3.17.78 \(\int \frac {(-1+x^4) \sqrt {1+\sqrt {1+x^2}}}{1+x^4} \, dx\)

Optimal. Leaf size=112 \[ -\frac {1}{2} \text {RootSum}\left [\text {$\#$1}^8+4 \text {$\#$1}^6+4 \text {$\#$1}^4+1\& ,\frac {\log \left (\frac {x}{\sqrt {\sqrt {x^2+1}+1}}-\text {$\#$1}\right )}{\text {$\#$1}^5+2 \text {$\#$1}^3}\& \right ]+\frac {2 \sqrt {x^2+1} x}{3 \sqrt {\sqrt {x^2+1}+1}}+\frac {4 x}{3 \sqrt {\sqrt {x^2+1}+1}} \]

________________________________________________________________________________________

Rubi [F]  time = 0.73, antiderivative size = 0, normalized size of antiderivative = 0.00, number of steps used = 0, number of rules used = 0, integrand size = 0, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.000, Rules used = {} \begin {gather*} \int \frac {\left (-1+x^4\right ) \sqrt {1+\sqrt {1+x^2}}}{1+x^4} \, dx \end {gather*}

Verification is not applicable to the result.

[In]

Int[((-1 + x^4)*Sqrt[1 + Sqrt[1 + x^2]])/(1 + x^4),x]

[Out]

(2*x^3)/(3*(1 + Sqrt[1 + x^2])^(3/2)) + (2*x)/Sqrt[1 + Sqrt[1 + x^2]] - ((-1)^(1/4)*Defer[Int][Sqrt[1 + Sqrt[1
+ x^2]]/((-1)^(1/4) - x), x])/2 + ((-1)^(3/4)*Defer[Int][Sqrt[1 + Sqrt[1 + x^2]]/(-(-1)^(3/4) - x), x])/2 - (
(-1)^(1/4)*Defer[Int][Sqrt[1 + Sqrt[1 + x^2]]/((-1)^(1/4) + x), x])/2 + ((-1)^(3/4)*Defer[Int][Sqrt[1 + Sqrt[1
+ x^2]]/(-(-1)^(3/4) + x), x])/2

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {\left (-1+x^4\right ) \sqrt {1+\sqrt {1+x^2}}}{1+x^4} \, dx &=\int \left (\sqrt {1+\sqrt {1+x^2}}-\frac {2 \sqrt {1+\sqrt {1+x^2}}}{1+x^4}\right ) \, dx\\ &=-\left (2 \int \frac {\sqrt {1+\sqrt {1+x^2}}}{1+x^4} \, dx\right )+\int \sqrt {1+\sqrt {1+x^2}} \, dx\\ &=\frac {2 x^3}{3 \left (1+\sqrt {1+x^2}\right )^{3/2}}+\frac {2 x}{\sqrt {1+\sqrt {1+x^2}}}-2 \int \left (\frac {i \sqrt {1+\sqrt {1+x^2}}}{2 \left (i-x^2\right )}+\frac {i \sqrt {1+\sqrt {1+x^2}}}{2 \left (i+x^2\right )}\right ) \, dx\\ &=\frac {2 x^3}{3 \left (1+\sqrt {1+x^2}\right )^{3/2}}+\frac {2 x}{\sqrt {1+\sqrt {1+x^2}}}-i \int \frac {\sqrt {1+\sqrt {1+x^2}}}{i-x^2} \, dx-i \int \frac {\sqrt {1+\sqrt {1+x^2}}}{i+x^2} \, dx\\ &=\frac {2 x^3}{3 \left (1+\sqrt {1+x^2}\right )^{3/2}}+\frac {2 x}{\sqrt {1+\sqrt {1+x^2}}}-i \int \left (-\frac {(-1)^{3/4} \sqrt {1+\sqrt {1+x^2}}}{2 \left (\sqrt [4]{-1}-x\right )}-\frac {(-1)^{3/4} \sqrt {1+\sqrt {1+x^2}}}{2 \left (\sqrt [4]{-1}+x\right )}\right ) \, dx-i \int \left (-\frac {\sqrt [4]{-1} \sqrt {1+\sqrt {1+x^2}}}{2 \left (-(-1)^{3/4}-x\right )}-\frac {\sqrt [4]{-1} \sqrt {1+\sqrt {1+x^2}}}{2 \left (-(-1)^{3/4}+x\right )}\right ) \, dx\\ &=\frac {2 x^3}{3 \left (1+\sqrt {1+x^2}\right )^{3/2}}+\frac {2 x}{\sqrt {1+\sqrt {1+x^2}}}-\frac {1}{2} \sqrt [4]{-1} \int \frac {\sqrt {1+\sqrt {1+x^2}}}{\sqrt [4]{-1}-x} \, dx-\frac {1}{2} \sqrt [4]{-1} \int \frac {\sqrt {1+\sqrt {1+x^2}}}{\sqrt [4]{-1}+x} \, dx+\frac {1}{2} (-1)^{3/4} \int \frac {\sqrt {1+\sqrt {1+x^2}}}{-(-1)^{3/4}-x} \, dx+\frac {1}{2} (-1)^{3/4} \int \frac {\sqrt {1+\sqrt {1+x^2}}}{-(-1)^{3/4}+x} \, dx\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [F]  time = 0.10, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \int \frac {\left (-1+x^4\right ) \sqrt {1+\sqrt {1+x^2}}}{1+x^4} \, dx \end {gather*}

Verification is not applicable to the result.

[In]

Integrate[((-1 + x^4)*Sqrt[1 + Sqrt[1 + x^2]])/(1 + x^4),x]

[Out]

Integrate[((-1 + x^4)*Sqrt[1 + Sqrt[1 + x^2]])/(1 + x^4), x]

________________________________________________________________________________________

IntegrateAlgebraic [A]  time = 0.00, size = 112, normalized size = 1.00 \begin {gather*} \frac {4 x}{3 \sqrt {1+\sqrt {1+x^2}}}+\frac {2 x \sqrt {1+x^2}}{3 \sqrt {1+\sqrt {1+x^2}}}-\frac {1}{2} \text {RootSum}\left [1+4 \text {$\#$1}^4+4 \text {$\#$1}^6+\text {$\#$1}^8\&,\frac {\log \left (\frac {x}{\sqrt {1+\sqrt {1+x^2}}}-\text {$\#$1}\right )}{2 \text {$\#$1}^3+\text {$\#$1}^5}\&\right ] \end {gather*}

Antiderivative was successfully verified.

[In]

IntegrateAlgebraic[((-1 + x^4)*Sqrt[1 + Sqrt[1 + x^2]])/(1 + x^4),x]

[Out]

(4*x)/(3*Sqrt[1 + Sqrt[1 + x^2]]) + (2*x*Sqrt[1 + x^2])/(3*Sqrt[1 + Sqrt[1 + x^2]]) - RootSum[1 + 4*#1^4 + 4*#
1^6 + #1^8 & , Log[x/Sqrt[1 + Sqrt[1 + x^2]] - #1]/(2*#1^3 + #1^5) & ]/2

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 15.38, size = 6296, normalized size = 56.21

result too large to display

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((x^4-1)*(1+(x^2+1)^(1/2))^(1/2)/(x^4+1),x, algorithm="fricas")

[Out]

1/12*(3*x*sqrt(sqrt(1/4*I - 1/4) + sqrt(-1/4*I - 1/4) - 2*sqrt(-3/16*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^2 - 1/8*(2*sqrt
(1/4*I - 1/4) + I)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I) - 3/16*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)^2 - 1))*log(-1/4*(2*(68*x^4 +
401*x^2 + (277*x^4 + 889*x^2 - 6*(113*x^2 + 59)*sqrt(x^2 + 1) + 354)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - (277*x^2 + 21
1)*sqrt(x^2 + 1) + 211)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)^2*sqrt(sqrt(x^2 + 1) + 1) - 2*(37*x^4 - (277*x^4 + 889*x^2
- 6*(113*x^2 + 59)*sqrt(x^2 + 1) + 354)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^2 + 209*x^2 - 4*(17*x^2 + 31)*sqrt(x^2 + 1)
+ 124)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)*sqrt(sqrt(x^2 + 1) + 1) + 8*((68*x^4 + 401*x^2 + (277*x^4 + 889*x^2 - 6*(113
*x^2 + 59)*sqrt(x^2 + 1) + 354)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - (277*x^2 + 211)*sqrt(x^2 + 1) + 211)*(2*sqrt(-1/4*
I - 1/4) - I)*sqrt(sqrt(x^2 + 1) + 1) + (37*x^4 + 209*x^2 + (68*x^4 + 401*x^2 - (277*x^2 + 211)*sqrt(x^2 + 1)
+ 211)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - 4*(17*x^2 + 31)*sqrt(x^2 + 1) + 124)*sqrt(sqrt(x^2 + 1) + 1))*sqrt(-3/16*(2
*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^2 - 1/8*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I) - 3/16*(2*sqrt(-1/4*I - 1
/4) - I)^2 - 1) + (12*x^5 + 68*x^3 + 2*(62*x^5 + 143*x^3 - (211*x^3 - 277*x)*sqrt(x^2 + 1) - 339*x)*(2*sqrt(1/
4*I - 1/4) + I)^2 + (124*x^5 + 286*x^3 + (211*x^5 + 154*x^3 - 12*(59*x^3 - 113*x)*sqrt(x^2 + 1) - 1567*x)*(2*s
qrt(1/4*I - 1/4) + I) - 2*(211*x^3 - 277*x)*sqrt(x^2 + 1) - 678*x)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)^2 - (141*x^5 + 1
74*x^3 - 8*(31*x^3 - 17*x)*sqrt(x^2 + 1) - 277*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - (141*x^5 + 174*x^3 - (211*x^5 +
154*x^3 - 12*(59*x^3 - 113*x)*sqrt(x^2 + 1) - 1567*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^2 - 8*(31*x^3 - 17*x)*sqrt(x^2
+ 1) - 277*x)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I) + 4*(141*x^3 - 37*x)*sqrt(x^2 + 1) + 4*(141*x^5 + 174*x^3 + 2*(62*x^
5 + 143*x^3 - (211*x^3 - 277*x)*sqrt(x^2 + 1) - 339*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) + (124*x^5 + 286*x^3 + (211*x
^5 + 154*x^3 - 12*(59*x^3 - 113*x)*sqrt(x^2 + 1) - 1567*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - 2*(211*x^3 - 277*x)*sqr
t(x^2 + 1) - 678*x)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I) - 8*(31*x^3 - 17*x)*sqrt(x^2 + 1) - 277*x)*sqrt(-3/16*(2*sqrt(1
/4*I - 1/4) + I)^2 - 1/8*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I) - 3/16*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I
)^2 - 1) + 136*x)*sqrt(sqrt(1/4*I - 1/4) + sqrt(-1/4*I - 1/4) - 2*sqrt(-3/16*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^2 - 1/8
*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I) - 3/16*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)^2 - 1)) - 2*(316*x^4 -
(68*x^4 + 401*x^2 - (277*x^2 + 211)*sqrt(x^2 + 1) + 211)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^2 + 62*x^2 + (37*x^4 + 209
*x^2 - 4*(17*x^2 + 31)*sqrt(x^2 + 1) + 124)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - 2*(37*x^2 + 141)*sqrt(x^2 + 1) + 282)*
sqrt(sqrt(x^2 + 1) + 1))/(x^5 + x)) - 3*x*sqrt(sqrt(1/4*I - 1/4) + sqrt(-1/4*I - 1/4) - 2*sqrt(-3/16*(2*sqrt(1
/4*I - 1/4) + I)^2 - 1/8*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I) - 3/16*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I
)^2 - 1))*log(-1/4*(2*(68*x^4 + 401*x^2 + (277*x^4 + 889*x^2 - 6*(113*x^2 + 59)*sqrt(x^2 + 1) + 354)*(2*sqrt(1
/4*I - 1/4) + I) - (277*x^2 + 211)*sqrt(x^2 + 1) + 211)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)^2*sqrt(sqrt(x^2 + 1) + 1) -
2*(37*x^4 - (277*x^4 + 889*x^2 - 6*(113*x^2 + 59)*sqrt(x^2 + 1) + 354)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^2 + 209*x^2
- 4*(17*x^2 + 31)*sqrt(x^2 + 1) + 124)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)*sqrt(sqrt(x^2 + 1) + 1) + 8*((68*x^4 + 401*x
^2 + (277*x^4 + 889*x^2 - 6*(113*x^2 + 59)*sqrt(x^2 + 1) + 354)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - (277*x^2 + 211)*sq
rt(x^2 + 1) + 211)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)*sqrt(sqrt(x^2 + 1) + 1) + (37*x^4 + 209*x^2 + (68*x^4 + 401*x^2
- (277*x^2 + 211)*sqrt(x^2 + 1) + 211)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - 4*(17*x^2 + 31)*sqrt(x^2 + 1) + 124)*sqrt(s
qrt(x^2 + 1) + 1))*sqrt(-3/16*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^2 - 1/8*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4
) - I) - 3/16*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)^2 - 1) - (12*x^5 + 68*x^3 + 2*(62*x^5 + 143*x^3 - (211*x^3 - 277*x)*s
qrt(x^2 + 1) - 339*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^2 + (124*x^5 + 286*x^3 + (211*x^5 + 154*x^3 - 12*(59*x^3 - 113
*x)*sqrt(x^2 + 1) - 1567*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - 2*(211*x^3 - 277*x)*sqrt(x^2 + 1) - 678*x)*(2*sqrt(-1/
4*I - 1/4) - I)^2 - (141*x^5 + 174*x^3 - 8*(31*x^3 - 17*x)*sqrt(x^2 + 1) - 277*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) -
(141*x^5 + 174*x^3 - (211*x^5 + 154*x^3 - 12*(59*x^3 - 113*x)*sqrt(x^2 + 1) - 1567*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I
)^2 - 8*(31*x^3 - 17*x)*sqrt(x^2 + 1) - 277*x)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I) + 4*(141*x^3 - 37*x)*sqrt(x^2 + 1) +
4*(141*x^5 + 174*x^3 + 2*(62*x^5 + 143*x^3 - (211*x^3 - 277*x)*sqrt(x^2 + 1) - 339*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) +
I) + (124*x^5 + 286*x^3 + (211*x^5 + 154*x^3 - 12*(59*x^3 - 113*x)*sqrt(x^2 + 1) - 1567*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4
) + I) - 2*(211*x^3 - 277*x)*sqrt(x^2 + 1) - 678*x)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I) - 8*(31*x^3 - 17*x)*sqrt(x^2 +
1) - 277*x)*sqrt(-3/16*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^2 - 1/8*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)
- 3/16*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)^2 - 1) + 136*x)*sqrt(sqrt(1/4*I - 1/4) + sqrt(-1/4*I - 1/4) - 2*sqrt(-3/16*(
2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^2 - 1/8*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I) - 3/16*(2*sqrt(-1/4*I -
1/4) - I)^2 - 1)) - 2*(316*x^4 - (68*x^4 + 401*x^2 - (277*x^2 + 211)*sqrt(x^2 + 1) + 211)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4)
+ I)^2 + 62*x^2 + (37*x^4 + 209*x^2 - 4*(17*x^2 + 31)*sqrt(x^2 + 1) + 124)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - 2*(37*
x^2 + 141)*sqrt(x^2 + 1) + 282)*sqrt(sqrt(x^2 + 1) + 1))/(x^5 + x)) + 3*x*sqrt(sqrt(1/4*I - 1/4) + sqrt(-1/4*I
- 1/4) + 2*sqrt(-3/16*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^2 - 1/8*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)
- 3/16*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)^2 - 1))*log(-1/4*(2*(68*x^4 + 401*x^2 + (277*x^4 + 889*x^2 - 6*(113*x^2 + 59
)*sqrt(x^2 + 1) + 354)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - (277*x^2 + 211)*sqrt(x^2 + 1) + 211)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4)
- I)^2*sqrt(sqrt(x^2 + 1) + 1) - 2*(37*x^4 - (277*x^4 + 889*x^2 - 6*(113*x^2 + 59)*sqrt(x^2 + 1) + 354)*(2*sqr
t(1/4*I - 1/4) + I)^2 + 209*x^2 - 4*(17*x^2 + 31)*sqrt(x^2 + 1) + 124)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)*sqrt(sqrt(x^
2 + 1) + 1) - 8*((68*x^4 + 401*x^2 + (277*x^4 + 889*x^2 - 6*(113*x^2 + 59)*sqrt(x^2 + 1) + 354)*(2*sqrt(1/4*I
- 1/4) + I) - (277*x^2 + 211)*sqrt(x^2 + 1) + 211)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)*sqrt(sqrt(x^2 + 1) + 1) + (37*x^
4 + 209*x^2 + (68*x^4 + 401*x^2 - (277*x^2 + 211)*sqrt(x^2 + 1) + 211)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - 4*(17*x^2 +
31)*sqrt(x^2 + 1) + 124)*sqrt(sqrt(x^2 + 1) + 1))*sqrt(-3/16*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^2 - 1/8*(2*sqrt(1/4*I
- 1/4) + I)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I) - 3/16*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)^2 - 1) + (12*x^5 + 68*x^3 + 2*(62*x^5
+ 143*x^3 - (211*x^3 - 277*x)*sqrt(x^2 + 1) - 339*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^2 + (124*x^5 + 286*x^3 + (211*
x^5 + 154*x^3 - 12*(59*x^3 - 113*x)*sqrt(x^2 + 1) - 1567*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - 2*(211*x^3 - 277*x)*sq
rt(x^2 + 1) - 678*x)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)^2 - (141*x^5 + 174*x^3 - 8*(31*x^3 - 17*x)*sqrt(x^2 + 1) - 277
*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - (141*x^5 + 174*x^3 - (211*x^5 + 154*x^3 - 12*(59*x^3 - 113*x)*sqrt(x^2 + 1) -
1567*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^2 - 8*(31*x^3 - 17*x)*sqrt(x^2 + 1) - 277*x)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I) + 4*
(141*x^3 - 37*x)*sqrt(x^2 + 1) - 4*(141*x^5 + 174*x^3 + 2*(62*x^5 + 143*x^3 - (211*x^3 - 277*x)*sqrt(x^2 + 1)
- 339*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) + (124*x^5 + 286*x^3 + (211*x^5 + 154*x^3 - 12*(59*x^3 - 113*x)*sqrt(x^2 +
1) - 1567*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - 2*(211*x^3 - 277*x)*sqrt(x^2 + 1) - 678*x)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)
- 8*(31*x^3 - 17*x)*sqrt(x^2 + 1) - 277*x)*sqrt(-3/16*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^2 - 1/8*(2*sqrt(1/4*I - 1/4)
+ I)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I) - 3/16*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)^2 - 1) + 136*x)*sqrt(sqrt(1/4*I - 1/4) + sqr
t(-1/4*I - 1/4) + 2*sqrt(-3/16*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^2 - 1/8*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/
4) - I) - 3/16*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)^2 - 1)) - 2*(316*x^4 - (68*x^4 + 401*x^2 - (277*x^2 + 211)*sqrt(x^2
+ 1) + 211)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^2 + 62*x^2 + (37*x^4 + 209*x^2 - 4*(17*x^2 + 31)*sqrt(x^2 + 1) + 124)*(2
*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - 2*(37*x^2 + 141)*sqrt(x^2 + 1) + 282)*sqrt(sqrt(x^2 + 1) + 1))/(x^5 + x)) - 3*x*sqrt
(sqrt(1/4*I - 1/4) + sqrt(-1/4*I - 1/4) + 2*sqrt(-3/16*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^2 - 1/8*(2*sqrt(1/4*I - 1/4)
+ I)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I) - 3/16*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)^2 - 1))*log(-1/4*(2*(68*x^4 + 401*x^2 + (277
*x^4 + 889*x^2 - 6*(113*x^2 + 59)*sqrt(x^2 + 1) + 354)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - (277*x^2 + 211)*sqrt(x^2 +
1) + 211)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)^2*sqrt(sqrt(x^2 + 1) + 1) - 2*(37*x^4 - (277*x^4 + 889*x^2 - 6*(113*x^2 +
59)*sqrt(x^2 + 1) + 354)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^2 + 209*x^2 - 4*(17*x^2 + 31)*sqrt(x^2 + 1) + 124)*(2*sqrt
(-1/4*I - 1/4) - I)*sqrt(sqrt(x^2 + 1) + 1) - 8*((68*x^4 + 401*x^2 + (277*x^4 + 889*x^2 - 6*(113*x^2 + 59)*sqr
t(x^2 + 1) + 354)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - (277*x^2 + 211)*sqrt(x^2 + 1) + 211)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)*
sqrt(sqrt(x^2 + 1) + 1) + (37*x^4 + 209*x^2 + (68*x^4 + 401*x^2 - (277*x^2 + 211)*sqrt(x^2 + 1) + 211)*(2*sqrt
(1/4*I - 1/4) + I) - 4*(17*x^2 + 31)*sqrt(x^2 + 1) + 124)*sqrt(sqrt(x^2 + 1) + 1))*sqrt(-3/16*(2*sqrt(1/4*I -
1/4) + I)^2 - 1/8*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I) - 3/16*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)^2 - 1
) - (12*x^5 + 68*x^3 + 2*(62*x^5 + 143*x^3 - (211*x^3 - 277*x)*sqrt(x^2 + 1) - 339*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I
)^2 + (124*x^5 + 286*x^3 + (211*x^5 + 154*x^3 - 12*(59*x^3 - 113*x)*sqrt(x^2 + 1) - 1567*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/
4) + I) - 2*(211*x^3 - 277*x)*sqrt(x^2 + 1) - 678*x)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)^2 - (141*x^5 + 174*x^3 - 8*(31
*x^3 - 17*x)*sqrt(x^2 + 1) - 277*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - (141*x^5 + 174*x^3 - (211*x^5 + 154*x^3 - 12*(
59*x^3 - 113*x)*sqrt(x^2 + 1) - 1567*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^2 - 8*(31*x^3 - 17*x)*sqrt(x^2 + 1) - 277*x)
*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I) + 4*(141*x^3 - 37*x)*sqrt(x^2 + 1) - 4*(141*x^5 + 174*x^3 + 2*(62*x^5 + 143*x^3 -
(211*x^3 - 277*x)*sqrt(x^2 + 1) - 339*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) + (124*x^5 + 286*x^3 + (211*x^5 + 154*x^3 -
12*(59*x^3 - 113*x)*sqrt(x^2 + 1) - 1567*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - 2*(211*x^3 - 277*x)*sqrt(x^2 + 1) - 6
78*x)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I) - 8*(31*x^3 - 17*x)*sqrt(x^2 + 1) - 277*x)*sqrt(-3/16*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) +
I)^2 - 1/8*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I) - 3/16*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)^2 - 1) + 136
*x)*sqrt(sqrt(1/4*I - 1/4) + sqrt(-1/4*I - 1/4) + 2*sqrt(-3/16*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^2 - 1/8*(2*sqrt(1/4*I
- 1/4) + I)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I) - 3/16*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)^2 - 1)) - 2*(316*x^4 - (68*x^4 + 401
*x^2 - (277*x^2 + 211)*sqrt(x^2 + 1) + 211)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^2 + 62*x^2 + (37*x^4 + 209*x^2 - 4*(17*x
^2 + 31)*sqrt(x^2 + 1) + 124)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - 2*(37*x^2 + 141)*sqrt(x^2 + 1) + 282)*sqrt(sqrt(x^2
+ 1) + 1))/(x^5 + x)) + 6*x*sqrt(-1/2*sqrt(-1/4*I - 1/4) + 1/4*I)*log(((68*x^4 + 401*x^2 + (277*x^4 + 889*x^2
- 6*(113*x^2 + 59)*sqrt(x^2 + 1) + 354)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - (277*x^2 + 211)*sqrt(x^2 + 1) + 211)*(2*sq
rt(-1/4*I - 1/4) - I)^2*sqrt(sqrt(x^2 + 1) + 1) - (37*x^4 - (277*x^4 + 889*x^2 - 6*(113*x^2 + 59)*sqrt(x^2 + 1
) + 354)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^2 + 209*x^2 - 4*(17*x^2 + 31)*sqrt(x^2 + 1) + 124)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) -
I)*sqrt(sqrt(x^2 + 1) + 1) + (490*x^5 + (211*x^5 + 154*x^3 - 12*(59*x^3 - 113*x)*sqrt(x^2 + 1) - 1567*x)*(2*sq
rt(1/4*I - 1/4) + I)^3 + 1110*x^3 + (124*x^5 + 286*x^3 + (211*x^5 + 154*x^3 - 12*(59*x^3 - 113*x)*sqrt(x^2 + 1
) - 1567*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - 2*(211*x^3 - 277*x)*sqrt(x^2 + 1) - 678*x)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)^
2 + 4*(211*x^5 + 154*x^3 - 12*(59*x^3 - 113*x)*sqrt(x^2 + 1) - 1567*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - (141*x^5 +
174*x^3 - (211*x^5 + 154*x^3 - 12*(59*x^3 - 113*x)*sqrt(x^2 + 1) - 1567*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^2 - 8*(31
*x^3 - 17*x)*sqrt(x^2 + 1) - 277*x)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I) - 10*(197*x^3 - 229*x)*sqrt(x^2 + 1) - 2780*x)*
sqrt(-1/2*sqrt(-1/4*I - 1/4) + 1/4*I) + (430*x^4 + (277*x^4 + 889*x^2 - 6*(113*x^2 + 59)*sqrt(x^2 + 1) + 354)*
(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^3 + 1635*x^2 + 4*(277*x^4 + 889*x^2 - 6*(113*x^2 + 59)*sqrt(x^2 + 1) + 354)*(2*sqrt(
1/4*I - 1/4) + I) - 5*(229*x^2 + 197)*sqrt(x^2 + 1) + 985)*sqrt(sqrt(x^2 + 1) + 1))/(x^5 + x)) - 6*x*sqrt(-1/2
*sqrt(-1/4*I - 1/4) + 1/4*I)*log(((68*x^4 + 401*x^2 + (277*x^4 + 889*x^2 - 6*(113*x^2 + 59)*sqrt(x^2 + 1) + 35
4)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - (277*x^2 + 211)*sqrt(x^2 + 1) + 211)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)^2*sqrt(sqrt(x^2
+ 1) + 1) - (37*x^4 - (277*x^4 + 889*x^2 - 6*(113*x^2 + 59)*sqrt(x^2 + 1) + 354)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^2
+ 209*x^2 - 4*(17*x^2 + 31)*sqrt(x^2 + 1) + 124)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)*sqrt(sqrt(x^2 + 1) + 1) - (490*x^5
+ (211*x^5 + 154*x^3 - 12*(59*x^3 - 113*x)*sqrt(x^2 + 1) - 1567*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^3 + 1110*x^3 + (
124*x^5 + 286*x^3 + (211*x^5 + 154*x^3 - 12*(59*x^3 - 113*x)*sqrt(x^2 + 1) - 1567*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)
- 2*(211*x^3 - 277*x)*sqrt(x^2 + 1) - 678*x)*(2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I)^2 + 4*(211*x^5 + 154*x^3 - 12*(59*x^3
- 113*x)*sqrt(x^2 + 1) - 1567*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - (141*x^5 + 174*x^3 - (211*x^5 + 154*x^3 - 12*(59
*x^3 - 113*x)*sqrt(x^2 + 1) - 1567*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^2 - 8*(31*x^3 - 17*x)*sqrt(x^2 + 1) - 277*x)*(
2*sqrt(-1/4*I - 1/4) - I) - 10*(197*x^3 - 229*x)*sqrt(x^2 + 1) - 2780*x)*sqrt(-1/2*sqrt(-1/4*I - 1/4) + 1/4*I)
+ (430*x^4 + (277*x^4 + 889*x^2 - 6*(113*x^2 + 59)*sqrt(x^2 + 1) + 354)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^3 + 1635*x^
2 + 4*(277*x^4 + 889*x^2 - 6*(113*x^2 + 59)*sqrt(x^2 + 1) + 354)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - 5*(229*x^2 + 197)
*sqrt(x^2 + 1) + 985)*sqrt(sqrt(x^2 + 1) + 1))/(x^5 + x)) + 6*x*sqrt(-1/2*sqrt(1/4*I - 1/4) - 1/4*I)*log(-((35
4*x^5 + (211*x^5 + 154*x^3 - 12*(59*x^3 - 113*x)*sqrt(x^2 + 1) - 1567*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^3 - 494*x^3
- 2*(62*x^5 + 143*x^3 - (211*x^3 - 277*x)*sqrt(x^2 + 1) - 339*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^2 + 5*(197*x^5 + 1
58*x^3 - 8*(77*x^3 - 139*x)*sqrt(x^2 + 1) - 1309*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - 2*(431*x^3 - 1567*x)*sqrt(x^2
+ 1) - 3488*x)*sqrt(-1/2*sqrt(1/4*I - 1/4) - 1/4*I) + (678*x^4 + (277*x^4 + 889*x^2 - 6*(113*x^2 + 59)*sqrt(x^
2 + 1) + 354)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^3 - (68*x^4 + 401*x^2 - (277*x^2 + 211)*sqrt(x^2 + 1) + 211)*(2*sqrt(1
/4*I - 1/4) + I)^2 + 1921*x^2 + 5*(229*x^4 + 753*x^2 - 4*(139*x^2 + 77)*sqrt(x^2 + 1) + 308)*(2*sqrt(1/4*I - 1
/4) + I) - (1567*x^2 + 431)*sqrt(x^2 + 1) + 431)*sqrt(sqrt(x^2 + 1) + 1))/(x^5 + x)) - 6*x*sqrt(-1/2*sqrt(1/4*
I - 1/4) - 1/4*I)*log(((354*x^5 + (211*x^5 + 154*x^3 - 12*(59*x^3 - 113*x)*sqrt(x^2 + 1) - 1567*x)*(2*sqrt(1/4
*I - 1/4) + I)^3 - 494*x^3 - 2*(62*x^5 + 143*x^3 - (211*x^3 - 277*x)*sqrt(x^2 + 1) - 339*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/
4) + I)^2 + 5*(197*x^5 + 158*x^3 - 8*(77*x^3 - 139*x)*sqrt(x^2 + 1) - 1309*x)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - 2*(4
31*x^3 - 1567*x)*sqrt(x^2 + 1) - 3488*x)*sqrt(-1/2*sqrt(1/4*I - 1/4) - 1/4*I) - (678*x^4 + (277*x^4 + 889*x^2
- 6*(113*x^2 + 59)*sqrt(x^2 + 1) + 354)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^3 - (68*x^4 + 401*x^2 - (277*x^2 + 211)*sqrt
(x^2 + 1) + 211)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I)^2 + 1921*x^2 + 5*(229*x^4 + 753*x^2 - 4*(139*x^2 + 77)*sqrt(x^2 + 1
) + 308)*(2*sqrt(1/4*I - 1/4) + I) - (1567*x^2 + 431)*sqrt(x^2 + 1) + 431)*sqrt(sqrt(x^2 + 1) + 1))/(x^5 + x))
+ 8*(x^2 + sqrt(x^2 + 1) - 1)*sqrt(sqrt(x^2 + 1) + 1))/x

________________________________________________________________________________________

giac [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \int \frac {{\left (x^{4} - 1\right )} \sqrt {\sqrt {x^{2} + 1} + 1}}{x^{4} + 1}\,{d x} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((x^4-1)*(1+(x^2+1)^(1/2))^(1/2)/(x^4+1),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((x^4 - 1)*sqrt(sqrt(x^2 + 1) + 1)/(x^4 + 1), x)

________________________________________________________________________________________

maple [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[\int \frac {\left (x^{4}-1\right ) \sqrt {1+\sqrt {x^{2}+1}}}{x^{4}+1}\, dx\]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((x^4-1)*(1+(x^2+1)^(1/2))^(1/2)/(x^4+1),x)

[Out]

int((x^4-1)*(1+(x^2+1)^(1/2))^(1/2)/(x^4+1),x)

________________________________________________________________________________________

maxima [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \int \frac {{\left (x^{4} - 1\right )} \sqrt {\sqrt {x^{2} + 1} + 1}}{x^{4} + 1}\,{d x} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((x^4-1)*(1+(x^2+1)^(1/2))^(1/2)/(x^4+1),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((x^4 - 1)*sqrt(sqrt(x^2 + 1) + 1)/(x^4 + 1), x)

________________________________________________________________________________________

mupad [F]  time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.01 \begin {gather*} \int \frac {\left (x^4-1\right )\,\sqrt {\sqrt {x^2+1}+1}}{x^4+1} \,d x \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(((x^4 - 1)*((x^2 + 1)^(1/2) + 1)^(1/2))/(x^4 + 1),x)

[Out]

int(((x^4 - 1)*((x^2 + 1)^(1/2) + 1)^(1/2))/(x^4 + 1), x)

________________________________________________________________________________________

sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \int \frac {\left (x - 1\right ) \left (x + 1\right ) \left (x^{2} + 1\right ) \sqrt {\sqrt {x^{2} + 1} + 1}}{x^{4} + 1}\, dx \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((x**4-1)*(1+(x**2+1)**(1/2))**(1/2)/(x**4+1),x)

[Out]

Integral((x - 1)*(x + 1)*(x**2 + 1)*sqrt(sqrt(x**2 + 1) + 1)/(x**4 + 1), x)

________________________________________________________________________________________