3.175 \(\int x (a+b x)^n (c+d x^3) \, dx\)

Optimal. Leaf size=126 \[ -\frac{a \left (b^3 c-a^3 d\right ) (a+b x)^{n+1}}{b^5 (n+1)}+\frac{\left (b^3 c-4 a^3 d\right ) (a+b x)^{n+2}}{b^5 (n+2)}+\frac{6 a^2 d (a+b x)^{n+3}}{b^5 (n+3)}-\frac{4 a d (a+b x)^{n+4}}{b^5 (n+4)}+\frac{d (a+b x)^{n+5}}{b^5 (n+5)} \]

[Out]

-((a*(b^3*c - a^3*d)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^5*(1 + n))) + ((b^3*c - 4*a^3*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^5*(2 + n)) +
(6*a^2*d*(a + b*x)^(3 + n))/(b^5*(3 + n)) - (4*a*d*(a + b*x)^(4 + n))/(b^5*(4 + n)) + (d*(a + b*x)^(5 + n))/(
b^5*(5 + n))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0682909, antiderivative size = 126, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 2, number of rules used = 1, integrand size = 16, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.062, Rules used = {1620} \[ -\frac{a \left (b^3 c-a^3 d\right ) (a+b x)^{n+1}}{b^5 (n+1)}+\frac{\left (b^3 c-4 a^3 d\right ) (a+b x)^{n+2}}{b^5 (n+2)}+\frac{6 a^2 d (a+b x)^{n+3}}{b^5 (n+3)}-\frac{4 a d (a+b x)^{n+4}}{b^5 (n+4)}+\frac{d (a+b x)^{n+5}}{b^5 (n+5)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[x*(a + b*x)^n*(c + d*x^3),x]

[Out]

-((a*(b^3*c - a^3*d)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^5*(1 + n))) + ((b^3*c - 4*a^3*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^5*(2 + n)) +
(6*a^2*d*(a + b*x)^(3 + n))/(b^5*(3 + n)) - (4*a*d*(a + b*x)^(4 + n))/(b^5*(4 + n)) + (d*(a + b*x)^(5 + n))/(
b^5*(5 + n))

Rule 1620

Int[(Px_)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Px*(a + b*x)
^m*(c + d*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && PolyQ[Px, x] && (IntegersQ[m, n] || IGtQ[m, -2]) &&
GtQ[Expon[Px, x], 2]

Rubi steps

\begin{align*} \int x (a+b x)^n \left (c+d x^3\right ) \, dx &=\int \left (\frac{a \left (-b^3 c+a^3 d\right ) (a+b x)^n}{b^4}+\frac{\left (b^3 c-4 a^3 d\right ) (a+b x)^{1+n}}{b^4}+\frac{6 a^2 d (a+b x)^{2+n}}{b^4}-\frac{4 a d (a+b x)^{3+n}}{b^4}+\frac{d (a+b x)^{4+n}}{b^4}\right ) \, dx\\ &=-\frac{a \left (b^3 c-a^3 d\right ) (a+b x)^{1+n}}{b^5 (1+n)}+\frac{\left (b^3 c-4 a^3 d\right ) (a+b x)^{2+n}}{b^5 (2+n)}+\frac{6 a^2 d (a+b x)^{3+n}}{b^5 (3+n)}-\frac{4 a d (a+b x)^{4+n}}{b^5 (4+n)}+\frac{d (a+b x)^{5+n}}{b^5 (5+n)}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.078184, size = 104, normalized size = 0.83 \[ \frac{(a+b x)^{n+1} \left (\frac{(a+b x) \left (b^3 c-4 a^3 d\right )}{n+2}+\frac{a \left (a^3 d-b^3 c\right )}{n+1}+\frac{6 a^2 d (a+b x)^2}{n+3}+\frac{d (a+b x)^4}{n+5}-\frac{4 a d (a+b x)^3}{n+4}\right )}{b^5} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[x*(a + b*x)^n*(c + d*x^3),x]

[Out]

((a + b*x)^(1 + n)*((a*(-(b^3*c) + a^3*d))/(1 + n) + ((b^3*c - 4*a^3*d)*(a + b*x))/(2 + n) + (6*a^2*d*(a + b*x
)^2)/(3 + n) - (4*a*d*(a + b*x)^3)/(4 + n) + (d*(a + b*x)^4)/(5 + n)))/b^5

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.004, size = 283, normalized size = 2.3 \begin{align*}{\frac{ \left ( bx+a \right ) ^{1+n} \left ({b}^{4}d{n}^{4}{x}^{4}+10\,{b}^{4}d{n}^{3}{x}^{4}-4\,a{b}^{3}d{n}^{3}{x}^{3}+35\,{b}^{4}d{n}^{2}{x}^{4}-24\,a{b}^{3}d{n}^{2}{x}^{3}+{b}^{4}c{n}^{4}x+50\,{b}^{4}dn{x}^{4}+12\,{a}^{2}{b}^{2}d{n}^{2}{x}^{2}-44\,a{b}^{3}dn{x}^{3}+13\,{b}^{4}c{n}^{3}x+24\,d{x}^{4}{b}^{4}+36\,{a}^{2}{b}^{2}dn{x}^{2}-a{b}^{3}c{n}^{3}-24\,ad{x}^{3}{b}^{3}+59\,{b}^{4}c{n}^{2}x-24\,{a}^{3}bdnx+24\,d{a}^{2}{x}^{2}{b}^{2}-12\,a{b}^{3}c{n}^{2}+107\,{b}^{4}cnx-24\,{a}^{3}bdx-47\,a{b}^{3}cn+60\,{b}^{4}cx+24\,{a}^{4}d-60\,a{b}^{3}c \right ) }{{b}^{5} \left ({n}^{5}+15\,{n}^{4}+85\,{n}^{3}+225\,{n}^{2}+274\,n+120 \right ) }} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(x*(b*x+a)^n*(d*x^3+c),x)

[Out]

(b*x+a)^(1+n)*(b^4*d*n^4*x^4+10*b^4*d*n^3*x^4-4*a*b^3*d*n^3*x^3+35*b^4*d*n^2*x^4-24*a*b^3*d*n^2*x^3+b^4*c*n^4*
x+50*b^4*d*n*x^4+12*a^2*b^2*d*n^2*x^2-44*a*b^3*d*n*x^3+13*b^4*c*n^3*x+24*b^4*d*x^4+36*a^2*b^2*d*n*x^2-a*b^3*c*
n^3-24*a*b^3*d*x^3+59*b^4*c*n^2*x-24*a^3*b*d*n*x+24*a^2*b^2*d*x^2-12*a*b^3*c*n^2+107*b^4*c*n*x-24*a^3*b*d*x-47
*a*b^3*c*n+60*b^4*c*x+24*a^4*d-60*a*b^3*c)/b^5/(n^5+15*n^4+85*n^3+225*n^2+274*n+120)

________________________________________________________________________________________

Maxima [A]  time = 1.03665, size = 248, normalized size = 1.97 \begin{align*} \frac{{\left (b^{2}{\left (n + 1\right )} x^{2} + a b n x - a^{2}\right )}{\left (b x + a\right )}^{n} c}{{\left (n^{2} + 3 \, n + 2\right )} b^{2}} + \frac{{\left ({\left (n^{4} + 10 \, n^{3} + 35 \, n^{2} + 50 \, n + 24\right )} b^{5} x^{5} +{\left (n^{4} + 6 \, n^{3} + 11 \, n^{2} + 6 \, n\right )} a b^{4} x^{4} - 4 \,{\left (n^{3} + 3 \, n^{2} + 2 \, n\right )} a^{2} b^{3} x^{3} + 12 \,{\left (n^{2} + n\right )} a^{3} b^{2} x^{2} - 24 \, a^{4} b n x + 24 \, a^{5}\right )}{\left (b x + a\right )}^{n} d}{{\left (n^{5} + 15 \, n^{4} + 85 \, n^{3} + 225 \, n^{2} + 274 \, n + 120\right )} b^{5}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x*(b*x+a)^n*(d*x^3+c),x, algorithm="maxima")

[Out]

(b^2*(n + 1)*x^2 + a*b*n*x - a^2)*(b*x + a)^n*c/((n^2 + 3*n + 2)*b^2) + ((n^4 + 10*n^3 + 35*n^2 + 50*n + 24)*b
^5*x^5 + (n^4 + 6*n^3 + 11*n^2 + 6*n)*a*b^4*x^4 - 4*(n^3 + 3*n^2 + 2*n)*a^2*b^3*x^3 + 12*(n^2 + n)*a^3*b^2*x^2
- 24*a^4*b*n*x + 24*a^5)*(b*x + a)^n*d/((n^5 + 15*n^4 + 85*n^3 + 225*n^2 + 274*n + 120)*b^5)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 1.15695, size = 744, normalized size = 5.9 \begin{align*} -\frac{{\left (a^{2} b^{3} c n^{3} + 12 \, a^{2} b^{3} c n^{2} + 47 \, a^{2} b^{3} c n + 60 \, a^{2} b^{3} c - 24 \, a^{5} d -{\left (b^{5} d n^{4} + 10 \, b^{5} d n^{3} + 35 \, b^{5} d n^{2} + 50 \, b^{5} d n + 24 \, b^{5} d\right )} x^{5} -{\left (a b^{4} d n^{4} + 6 \, a b^{4} d n^{3} + 11 \, a b^{4} d n^{2} + 6 \, a b^{4} d n\right )} x^{4} + 4 \,{\left (a^{2} b^{3} d n^{3} + 3 \, a^{2} b^{3} d n^{2} + 2 \, a^{2} b^{3} d n\right )} x^{3} -{\left (b^{5} c n^{4} + 13 \, b^{5} c n^{3} + 60 \, b^{5} c +{\left (59 \, b^{5} c + 12 \, a^{3} b^{2} d\right )} n^{2} +{\left (107 \, b^{5} c + 12 \, a^{3} b^{2} d\right )} n\right )} x^{2} -{\left (a b^{4} c n^{4} + 12 \, a b^{4} c n^{3} + 47 \, a b^{4} c n^{2} + 12 \,{\left (5 \, a b^{4} c - 2 \, a^{4} b d\right )} n\right )} x\right )}{\left (b x + a\right )}^{n}}{b^{5} n^{5} + 15 \, b^{5} n^{4} + 85 \, b^{5} n^{3} + 225 \, b^{5} n^{2} + 274 \, b^{5} n + 120 \, b^{5}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x*(b*x+a)^n*(d*x^3+c),x, algorithm="fricas")

[Out]

-(a^2*b^3*c*n^3 + 12*a^2*b^3*c*n^2 + 47*a^2*b^3*c*n + 60*a^2*b^3*c - 24*a^5*d - (b^5*d*n^4 + 10*b^5*d*n^3 + 35
*b^5*d*n^2 + 50*b^5*d*n + 24*b^5*d)*x^5 - (a*b^4*d*n^4 + 6*a*b^4*d*n^3 + 11*a*b^4*d*n^2 + 6*a*b^4*d*n)*x^4 + 4
*(a^2*b^3*d*n^3 + 3*a^2*b^3*d*n^2 + 2*a^2*b^3*d*n)*x^3 - (b^5*c*n^4 + 13*b^5*c*n^3 + 60*b^5*c + (59*b^5*c + 12
*a^3*b^2*d)*n^2 + (107*b^5*c + 12*a^3*b^2*d)*n)*x^2 - (a*b^4*c*n^4 + 12*a*b^4*c*n^3 + 47*a*b^4*c*n^2 + 12*(5*a
*b^4*c - 2*a^4*b*d)*n)*x)*(b*x + a)^n/(b^5*n^5 + 15*b^5*n^4 + 85*b^5*n^3 + 225*b^5*n^2 + 274*b^5*n + 120*b^5)

________________________________________________________________________________________

Sympy [A]  time = 4.14797, size = 3703, normalized size = 29.39 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x*(b*x+a)**n*(d*x**3+c),x)

[Out]

Piecewise((a**n*(c*x**2/2 + d*x**5/5), Eq(b, 0)), (12*a**4*d*log(a/b + x)/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b**6*x + 72*
a**2*b**7*x**2 + 48*a*b**8*x**3 + 12*b**9*x**4) + 13*a**4*d/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b**6*x + 72*a**2*b**7*x**2
+ 48*a*b**8*x**3 + 12*b**9*x**4) + 48*a**3*b*d*x*log(a/b + x)/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b**6*x + 72*a**2*b**7*x
**2 + 48*a*b**8*x**3 + 12*b**9*x**4) + 40*a**3*b*d*x/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b**6*x + 72*a**2*b**7*x**2 + 48*a
*b**8*x**3 + 12*b**9*x**4) + 72*a**2*b**2*d*x**2*log(a/b + x)/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b**6*x + 72*a**2*b**7*x*
*2 + 48*a*b**8*x**3 + 12*b**9*x**4) + 36*a**2*b**2*d*x**2/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b**6*x + 72*a**2*b**7*x**2 +
48*a*b**8*x**3 + 12*b**9*x**4) - a*b**3*c/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b**6*x + 72*a**2*b**7*x**2 + 48*a*b**8*x**3
+ 12*b**9*x**4) + 48*a*b**3*d*x**3*log(a/b + x)/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b**6*x + 72*a**2*b**7*x**2 + 48*a*b**
8*x**3 + 12*b**9*x**4) - 4*b**4*c*x/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b**6*x + 72*a**2*b**7*x**2 + 48*a*b**8*x**3 + 12*b
**9*x**4) + 12*b**4*d*x**4*log(a/b + x)/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b**6*x + 72*a**2*b**7*x**2 + 48*a*b**8*x**3 +
12*b**9*x**4) - 12*b**4*d*x**4/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b**6*x + 72*a**2*b**7*x**2 + 48*a*b**8*x**3 + 12*b**9*x
**4), Eq(n, -5)), (-24*a**4*d*log(a/b + x)/(6*a**3*b**5 + 18*a**2*b**6*x + 18*a*b**7*x**2 + 6*b**8*x**3) - 44*
a**4*d/(6*a**3*b**5 + 18*a**2*b**6*x + 18*a*b**7*x**2 + 6*b**8*x**3) - 72*a**3*b*d*x*log(a/b + x)/(6*a**3*b**5
+ 18*a**2*b**6*x + 18*a*b**7*x**2 + 6*b**8*x**3) - 108*a**3*b*d*x/(6*a**3*b**5 + 18*a**2*b**6*x + 18*a*b**7*x
**2 + 6*b**8*x**3) - 72*a**2*b**2*d*x**2*log(a/b + x)/(6*a**3*b**5 + 18*a**2*b**6*x + 18*a*b**7*x**2 + 6*b**8*
x**3) - 72*a**2*b**2*d*x**2/(6*a**3*b**5 + 18*a**2*b**6*x + 18*a*b**7*x**2 + 6*b**8*x**3) - a*b**3*c/(6*a**3*b
**5 + 18*a**2*b**6*x + 18*a*b**7*x**2 + 6*b**8*x**3) - 24*a*b**3*d*x**3*log(a/b + x)/(6*a**3*b**5 + 18*a**2*b*
*6*x + 18*a*b**7*x**2 + 6*b**8*x**3) - 3*b**4*c*x/(6*a**3*b**5 + 18*a**2*b**6*x + 18*a*b**7*x**2 + 6*b**8*x**3
) + 6*b**4*d*x**4/(6*a**3*b**5 + 18*a**2*b**6*x + 18*a*b**7*x**2 + 6*b**8*x**3), Eq(n, -4)), (12*a**4*d*log(a/
b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 18*a**4*d/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 24*a**3
*b*d*x*log(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 24*a**3*b*d*x/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**
7*x**2) + 12*a**2*b**2*d*x**2*log(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) - a*b**3*c/(2*a**2*b**5 +
4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) - 4*a*b**3*d*x**3/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) - 2*b**4*c*x/(2*a**2*b**5
+ 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + b**4*d*x**4/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2), Eq(n, -3)), (-12*a**4*d*l
og(a/b + x)/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) - 12*a**4*d/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) - 12*a**3*b*d*x*log(a/b + x)/(3*a*b**5 + 3
*b**6*x) + 6*a**2*b**2*d*x**2/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) + 3*a*b**3*c*log(a/b + x)/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) + 3*a*b**3
*c/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) - 2*a*b**3*d*x**3/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) + 3*b**4*c*x*log(a/b + x)/(3*a*b**5 + 3*b**6*
x) + b**4*d*x**4/(3*a*b**5 + 3*b**6*x), Eq(n, -2)), (a**4*d*log(a/b + x)/b**5 - a**3*d*x/b**4 + a**2*d*x**2/(2
*b**3) - a*c*log(a/b + x)/b**2 - a*d*x**3/(3*b**2) + c*x/b + d*x**4/(4*b), Eq(n, -1)), (24*a**5*d*(a + b*x)**n
/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 24*a**4*b*d*n*x*(a + b*x)
**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 12*a**3*b**2*d*n**2*x*
*2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 12*a**3*b*
*2*d*n*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - a
**2*b**3*c*n**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5)
- 12*a**2*b**3*c*n**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 12
0*b**5) - 47*a**2*b**3*c*n*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n
+ 120*b**5) - 60*a**2*b**3*c*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*
n + 120*b**5) - 4*a**2*b**3*d*n**3*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2
+ 274*b**5*n + 120*b**5) - 12*a**2*b**3*d*n**2*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 22
5*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 8*a**2*b**3*d*n*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n
**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + a*b**4*c*n**4*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**
5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 12*a*b**4*c*n**3*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 +
85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 47*a*b**4*c*n**2*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n
**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 60*a*b**4*c*n*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**
5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + a*b**4*d*n**4*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 +
15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 6*a*b**4*d*n**3*x**4*(a + b*x)**n/(b**5
*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 11*a*b**4*d*n**2*x**4*(a + b*x)
**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 6*a*b**4*d*n*x**4*(a +
b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + b**5*c*n**4*x**2*
(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 13*b**5*c*n**
3*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 59*b**
5*c*n**2*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) +
107*b**5*c*n*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b*
*5) + 60*b**5*c*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*
b**5) + b**5*d*n**4*x**5*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n +
120*b**5) + 10*b**5*d*n**3*x**5*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b*
*5*n + 120*b**5) + 35*b**5*d*n**2*x**5*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 +
274*b**5*n + 120*b**5) + 50*b**5*d*n*x**5*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n*
*2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 24*b**5*d*x**5*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*
n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5), True))

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.21134, size = 779, normalized size = 6.18 \begin{align*} \frac{{\left (b x + a\right )}^{n} b^{5} d n^{4} x^{5} +{\left (b x + a\right )}^{n} a b^{4} d n^{4} x^{4} + 10 \,{\left (b x + a\right )}^{n} b^{5} d n^{3} x^{5} + 6 \,{\left (b x + a\right )}^{n} a b^{4} d n^{3} x^{4} + 35 \,{\left (b x + a\right )}^{n} b^{5} d n^{2} x^{5} +{\left (b x + a\right )}^{n} b^{5} c n^{4} x^{2} - 4 \,{\left (b x + a\right )}^{n} a^{2} b^{3} d n^{3} x^{3} + 11 \,{\left (b x + a\right )}^{n} a b^{4} d n^{2} x^{4} + 50 \,{\left (b x + a\right )}^{n} b^{5} d n x^{5} +{\left (b x + a\right )}^{n} a b^{4} c n^{4} x + 13 \,{\left (b x + a\right )}^{n} b^{5} c n^{3} x^{2} - 12 \,{\left (b x + a\right )}^{n} a^{2} b^{3} d n^{2} x^{3} + 6 \,{\left (b x + a\right )}^{n} a b^{4} d n x^{4} + 24 \,{\left (b x + a\right )}^{n} b^{5} d x^{5} + 12 \,{\left (b x + a\right )}^{n} a b^{4} c n^{3} x + 59 \,{\left (b x + a\right )}^{n} b^{5} c n^{2} x^{2} + 12 \,{\left (b x + a\right )}^{n} a^{3} b^{2} d n^{2} x^{2} - 8 \,{\left (b x + a\right )}^{n} a^{2} b^{3} d n x^{3} -{\left (b x + a\right )}^{n} a^{2} b^{3} c n^{3} + 47 \,{\left (b x + a\right )}^{n} a b^{4} c n^{2} x + 107 \,{\left (b x + a\right )}^{n} b^{5} c n x^{2} + 12 \,{\left (b x + a\right )}^{n} a^{3} b^{2} d n x^{2} - 12 \,{\left (b x + a\right )}^{n} a^{2} b^{3} c n^{2} + 60 \,{\left (b x + a\right )}^{n} a b^{4} c n x - 24 \,{\left (b x + a\right )}^{n} a^{4} b d n x + 60 \,{\left (b x + a\right )}^{n} b^{5} c x^{2} - 47 \,{\left (b x + a\right )}^{n} a^{2} b^{3} c n - 60 \,{\left (b x + a\right )}^{n} a^{2} b^{3} c + 24 \,{\left (b x + a\right )}^{n} a^{5} d}{b^{5} n^{5} + 15 \, b^{5} n^{4} + 85 \, b^{5} n^{3} + 225 \, b^{5} n^{2} + 274 \, b^{5} n + 120 \, b^{5}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x*(b*x+a)^n*(d*x^3+c),x, algorithm="giac")

[Out]

((b*x + a)^n*b^5*d*n^4*x^5 + (b*x + a)^n*a*b^4*d*n^4*x^4 + 10*(b*x + a)^n*b^5*d*n^3*x^5 + 6*(b*x + a)^n*a*b^4*
d*n^3*x^4 + 35*(b*x + a)^n*b^5*d*n^2*x^5 + (b*x + a)^n*b^5*c*n^4*x^2 - 4*(b*x + a)^n*a^2*b^3*d*n^3*x^3 + 11*(b
*x + a)^n*a*b^4*d*n^2*x^4 + 50*(b*x + a)^n*b^5*d*n*x^5 + (b*x + a)^n*a*b^4*c*n^4*x + 13*(b*x + a)^n*b^5*c*n^3*
x^2 - 12*(b*x + a)^n*a^2*b^3*d*n^2*x^3 + 6*(b*x + a)^n*a*b^4*d*n*x^4 + 24*(b*x + a)^n*b^5*d*x^5 + 12*(b*x + a)
^n*a*b^4*c*n^3*x + 59*(b*x + a)^n*b^5*c*n^2*x^2 + 12*(b*x + a)^n*a^3*b^2*d*n^2*x^2 - 8*(b*x + a)^n*a^2*b^3*d*n
*x^3 - (b*x + a)^n*a^2*b^3*c*n^3 + 47*(b*x + a)^n*a*b^4*c*n^2*x + 107*(b*x + a)^n*b^5*c*n*x^2 + 12*(b*x + a)^n
*a^3*b^2*d*n*x^2 - 12*(b*x + a)^n*a^2*b^3*c*n^2 + 60*(b*x + a)^n*a*b^4*c*n*x - 24*(b*x + a)^n*a^4*b*d*n*x + 60
*(b*x + a)^n*b^5*c*x^2 - 47*(b*x + a)^n*a^2*b^3*c*n - 60*(b*x + a)^n*a^2*b^3*c + 24*(b*x + a)^n*a^5*d)/(b^5*n^
5 + 15*b^5*n^4 + 85*b^5*n^3 + 225*b^5*n^2 + 274*b^5*n + 120*b^5)