3.174 \(\int x^2 (a+b x)^n (c+d x^3) \, dx\)

Optimal. Leaf size=160 \[ \frac{a^2 \left (b^3 c-a^3 d\right ) (a+b x)^{n+1}}{b^6 (n+1)}-\frac{a \left (2 b^3 c-5 a^3 d\right ) (a+b x)^{n+2}}{b^6 (n+2)}+\frac{\left (b^3 c-10 a^3 d\right ) (a+b x)^{n+3}}{b^6 (n+3)}+\frac{10 a^2 d (a+b x)^{n+4}}{b^6 (n+4)}-\frac{5 a d (a+b x)^{n+5}}{b^6 (n+5)}+\frac{d (a+b x)^{n+6}}{b^6 (n+6)} \]

[Out]

(a^2*(b^3*c - a^3*d)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^6*(1 + n)) - (a*(2*b^3*c - 5*a^3*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^6*(2 + n)
) + ((b^3*c - 10*a^3*d)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^6*(3 + n)) + (10*a^2*d*(a + b*x)^(4 + n))/(b^6*(4 + n)) - (5*a*d
*(a + b*x)^(5 + n))/(b^6*(5 + n)) + (d*(a + b*x)^(6 + n))/(b^6*(6 + n))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.105788, antiderivative size = 160, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 2, number of rules used = 1, integrand size = 18, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.056, Rules used = {1620} \[ \frac{a^2 \left (b^3 c-a^3 d\right ) (a+b x)^{n+1}}{b^6 (n+1)}-\frac{a \left (2 b^3 c-5 a^3 d\right ) (a+b x)^{n+2}}{b^6 (n+2)}+\frac{\left (b^3 c-10 a^3 d\right ) (a+b x)^{n+3}}{b^6 (n+3)}+\frac{10 a^2 d (a+b x)^{n+4}}{b^6 (n+4)}-\frac{5 a d (a+b x)^{n+5}}{b^6 (n+5)}+\frac{d (a+b x)^{n+6}}{b^6 (n+6)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[x^2*(a + b*x)^n*(c + d*x^3),x]

[Out]

(a^2*(b^3*c - a^3*d)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^6*(1 + n)) - (a*(2*b^3*c - 5*a^3*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^6*(2 + n)
) + ((b^3*c - 10*a^3*d)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^6*(3 + n)) + (10*a^2*d*(a + b*x)^(4 + n))/(b^6*(4 + n)) - (5*a*d
*(a + b*x)^(5 + n))/(b^6*(5 + n)) + (d*(a + b*x)^(6 + n))/(b^6*(6 + n))

Rule 1620

Int[(Px_)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Px*(a + b*x)
^m*(c + d*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && PolyQ[Px, x] && (IntegersQ[m, n] || IGtQ[m, -2]) &&
GtQ[Expon[Px, x], 2]

Rubi steps

\begin{align*} \int x^2 (a+b x)^n \left (c+d x^3\right ) \, dx &=\int \left (\frac{\left (a^2 b^3 c-a^5 d\right ) (a+b x)^n}{b^5}+\frac{a \left (-2 b^3 c+5 a^3 d\right ) (a+b x)^{1+n}}{b^5}+\frac{\left (b^3 c-10 a^3 d\right ) (a+b x)^{2+n}}{b^5}+\frac{10 a^2 d (a+b x)^{3+n}}{b^5}-\frac{5 a d (a+b x)^{4+n}}{b^5}+\frac{d (a+b x)^{5+n}}{b^5}\right ) \, dx\\ &=\frac{a^2 \left (b^3 c-a^3 d\right ) (a+b x)^{1+n}}{b^6 (1+n)}-\frac{a \left (2 b^3 c-5 a^3 d\right ) (a+b x)^{2+n}}{b^6 (2+n)}+\frac{\left (b^3 c-10 a^3 d\right ) (a+b x)^{3+n}}{b^6 (3+n)}+\frac{10 a^2 d (a+b x)^{4+n}}{b^6 (4+n)}-\frac{5 a d (a+b x)^{5+n}}{b^6 (5+n)}+\frac{d (a+b x)^{6+n}}{b^6 (6+n)}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.125001, size = 133, normalized size = 0.83 \[ \frac{(a+b x)^{n+1} \left (\frac{(a+b x)^2 \left (b^3 c-10 a^3 d\right )}{n+3}+\frac{a (a+b x) \left (5 a^3 d-2 b^3 c\right )}{n+2}+\frac{a^2 b^3 c-a^5 d}{n+1}+\frac{10 a^2 d (a+b x)^3}{n+4}+\frac{d (a+b x)^5}{n+6}-\frac{5 a d (a+b x)^4}{n+5}\right )}{b^6} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[x^2*(a + b*x)^n*(c + d*x^3),x]

[Out]

((a + b*x)^(1 + n)*((a^2*b^3*c - a^5*d)/(1 + n) + (a*(-2*b^3*c + 5*a^3*d)*(a + b*x))/(2 + n) + ((b^3*c - 10*a^
3*d)*(a + b*x)^2)/(3 + n) + (10*a^2*d*(a + b*x)^3)/(4 + n) - (5*a*d*(a + b*x)^4)/(5 + n) + (d*(a + b*x)^5)/(6
+ n)))/b^6

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.007, size = 451, normalized size = 2.8 \begin{align*} -{\frac{ \left ( bx+a \right ) ^{1+n} \left ( -{b}^{5}d{n}^{5}{x}^{5}-15\,{b}^{5}d{n}^{4}{x}^{5}+5\,a{b}^{4}d{n}^{4}{x}^{4}-85\,{b}^{5}d{n}^{3}{x}^{5}+50\,a{b}^{4}d{n}^{3}{x}^{4}-{b}^{5}c{n}^{5}{x}^{2}-225\,{b}^{5}d{n}^{2}{x}^{5}-20\,{a}^{2}{b}^{3}d{n}^{3}{x}^{3}+175\,a{b}^{4}d{n}^{2}{x}^{4}-18\,{b}^{5}c{n}^{4}{x}^{2}-274\,{b}^{5}dn{x}^{5}-120\,{a}^{2}{b}^{3}d{n}^{2}{x}^{3}+2\,a{b}^{4}c{n}^{4}x+250\,a{b}^{4}dn{x}^{4}-121\,{b}^{5}c{n}^{3}{x}^{2}-120\,d{x}^{5}{b}^{5}+60\,{a}^{3}{b}^{2}d{n}^{2}{x}^{2}-220\,{a}^{2}{b}^{3}dn{x}^{3}+32\,a{b}^{4}c{n}^{3}x+120\,ad{x}^{4}{b}^{4}-372\,{b}^{5}c{n}^{2}{x}^{2}+180\,{a}^{3}{b}^{2}dn{x}^{2}-2\,{a}^{2}{b}^{3}c{n}^{3}-120\,d{a}^{2}{x}^{3}{b}^{3}+178\,a{b}^{4}c{n}^{2}x-508\,{b}^{5}cn{x}^{2}-120\,{a}^{4}bdnx+120\,{a}^{3}{b}^{2}d{x}^{2}-30\,{a}^{2}{b}^{3}c{n}^{2}+388\,a{b}^{4}cnx-240\,{b}^{5}c{x}^{2}-120\,{a}^{4}bdx-148\,{a}^{2}{b}^{3}cn+240\,a{b}^{4}cx+120\,{a}^{5}d-240\,{a}^{2}{b}^{3}c \right ) }{{b}^{6} \left ({n}^{6}+21\,{n}^{5}+175\,{n}^{4}+735\,{n}^{3}+1624\,{n}^{2}+1764\,n+720 \right ) }} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(x^2*(b*x+a)^n*(d*x^3+c),x)

[Out]

-(b*x+a)^(1+n)*(-b^5*d*n^5*x^5-15*b^5*d*n^4*x^5+5*a*b^4*d*n^4*x^4-85*b^5*d*n^3*x^5+50*a*b^4*d*n^3*x^4-b^5*c*n^
5*x^2-225*b^5*d*n^2*x^5-20*a^2*b^3*d*n^3*x^3+175*a*b^4*d*n^2*x^4-18*b^5*c*n^4*x^2-274*b^5*d*n*x^5-120*a^2*b^3*
d*n^2*x^3+2*a*b^4*c*n^4*x+250*a*b^4*d*n*x^4-121*b^5*c*n^3*x^2-120*b^5*d*x^5+60*a^3*b^2*d*n^2*x^2-220*a^2*b^3*d
*n*x^3+32*a*b^4*c*n^3*x+120*a*b^4*d*x^4-372*b^5*c*n^2*x^2+180*a^3*b^2*d*n*x^2-2*a^2*b^3*c*n^3-120*a^2*b^3*d*x^
3+178*a*b^4*c*n^2*x-508*b^5*c*n*x^2-120*a^4*b*d*n*x+120*a^3*b^2*d*x^2-30*a^2*b^3*c*n^2+388*a*b^4*c*n*x-240*b^5
*c*x^2-120*a^4*b*d*x-148*a^2*b^3*c*n+240*a*b^4*c*x+120*a^5*d-240*a^2*b^3*c)/b^6/(n^6+21*n^5+175*n^4+735*n^3+16
24*n^2+1764*n+720)

________________________________________________________________________________________

Maxima [A]  time = 1.1094, size = 342, normalized size = 2.14 \begin{align*} \frac{{\left ({\left (n^{2} + 3 \, n + 2\right )} b^{3} x^{3} +{\left (n^{2} + n\right )} a b^{2} x^{2} - 2 \, a^{2} b n x + 2 \, a^{3}\right )}{\left (b x + a\right )}^{n} c}{{\left (n^{3} + 6 \, n^{2} + 11 \, n + 6\right )} b^{3}} + \frac{{\left ({\left (n^{5} + 15 \, n^{4} + 85 \, n^{3} + 225 \, n^{2} + 274 \, n + 120\right )} b^{6} x^{6} +{\left (n^{5} + 10 \, n^{4} + 35 \, n^{3} + 50 \, n^{2} + 24 \, n\right )} a b^{5} x^{5} - 5 \,{\left (n^{4} + 6 \, n^{3} + 11 \, n^{2} + 6 \, n\right )} a^{2} b^{4} x^{4} + 20 \,{\left (n^{3} + 3 \, n^{2} + 2 \, n\right )} a^{3} b^{3} x^{3} - 60 \,{\left (n^{2} + n\right )} a^{4} b^{2} x^{2} + 120 \, a^{5} b n x - 120 \, a^{6}\right )}{\left (b x + a\right )}^{n} d}{{\left (n^{6} + 21 \, n^{5} + 175 \, n^{4} + 735 \, n^{3} + 1624 \, n^{2} + 1764 \, n + 720\right )} b^{6}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^2*(b*x+a)^n*(d*x^3+c),x, algorithm="maxima")

[Out]

((n^2 + 3*n + 2)*b^3*x^3 + (n^2 + n)*a*b^2*x^2 - 2*a^2*b*n*x + 2*a^3)*(b*x + a)^n*c/((n^3 + 6*n^2 + 11*n + 6)*
b^3) + ((n^5 + 15*n^4 + 85*n^3 + 225*n^2 + 274*n + 120)*b^6*x^6 + (n^5 + 10*n^4 + 35*n^3 + 50*n^2 + 24*n)*a*b^
5*x^5 - 5*(n^4 + 6*n^3 + 11*n^2 + 6*n)*a^2*b^4*x^4 + 20*(n^3 + 3*n^2 + 2*n)*a^3*b^3*x^3 - 60*(n^2 + n)*a^4*b^2
*x^2 + 120*a^5*b*n*x - 120*a^6)*(b*x + a)^n*d/((n^6 + 21*n^5 + 175*n^4 + 735*n^3 + 1624*n^2 + 1764*n + 720)*b^
6)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 1.21846, size = 1073, normalized size = 6.71 \begin{align*} \frac{{\left (2 \, a^{3} b^{3} c n^{3} + 30 \, a^{3} b^{3} c n^{2} + 148 \, a^{3} b^{3} c n + 240 \, a^{3} b^{3} c - 120 \, a^{6} d +{\left (b^{6} d n^{5} + 15 \, b^{6} d n^{4} + 85 \, b^{6} d n^{3} + 225 \, b^{6} d n^{2} + 274 \, b^{6} d n + 120 \, b^{6} d\right )} x^{6} +{\left (a b^{5} d n^{5} + 10 \, a b^{5} d n^{4} + 35 \, a b^{5} d n^{3} + 50 \, a b^{5} d n^{2} + 24 \, a b^{5} d n\right )} x^{5} - 5 \,{\left (a^{2} b^{4} d n^{4} + 6 \, a^{2} b^{4} d n^{3} + 11 \, a^{2} b^{4} d n^{2} + 6 \, a^{2} b^{4} d n\right )} x^{4} +{\left (b^{6} c n^{5} + 18 \, b^{6} c n^{4} + 240 \, b^{6} c +{\left (121 \, b^{6} c + 20 \, a^{3} b^{3} d\right )} n^{3} + 12 \,{\left (31 \, b^{6} c + 5 \, a^{3} b^{3} d\right )} n^{2} + 4 \,{\left (127 \, b^{6} c + 10 \, a^{3} b^{3} d\right )} n\right )} x^{3} +{\left (a b^{5} c n^{5} + 16 \, a b^{5} c n^{4} + 89 \, a b^{5} c n^{3} + 2 \,{\left (97 \, a b^{5} c - 30 \, a^{4} b^{2} d\right )} n^{2} + 60 \,{\left (2 \, a b^{5} c - a^{4} b^{2} d\right )} n\right )} x^{2} - 2 \,{\left (a^{2} b^{4} c n^{4} + 15 \, a^{2} b^{4} c n^{3} + 74 \, a^{2} b^{4} c n^{2} + 60 \,{\left (2 \, a^{2} b^{4} c - a^{5} b d\right )} n\right )} x\right )}{\left (b x + a\right )}^{n}}{b^{6} n^{6} + 21 \, b^{6} n^{5} + 175 \, b^{6} n^{4} + 735 \, b^{6} n^{3} + 1624 \, b^{6} n^{2} + 1764 \, b^{6} n + 720 \, b^{6}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^2*(b*x+a)^n*(d*x^3+c),x, algorithm="fricas")

[Out]

(2*a^3*b^3*c*n^3 + 30*a^3*b^3*c*n^2 + 148*a^3*b^3*c*n + 240*a^3*b^3*c - 120*a^6*d + (b^6*d*n^5 + 15*b^6*d*n^4
+ 85*b^6*d*n^3 + 225*b^6*d*n^2 + 274*b^6*d*n + 120*b^6*d)*x^6 + (a*b^5*d*n^5 + 10*a*b^5*d*n^4 + 35*a*b^5*d*n^3
+ 50*a*b^5*d*n^2 + 24*a*b^5*d*n)*x^5 - 5*(a^2*b^4*d*n^4 + 6*a^2*b^4*d*n^3 + 11*a^2*b^4*d*n^2 + 6*a^2*b^4*d*n)
*x^4 + (b^6*c*n^5 + 18*b^6*c*n^4 + 240*b^6*c + (121*b^6*c + 20*a^3*b^3*d)*n^3 + 12*(31*b^6*c + 5*a^3*b^3*d)*n^
2 + 4*(127*b^6*c + 10*a^3*b^3*d)*n)*x^3 + (a*b^5*c*n^5 + 16*a*b^5*c*n^4 + 89*a*b^5*c*n^3 + 2*(97*a*b^5*c - 30*
a^4*b^2*d)*n^2 + 60*(2*a*b^5*c - a^4*b^2*d)*n)*x^2 - 2*(a^2*b^4*c*n^4 + 15*a^2*b^4*c*n^3 + 74*a^2*b^4*c*n^2 +
60*(2*a^2*b^4*c - a^5*b*d)*n)*x)*(b*x + a)^n/(b^6*n^6 + 21*b^6*n^5 + 175*b^6*n^4 + 735*b^6*n^3 + 1624*b^6*n^2
+ 1764*b^6*n + 720*b^6)

________________________________________________________________________________________

Sympy [A]  time = 6.54228, size = 6392, normalized size = 39.95 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x**2*(b*x+a)**n*(d*x**3+c),x)

[Out]

Piecewise((a**n*(c*x**3/3 + d*x**6/6), Eq(b, 0)), (60*a**5*d*log(a/b + x)/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 60
0*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) + 47*a**5*d/(60*a**5*b**6 + 300*a**4
*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) + 300*a**4*b*d*x*log(a/b
+ x)/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*
x**5) + 175*a**4*b*d*x/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10
*x**4 + 60*b**11*x**5) + 600*a**3*b**2*d*x**2*log(a/b + x)/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**
2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) + 200*a**3*b**2*d*x**2/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**
7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) - 2*a**2*b**3*c/(60*a**5*b**
6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) + 600*a**2*b
**3*d*x**3*log(a/b + x)/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**1
0*x**4 + 60*b**11*x**5) - 10*a*b**4*c*x/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x
**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) + 300*a*b**4*d*x**4*log(a/b + x)/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600
*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) - 150*a*b**4*d*x**4/(60*a**5*b**6 + 3
00*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) - 20*b**5*c*x**2/
(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5)
+ 60*b**5*d*x**5*log(a/b + x)/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*
a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) - 90*b**5*d*x**5/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2
*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5), Eq(n, -6)), (-60*a**5*d*log(a/b + x)/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b
**7*x + 72*a**2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) - 65*a**5*d/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x + 72*a*
*2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) - 240*a**4*b*d*x*log(a/b + x)/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x +
72*a**2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) - 200*a**4*b*d*x/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x + 72*a**2*
b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) - 360*a**3*b**2*d*x**2*log(a/b + x)/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x
+ 72*a**2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) - 180*a**3*b**2*d*x**2/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x +
72*a**2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) - a**2*b**3*c/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x + 72*a**2*b*
*8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) - 240*a**2*b**3*d*x**3*log(a/b + x)/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x +
72*a**2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) - 4*a*b**4*c*x/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x + 72*a**2*b
**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) - 60*a*b**4*d*x**4*log(a/b + x)/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x + 72
*a**2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) + 60*a*b**4*d*x**4/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x + 72*a**2*
b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) - 6*b**5*c*x**2/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x + 72*a**2*b**8*x**2
+ 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) + 12*b**5*d*x**5/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x + 72*a**2*b**8*x**2 + 48*a*
b**9*x**3 + 12*b**10*x**4), Eq(n, -5)), (60*a**5*d*log(a/b + x)/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*x + 18*a*b**8*x**2
+ 6*b**9*x**3) + 110*a**5*d/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3) + 180*a**4*b*d*x*lo
g(a/b + x)/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3) + 270*a**4*b*d*x/(6*a**3*b**6 + 18*a*
*2*b**7*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3) + 180*a**3*b**2*d*x**2*log(a/b + x)/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*x +
18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3) + 180*a**3*b**2*d*x**2/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x
**3) - 2*a**2*b**3*c/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3) + 60*a**2*b**3*d*x**3*log(a
/b + x)/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3) - 6*a*b**4*c*x/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b*
*7*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3) - 15*a*b**4*d*x**4/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**
9*x**3) - 6*b**5*c*x**2/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3) + 3*b**5*d*x**5/(6*a**3*
b**6 + 18*a**2*b**7*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3), Eq(n, -4)), (-60*a**5*d*log(a/b + x)/(6*a**2*b**6 + 12*
a*b**7*x + 6*b**8*x**2) - 90*a**5*d/(6*a**2*b**6 + 12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2) - 120*a**4*b*d*x*log(a/b + x)/(6
*a**2*b**6 + 12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2) - 120*a**4*b*d*x/(6*a**2*b**6 + 12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2) - 60*a**3*b
**2*d*x**2*log(a/b + x)/(6*a**2*b**6 + 12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2) + 6*a**2*b**3*c*log(a/b + x)/(6*a**2*b**6 +
12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2) + 9*a**2*b**3*c/(6*a**2*b**6 + 12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2) + 20*a**2*b**3*d*x**3/(6*
a**2*b**6 + 12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2) + 12*a*b**4*c*x*log(a/b + x)/(6*a**2*b**6 + 12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2)
+ 12*a*b**4*c*x/(6*a**2*b**6 + 12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2) - 5*a*b**4*d*x**4/(6*a**2*b**6 + 12*a*b**7*x + 6*b**
8*x**2) + 6*b**5*c*x**2*log(a/b + x)/(6*a**2*b**6 + 12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2) + 2*b**5*d*x**5/(6*a**2*b**6 +
12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2), Eq(n, -3)), (60*a**5*d*log(a/b + x)/(12*a*b**6 + 12*b**7*x) + 60*a**5*d/(12*a*b**6
+ 12*b**7*x) + 60*a**4*b*d*x*log(a/b + x)/(12*a*b**6 + 12*b**7*x) - 30*a**3*b**2*d*x**2/(12*a*b**6 + 12*b**7*
x) - 24*a**2*b**3*c*log(a/b + x)/(12*a*b**6 + 12*b**7*x) - 24*a**2*b**3*c/(12*a*b**6 + 12*b**7*x) + 10*a**2*b*
*3*d*x**3/(12*a*b**6 + 12*b**7*x) - 24*a*b**4*c*x*log(a/b + x)/(12*a*b**6 + 12*b**7*x) - 5*a*b**4*d*x**4/(12*a
*b**6 + 12*b**7*x) + 12*b**5*c*x**2/(12*a*b**6 + 12*b**7*x) + 3*b**5*d*x**5/(12*a*b**6 + 12*b**7*x), Eq(n, -2)
), (-a**5*d*log(a/b + x)/b**6 + a**4*d*x/b**5 - a**3*d*x**2/(2*b**4) + a**2*c*log(a/b + x)/b**3 + a**2*d*x**3/
(3*b**3) - a*c*x/b**2 - a*d*x**4/(4*b**2) + c*x**2/(2*b) + d*x**5/(5*b), Eq(n, -1)), (-120*a**6*d*(a + b*x)**n
/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 120*a*
*5*b*d*n*x*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6
*n + 720*b**6) - 60*a**4*b**2*d*n**2*x**2*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n*
*3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) - 60*a**4*b**2*d*n*x**2*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 +
175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 2*a**3*b**3*c*n**3*(a + b*x)**n/(b
**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 30*a**3*b
**3*c*n**2*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6
*n + 720*b**6) + 148*a**3*b**3*c*n*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 16
24*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 240*a**3*b**3*c*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**
4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 20*a**3*b**3*d*n**3*x**3*(a + b*x)**n/(b**6*n**
6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 60*a**3*b**3*d*n
**2*x**3*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n
+ 720*b**6) + 40*a**3*b**3*d*n*x**3*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 +
1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) - 2*a**2*b**4*c*n**4*x*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b
**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) - 30*a**2*b**4*c*n**3*x*(a + b*x)**n/(b**6
*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) - 148*a**2*b**
4*c*n**2*x*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6
*n + 720*b**6) - 240*a**2*b**4*c*n*x*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 +
1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) - 5*a**2*b**4*d*n**4*x**4*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 17
5*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) - 30*a**2*b**4*d*n**3*x**4*(a + b*x)**n
/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) - 55*a**
2*b**4*d*n**2*x**4*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1
764*b**6*n + 720*b**6) - 30*a**2*b**4*d*n*x**4*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b*
*6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + a*b**5*c*n**5*x**2*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5
+ 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 16*a*b**5*c*n**4*x**2*(a + b*x)*
*n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 89*a
*b**5*c*n**3*x**2*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 17
64*b**6*n + 720*b**6) + 194*a*b**5*c*n**2*x**2*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b*
*6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 120*a*b**5*c*n*x**2*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**
5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + a*b**5*d*n**5*x**5*(a + b*x)**n
/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 10*a*b
**5*d*n**4*x**5*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764
*b**6*n + 720*b**6) + 35*a*b**5*d*n**3*x**5*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*
n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 50*a*b**5*d*n**2*x**5*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5
+ 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 24*a*b**5*d*n*x**5*(a + b*x)**n/
(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + b**6*c*
n**5*x**3*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*
n + 720*b**6) + 18*b**6*c*n**4*x**3*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1
624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 121*b**6*c*n**3*x**3*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b*
*6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 372*b**6*c*n**2*x**3*(a + b*x)**n/(b**6*n
**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 508*b**6*c*n*x
**3*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 72
0*b**6) + 240*b**6*c*x**3*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n
**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + b**6*d*n**5*x**6*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*
b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 15*b**6*d*n**4*x**6*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n
**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 85*b**6*d*n**3*x**6*(a + b*x)
**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 225
*b**6*d*n**2*x**6*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 17
64*b**6*n + 720*b**6) + 274*b**6*d*n*x**6*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n*
*3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 120*b**6*d*x**6*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b
**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6), True))

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.15569, size = 1127, normalized size = 7.04 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^2*(b*x+a)^n*(d*x^3+c),x, algorithm="giac")

[Out]

((b*x + a)^n*b^6*d*n^5*x^6 + (b*x + a)^n*a*b^5*d*n^5*x^5 + 15*(b*x + a)^n*b^6*d*n^4*x^6 + 10*(b*x + a)^n*a*b^5
*d*n^4*x^5 + 85*(b*x + a)^n*b^6*d*n^3*x^6 + (b*x + a)^n*b^6*c*n^5*x^3 - 5*(b*x + a)^n*a^2*b^4*d*n^4*x^4 + 35*(
b*x + a)^n*a*b^5*d*n^3*x^5 + 225*(b*x + a)^n*b^6*d*n^2*x^6 + (b*x + a)^n*a*b^5*c*n^5*x^2 + 18*(b*x + a)^n*b^6*
c*n^4*x^3 - 30*(b*x + a)^n*a^2*b^4*d*n^3*x^4 + 50*(b*x + a)^n*a*b^5*d*n^2*x^5 + 274*(b*x + a)^n*b^6*d*n*x^6 +
16*(b*x + a)^n*a*b^5*c*n^4*x^2 + 121*(b*x + a)^n*b^6*c*n^3*x^3 + 20*(b*x + a)^n*a^3*b^3*d*n^3*x^3 - 55*(b*x +
a)^n*a^2*b^4*d*n^2*x^4 + 24*(b*x + a)^n*a*b^5*d*n*x^5 + 120*(b*x + a)^n*b^6*d*x^6 - 2*(b*x + a)^n*a^2*b^4*c*n^
4*x + 89*(b*x + a)^n*a*b^5*c*n^3*x^2 + 372*(b*x + a)^n*b^6*c*n^2*x^3 + 60*(b*x + a)^n*a^3*b^3*d*n^2*x^3 - 30*(
b*x + a)^n*a^2*b^4*d*n*x^4 - 30*(b*x + a)^n*a^2*b^4*c*n^3*x + 194*(b*x + a)^n*a*b^5*c*n^2*x^2 - 60*(b*x + a)^n
*a^4*b^2*d*n^2*x^2 + 508*(b*x + a)^n*b^6*c*n*x^3 + 40*(b*x + a)^n*a^3*b^3*d*n*x^3 + 2*(b*x + a)^n*a^3*b^3*c*n^
3 - 148*(b*x + a)^n*a^2*b^4*c*n^2*x + 120*(b*x + a)^n*a*b^5*c*n*x^2 - 60*(b*x + a)^n*a^4*b^2*d*n*x^2 + 240*(b*
x + a)^n*b^6*c*x^3 + 30*(b*x + a)^n*a^3*b^3*c*n^2 - 240*(b*x + a)^n*a^2*b^4*c*n*x + 120*(b*x + a)^n*a^5*b*d*n*
x + 148*(b*x + a)^n*a^3*b^3*c*n + 240*(b*x + a)^n*a^3*b^3*c - 120*(b*x + a)^n*a^6*d)/(b^6*n^6 + 21*b^6*n^5 + 1
75*b^6*n^4 + 735*b^6*n^3 + 1624*b^6*n^2 + 1764*b^6*n + 720*b^6)