3.129 \(\int \frac {x}{(a+8 x-8 x^2+4 x^3-x^4)^3} \, dx\)

Optimal. Leaf size=349 \[ \frac {(x-1) \left (a+(x-1)^2+5\right )}{8 \left (a^2+7 a+12\right ) \left (a-(x-1)^4-2 (x-1)^2+3\right )^2}-\frac {3 \left (7 a^2+\left (4 \sqrt {a+4}+47\right ) a+14 \sqrt {a+4}+80\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {x-1}{\sqrt {1-\sqrt {a+4}}}\right )}{64 (a+3)^2 (a+4)^{5/2} \sqrt {1-\sqrt {a+4}}}-\frac {3 \left (-\frac {7 a^2+47 a+80}{\sqrt {a+4}}+4 a+14\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {x-1}{\sqrt {\sqrt {a+4}+1}}\right )}{64 (a+3)^2 (a+4)^2 \sqrt {\sqrt {a+4}+1}}+\frac {3 \left ((x-1)^2+1\right )}{16 (a+4)^2 \left (a-(x-1)^4-2 (x-1)^2+3\right )}+\frac {(x-1)^2+1}{8 (a+4) \left (a-(x-1)^4-2 (x-1)^2+3\right )^2}+\frac {(x-1) \left (6 (2 a+7) (x-1)^2+(a+6) (7 a+25)\right )}{32 (a+3)^2 (a+4)^2 \left (a-(x-1)^4-2 (x-1)^2+3\right )}+\frac {3 \tanh ^{-1}\left (\frac {(x-1)^2+1}{\sqrt {a+4}}\right )}{16 (a+4)^{5/2}} \]

[Out]

1/8*(1+(-1+x)^2)/(4+a)/(3+a-2*(-1+x)^2-(-1+x)^4)^2+3/16*(1+(-1+x)^2)/(4+a)^2/(3+a-2*(-1+x)^2-(-1+x)^4)+1/8*(5+
a+(-1+x)^2)*(-1+x)/(a^2+7*a+12)/(3+a-2*(-1+x)^2-(-1+x)^4)^2+1/32*((6+a)*(25+7*a)+6*(7+2*a)*(-1+x)^2)*(-1+x)/(a
^2+7*a+12)^2/(3+a-2*(-1+x)^2-(-1+x)^4)+3/16*arctanh((1+(-1+x)^2)/(4+a)^(1/2))/(4+a)^(5/2)-3/64*arctan((-1+x)/(
1-(4+a)^(1/2))^(1/2))*(80+7*a^2+14*(4+a)^(1/2)+a*(47+4*(4+a)^(1/2)))/(3+a)^2/(4+a)^(5/2)/(1-(4+a)^(1/2))^(1/2)
-3/64*arctan((-1+x)/(1+(4+a)^(1/2))^(1/2))*(14+4*a+(-7*a^2-47*a-80)/(4+a)^(1/2))/(3+a)^2/(4+a)^2/(1+(4+a)^(1/2
))^(1/2)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.37, antiderivative size = 349, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 12, number of rules used = 10, integrand size = 24, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.417, Rules used = {1680, 1673, 1092, 1178, 1166, 204, 1107, 614, 618, 206} \[ \frac {(x-1) \left (a+(x-1)^2+5\right )}{8 \left (a^2+7 a+12\right ) \left (a-(x-1)^4-2 (x-1)^2+3\right )^2}-\frac {3 \left (7 a^2+\left (4 \sqrt {a+4}+47\right ) a+14 \sqrt {a+4}+80\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {x-1}{\sqrt {1-\sqrt {a+4}}}\right )}{64 (a+3)^2 (a+4)^{5/2} \sqrt {1-\sqrt {a+4}}}-\frac {3 \left (-\frac {7 a^2+47 a+80}{\sqrt {a+4}}+4 a+14\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {x-1}{\sqrt {\sqrt {a+4}+1}}\right )}{64 (a+3)^2 (a+4)^2 \sqrt {\sqrt {a+4}+1}}+\frac {3 \left ((x-1)^2+1\right )}{16 (a+4)^2 \left (a-(x-1)^4-2 (x-1)^2+3\right )}+\frac {(x-1)^2+1}{8 (a+4) \left (a-(x-1)^4-2 (x-1)^2+3\right )^2}+\frac {(x-1) \left (6 (2 a+7) (x-1)^2+(a+6) (7 a+25)\right )}{32 (a+3)^2 (a+4)^2 \left (a-(x-1)^4-2 (x-1)^2+3\right )}+\frac {3 \tanh ^{-1}\left (\frac {(x-1)^2+1}{\sqrt {a+4}}\right )}{16 (a+4)^{5/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[x/(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^3,x]

[Out]

(1 + (-1 + x)^2)/(8*(4 + a)*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)^2) + (3*(1 + (-1 + x)^2))/(16*(4 + a)^2*(3 + a
- 2*(-1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) + ((5 + a + (-1 + x)^2)*(-1 + x))/(8*(12 + 7*a + a^2)*(3 + a - 2*(-1 + x)^2 - (
-1 + x)^4)^2) + (((6 + a)*(25 + 7*a) + 6*(7 + 2*a)*(-1 + x)^2)*(-1 + x))/(32*(3 + a)^2*(4 + a)^2*(3 + a - 2*(-
1 + x)^2 - (-1 + x)^4)) - (3*(80 + 7*a^2 + 14*Sqrt[4 + a] + a*(47 + 4*Sqrt[4 + a]))*ArcTan[(-1 + x)/Sqrt[1 - S
qrt[4 + a]]])/(64*(3 + a)^2*(4 + a)^(5/2)*Sqrt[1 - Sqrt[4 + a]]) - (3*(14 + 4*a - (80 + 47*a + 7*a^2)/Sqrt[4 +
a])*ArcTan[(-1 + x)/Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]])/(64*(3 + a)^2*(4 + a)^2*Sqrt[1 + Sqrt[4 + a]]) + (3*ArcTanh[(1 +
(-1 + x)^2)/Sqrt[4 + a]])/(16*(4 + a)^(5/2))

Rule 204

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> -Simp[ArcTan[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[-a, 2]]/(Rt[-a, 2]*Rt[-b, 2]), x] /
; FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a/b] && (LtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 614

Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1))/((p +
1)*(b^2 - 4*a*c)), x] - Dist[(2*c*(2*p + 3))/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)), Int[(a + b*x + c*x^2)^(p + 1), x], x] /;
FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[p, -1] && NeQ[p, -3/2] && IntegerQ[4*p]

Rule 618

Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Dist[-2, Subst[Int[1/Simp[b^2 - 4*a*c - x^2, x], x]
, x, b + 2*c*x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

Rule 1092

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> -Simp[(x*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^
4)^(p + 1))/(2*a*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c)), x] + Dist[1/(2*a*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c)), Int[(b^2 - 2*a*c + 2*(p + 1)
*(b^2 - 4*a*c) + b*c*(4*p + 7)*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*
a*c, 0] && LtQ[p, -1] && IntegerQ[2*p]

Rule 1107

Int[(x_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Dist[1/2, Subst[Int[(a + b*x + c*x^2)^p, x],
x, x^2], x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x]

Rule 1166

Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Di
st[e/2 + (2*c*d - b*e)/(2*q), Int[1/(b/2 - q/2 + c*x^2), x], x] + Dist[e/2 - (2*c*d - b*e)/(2*q), Int[1/(b/2 +
q/2 + c*x^2), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && PosQ[b^
2 - 4*a*c]

Rule 1178

Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(x*(a*b*e - d*(b^2 - 2*
a*c) - c*(b*d - 2*a*e)*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1))/(2*a*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c)), x] + Dist[1/(2*a*(p + 1)
*(b^2 - 4*a*c)), Int[Simp[(2*p + 3)*d*b^2 - a*b*e - 2*a*c*d*(4*p + 5) + (4*p + 7)*(d*b - 2*a*e)*c*x^2, x]*(a +
b*x^2 + c*x^4)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e
^2, 0] && LtQ[p, -1] && IntegerQ[2*p]

Rule 1673

Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Module[{q = Expon[Pq, x], k}, Int[Sum[Coeff[
Pq, x, 2*k]*x^(2*k), {k, 0, q/2}]*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x] + Int[x*Sum[Coeff[Pq, x, 2*k + 1]*x^(2*k), {k, 0,
(q - 1)/2}]*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x]] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && PolyQ[Pq, x] &&  !PolyQ[Pq, x^2]

Rule 1680

Int[(Pq_)*(Q4_)^(p_), x_Symbol] :> With[{a = Coeff[Q4, x, 0], b = Coeff[Q4, x, 1], c = Coeff[Q4, x, 2], d = Co
eff[Q4, x, 3], e = Coeff[Q4, x, 4]}, Subst[Int[SimplifyIntegrand[(Pq /. x -> -(d/(4*e)) + x)*(a + d^4/(256*e^3
) - (b*d)/(8*e) + (c - (3*d^2)/(8*e))*x^2 + e*x^4)^p, x], x], x, d/(4*e) + x] /; EqQ[d^3 - 4*c*d*e + 8*b*e^2,
0] && NeQ[d, 0]] /; FreeQ[p, x] && PolyQ[Pq, x] && PolyQ[Q4, x, 4] &&  !IGtQ[p, 0]

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {x}{\left (a+8 x-8 x^2+4 x^3-x^4\right )^3} \, dx &=\operatorname {Subst}\left (\int \frac {1+x}{\left (3+a-2 x^2-x^4\right )^3} \, dx,x,-1+x\right )\\ &=\operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{\left (3+a-2 x^2-x^4\right )^3} \, dx,x,-1+x\right )+\operatorname {Subst}\left (\int \frac {x}{\left (3+a-2 x^2-x^4\right )^3} \, dx,x,-1+x\right )\\ &=\frac {\left (5+a+(-1+x)^2\right ) (-1+x)}{8 \left (12+7 a+a^2\right ) \left (3+a-2 (-1+x)^2-(-1+x)^4\right )^2}+\frac {1}{2} \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{\left (3+a-2 x-x^2\right )^3} \, dx,x,(-1+x)^2\right )-\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {4+2 (3+a)-4 (4+4 (3+a))-10 x^2}{\left (3+a-2 x^2-x^4\right )^2} \, dx,x,-1+x\right )}{16 \left (12+7 a+a^2\right )}\\ &=\frac {1+(-1+x)^2}{8 (4+a) \left (3+a-2 (1-x)^2-(1-x)^4\right )^2}-\frac {\left ((6+a) (25+7 a)+6 (7+2 a) (1-x)^2\right ) (1-x)}{32 \left (12+7 a+a^2\right )^2 \left (3+a-2 (1-x)^2-(1-x)^4\right )}+\frac {\left (5+a+(-1+x)^2\right ) (-1+x)}{8 \left (12+7 a+a^2\right ) \left (3+a-2 (-1+x)^2-(-1+x)^4\right )^2}+\frac {3 \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{\left (3+a-2 x-x^2\right )^2} \, dx,x,(-1+x)^2\right )}{8 (4+a)}+\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {12 \left (94+51 a+7 a^2\right )+24 (7+2 a) x^2}{3+a-2 x^2-x^4} \, dx,x,-1+x\right )}{128 \left (12+7 a+a^2\right )^2}\\ &=\frac {1+(-1+x)^2}{8 (4+a) \left (3+a-2 (1-x)^2-(1-x)^4\right )^2}+\frac {3 \left (1+(-1+x)^2\right )}{16 (4+a)^2 \left (3+a-2 (1-x)^2-(1-x)^4\right )}-\frac {\left ((6+a) (25+7 a)+6 (7+2 a) (1-x)^2\right ) (1-x)}{32 \left (12+7 a+a^2\right )^2 \left (3+a-2 (1-x)^2-(1-x)^4\right )}+\frac {\left (5+a+(-1+x)^2\right ) (-1+x)}{8 \left (12+7 a+a^2\right ) \left (3+a-2 (-1+x)^2-(-1+x)^4\right )^2}+\frac {3 \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{3+a-2 x-x^2} \, dx,x,(-1+x)^2\right )}{16 (4+a)^2}+\frac {\left (3 \left (14+4 a-\frac {80+47 a+7 a^2}{\sqrt {4+a}}\right )\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{-1-\sqrt {4+a}-x^2} \, dx,x,-1+x\right )}{64 \left (12+7 a+a^2\right )^2}+\frac {\left (3 \left (80+7 a^2+14 \sqrt {4+a}+a \left (47+4 \sqrt {4+a}\right )\right )\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{-1+\sqrt {4+a}-x^2} \, dx,x,-1+x\right )}{64 \sqrt {4+a} \left (12+7 a+a^2\right )^2}\\ &=\frac {1+(-1+x)^2}{8 (4+a) \left (3+a-2 (1-x)^2-(1-x)^4\right )^2}+\frac {3 \left (1+(-1+x)^2\right )}{16 (4+a)^2 \left (3+a-2 (1-x)^2-(1-x)^4\right )}-\frac {\left ((6+a) (25+7 a)+6 (7+2 a) (1-x)^2\right ) (1-x)}{32 \left (12+7 a+a^2\right )^2 \left (3+a-2 (1-x)^2-(1-x)^4\right )}+\frac {\left (5+a+(-1+x)^2\right ) (-1+x)}{8 \left (12+7 a+a^2\right ) \left (3+a-2 (-1+x)^2-(-1+x)^4\right )^2}+\frac {3 \left (80+47 a+7 a^2+\sqrt {4+a} (14+4 a)\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {1-x}{\sqrt {1-\sqrt {4+a}}}\right )}{64 (3+a)^2 (4+a)^{5/2} \sqrt {1-\sqrt {4+a}}}+\frac {3 \left (14+4 a-\frac {80+47 a+7 a^2}{\sqrt {4+a}}\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {1-x}{\sqrt {1+\sqrt {4+a}}}\right )}{64 \left (12+7 a+a^2\right )^2 \sqrt {1+\sqrt {4+a}}}-\frac {3 \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{4 (4+a)-x^2} \, dx,x,-2 \left (1+(-1+x)^2\right )\right )}{8 (4+a)^2}\\ &=\frac {1+(-1+x)^2}{8 (4+a) \left (3+a-2 (1-x)^2-(1-x)^4\right )^2}+\frac {3 \left (1+(-1+x)^2\right )}{16 (4+a)^2 \left (3+a-2 (1-x)^2-(1-x)^4\right )}-\frac {\left ((6+a) (25+7 a)+6 (7+2 a) (1-x)^2\right ) (1-x)}{32 \left (12+7 a+a^2\right )^2 \left (3+a-2 (1-x)^2-(1-x)^4\right )}+\frac {\left (5+a+(-1+x)^2\right ) (-1+x)}{8 \left (12+7 a+a^2\right ) \left (3+a-2 (-1+x)^2-(-1+x)^4\right )^2}+\frac {3 \left (80+47 a+7 a^2+\sqrt {4+a} (14+4 a)\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {1-x}{\sqrt {1-\sqrt {4+a}}}\right )}{64 (3+a)^2 (4+a)^{5/2} \sqrt {1-\sqrt {4+a}}}+\frac {3 \left (14+4 a-\frac {80+47 a+7 a^2}{\sqrt {4+a}}\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {1-x}{\sqrt {1+\sqrt {4+a}}}\right )}{64 \left (12+7 a+a^2\right )^2 \sqrt {1+\sqrt {4+a}}}+\frac {3 \tanh ^{-1}\left (\frac {1+(-1+x)^2}{\sqrt {4+a}}\right )}{16 (4+a)^{5/2}}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [C]  time = 0.16, size = 284, normalized size = 0.81 \[ \frac {1}{128} \left (-\frac {3 \text {RootSum}\left [-\text {$\#$1}^4+4 \text {$\#$1}^3-8 \text {$\#$1}^2+8 \text {$\#$1}+a\& ,\frac {4 \text {$\#$1}^2 a \log (x-\text {$\#$1})+14 \text {$\#$1}^2 \log (x-\text {$\#$1})+3 a^2 \log (x-\text {$\#$1})+4 \text {$\#$1} a^2 \log (x-\text {$\#$1})+31 a \log (x-\text {$\#$1})+16 \text {$\#$1} a \log (x-\text {$\#$1})+72 \log (x-\text {$\#$1})+8 \text {$\#$1} \log (x-\text {$\#$1})}{\text {$\#$1}^3-3 \text {$\#$1}^2+4 \text {$\#$1}-2}\& \right ]}{\left (a^2+7 a+12\right )^2}+\frac {4 \left (a^2 \left (6 x^2-5 x+5\right )+a \left (12 x^3+31 x-7\right )+6 \left (7 x^3-12 x^2+28 x-14\right )\right )}{(a+3)^2 (a+4)^2 \left (a-x \left (x^3-4 x^2+8 x-8\right )\right )}+\frac {16 \left (a x^2-a x+a+x^3+2 x\right )}{(a+3) (a+4) \left (a-x \left (x^3-4 x^2+8 x-8\right )\right )^2}\right ) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[x/(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^3,x]

[Out]

((16*(a + 2*x - a*x + a*x^2 + x^3))/((3 + a)*(4 + a)*(a - x*(-8 + 8*x - 4*x^2 + x^3))^2) + (4*(a^2*(5 - 5*x +
6*x^2) + 6*(-14 + 28*x - 12*x^2 + 7*x^3) + a*(-7 + 31*x + 12*x^3)))/((3 + a)^2*(4 + a)^2*(a - x*(-8 + 8*x - 4*
x^2 + x^3))) - (3*RootSum[a + 8*#1 - 8*#1^2 + 4*#1^3 - #1^4 & , (72*Log[x - #1] + 31*a*Log[x - #1] + 3*a^2*Log
[x - #1] + 8*Log[x - #1]*#1 + 16*a*Log[x - #1]*#1 + 4*a^2*Log[x - #1]*#1 + 14*Log[x - #1]*#1^2 + 4*a*Log[x - #
1]*#1^2)/(-2 + 4*#1 - 3*#1^2 + #1^3) & ])/(12 + 7*a + a^2)^2)/128

________________________________________________________________________________________

fricas [F(-1)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x/(-x^4+4*x^3-8*x^2+a+8*x)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

giac [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int -\frac {x}{{\left (x^{4} - 4 \, x^{3} + 8 \, x^{2} - a - 8 \, x\right )}^{3}}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x/(-x^4+4*x^3-8*x^2+a+8*x)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(-x/(x^4 - 4*x^3 + 8*x^2 - a - 8*x)^3, x)

________________________________________________________________________________________

maple [C]  time = 0.02, size = 405, normalized size = 1.16 \[ -\frac {3 \left (2 \left (2 a +7\right ) \RootOf \left (\textit {\_Z}^{4}-4 \textit {\_Z}^{3}+8 \textit {\_Z}^{2}-8 \textit {\_Z} -a \right )^{2}+3 a^{2}+4 \left (a^{2}+4 a +2\right ) \RootOf \left (\textit {\_Z}^{4}-4 \textit {\_Z}^{3}+8 \textit {\_Z}^{2}-8 \textit {\_Z} -a \right )+31 a +72\right ) \ln \left (-\RootOf \left (\textit {\_Z}^{4}-4 \textit {\_Z}^{3}+8 \textit {\_Z}^{2}-8 \textit {\_Z} -a \right )+x \right )}{128 \left (a^{4}+14 a^{3}+73 a^{2}+168 a +144\right ) \left (\RootOf \left (\textit {\_Z}^{4}-4 \textit {\_Z}^{3}+8 \textit {\_Z}^{2}-8 \textit {\_Z} -a \right )^{3}-3 \RootOf \left (\textit {\_Z}^{4}-4 \textit {\_Z}^{3}+8 \textit {\_Z}^{2}-8 \textit {\_Z} -a \right )^{2}+4 \RootOf \left (\textit {\_Z}^{4}-4 \textit {\_Z}^{3}+8 \textit {\_Z}^{2}-8 \textit {\_Z} -a \right )-2\right )}-\frac {\frac {3 \left (2 a +7\right ) x^{7}}{16 \left (a^{4}+14 a^{3}+73 a^{2}+168 a +144\right )}+\frac {3 \left (a^{2}-8 a -40\right ) x^{6}}{16 \left (a^{4}+14 a^{3}+73 a^{2}+168 a +144\right )}-\frac {\left (29 a^{2}-127 a -792\right ) x^{5}}{32 \left (a^{4}+14 a^{3}+73 a^{2}+168 a +144\right )}+\frac {\left (73 a^{2}-227 a -1668\right ) x^{4}}{32 a^{4}+448 a^{3}+2336 a^{2}+5376 a +4608}-\frac {\left (62 a^{2}-103 a -1104\right ) x^{3}}{16 \left (a^{4}+14 a^{3}+73 a^{2}+168 a +144\right )}-\frac {\left (5 a^{3}-26 a^{2}+140 a +1008\right ) x^{2}}{16 \left (a^{4}+14 a^{3}+73 a^{2}+168 a +144\right )}-\frac {3 \left (3 a^{2}+7 a -12\right ) a}{32 \left (a^{4}+14 a^{3}+73 a^{2}+168 a +144\right )}+\frac {3 \left (3 a^{3}-17 a^{2}-40 a +192\right ) x}{32 \left (a^{4}+14 a^{3}+73 a^{2}+168 a +144\right )}}{\left (x^{4}-4 x^{3}+8 x^{2}-a -8 x \right )^{2}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(x/(-x^4+4*x^3-8*x^2+a+8*x)^3,x)

[Out]

-(3/16*(2*a+7)/(a^4+14*a^3+73*a^2+168*a+144)*x^7+3/16*(a^2-8*a-40)/(a^4+14*a^3+73*a^2+168*a+144)*x^6-1/32*(29*
a^2-127*a-792)/(a^4+14*a^3+73*a^2+168*a+144)*x^5+1/32*(73*a^2-227*a-1668)/(a^4+14*a^3+73*a^2+168*a+144)*x^4-1/
16*(62*a^2-103*a-1104)/(a^4+14*a^3+73*a^2+168*a+144)*x^3-1/16*(5*a^3-26*a^2+140*a+1008)/(a^4+14*a^3+73*a^2+168
*a+144)*x^2+3/32*(3*a^3-17*a^2-40*a+192)/(a^4+14*a^3+73*a^2+168*a+144)*x-3/32*a*(3*a^2+7*a-12)/(a^4+14*a^3+73*
a^2+168*a+144))/(x^4-4*x^3+8*x^2-a-8*x)^2-3/128/(a^4+14*a^3+73*a^2+168*a+144)*sum((72+2*(2*a+7)*_R^2+4*(a^2+4*
a+2)*_R+3*a^2+31*a)/(_R^3-3*_R^2+4*_R-2)*ln(-_R+x),_R=RootOf(_Z^4-4*_Z^3+8*_Z^2-8*_Z-a))

________________________________________________________________________________________

maxima [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ -\frac {6 \, {\left (2 \, a + 7\right )} x^{7} + 6 \, {\left (a^{2} - 8 \, a - 40\right )} x^{6} - {\left (29 \, a^{2} - 127 \, a - 792\right )} x^{5} + {\left (73 \, a^{2} - 227 \, a - 1668\right )} x^{4} - 2 \, {\left (62 \, a^{2} - 103 \, a - 1104\right )} x^{3} - 9 \, a^{3} - 2 \, {\left (5 \, a^{3} - 26 \, a^{2} + 140 \, a + 1008\right )} x^{2} - 21 \, a^{2} + 3 \, {\left (3 \, a^{3} - 17 \, a^{2} - 40 \, a + 192\right )} x + 36 \, a}{32 \, {\left ({\left (a^{4} + 14 \, a^{3} + 73 \, a^{2} + 168 \, a + 144\right )} x^{8} - 8 \, {\left (a^{4} + 14 \, a^{3} + 73 \, a^{2} + 168 \, a + 144\right )} x^{7} + 32 \, {\left (a^{4} + 14 \, a^{3} + 73 \, a^{2} + 168 \, a + 144\right )} x^{6} + a^{6} - 80 \, {\left (a^{4} + 14 \, a^{3} + 73 \, a^{2} + 168 \, a + 144\right )} x^{5} + 14 \, a^{5} - 2 \, {\left (a^{5} - 50 \, a^{4} - 823 \, a^{3} - 4504 \, a^{2} - 10608 \, a - 9216\right )} x^{4} + 73 \, a^{4} + 8 \, {\left (a^{5} - 2 \, a^{4} - 151 \, a^{3} - 1000 \, a^{2} - 2544 \, a - 2304\right )} x^{3} + 168 \, a^{3} - 16 \, {\left (a^{5} + 10 \, a^{4} + 17 \, a^{3} - 124 \, a^{2} - 528 \, a - 576\right )} x^{2} + 144 \, a^{2} + 16 \, {\left (a^{5} + 14 \, a^{4} + 73 \, a^{3} + 168 \, a^{2} + 144 \, a\right )} x\right )}} - \frac {3 \, \int \frac {2 \, {\left (2 \, a + 7\right )} x^{2} + 3 \, a^{2} + 4 \, {\left (a^{2} + 4 \, a + 2\right )} x + 31 \, a + 72}{x^{4} - 4 \, x^{3} + 8 \, x^{2} - a - 8 \, x}\,{d x}}{32 \, {\left (a^{4} + 14 \, a^{3} + 73 \, a^{2} + 168 \, a + 144\right )}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x/(-x^4+4*x^3-8*x^2+a+8*x)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

-1/32*(6*(2*a + 7)*x^7 + 6*(a^2 - 8*a - 40)*x^6 - (29*a^2 - 127*a - 792)*x^5 + (73*a^2 - 227*a - 1668)*x^4 - 2
*(62*a^2 - 103*a - 1104)*x^3 - 9*a^3 - 2*(5*a^3 - 26*a^2 + 140*a + 1008)*x^2 - 21*a^2 + 3*(3*a^3 - 17*a^2 - 40
*a + 192)*x + 36*a)/((a^4 + 14*a^3 + 73*a^2 + 168*a + 144)*x^8 - 8*(a^4 + 14*a^3 + 73*a^2 + 168*a + 144)*x^7 +
32*(a^4 + 14*a^3 + 73*a^2 + 168*a + 144)*x^6 + a^6 - 80*(a^4 + 14*a^3 + 73*a^2 + 168*a + 144)*x^5 + 14*a^5 -
2*(a^5 - 50*a^4 - 823*a^3 - 4504*a^2 - 10608*a - 9216)*x^4 + 73*a^4 + 8*(a^5 - 2*a^4 - 151*a^3 - 1000*a^2 - 25
44*a - 2304)*x^3 + 168*a^3 - 16*(a^5 + 10*a^4 + 17*a^3 - 124*a^2 - 528*a - 576)*x^2 + 144*a^2 + 16*(a^5 + 14*a
^4 + 73*a^3 + 168*a^2 + 144*a)*x) - 3/32*integrate((2*(2*a + 7)*x^2 + 3*a^2 + 4*(a^2 + 4*a + 2)*x + 31*a + 72)
/(x^4 - 4*x^3 + 8*x^2 - a - 8*x), x)/(a^4 + 14*a^3 + 73*a^2 + 168*a + 144)

________________________________________________________________________________________

mupad [B]  time = 3.39, size = 2200, normalized size = 6.30 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(x/(a + 8*x - 8*x^2 + 4*x^3 - x^4)^3,x)

[Out]

symsum(log(root(15003759578972160*a^8*z^4 + 54537151127224320*a^7*z^4 + 153980418717122560*a^6*z^4 + 334927734
494986240*a^5*z^4 + 551152193655275520*a^4*z^4 + 664192984106926080*a^3*z^4 + 553362212027105280*a^2*z^4 + 599
9532441600*a^12*z^4 + 527875908304896*a^10*z^4 + 284993413919539200*a*z^4 + 3206246773555200*a^9*z^4 + 1476395
0080*a^14*z^4 + 65757291479040*a^11*z^4 + 378493992960*a^13*z^4 + 268435456*a^15*z^4 + 68398419340689408*z^4 -
4718592*a^10*z^2 - 3648061440*a^8*z^2 - 286939938816*a^6*z^2 - 15023392948224*a*z^2 - 16752587046912*a^2*z^2
- 4764645457920*a^4*z^2 - 40022212608*a^7*z^2 - 11043392716800*a^3*z^2 - 1405437345792*a^5*z^2 - 196116480*a^9
*z^2 - 6049461436416*z^2 + 5375877120*a^4*z + 839890944*a^5*z + 47542173696*a^2*z + 72880128*a^6*z + 2709504*a
^7*z + 20640890880*a^3*z + 60827369472*a*z + 33351008256*z - 74027520*a - 29249424*a^2 - 4706424*a^3 - 155601*
a^4 + 20736*a^5 - 68345856, z, k)*((242823168*a + 170044416*a^2 + 63509760*a^3 + 13340736*a^4 + 1494144*a^5 +
69696*a^6 + 144506880)/(16384*(940032*a + 1195776*a^2 + 899328*a^3 + 442864*a^4 + 149208*a^5 + 34833*a^6 + 556
4*a^7 + 582*a^8 + 36*a^9 + a^10 + 331776)) + root(15003759578972160*a^8*z^4 + 54537151127224320*a^7*z^4 + 1539
80418717122560*a^6*z^4 + 334927734494986240*a^5*z^4 + 551152193655275520*a^4*z^4 + 664192984106926080*a^3*z^4
+ 553362212027105280*a^2*z^4 + 5999532441600*a^12*z^4 + 527875908304896*a^10*z^4 + 284993413919539200*a*z^4 +
3206246773555200*a^9*z^4 + 14763950080*a^14*z^4 + 65757291479040*a^11*z^4 + 378493992960*a^13*z^4 + 268435456*
a^15*z^4 + 68398419340689408*z^4 - 4718592*a^10*z^2 - 3648061440*a^8*z^2 - 286939938816*a^6*z^2 - 150233929482
24*a*z^2 - 16752587046912*a^2*z^2 - 4764645457920*a^4*z^2 - 40022212608*a^7*z^2 - 11043392716800*a^3*z^2 - 140
5437345792*a^5*z^2 - 196116480*a^9*z^2 - 6049461436416*z^2 + 5375877120*a^4*z + 839890944*a^5*z + 47542173696*
a^2*z + 72880128*a^6*z + 2709504*a^7*z + 20640890880*a^3*z + 60827369472*a*z + 33351008256*z - 74027520*a - 29
249424*a^2 - 4706424*a^3 - 155601*a^4 + 20736*a^5 - 68345856, z, k)*(root(15003759578972160*a^8*z^4 + 54537151
127224320*a^7*z^4 + 153980418717122560*a^6*z^4 + 334927734494986240*a^5*z^4 + 551152193655275520*a^4*z^4 + 664
192984106926080*a^3*z^4 + 553362212027105280*a^2*z^4 + 5999532441600*a^12*z^4 + 527875908304896*a^10*z^4 + 284
993413919539200*a*z^4 + 3206246773555200*a^9*z^4 + 14763950080*a^14*z^4 + 65757291479040*a^11*z^4 + 3784939929
60*a^13*z^4 + 268435456*a^15*z^4 + 68398419340689408*z^4 - 4718592*a^10*z^2 - 3648061440*a^8*z^2 - 28693993881
6*a^6*z^2 - 15023392948224*a*z^2 - 16752587046912*a^2*z^2 - 4764645457920*a^4*z^2 - 40022212608*a^7*z^2 - 1104
3392716800*a^3*z^2 - 1405437345792*a^5*z^2 - 196116480*a^9*z^2 - 6049461436416*z^2 + 5375877120*a^4*z + 839890
944*a^5*z + 47542173696*a^2*z + 72880128*a^6*z + 2709504*a^7*z + 20640890880*a^3*z + 60827369472*a*z + 3335100
8256*z - 74027520*a - 29249424*a^2 - 4706424*a^3 - 155601*a^4 + 20736*a^5 - 68345856, z, k)*((4290672328704*a
+ 6001143054336*a^2 + 5025917042688*a^3 + 2800520003584*a^4 + 1090200272896*a^5 + 302556119040*a^6 + 598621552
64*a^7 + 8275361792*a^8 + 761266176*a^9 + 41943040*a^10 + 1048576*a^11 + 1391569403904)/(16384*(940032*a + 119
5776*a^2 + 899328*a^3 + 442864*a^4 + 149208*a^5 + 34833*a^6 + 5564*a^7 + 582*a^8 + 36*a^9 + a^10 + 331776)) -
(x*(536334041088*a + 750142881792*a^2 + 628239630336*a^3 + 350065000448*a^4 + 136275034112*a^5 + 37819514880*a
^6 + 7482769408*a^7 + 1034420224*a^8 + 95158272*a^9 + 5242880*a^10 + 131072*a^11 + 173946175488))/(2048*(94003
2*a + 1195776*a^2 + 899328*a^3 + 442864*a^4 + 149208*a^5 + 34833*a^6 + 5564*a^7 + 582*a^8 + 36*a^9 + a^10 + 33
1776))) - (73421291520*a + 81260445696*a^2 + 52393672704*a^3 + 21688418304*a^4 + 5977620480*a^5 + 1096949760*a
^6 + 129245184*a^7 + 8871936*a^8 + 270336*a^9 + 29444014080)/(16384*(940032*a + 1195776*a^2 + 899328*a^3 + 442
864*a^4 + 149208*a^5 + 34833*a^6 + 5564*a^7 + 582*a^8 + 36*a^9 + a^10 + 331776)) + (x*(2632974336*a + 30151802
88*a^2 + 2008940544*a^3 + 858243072*a^4 + 243806208*a^5 + 46055424*a^6 + 5578752*a^7 + 393216*a^8 + 12288*a^9
+ 1019215872))/(2048*(940032*a + 1195776*a^2 + 899328*a^3 + 442864*a^4 + 149208*a^5 + 34833*a^6 + 5564*a^7 + 5
82*a^8 + 36*a^9 + a^10 + 331776))) - (x*(10805760*a + 7173504*a^2 + 2539872*a^3 + 505800*a^4 + 53712*a^5 + 237
6*a^6 + 6782976))/(2048*(940032*a + 1195776*a^2 + 899328*a^3 + 442864*a^4 + 149208*a^5 + 34833*a^6 + 5564*a^7
+ 582*a^8 + 36*a^9 + a^10 + 331776))) - (133812*a + 56187*a^2 + 10098*a^3 + 648*a^4 + 115776)/(16384*(940032*a
+ 1195776*a^2 + 899328*a^3 + 442864*a^4 + 149208*a^5 + 34833*a^6 + 5564*a^7 + 582*a^8 + 36*a^9 + a^10 + 33177
6)) - (x*(1971*a^2 - 1539*a + 918*a^3 + 108*a^4 - 6372))/(2048*(940032*a + 1195776*a^2 + 899328*a^3 + 442864*a
^4 + 149208*a^5 + 34833*a^6 + 5564*a^7 + 582*a^8 + 36*a^9 + a^10 + 331776)))*root(15003759578972160*a^8*z^4 +
54537151127224320*a^7*z^4 + 153980418717122560*a^6*z^4 + 334927734494986240*a^5*z^4 + 551152193655275520*a^4*z
^4 + 664192984106926080*a^3*z^4 + 553362212027105280*a^2*z^4 + 5999532441600*a^12*z^4 + 527875908304896*a^10*z
^4 + 284993413919539200*a*z^4 + 3206246773555200*a^9*z^4 + 14763950080*a^14*z^4 + 65757291479040*a^11*z^4 + 37
8493992960*a^13*z^4 + 268435456*a^15*z^4 + 68398419340689408*z^4 - 4718592*a^10*z^2 - 3648061440*a^8*z^2 - 286
939938816*a^6*z^2 - 15023392948224*a*z^2 - 16752587046912*a^2*z^2 - 4764645457920*a^4*z^2 - 40022212608*a^7*z^
2 - 11043392716800*a^3*z^2 - 1405437345792*a^5*z^2 - 196116480*a^9*z^2 - 6049461436416*z^2 + 5375877120*a^4*z
+ 839890944*a^5*z + 47542173696*a^2*z + 72880128*a^6*z + 2709504*a^7*z + 20640890880*a^3*z + 60827369472*a*z +
33351008256*z - 74027520*a - 29249424*a^2 - 4706424*a^3 - 155601*a^4 + 20736*a^5 - 68345856, z, k), k, 1, 4)
+ ((3*(7*a^2 - 12*a + 3*a^3))/(32*(6*a + a^2 + 9)*(8*a + a^2 + 16)) - (3*x^7*(2*a + 7))/(16*(168*a + 73*a^2 +
14*a^3 + a^4 + 144)) + (x^2*(140*a - 26*a^2 + 5*a^3 + 1008))/(16*(6*a + a^2 + 9)*(8*a + a^2 + 16)) + (3*x*(40*
a + 17*a^2 - 3*a^3 - 192))/(32*(6*a + a^2 + 9)*(8*a + a^2 + 16)) + (3*x^6*(8*a - a^2 + 40))/(16*(6*a + a^2 + 9
)*(8*a + a^2 + 16)) - (x^5*(127*a - 29*a^2 + 792))/(32*(6*a + a^2 + 9)*(8*a + a^2 + 16)) - (x^3*(103*a - 62*a^
2 + 1104))/(16*(6*a + a^2 + 9)*(8*a + a^2 + 16)) + (x^4*(227*a - 73*a^2 + 1668))/(32*(6*a + a^2 + 9)*(8*a + a^
2 + 16)))/(16*a*x - x^2*(16*a - 64) - x^4*(2*a - 128) + x^3*(8*a - 128) + a^2 - 80*x^5 + 32*x^6 - 8*x^7 + x^8)

________________________________________________________________________________________

sympy [B]  time = 88.09, size = 1102, normalized size = 3.16 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x/(-x**4+4*x**3-8*x**2+a+8*x)**3,x)

[Out]

-(-9*a**3 - 21*a**2 + 36*a + x**7*(12*a + 42) + x**6*(6*a**2 - 48*a - 240) + x**5*(-29*a**2 + 127*a + 792) + x
**4*(73*a**2 - 227*a - 1668) + x**3*(-124*a**2 + 206*a + 2208) + x**2*(-10*a**3 + 52*a**2 - 280*a - 2016) + x*
(9*a**3 - 51*a**2 - 120*a + 576))/(32*a**6 + 448*a**5 + 2336*a**4 + 5376*a**3 + 4608*a**2 + x**8*(32*a**4 + 44
8*a**3 + 2336*a**2 + 5376*a + 4608) + x**7*(-256*a**4 - 3584*a**3 - 18688*a**2 - 43008*a - 36864) + x**6*(1024
*a**4 + 14336*a**3 + 74752*a**2 + 172032*a + 147456) + x**5*(-2560*a**4 - 35840*a**3 - 186880*a**2 - 430080*a
- 368640) + x**4*(-64*a**5 + 3200*a**4 + 52672*a**3 + 288256*a**2 + 678912*a + 589824) + x**3*(256*a**5 - 512*
a**4 - 38656*a**3 - 256000*a**2 - 651264*a - 589824) + x**2*(-512*a**5 - 5120*a**4 - 8704*a**3 + 63488*a**2 +
270336*a + 294912) + x*(512*a**5 + 7168*a**4 + 37376*a**3 + 86016*a**2 + 73728*a)) - RootSum(_t**4*(268435456*
a**15 + 14763950080*a**14 + 378493992960*a**13 + 5999532441600*a**12 + 65757291479040*a**11 + 527875908304896*
a**10 + 3206246773555200*a**9 + 15003759578972160*a**8 + 54537151127224320*a**7 + 153980418717122560*a**6 + 33
4927734494986240*a**5 + 551152193655275520*a**4 + 664192984106926080*a**3 + 553362212027105280*a**2 + 28499341
3919539200*a + 68398419340689408) + _t**2*(-4718592*a**10 - 196116480*a**9 - 3648061440*a**8 - 40022212608*a**
7 - 286939938816*a**6 - 1405437345792*a**5 - 4764645457920*a**4 - 11043392716800*a**3 - 16752587046912*a**2 -
15023392948224*a - 6049461436416) + _t*(-2709504*a**7 - 72880128*a**6 - 839890944*a**5 - 5375877120*a**4 - 206
40890880*a**3 - 47542173696*a**2 - 60827369472*a - 33351008256) + 20736*a**5 - 155601*a**4 - 4706424*a**3 - 29
249424*a**2 - 74027520*a - 68345856, Lambda(_t, _t*log(x + (-469762048*_t**3*a**20 - 31417434112*_t**3*a**19 -
992305217536*_t**3*a**18 - 19663576629248*_t**3*a**17 - 273880031690752*_t**3*a**16 - 2846116194287616*_t**3*
a**15 - 22853982892326912*_t**3*a**14 - 144840417605582848*_t**3*a**13 - 733193154773123072*_t**3*a**12 - 2977
941469704224768*_t**3*a**11 - 9677197373117300736*_t**3*a**10 - 24850421452415959040*_t**3*a**9 - 489847089317
69073664*_t**3*a**8 - 69124682329943441408*_t**3*a**7 - 54921507243737219072*_t**3*a**6 + 18833423088924753920
*_t**3*a**5 + 128767022044444360704*_t**3*a**4 + 197893824476545548288*_t**3*a**3 + 170576989286005997568*_t**
3*a**2 + 83709868624400351232*_t**3*a + 18392762450832261120*_t**3 + 136642560*_t**2*a**17 + 7616593920*_t**2*
a**16 + 198980665344*_t**2*a**15 + 3234300690432*_t**2*a**14 + 36614363283456*_t**2*a**13 + 306155605721088*_t
**2*a**12 + 1956339656687616*_t**2*a**11 + 9747894775578624*_t**2*a**10 + 38291841445330944*_t**2*a**9 + 11905
0488573591552*_t**2*a**8 + 292236772188880896*_t**2*a**7 + 561261720373297152*_t**2*a**6 + 828898581078343680*
_t**2*a**5 + 914439454498750464*_t**2*a**4 + 718255692208668672*_t**2*a**3 + 369227414724673536*_t**2*a**2 + 1
04815442748506112*_t**2*a + 10263520138493952*_t**2 + 4128768*_t*a**15 + 235608192*_t*a**14 + 6050117376*_t*a*
*13 + 92875570560*_t*a**12 + 950838962688*_t*a**11 + 6825858397056*_t*a**10 + 34932826734336*_t*a**9 + 1252627
78564224*_t*a**8 + 287989861404672*_t*a**7 + 257684685023232*_t*a**6 - 836263788945408*_t*a**5 - 4002432415137
792*_t*a**4 - 8409454278082560*_t*a**3 - 10371340262965248*_t*a**2 - 7285247072796672*_t*a - 2270140431335424*
_t + 1000512*a**12 + 42546357*a**11 + 777344580*a**10 + 7998006582*a**9 + 50045408388*a**8 + 182866499613*a**7
+ 247394170512*a**6 - 1063305068832*a**5 - 6960658344192*a**4 - 19132655580288*a**3 - 30001872614400*a**2 - 2
6192892672000*a - 9953981595648)/(1354752*a**12 + 44550027*a**11 + 663517980*a**10 + 5951170602*a**9 + 3627070
0668*a**8 + 162289912419*a**7 + 567868212432*a**6 + 1626099007104*a**5 + 3825839091456*a**4 + 7035734732544*a*
*3 + 9216760449024*a**2 + 7467334520832*a + 2773884911616))))

________________________________________________________________________________________