3.21.95 \(\int \sqrt {b+a^2 x^4} \sqrt {a x^2+\sqrt {b+a^2 x^4}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=151 \[ \frac {5 b \log \left (\sqrt {a^2 x^4+b}+\sqrt {2} \sqrt {a} x \sqrt {\sqrt {a^2 x^4+b}+a x^2}+a x^2\right )}{8 \sqrt {2} \sqrt {a}}+\frac {2 a^{5/2} x^6+2 a^{3/2} x^4 \sqrt {a^2 x^4+b}+3 \sqrt {a} b x^2}{8 \sqrt {a} x \sqrt {\sqrt {a^2 x^4+b}+a x^2}} \]

________________________________________________________________________________________

Rubi [F]  time = 0.18, antiderivative size = 0, normalized size of antiderivative = 0.00, number of steps used = 0, number of rules used = 0, integrand size = 0, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.000, Rules used = {} \begin {gather*} \int \sqrt {b+a^2 x^4} \sqrt {a x^2+\sqrt {b+a^2 x^4}} \, dx \end {gather*}

Verification is not applicable to the result.

[In]

Int[Sqrt[b + a^2*x^4]*Sqrt[a*x^2 + Sqrt[b + a^2*x^4]],x]

[Out]

Defer[Int][Sqrt[b + a^2*x^4]*Sqrt[a*x^2 + Sqrt[b + a^2*x^4]], x]

Rubi steps

\begin {align*} \int \sqrt {b+a^2 x^4} \sqrt {a x^2+\sqrt {b+a^2 x^4}} \, dx &=\int \sqrt {b+a^2 x^4} \sqrt {a x^2+\sqrt {b+a^2 x^4}} \, dx\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [F]  time = 0.09, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \int \sqrt {b+a^2 x^4} \sqrt {a x^2+\sqrt {b+a^2 x^4}} \, dx \end {gather*}

Verification is not applicable to the result.

[In]

Integrate[Sqrt[b + a^2*x^4]*Sqrt[a*x^2 + Sqrt[b + a^2*x^4]],x]

[Out]

Integrate[Sqrt[b + a^2*x^4]*Sqrt[a*x^2 + Sqrt[b + a^2*x^4]], x]

________________________________________________________________________________________

IntegrateAlgebraic [A]  time = 0.78, size = 151, normalized size = 1.00 \begin {gather*} \frac {3 \sqrt {a} b x^2+2 a^{5/2} x^6+2 a^{3/2} x^4 \sqrt {b+a^2 x^4}}{8 \sqrt {a} x \sqrt {a x^2+\sqrt {b+a^2 x^4}}}+\frac {5 b \log \left (a x^2+\sqrt {b+a^2 x^4}+\sqrt {2} \sqrt {a} x \sqrt {a x^2+\sqrt {b+a^2 x^4}}\right )}{8 \sqrt {2} \sqrt {a}} \end {gather*}

Antiderivative was successfully verified.

[In]

IntegrateAlgebraic[Sqrt[b + a^2*x^4]*Sqrt[a*x^2 + Sqrt[b + a^2*x^4]],x]

[Out]

(3*Sqrt[a]*b*x^2 + 2*a^(5/2)*x^6 + 2*a^(3/2)*x^4*Sqrt[b + a^2*x^4])/(8*Sqrt[a]*x*Sqrt[a*x^2 + Sqrt[b + a^2*x^4
]]) + (5*b*Log[a*x^2 + Sqrt[b + a^2*x^4] + Sqrt[2]*Sqrt[a]*x*Sqrt[a*x^2 + Sqrt[b + a^2*x^4]]])/(8*Sqrt[2]*Sqrt
[a])

________________________________________________________________________________________

fricas [A]  time = 2.31, size = 236, normalized size = 1.56 \begin {gather*} \left [\frac {5 \, \sqrt {2} \sqrt {a} b \log \left (4 \, a^{2} x^{4} + 4 \, \sqrt {a^{2} x^{4} + b} a x^{2} + 2 \, {\left (\sqrt {2} a^{\frac {3}{2}} x^{3} + \sqrt {2} \sqrt {a^{2} x^{4} + b} \sqrt {a} x\right )} \sqrt {a x^{2} + \sqrt {a^{2} x^{4} + b}} + b\right ) - 4 \, {\left (a^{2} x^{3} - 3 \, \sqrt {a^{2} x^{4} + b} a x\right )} \sqrt {a x^{2} + \sqrt {a^{2} x^{4} + b}}}{32 \, a}, -\frac {5 \, \sqrt {2} \sqrt {-a} b \arctan \left (\frac {\sqrt {2} \sqrt {a x^{2} + \sqrt {a^{2} x^{4} + b}} \sqrt {-a}}{2 \, a x}\right ) + 2 \, {\left (a^{2} x^{3} - 3 \, \sqrt {a^{2} x^{4} + b} a x\right )} \sqrt {a x^{2} + \sqrt {a^{2} x^{4} + b}}}{16 \, a}\right ] \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a^2*x^4+b)^(1/2)*(a*x^2+(a^2*x^4+b)^(1/2))^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/32*(5*sqrt(2)*sqrt(a)*b*log(4*a^2*x^4 + 4*sqrt(a^2*x^4 + b)*a*x^2 + 2*(sqrt(2)*a^(3/2)*x^3 + sqrt(2)*sqrt(a
^2*x^4 + b)*sqrt(a)*x)*sqrt(a*x^2 + sqrt(a^2*x^4 + b)) + b) - 4*(a^2*x^3 - 3*sqrt(a^2*x^4 + b)*a*x)*sqrt(a*x^2
+ sqrt(a^2*x^4 + b)))/a, -1/16*(5*sqrt(2)*sqrt(-a)*b*arctan(1/2*sqrt(2)*sqrt(a*x^2 + sqrt(a^2*x^4 + b))*sqrt(
-a)/(a*x)) + 2*(a^2*x^3 - 3*sqrt(a^2*x^4 + b)*a*x)*sqrt(a*x^2 + sqrt(a^2*x^4 + b)))/a]

________________________________________________________________________________________

giac [F(-2)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \text {Exception raised: RuntimeError} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a^2*x^4+b)^(1/2)*(a*x^2+(a^2*x^4+b)^(1/2))^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Exception raised: RuntimeError >> An error occurred running a Giac command:INPUT:sage2OUTPUT:Warning, need to
choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.The choice was done assuming
[a,b,x]=[-53,73,-58]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might
be wrong.The choice was done assuming [a,b,x]=[-62,-47,-7]Warning, need to choose a branch for the root of a
polynomial with parameters. This might be wrong.The choice was done assuming [a,b,t_nostep]=[-60,56,-86]Warnin
g, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.The choice was do
ne assuming [a,b,t_nostep]=[-35,-31,25]schur row 3 6.14083e-09Warning, need to choose a branch for the root of
a polynomial with parameters. This might be wrong.The choice was done assuming [a,b,t_nostep]=[37,16,-50]schu
r row 3 6.81038e-09Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might b
e wrong.The choice was done assuming [a,b,t_nostep]=[-89,-87,-6]schur row 3 -3.32574e-09Warning, need to choos
e a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.The choice was done assuming [a,b
,t_nostep]=[-15,-47,-99]schur row 3 6.63154e-12Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial w
ith parameters. This might be wrong.The choice was done assuming [a,b,t_nostep]=[4,51,52]Warning, need to choo
se a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.The choice was done assuming [a,
b,t_nostep]=[95,47,-75]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This mig
ht be wrong.The choice was done assuming [a,b,t_nostep]=[-81,99,6]Warning, need to choose a branch for the roo
t of a polynomial with parameters. This might be wrong.The choice was done assuming [a,b,t_nostep]=[60,98,14]s
chur row 3 -1.41002e-07Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This mig
ht be wrong.The choice was done assuming [a,b,t_nostep]=[-61,-5,-81]schur row 3 -3.62988e-11Warning, need to c
hoose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.The choice was done assuming
[a,b,t_nostep]=[69,4,92]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This mi
ght be wrong.The choice was done assuming [a,b,t_nostep]=[-86,29,62]Warning, need to choose a branch for the r
oot of a polynomial with parameters. This might be wrong.The choice was done assuming [a,b,t_nostep]=[97,39,62
]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.The choice
was done assuming [a,b,t_nostep]=[12,-89,27]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial wit
h parameters. This might be wrong.The choice was done assuming [a,b,t_nostep]=[75,-77,-41]Warning, need to cho
ose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.The choice was done assuming [a
,b,t_nostep]=[37,-64,-25]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This m
ight be wrong.The choice was done assuming [a,b,t_nostep]=[-84,-28,-58]schur row 3 1.98116e-10Warning, need to
choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.The choice was done assumin
g [a,b,t_nostep]=[92,64,-69]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. Thi
s might be wrong.The choice was done assuming [a,b,t_nostep]=[-71,-97,65]schur row 3 -8.62952e-11Warning, need
to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.The choice was done assu
ming [a,b,t_nostep]=[38,22,35]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. T
his might be wrong.The choice was done assuming [a,b,t_nostep]=[5,-43,43]Warning, need to choose a branch for
the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.The choice was done assuming [a,b,t_nostep]=[51,
28,-73]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.The
choice was done assuming [a,b,t_nostep]=[-20,28,31]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomi
al with parameters. This might be wrong.The choice was done assuming [a,b,t_nostep]=[23,-43,-65]Warning, need
to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.The choice was done assum
ing [a,b,t_nostep]=[29,-31,-73]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters.
This might be wrong.The choice was done assuming [a,b,t_nostep]=[-47,29,-38]Warning, need to choose a branch f
or the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.The choice was done assuming [a,b,t_nostep]=[
-61,93,-37]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.
The choice was done assuming [a,b,t_nostep]=[-32,44,87]Warning, need to choose a branch for the root of a poly
nomial with parameters. This might be wrong.The choice was done assuming [a,b,t_nostep]=[85,86,-73]Warning, ne
ed to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.The choice was done as
suming [a,b,t_nostep]=[-76,72,56]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters
. This might be wrong.The choice was done assuming [a,b,t_nostep]=[-88,76,-73]Warning, need to choose a branch
for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.The choice was done assuming [a,b,t_nostep]
=[-35,-51,70]schur row 3 -2.55512e-09Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parame
ters. This might be wrong.The choice was done assuming [a,b,t_nostep]=[-28,-18,-32]schur row 3 -1.27129e-09War
ning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.The choice was
done assuming [a,b,t_nostep]=[-8,45,5]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with para
meters. This might be wrong.The choice was done assuming [a,b,t_nostep]=[-94,53,-97]schur row 3 -2.84124e-11Wa
rning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.The choice wa
s done assuming [a,b,t_nostep]=[-90,15,-80]schur row 3 -4.4424e-11Unable to divide, perhaps due to rounding er
ror%%%{%%%{%%{[-2,%%%{4,[1]%%%}]:[1,0,%%%{1,[1]%%%}]%%},[0]%%%}/%%%{%%{[2,1]:[1,0,%%%{1,[1]%%%}]%%},[0]%%%},[1
]%%%}+%%%{%%%{1,[1]%%%},[0]%%%} / %%%{%%%{1/%%%{%%{[2,1]:[1,0,%%%{1,[1]%%%}]%%},[0]%%%},[0]%%%},[0]%%%} Error:
Bad Argument ValueUnable to divide, perhaps due to rounding error%%%{%%%{%%{[2,%%%{4,[1]%%%}]:[1,0,%%%{1,[1]%
%%}]%%},[0]%%%}/%%%{%%{[-2,1]:[1,0,%%%{1,[1]%%%}]%%},[0]%%%},[1]%%%}+%%%{%%%{1,[1]%%%},[0]%%%} / %%%{%%%{1/%%%
{%%{[-2,1]:[1,0,%%%{1,[1]%%%}]%%},[0]%%%},[0]%%%},[0]%%%} Error: Bad Argument ValueEvaluation time: 10.56integ
rate((4*a^2*x^4*sqrt(sqrt(a^2*x^4+b)+a*x^2)*sqrt(a^2*x^4+b)-2*a^2*x^4-4*a*x^2*sqrt(sqrt(a^2*x^4+b)+a*x^2)*sqrt
(a^2*x^4+b)+4*b*sqrt(sqrt(a^2*x^4+b)+a*x^2)*sqrt(a^2*x^4+b)-2*b+sqrt(sqrt(a^2*x^4+b)+a*x^2)*sqrt(a^2*x^4+b)+2*
(a^2*x^4+b))/(4*a^2*x^4-4*a*x^2+4*b+1),x)

________________________________________________________________________________________

maple [F]  time = 180.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[\int \sqrt {a^{2} x^{4}+b}\, \sqrt {a \,x^{2}+\sqrt {a^{2} x^{4}+b}}\, dx\]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a^2*x^4+b)^(1/2)*(a*x^2+(a^2*x^4+b)^(1/2))^(1/2),x)

[Out]

int((a^2*x^4+b)^(1/2)*(a*x^2+(a^2*x^4+b)^(1/2))^(1/2),x)

________________________________________________________________________________________

maxima [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \int \sqrt {a^{2} x^{4} + b} \sqrt {a x^{2} + \sqrt {a^{2} x^{4} + b}}\,{d x} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a^2*x^4+b)^(1/2)*(a*x^2+(a^2*x^4+b)^(1/2))^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sqrt(a^2*x^4 + b)*sqrt(a*x^2 + sqrt(a^2*x^4 + b)), x)

________________________________________________________________________________________

mupad [F]  time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.01 \begin {gather*} \int \sqrt {\sqrt {a^2\,x^4+b}+a\,x^2}\,\sqrt {a^2\,x^4+b} \,d x \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(((b + a^2*x^4)^(1/2) + a*x^2)^(1/2)*(b + a^2*x^4)^(1/2),x)

[Out]

int(((b + a^2*x^4)^(1/2) + a*x^2)^(1/2)*(b + a^2*x^4)^(1/2), x)

________________________________________________________________________________________

sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \int \sqrt {a x^{2} + \sqrt {a^{2} x^{4} + b}} \sqrt {a^{2} x^{4} + b}\, dx \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a**2*x**4+b)**(1/2)*(a*x**2+(a**2*x**4+b)**(1/2))**(1/2),x)

[Out]

Integral(sqrt(a*x**2 + sqrt(a**2*x**4 + b))*sqrt(a**2*x**4 + b), x)

________________________________________________________________________________________