3.18 \(\int \frac{\text{sech}^{-1}(a+b x)^3}{x^2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=330 \[ \frac{6 b \text{sech}^{-1}(a+b x) \text{PolyLog}\left (2,\frac{a e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}}{1-\sqrt{1-a^2}}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}-\frac{6 b \text{sech}^{-1}(a+b x) \text{PolyLog}\left (2,\frac{a e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}}{\sqrt{1-a^2}+1}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}-\frac{6 b \text{PolyLog}\left (3,\frac{a e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}}{1-\sqrt{1-a^2}}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}+\frac{6 b \text{PolyLog}\left (3,\frac{a e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}}{\sqrt{1-a^2}+1}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}+\frac{3 b \text{sech}^{-1}(a+b x)^2 \log \left (1-\frac{a e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}}{1-\sqrt{1-a^2}}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}-\frac{3 b \text{sech}^{-1}(a+b x)^2 \log \left (1-\frac{a e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}}{\sqrt{1-a^2}+1}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}-\frac{b \text{sech}^{-1}(a+b x)^3}{a}-\frac{\text{sech}^{-1}(a+b x)^3}{x} \]

[Out]

-((b*ArcSech[a + b*x]^3)/a) - ArcSech[a + b*x]^3/x + (3*b*ArcSech[a + b*x]^2*Log[1 - (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1
- Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2]) - (3*b*ArcSech[a + b*x]^2*Log[1 - (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a
^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2]) + (6*b*ArcSech[a + b*x]*PolyLog[2, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sq
rt[1 - a^2]) - (6*b*ArcSech[a + b*x]*PolyLog[2, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2])
- (6*b*PolyLog[3, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2]) + (6*b*PolyLog[3, (a*E^ArcSe
ch[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.575216, antiderivative size = 330, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 14, number of rules used = 9, integrand size = 12, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.75, Rules used = {6321, 5468, 4191, 3320, 2264, 2190, 2531, 2282, 6589} \[ \frac{6 b \text{sech}^{-1}(a+b x) \text{PolyLog}\left (2,\frac{a e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}}{1-\sqrt{1-a^2}}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}-\frac{6 b \text{sech}^{-1}(a+b x) \text{PolyLog}\left (2,\frac{a e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}}{\sqrt{1-a^2}+1}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}-\frac{6 b \text{PolyLog}\left (3,\frac{a e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}}{1-\sqrt{1-a^2}}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}+\frac{6 b \text{PolyLog}\left (3,\frac{a e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}}{\sqrt{1-a^2}+1}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}+\frac{3 b \text{sech}^{-1}(a+b x)^2 \log \left (1-\frac{a e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}}{1-\sqrt{1-a^2}}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}-\frac{3 b \text{sech}^{-1}(a+b x)^2 \log \left (1-\frac{a e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}}{\sqrt{1-a^2}+1}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}-\frac{b \text{sech}^{-1}(a+b x)^3}{a}-\frac{\text{sech}^{-1}(a+b x)^3}{x} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[ArcSech[a + b*x]^3/x^2,x]

[Out]

-((b*ArcSech[a + b*x]^3)/a) - ArcSech[a + b*x]^3/x + (3*b*ArcSech[a + b*x]^2*Log[1 - (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1
- Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2]) - (3*b*ArcSech[a + b*x]^2*Log[1 - (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a
^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2]) + (6*b*ArcSech[a + b*x]*PolyLog[2, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sq
rt[1 - a^2]) - (6*b*ArcSech[a + b*x]*PolyLog[2, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2])
- (6*b*PolyLog[3, (a*E^ArcSech[a + b*x])/(1 - Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2]) + (6*b*PolyLog[3, (a*E^ArcSe
ch[a + b*x])/(1 + Sqrt[1 - a^2])])/(a*Sqrt[1 - a^2])

Rule 6321

Int[((a_.) + ArcSech[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Dist[(d^(m + 1)
)^(-1), Subst[Int[(a + b*x)^p*Sech[x]*Tanh[x]*(d*e - c*f + f*Sech[x])^m, x], x, ArcSech[c + d*x]], x] /; FreeQ
[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[p, 0] && IntegerQ[m]

Rule 5468

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sech[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((a_) + (b_.)*Sech[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_.)*Tanh[(c_
.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> -Simp[((e + f*x)^m*(a + b*Sech[c + d*x])^(n + 1))/(b*d*(n + 1)), x] + Dist[(f*m
)/(b*d*(n + 1)), Int[(e + f*x)^(m - 1)*(a + b*Sech[c + d*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x
] && IGtQ[m, 0] && NeQ[n, -1]

Rule 4191

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[
(c + d*x)^m, 1/(Sin[e + f*x]^n/(b + a*Sin[e + f*x])^n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && ILtQ[n, 0] &
& IGtQ[m, 0]

Rule 3320

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + Pi*(k_.) + (Complex[0, fz_])*(f_.)*(x_)]), x_Symbol]
:> Dist[2, Int[((c + d*x)^m*E^(-(I*e) + f*fz*x))/(E^(I*Pi*(k - 1/2))*(b + (2*a*E^(-(I*e) + f*fz*x))/E^(I*Pi*(k
- 1/2)) - (b*E^(2*(-(I*e) + f*fz*x)))/E^(2*I*k*Pi))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, fz}, x] && IntegerQ[
2*k] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[m, 0]

Rule 2264

Int[((F_)^(u_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.))/((a_.) + (b_.)*(F_)^(u_) + (c_.)*(F_)^(v_)), x_Symbol] :> With[{q =
Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Dist[(2*c)/q, Int[((f + g*x)^m*F^u)/(b - q + 2*c*F^u), x], x] - Dist[(2*c)/q, Int[((f +
g*x)^m*F^u)/(b + q + 2*c*F^u), x], x]] /; FreeQ[{F, a, b, c, f, g}, x] && EqQ[v, 2*u] && LinearQ[u, x] && NeQ[
b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[m, 0]

Rule 2190

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(b*f*g*n*Log[F]), x]
- Dist[(d*m)/(b*f*g*n*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\text{sech}^{-1}(a+b x)^3}{x^2} \, dx &=-\left (b \operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^3 \text{sech}(x) \tanh (x)}{(-a+\text{sech}(x))^2} \, dx,x,\text{sech}^{-1}(a+b x)\right )\right )\\ &=-\frac{\text{sech}^{-1}(a+b x)^3}{x}+(3 b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^2}{-a+\text{sech}(x)} \, dx,x,\text{sech}^{-1}(a+b x)\right )\\ &=-\frac{\text{sech}^{-1}(a+b x)^3}{x}+(3 b) \operatorname{Subst}\left (\int \left (-\frac{x^2}{a}+\frac{x^2}{a (1-a \cosh (x))}\right ) \, dx,x,\text{sech}^{-1}(a+b x)\right )\\ &=-\frac{b \text{sech}^{-1}(a+b x)^3}{a}-\frac{\text{sech}^{-1}(a+b x)^3}{x}+\frac{(3 b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^2}{1-a \cosh (x)} \, dx,x,\text{sech}^{-1}(a+b x)\right )}{a}\\ &=-\frac{b \text{sech}^{-1}(a+b x)^3}{a}-\frac{\text{sech}^{-1}(a+b x)^3}{x}+\frac{(6 b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{e^x x^2}{-a+2 e^x-a e^{2 x}} \, dx,x,\text{sech}^{-1}(a+b x)\right )}{a}\\ &=-\frac{b \text{sech}^{-1}(a+b x)^3}{a}-\frac{\text{sech}^{-1}(a+b x)^3}{x}-\frac{(6 b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{e^x x^2}{2-2 \sqrt{1-a^2}-2 a e^x} \, dx,x,\text{sech}^{-1}(a+b x)\right )}{\sqrt{1-a^2}}+\frac{(6 b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{e^x x^2}{2+2 \sqrt{1-a^2}-2 a e^x} \, dx,x,\text{sech}^{-1}(a+b x)\right )}{\sqrt{1-a^2}}\\ &=-\frac{b \text{sech}^{-1}(a+b x)^3}{a}-\frac{\text{sech}^{-1}(a+b x)^3}{x}+\frac{3 b \text{sech}^{-1}(a+b x)^2 \log \left (1-\frac{a e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}}{1-\sqrt{1-a^2}}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}-\frac{3 b \text{sech}^{-1}(a+b x)^2 \log \left (1-\frac{a e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}}{1+\sqrt{1-a^2}}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}-\frac{(6 b) \operatorname{Subst}\left (\int x \log \left (1-\frac{2 a e^x}{2-2 \sqrt{1-a^2}}\right ) \, dx,x,\text{sech}^{-1}(a+b x)\right )}{a \sqrt{1-a^2}}+\frac{(6 b) \operatorname{Subst}\left (\int x \log \left (1-\frac{2 a e^x}{2+2 \sqrt{1-a^2}}\right ) \, dx,x,\text{sech}^{-1}(a+b x)\right )}{a \sqrt{1-a^2}}\\ &=-\frac{b \text{sech}^{-1}(a+b x)^3}{a}-\frac{\text{sech}^{-1}(a+b x)^3}{x}+\frac{3 b \text{sech}^{-1}(a+b x)^2 \log \left (1-\frac{a e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}}{1-\sqrt{1-a^2}}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}-\frac{3 b \text{sech}^{-1}(a+b x)^2 \log \left (1-\frac{a e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}}{1+\sqrt{1-a^2}}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}+\frac{6 b \text{sech}^{-1}(a+b x) \text{Li}_2\left (\frac{a e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}}{1-\sqrt{1-a^2}}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}-\frac{6 b \text{sech}^{-1}(a+b x) \text{Li}_2\left (\frac{a e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}}{1+\sqrt{1-a^2}}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}-\frac{(6 b) \operatorname{Subst}\left (\int \text{Li}_2\left (\frac{2 a e^x}{2-2 \sqrt{1-a^2}}\right ) \, dx,x,\text{sech}^{-1}(a+b x)\right )}{a \sqrt{1-a^2}}+\frac{(6 b) \operatorname{Subst}\left (\int \text{Li}_2\left (\frac{2 a e^x}{2+2 \sqrt{1-a^2}}\right ) \, dx,x,\text{sech}^{-1}(a+b x)\right )}{a \sqrt{1-a^2}}\\ &=-\frac{b \text{sech}^{-1}(a+b x)^3}{a}-\frac{\text{sech}^{-1}(a+b x)^3}{x}+\frac{3 b \text{sech}^{-1}(a+b x)^2 \log \left (1-\frac{a e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}}{1-\sqrt{1-a^2}}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}-\frac{3 b \text{sech}^{-1}(a+b x)^2 \log \left (1-\frac{a e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}}{1+\sqrt{1-a^2}}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}+\frac{6 b \text{sech}^{-1}(a+b x) \text{Li}_2\left (\frac{a e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}}{1-\sqrt{1-a^2}}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}-\frac{6 b \text{sech}^{-1}(a+b x) \text{Li}_2\left (\frac{a e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}}{1+\sqrt{1-a^2}}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}-\frac{(6 b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2\left (\frac{a x}{1-\sqrt{1-a^2}}\right )}{x} \, dx,x,e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}+\frac{(6 b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2\left (\frac{a x}{1+\sqrt{1-a^2}}\right )}{x} \, dx,x,e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}\\ &=-\frac{b \text{sech}^{-1}(a+b x)^3}{a}-\frac{\text{sech}^{-1}(a+b x)^3}{x}+\frac{3 b \text{sech}^{-1}(a+b x)^2 \log \left (1-\frac{a e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}}{1-\sqrt{1-a^2}}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}-\frac{3 b \text{sech}^{-1}(a+b x)^2 \log \left (1-\frac{a e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}}{1+\sqrt{1-a^2}}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}+\frac{6 b \text{sech}^{-1}(a+b x) \text{Li}_2\left (\frac{a e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}}{1-\sqrt{1-a^2}}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}-\frac{6 b \text{sech}^{-1}(a+b x) \text{Li}_2\left (\frac{a e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}}{1+\sqrt{1-a^2}}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}-\frac{6 b \text{Li}_3\left (\frac{a e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}}{1-\sqrt{1-a^2}}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}+\frac{6 b \text{Li}_3\left (\frac{a e^{\text{sech}^{-1}(a+b x)}}{1+\sqrt{1-a^2}}\right )}{a \sqrt{1-a^2}}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 45.6533, size = 1849, normalized size = 5.6 \[ \text{result too large to display} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[ArcSech[a + b*x]^3/x^2,x]

[Out]

-((-3*b*x*ArcCos[-a^(-1)]*ArcSech[a + b*x]^2 + a*Sqrt[-1 + a^2]*ArcSech[a + b*x]^3 + Sqrt[-1 + a^2]*b*x*ArcSec
h[a + b*x]^3 + 12*b*x*ArcCos[-a^(-1)]*ArcSech[a + b*x]*ArcTanh[Tanh[ArcSech[a + b*x]/2]] - 12*b*x*ArcCos[-a^(-
1)]*ArcTanh[Tanh[ArcSech[a + b*x]/2]]^2 - 6*b*x*ArcCos[-a^(-1)]*ArcSech[a + b*x]*Log[Sqrt[-1 + a^2]/(Sqrt[2]*S
qrt[a]*E^(I*ArcTan[((1 + a)*Tanh[ArcSech[a + b*x]/2])/Sqrt[-1 + a^2]])*Sqrt[1 + a*Cos[2*ArcTan[((1 + a)*Tanh[A
rcSech[a + b*x]/2])/Sqrt[-1 + a^2]]]])] + (12*I)*b*x*ArcSech[a + b*x]*ArcTanh[Coth[ArcSech[a + b*x]/2]]*Log[Sq
rt[-1 + a^2]/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*E^(I*ArcTan[((1 + a)*Tanh[ArcSech[a + b*x]/2])/Sqrt[-1 + a^2]])*Sqrt[1 + a*Cos[2
*ArcTan[((1 + a)*Tanh[ArcSech[a + b*x]/2])/Sqrt[-1 + a^2]]]])] - (12*I)*b*x*ArcSech[a + b*x]*ArcTanh[Tanh[ArcS
ech[a + b*x]/2]]*Log[Sqrt[-1 + a^2]/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*E^(I*ArcTan[((1 + a)*Tanh[ArcSech[a + b*x]/2])/Sqrt[-1 +
a^2]])*Sqrt[1 + a*Cos[2*ArcTan[((1 + a)*Tanh[ArcSech[a + b*x]/2])/Sqrt[-1 + a^2]]]])] - 6*b*x*ArcCos[-a^(-1)]*
ArcSech[a + b*x]*Log[(Sqrt[-1 + a^2]*E^(I*ArcTan[((1 + a)*Tanh[ArcSech[a + b*x]/2])/Sqrt[-1 + a^2]]))/(Sqrt[2]
*Sqrt[a]*Sqrt[1 + a*Cos[2*ArcTan[((1 + a)*Tanh[ArcSech[a + b*x]/2])/Sqrt[-1 + a^2]]]])] - (12*I)*b*x*ArcSech[a
+ b*x]*ArcTanh[Coth[ArcSech[a + b*x]/2]]*Log[(Sqrt[-1 + a^2]*E^(I*ArcTan[((1 + a)*Tanh[ArcSech[a + b*x]/2])/S
qrt[-1 + a^2]]))/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[1 + a*Cos[2*ArcTan[((1 + a)*Tanh[ArcSech[a + b*x]/2])/Sqrt[-1 + a^2]]]]
)] + (12*I)*b*x*ArcSech[a + b*x]*ArcTanh[Tanh[ArcSech[a + b*x]/2]]*Log[(Sqrt[-1 + a^2]*E^(I*ArcTan[((1 + a)*Ta
nh[ArcSech[a + b*x]/2])/Sqrt[-1 + a^2]]))/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[1 + a*Cos[2*ArcTan[((1 + a)*Tanh[ArcSech[a + b
*x]/2])/Sqrt[-1 + a^2]]]])] + 6*b*x*ArcCos[-a^(-1)]*ArcSech[a + b*x]*Log[(Sqrt[-1 + a^2] + I*(1 + a)*Tanh[ArcS
ech[a + b*x]/2])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[-(((-1 + a^2)*(a + b*x))/(b*x))]*Sqrt[-((b*x)/((-1 + a)*(1 + a + b*x)))])] +
(12*I)*b*x*ArcSech[a + b*x]*ArcTanh[Coth[ArcSech[a + b*x]/2]]*Log[(Sqrt[-1 + a^2] + I*(1 + a)*Tanh[ArcSech[a +
b*x]/2])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[-(((-1 + a^2)*(a + b*x))/(b*x))]*Sqrt[-((b*x)/((-1 + a)*(1 + a + b*x)))])] - (12*I)*
b*x*ArcSech[a + b*x]*ArcTanh[Tanh[ArcSech[a + b*x]/2]]*Log[(Sqrt[-1 + a^2] + I*(1 + a)*Tanh[ArcSech[a + b*x]/2
])/(2*Sqrt[a]*Sqrt[-(((-1 + a^2)*(a + b*x))/(b*x))]*Sqrt[-((b*x)/((-1 + a)*(1 + a + b*x)))])] + 6*b*x*ArcCos[-
a^(-1)]*ArcSech[a + b*x]*Log[((-I)*(-1 + a^2)*Sqrt[-((b*x)/((-1 + a)*(1 + a + b*x)))])/(Sqrt[a]*Sqrt[-(((-1 +
a^2)*(a + b*x))/(b*x))]*((-I)*Sqrt[-1 + a^2] + (1 + a)*Tanh[ArcSech[a + b*x]/2]))] - (12*I)*b*x*ArcSech[a + b*
x]*ArcTanh[Coth[ArcSech[a + b*x]/2]]*Log[((-I)*(-1 + a^2)*Sqrt[-((b*x)/((-1 + a)*(1 + a + b*x)))])/(Sqrt[a]*Sq
rt[-(((-1 + a^2)*(a + b*x))/(b*x))]*((-I)*Sqrt[-1 + a^2] + (1 + a)*Tanh[ArcSech[a + b*x]/2]))] + (12*I)*b*x*Ar
cSech[a + b*x]*ArcTanh[Tanh[ArcSech[a + b*x]/2]]*Log[((-I)*(-1 + a^2)*Sqrt[-((b*x)/((-1 + a)*(1 + a + b*x)))])
/(Sqrt[a]*Sqrt[-(((-1 + a^2)*(a + b*x))/(b*x))]*((-I)*Sqrt[-1 + a^2] + (1 + a)*Tanh[ArcSech[a + b*x]/2]))] - (
3*I)*b*x*ArcSech[a + b*x]^2*Log[((-I + I*a + Sqrt[-1 + a^2])*(-I + ((1 + a)*Tanh[ArcSech[a + b*x]/2])/Sqrt[-1
+ a^2]))/(a*(1 + Tanh[ArcSech[a + b*x]/2]))] + (3*I)*b*x*ArcSech[a + b*x]^2*Log[((I - I*a + Sqrt[-1 + a^2])*(I
+ ((1 + a)*Tanh[ArcSech[a + b*x]/2])/Sqrt[-1 + a^2]))/(a*(1 + Tanh[ArcSech[a + b*x]/2]))] - (6*I)*b*x*ArcSech
[a + b*x]*PolyLog[2, ((1 - I*Sqrt[-1 + a^2])*(1 - Sqrt[-((-1 + a + b*x)/(1 + a + b*x))]*(1 + a + b*x)))/(a*(a
+ b*x))] + (6*I)*b*x*ArcSech[a + b*x]*PolyLog[2, ((1 + I*Sqrt[-1 + a^2])*(1 - Sqrt[-((-1 + a + b*x)/(1 + a + b
*x))]*(1 + a + b*x)))/(a*(a + b*x))] - (6*I)*b*x*PolyLog[3, ((1 - I*Sqrt[-1 + a^2])*(1 - Sqrt[-((-1 + a + b*x)
/(1 + a + b*x))]*(1 + a + b*x)))/(a*(a + b*x))] + (6*I)*b*x*PolyLog[3, ((1 + I*Sqrt[-1 + a^2])*(1 - Sqrt[-((-1
+ a + b*x)/(1 + a + b*x))]*(1 + a + b*x)))/(a*(a + b*x))])/(a*Sqrt[-1 + a^2]*x))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.458, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\frac{ \left ({\rm arcsech} \left (bx+a\right ) \right ) ^{3}}{{x}^{2}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(arcsech(b*x+a)^3/x^2,x)

[Out]

int(arcsech(b*x+a)^3/x^2,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} -\frac{\log \left (\sqrt{b x + a + 1} \sqrt{-b x - a + 1} b x + \sqrt{b x + a + 1} \sqrt{-b x - a + 1} a + b x + a\right )^{3}}{x} - \int \frac{8 \,{\left (b^{3} x^{3} + 3 \, a b^{2} x^{2} + a^{3} +{\left (3 \, a^{2} b - b\right )} x - a\right )} \sqrt{b x + a + 1} \sqrt{-b x - a + 1} \log \left (b x + a\right )^{3} + 8 \,{\left (b^{3} x^{3} + 3 \, a b^{2} x^{2} + a^{3} +{\left (3 \, a^{2} b - b\right )} x - a\right )} \log \left (b x + a\right )^{3} - 3 \,{\left (b^{3} x^{3} + 2 \, a b^{2} x^{2} +{\left (a^{2} b - b\right )} x - 2 \,{\left (b^{3} x^{3} + 3 \, a b^{2} x^{2} + a^{3} +{\left (3 \, a^{2} b - b\right )} x - a\right )} \log \left (b x + a\right ) -{\left ({\left (b^{3} x^{3} + 3 \, a b^{2} x^{2} + a^{3} +{\left (3 \, a^{2} b - b\right )} x - a\right )} \sqrt{b x + a + 1} \log \left (b x + a\right ) -{\left (2 \, b^{3} x^{3} + 4 \, a b^{2} x^{2} +{\left (2 \, a^{2} b - b\right )} x -{\left (b^{3} x^{3} + 3 \, a b^{2} x^{2} + a^{3} +{\left (3 \, a^{2} b - b\right )} x - a\right )} \log \left (b x + a\right )\right )} \sqrt{b x + a + 1}\right )} \sqrt{-b x - a + 1}\right )} \log \left (\sqrt{b x + a + 1} \sqrt{-b x - a + 1} b x + \sqrt{b x + a + 1} \sqrt{-b x - a + 1} a + b x + a\right )^{2} - 12 \,{\left ({\left (b^{3} x^{3} + 3 \, a b^{2} x^{2} + a^{3} +{\left (3 \, a^{2} b - b\right )} x - a\right )} \sqrt{b x + a + 1} \sqrt{-b x - a + 1} \log \left (b x + a\right )^{2} +{\left (b^{3} x^{3} + 3 \, a b^{2} x^{2} + a^{3} +{\left (3 \, a^{2} b - b\right )} x - a\right )} \log \left (b x + a\right )^{2}\right )} \log \left (\sqrt{b x + a + 1} \sqrt{-b x - a + 1} b x + \sqrt{b x + a + 1} \sqrt{-b x - a + 1} a + b x + a\right )}{b^{3} x^{5} + 3 \, a b^{2} x^{4} +{\left (3 \, a^{2} b - b\right )} x^{3} +{\left (a^{3} - a\right )} x^{2} +{\left (b^{3} x^{5} + 3 \, a b^{2} x^{4} +{\left (3 \, a^{2} b - b\right )} x^{3} +{\left (a^{3} - a\right )} x^{2}\right )} \sqrt{b x + a + 1} \sqrt{-b x - a + 1}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(arcsech(b*x+a)^3/x^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

-log(sqrt(b*x + a + 1)*sqrt(-b*x - a + 1)*b*x + sqrt(b*x + a + 1)*sqrt(-b*x - a + 1)*a + b*x + a)^3/x - integr
ate((8*(b^3*x^3 + 3*a*b^2*x^2 + a^3 + (3*a^2*b - b)*x - a)*sqrt(b*x + a + 1)*sqrt(-b*x - a + 1)*log(b*x + a)^3
+ 8*(b^3*x^3 + 3*a*b^2*x^2 + a^3 + (3*a^2*b - b)*x - a)*log(b*x + a)^3 - 3*(b^3*x^3 + 2*a*b^2*x^2 + (a^2*b -
b)*x - 2*(b^3*x^3 + 3*a*b^2*x^2 + a^3 + (3*a^2*b - b)*x - a)*log(b*x + a) - ((b^3*x^3 + 3*a*b^2*x^2 + a^3 + (3
*a^2*b - b)*x - a)*sqrt(b*x + a + 1)*log(b*x + a) - (2*b^3*x^3 + 4*a*b^2*x^2 + (2*a^2*b - b)*x - (b^3*x^3 + 3*
a*b^2*x^2 + a^3 + (3*a^2*b - b)*x - a)*log(b*x + a))*sqrt(b*x + a + 1))*sqrt(-b*x - a + 1))*log(sqrt(b*x + a +
1)*sqrt(-b*x - a + 1)*b*x + sqrt(b*x + a + 1)*sqrt(-b*x - a + 1)*a + b*x + a)^2 - 12*((b^3*x^3 + 3*a*b^2*x^2
+ a^3 + (3*a^2*b - b)*x - a)*sqrt(b*x + a + 1)*sqrt(-b*x - a + 1)*log(b*x + a)^2 + (b^3*x^3 + 3*a*b^2*x^2 + a^
3 + (3*a^2*b - b)*x - a)*log(b*x + a)^2)*log(sqrt(b*x + a + 1)*sqrt(-b*x - a + 1)*b*x + sqrt(b*x + a + 1)*sqrt
(-b*x - a + 1)*a + b*x + a))/(b^3*x^5 + 3*a*b^2*x^4 + (3*a^2*b - b)*x^3 + (a^3 - a)*x^2 + (b^3*x^5 + 3*a*b^2*x
^4 + (3*a^2*b - b)*x^3 + (a^3 - a)*x^2)*sqrt(b*x + a + 1)*sqrt(-b*x - a + 1)), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (\frac{\operatorname{arsech}\left (b x + a\right )^{3}}{x^{2}}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(arcsech(b*x+a)^3/x^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(arcsech(b*x + a)^3/x^2, x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\operatorname{asech}^{3}{\left (a + b x \right )}}{x^{2}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(asech(b*x+a)**3/x**2,x)

[Out]

Integral(asech(a + b*x)**3/x**2, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\operatorname{arsech}\left (b x + a\right )^{3}}{x^{2}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(arcsech(b*x+a)^3/x^2,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(arcsech(b*x + a)^3/x^2, x)