3.205 \(\int \tanh (x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)+c \tanh ^4(x)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=132 \[ -\frac {1}{2} \sqrt {a+b \tanh ^2(x)+c \tanh ^4(x)}-\frac {(b+2 c) \tanh ^{-1}\left (\frac {b+2 c \tanh ^2(x)}{2 \sqrt {c} \sqrt {a+b \tanh ^2(x)+c \tanh ^4(x)}}\right )}{4 \sqrt {c}}+\frac {1}{2} \sqrt {a+b+c} \tanh ^{-1}\left (\frac {2 a+(b+2 c) \tanh ^2(x)+b}{2 \sqrt {a+b+c} \sqrt {a+b \tanh ^2(x)+c \tanh ^4(x)}}\right ) \]

[Out]

-1/4*(b+2*c)*arctanh(1/2*(b+2*c*tanh(x)^2)/c^(1/2)/(a+b*tanh(x)^2+c*tanh(x)^4)^(1/2))/c^(1/2)+1/2*arctanh(1/2*
(2*a+b+(b+2*c)*tanh(x)^2)/(a+b+c)^(1/2)/(a+b*tanh(x)^2+c*tanh(x)^4)^(1/2))*(a+b+c)^(1/2)-1/2*(a+b*tanh(x)^2+c*
tanh(x)^4)^(1/2)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.23, antiderivative size = 132, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 8, number of rules used = 7, integrand size = 21, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.333, Rules used = {3700, 1247, 734, 843, 621, 206, 724} \[ -\frac {(b+2 c) \tanh ^{-1}\left (\frac {b+2 c \tanh ^2(x)}{2 \sqrt {c} \sqrt {a+b \tanh ^2(x)+c \tanh ^4(x)}}\right )}{4 \sqrt {c}}+\frac {1}{2} \sqrt {a+b+c} \tanh ^{-1}\left (\frac {2 a+(b+2 c) \tanh ^2(x)+b}{2 \sqrt {a+b+c} \sqrt {a+b \tanh ^2(x)+c \tanh ^4(x)}}\right )-\frac {1}{2} \sqrt {a+b \tanh ^2(x)+c \tanh ^4(x)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Tanh[x]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4],x]

[Out]

-((b + 2*c)*ArcTanh[(b + 2*c*Tanh[x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4])])/(4*Sqrt[c]) + (Sqrt[
a + b + c]*ArcTanh[(2*a + b + (b + 2*c)*Tanh[x]^2)/(2*Sqrt[a + b + c]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4])])/2
- Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4]/2

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 621

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Dist[2, Subst[Int[1/(4*c - x^2), x], x, (b + 2*c*x)
/Sqrt[a + b*x + c*x^2]], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

Rule 724

Int[1/(((d_.) + (e_.)*(x_))*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Dist[-2, Subst[Int[1/(4*c*d
^2 - 4*b*d*e + 4*a*e^2 - x^2), x], x, (2*a*e - b*d - (2*c*d - b*e)*x)/Sqrt[a + b*x + c*x^2]], x] /; FreeQ[{a,
b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[2*c*d - b*e, 0]

Rule 734

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[((d + e*x)^(m + 1)*(
a + b*x + c*x^2)^p)/(e*(m + 2*p + 1)), x] - Dist[p/(e*(m + 2*p + 1)), Int[(d + e*x)^m*Simp[b*d - 2*a*e + (2*c*
d - b*e)*x, x]*(a + b*x + c*x^2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ
[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && NeQ[2*c*d - b*e, 0] && GtQ[p, 0] && NeQ[m + 2*p + 1, 0] && ( !RationalQ[m] || Lt
Q[m, 1]) &&  !ILtQ[m + 2*p, 0] && IntQuadraticQ[a, b, c, d, e, m, p, x]

Rule 843

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Dis
t[g/e, Int[(d + e*x)^(m + 1)*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] + Dist[(e*f - d*g)/e, Int[(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^
2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0]
&&  !IGtQ[m, 0]

Rule 1247

Int[(x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Dist[1/2, Subst[
Int[(d + e*x)^q*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x, x^2], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p, q}, x]

Rule 3700

Int[tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + (b_.)*((f_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_.) + (c_.)*((f_.)*tan[(d_.
) + (e_.)*(x_)])^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> Dist[f/e, Subst[Int[((x/f)^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p)/(f^2 + x^2
), x], x, f*Tan[d + e*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

Rubi steps

\begin {align*} \int \tanh (x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)+c \tanh ^4(x)} \, dx &=-\operatorname {Subst}\left (\int \frac {x \sqrt {a-b x^2+c x^4}}{1+x^2} \, dx,x,i \tanh (x)\right )\\ &=-\left (\frac {1}{2} \operatorname {Subst}\left (\int \frac {\sqrt {a-b x+c x^2}}{1+x} \, dx,x,-\tanh ^2(x)\right )\right )\\ &=-\frac {1}{2} \sqrt {a+b \tanh ^2(x)+c \tanh ^4(x)}+\frac {1}{4} \operatorname {Subst}\left (\int \frac {-2 a-b+(b+2 c) x}{(1+x) \sqrt {a-b x+c x^2}} \, dx,x,-\tanh ^2(x)\right )\\ &=-\frac {1}{2} \sqrt {a+b \tanh ^2(x)+c \tanh ^4(x)}+\frac {1}{2} (-a-b-c) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{(1+x) \sqrt {a-b x+c x^2}} \, dx,x,-\tanh ^2(x)\right )+\frac {1}{4} (b+2 c) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{\sqrt {a-b x+c x^2}} \, dx,x,-\tanh ^2(x)\right )\\ &=-\frac {1}{2} \sqrt {a+b \tanh ^2(x)+c \tanh ^4(x)}+(a+b+c) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{4 a+4 b+4 c-x^2} \, dx,x,\frac {2 a+b+(b+2 c) \tanh ^2(x)}{\sqrt {a+b \tanh ^2(x)+c \tanh ^4(x)}}\right )+\frac {1}{2} (b+2 c) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{4 c-x^2} \, dx,x,\frac {-b-2 c \tanh ^2(x)}{\sqrt {a+b \tanh ^2(x)+c \tanh ^4(x)}}\right )\\ &=-\frac {(b+2 c) \tanh ^{-1}\left (\frac {b+2 c \tanh ^2(x)}{2 \sqrt {c} \sqrt {a+b \tanh ^2(x)+c \tanh ^4(x)}}\right )}{4 \sqrt {c}}+\frac {1}{2} \sqrt {a+b+c} \tanh ^{-1}\left (\frac {2 a+b+(b+2 c) \tanh ^2(x)}{2 \sqrt {a+b+c} \sqrt {a+b \tanh ^2(x)+c \tanh ^4(x)}}\right )-\frac {1}{2} \sqrt {a+b \tanh ^2(x)+c \tanh ^4(x)}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 0.35, size = 131, normalized size = 0.99 \[ \frac {1}{4} \left (-2 \sqrt {a+b \tanh ^2(x)+c \tanh ^4(x)}+\frac {(b+2 c) \tanh ^{-1}\left (\frac {-b-2 c \tanh ^2(x)}{2 \sqrt {c} \sqrt {a+b \tanh ^2(x)+c \tanh ^4(x)}}\right )}{\sqrt {c}}+2 \sqrt {a+b+c} \tanh ^{-1}\left (\frac {2 a+(b+2 c) \tanh ^2(x)+b}{2 \sqrt {a+b+c} \sqrt {a+b \tanh ^2(x)+c \tanh ^4(x)}}\right )\right ) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Tanh[x]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4],x]

[Out]

(((b + 2*c)*ArcTanh[(-b - 2*c*Tanh[x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4])])/Sqrt[c] + 2*Sqrt[a
+ b + c]*ArcTanh[(2*a + b + (b + 2*c)*Tanh[x]^2)/(2*Sqrt[a + b + c]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4])] - 2*
Sqrt[a + b*Tanh[x]^2 + c*Tanh[x]^4])/4

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 3.80, size = 7896, normalized size = 59.82 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tanh(x)^2+c*tanh(x)^4)^(1/2)*tanh(x),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/8*(((b + 2*c)*cosh(x)^4 + 4*(b + 2*c)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (b + 2*c)*sinh(x)^4 + 2*(b + 2*c)*cosh(x)^2 + 2*(
3*(b + 2*c)*cosh(x)^2 + b + 2*c)*sinh(x)^2 + 4*((b + 2*c)*cosh(x)^3 + (b + 2*c)*cosh(x))*sinh(x) + b + 2*c)*sq
rt(c)*log(((b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2)*cosh(x)^8 + 8*(b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (b^2
+ 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2)*sinh(x)^8 + 4*(b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2)*co
sh(x)^2 + b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2)*cosh(x)^3 + 3*(b^2 + 4*a*c - 8*c
^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*b^2 + 4*(3*a - 2*b)*c + 24*c^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2)*
cosh(x)^4 + 30*(b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*cosh(x)^2 + 3*b^2 + 4*(3*a - 2*b)*c + 24*c^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(b^2 + 4*(
a + 2*b)*c + 8*c^2)*cosh(x)^5 + 10*(b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*cosh(x)^3 + (3*b^2 + 4*(3*a - 2*b)*c + 24*c^2)*cosh(x
))*sinh(x)^3 + 4*(b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2)*cosh(x)^6 + 15*(b^2 + 4*
a*c - 8*c^2)*cosh(x)^4 + 3*(3*b^2 + 4*(3*a - 2*b)*c + 24*c^2)*cosh(x)^2 + b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*sinh(x)^2 - 4*s
qrt(2)*((b + 2*c)*cosh(x)^4 + 4*(b + 2*c)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (b + 2*c)*sinh(x)^4 + 2*(b - 2*c)*cosh(x)^2 + 2*
(3*(b + 2*c)*cosh(x)^2 + b - 2*c)*sinh(x)^2 + 4*((b + 2*c)*cosh(x)^3 + (b - 2*c)*cosh(x))*sinh(x) + b + 2*c)*s
qrt(c)*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b + c)*sinh(x)^4 + 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2
+ 2*a - 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*s
inh(x)^3 + sinh(x)^4)) + b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2 + 8*((b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2)*cosh(x)^7 + 3*(b^2 + 4
*a*c - 8*c^2)*cosh(x)^5 + (3*b^2 + 4*(3*a - 2*b)*c + 24*c^2)*cosh(x)^3 + (b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*cosh(x))*sinh(x
))/(cosh(x)^8 + 8*cosh(x)*sinh(x)^7 + sinh(x)^8 + 4*(7*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^6 + 4*cosh(x)^6 + 8*(7*cosh(x)^3
+ 3*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*cosh(x)^4 + 30*cosh(x)^2 + 3)*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)^4 + 8*(7*cosh(x)^5 + 10*co
sh(x)^3 + 3*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*cosh(x)^6 + 15*cosh(x)^4 + 9*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 4*cosh(x)^2 + 8*
(cosh(x)^7 + 3*cosh(x)^5 + 3*cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)) + 2*(c*cosh(x)^4 + 4*c*cosh(x)*sinh(x)^3 + c*s
inh(x)^4 + 2*c*cosh(x)^2 + 2*(3*c*cosh(x)^2 + c)*sinh(x)^2 + 4*(c*cosh(x)^3 + c*cosh(x))*sinh(x) + c)*sqrt(a +
b + c)*log(((a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cos
h(x)*sinh(x)^7 + (a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*sinh(x)^8 + 4*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^6 + 4*(
7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^2 + a^2 + a*b - b*c - c^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b
^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b
)*c + 3*c^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^4 + 30*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*
cosh(x)^2 + 3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh
(x)^5 + 10*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(a
^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^6 + 15*(a^2 + a*b - b*c
- c^2)*cosh(x)^4 + 3*(3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^2 + a^2 + a*b - b*c - c^2)*sinh(x)^2 + sqr
t(2)*((a + b + c)*cosh(x)^4 + 4*(a + b + c)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b + c)*sinh(x)^4 + 2*(a - c)*cosh(x)^2 +
2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 + a - c)*sinh(x)^2 + 4*((a + b + c)*cosh(x)^3 + (a - c)*cosh(x))*sinh(x) + a + b +
c)*sqrt(a + b + c)*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b + c)*sinh(x)^4 + 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c
)*cosh(x)^2 + 2*a - 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 -
4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)) + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2 + 8*((a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)
*c + c^2)*cosh(x)^7 + 3*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^5 + (3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^3 +
(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 + 4*cosh(x)
*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)) - 4*sqrt(2)*c*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b + c)*sinh(x)^4 + 4*(a - c)*cosh(x)
^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 + 2*a - 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*c
osh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)))/(c*cosh(x)^4 + 4*c*cosh(x)*sinh(x)^3 + c*sinh(x)^4 + 2
*c*cosh(x)^2 + 2*(3*c*cosh(x)^2 + c)*sinh(x)^2 + 4*(c*cosh(x)^3 + c*cosh(x))*sinh(x) + c), -1/8*(4*(c*cosh(x)^
4 + 4*c*cosh(x)*sinh(x)^3 + c*sinh(x)^4 + 2*c*cosh(x)^2 + 2*(3*c*cosh(x)^2 + c)*sinh(x)^2 + 4*(c*cosh(x)^3 + c
*cosh(x))*sinh(x) + c)*sqrt(-a - b - c)*arctan(sqrt(2)*((a + b + c)*cosh(x)^4 + 4*(a + b + c)*cosh(x)*sinh(x)^
3 + (a + b + c)*sinh(x)^4 + 2*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 + a - c)*sinh(x)^2 + 4*((a + b +
c)*cosh(x)^3 + (a - c)*cosh(x))*sinh(x) + a + b + c)*sqrt(-a - b - c)*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b + c
)*sinh(x)^4 + 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 + 2*a - 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh(x
)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4))/((a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*
(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^2 + 2*a*b + b^2
+ 2*(a + b)*c + c^2)*sinh(x)^8 + 4*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c +
c^2)*cosh(x)^2 + a^2 + a*b - b*c - c^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^3 +
3*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^4 + 2*(
35*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^4 + 30*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 2*a*b -
b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^5 + 10*(a^2 + a*
b - b*c - c^2)*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(a^2 + a*b - b
*c - c^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^6 + 15*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh
(x)^4 + 3*(3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^2 + a^2 + a*b - b*c - c^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2
*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2 + 8*((a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^7 + 3*(a^2 + a*b - b*c - c
^2)*cosh(x)^5 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^3 + (a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x))*sin
h(x))) - ((b + 2*c)*cosh(x)^4 + 4*(b + 2*c)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (b + 2*c)*sinh(x)^4 + 2*(b + 2*c)*cosh(x)^2 +
2*(3*(b + 2*c)*cosh(x)^2 + b + 2*c)*sinh(x)^2 + 4*((b + 2*c)*cosh(x)^3 + (b + 2*c)*cosh(x))*sinh(x) + b + 2*c)
*sqrt(c)*log(((b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2)*cosh(x)^8 + 8*(b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (b
^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2)*sinh(x)^8 + 4*(b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2)
*cosh(x)^2 + b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2)*cosh(x)^3 + 3*(b^2 + 4*a*c -
8*c^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*b^2 + 4*(3*a - 2*b)*c + 24*c^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^
2)*cosh(x)^4 + 30*(b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*cosh(x)^2 + 3*b^2 + 4*(3*a - 2*b)*c + 24*c^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(b^2 +
4*(a + 2*b)*c + 8*c^2)*cosh(x)^5 + 10*(b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*cosh(x)^3 + (3*b^2 + 4*(3*a - 2*b)*c + 24*c^2)*cos
h(x))*sinh(x)^3 + 4*(b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2)*cosh(x)^6 + 15*(b^2 +
4*a*c - 8*c^2)*cosh(x)^4 + 3*(3*b^2 + 4*(3*a - 2*b)*c + 24*c^2)*cosh(x)^2 + b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*sinh(x)^2 -
4*sqrt(2)*((b + 2*c)*cosh(x)^4 + 4*(b + 2*c)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (b + 2*c)*sinh(x)^4 + 2*(b - 2*c)*cosh(x)^2 +
2*(3*(b + 2*c)*cosh(x)^2 + b - 2*c)*sinh(x)^2 + 4*((b + 2*c)*cosh(x)^3 + (b - 2*c)*cosh(x))*sinh(x) + b + 2*c
)*sqrt(c)*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b + c)*sinh(x)^4 + 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)
^2 + 2*a - 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x
)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)) + b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2 + 8*((b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2)*cosh(x)^7 + 3*(b^2
+ 4*a*c - 8*c^2)*cosh(x)^5 + (3*b^2 + 4*(3*a - 2*b)*c + 24*c^2)*cosh(x)^3 + (b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*cosh(x))*sin
h(x))/(cosh(x)^8 + 8*cosh(x)*sinh(x)^7 + sinh(x)^8 + 4*(7*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^6 + 4*cosh(x)^6 + 8*(7*cosh(x
)^3 + 3*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*cosh(x)^4 + 30*cosh(x)^2 + 3)*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)^4 + 8*(7*cosh(x)^5 + 10
*cosh(x)^3 + 3*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*cosh(x)^6 + 15*cosh(x)^4 + 9*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 4*cosh(x)^2 +
8*(cosh(x)^7 + 3*cosh(x)^5 + 3*cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)) + 4*sqrt(2)*c*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 +
(a + b + c)*sinh(x)^4 + 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 + 2*a - 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3
*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)))/(c*cosh(x)^4
+ 4*c*cosh(x)*sinh(x)^3 + c*sinh(x)^4 + 2*c*cosh(x)^2 + 2*(3*c*cosh(x)^2 + c)*sinh(x)^2 + 4*(c*cosh(x)^3 + c*
cosh(x))*sinh(x) + c), 1/4*(((b + 2*c)*cosh(x)^4 + 4*(b + 2*c)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (b + 2*c)*sinh(x)^4 + 2*(b
+ 2*c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(b + 2*c)*cosh(x)^2 + b + 2*c)*sinh(x)^2 + 4*((b + 2*c)*cosh(x)^3 + (b + 2*c)*cosh(x))
*sinh(x) + b + 2*c)*sqrt(-c)*arctan(1/2*sqrt(2)*((b + 2*c)*cosh(x)^4 + 4*(b + 2*c)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (b + 2*
c)*sinh(x)^4 + 2*(b - 2*c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(b + 2*c)*cosh(x)^2 + b - 2*c)*sinh(x)^2 + 4*((b + 2*c)*cosh(x)^3
+ (b - 2*c)*cosh(x))*sinh(x) + b + 2*c)*sqrt(-c)*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b + c)*sinh(x)^4 + 4*(a -
c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 + 2*a - 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sin
h(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4))/(((a + b)*c + c^2)*cosh(x)^8 + 8*((a + b)*c +
c^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + ((a + b)*c + c^2)*sinh(x)^8 + 4*(a*c - c^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*((a + b)*c + c^2)*cosh(
x)^2 + a*c - c^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*((a + b)*c + c^2)*cosh(x)^3 + 3*(a*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*((3*a -
b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*((a + b)*c + c^2)*cosh(x)^4 + 30*(a*c - c^2)*cosh(x)^2 + (3*a - b)*c + 3*c^2)*
sinh(x)^4 + 8*(7*((a + b)*c + c^2)*cosh(x)^5 + 10*(a*c - c^2)*cosh(x)^3 + ((3*a - b)*c + 3*c^2)*cosh(x))*sinh(
x)^3 + 4*(a*c - c^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*((a + b)*c + c^2)*cosh(x)^6 + 15*(a*c - c^2)*cosh(x)^4 + 3*((3*a - b)*c
+ 3*c^2)*cosh(x)^2 + a*c - c^2)*sinh(x)^2 + (a + b)*c + c^2 + 8*(((a + b)*c + c^2)*cosh(x)^7 + 3*(a*c - c^2)*c
osh(x)^5 + ((3*a - b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^3 + (a*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x))) + (c*cosh(x)^4 + 4*c*cosh(x)*sinh(
x)^3 + c*sinh(x)^4 + 2*c*cosh(x)^2 + 2*(3*c*cosh(x)^2 + c)*sinh(x)^2 + 4*(c*cosh(x)^3 + c*cosh(x))*sinh(x) + c
)*sqrt(a + b + c)*log(((a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c
+ c^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*sinh(x)^8 + 4*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(
x)^6 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^2 + a^2 + a*b - b*c - c^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 +
2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2 + 2*a*b
+ 2*(a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^4 + 30*(a^2 + a*b - b
*c - c^2)*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c +
c^2)*cosh(x)^5 + 10*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x))*sinh(x
)^3 + 4*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^6 + 15*(a^2 +
a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^4 + 3*(3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^2 + a^2 + a*b - b*c - c^2)*sinh(
x)^2 + sqrt(2)*((a + b + c)*cosh(x)^4 + 4*(a + b + c)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b + c)*sinh(x)^4 + 2*(a - c)*co
sh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 + a - c)*sinh(x)^2 + 4*((a + b + c)*cosh(x)^3 + (a - c)*cosh(x))*sinh(x)
+ a + b + c)*sqrt(a + b + c)*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b + c)*sinh(x)^4 + 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*
(a + b + c)*cosh(x)^2 + 2*a - 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*s
inh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)) + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2 + 8*((a^2 + 2*a*b + b^2 +
2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^7 + 3*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^5 + (3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*co
sh(x)^3 + (a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 +
4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)) - 2*sqrt(2)*c*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b + c)*sinh(x)^4 + 4*(a -
c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 + 2*a - 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sin
h(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)))/(c*cosh(x)^4 + 4*c*cosh(x)*sinh(x)^3 + c*sin
h(x)^4 + 2*c*cosh(x)^2 + 2*(3*c*cosh(x)^2 + c)*sinh(x)^2 + 4*(c*cosh(x)^3 + c*cosh(x))*sinh(x) + c), -1/4*(2*(
c*cosh(x)^4 + 4*c*cosh(x)*sinh(x)^3 + c*sinh(x)^4 + 2*c*cosh(x)^2 + 2*(3*c*cosh(x)^2 + c)*sinh(x)^2 + 4*(c*cos
h(x)^3 + c*cosh(x))*sinh(x) + c)*sqrt(-a - b - c)*arctan(sqrt(2)*((a + b + c)*cosh(x)^4 + 4*(a + b + c)*cosh(x
)*sinh(x)^3 + (a + b + c)*sinh(x)^4 + 2*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 + a - c)*sinh(x)^2 + 4*
((a + b + c)*cosh(x)^3 + (a - c)*cosh(x))*sinh(x) + a + b + c)*sqrt(-a - b - c)*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 +
(a + b + c)*sinh(x)^4 + 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 + 2*a - 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*
c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4))/((a^2 + 2*a*b
+ b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^2 + 2*
a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*sinh(x)^8 + 4*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(
a + b)*c + c^2)*cosh(x)^2 + a^2 + a*b - b*c - c^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*co
sh(x)^3 + 3*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*cosh(
x)^4 + 2*(35*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^4 + 30*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^2 + 3*a^2
+ 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^5 + 10
*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(a^2
+ a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^6 + 15*(a^2 + a*b - b*c -
c^2)*cosh(x)^4 + 3*(3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^2 + a^2 + a*b - b*c - c^2)*sinh(x)^2
+ a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2 + 8*((a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^7 + 3*(a^2 + a*b
- b*c - c^2)*cosh(x)^5 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^3 + (a^2 + a*b - b*c - c^2)*co
sh(x))*sinh(x))) - ((b + 2*c)*cosh(x)^4 + 4*(b + 2*c)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (b + 2*c)*sinh(x)^4 + 2*(b + 2*c)*co
sh(x)^2 + 2*(3*(b + 2*c)*cosh(x)^2 + b + 2*c)*sinh(x)^2 + 4*((b + 2*c)*cosh(x)^3 + (b + 2*c)*cosh(x))*sinh(x)
+ b + 2*c)*sqrt(-c)*arctan(1/2*sqrt(2)*((b + 2*c)*cosh(x)^4 + 4*(b + 2*c)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (b + 2*c)*sinh(x
)^4 + 2*(b - 2*c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(b + 2*c)*cosh(x)^2 + b - 2*c)*sinh(x)^2 + 4*((b + 2*c)*cosh(x)^3 + (b - 2*
c)*cosh(x))*sinh(x) + b + 2*c)*sqrt(-c)*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b + c)*sinh(x)^4 + 4*(a - c)*cosh(x
)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 + 2*a - 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*
cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4))/(((a + b)*c + c^2)*cosh(x)^8 + 8*((a + b)*c + c^2)*cos
h(x)*sinh(x)^7 + ((a + b)*c + c^2)*sinh(x)^8 + 4*(a*c - c^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*((a + b)*c + c^2)*cosh(x)^2 + a*
c - c^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*((a + b)*c + c^2)*cosh(x)^3 + 3*(a*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*((3*a - b)*c + 3*
c^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*((a + b)*c + c^2)*cosh(x)^4 + 30*(a*c - c^2)*cosh(x)^2 + (3*a - b)*c + 3*c^2)*sinh(x)^4
+ 8*(7*((a + b)*c + c^2)*cosh(x)^5 + 10*(a*c - c^2)*cosh(x)^3 + ((3*a - b)*c + 3*c^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*
(a*c - c^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*((a + b)*c + c^2)*cosh(x)^6 + 15*(a*c - c^2)*cosh(x)^4 + 3*((3*a - b)*c + 3*c^2)*
cosh(x)^2 + a*c - c^2)*sinh(x)^2 + (a + b)*c + c^2 + 8*(((a + b)*c + c^2)*cosh(x)^7 + 3*(a*c - c^2)*cosh(x)^5
+ ((3*a - b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^3 + (a*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x))) + 2*sqrt(2)*c*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 +
(a + b + c)*sinh(x)^4 + 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 + 2*a - 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3
*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)))/(c*cosh(x)^4
+ 4*c*cosh(x)*sinh(x)^3 + c*sinh(x)^4 + 2*c*cosh(x)^2 + 2*(3*c*cosh(x)^2 + c)*sinh(x)^2 + 4*(c*cosh(x)^3 + c*
cosh(x))*sinh(x) + c)]

________________________________________________________________________________________

giac [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \sqrt {c \tanh \relax (x)^{4} + b \tanh \relax (x)^{2} + a} \tanh \relax (x)\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tanh(x)^2+c*tanh(x)^4)^(1/2)*tanh(x),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(sqrt(c*tanh(x)^4 + b*tanh(x)^2 + a)*tanh(x), x)

________________________________________________________________________________________

maple [C]  time = 0.18, size = 559, normalized size = 4.23 \[ -\frac {\sqrt {a +b \left (\tanh ^{2}\relax (x )\right )+c \left (\tanh ^{4}\relax (x )\right )}}{2}-\frac {\left (b +c \right ) \sqrt {2}\, \sqrt {4-\frac {2 \left (-b +\sqrt {-4 a c +b^{2}}\right ) \left (\tanh ^{2}\relax (x )\right )}{a}}\, \sqrt {4+\frac {2 \left (b +\sqrt {-4 a c +b^{2}}\right ) \left (\tanh ^{2}\relax (x )\right )}{a}}\, \EllipticF \left (\frac {\tanh \relax (x ) \sqrt {2}\, \sqrt {\frac {-b +\sqrt {-4 a c +b^{2}}}{a}}}{2}, \frac {\sqrt {-4+\frac {2 b \left (b +\sqrt {-4 a c +b^{2}}\right )}{a c}}}{2}\right )}{8 \sqrt {\frac {-b +\sqrt {-4 a c +b^{2}}}{a}}\, \sqrt {a +b \left (\tanh ^{2}\relax (x )\right )+c \left (\tanh ^{4}\relax (x )\right )}}-\frac {\ln \left (\frac {b +2 c \left (\tanh ^{2}\relax (x )\right )}{\sqrt {c}}+2 \sqrt {a +b \left (\tanh ^{2}\relax (x )\right )+c \left (\tanh ^{4}\relax (x )\right )}\right ) \sqrt {c}}{2}-\frac {\ln \left (\frac {b +2 c \left (\tanh ^{2}\relax (x )\right )}{\sqrt {c}}+2 \sqrt {a +b \left (\tanh ^{2}\relax (x )\right )+c \left (\tanh ^{4}\relax (x )\right )}\right ) b}{4 \sqrt {c}}+\frac {a \arctanh \left (\frac {b \left (\tanh ^{2}\relax (x )\right )+2 c \left (\tanh ^{2}\relax (x )\right )+2 a +b}{2 \sqrt {a +b +c}\, \sqrt {a +b \left (\tanh ^{2}\relax (x )\right )+c \left (\tanh ^{4}\relax (x )\right )}}\right )}{2 \sqrt {a +b +c}}+\frac {b \arctanh \left (\frac {b \left (\tanh ^{2}\relax (x )\right )+2 c \left (\tanh ^{2}\relax (x )\right )+2 a +b}{2 \sqrt {a +b +c}\, \sqrt {a +b \left (\tanh ^{2}\relax (x )\right )+c \left (\tanh ^{4}\relax (x )\right )}}\right )}{2 \sqrt {a +b +c}}+\frac {c \arctanh \left (\frac {b \left (\tanh ^{2}\relax (x )\right )+2 c \left (\tanh ^{2}\relax (x )\right )+2 a +b}{2 \sqrt {a +b +c}\, \sqrt {a +b \left (\tanh ^{2}\relax (x )\right )+c \left (\tanh ^{4}\relax (x )\right )}}\right )}{2 \sqrt {a +b +c}}-\frac {\left (-b -c \right ) \sqrt {2}\, \sqrt {4-\frac {2 \left (-b +\sqrt {-4 a c +b^{2}}\right ) \left (\tanh ^{2}\relax (x )\right )}{a}}\, \sqrt {4+\frac {2 \left (b +\sqrt {-4 a c +b^{2}}\right ) \left (\tanh ^{2}\relax (x )\right )}{a}}\, \EllipticF \left (\frac {\tanh \relax (x ) \sqrt {2}\, \sqrt {\frac {-b +\sqrt {-4 a c +b^{2}}}{a}}}{2}, \frac {\sqrt {-4+\frac {2 b \left (b +\sqrt {-4 a c +b^{2}}\right )}{a c}}}{2}\right )}{8 \sqrt {\frac {-b +\sqrt {-4 a c +b^{2}}}{a}}\, \sqrt {a +b \left (\tanh ^{2}\relax (x )\right )+c \left (\tanh ^{4}\relax (x )\right )}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+b*tanh(x)^2+c*tanh(x)^4)^(1/2)*tanh(x),x)

[Out]

-1/2*(a+b*tanh(x)^2+c*tanh(x)^4)^(1/2)-1/8*(b+c)*2^(1/2)/((-b+(-4*a*c+b^2)^(1/2))/a)^(1/2)*(4-2*(-b+(-4*a*c+b^
2)^(1/2))/a*tanh(x)^2)^(1/2)*(4+2*(b+(-4*a*c+b^2)^(1/2))/a*tanh(x)^2)^(1/2)/(a+b*tanh(x)^2+c*tanh(x)^4)^(1/2)*
EllipticF(1/2*tanh(x)*2^(1/2)*((-b+(-4*a*c+b^2)^(1/2))/a)^(1/2),1/2*(-4+2*b*(b+(-4*a*c+b^2)^(1/2))/a/c)^(1/2))
-1/2*ln((b+2*c*tanh(x)^2)/c^(1/2)+2*(a+b*tanh(x)^2+c*tanh(x)^4)^(1/2))*c^(1/2)-1/4*ln((b+2*c*tanh(x)^2)/c^(1/2
)+2*(a+b*tanh(x)^2+c*tanh(x)^4)^(1/2))/c^(1/2)*b+1/2*a/(a+b+c)^(1/2)*arctanh(1/2*(b*tanh(x)^2+2*c*tanh(x)^2+2*
a+b)/(a+b+c)^(1/2)/(a+b*tanh(x)^2+c*tanh(x)^4)^(1/2))+1/2*b/(a+b+c)^(1/2)*arctanh(1/2*(b*tanh(x)^2+2*c*tanh(x)
^2+2*a+b)/(a+b+c)^(1/2)/(a+b*tanh(x)^2+c*tanh(x)^4)^(1/2))+1/2*c/(a+b+c)^(1/2)*arctanh(1/2*(b*tanh(x)^2+2*c*ta
nh(x)^2+2*a+b)/(a+b+c)^(1/2)/(a+b*tanh(x)^2+c*tanh(x)^4)^(1/2))-1/8*(-b-c)*2^(1/2)/((-b+(-4*a*c+b^2)^(1/2))/a)
^(1/2)*(4-2*(-b+(-4*a*c+b^2)^(1/2))/a*tanh(x)^2)^(1/2)*(4+2*(b+(-4*a*c+b^2)^(1/2))/a*tanh(x)^2)^(1/2)/(a+b*tan
h(x)^2+c*tanh(x)^4)^(1/2)*EllipticF(1/2*tanh(x)*2^(1/2)*((-b+(-4*a*c+b^2)^(1/2))/a)^(1/2),1/2*(-4+2*b*(b+(-4*a
*c+b^2)^(1/2))/a/c)^(1/2))

________________________________________________________________________________________

maxima [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \sqrt {c \tanh \relax (x)^{4} + b \tanh \relax (x)^{2} + a} \tanh \relax (x)\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tanh(x)^2+c*tanh(x)^4)^(1/2)*tanh(x),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sqrt(c*tanh(x)^4 + b*tanh(x)^2 + a)*tanh(x), x)

________________________________________________________________________________________

mupad [F]  time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.01 \[ \int \mathrm {tanh}\relax (x)\,\sqrt {c\,{\mathrm {tanh}\relax (x)}^4+b\,{\mathrm {tanh}\relax (x)}^2+a} \,d x \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(tanh(x)*(a + b*tanh(x)^2 + c*tanh(x)^4)^(1/2),x)

[Out]

int(tanh(x)*(a + b*tanh(x)^2 + c*tanh(x)^4)^(1/2), x)

________________________________________________________________________________________

sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \sqrt {a + b \tanh ^{2}{\relax (x )} + c \tanh ^{4}{\relax (x )}} \tanh {\relax (x )}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tanh(x)**2+c*tanh(x)**4)**(1/2)*tanh(x),x)

[Out]

Integral(sqrt(a + b*tanh(x)**2 + c*tanh(x)**4)*tanh(x), x)

________________________________________________________________________________________