(a + c*Cot[d + e*x] + b*Csc[d + e*x])^(5/2))

________________________________________________________________________________________

Maple [C]  time = 1.804, size = 64199, normalized size = 130.5 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(csc(e*x+d)^(5/2)/(a+c*cot(e*x+d)+b*csc(e*x+d))^(5/2),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\csc \left (e x + d\right )^{\frac{5}{2}}}{{\left (c \cot \left (e x + d\right ) + b \csc \left (e x + d\right ) + a\right )}^{\frac{5}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(e*x+d)^(5/2)/(a+c*cot(e*x+d)+b*csc(e*x+d))^(5/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(csc(e*x + d)^(5/2)/(c*cot(e*x + d) + b*csc(e*x + d) + a)^(5/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (\frac{\sqrt{c \cot \left (e x + d\right ) + b \csc \left (e x + d\right ) + a} \csc \left (e x + d\right )^{\frac{5}{2}}}{c^{3} \cot \left (e x + d\right )^{3} + b^{3} \csc \left (e x + d\right )^{3} + 3 \, a c^{2} \cot \left (e x + d\right )^{2} + 3 \, a^{2} c \cot \left (e x + d\right ) + a^{3} + 3 \,{\left (b^{2} c \cot \left (e x + d\right ) + a b^{2}\right )} \csc \left (e x + d\right )^{2} + 3 \,{\left (b c^{2} \cot \left (e x + d\right )^{2} + 2 \, a b c \cot \left (e x + d\right ) + a^{2} b\right )} \csc \left (e x + d\right )}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(e*x+d)^(5/2)/(a+c*cot(e*x+d)+b*csc(e*x+d))^(5/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(sqrt(c*cot(e*x + d) + b*csc(e*x + d) + a)*csc(e*x + d)^(5/2)/(c^3*cot(e*x + d)^3 + b^3*csc(e*x + d)^3
+ 3*a*c^2*cot(e*x + d)^2 + 3*a^2*c*cot(e*x + d) + a^3 + 3*(b^2*c*cot(e*x + d) + a*b^2)*csc(e*x + d)^2 + 3*(b*
c^2*cot(e*x + d)^2 + 2*a*b*c*cot(e*x + d) + a^2*b)*csc(e*x + d)), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(e*x+d)**(5/2)/(a+c*cot(e*x+d)+b*csc(e*x+d))**(5/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(e*x+d)^(5/2)/(a+c*cot(e*x+d)+b*csc(e*x+d))^(5/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out