3.255 \(\int \coth ^{-1}(c+d \cot (a+b x)) \, dx\)

Optimal. Leaf size=194 \[ -\frac{i \text{PolyLog}\left (2,\frac{(-c-i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{-c+i d+1}\right )}{4 b}+\frac{i \text{PolyLog}\left (2,\frac{(c+i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{c-i d+1}\right )}{4 b}+\frac{1}{2} x \log \left (1-\frac{(-c-i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{-c+i d+1}\right )-\frac{1}{2} x \log \left (1-\frac{(c+i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{c-i d+1}\right )+x \coth ^{-1}(d \cot (a+b x)+c) \]

[Out]

x*ArcCoth[c + d*Cot[a + b*x]] + (x*Log[1 - ((1 - c - I*d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 - c + I*d)])/2 - (x*Log[
1 - ((1 + c + I*d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + c - I*d)])/2 - ((I/4)*PolyLog[2, ((1 - c - I*d)*E^((2*I)*a +
(2*I)*b*x))/(1 - c + I*d)])/b + ((I/4)*PolyLog[2, ((1 + c + I*d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + c - I*d)])/b

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.249007, antiderivative size = 194, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 4, integrand size = 11, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.364, Rules used = {6262, 2190, 2279, 2391} \[ -\frac{i \text{PolyLog}\left (2,\frac{(-c-i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{-c+i d+1}\right )}{4 b}+\frac{i \text{PolyLog}\left (2,\frac{(c+i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{c-i d+1}\right )}{4 b}+\frac{1}{2} x \log \left (1-\frac{(-c-i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{-c+i d+1}\right )-\frac{1}{2} x \log \left (1-\frac{(c+i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{c-i d+1}\right )+x \coth ^{-1}(d \cot (a+b x)+c) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[ArcCoth[c + d*Cot[a + b*x]],x]

[Out]

x*ArcCoth[c + d*Cot[a + b*x]] + (x*Log[1 - ((1 - c - I*d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 - c + I*d)])/2 - (x*Log[
1 - ((1 + c + I*d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + c - I*d)])/2 - ((I/4)*PolyLog[2, ((1 - c - I*d)*E^((2*I)*a +
(2*I)*b*x))/(1 - c + I*d)])/b + ((I/4)*PolyLog[2, ((1 + c + I*d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + c - I*d)])/b

Rule 6262

Int[ArcCoth[(c_.) + Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCoth[c + d*Cot[a + b*x]], x] + (-Di
st[I*b*(1 - c - I*d), Int[(x*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c + I*d - (1 - c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x] +
Dist[I*b*(1 + c + I*d), Int[(x*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c - I*d - (1 + c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x])
/; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[(c - I*d)^2, 1]

Rule 2190

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(b*f*g*n*Log[F]), x]
- Dist[(d*m)/(b*f*g*n*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2279

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2391

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, -(c*e*x^n)]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rubi steps

\begin{align*} \int \coth ^{-1}(c+d \cot (a+b x)) \, dx &=x \coth ^{-1}(c+d \cot (a+b x))+(b (i (1+c)-d)) \int \frac{e^{2 i a+2 i b x} x}{1+c-i d+(-1-c-i d) e^{2 i a+2 i b x}} \, dx-(b (i-i c+d)) \int \frac{e^{2 i a+2 i b x} x}{1-c+i d+(-1+c+i d) e^{2 i a+2 i b x}} \, dx\\ &=x \coth ^{-1}(c+d \cot (a+b x))+\frac{1}{2} x \log \left (1-\frac{(1-c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c+i d}\right )-\frac{1}{2} x \log \left (1-\frac{(1+c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c-i d}\right )+\frac{1}{2} \int \log \left (1+\frac{(-1-c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c-i d}\right ) \, dx-\frac{1}{2} \int \log \left (1+\frac{(-1+c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c+i d}\right ) \, dx\\ &=x \coth ^{-1}(c+d \cot (a+b x))+\frac{1}{2} x \log \left (1-\frac{(1-c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c+i d}\right )-\frac{1}{2} x \log \left (1-\frac{(1+c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c-i d}\right )-\frac{i \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (1+\frac{(-1-c-i d) x}{1+c-i d}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i a+2 i b x}\right )}{4 b}+\frac{i \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (1+\frac{(-1+c+i d) x}{1-c+i d}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i a+2 i b x}\right )}{4 b}\\ &=x \coth ^{-1}(c+d \cot (a+b x))+\frac{1}{2} x \log \left (1-\frac{(1-c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c+i d}\right )-\frac{1}{2} x \log \left (1-\frac{(1+c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c-i d}\right )-\frac{i \text{Li}_2\left (\frac{(1-c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c+i d}\right )}{4 b}+\frac{i \text{Li}_2\left (\frac{(1+c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c-i d}\right )}{4 b}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 12.9929, size = 4463, normalized size = 23.01 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[ArcCoth[c + d*Cot[a + b*x]],x]

[Out]

x*ArcCoth[c + d*Cot[a + b*x]] - (d*(a*Log[-(Sec[(a + b*x)/2]^2*(d*Cos[a + b*x] + (-1 + c)*Sin[a + b*x]))] - a*
Log[-(Sec[(a + b*x)/2]^2*(d*Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + c*Sin[a + b*x]))] - (a + b*x)*Log[-((-1 + c + Sqrt[1
- 2*c + c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b*x)/2]] - I*Log[(d*(-I + Tan[(a + b*x)/2]))/(-1 + c - I*d + Sqrt[1 - 2*c +
c^2 + d^2])]*Log[-((-1 + c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b*x)/2]] + I*Log[(d*(I + Tan[(a + b*x)/
2]))/(-1 + c + I*d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])]*Log[-((-1 + c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b*x)
/2]] + (a + b*x)*Log[-((1 + c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b*x)/2]] + I*Log[(d*(-I + Tan[(a + b*
x)/2]))/(1 + c - I*d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])]*Log[-((1 + c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b*x
)/2]] - I*Log[(d*(I + Tan[(a + b*x)/2]))/(1 + c + I*d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])]*Log[-((1 + c + Sqrt[1 + 2*
c + c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b*x)/2]] - (a + b*x)*Log[(1 - c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2]
)/d] - I*Log[-((d*(-I + Tan[(a + b*x)/2]))/(1 - c + I*d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2]))]*Log[(1 - c + Sqrt[1 - 2
*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2])/d] + I*Log[-((d*(I + Tan[(a + b*x)/2]))/(1 - c - I*d + Sqrt[1 - 2*c + c^
2 + d^2]))]*Log[(1 - c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2])/d] + (a + b*x)*Log[(-1 - c + Sqrt[1 +
2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2])/d] + I*Log[-((d*(-I + Tan[(a + b*x)/2]))/(-1 - c + I*d + Sqrt[1 + 2*c
+ c^2 + d^2]))]*Log[(-1 - c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2])/d] - I*Log[-((d*(I + Tan[(a + b*
x)/2]))/(-1 - c - I*d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2]))]*Log[(-1 - c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)
/2])/d] - I*PolyLog[2, (-1 + c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] - d*Tan[(a + b*x)/2])/(-1 + c - I*d + Sqrt[1 - 2*c
+ c^2 + d^2])] + I*PolyLog[2, (-1 + c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] - d*Tan[(a + b*x)/2])/(-1 + c + I*d + Sqrt[1
- 2*c + c^2 + d^2])] - I*PolyLog[2, (1 + c - Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] - d*Tan[(a + b*x)/2])/(1 + c + I*d - S
qrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])] + I*PolyLog[2, (1 + c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] - d*Tan[(a + b*x)/2])/(1 + c - I*
d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])] - I*PolyLog[2, (1 + c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] - d*Tan[(a + b*x)/2])/(1 + c
+ I*d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])] + I*PolyLog[2, (1 - c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2])/(
1 - c - I*d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])] - I*PolyLog[2, (1 - c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/
2])/(1 - c + I*d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])] + I*PolyLog[2, (-1 - c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a +
b*x)/2])/(-1 - c + I*d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])])*((2*a)/(b*(1 - c^2 - d^2 - Cos[2*(a + b*x)] + c^2*Cos[2
*(a + b*x)] - d^2*Cos[2*(a + b*x)] - 2*c*d*Sin[2*(a + b*x)])) - (2*(a + b*x))/(b*(1 - c^2 - d^2 - Cos[2*(a + b
*x)] + c^2*Cos[2*(a + b*x)] - d^2*Cos[2*(a + b*x)] - 2*c*d*Sin[2*(a + b*x)]))))/(-Log[-((-1 + c + Sqrt[1 - 2*c
+ c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b*x)/2]] + Log[-((1 + c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b*x)/2]] - Log
[(1 - c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2])/d] + Log[(-1 - c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan
[(a + b*x)/2])/d] - ((I/2)*Log[-((-1 + c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b*x)/2]]*Sec[(a + b*x)/2]^
2)/(-I + Tan[(a + b*x)/2]) + ((I/2)*Log[-((1 + c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b*x)/2]]*Sec[(a +
b*x)/2]^2)/(-I + Tan[(a + b*x)/2]) - ((I/2)*Log[(1 - c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2])/d]*Se
c[(a + b*x)/2]^2)/(-I + Tan[(a + b*x)/2]) + ((I/2)*Log[(-1 - c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2
])/d]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(-I + Tan[(a + b*x)/2]) + ((I/2)*Log[-((-1 + c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])/d) + Tan
[(a + b*x)/2]]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(I + Tan[(a + b*x)/2]) - ((I/2)*Log[-((1 + c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])/d
) + Tan[(a + b*x)/2]]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(I + Tan[(a + b*x)/2]) + ((I/2)*Log[(1 - c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^
2] + d*Tan[(a + b*x)/2])/d]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(I + Tan[(a + b*x)/2]) - ((I/2)*Log[(-1 - c + Sqrt[1 + 2*c + c
^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2])/d]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(I + Tan[(a + b*x)/2]) - ((a + b*x)*Sec[(a + b*x)/2]^2)
/(2*(-((-1 + c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b*x)/2])) - ((I/2)*Log[(d*(-I + Tan[(a + b*x)/2]))/(
-1 + c - I*d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(-((-1 + c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])/d) + Ta
n[(a + b*x)/2]) + ((I/2)*Log[(d*(I + Tan[(a + b*x)/2]))/(-1 + c + I*d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b
*x)/2]^2)/(-((-1 + c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b*x)/2]) + ((a + b*x)*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(2*(
-((1 + c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b*x)/2])) + ((I/2)*Log[(d*(-I + Tan[(a + b*x)/2]))/(1 + c
- I*d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(-((1 + c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b
*x)/2]) - ((I/2)*Log[(d*(I + Tan[(a + b*x)/2]))/(1 + c + I*d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2)
/(-((1 + c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])/d) + Tan[(a + b*x)/2]) - ((I/2)*d*Log[1 - (-1 + c + Sqrt[1 - 2*c + c^2
+ d^2] - d*Tan[(a + b*x)/2])/(-1 + c - I*d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(-1 + c + Sqrt[1
- 2*c + c^2 + d^2] - d*Tan[(a + b*x)/2]) + ((I/2)*d*Log[1 - (-1 + c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] - d*Tan[(a +
b*x)/2])/(-1 + c + I*d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(-1 + c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] -
d*Tan[(a + b*x)/2]) - ((I/2)*d*Log[1 - (1 + c - Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] - d*Tan[(a + b*x)/2])/(1 + c + I*d
- Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(1 + c - Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] - d*Tan[(a + b*x)/2]) + (
(I/2)*d*Log[1 - (1 + c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] - d*Tan[(a + b*x)/2])/(1 + c - I*d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d
^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(1 + c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] - d*Tan[(a + b*x)/2]) - ((I/2)*d*Log[1 - (1 + c +
Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] - d*Tan[(a + b*x)/2])/(1 + c + I*d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2
)/(1 + c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] - d*Tan[(a + b*x)/2]) - (d*(a + b*x)*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(2*(1 - c + Sqrt
[1 - 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2])) - ((I/2)*d*Log[-((d*(-I + Tan[(a + b*x)/2]))/(1 - c + I*d + Sqrt[
1 - 2*c + c^2 + d^2]))]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(1 - c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2]) + ((I/2)*
d*Log[-((d*(I + Tan[(a + b*x)/2]))/(1 - c - I*d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2]))]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(1 - c + Sq
rt[1 - 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2]) - ((I/2)*d*Log[1 - (1 - c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a
+ b*x)/2])/(1 - c - I*d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(1 - c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2]
+ d*Tan[(a + b*x)/2]) + ((I/2)*d*Log[1 - (1 - c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2])/(1 - c + I*d
+ Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(1 - c + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2]) +
(d*(a + b*x)*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(2*(-1 - c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2])) + ((I/2)*d*Log[
-((d*(-I + Tan[(a + b*x)/2]))/(-1 - c + I*d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2]))]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(-1 - c + Sqrt[
1 + 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2]) - ((I/2)*d*Log[-((d*(I + Tan[(a + b*x)/2]))/(-1 - c - I*d + Sqrt[1
+ 2*c + c^2 + d^2]))]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(-1 - c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2]) - ((I/2)*d
*Log[1 - (-1 - c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2])/(-1 - c + I*d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])]
*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(-1 - c + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + d*Tan[(a + b*x)/2]) - (a*Cos[(a + b*x)/2]^2*(-(Sec[
(a + b*x)/2]^2*((-1 + c)*Cos[a + b*x] - d*Sin[a + b*x])) - Sec[(a + b*x)/2]^2*(d*Cos[a + b*x] + (-1 + c)*Sin[a
+ b*x])*Tan[(a + b*x)/2]))/(d*Cos[a + b*x] + (-1 + c)*Sin[a + b*x]) + (a*Cos[(a + b*x)/2]^2*(-(Sec[(a + b*x)/
2]^2*(Cos[a + b*x] + c*Cos[a + b*x] - d*Sin[a + b*x])) - Sec[(a + b*x)/2]^2*(d*Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + c
*Sin[a + b*x])*Tan[(a + b*x)/2]))/(d*Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + c*Sin[a + b*x]))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.139, size = 629, normalized size = 3.2 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(arccoth(c+d*cot(b*x+a)),x)

[Out]

-1/2/b*arccoth(c+d*cot(b*x+a))*Pi+1/b*arccoth(c+d*cot(b*x+a))*arccot(cot(b*x+a))+1/2/b*arctan((c+d*cot(b*x+a))
/d-c/d)*ln(d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)+c+1)-1/2/b*arctan((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)*ln(d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)+
c-1)-1/4*I/b*ln(d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)+c-1)*ln((I*d-d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d))/(I*d+c-1))+1/4*I/b*ln(d*((
c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)+c-1)*ln((I*d+d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d))/(1-c+I*d))-1/4*I/b*dilog((I*d-d*((c+d*cot(b*x+
a))/d-c/d))/(I*d+c-1))+1/4*I/b*dilog((I*d+d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d))/(1-c+I*d))+1/4*I/b*ln(d*((c+d*cot(b*x+a)
)/d-c/d)+c+1)*ln((I*d-d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d))/(1+c+I*d))-1/4*I/b*ln(d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)+c+1)*ln((I*
d+d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d))/(I*d-c-1))+1/4*I/b*dilog((I*d-d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d))/(1+c+I*d))-1/4*I/b*dil
og((I*d+d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d))/(I*d-c-1))

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 1.89117, size = 529, normalized size = 2.73 \begin{align*} \frac{4 \,{\left (b x + a\right )} \operatorname{arcoth}\left (c + \frac{d}{\tan \left (b x + a\right )}\right ) +{\left (\arctan \left (\frac{{\left (c + 1\right )} d +{\left (c^{2} + 2 \, c + 1\right )} \tan \left (b x + a\right )}{c^{2} + d^{2} + 2 \, c + 1}, \frac{{\left (c + 1\right )} d \tan \left (b x + a\right ) + d^{2}}{c^{2} + d^{2} + 2 \, c + 1}\right ) - \arctan \left (\frac{{\left (c - 1\right )} d +{\left (c^{2} - 2 \, c + 1\right )} \tan \left (b x + a\right )}{c^{2} + d^{2} - 2 \, c + 1}, \frac{{\left (c - 1\right )} d \tan \left (b x + a\right ) + d^{2}}{c^{2} + d^{2} - 2 \, c + 1}\right )\right )} \log \left (\tan \left (b x + a\right )^{2} + 1\right ) -{\left (b x + a\right )} \log \left (\frac{2 \,{\left (c + 1\right )} d \tan \left (b x + a\right ) +{\left (c^{2} + 2 \, c + 1\right )} \tan \left (b x + a\right )^{2} + d^{2}}{c^{2} + d^{2} + 2 \, c + 1}\right ) +{\left (b x + a\right )} \log \left (\frac{2 \,{\left (c - 1\right )} d \tan \left (b x + a\right ) +{\left (c^{2} - 2 \, c + 1\right )} \tan \left (b x + a\right )^{2} + d^{2}}{c^{2} + d^{2} - 2 \, c + 1}\right ) + i \,{\rm Li}_2\left (-\frac{{\left (c + 1\right )} \tan \left (b x + a\right ) - i \, c - i}{i \, c + d + i}\right ) - i \,{\rm Li}_2\left (-\frac{{\left (c - 1\right )} \tan \left (b x + a\right ) - i \, c + i}{i \, c + d - i}\right ) + i \,{\rm Li}_2\left (-\frac{{\left (c - 1\right )} \tan \left (b x + a\right ) + i \, c - i}{-i \, c + d + i}\right ) - i \,{\rm Li}_2\left (-\frac{{\left (c + 1\right )} \tan \left (b x + a\right ) + i \, c + i}{-i \, c + d - i}\right )}{4 \, b} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(arccoth(c+d*cot(b*x+a)),x, algorithm="maxima")

[Out]

1/4*(4*(b*x + a)*arccoth(c + d/tan(b*x + a)) + (arctan2(((c + 1)*d + (c^2 + 2*c + 1)*tan(b*x + a))/(c^2 + d^2
+ 2*c + 1), ((c + 1)*d*tan(b*x + a) + d^2)/(c^2 + d^2 + 2*c + 1)) - arctan2(((c - 1)*d + (c^2 - 2*c + 1)*tan(b
*x + a))/(c^2 + d^2 - 2*c + 1), ((c - 1)*d*tan(b*x + a) + d^2)/(c^2 + d^2 - 2*c + 1)))*log(tan(b*x + a)^2 + 1)
- (b*x + a)*log((2*(c + 1)*d*tan(b*x + a) + (c^2 + 2*c + 1)*tan(b*x + a)^2 + d^2)/(c^2 + d^2 + 2*c + 1)) + (b
*x + a)*log((2*(c - 1)*d*tan(b*x + a) + (c^2 - 2*c + 1)*tan(b*x + a)^2 + d^2)/(c^2 + d^2 - 2*c + 1)) + I*dilog
(-((c + 1)*tan(b*x + a) - I*c - I)/(I*c + d + I)) - I*dilog(-((c - 1)*tan(b*x + a) - I*c + I)/(I*c + d - I)) +
I*dilog(-((c - 1)*tan(b*x + a) + I*c - I)/(-I*c + d + I)) - I*dilog(-((c + 1)*tan(b*x + a) + I*c + I)/(-I*c +
d - I)))/b

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 2.78503, size = 2919, normalized size = 15.05 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(arccoth(c+d*cot(b*x+a)),x, algorithm="fricas")

[Out]

1/8*(4*b*x*log((d*cos(2*b*x + 2*a) + (c + 1)*sin(2*b*x + 2*a) + d)/(d*cos(2*b*x + 2*a) + (c - 1)*sin(2*b*x + 2
*a) + d)) + 2*a*log(1/2*c^2 + I*(c + 1)*d - 1/2*d^2 - 1/2*(c^2 + d^2 + 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + 1/2*(I*c^2
+ I*d^2 + 2*I*c + I)*sin(2*b*x + 2*a) + c + 1/2) - 2*a*log(1/2*c^2 + I*(c - 1)*d - 1/2*d^2 - 1/2*(c^2 + d^2 -
2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + 1/2*(I*c^2 + I*d^2 - 2*I*c + I)*sin(2*b*x + 2*a) - c + 1/2) + 2*a*log(-1/2*c^2 + I
*(c + 1)*d + 1/2*d^2 + 1/2*(c^2 + d^2 + 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + 1/2*(I*c^2 + I*d^2 + 2*I*c + I)*sin(2*b*x
+ 2*a) - c - 1/2) - 2*a*log(-1/2*c^2 + I*(c - 1)*d + 1/2*d^2 + 1/2*(c^2 + d^2 - 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + 1/
2*(I*c^2 + I*d^2 - 2*I*c + I)*sin(2*b*x + 2*a) + c - 1/2) - 2*(b*x + a)*log((c^2 + d^2 - (c^2 + 2*I*(c + 1)*d
- d^2 + 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (-I*c^2 + 2*(c + 1)*d + I*d^2 - 2*I*c - I)*sin(2*b*x + 2*a) + 2*c + 1)/(c^
2 + d^2 + 2*c + 1)) - 2*(b*x + a)*log((c^2 + d^2 - (c^2 - 2*I*(c + 1)*d - d^2 + 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (I
*c^2 + 2*(c + 1)*d - I*d^2 + 2*I*c + I)*sin(2*b*x + 2*a) + 2*c + 1)/(c^2 + d^2 + 2*c + 1)) + 2*(b*x + a)*log((
c^2 + d^2 - (c^2 + 2*I*(c - 1)*d - d^2 - 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (-I*c^2 + 2*(c - 1)*d + I*d^2 + 2*I*c - I
)*sin(2*b*x + 2*a) - 2*c + 1)/(c^2 + d^2 - 2*c + 1)) + 2*(b*x + a)*log((c^2 + d^2 - (c^2 - 2*I*(c - 1)*d - d^2
- 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*c^2 + 2*(c - 1)*d - I*d^2 - 2*I*c + I)*sin(2*b*x + 2*a) - 2*c + 1)/(c^2 + d^
2 - 2*c + 1)) + I*dilog(-(c^2 + d^2 - (c^2 + 2*I*(c + 1)*d - d^2 + 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (-I*c^2 + 2*(c
+ 1)*d + I*d^2 - 2*I*c - I)*sin(2*b*x + 2*a) + 2*c + 1)/(c^2 + d^2 + 2*c + 1) + 1) - I*dilog(-(c^2 + d^2 - (c^
2 - 2*I*(c + 1)*d - d^2 + 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*c^2 + 2*(c + 1)*d - I*d^2 + 2*I*c + I)*sin(2*b*x + 2*
a) + 2*c + 1)/(c^2 + d^2 + 2*c + 1) + 1) - I*dilog(-(c^2 + d^2 - (c^2 + 2*I*(c - 1)*d - d^2 - 2*c + 1)*cos(2*b
*x + 2*a) + (-I*c^2 + 2*(c - 1)*d + I*d^2 + 2*I*c - I)*sin(2*b*x + 2*a) - 2*c + 1)/(c^2 + d^2 - 2*c + 1) + 1)
+ I*dilog(-(c^2 + d^2 - (c^2 - 2*I*(c - 1)*d - d^2 - 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*c^2 + 2*(c - 1)*d - I*d^2
- 2*I*c + I)*sin(2*b*x + 2*a) - 2*c + 1)/(c^2 + d^2 - 2*c + 1) + 1))/b

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(acoth(c+d*cot(b*x+a)),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \operatorname{arcoth}\left (d \cot \left (b x + a\right ) + c\right )\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(arccoth(c+d*cot(b*x+a)),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(arccoth(d*cot(b*x + a) + c), x)