[next] [prev] [prev-tail] [tail] [up]

3.87 \(\int \cos ^2(e+f x) (a+a \sin (e+f x))^m (c-c \sin (e+f x))^{1-m} \, dx\)

Optimal. Leaf size=116 \[ \frac {c^3 2^{\frac {5}{2}-m} \cos ^3(e+f x) (1-\sin (e+f x))^{m+\frac {1}{2}} (a \sin (e+f x)+a)^m (c-c \sin (e+f x))^{-m-2} \, _2F_1\left (\frac {1}{2} (2 m-3),\frac {1}{2} (2 m+3);\frac {1}{2} (2 m+5);\frac {1}{2} (\sin (e+f x)+1)\right )}{f (2 m+3)} \]

[Out]

2^(5/2-m)*c^3*cos(f*x+e)^3*hypergeom([3/2+m, -3/2+m],[5/2+m],1/2+1/2*sin(f*x+e))*(1-sin(f*x+e))^(1/2+m)*(a+a*s
in(f*x+e))^m*(c-c*sin(f*x+e))^(-2-m)/f/(3+2*m)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.37, antiderivative size = 116, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 5, number of rules used = 5, integrand size = 38, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.132, Rules used = {2841, 2745, 2689, 70, 69} \[ \frac {c^3 2^{\frac {5}{2}-m} \cos ^3(e+f x) (1-\sin (e+f x))^{m+\frac {1}{2}} (a \sin (e+f x)+a)^m (c-c \sin (e+f x))^{-m-2} \, _2F_1\left (\frac {1}{2} (2 m-3),\frac {1}{2} (2 m+3);\frac {1}{2} (2 m+5);\frac {1}{2} (\sin (e+f x)+1)\right )}{f (2 m+3)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(1 - m),x]

[Out]

(2^(5/2 - m)*c^3*Cos[e + f*x]^3*Hypergeometric2F1[(-3 + 2*m)/2, (3 + 2*m)/2, (5 + 2*m)/2, (1 + Sin[e + f*x])/2
]*(1 - Sin[e + f*x])^(1/2 + m)*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(-2 - m))/(f*(3 + 2*m))

Rule 69

Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[((a + b*x)^(m + 1)*Hypergeometric2F1[
-n, m + 1, m + 2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d))])/(b*(m + 1)*(b/(b*c - a*d))^n), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}
, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] && GtQ[b/(b*c - a*d), 0] && (RationalQ[m] ||  !(Ra
tionalQ[n] && GtQ[-(d/(b*c - a*d)), 0]))

Rule 70

Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Dist[(c + d*x)^FracPart[n]/((b/(b*c - a*d)
)^IntPart[n]*((b*(c + d*x))/(b*c - a*d))^FracPart[n]), Int[(a + b*x)^m*Simp[(b*c)/(b*c - a*d) + (b*d*x)/(b*c -
 a*d), x]^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] &&
(RationalQ[m] ||  !SimplerQ[n + 1, m + 1])

Rule 2689

Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Dist[(a^2*
(g*Cos[e + f*x])^(p + 1))/(f*g*(a + b*Sin[e + f*x])^((p + 1)/2)*(a - b*Sin[e + f*x])^((p + 1)/2)), Subst[Int[(
a + b*x)^(m + (p - 1)/2)*(a - b*x)^((p - 1)/2), x], x, Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, m, p}, x] &&
 EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[m]

Rule 2745

Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Dist
[(a^IntPart[m]*c^IntPart[m]*(a + b*Sin[e + f*x])^FracPart[m]*(c + d*Sin[e + f*x])^FracPart[m])/Cos[e + f*x]^(2
*FracPart[m]), Int[Cos[e + f*x]^(2*m)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n - m), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n},
x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && (FractionQ[m] ||  !FractionQ[n])

Rule 2841

Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*
(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Dist[1/(a^(p/2)*c^(p/2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + p/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(
n + p/2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[p
/2]

Rubi steps

\begin {align*} \int \cos ^2(e+f x) (a+a \sin (e+f x))^m (c-c \sin (e+f x))^{1-m} \, dx &=\frac {\int (a+a \sin (e+f x))^{1+m} (c-c \sin (e+f x))^{2-m} \, dx}{a c}\\ &=\left (\cos ^{-2 m}(e+f x) (a+a \sin (e+f x))^m (c-c \sin (e+f x))^m\right ) \int \cos ^{2 (1+m)}(e+f x) (c-c \sin (e+f x))^{1-2 m} \, dx\\ &=\frac {\left (c^2 \cos ^{1-2 m+2 (1+m)}(e+f x) (a+a \sin (e+f x))^m (c-c \sin (e+f x))^{m+\frac {1}{2} (-1-2 (1+m))} (c+c \sin (e+f x))^{\frac {1}{2} (-1-2 (1+m))}\right ) \operatorname {Subst}\left (\int (c-c x)^{1-2 m+\frac {1}{2} (-1+2 (1+m))} (c+c x)^{\frac {1}{2} (-1+2 (1+m))} \, dx,x,\sin (e+f x)\right )}{f}\\ &=\frac {\left (2^{\frac {3}{2}-m} c^4 \cos ^{1-2 m+2 (1+m)}(e+f x) (a+a \sin (e+f x))^m (c-c \sin (e+f x))^{-\frac {1}{2}+\frac {1}{2} (-1-2 (1+m))} \left (\frac {c-c \sin (e+f x)}{c}\right )^{\frac {1}{2}+m} (c+c \sin (e+f x))^{\frac {1}{2} (-1-2 (1+m))}\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \left (\frac {1}{2}-\frac {x}{2}\right )^{1-2 m+\frac {1}{2} (-1+2 (1+m))} (c+c x)^{\frac {1}{2} (-1+2 (1+m))} \, dx,x,\sin (e+f x)\right )}{f}\\ &=\frac {2^{\frac {5}{2}-m} c^3 \cos ^3(e+f x) \, _2F_1\left (\frac {1}{2} (-3+2 m),\frac {1}{2} (3+2 m);\frac {1}{2} (5+2 m);\frac {1}{2} (1+\sin (e+f x))\right ) (1-\sin (e+f x))^{\frac {1}{2}+m} (a+a \sin (e+f x))^m (c-c \sin (e+f x))^{-2-m}}{f (3+2 m)}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [C]  time = 25.90, size = 4270, normalized size = 36.81 \[ \text {Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Cos[e + f*x]^2*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(1 - m),x]

[Out]

(2^(9 - m)*(AppellF1[1/2 - m, -2*m, 3, 3/2 - m, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2] - 6*A
ppellF1[1/2 - m, -2*m, 4, 3/2 - m, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2] + 13*AppellF1[1/2
- m, -2*m, 5, 3/2 - m, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2] - 12*AppellF1[1/2 - m, -2*m, 6
, 3/2 - m, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2] + 4*AppellF1[1/2 - m, -2*m, 7, 3/2 - m, Ta
n[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2])*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c - c*Sin[e + f*x])^(1 - m)*((
Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^(2*m)*Cos[Pi/4 + (e - Pi/2 + f*x)/2]^6)/(Cos[Pi/4 + (e - Pi/2 + f*x)/2] - Sin[Pi/4 +
(e - Pi/2 + f*x)/2])^(2*m) - (2*Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^(2*m)*Cos[Pi/4 + (e - Pi/2 + f*x)/2]^5*Sin[Pi/4 + (e
- Pi/2 + f*x)/2])/(Cos[Pi/4 + (e - Pi/2 + f*x)/2] - Sin[Pi/4 + (e - Pi/2 + f*x)/2])^(2*m) - (Cos[(-e + Pi/2 -
f*x)/2]^(2*m)*Cos[Pi/4 + (e - Pi/2 + f*x)/2]^4*Sin[Pi/4 + (e - Pi/2 + f*x)/2]^2)/(Cos[Pi/4 + (e - Pi/2 + f*x)/
2] - Sin[Pi/4 + (e - Pi/2 + f*x)/2])^(2*m) + (4*Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^(2*m)*Cos[Pi/4 + (e - Pi/2 + f*x)/2]^
3*Sin[Pi/4 + (e - Pi/2 + f*x)/2]^3)/(Cos[Pi/4 + (e - Pi/2 + f*x)/2] - Sin[Pi/4 + (e - Pi/2 + f*x)/2])^(2*m) -
(Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^(2*m)*Cos[Pi/4 + (e - Pi/2 + f*x)/2]^2*Sin[Pi/4 + (e - Pi/2 + f*x)/2]^4)/(Cos[Pi/4 +
 (e - Pi/2 + f*x)/2] - Sin[Pi/4 + (e - Pi/2 + f*x)/2])^(2*m) - (2*Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^(2*m)*Cos[Pi/4 + (e
 - Pi/2 + f*x)/2]*Sin[Pi/4 + (e - Pi/2 + f*x)/2]^5)/(Cos[Pi/4 + (e - Pi/2 + f*x)/2] - Sin[Pi/4 + (e - Pi/2 + f
*x)/2])^(2*m) + (Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^(2*m)*Sin[Pi/4 + (e - Pi/2 + f*x)/2]^6)/(Cos[Pi/4 + (e - Pi/2 + f*x)
/2] - Sin[Pi/4 + (e - Pi/2 + f*x)/2])^(2*m))*Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4])/(f*(-1 + 2*m)*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^
(2*m)*(Cos[(e + f*x)/2] - Sin[(e + f*x)/2])^(2*(1 - m))*(1 - Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)^(2*m)*(-((2^(9 - m)*m
*(AppellF1[1/2 - m, -2*m, 3, 3/2 - m, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2] - 6*AppellF1[1/
2 - m, -2*m, 4, 3/2 - m, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2] + 13*AppellF1[1/2 - m, -2*m,
 5, 3/2 - m, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2] - 12*AppellF1[1/2 - m, -2*m, 6, 3/2 - m,
 Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2] + 4*AppellF1[1/2 - m, -2*m, 7, 3/2 - m, Tan[(-e + Pi
/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2])*Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^(2*m)*Sec[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2*Tan[(-
e + Pi/2 - f*x)/4]^2*(1 - Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)^(-1 - 2*m))/((-1 + 2*m)*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^(2*m)))
 - (2^(7 - m)*(AppellF1[1/2 - m, -2*m, 3, 3/2 - m, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2] -
6*AppellF1[1/2 - m, -2*m, 4, 3/2 - m, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2] + 13*AppellF1[1
/2 - m, -2*m, 5, 3/2 - m, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2] - 12*AppellF1[1/2 - m, -2*m
, 6, 3/2 - m, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2] + 4*AppellF1[1/2 - m, -2*m, 7, 3/2 - m,
 Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2])*Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^(2*m)*Sec[(-e + Pi/2 - f*x
)/4]^2)/((-1 + 2*m)*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^(2*m)*(1 - Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)^(2*m)) + (2^(9 - m)*m*(App
ellF1[1/2 - m, -2*m, 3, 3/2 - m, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2] - 6*AppellF1[1/2 - m
, -2*m, 4, 3/2 - m, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2] + 13*AppellF1[1/2 - m, -2*m, 5, 3
/2 - m, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2] - 12*AppellF1[1/2 - m, -2*m, 6, 3/2 - m, Tan[
(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2] + 4*AppellF1[1/2 - m, -2*m, 7, 3/2 - m, Tan[(-e + Pi/2 -
f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2])*Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^(1 + 2*m)*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^(-1 - 2*m
)*Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4])/((-1 + 2*m)*(1 - Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)^(2*m)) + (2^(9 - m)*m*(AppellF1[1/2 -
 m, -2*m, 3, 3/2 - m, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2] - 6*AppellF1[1/2 - m, -2*m, 4,
3/2 - m, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2] + 13*AppellF1[1/2 - m, -2*m, 5, 3/2 - m, Tan
[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2] - 12*AppellF1[1/2 - m, -2*m, 6, 3/2 - m, Tan[(-e + Pi/2
- f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2] + 4*AppellF1[1/2 - m, -2*m, 7, 3/2 - m, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2,
-Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2])*Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^(-1 + 2*m)*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^(1 - 2*m)*Tan[(-e +
 Pi/2 - f*x)/4])/((-1 + 2*m)*(1 - Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)^(2*m)) - (2^(9 - m)*Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^(2*
m)*Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]*(-(((1/2 - m)*m*AppellF1[3/2 - m, 1 - 2*m, 3, 5/2 - m, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2,
 -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2]*Sec[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2*Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4])/(3/2 - m)) - (3*(1/2 - m)*A
ppellF1[3/2 - m, -2*m, 4, 5/2 - m, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2]*Sec[(-e + Pi/2 - f
*x)/4]^2*Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4])/(2*(3/2 - m)) - 6*(-(((1/2 - m)*m*AppellF1[3/2 - m, 1 - 2*m, 4, 5/2 - m, Ta
n[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2]*Sec[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2*Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4])/(3
/2 - m)) - (2*(1/2 - m)*AppellF1[3/2 - m, -2*m, 5, 5/2 - m, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)
/4]^2]*Sec[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2*Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4])/(3/2 - m)) + 13*(-(((1/2 - m)*m*AppellF1[3/2 - m,
1 - 2*m, 5, 5/2 - m, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2]*Sec[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2*Tan[(
-e + Pi/2 - f*x)/4])/(3/2 - m)) - (5*(1/2 - m)*AppellF1[3/2 - m, -2*m, 6, 5/2 - m, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2,
 -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2]*Sec[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2*Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4])/(2*(3/2 - m))) - 12*(-(((1/
2 - m)*m*AppellF1[3/2 - m, 1 - 2*m, 6, 5/2 - m, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2]*Sec[(
-e + Pi/2 - f*x)/4]^2*Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4])/(3/2 - m)) - (3*(1/2 - m)*AppellF1[3/2 - m, -2*m, 7, 5/2 - m,
Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2]*Sec[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2*Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4])/
(3/2 - m)) + 4*(-(((1/2 - m)*m*AppellF1[3/2 - m, 1 - 2*m, 7, 5/2 - m, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + P
i/2 - f*x)/4]^2]*Sec[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2*Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4])/(3/2 - m)) - (7*(1/2 - m)*AppellF1[3/2 -
 m, -2*m, 8, 5/2 - m, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2]*Sec[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2*Tan[
(-e + Pi/2 - f*x)/4])/(2*(3/2 - m)))))/((-1 + 2*m)*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^(2*m)*(1 - Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4
]^2)^(2*m))))

________________________________________________________________________________________

fricas [F]  time = 0.51, size = 0, normalized size = 0.00 \[ {\rm integral}\left ({\left (a \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m} {\left (-c \sin \left (f x + e\right ) + c\right )}^{-m + 1} \cos \left (f x + e\right )^{2}, x\right ) \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)^2*(a+a*sin(f*x+e))^m*(c-c*sin(f*x+e))^(1-m),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((a*sin(f*x + e) + a)^m*(-c*sin(f*x + e) + c)^(-m + 1)*cos(f*x + e)^2, x)

________________________________________________________________________________________

giac [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int {\left (a \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m} {\left (-c \sin \left (f x + e\right ) + c\right )}^{-m + 1} \cos \left (f x + e\right )^{2}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)^2*(a+a*sin(f*x+e))^m*(c-c*sin(f*x+e))^(1-m),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((a*sin(f*x + e) + a)^m*(-c*sin(f*x + e) + c)^(-m + 1)*cos(f*x + e)^2, x)

________________________________________________________________________________________

maple [F]  time = 2.96, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \left (\cos ^{2}\left (f x +e \right )\right ) \left (a +a \sin \left (f x +e \right )\right )^{m} \left (c -c \sin \left (f x +e \right )\right )^{1-m}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cos(f*x+e)^2*(a+a*sin(f*x+e))^m*(c-c*sin(f*x+e))^(1-m),x)

[Out]

int(cos(f*x+e)^2*(a+a*sin(f*x+e))^m*(c-c*sin(f*x+e))^(1-m),x)

________________________________________________________________________________________

maxima [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int {\left (a \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m} {\left (-c \sin \left (f x + e\right ) + c\right )}^{-m + 1} \cos \left (f x + e\right )^{2}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)^2*(a+a*sin(f*x+e))^m*(c-c*sin(f*x+e))^(1-m),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((a*sin(f*x + e) + a)^m*(-c*sin(f*x + e) + c)^(-m + 1)*cos(f*x + e)^2, x)

________________________________________________________________________________________

mupad [F]  time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.01 \[ \int {\cos \left (e+f\,x\right )}^2\,{\left (a+a\,\sin \left (e+f\,x\right )\right )}^m\,{\left (c-c\,\sin \left (e+f\,x\right )\right )}^{1-m} \,d x \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cos(e + f*x)^2*(a + a*sin(e + f*x))^m*(c - c*sin(e + f*x))^(1 - m),x)

[Out]

int(cos(e + f*x)^2*(a + a*sin(e + f*x))^m*(c - c*sin(e + f*x))^(1 - m), x)

________________________________________________________________________________________

sympy [F(-1)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)**2*(a+a*sin(f*x+e))**m*(c-c*sin(f*x+e))**(1-m),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]