3.181 \(\int \frac{(g+h \log (f (d+e x)^n)) \text{PolyLog}(2,c (a+b x))}{x^2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=2498 \[ \text{result too large to display} \]

[Out]

-((b*g*Log[(b*c*x)/(1 - a*c)]*Log[1 - a*c - b*c*x])/a) - (b*h*n*Log[(b*c*x)/(1 - a*c)]*Log[1 - a*c - b*c*x]*Lo
g[d + e*x])/a - (b*h*n*(Log[(b*c*x)/(1 - a*c)] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(b*c*(d + e*x))] - Log[((b*c*d + e -
a*c*e)*x)/((1 - a*c)*(d + e*x))])*Log[((1 - a*c)*(d + e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))]^2)/(2*a) + (b*h*n*(Log[(b*c
*x)/(1 - a*c)] - Log[-((e*x)/d)])*(Log[1 - a*c - b*c*x] + Log[((1 - a*c)*(d + e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))])^2)
/(2*a) + (b*h*Log[(b*c*x)/(1 - a*c)]*Log[1 - a*c - b*c*x]*(n*Log[d + e*x] - Log[f*(d + e*x)^n]))/a + (b*h*n*(L
og[c*(a + b*x)] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(b*c*(d + e*x))] - Log[((b*c*d + e - a*c*e)*(a + b*x))/(b*(d + e*x))
])*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]^2)/(2*a) - (e*h*n*(Log[c*(a + b*x)] + Log[(b*c*d + e - a
*c*e)/(b*c*(d + e*x))] - Log[((b*c*d + e - a*c*e)*(a + b*x))/(b*(d + e*x))])*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1
- c*(a + b*x)))]^2)/(2*d) + (e*h*n*Log[x]*Log[1 + (b*x)/a]*Log[1 - c*(a + b*x)])/d + (b*h*n*Log[c*(a + b*x)]*
Log[d + e*x]*Log[1 - c*(a + b*x)])/a - (e*h*n*Log[c*(a + b*x)]*Log[d + e*x]*Log[1 - c*(a + b*x)])/d - (b*h*n*(
Log[c*(a + b*x)] - Log[-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Lo
g[1 - c*(a + b*x)])^2)/(2*a) + (e*h*n*(Log[c*(a + b*x)] - Log[-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])*(Log[(b*(d + e*x)
)/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])^2)/(2*d) + (e*h*n*(Log[1 + (b*x)/a] + Log[(1 - a*c)
/(1 - c*(a + b*x))] - Log[((1 - a*c)*(a + b*x))/(a*(1 - c*(a + b*x)))])*Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))]^2)
/(2*d) + (e*h*n*(Log[c*(a + b*x)] - Log[1 + (b*x)/a])*(Log[x] + Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))])^2)/(2*d)
+ (e*h*n*(Log[1 - c*(a + b*x)] - Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))])*PolyLog[2, -((b*x)/a)])/d - (b*g*PolyLog
[2, c*(a + b*x)])/a + (e*h*n*Log[x]*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/d - (e*h*n*Log[d + e*x]*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/
d + (b*h*(n*Log[d + e*x] - Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/a - ((g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLo
g[2, c*(a + b*x)])/x - (b*g*PolyLog[2, 1 - (b*c*x)/(1 - a*c)])/a - (b*h*n*(Log[d + e*x] - Log[((1 - a*c)*(d +
e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))])*PolyLog[2, 1 - (b*c*x)/(1 - a*c)])/a + (b*h*(n*Log[d + e*x] - Log[f*(d + e*x)^n]
)*PolyLog[2, 1 - (b*c*x)/(1 - a*c)])/a - (b*h*n*Log[((1 - a*c)*(d + e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))]*PolyLog[2, (d
*(1 - a*c - b*c*x))/((1 - a*c)*(d + e*x))])/a + (b*h*n*Log[((1 - a*c)*(d + e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))]*PolyLo
g[2, -((e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*(d + e*x)))])/a + (b*h*n*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]
+ Log[1 - c*(a + b*x)])*PolyLog[2, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/a - (e*h*n*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1
- c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])*PolyLog[2, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/d - (b*h*n*(Log[1 - a*c - b*c*
x] + Log[((1 - a*c)*(d + e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))])*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/a + (e*h*n*Log[-((a*(1 - c*(a
+ b*x)))/(b*x))]*PolyLog[2, -((b*x)/(a*(1 - c*(a + b*x))))])/d - (e*h*n*Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))]*Po
lyLog[2, -((b*c*x)/(1 - c*(a + b*x)))])/d + (b*h*n*(Log[d + e*x] - Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a +
b*x)))])*PolyLog[2, 1 - c*(a + b*x)])/a - (e*h*n*(Log[d + e*x] - Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*
x)))])*PolyLog[2, 1 - c*(a + b*x)])/d + (e*h*n*(Log[x] + Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))])*PolyLog[2, 1 - c
*(a + b*x)])/d - (b*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/
(b*c*(d + e*x)))])/a + (e*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, -((e*(1 - c*(a + b
*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/d + (b*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, ((b*d - a*e)
*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/a - (e*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, (
(b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/d - (e*h*n*PolyLog[3, -((b*x)/a)])/d + (b*h*n*PolyLog[3, 1 - (b
*c*x)/(1 - a*c)])/a - (b*h*n*PolyLog[3, (d*(1 - a*c - b*c*x))/((1 - a*c)*(d + e*x))])/a + (b*h*n*PolyLog[3, -(
(e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*(d + e*x)))])/a - (b*h*n*PolyLog[3, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/a + (e*h*n*PolyLog[
3, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/d + (b*h*n*PolyLog[3, 1 + (e*x)/d])/a + (e*h*n*PolyLog[3, -((b*x)/(a*(1 - c*(a
+ b*x))))])/d - (e*h*n*PolyLog[3, -((b*c*x)/(1 - c*(a + b*x)))])/d - (b*h*n*PolyLog[3, 1 - c*(a + b*x)])/a - (
b*h*n*PolyLog[3, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/a + (e*h*n*PolyLog[3, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c
*(d + e*x)))])/d + (b*h*n*PolyLog[3, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/a - (e*h*n*PolyLog[3, ((b
*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/d

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 2.66747, antiderivative size = 2498, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 22, number of rules used = 9, integrand size = 27, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.333, Rules used = {6603, 2438, 2394, 2315, 2437, 2435, 2440, 2391, 6597} \[ \text{result too large to display} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[((g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/x^2,x]

[Out]

-((b*g*Log[(b*c*x)/(1 - a*c)]*Log[1 - a*c - b*c*x])/a) - (b*h*n*Log[(b*c*x)/(1 - a*c)]*Log[1 - a*c - b*c*x]*Lo
g[d + e*x])/a - (b*h*n*(Log[(b*c*x)/(1 - a*c)] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(b*c*(d + e*x))] - Log[((b*c*d + e -
a*c*e)*x)/((1 - a*c)*(d + e*x))])*Log[((1 - a*c)*(d + e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))]^2)/(2*a) + (b*h*n*(Log[(b*c
*x)/(1 - a*c)] - Log[-((e*x)/d)])*(Log[1 - a*c - b*c*x] + Log[((1 - a*c)*(d + e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))])^2)
/(2*a) + (b*h*Log[(b*c*x)/(1 - a*c)]*Log[1 - a*c - b*c*x]*(n*Log[d + e*x] - Log[f*(d + e*x)^n]))/a + (b*h*n*(L
og[c*(a + b*x)] + Log[(b*c*d + e - a*c*e)/(b*c*(d + e*x))] - Log[((b*c*d + e - a*c*e)*(a + b*x))/(b*(d + e*x))
])*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]^2)/(2*a) - (e*h*n*(Log[c*(a + b*x)] + Log[(b*c*d + e - a
*c*e)/(b*c*(d + e*x))] - Log[((b*c*d + e - a*c*e)*(a + b*x))/(b*(d + e*x))])*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1
- c*(a + b*x)))]^2)/(2*d) + (e*h*n*Log[x]*Log[1 + (b*x)/a]*Log[1 - c*(a + b*x)])/d + (b*h*n*Log[c*(a + b*x)]*
Log[d + e*x]*Log[1 - c*(a + b*x)])/a - (e*h*n*Log[c*(a + b*x)]*Log[d + e*x]*Log[1 - c*(a + b*x)])/d - (b*h*n*(
Log[c*(a + b*x)] - Log[-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Lo
g[1 - c*(a + b*x)])^2)/(2*a) + (e*h*n*(Log[c*(a + b*x)] - Log[-((e*(a + b*x))/(b*d - a*e))])*(Log[(b*(d + e*x)
)/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])^2)/(2*d) + (e*h*n*(Log[1 + (b*x)/a] + Log[(1 - a*c)
/(1 - c*(a + b*x))] - Log[((1 - a*c)*(a + b*x))/(a*(1 - c*(a + b*x)))])*Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))]^2)
/(2*d) + (e*h*n*(Log[c*(a + b*x)] - Log[1 + (b*x)/a])*(Log[x] + Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))])^2)/(2*d)
+ (e*h*n*(Log[1 - c*(a + b*x)] - Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))])*PolyLog[2, -((b*x)/a)])/d - (b*g*PolyLog
[2, c*(a + b*x)])/a + (e*h*n*Log[x]*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/d - (e*h*n*Log[d + e*x]*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/
d + (b*h*(n*Log[d + e*x] - Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/a - ((g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLo
g[2, c*(a + b*x)])/x - (b*g*PolyLog[2, 1 - (b*c*x)/(1 - a*c)])/a - (b*h*n*(Log[d + e*x] - Log[((1 - a*c)*(d +
e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))])*PolyLog[2, 1 - (b*c*x)/(1 - a*c)])/a + (b*h*(n*Log[d + e*x] - Log[f*(d + e*x)^n]
)*PolyLog[2, 1 - (b*c*x)/(1 - a*c)])/a - (b*h*n*Log[((1 - a*c)*(d + e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))]*PolyLog[2, (d
*(1 - a*c - b*c*x))/((1 - a*c)*(d + e*x))])/a + (b*h*n*Log[((1 - a*c)*(d + e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))]*PolyLo
g[2, -((e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*(d + e*x)))])/a + (b*h*n*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]
+ Log[1 - c*(a + b*x)])*PolyLog[2, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/a - (e*h*n*(Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1
- c*(a + b*x)))] + Log[1 - c*(a + b*x)])*PolyLog[2, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/d - (b*h*n*(Log[1 - a*c - b*c*
x] + Log[((1 - a*c)*(d + e*x))/(d*(1 - a*c - b*c*x))])*PolyLog[2, 1 + (e*x)/d])/a + (e*h*n*Log[-((a*(1 - c*(a
+ b*x)))/(b*x))]*PolyLog[2, -((b*x)/(a*(1 - c*(a + b*x))))])/d - (e*h*n*Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))]*Po
lyLog[2, -((b*c*x)/(1 - c*(a + b*x)))])/d + (b*h*n*(Log[d + e*x] - Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a +
b*x)))])*PolyLog[2, 1 - c*(a + b*x)])/a - (e*h*n*(Log[d + e*x] - Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*
x)))])*PolyLog[2, 1 - c*(a + b*x)])/d + (e*h*n*(Log[x] + Log[-((a*(1 - c*(a + b*x)))/(b*x))])*PolyLog[2, 1 - c
*(a + b*x)])/d - (b*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/
(b*c*(d + e*x)))])/a + (e*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, -((e*(1 - c*(a + b
*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/d + (b*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, ((b*d - a*e)
*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/a - (e*h*n*Log[(b*(d + e*x))/((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, (
(b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/d - (e*h*n*PolyLog[3, -((b*x)/a)])/d + (b*h*n*PolyLog[3, 1 - (b
*c*x)/(1 - a*c)])/a - (b*h*n*PolyLog[3, (d*(1 - a*c - b*c*x))/((1 - a*c)*(d + e*x))])/a + (b*h*n*PolyLog[3, -(
(e*(1 - a*c - b*c*x))/(b*c*(d + e*x)))])/a - (b*h*n*PolyLog[3, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/a + (e*h*n*PolyLog[
3, (b*(d + e*x))/(b*d - a*e)])/d + (b*h*n*PolyLog[3, 1 + (e*x)/d])/a + (e*h*n*PolyLog[3, -((b*x)/(a*(1 - c*(a
+ b*x))))])/d - (e*h*n*PolyLog[3, -((b*c*x)/(1 - c*(a + b*x)))])/d - (b*h*n*PolyLog[3, 1 - c*(a + b*x)])/a - (
b*h*n*PolyLog[3, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c*(d + e*x)))])/a + (e*h*n*PolyLog[3, -((e*(1 - c*(a + b*x)))/(b*c
*(d + e*x)))])/d + (b*h*n*PolyLog[3, ((b*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/a - (e*h*n*PolyLog[3, ((b
*d - a*e)*(1 - c*(a + b*x)))/(b*(d + e*x))])/d

Rule 6603

Int[((g_.) + Log[(f_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(h_.))*(x_)^(m_.)*PolyLog[2, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))], x
_Symbol] :> Simp[(x^(m + 1)*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/(m + 1), x] + (Dist[b/(m + 1),
Int[ExpandIntegrand[(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*Log[1 - a*c - b*c*x], x^(m + 1)/(a + b*x), x], x], x] - Dist[(
e*h*n)/(m + 1), Int[ExpandIntegrand[PolyLog[2, c*(a + b*x)], x^(m + 1)/(d + e*x), x], x], x]) /; FreeQ[{a, b,
c, d, e, f, g, h, n}, x] && IntegerQ[m] && NeQ[m, -1]

Rule 2438

Int[(((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))*(Log[(h_.)*((i_.) + (j_.)*(x_))^(m_.)]*(g_.) + (f_))
)/(x_), x_Symbol] :> Dist[f, Int[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/x, x], x] + Dist[g, Int[(Log[h*(i + j*x)^m]*(a + b
*Log[c*(d + e*x)^n]))/x, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, m, n}, x] && NeQ[e*i - d*j, 0]

Rule 2394

Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))/((f_.) + (g_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(Log[(e*(f +
g*x))/(e*f - d*g)]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]))/g, x] - Dist[(b*e*n)/g, Int[Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)]/(d +
e*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && NeQ[e*f - d*g, 0]

Rule 2315

Int[Log[(c_.)*(x_)]/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, 1 - c*x]/e, x] /; FreeQ[{c, d, e}, x] &
& EqQ[e + c*d, 0]

Rule 2437

Int[(Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*Log[(h_.)*((i_.) + (j_.)*(x_))^(m_.)])/(x_), x_Symbol] :> Dist[m, In
t[(Log[i + j*x]*Log[c*(d + e*x)^n])/x, x], x] - Dist[m*Log[i + j*x] - Log[h*(i + j*x)^m], Int[Log[c*(d + e*x)^
n]/x, x], x] /; FreeQ[{c, d, e, h, i, j, m, n}, x] && NeQ[e*i - d*j, 0] && NeQ[i + j*x, h*(i + j*x)^m]

Rule 2435

Int[(Log[(a_) + (b_.)*(x_)]*Log[(c_) + (d_.)*(x_)])/(x_), x_Symbol] :> Simp[Log[-((b*x)/a)]*Log[a + b*x]*Log[c
+ d*x], x] + (Simp[(1*(Log[-((b*x)/a)] - Log[-(((b*c - a*d)*x)/(a*(c + d*x)))] + Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x)
)])*Log[(a*(c + d*x))/(c*(a + b*x))]^2)/2, x] - Simp[(1*(Log[-((b*x)/a)] - Log[-((d*x)/c)])*(Log[a + b*x] + Lo
g[(a*(c + d*x))/(c*(a + b*x))])^2)/2, x] + Simp[(Log[c + d*x] - Log[(a*(c + d*x))/(c*(a + b*x))])*PolyLog[2, 1
+ (b*x)/a], x] + Simp[(Log[a + b*x] + Log[(a*(c + d*x))/(c*(a + b*x))])*PolyLog[2, 1 + (d*x)/c], x] + Simp[Lo
g[(a*(c + d*x))/(c*(a + b*x))]*PolyLog[2, (c*(a + b*x))/(a*(c + d*x))], x] - Simp[Log[(a*(c + d*x))/(c*(a + b*
x))]*PolyLog[2, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))], x] - Simp[PolyLog[3, 1 + (b*x)/a], x] - Simp[PolyLog[3, 1 + (d*x
)/c], x] + Simp[PolyLog[3, (c*(a + b*x))/(a*(c + d*x))], x] - Simp[PolyLog[3, (d*(a + b*x))/(b*(c + d*x))], x]
) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]

Rule 2440

Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))*((f_.) + Log[(h_.)*((i_.) + (j_.)*(x_))^(m_.)]*(g_.))
*((k_) + (l_.)*(x_))^(r_.), x_Symbol] :> Dist[1/l, Subst[Int[x^r*(a + b*Log[c*(-((e*k - d*l)/l) + (e*x)/l)^n])
*(f + g*Log[h*(-((j*k - i*l)/l) + (j*x)/l)^m]), x], x, k + l*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k,
l, m, n}, x] && IntegerQ[r]

Rule 2391

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, -(c*e*x^n)]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rule 6597

Int[PolyLog[2, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(Log[d + e*x]*PolyLog[2, c*
(a + b*x)])/e, x] + Dist[b/e, Int[(Log[d + e*x]*Log[1 - a*c - b*c*x])/(a + b*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
e}, x] && NeQ[c*(b*d - a*e) + e, 0]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))}{x^2} \, dx &=-\frac{\left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))}{x}-b \int \left (\frac{\log (1-a c-b c x) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )}{a x}-\frac{b \log (1-a c-b c x) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )}{a (a+b x)}\right ) \, dx+(e h n) \int \left (\frac{\text{Li}_2(c (a+b x))}{d x}-\frac{e \text{Li}_2(c (a+b x))}{d (d+e x)}\right ) \, dx\\ &=-\frac{\left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))}{x}-\frac{b \int \frac{\log (1-a c-b c x) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )}{x} \, dx}{a}+\frac{b^2 \int \frac{\log (1-a c-b c x) \left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right )}{a+b x} \, dx}{a}+\frac{(e h n) \int \frac{\text{Li}_2(c (a+b x))}{x} \, dx}{d}-\frac{\left (e^2 h n\right ) \int \frac{\text{Li}_2(c (a+b x))}{d+e x} \, dx}{d}\\ &=\frac{e h n \log (x) \text{Li}_2(c (a+b x))}{d}-\frac{e h n \log (d+e x) \text{Li}_2(c (a+b x))}{d}-\frac{\left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))}{x}+\frac{b \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (-\frac{-a b c-b (1-a c)}{b}-c x\right ) \left (g+h \log \left (f \left (-\frac{-b d+a e}{b}+\frac{e x}{b}\right )^n\right )\right )}{x} \, dx,x,a+b x\right )}{a}-\frac{(b g) \int \frac{\log (1-a c-b c x)}{x} \, dx}{a}-\frac{(b h) \int \frac{\log (1-a c-b c x) \log \left (f (d+e x)^n\right )}{x} \, dx}{a}+\frac{(b e h n) \int \frac{\log (x) \log (1-a c-b c x)}{a+b x} \, dx}{d}-\frac{(b e h n) \int \frac{\log (1-a c-b c x) \log (d+e x)}{a+b x} \, dx}{d}\\ &=-\frac{b g \log \left (\frac{b c x}{1-a c}\right ) \log (1-a c-b c x)}{a}+\frac{e h n \log (x) \text{Li}_2(c (a+b x))}{d}-\frac{e h n \log (d+e x) \text{Li}_2(c (a+b x))}{d}-\frac{\left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))}{x}+\frac{(b g) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (-\frac{-a b c-b (1-a c)}{b}-c x\right )}{x} \, dx,x,a+b x\right )}{a}-\frac{\left (b^2 c g\right ) \int \frac{\log \left (-\frac{b c x}{-1+a c}\right )}{1-a c-b c x} \, dx}{a}+\frac{(b h) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (-\frac{-a b c-b (1-a c)}{b}-c x\right ) \log \left (f \left (-\frac{-b d+a e}{b}+\frac{e x}{b}\right )^n\right )}{x} \, dx,x,a+b x\right )}{a}-\frac{(b h n) \int \frac{\log (1-a c-b c x) \log (d+e x)}{x} \, dx}{a}+\frac{(e h n) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (-\frac{a}{b}+\frac{x}{b}\right ) \log \left (-\frac{-a b c-b (1-a c)}{b}-c x\right )}{x} \, dx,x,a+b x\right )}{d}-\frac{(e h n) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (-\frac{-a b c-b (1-a c)}{b}-c x\right ) \log \left (-\frac{-b d+a e}{b}+\frac{e x}{b}\right )}{x} \, dx,x,a+b x\right )}{d}+\frac{\left (b h \left (n \log (d+e x)-\log \left (f (d+e x)^n\right )\right )\right ) \int \frac{\log (1-a c-b c x)}{x} \, dx}{a}\\ &=-\frac{b g \log \left (\frac{b c x}{1-a c}\right ) \log (1-a c-b c x)}{a}-\frac{b h n \log \left (\frac{b c x}{1-a c}\right ) \log (1-a c-b c x) \log (d+e x)}{a}-\frac{b h n \left (\log \left (\frac{b c x}{1-a c}\right )+\log \left (\frac{b c d+e-a c e}{b c (d+e x)}\right )-\log \left (\frac{(b c d+e-a c e) x}{(1-a c) (d+e x)}\right )\right ) \log ^2\left (\frac{(1-a c) (d+e x)}{d (1-a c-b c x)}\right )}{2 a}+\frac{b h n \left (\log \left (\frac{b c x}{1-a c}\right )-\log \left (-\frac{e x}{d}\right )\right ) \left (\log (1-a c-b c x)+\log \left (\frac{(1-a c) (d+e x)}{d (1-a c-b c x)}\right )\right )^2}{2 a}+\frac{b h \log \left (\frac{b c x}{1-a c}\right ) \log (1-a c-b c x) \left (n \log (d+e x)-\log \left (f (d+e x)^n\right )\right )}{a}-\frac{e h n \left (\log (c (a+b x))+\log \left (\frac{b c d+e-a c e}{b c (d+e x)}\right )-\log \left (\frac{(b c d+e-a c e) (a+b x)}{b (d+e x)}\right )\right ) \log ^2\left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )}{2 d}+\frac{e h n \log (x) \log \left (1+\frac{b x}{a}\right ) \log (1-c (a+b x))}{d}-\frac{e h n \log (c (a+b x)) \log (d+e x) \log (1-c (a+b x))}{d}+\frac{e h n \left (\log (c (a+b x))-\log \left (-\frac{e (a+b x)}{b d-a e}\right )\right ) \left (\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )+\log (1-c (a+b x))\right )^2}{2 d}+\frac{e h n \left (\log \left (1+\frac{b x}{a}\right )+\log \left (\frac{1-a c}{1-c (a+b x)}\right )-\log \left (\frac{(1-a c) (a+b x)}{a (1-c (a+b x))}\right )\right ) \log ^2\left (-\frac{a (1-c (a+b x))}{b x}\right )}{2 d}+\frac{e h n \left (\log (c (a+b x))-\log \left (1+\frac{b x}{a}\right )\right ) \left (\log (x)+\log \left (-\frac{a (1-c (a+b x))}{b x}\right )\right )^2}{2 d}+\frac{e h n \left (\log (1-c (a+b x))-\log \left (-\frac{a (1-c (a+b x))}{b x}\right )\right ) \text{Li}_2\left (-\frac{b x}{a}\right )}{d}-\frac{b g \text{Li}_2(c (a+b x))}{a}+\frac{e h n \log (x) \text{Li}_2(c (a+b x))}{d}-\frac{e h n \log (d+e x) \text{Li}_2(c (a+b x))}{d}-\frac{\left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))}{x}-\frac{b g \text{Li}_2\left (1-\frac{b c x}{1-a c}\right )}{a}-\frac{b h n \left (\log (d+e x)-\log \left (\frac{(1-a c) (d+e x)}{d (1-a c-b c x)}\right )\right ) \text{Li}_2\left (1-\frac{b c x}{1-a c}\right )}{a}-\frac{b h n \log \left (\frac{(1-a c) (d+e x)}{d (1-a c-b c x)}\right ) \text{Li}_2\left (\frac{d (1-a c-b c x)}{(1-a c) (d+e x)}\right )}{a}+\frac{b h n \log \left (\frac{(1-a c) (d+e x)}{d (1-a c-b c x)}\right ) \text{Li}_2\left (-\frac{e (1-a c-b c x)}{b c (d+e x)}\right )}{a}-\frac{e h n \left (\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )+\log (1-c (a+b x))\right ) \text{Li}_2\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{d}-\frac{b h n \left (\log (1-a c-b c x)+\log \left (\frac{(1-a c) (d+e x)}{d (1-a c-b c x)}\right )\right ) \text{Li}_2\left (1+\frac{e x}{d}\right )}{a}+\frac{e h n \log \left (-\frac{a (1-c (a+b x))}{b x}\right ) \text{Li}_2\left (-\frac{b x}{a (1-c (a+b x))}\right )}{d}-\frac{e h n \log \left (-\frac{a (1-c (a+b x))}{b x}\right ) \text{Li}_2\left (-\frac{b c x}{1-c (a+b x)}\right )}{d}-\frac{e h n \left (\log (d+e x)-\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )\right ) \text{Li}_2(1-c (a+b x))}{d}+\frac{e h n \left (\log (x)+\log \left (-\frac{a (1-c (a+b x))}{b x}\right )\right ) \text{Li}_2(1-c (a+b x))}{d}+\frac{e h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right ) \text{Li}_2\left (-\frac{e (1-c (a+b x))}{b c (d+e x)}\right )}{d}-\frac{e h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right ) \text{Li}_2\left (\frac{(b d-a e) (1-c (a+b x))}{b (d+e x)}\right )}{d}-\frac{e h n \text{Li}_3\left (-\frac{b x}{a}\right )}{d}+\frac{b h n \text{Li}_3\left (1-\frac{b c x}{1-a c}\right )}{a}-\frac{b h n \text{Li}_3\left (\frac{d (1-a c-b c x)}{(1-a c) (d+e x)}\right )}{a}+\frac{b h n \text{Li}_3\left (-\frac{e (1-a c-b c x)}{b c (d+e x)}\right )}{a}+\frac{e h n \text{Li}_3\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{d}+\frac{b h n \text{Li}_3\left (1+\frac{e x}{d}\right )}{a}+\frac{e h n \text{Li}_3\left (-\frac{b x}{a (1-c (a+b x))}\right )}{d}-\frac{e h n \text{Li}_3\left (-\frac{b c x}{1-c (a+b x)}\right )}{d}+\frac{e h n \text{Li}_3\left (-\frac{e (1-c (a+b x))}{b c (d+e x)}\right )}{d}-\frac{e h n \text{Li}_3\left (\frac{(b d-a e) (1-c (a+b x))}{b (d+e x)}\right )}{d}+\frac{(b h n) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (-\frac{-a b c-b (1-a c)}{b}-c x\right ) \log \left (-\frac{-b d+a e}{b}+\frac{e x}{b}\right )}{x} \, dx,x,a+b x\right )}{a}-\frac{\left (b h \left (n \log (d+e x)-\log \left (f (d+e x)^n\right )\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (-\frac{-a b c-b (1-a c)}{b}-c x\right )}{x} \, dx,x,a+b x\right )}{a}+\frac{\left (b^2 c h \left (n \log (d+e x)-\log \left (f (d+e x)^n\right )\right )\right ) \int \frac{\log \left (-\frac{b c x}{-1+a c}\right )}{1-a c-b c x} \, dx}{a}\\ &=-\frac{b g \log \left (\frac{b c x}{1-a c}\right ) \log (1-a c-b c x)}{a}-\frac{b h n \log \left (\frac{b c x}{1-a c}\right ) \log (1-a c-b c x) \log (d+e x)}{a}-\frac{b h n \left (\log \left (\frac{b c x}{1-a c}\right )+\log \left (\frac{b c d+e-a c e}{b c (d+e x)}\right )-\log \left (\frac{(b c d+e-a c e) x}{(1-a c) (d+e x)}\right )\right ) \log ^2\left (\frac{(1-a c) (d+e x)}{d (1-a c-b c x)}\right )}{2 a}+\frac{b h n \left (\log \left (\frac{b c x}{1-a c}\right )-\log \left (-\frac{e x}{d}\right )\right ) \left (\log (1-a c-b c x)+\log \left (\frac{(1-a c) (d+e x)}{d (1-a c-b c x)}\right )\right )^2}{2 a}+\frac{b h \log \left (\frac{b c x}{1-a c}\right ) \log (1-a c-b c x) \left (n \log (d+e x)-\log \left (f (d+e x)^n\right )\right )}{a}+\frac{b h n \left (\log (c (a+b x))+\log \left (\frac{b c d+e-a c e}{b c (d+e x)}\right )-\log \left (\frac{(b c d+e-a c e) (a+b x)}{b (d+e x)}\right )\right ) \log ^2\left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )}{2 a}-\frac{e h n \left (\log (c (a+b x))+\log \left (\frac{b c d+e-a c e}{b c (d+e x)}\right )-\log \left (\frac{(b c d+e-a c e) (a+b x)}{b (d+e x)}\right )\right ) \log ^2\left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )}{2 d}+\frac{e h n \log (x) \log \left (1+\frac{b x}{a}\right ) \log (1-c (a+b x))}{d}+\frac{b h n \log (c (a+b x)) \log (d+e x) \log (1-c (a+b x))}{a}-\frac{e h n \log (c (a+b x)) \log (d+e x) \log (1-c (a+b x))}{d}-\frac{b h n \left (\log (c (a+b x))-\log \left (-\frac{e (a+b x)}{b d-a e}\right )\right ) \left (\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )+\log (1-c (a+b x))\right )^2}{2 a}+\frac{e h n \left (\log (c (a+b x))-\log \left (-\frac{e (a+b x)}{b d-a e}\right )\right ) \left (\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )+\log (1-c (a+b x))\right )^2}{2 d}+\frac{e h n \left (\log \left (1+\frac{b x}{a}\right )+\log \left (\frac{1-a c}{1-c (a+b x)}\right )-\log \left (\frac{(1-a c) (a+b x)}{a (1-c (a+b x))}\right )\right ) \log ^2\left (-\frac{a (1-c (a+b x))}{b x}\right )}{2 d}+\frac{e h n \left (\log (c (a+b x))-\log \left (1+\frac{b x}{a}\right )\right ) \left (\log (x)+\log \left (-\frac{a (1-c (a+b x))}{b x}\right )\right )^2}{2 d}+\frac{e h n \left (\log (1-c (a+b x))-\log \left (-\frac{a (1-c (a+b x))}{b x}\right )\right ) \text{Li}_2\left (-\frac{b x}{a}\right )}{d}-\frac{b g \text{Li}_2(c (a+b x))}{a}+\frac{e h n \log (x) \text{Li}_2(c (a+b x))}{d}-\frac{e h n \log (d+e x) \text{Li}_2(c (a+b x))}{d}+\frac{b h \left (n \log (d+e x)-\log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))}{a}-\frac{\left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2(c (a+b x))}{x}-\frac{b g \text{Li}_2\left (1-\frac{b c x}{1-a c}\right )}{a}-\frac{b h n \left (\log (d+e x)-\log \left (\frac{(1-a c) (d+e x)}{d (1-a c-b c x)}\right )\right ) \text{Li}_2\left (1-\frac{b c x}{1-a c}\right )}{a}+\frac{b h \left (n \log (d+e x)-\log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{Li}_2\left (1-\frac{b c x}{1-a c}\right )}{a}-\frac{b h n \log \left (\frac{(1-a c) (d+e x)}{d (1-a c-b c x)}\right ) \text{Li}_2\left (\frac{d (1-a c-b c x)}{(1-a c) (d+e x)}\right )}{a}+\frac{b h n \log \left (\frac{(1-a c) (d+e x)}{d (1-a c-b c x)}\right ) \text{Li}_2\left (-\frac{e (1-a c-b c x)}{b c (d+e x)}\right )}{a}+\frac{b h n \left (\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )+\log (1-c (a+b x))\right ) \text{Li}_2\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{a}-\frac{e h n \left (\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )+\log (1-c (a+b x))\right ) \text{Li}_2\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{d}-\frac{b h n \left (\log (1-a c-b c x)+\log \left (\frac{(1-a c) (d+e x)}{d (1-a c-b c x)}\right )\right ) \text{Li}_2\left (1+\frac{e x}{d}\right )}{a}+\frac{e h n \log \left (-\frac{a (1-c (a+b x))}{b x}\right ) \text{Li}_2\left (-\frac{b x}{a (1-c (a+b x))}\right )}{d}-\frac{e h n \log \left (-\frac{a (1-c (a+b x))}{b x}\right ) \text{Li}_2\left (-\frac{b c x}{1-c (a+b x)}\right )}{d}+\frac{b h n \left (\log (d+e x)-\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )\right ) \text{Li}_2(1-c (a+b x))}{a}-\frac{e h n \left (\log (d+e x)-\log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right )\right ) \text{Li}_2(1-c (a+b x))}{d}+\frac{e h n \left (\log (x)+\log \left (-\frac{a (1-c (a+b x))}{b x}\right )\right ) \text{Li}_2(1-c (a+b x))}{d}-\frac{b h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right ) \text{Li}_2\left (-\frac{e (1-c (a+b x))}{b c (d+e x)}\right )}{a}+\frac{e h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right ) \text{Li}_2\left (-\frac{e (1-c (a+b x))}{b c (d+e x)}\right )}{d}+\frac{b h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right ) \text{Li}_2\left (\frac{(b d-a e) (1-c (a+b x))}{b (d+e x)}\right )}{a}-\frac{e h n \log \left (\frac{b (d+e x)}{(b d-a e) (1-c (a+b x))}\right ) \text{Li}_2\left (\frac{(b d-a e) (1-c (a+b x))}{b (d+e x)}\right )}{d}-\frac{e h n \text{Li}_3\left (-\frac{b x}{a}\right )}{d}+\frac{b h n \text{Li}_3\left (1-\frac{b c x}{1-a c}\right )}{a}-\frac{b h n \text{Li}_3\left (\frac{d (1-a c-b c x)}{(1-a c) (d+e x)}\right )}{a}+\frac{b h n \text{Li}_3\left (-\frac{e (1-a c-b c x)}{b c (d+e x)}\right )}{a}-\frac{b h n \text{Li}_3\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{a}+\frac{e h n \text{Li}_3\left (\frac{b (d+e x)}{b d-a e}\right )}{d}+\frac{b h n \text{Li}_3\left (1+\frac{e x}{d}\right )}{a}+\frac{e h n \text{Li}_3\left (-\frac{b x}{a (1-c (a+b x))}\right )}{d}-\frac{e h n \text{Li}_3\left (-\frac{b c x}{1-c (a+b x)}\right )}{d}-\frac{b h n \text{Li}_3(1-c (a+b x))}{a}-\frac{b h n \text{Li}_3\left (-\frac{e (1-c (a+b x))}{b c (d+e x)}\right )}{a}+\frac{e h n \text{Li}_3\left (-\frac{e (1-c (a+b x))}{b c (d+e x)}\right )}{d}+\frac{b h n \text{Li}_3\left (\frac{(b d-a e) (1-c (a+b x))}{b (d+e x)}\right )}{a}-\frac{e h n \text{Li}_3\left (\frac{(b d-a e) (1-c (a+b x))}{b (d+e x)}\right )}{d}\\ \end{align*}

Mathematica [F]  time = 10.1921, size = 0, normalized size = 0. \[ \int \frac{\left (g+h \log \left (f (d+e x)^n\right )\right ) \text{PolyLog}(2,c (a+b x))}{x^2} \, dx \]

Verification is Not applicable to the result.

[In]

Integrate[((g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/x^2,x]

[Out]

Integrate[((g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)])/x^2, x]

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.428, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\frac{ \left ( g+h\ln \left ( f \left ( ex+d \right ) ^{n} \right ) \right ){\it polylog} \left ( 2,c \left ( bx+a \right ) \right ) }{{x}^{2}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((g+h*ln(f*(e*x+d)^n))*polylog(2,c*(b*x+a))/x^2,x)

[Out]

int((g+h*ln(f*(e*x+d)^n))*polylog(2,c*(b*x+a))/x^2,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (h \log \left ({\left (e x + d\right )}^{n} f\right ) + g\right )}{\rm Li}_2\left ({\left (b x + a\right )} c\right )}{x^{2}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((g+h*log(f*(e*x+d)^n))*polylog(2,c*(b*x+a))/x^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((h*log((e*x + d)^n*f) + g)*dilog((b*x + a)*c)/x^2, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (\frac{h{\rm Li}_2\left (b c x + a c\right ) \log \left ({\left (e x + d\right )}^{n} f\right ) + g{\rm Li}_2\left (b c x + a c\right )}{x^{2}}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((g+h*log(f*(e*x+d)^n))*polylog(2,c*(b*x+a))/x^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((h*dilog(b*c*x + a*c)*log((e*x + d)^n*f) + g*dilog(b*c*x + a*c))/x^2, x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((g+h*ln(f*(e*x+d)**n))*polylog(2,c*(b*x+a))/x**2,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (h \log \left ({\left (e x + d\right )}^{n} f\right ) + g\right )}{\rm Li}_2\left ({\left (b x + a\right )} c\right )}{x^{2}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((g+h*log(f*(e*x+d)^n))*polylog(2,c*(b*x+a))/x^2,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((h*log((e*x + d)^n*f) + g)*dilog((b*x + a)*c)/x^2, x)