[next] [prev] [prev-tail] [tail] [up]

3.336 \(\int \tanh ^{-1}(c+d \cot (a+b x)) \, dx\)

Optimal. Leaf size=194 \[ -\frac {i \text {Li}_2\left (\frac {(-c-i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{-c+i d+1}\right )}{4 b}+\frac {i \text {Li}_2\left (\frac {(c+i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{c-i d+1}\right )}{4 b}+\frac {1}{2} x \log \left (1-\frac {(-c-i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{-c+i d+1}\right )-\frac {1}{2} x \log \left (1-\frac {(c+i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{c-i d+1}\right )+x \tanh ^{-1}(d \cot (a+b x)+c) \]

[Out]

x*arctanh(c+d*cot(b*x+a))+1/2*x*ln(1-(1-c-I*d)*exp(2*I*a+2*I*b*x)/(1-c+I*d))-1/2*x*ln(1-(1+c+I*d)*exp(2*I*a+2*
I*b*x)/(1+c-I*d))-1/4*I*polylog(2,(1-c-I*d)*exp(2*I*a+2*I*b*x)/(1-c+I*d))/b+1/4*I*polylog(2,(1+c+I*d)*exp(2*I*
a+2*I*b*x)/(1+c-I*d))/b

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.24, antiderivative size = 194, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 7, number of rules used = 4, integrand size = 11, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.364, Rules used = {6261, 2190, 2279, 2391} \[ -\frac {i \text {PolyLog}\left (2,\frac {(-c-i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{-c+i d+1}\right )}{4 b}+\frac {i \text {PolyLog}\left (2,\frac {(c+i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{c-i d+1}\right )}{4 b}+\frac {1}{2} x \log \left (1-\frac {(-c-i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{-c+i d+1}\right )-\frac {1}{2} x \log \left (1-\frac {(c+i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{c-i d+1}\right )+x \tanh ^{-1}(d \cot (a+b x)+c) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[ArcTanh[c + d*Cot[a + b*x]],x]

[Out]

x*ArcTanh[c + d*Cot[a + b*x]] + (x*Log[1 - ((1 - c - I*d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 - c + I*d)])/2 - (x*Log[
1 - ((1 + c + I*d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + c - I*d)])/2 - ((I/4)*PolyLog[2, ((1 - c - I*d)*E^((2*I)*a +
(2*I)*b*x))/(1 - c + I*d)])/b + ((I/4)*PolyLog[2, ((1 + c + I*d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + c - I*d)])/b

Rule 2190

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
 (f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(b*f*g*n*Log[F]), x]
 - Dist[(d*m)/(b*f*g*n*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2279

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2391

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, -(c*e*x^n)]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
 e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rule 6261

Int[ArcTanh[(c_.) + Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTanh[c + d*Cot[a + b*x]], x] + (-Di
st[I*b*(1 - c - I*d), Int[(x*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c + I*d - (1 - c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x] +
Dist[I*b*(1 + c + I*d), Int[(x*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c - I*d - (1 + c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x])
 /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[(c - I*d)^2, 1]

Rubi steps

\begin {align*} \int \tanh ^{-1}(c+d \cot (a+b x)) \, dx &=x \tanh ^{-1}(c+d \cot (a+b x))+(b (i (1+c)-d)) \int \frac {e^{2 i a+2 i b x} x}{1+c-i d+(-1-c-i d) e^{2 i a+2 i b x}} \, dx-(b (i-i c+d)) \int \frac {e^{2 i a+2 i b x} x}{1-c+i d+(-1+c+i d) e^{2 i a+2 i b x}} \, dx\\ &=x \tanh ^{-1}(c+d \cot (a+b x))+\frac {1}{2} x \log \left (1-\frac {(1-c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c+i d}\right )-\frac {1}{2} x \log \left (1-\frac {(1+c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c-i d}\right )+\frac {1}{2} \int \log \left (1+\frac {(-1-c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c-i d}\right ) \, dx-\frac {1}{2} \int \log \left (1+\frac {(-1+c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c+i d}\right ) \, dx\\ &=x \tanh ^{-1}(c+d \cot (a+b x))+\frac {1}{2} x \log \left (1-\frac {(1-c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c+i d}\right )-\frac {1}{2} x \log \left (1-\frac {(1+c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c-i d}\right )-\frac {i \operatorname {Subst}\left (\int \frac {\log \left (1+\frac {(-1-c-i d) x}{1+c-i d}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i a+2 i b x}\right )}{4 b}+\frac {i \operatorname {Subst}\left (\int \frac {\log \left (1+\frac {(-1+c+i d) x}{1-c+i d}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i a+2 i b x}\right )}{4 b}\\ &=x \tanh ^{-1}(c+d \cot (a+b x))+\frac {1}{2} x \log \left (1-\frac {(1-c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c+i d}\right )-\frac {1}{2} x \log \left (1-\frac {(1+c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c-i d}\right )-\frac {i \text {Li}_2\left (\frac {(1-c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c+i d}\right )}{4 b}+\frac {i \text {Li}_2\left (\frac {(1+c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c-i d}\right )}{4 b}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [B]  time = 31.71, size = 4463, normalized size = 23.01 \[ \text {Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[ArcTanh[c + d*Cot[a + b*x]],x]

[Out]

x*ArcTanh[c + d*Cot[a + b*x]] - (d*(a*Log[-(Sec[(a + b*x)/2]^2*(d*Cos[a + b*x] + (-1 + c)*Sin[a + b*x]))] - a*
Log[-(Sec[(a + b*x)/2]^2*(d*Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + c*Sin[a + b*x]))] - (a + b*x)*Log[-((-1 + c + Sqrt[1
 - 2*c + c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b*x)/2]] - I*Log[(d*(-I + Tan[(a + b*x)/2]))/(-1 + c - I*d + Sqrt[1 - 2*c +
 c^2 + d^2])]*Log[-((-1 + c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b*x)/2]] + I*Log[(d*(I + Tan[(a + b*x)/
2]))/(-1 + c + I*d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])]*Log[-((-1 + c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b*x)
/2]] + (a + b*x)*Log[-((1 + c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b*x)/2]] + I*Log[(d*(-I + Tan[(a + b*
x)/2]))/(1 + c - I*d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])]*Log[-((1 + c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b*x
)/2]] - I*Log[(d*(I + Tan[(a + b*x)/2]))/(1 + c + I*d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])]*Log[-((1 + c + Sqrt[1 + 2*
c + c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b*x)/2]] - (a + b*x)*Log[(1 - c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2]
)/d] - I*Log[-((d*(-I + Tan[(a + b*x)/2]))/(1 - c + I*d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2]))]*Log[(1 - c + Sqrt[1 - 2
*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2])/d] + I*Log[-((d*(I + Tan[(a + b*x)/2]))/(1 - c - I*d + Sqrt[1 - 2*c + c^
2 + d^2]))]*Log[(1 - c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2])/d] + (a + b*x)*Log[(-1 - c + Sqrt[1 +
 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2])/d] + I*Log[-((d*(-I + Tan[(a + b*x)/2]))/(-1 - c + I*d + Sqrt[1 + 2*c
+ c^2 + d^2]))]*Log[(-1 - c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2])/d] - I*Log[-((d*(I + Tan[(a + b*
x)/2]))/(-1 - c - I*d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2]))]*Log[(-1 - c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)
/2])/d] - I*PolyLog[2, (-1 + c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] - d*Tan[(a + b*x)/2])/(-1 + c - I*d + Sqrt[1 - 2*c
+ c^2 + d^2])] + I*PolyLog[2, (-1 + c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] - d*Tan[(a + b*x)/2])/(-1 + c + I*d + Sqrt[1
 - 2*c + c^2 + d^2])] - I*PolyLog[2, (1 + c - Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] - d*Tan[(a + b*x)/2])/(1 + c + I*d - S
qrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])] + I*PolyLog[2, (1 + c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] - d*Tan[(a + b*x)/2])/(1 + c - I*
d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])] - I*PolyLog[2, (1 + c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] - d*Tan[(a + b*x)/2])/(1 + c
 + I*d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])] + I*PolyLog[2, (1 - c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2])/(
1 - c - I*d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])] - I*PolyLog[2, (1 - c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/
2])/(1 - c + I*d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])] + I*PolyLog[2, (-1 - c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a +
 b*x)/2])/(-1 - c + I*d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])])*((2*a)/(b*(1 - c^2 - d^2 - Cos[2*(a + b*x)] + c^2*Cos[2
*(a + b*x)] - d^2*Cos[2*(a + b*x)] - 2*c*d*Sin[2*(a + b*x)])) - (2*(a + b*x))/(b*(1 - c^2 - d^2 - Cos[2*(a + b
*x)] + c^2*Cos[2*(a + b*x)] - d^2*Cos[2*(a + b*x)] - 2*c*d*Sin[2*(a + b*x)]))))/(-Log[-((-1 + c + Sqrt[1 - 2*c
 + c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b*x)/2]] + Log[-((1 + c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b*x)/2]] - Log
[(1 - c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2])/d] + Log[(-1 - c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan
[(a + b*x)/2])/d] - ((I/2)*Log[-((-1 + c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b*x)/2]]*Sec[(a + b*x)/2]^
2)/(-I + Tan[(a + b*x)/2]) + ((I/2)*Log[-((1 + c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b*x)/2]]*Sec[(a +
b*x)/2]^2)/(-I + Tan[(a + b*x)/2]) - ((I/2)*Log[(1 - c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2])/d]*Se
c[(a + b*x)/2]^2)/(-I + Tan[(a + b*x)/2]) + ((I/2)*Log[(-1 - c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2
])/d]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(-I + Tan[(a + b*x)/2]) + ((I/2)*Log[-((-1 + c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])/d) + Tan
[(a + b*x)/2]]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(I + Tan[(a + b*x)/2]) - ((I/2)*Log[-((1 + c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])/d
) + Tan[(a + b*x)/2]]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(I + Tan[(a + b*x)/2]) + ((I/2)*Log[(1 - c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^
2] + d*Tan[(a + b*x)/2])/d]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(I + Tan[(a + b*x)/2]) - ((I/2)*Log[(-1 - c + Sqrt[1 + 2*c + c
^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2])/d]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(I + Tan[(a + b*x)/2]) - ((a + b*x)*Sec[(a + b*x)/2]^2)
/(2*(-((-1 + c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b*x)/2])) - ((I/2)*Log[(d*(-I + Tan[(a + b*x)/2]))/(
-1 + c - I*d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(-((-1 + c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])/d) + Ta
n[(a + b*x)/2]) + ((I/2)*Log[(d*(I + Tan[(a + b*x)/2]))/(-1 + c + I*d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b
*x)/2]^2)/(-((-1 + c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b*x)/2]) + ((a + b*x)*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(2*(
-((1 + c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b*x)/2])) + ((I/2)*Log[(d*(-I + Tan[(a + b*x)/2]))/(1 + c
- I*d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(-((1 + c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b
*x)/2]) - ((I/2)*Log[(d*(I + Tan[(a + b*x)/2]))/(1 + c + I*d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2)
/(-((1 + c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b*x)/2]) - ((I/2)*d*Log[1 - (-1 + c + Sqrt[1 - 2*c + c^2
 + d^2] - d*Tan[(a + b*x)/2])/(-1 + c - I*d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(-1 + c + Sqrt[1
 - 2*c + c^2 + d^2] - d*Tan[(a + b*x)/2]) + ((I/2)*d*Log[1 - (-1 + c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] - d*Tan[(a +
b*x)/2])/(-1 + c + I*d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(-1 + c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] -
 d*Tan[(a + b*x)/2]) - ((I/2)*d*Log[1 - (1 + c - Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] - d*Tan[(a + b*x)/2])/(1 + c + I*d
- Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(1 + c - Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] - d*Tan[(a + b*x)/2]) + (
(I/2)*d*Log[1 - (1 + c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] - d*Tan[(a + b*x)/2])/(1 + c - I*d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d
^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(1 + c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] - d*Tan[(a + b*x)/2]) - ((I/2)*d*Log[1 - (1 + c +
 Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] - d*Tan[(a + b*x)/2])/(1 + c + I*d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2
)/(1 + c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] - d*Tan[(a + b*x)/2]) - (d*(a + b*x)*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(2*(1 - c + Sqrt
[1 - 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2])) - ((I/2)*d*Log[-((d*(-I + Tan[(a + b*x)/2]))/(1 - c + I*d + Sqrt[
1 - 2*c + c^2 + d^2]))]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(1 - c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2]) + ((I/2)*
d*Log[-((d*(I + Tan[(a + b*x)/2]))/(1 - c - I*d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2]))]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(1 - c + Sq
rt[1 - 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2]) - ((I/2)*d*Log[1 - (1 - c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a
 + b*x)/2])/(1 - c - I*d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(1 - c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2]
+ d*Tan[(a + b*x)/2]) + ((I/2)*d*Log[1 - (1 - c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2])/(1 - c + I*d
 + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(1 - c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2]) +
(d*(a + b*x)*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(2*(-1 - c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2])) + ((I/2)*d*Log[
-((d*(-I + Tan[(a + b*x)/2]))/(-1 - c + I*d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2]))]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(-1 - c + Sqrt[
1 + 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2]) - ((I/2)*d*Log[-((d*(I + Tan[(a + b*x)/2]))/(-1 - c - I*d + Sqrt[1
+ 2*c + c^2 + d^2]))]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(-1 - c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2]) - ((I/2)*d
*Log[1 - (-1 - c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2])/(-1 - c + I*d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])]
*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(-1 - c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2]) - (a*Cos[(a + b*x)/2]^2*(-(Sec[
(a + b*x)/2]^2*((-1 + c)*Cos[a + b*x] - d*Sin[a + b*x])) - Sec[(a + b*x)/2]^2*(d*Cos[a + b*x] + (-1 + c)*Sin[a
 + b*x])*Tan[(a + b*x)/2]))/(d*Cos[a + b*x] + (-1 + c)*Sin[a + b*x]) + (a*Cos[(a + b*x)/2]^2*(-(Sec[(a + b*x)/
2]^2*(Cos[a + b*x] + c*Cos[a + b*x] - d*Sin[a + b*x])) - Sec[(a + b*x)/2]^2*(d*Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + c
*Sin[a + b*x])*Tan[(a + b*x)/2]))/(d*Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + c*Sin[a + b*x]))

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 1.00, size = 1099, normalized size = 5.66 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(arctanh(c+d*cot(b*x+a)),x, algorithm="fricas")

[Out]

1/8*(4*b*x*log(-(d*cos(2*b*x + 2*a) + (c + 1)*sin(2*b*x + 2*a) + d)/(d*cos(2*b*x + 2*a) + (c - 1)*sin(2*b*x +
2*a) + d)) + 2*a*log(1/2*c^2 + I*(c + 1)*d - 1/2*d^2 - 1/2*(c^2 + d^2 + 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + 1/2*(I*c^2
 + I*d^2 + 2*I*c + I)*sin(2*b*x + 2*a) + c + 1/2) - 2*a*log(1/2*c^2 + I*(c - 1)*d - 1/2*d^2 - 1/2*(c^2 + d^2 -
 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + 1/2*(I*c^2 + I*d^2 - 2*I*c + I)*sin(2*b*x + 2*a) - c + 1/2) + 2*a*log(-1/2*c^2 +
I*(c + 1)*d + 1/2*d^2 + 1/2*(c^2 + d^2 + 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + 1/2*(I*c^2 + I*d^2 + 2*I*c + I)*sin(2*b*x
 + 2*a) - c - 1/2) - 2*a*log(-1/2*c^2 + I*(c - 1)*d + 1/2*d^2 + 1/2*(c^2 + d^2 - 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + 1
/2*(I*c^2 + I*d^2 - 2*I*c + I)*sin(2*b*x + 2*a) + c - 1/2) - 2*(b*x + a)*log((c^2 + d^2 - (c^2 + 2*I*(c + 1)*d
 - d^2 + 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (-I*c^2 + 2*(c + 1)*d + I*d^2 - 2*I*c - I)*sin(2*b*x + 2*a) + 2*c + 1)/(c
^2 + d^2 + 2*c + 1)) - 2*(b*x + a)*log((c^2 + d^2 - (c^2 - 2*I*(c + 1)*d - d^2 + 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (
I*c^2 + 2*(c + 1)*d - I*d^2 + 2*I*c + I)*sin(2*b*x + 2*a) + 2*c + 1)/(c^2 + d^2 + 2*c + 1)) + 2*(b*x + a)*log(
(c^2 + d^2 - (c^2 + 2*I*(c - 1)*d - d^2 - 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (-I*c^2 + 2*(c - 1)*d + I*d^2 + 2*I*c -
I)*sin(2*b*x + 2*a) - 2*c + 1)/(c^2 + d^2 - 2*c + 1)) + 2*(b*x + a)*log((c^2 + d^2 - (c^2 - 2*I*(c - 1)*d - d^
2 - 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*c^2 + 2*(c - 1)*d - I*d^2 - 2*I*c + I)*sin(2*b*x + 2*a) - 2*c + 1)/(c^2 + d
^2 - 2*c + 1)) + I*dilog(-(c^2 + d^2 - (c^2 + 2*I*(c + 1)*d - d^2 + 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (-I*c^2 + 2*(c
 + 1)*d + I*d^2 - 2*I*c - I)*sin(2*b*x + 2*a) + 2*c + 1)/(c^2 + d^2 + 2*c + 1) + 1) - I*dilog(-(c^2 + d^2 - (c
^2 - 2*I*(c + 1)*d - d^2 + 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*c^2 + 2*(c + 1)*d - I*d^2 + 2*I*c + I)*sin(2*b*x + 2
*a) + 2*c + 1)/(c^2 + d^2 + 2*c + 1) + 1) - I*dilog(-(c^2 + d^2 - (c^2 + 2*I*(c - 1)*d - d^2 - 2*c + 1)*cos(2*
b*x + 2*a) + (-I*c^2 + 2*(c - 1)*d + I*d^2 + 2*I*c - I)*sin(2*b*x + 2*a) - 2*c + 1)/(c^2 + d^2 - 2*c + 1) + 1)
 + I*dilog(-(c^2 + d^2 - (c^2 - 2*I*(c - 1)*d - d^2 - 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*c^2 + 2*(c - 1)*d - I*d^2
 - 2*I*c + I)*sin(2*b*x + 2*a) - 2*c + 1)/(c^2 + d^2 - 2*c + 1) + 1))/b

________________________________________________________________________________________

giac [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \operatorname {artanh}\left (d \cot \left (b x + a\right ) + c\right )\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(arctanh(c+d*cot(b*x+a)),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(arctanh(d*cot(b*x + a) + c), x)

________________________________________________________________________________________

maple [B]  time = 0.47, size = 629, normalized size = 3.24 \[ -\frac {\arctanh \left (c +d \cot \left (b x +a \right )\right ) \pi }{2 b}+\frac {\arctanh \left (c +d \cot \left (b x +a \right )\right ) \mathrm {arccot}\left (\cot \left (b x +a \right )\right )}{b}+\frac {\arctan \left (\frac {c +d \cot \left (b x +a \right )}{d}-\frac {c}{d}\right ) \ln \left (d \left (\frac {c +d \cot \left (b x +a \right )}{d}-\frac {c}{d}\right )+c +1\right )}{2 b}-\frac {\arctan \left (\frac {c +d \cot \left (b x +a \right )}{d}-\frac {c}{d}\right ) \ln \left (d \left (\frac {c +d \cot \left (b x +a \right )}{d}-\frac {c}{d}\right )+c -1\right )}{2 b}+\frac {i \ln \left (d \left (\frac {c +d \cot \left (b x +a \right )}{d}-\frac {c}{d}\right )+c +1\right ) \ln \left (\frac {i d -d \left (\frac {c +d \cot \left (b x +a \right )}{d}-\frac {c}{d}\right )}{i d +c +1}\right )}{4 b}-\frac {i \ln \left (d \left (\frac {c +d \cot \left (b x +a \right )}{d}-\frac {c}{d}\right )+c +1\right ) \ln \left (\frac {i d +d \left (\frac {c +d \cot \left (b x +a \right )}{d}-\frac {c}{d}\right )}{i d -c -1}\right )}{4 b}+\frac {i \dilog \left (\frac {i d -d \left (\frac {c +d \cot \left (b x +a \right )}{d}-\frac {c}{d}\right )}{i d +c +1}\right )}{4 b}-\frac {i \dilog \left (\frac {i d +d \left (\frac {c +d \cot \left (b x +a \right )}{d}-\frac {c}{d}\right )}{i d -c -1}\right )}{4 b}-\frac {i \ln \left (d \left (\frac {c +d \cot \left (b x +a \right )}{d}-\frac {c}{d}\right )+c -1\right ) \ln \left (\frac {i d -d \left (\frac {c +d \cot \left (b x +a \right )}{d}-\frac {c}{d}\right )}{i d +c -1}\right )}{4 b}+\frac {i \ln \left (d \left (\frac {c +d \cot \left (b x +a \right )}{d}-\frac {c}{d}\right )+c -1\right ) \ln \left (\frac {i d +d \left (\frac {c +d \cot \left (b x +a \right )}{d}-\frac {c}{d}\right )}{i d -c +1}\right )}{4 b}-\frac {i \dilog \left (\frac {i d -d \left (\frac {c +d \cot \left (b x +a \right )}{d}-\frac {c}{d}\right )}{i d +c -1}\right )}{4 b}+\frac {i \dilog \left (\frac {i d +d \left (\frac {c +d \cot \left (b x +a \right )}{d}-\frac {c}{d}\right )}{i d -c +1}\right )}{4 b} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(arctanh(c+d*cot(b*x+a)),x)

[Out]

-1/2/b*arctanh(c+d*cot(b*x+a))*Pi+1/b*arctanh(c+d*cot(b*x+a))*arccot(cot(b*x+a))+1/2/b*arctan((c+d*cot(b*x+a))
/d-c/d)*ln(d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)+c+1)-1/2/b*arctan((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)*ln(d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)+
c-1)+1/4*I/b*ln(d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)+c+1)*ln((I*d-d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d))/(1+c+I*d))-1/4*I/b*ln(d*((
c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)+c+1)*ln((I*d+d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d))/(I*d-c-1))+1/4*I/b*dilog((I*d-d*((c+d*cot(b*x+
a))/d-c/d))/(1+c+I*d))-1/4*I/b*dilog((I*d+d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d))/(I*d-c-1))-1/4*I/b*ln(d*((c+d*cot(b*x+a)
)/d-c/d)+c-1)*ln((I*d-d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d))/(I*d+c-1))+1/4*I/b*ln(d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)+c-1)*ln((I*
d+d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d))/(1-c+I*d))-1/4*I/b*dilog((I*d-d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d))/(I*d+c-1))+1/4*I/b*dil
og((I*d+d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d))/(1-c+I*d))

________________________________________________________________________________________

maxima [B]  time = 0.53, size = 392, normalized size = 2.02 \[ \frac {4 \, {\left (b x + a\right )} \operatorname {artanh}\left (c + \frac {d}{\tan \left (b x + a\right )}\right ) + {\left (\arctan \left (\frac {{\left (c + 1\right )} d + {\left (c^{2} + 2 \, c + 1\right )} \tan \left (b x + a\right )}{c^{2} + d^{2} + 2 \, c + 1}, \frac {{\left (c + 1\right )} d \tan \left (b x + a\right ) + d^{2}}{c^{2} + d^{2} + 2 \, c + 1}\right ) - \arctan \left (\frac {{\left (c - 1\right )} d + {\left (c^{2} - 2 \, c + 1\right )} \tan \left (b x + a\right )}{c^{2} + d^{2} - 2 \, c + 1}, \frac {{\left (c - 1\right )} d \tan \left (b x + a\right ) + d^{2}}{c^{2} + d^{2} - 2 \, c + 1}\right )\right )} \log \left (\tan \left (b x + a\right )^{2} + 1\right ) - {\left (b x + a\right )} \log \left (\frac {2 \, {\left (c + 1\right )} d \tan \left (b x + a\right ) + {\left (c^{2} + 2 \, c + 1\right )} \tan \left (b x + a\right )^{2} + d^{2}}{c^{2} + d^{2} + 2 \, c + 1}\right ) + {\left (b x + a\right )} \log \left (\frac {2 \, {\left (c - 1\right )} d \tan \left (b x + a\right ) + {\left (c^{2} - 2 \, c + 1\right )} \tan \left (b x + a\right )^{2} + d^{2}}{c^{2} + d^{2} - 2 \, c + 1}\right ) + i \, {\rm Li}_2\left (-\frac {{\left (c + 1\right )} \tan \left (b x + a\right ) - i \, c - i}{i \, c + d + i}\right ) - i \, {\rm Li}_2\left (-\frac {{\left (c - 1\right )} \tan \left (b x + a\right ) - i \, c + i}{i \, c + d - i}\right ) + i \, {\rm Li}_2\left (-\frac {{\left (c - 1\right )} \tan \left (b x + a\right ) + i \, c - i}{-i \, c + d + i}\right ) - i \, {\rm Li}_2\left (-\frac {{\left (c + 1\right )} \tan \left (b x + a\right ) + i \, c + i}{-i \, c + d - i}\right )}{4 \, b} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(arctanh(c+d*cot(b*x+a)),x, algorithm="maxima")

[Out]

1/4*(4*(b*x + a)*arctanh(c + d/tan(b*x + a)) + (arctan2(((c + 1)*d + (c^2 + 2*c + 1)*tan(b*x + a))/(c^2 + d^2
+ 2*c + 1), ((c + 1)*d*tan(b*x + a) + d^2)/(c^2 + d^2 + 2*c + 1)) - arctan2(((c - 1)*d + (c^2 - 2*c + 1)*tan(b
*x + a))/(c^2 + d^2 - 2*c + 1), ((c - 1)*d*tan(b*x + a) + d^2)/(c^2 + d^2 - 2*c + 1)))*log(tan(b*x + a)^2 + 1)
 - (b*x + a)*log((2*(c + 1)*d*tan(b*x + a) + (c^2 + 2*c + 1)*tan(b*x + a)^2 + d^2)/(c^2 + d^2 + 2*c + 1)) + (b
*x + a)*log((2*(c - 1)*d*tan(b*x + a) + (c^2 - 2*c + 1)*tan(b*x + a)^2 + d^2)/(c^2 + d^2 - 2*c + 1)) + I*dilog
(-((c + 1)*tan(b*x + a) - I*c - I)/(I*c + d + I)) - I*dilog(-((c - 1)*tan(b*x + a) - I*c + I)/(I*c + d - I)) +
 I*dilog(-((c - 1)*tan(b*x + a) + I*c - I)/(-I*c + d + I)) - I*dilog(-((c + 1)*tan(b*x + a) + I*c + I)/(-I*c +
 d - I)))/b

________________________________________________________________________________________

mupad [F]  time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.01 \[ \int \mathrm {atanh}\left (c+d\,\mathrm {cot}\left (a+b\,x\right )\right ) \,d x \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(atanh(c + d*cot(a + b*x)),x)

[Out]

int(atanh(c + d*cot(a + b*x)), x)

________________________________________________________________________________________

sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \operatorname {atanh}{\left (c + d \cot {\left (a + b x \right )} \right )}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(atanh(c+d*cot(b*x+a)),x)

[Out]

Integral(atanh(c + d*cot(a + b*x)), x)

________________________________________________________________________________________

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]