3.28.54 \(\int \frac {\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}} \sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}}{1-x^2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=257 \[ -\frac {1}{2} \text {RootSum}\left [\text {$\#$1}^8-4 \text {$\#$1}^6+4 \text {$\#$1}^4-2\& ,\frac {\text {$\#$1}^4 \log \left (\sqrt {\sqrt {\sqrt {x^2+1}+x}+1}-\text {$\#$1}\right )-2 \text {$\#$1}^2 \log \left (\sqrt {\sqrt {\sqrt {x^2+1}+x}+1}-\text {$\#$1}\right )+2 \log \left (\sqrt {\sqrt {\sqrt {x^2+1}+x}+1}-\text {$\#$1}\right )}{\text {$\#$1}^5-3 \text {$\#$1}^3+2 \text {$\#$1}}\& \right ]-\frac {1}{2} \text {RootSum}\left [\text {$\#$1}^8-4 \text {$\#$1}^6+8 \text {$\#$1}^4-8 \text {$\#$1}^2+2\& ,\frac {\text {$\#$1}^5 \log \left (\sqrt {\sqrt {\sqrt {x^2+1}+x}+1}-\text {$\#$1}\right )-2 \text {$\#$1}^3 \log \left (\sqrt {\sqrt {\sqrt {x^2+1}+x}+1}-\text {$\#$1}\right )}{\text {$\#$1}^6-3 \text {$\#$1}^4+4 \text {$\#$1}^2-2}\& \right ] \]

________________________________________________________________________________________

Rubi [F]  time = 0.84, antiderivative size = 0, normalized size of antiderivative = 0.00, number of steps used = 0, number of rules used = 0, integrand size = 0, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.000, Rules used = {} \begin {gather*} \int \frac {\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}} \sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}}{1-x^2} \, dx \end {gather*}

Verification is not applicable to the result.

[In]

Int[(Sqrt[x + Sqrt[1 + x^2]]*Sqrt[1 + Sqrt[x + Sqrt[1 + x^2]]])/(1 - x^2),x]

[Out]

Defer[Int][(Sqrt[x + Sqrt[1 + x^2]]*Sqrt[1 + Sqrt[x + Sqrt[1 + x^2]]])/(1 - x), x]/2 + Defer[Int][(Sqrt[x + Sq
rt[1 + x^2]]*Sqrt[1 + Sqrt[x + Sqrt[1 + x^2]]])/(1 + x), x]/2

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}} \sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}}{1-x^2} \, dx &=\int \left (\frac {\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}} \sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}}{2 (1-x)}+\frac {\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}} \sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}}{2 (1+x)}\right ) \, dx\\ &=\frac {1}{2} \int \frac {\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}} \sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}}{1-x} \, dx+\frac {1}{2} \int \frac {\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}} \sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}}{1+x} \, dx\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [F]  time = 0.23, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \int \frac {\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}} \sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}}{1-x^2} \, dx \end {gather*}

Verification is not applicable to the result.

[In]

Integrate[(Sqrt[x + Sqrt[1 + x^2]]*Sqrt[1 + Sqrt[x + Sqrt[1 + x^2]]])/(1 - x^2),x]

[Out]

Integrate[(Sqrt[x + Sqrt[1 + x^2]]*Sqrt[1 + Sqrt[x + Sqrt[1 + x^2]]])/(1 - x^2), x]

________________________________________________________________________________________

IntegrateAlgebraic [A]  time = 0.00, size = 257, normalized size = 1.00 \begin {gather*} -\frac {1}{2} \text {RootSum}\left [-2+4 \text {$\#$1}^4-4 \text {$\#$1}^6+\text {$\#$1}^8\&,\frac {2 \log \left (\sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}-\text {$\#$1}\right )-2 \log \left (\sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}-\text {$\#$1}\right ) \text {$\#$1}^2+\log \left (\sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}-\text {$\#$1}\right ) \text {$\#$1}^4}{2 \text {$\#$1}-3 \text {$\#$1}^3+\text {$\#$1}^5}\&\right ]-\frac {1}{2} \text {RootSum}\left [2-8 \text {$\#$1}^2+8 \text {$\#$1}^4-4 \text {$\#$1}^6+\text {$\#$1}^8\&,\frac {-2 \log \left (\sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}-\text {$\#$1}\right ) \text {$\#$1}^3+\log \left (\sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}-\text {$\#$1}\right ) \text {$\#$1}^5}{-2+4 \text {$\#$1}^2-3 \text {$\#$1}^4+\text {$\#$1}^6}\&\right ] \end {gather*}

Antiderivative was successfully verified.

[In]

IntegrateAlgebraic[(Sqrt[x + Sqrt[1 + x^2]]*Sqrt[1 + Sqrt[x + Sqrt[1 + x^2]]])/(1 - x^2),x]

[Out]

-1/2*RootSum[-2 + 4*#1^4 - 4*#1^6 + #1^8 & , (2*Log[Sqrt[1 + Sqrt[x + Sqrt[1 + x^2]]] - #1] - 2*Log[Sqrt[1 + S
qrt[x + Sqrt[1 + x^2]]] - #1]*#1^2 + Log[Sqrt[1 + Sqrt[x + Sqrt[1 + x^2]]] - #1]*#1^4)/(2*#1 - 3*#1^3 + #1^5)
& ] - RootSum[2 - 8*#1^2 + 8*#1^4 - 4*#1^6 + #1^8 & , (-2*Log[Sqrt[1 + Sqrt[x + Sqrt[1 + x^2]]] - #1]*#1^3 + L
og[Sqrt[1 + Sqrt[x + Sqrt[1 + x^2]]] - #1]*#1^5)/(-2 + 4*#1^2 - 3*#1^4 + #1^6) & ]/2

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 1.91, size = 5201, normalized size = 20.24

result too large to display

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((x+(x^2+1)^(1/2))^(1/2)*(1+(x+(x^2+1)^(1/2))^(1/2))^(1/2)/(-x^2+1),x, algorithm="fricas")

[Out]

1/2*sqrt(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)*log(((4*sqrt(2) - 4*sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 5)*(sqrt(2) + sqrt(5*sqr
t(2) + 7) + 1)^2 + 4*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^3 + (4*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 16*sqr
t(2) + 16*sqrt(5*sqrt(2) + 7) - 19)*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1) - 16*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) +
1)^2 - 48*sqrt(2) + 48*sqrt(5*sqrt(2) + 7) - 63)*sqrt(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1) + 5*sqrt(sqrt(x + sqr
t(x^2 + 1)) + 1)) - 1/2*sqrt(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)*log(-((4*sqrt(2) - 4*sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 5)*
(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 + 4*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^3 + (4*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2)
+ 7) + 1)^2 - 16*sqrt(2) + 16*sqrt(5*sqrt(2) + 7) - 19)*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1) - 16*(sqrt(2) - s
qrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 48*sqrt(2) + 48*sqrt(5*sqrt(2) + 7) - 63)*sqrt(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)
+ 5*sqrt(sqrt(x + sqrt(x^2 + 1)) + 1)) - 1/2*sqrt(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)*log((4*(sqrt(2) - sqrt(5*
sqrt(2) + 7) + 1)^3 - 17*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 45*sqrt(2) + 45*sqrt(5*sqrt(2) + 7) - 62)*sqr
t(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1) + 5*sqrt(sqrt(x + sqrt(x^2 + 1)) + 1)) + 1/2*sqrt(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2
) + 7) + 1)*log(-(4*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^3 - 17*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 45*sqrt
(2) + 45*sqrt(5*sqrt(2) + 7) - 62)*sqrt(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1) + 5*sqrt(sqrt(x + sqrt(x^2 + 1)) +
1)) + 1/2*sqrt(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)*log(((16*sqrt(2) - 16*sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 21)*(sqrt(2) + s
qrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 + 16*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^3 + (16*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)
^2 + 64*sqrt(2) - 64*sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 97)*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1) + 64*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt
(2) - 7) - 1)^2 + 256*sqrt(2) - 256*sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 373)*sqrt(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1) + 61*sq
rt(sqrt(x + sqrt(x^2 + 1)) + 1)) - 1/2*sqrt(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)*log(-((16*sqrt(2) - 16*sqrt(5*s
qrt(2) - 7) - 21)*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 + 16*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^3 + (16*(sqrt
(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 + 64*sqrt(2) - 64*sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 97)*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) -
1) + 64*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 + 256*sqrt(2) - 256*sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 373)*sqrt(sqrt(2) + sq
rt(5*sqrt(2) - 7) - 1) + 61*sqrt(sqrt(x + sqrt(x^2 + 1)) + 1)) - 1/2*sqrt(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)*l
og((16*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^3 + 69*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 + 289*sqrt(2) - 289*sq
rt(5*sqrt(2) - 7) - 428)*sqrt(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1) + 61*sqrt(sqrt(x + sqrt(x^2 + 1)) + 1)) + 1/2
*sqrt(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)*log(-(16*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^3 + 69*(sqrt(2) - sqrt(5
*sqrt(2) - 7) - 1)^2 + 289*sqrt(2) - 289*sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 428)*sqrt(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1) +
61*sqrt(sqrt(x + sqrt(x^2 + 1)) + 1)) - 1/2*sqrt(-sqrt(2) + 2*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2
- 3/16*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt
(2) + 7) - 3) + 1/2*sqrt(2) - 1/2*sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 9/2) + 1)*log(1/2*((4*sqrt(2) - 4*sqrt(5*sqrt(2) + 7)
+ 5)*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 + (4*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 16*sqrt(2) + 16*sqrt(5
*sqrt(2) + 7) - 19)*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1) + (sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 + 4*((4*sqrt(2
) - 4*sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 5)*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1) + sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7))*sqrt(-3/16
*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(5*sq
rt(2) + 7) + 1)*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) - 3) + 1/2*sqrt(2) - 1/2*sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 9/2) - 3*sqrt(2)
+ 3*sqrt(5*sqrt(2) + 7) - 1)*sqrt(-sqrt(2) + 2*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 3/16*(sqrt(
2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) - 3)
+ 1/2*sqrt(2) - 1/2*sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 9/2) + 1) + 5*sqrt(sqrt(x + sqrt(x^2 + 1)) + 1)) + 1/2*sqrt(-sqrt(2)
+ 2*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 1/8*(sqrt
(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) - 3) + 1/2*sqrt(2) - 1/2*sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 9
/2) + 1)*log(-1/2*((4*sqrt(2) - 4*sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 5)*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 + (4*(sqrt(2)
- sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 16*sqrt(2) + 16*sqrt(5*sqrt(2) + 7) - 19)*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)
+ (sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 + 4*((4*sqrt(2) - 4*sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 5)*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2)
+ 7) + 1) + sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7))*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 3/16*(sqrt(2) -
sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) - 3) + 1/
2*sqrt(2) - 1/2*sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 9/2) - 3*sqrt(2) + 3*sqrt(5*sqrt(2) + 7) - 1)*sqrt(-sqrt(2) + 2*sqrt(-3/
16*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(5*
sqrt(2) + 7) + 1)*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) - 3) + 1/2*sqrt(2) - 1/2*sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 9/2) + 1) + 5*
sqrt(sqrt(x + sqrt(x^2 + 1)) + 1)) - 1/2*sqrt(-sqrt(2) - 2*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 -
3/16*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2)
+ 7) - 3) + 1/2*sqrt(2) - 1/2*sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 9/2) + 1)*log(1/2*((4*sqrt(2) - 4*sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 5
)*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 + (4*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 16*sqrt(2) + 16*sqrt(5*sq
rt(2) + 7) - 19)*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1) + (sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 4*((4*sqrt(2) -
4*sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 5)*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1) + sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7))*sqrt(-3/16*(s
qrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(
2) + 7) + 1)*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) - 3) + 1/2*sqrt(2) - 1/2*sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 9/2) - 3*sqrt(2) +
3*sqrt(5*sqrt(2) + 7) - 1)*sqrt(-sqrt(2) - 2*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 3/16*(sqrt(2)
- sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) - 3) + 1
/2*sqrt(2) - 1/2*sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 9/2) + 1) + 5*sqrt(sqrt(x + sqrt(x^2 + 1)) + 1)) + 1/2*sqrt(-sqrt(2) -
2*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 1/8*(sqrt(2)
+ sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) - 3) + 1/2*sqrt(2) - 1/2*sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 9/2)
+ 1)*log(-1/2*((4*sqrt(2) - 4*sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 5)*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 + (4*(sqrt(2) -
sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 16*sqrt(2) + 16*sqrt(5*sqrt(2) + 7) - 19)*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1) + (
sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 4*((4*sqrt(2) - 4*sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 5)*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) +
7) + 1) + sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7))*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 3/16*(sqrt(2) - sq
rt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) - 3) + 1/2*s
qrt(2) - 1/2*sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 9/2) - 3*sqrt(2) + 3*sqrt(5*sqrt(2) + 7) - 1)*sqrt(-sqrt(2) - 2*sqrt(-3/16*
(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(5*sqr
t(2) + 7) + 1)*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) + 7) - 3) + 1/2*sqrt(2) - 1/2*sqrt(5*sqrt(2) + 7) + 9/2) + 1) + 5*sqr
t(sqrt(x + sqrt(x^2 + 1)) + 1)) - 1/2*sqrt(-sqrt(2) + 2*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 - 1/8
*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) + 3) - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7)
- 1)^2 - 1/2*sqrt(2) + 1/2*sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 5/2) - 1)*log(1/2*((16*sqrt(2) - 16*sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 21
)*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 + (16*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 + 64*sqrt(2) - 64*sqrt(5*s
qrt(2) - 7) - 97)*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1) - 5*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 + 4*((16*sqrt(
2) - 16*sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 21)*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1) - 5*sqrt(2) + 5*sqrt(5*sqrt(2) - 7) + 18
)*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)*(sqrt(2) - sqrt(5
*sqrt(2) - 7) + 3) - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 - 1/2*sqrt(2) + 1/2*sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 5/2)
- 33*sqrt(2) + 33*sqrt(5*sqrt(2) - 7) + 55)*sqrt(-sqrt(2) + 2*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^
2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) + 3) - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(
2) - 7) - 1)^2 - 1/2*sqrt(2) + 1/2*sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 5/2) - 1) + 61*sqrt(sqrt(x + sqrt(x^2 + 1)) + 1)) + 1
/2*sqrt(-sqrt(2) + 2*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1
)*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) + 3) - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 - 1/2*sqrt(2) + 1/2*sqrt(5*
sqrt(2) - 7) - 5/2) - 1)*log(-1/2*((16*sqrt(2) - 16*sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 21)*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) -
1)^2 + (16*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 + 64*sqrt(2) - 64*sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 97)*(sqrt(2) + sqrt(
5*sqrt(2) - 7) - 1) - 5*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 + 4*((16*sqrt(2) - 16*sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 21)*
(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1) - 5*sqrt(2) + 5*sqrt(5*sqrt(2) - 7) + 18)*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(5*sqr
t(2) - 7) - 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) + 3) - 3/16*(sqrt(2)
- sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 - 1/2*sqrt(2) + 1/2*sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 5/2) - 33*sqrt(2) + 33*sqrt(5*sqrt(2)
- 7) + 55)*sqrt(-sqrt(2) + 2*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2)
- 7) - 1)*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) + 3) - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 - 1/2*sqrt(2) + 1/2
*sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 5/2) - 1) + 61*sqrt(sqrt(x + sqrt(x^2 + 1)) + 1)) - 1/2*sqrt(-sqrt(2) - 2*sqrt(-3/16*(s
qrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) +
3) - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 - 1/2*sqrt(2) + 1/2*sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 5/2) - 1)*log(1/2*(
(16*sqrt(2) - 16*sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 21)*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 + (16*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(
2) - 7) - 1)^2 + 64*sqrt(2) - 64*sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 97)*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1) - 5*(sqrt(2) -
sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 - 4*((16*sqrt(2) - 16*sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 21)*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)
- 5*sqrt(2) + 5*sqrt(5*sqrt(2) - 7) + 18)*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + s
qrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) + 3) - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 - 1/2
*sqrt(2) + 1/2*sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 5/2) - 33*sqrt(2) + 33*sqrt(5*sqrt(2) - 7) + 55)*sqrt(-sqrt(2) - 2*sqrt(-
3/16*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2)
- 7) + 3) - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 - 1/2*sqrt(2) + 1/2*sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 5/2) - 1) +
61*sqrt(sqrt(x + sqrt(x^2 + 1)) + 1)) + 1/2*sqrt(-sqrt(2) - 2*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2
- 1/8*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) + 3) - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2
) - 7) - 1)^2 - 1/2*sqrt(2) + 1/2*sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 5/2) - 1)*log(-1/2*((16*sqrt(2) - 16*sqrt(5*sqrt(2) -
7) - 21)*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 + (16*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 + 64*sqrt(2) - 64*s
qrt(5*sqrt(2) - 7) - 97)*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1) - 5*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 - 4*((1
6*sqrt(2) - 16*sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 21)*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1) - 5*sqrt(2) + 5*sqrt(5*sqrt(2) -
7) + 18)*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)*(sqrt(2) -
sqrt(5*sqrt(2) - 7) + 3) - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 - 1/2*sqrt(2) + 1/2*sqrt(5*sqrt(2) - 7)
- 5/2) - 33*sqrt(2) + 33*sqrt(5*sqrt(2) - 7) + 55)*sqrt(-sqrt(2) - 2*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7
) - 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 1)*(sqrt(2) - sqrt(5*sqrt(2) - 7) + 3) - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(
5*sqrt(2) - 7) - 1)^2 - 1/2*sqrt(2) + 1/2*sqrt(5*sqrt(2) - 7) - 5/2) - 1) + 61*sqrt(sqrt(x + sqrt(x^2 + 1)) +
1))

________________________________________________________________________________________

giac [F(-1)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \text {Timed out} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((x+(x^2+1)^(1/2))^(1/2)*(1+(x+(x^2+1)^(1/2))^(1/2))^(1/2)/(-x^2+1),x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

maple [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[\int \frac {\sqrt {x +\sqrt {x^{2}+1}}\, \sqrt {1+\sqrt {x +\sqrt {x^{2}+1}}}}{-x^{2}+1}\, dx\]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((x+(x^2+1)^(1/2))^(1/2)*(1+(x+(x^2+1)^(1/2))^(1/2))^(1/2)/(-x^2+1),x)

[Out]

int((x+(x^2+1)^(1/2))^(1/2)*(1+(x+(x^2+1)^(1/2))^(1/2))^(1/2)/(-x^2+1),x)

________________________________________________________________________________________

maxima [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} -\int \frac {\sqrt {x + \sqrt {x^{2} + 1}} \sqrt {\sqrt {x + \sqrt {x^{2} + 1}} + 1}}{x^{2} - 1}\,{d x} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((x+(x^2+1)^(1/2))^(1/2)*(1+(x+(x^2+1)^(1/2))^(1/2))^(1/2)/(-x^2+1),x, algorithm="maxima")

[Out]

-integrate(sqrt(x + sqrt(x^2 + 1))*sqrt(sqrt(x + sqrt(x^2 + 1)) + 1)/(x^2 - 1), x)

________________________________________________________________________________________

mupad [F]  time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.00 \begin {gather*} -\int \frac {\sqrt {\sqrt {x+\sqrt {x^2+1}}+1}\,\sqrt {x+\sqrt {x^2+1}}}{x^2-1} \,d x \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(-(((x + (x^2 + 1)^(1/2))^(1/2) + 1)^(1/2)*(x + (x^2 + 1)^(1/2))^(1/2))/(x^2 - 1),x)

[Out]

-int((((x + (x^2 + 1)^(1/2))^(1/2) + 1)^(1/2)*(x + (x^2 + 1)^(1/2))^(1/2))/(x^2 - 1), x)

________________________________________________________________________________________

sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} - \int \frac {\sqrt {x + \sqrt {x^{2} + 1}} \sqrt {\sqrt {x + \sqrt {x^{2} + 1}} + 1}}{x^{2} - 1}\, dx \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((x+(x**2+1)**(1/2))**(1/2)*(1+(x+(x**2+1)**(1/2))**(1/2))**(1/2)/(-x**2+1),x)

[Out]

-Integral(sqrt(x + sqrt(x**2 + 1))*sqrt(sqrt(x + sqrt(x**2 + 1)) + 1)/(x**2 - 1), x)

________________________________________________________________________________________