3.253 \(\int x^2 \coth ^{-1}(c+d \cot (a+b x)) \, dx\)

Optimal. Leaf size=391 \[ \frac{x \text{PolyLog}\left (3,\frac{(-c-i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{-c+i d+1}\right )}{4 b^2}-\frac{x \text{PolyLog}\left (3,\frac{(c+i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{c-i d+1}\right )}{4 b^2}+\frac{i \text{PolyLog}\left (4,\frac{(-c-i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{-c+i d+1}\right )}{8 b^3}-\frac{i \text{PolyLog}\left (4,\frac{(c+i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{c-i d+1}\right )}{8 b^3}-\frac{i x^2 \text{PolyLog}\left (2,\frac{(-c-i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{-c+i d+1}\right )}{4 b}+\frac{i x^2 \text{PolyLog}\left (2,\frac{(c+i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{c-i d+1}\right )}{4 b}+\frac{1}{6} x^3 \log \left (1-\frac{(-c-i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{-c+i d+1}\right )-\frac{1}{6} x^3 \log \left (1-\frac{(c+i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{c-i d+1}\right )+\frac{1}{3} x^3 \coth ^{-1}(d \cot (a+b x)+c) \]

[Out]

(x^3*ArcCoth[c + d*Cot[a + b*x]])/3 + (x^3*Log[1 - ((1 - c - I*d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 - c + I*d)])/6 -
(x^3*Log[1 - ((1 + c + I*d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + c - I*d)])/6 - ((I/4)*x^2*PolyLog[2, ((1 - c - I*d)
*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 - c + I*d)])/b + ((I/4)*x^2*PolyLog[2, ((1 + c + I*d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1
+ c - I*d)])/b + (x*PolyLog[3, ((1 - c - I*d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 - c + I*d)])/(4*b^2) - (x*PolyLog[3
, ((1 + c + I*d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + c - I*d)])/(4*b^2) + ((I/8)*PolyLog[4, ((1 - c - I*d)*E^((2*I)*
a + (2*I)*b*x))/(1 - c + I*d)])/b^3 - ((I/8)*PolyLog[4, ((1 + c + I*d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + c - I*d)]
)/b^3

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.503235, antiderivative size = 391, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 11, number of rules used = 6, integrand size = 15, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.4, Rules used = {6270, 2190, 2531, 6609, 2282, 6589} \[ \frac{x \text{PolyLog}\left (3,\frac{(-c-i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{-c+i d+1}\right )}{4 b^2}-\frac{x \text{PolyLog}\left (3,\frac{(c+i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{c-i d+1}\right )}{4 b^2}+\frac{i \text{PolyLog}\left (4,\frac{(-c-i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{-c+i d+1}\right )}{8 b^3}-\frac{i \text{PolyLog}\left (4,\frac{(c+i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{c-i d+1}\right )}{8 b^3}-\frac{i x^2 \text{PolyLog}\left (2,\frac{(-c-i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{-c+i d+1}\right )}{4 b}+\frac{i x^2 \text{PolyLog}\left (2,\frac{(c+i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{c-i d+1}\right )}{4 b}+\frac{1}{6} x^3 \log \left (1-\frac{(-c-i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{-c+i d+1}\right )-\frac{1}{6} x^3 \log \left (1-\frac{(c+i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{c-i d+1}\right )+\frac{1}{3} x^3 \coth ^{-1}(d \cot (a+b x)+c) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[x^2*ArcCoth[c + d*Cot[a + b*x]],x]

[Out]

(x^3*ArcCoth[c + d*Cot[a + b*x]])/3 + (x^3*Log[1 - ((1 - c - I*d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 - c + I*d)])/6 -
(x^3*Log[1 - ((1 + c + I*d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + c - I*d)])/6 - ((I/4)*x^2*PolyLog[2, ((1 - c - I*d)
*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 - c + I*d)])/b + ((I/4)*x^2*PolyLog[2, ((1 + c + I*d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1
+ c - I*d)])/b + (x*PolyLog[3, ((1 - c - I*d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 - c + I*d)])/(4*b^2) - (x*PolyLog[3
, ((1 + c + I*d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + c - I*d)])/(4*b^2) + ((I/8)*PolyLog[4, ((1 - c - I*d)*E^((2*I)*
a + (2*I)*b*x))/(1 - c + I*d)])/b^3 - ((I/8)*PolyLog[4, ((1 + c + I*d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + c - I*d)]
)/b^3

Rule 6270

Int[ArcCoth[(c_.) + Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[((e + f*x)^(m
+ 1)*ArcCoth[c + d*Cot[a + b*x]])/(f*(m + 1)), x] + (-Dist[(I*b*(1 - c - I*d))/(f*(m + 1)), Int[((e + f*x)^(m
+ 1)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c + I*d - (1 - c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x] + Dist[(I*b*(1 + c + I*d)
)/(f*(m + 1)), Int[((e + f*x)^(m + 1)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c - I*d - (1 + c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)),
x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[(c - I*d)^2, 1]

Rule 2190

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(b*f*g*n*Log[F]), x]
- Dist[(d*m)/(b*f*g*n*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 6609

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[((e + f*x)^m*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]), x] - Dist[(f*m)/(b*c*p*Log[F]), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rubi steps

\begin{align*} \int x^2 \coth ^{-1}(c+d \cot (a+b x)) \, dx &=\frac{1}{3} x^3 \coth ^{-1}(c+d \cot (a+b x))+\frac{1}{3} (b (i (1+c)-d)) \int \frac{e^{2 i a+2 i b x} x^3}{1+c-i d+(-1-c-i d) e^{2 i a+2 i b x}} \, dx-\frac{1}{3} (b (i-i c+d)) \int \frac{e^{2 i a+2 i b x} x^3}{1-c+i d+(-1+c+i d) e^{2 i a+2 i b x}} \, dx\\ &=\frac{1}{3} x^3 \coth ^{-1}(c+d \cot (a+b x))+\frac{1}{6} x^3 \log \left (1-\frac{(1-c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c+i d}\right )-\frac{1}{6} x^3 \log \left (1-\frac{(1+c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c-i d}\right )+\frac{1}{2} \int x^2 \log \left (1+\frac{(-1-c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c-i d}\right ) \, dx-\frac{1}{2} \int x^2 \log \left (1+\frac{(-1+c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c+i d}\right ) \, dx\\ &=\frac{1}{3} x^3 \coth ^{-1}(c+d \cot (a+b x))+\frac{1}{6} x^3 \log \left (1-\frac{(1-c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c+i d}\right )-\frac{1}{6} x^3 \log \left (1-\frac{(1+c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c-i d}\right )-\frac{i x^2 \text{Li}_2\left (\frac{(1-c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c+i d}\right )}{4 b}+\frac{i x^2 \text{Li}_2\left (\frac{(1+c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c-i d}\right )}{4 b}-\frac{i \int x \text{Li}_2\left (-\frac{(-1-c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c-i d}\right ) \, dx}{2 b}+\frac{i \int x \text{Li}_2\left (-\frac{(-1+c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c+i d}\right ) \, dx}{2 b}\\ &=\frac{1}{3} x^3 \coth ^{-1}(c+d \cot (a+b x))+\frac{1}{6} x^3 \log \left (1-\frac{(1-c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c+i d}\right )-\frac{1}{6} x^3 \log \left (1-\frac{(1+c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c-i d}\right )-\frac{i x^2 \text{Li}_2\left (\frac{(1-c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c+i d}\right )}{4 b}+\frac{i x^2 \text{Li}_2\left (\frac{(1+c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c-i d}\right )}{4 b}+\frac{x \text{Li}_3\left (\frac{(1-c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c+i d}\right )}{4 b^2}-\frac{x \text{Li}_3\left (\frac{(1+c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c-i d}\right )}{4 b^2}+\frac{\int \text{Li}_3\left (-\frac{(-1-c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c-i d}\right ) \, dx}{4 b^2}-\frac{\int \text{Li}_3\left (-\frac{(-1+c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c+i d}\right ) \, dx}{4 b^2}\\ &=\frac{1}{3} x^3 \coth ^{-1}(c+d \cot (a+b x))+\frac{1}{6} x^3 \log \left (1-\frac{(1-c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c+i d}\right )-\frac{1}{6} x^3 \log \left (1-\frac{(1+c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c-i d}\right )-\frac{i x^2 \text{Li}_2\left (\frac{(1-c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c+i d}\right )}{4 b}+\frac{i x^2 \text{Li}_2\left (\frac{(1+c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c-i d}\right )}{4 b}+\frac{x \text{Li}_3\left (\frac{(1-c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c+i d}\right )}{4 b^2}-\frac{x \text{Li}_3\left (\frac{(1+c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c-i d}\right )}{4 b^2}+\frac{i \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3\left (\frac{(-1+c+i d) x}{-1+c-i d}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i a+2 i b x}\right )}{8 b^3}-\frac{i \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3\left (\frac{(1+c+i d) x}{1+c-i d}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i a+2 i b x}\right )}{8 b^3}\\ &=\frac{1}{3} x^3 \coth ^{-1}(c+d \cot (a+b x))+\frac{1}{6} x^3 \log \left (1-\frac{(1-c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c+i d}\right )-\frac{1}{6} x^3 \log \left (1-\frac{(1+c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c-i d}\right )-\frac{i x^2 \text{Li}_2\left (\frac{(1-c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c+i d}\right )}{4 b}+\frac{i x^2 \text{Li}_2\left (\frac{(1+c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c-i d}\right )}{4 b}+\frac{x \text{Li}_3\left (\frac{(1-c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c+i d}\right )}{4 b^2}-\frac{x \text{Li}_3\left (\frac{(1+c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c-i d}\right )}{4 b^2}+\frac{i \text{Li}_4\left (\frac{(1-c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c+i d}\right )}{8 b^3}-\frac{i \text{Li}_4\left (\frac{(1+c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c-i d}\right )}{8 b^3}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.306333, size = 339, normalized size = 0.87 \[ \frac{1}{3} x^3 \coth ^{-1}(d \cot (a+b x)+c)+\frac{-6 i b^2 x^2 \text{PolyLog}\left (2,\frac{(c+i d-1) e^{2 i (a+b x)}}{c-i d-1}\right )+6 i b^2 x^2 \text{PolyLog}\left (2,\frac{(c+i d+1) e^{2 i (a+b x)}}{c-i d+1}\right )+6 b x \text{PolyLog}\left (3,\frac{(c+i d-1) e^{2 i (a+b x)}}{c-i d-1}\right )-6 b x \text{PolyLog}\left (3,\frac{(c+i d+1) e^{2 i (a+b x)}}{c-i d+1}\right )+3 i \text{PolyLog}\left (4,\frac{(c+i d-1) e^{2 i (a+b x)}}{c-i d-1}\right )-3 i \text{PolyLog}\left (4,\frac{(c+i d+1) e^{2 i (a+b x)}}{c-i d+1}\right )+4 b^3 x^3 \log \left (1-\frac{(c+i d-1) e^{2 i (a+b x)}}{c-i d-1}\right )-4 b^3 x^3 \log \left (1-\frac{(c+i d+1) e^{2 i (a+b x)}}{c-i d+1}\right )}{24 b^3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[x^2*ArcCoth[c + d*Cot[a + b*x]],x]

[Out]

(x^3*ArcCoth[c + d*Cot[a + b*x]])/3 + (4*b^3*x^3*Log[1 - ((-1 + c + I*d)*E^((2*I)*(a + b*x)))/(-1 + c - I*d)]
- 4*b^3*x^3*Log[1 - ((1 + c + I*d)*E^((2*I)*(a + b*x)))/(1 + c - I*d)] - (6*I)*b^2*x^2*PolyLog[2, ((-1 + c + I
*d)*E^((2*I)*(a + b*x)))/(-1 + c - I*d)] + (6*I)*b^2*x^2*PolyLog[2, ((1 + c + I*d)*E^((2*I)*(a + b*x)))/(1 + c
- I*d)] + 6*b*x*PolyLog[3, ((-1 + c + I*d)*E^((2*I)*(a + b*x)))/(-1 + c - I*d)] - 6*b*x*PolyLog[3, ((1 + c +
I*d)*E^((2*I)*(a + b*x)))/(1 + c - I*d)] + (3*I)*PolyLog[4, ((-1 + c + I*d)*E^((2*I)*(a + b*x)))/(-1 + c - I*d
)] - (3*I)*PolyLog[4, ((1 + c + I*d)*E^((2*I)*(a + b*x)))/(1 + c - I*d)])/(24*b^3)

________________________________________________________________________________________

Maple [C]  time = 6.855, size = 6662, normalized size = 17. \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(x^2*arccoth(c+d*cot(b*x+a)),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^2*arccoth(c+d*cot(b*x+a)),x, algorithm="maxima")

[Out]

1/12*x^3*log((c^2 + d^2 + 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + 4*(c + 1)*d*sin(2*b*x + 2*a) + (c^2 + d^2 + 2*c + 1)*s
in(2*b*x + 2*a)^2 + c^2 + d^2 - 2*(c^2 - d^2 + 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + 2*c + 1) - 1/12*x^3*log((c^2 + d^2
- 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + 4*(c - 1)*d*sin(2*b*x + 2*a) + (c^2 + d^2 - 2*c + 1)*sin(2*b*x + 2*a)^2 + c^2
+ d^2 - 2*(c^2 - d^2 - 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) - 2*c + 1) - 4*b*d*integrate(1/3*(2*(c^2 + d^2 - 1)*x^3*cos(2
*b*x + 2*a)^2 + 2*c*d*x^3*sin(2*b*x + 2*a) + 2*(c^2 + d^2 - 1)*x^3*sin(2*b*x + 2*a)^2 - (c^2 - d^2 - 1)*x^3*co
s(2*b*x + 2*a) - (2*c*d*x^3*sin(2*b*x + 2*a) + (c^2 - d^2 - 1)*x^3*cos(2*b*x + 2*a))*cos(4*b*x + 4*a) + (2*c*d
*x^3*cos(2*b*x + 2*a) - (c^2 - d^2 - 1)*x^3*sin(2*b*x + 2*a))*sin(4*b*x + 4*a))/(c^4 + d^4 + 2*(c^2 + 1)*d^2 +
(c^4 + d^4 + 2*(c^2 + 1)*d^2 - 2*c^2 + 1)*cos(4*b*x + 4*a)^2 + 4*(c^4 + d^4 + 2*(c^2 - 1)*d^2 - 2*c^2 + 1)*co
s(2*b*x + 2*a)^2 + (c^4 + d^4 + 2*(c^2 + 1)*d^2 - 2*c^2 + 1)*sin(4*b*x + 4*a)^2 + 4*(c^4 + d^4 + 2*(c^2 - 1)*d
^2 - 2*c^2 + 1)*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*c^2 + 2*(c^4 + d^4 - 2*(3*c^2 - 1)*d^2 - 2*c^2 - 2*(c^4 - d^4 - 2*c^2 +
1)*cos(2*b*x + 2*a) - 4*(c*d^3 + (c^3 - c)*d)*sin(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(4*b*x + 4*a) - 4*(c^4 - d^4 - 2*c^2 +
1)*cos(2*b*x + 2*a) + 4*(2*c*d^3 - 2*(c^3 - c)*d + 2*(c*d^3 + (c^3 - c)*d)*cos(2*b*x + 2*a) - (c^4 - d^4 - 2*
c^2 + 1)*sin(2*b*x + 2*a))*sin(4*b*x + 4*a) + 8*(c*d^3 + (c^3 - c)*d)*sin(2*b*x + 2*a) + 1), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 2.99284, size = 4748, normalized size = 12.14 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^2*arccoth(c+d*cot(b*x+a)),x, algorithm="fricas")

[Out]

1/48*(8*b^3*x^3*log((d*cos(2*b*x + 2*a) + (c + 1)*sin(2*b*x + 2*a) + d)/(d*cos(2*b*x + 2*a) + (c - 1)*sin(2*b*
x + 2*a) + d)) + 6*I*b^2*x^2*dilog(-(c^2 + d^2 - (c^2 + 2*I*(c + 1)*d - d^2 + 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (-I*
c^2 + 2*(c + 1)*d + I*d^2 - 2*I*c - I)*sin(2*b*x + 2*a) + 2*c + 1)/(c^2 + d^2 + 2*c + 1) + 1) - 6*I*b^2*x^2*di
log(-(c^2 + d^2 - (c^2 - 2*I*(c + 1)*d - d^2 + 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*c^2 + 2*(c + 1)*d - I*d^2 + 2*I*
c + I)*sin(2*b*x + 2*a) + 2*c + 1)/(c^2 + d^2 + 2*c + 1) + 1) - 6*I*b^2*x^2*dilog(-(c^2 + d^2 - (c^2 + 2*I*(c
- 1)*d - d^2 - 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (-I*c^2 + 2*(c - 1)*d + I*d^2 + 2*I*c - I)*sin(2*b*x + 2*a) - 2*c +
1)/(c^2 + d^2 - 2*c + 1) + 1) + 6*I*b^2*x^2*dilog(-(c^2 + d^2 - (c^2 - 2*I*(c - 1)*d - d^2 - 2*c + 1)*cos(2*b
*x + 2*a) + (I*c^2 + 2*(c - 1)*d - I*d^2 - 2*I*c + I)*sin(2*b*x + 2*a) - 2*c + 1)/(c^2 + d^2 - 2*c + 1) + 1) +
4*a^3*log(1/2*c^2 + I*(c + 1)*d - 1/2*d^2 - 1/2*(c^2 + d^2 + 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + 1/2*(I*c^2 + I*d^2 +
2*I*c + I)*sin(2*b*x + 2*a) + c + 1/2) - 4*a^3*log(1/2*c^2 + I*(c - 1)*d - 1/2*d^2 - 1/2*(c^2 + d^2 - 2*c + 1
)*cos(2*b*x + 2*a) + 1/2*(I*c^2 + I*d^2 - 2*I*c + I)*sin(2*b*x + 2*a) - c + 1/2) + 4*a^3*log(-1/2*c^2 + I*(c +
1)*d + 1/2*d^2 + 1/2*(c^2 + d^2 + 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + 1/2*(I*c^2 + I*d^2 + 2*I*c + I)*sin(2*b*x + 2*a
) - c - 1/2) - 4*a^3*log(-1/2*c^2 + I*(c - 1)*d + 1/2*d^2 + 1/2*(c^2 + d^2 - 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + 1/2*(
I*c^2 + I*d^2 - 2*I*c + I)*sin(2*b*x + 2*a) + c - 1/2) - 6*b*x*polylog(3, ((c^2 + 2*I*(c + 1)*d - d^2 + 2*c +
1)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*c^2 - 2*(c + 1)*d - I*d^2 + 2*I*c + I)*sin(2*b*x + 2*a))/(c^2 + d^2 + 2*c + 1)) - 6*b
*x*polylog(3, ((c^2 - 2*I*(c + 1)*d - d^2 + 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (-I*c^2 - 2*(c + 1)*d + I*d^2 - 2*I*c
- I)*sin(2*b*x + 2*a))/(c^2 + d^2 + 2*c + 1)) + 6*b*x*polylog(3, ((c^2 + 2*I*(c - 1)*d - d^2 - 2*c + 1)*cos(2*
b*x + 2*a) + (I*c^2 - 2*(c - 1)*d - I*d^2 - 2*I*c + I)*sin(2*b*x + 2*a))/(c^2 + d^2 - 2*c + 1)) + 6*b*x*polylo
g(3, ((c^2 - 2*I*(c - 1)*d - d^2 - 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (-I*c^2 - 2*(c - 1)*d + I*d^2 + 2*I*c - I)*sin(
2*b*x + 2*a))/(c^2 + d^2 - 2*c + 1)) - 4*(b^3*x^3 + a^3)*log((c^2 + d^2 - (c^2 + 2*I*(c + 1)*d - d^2 + 2*c + 1
)*cos(2*b*x + 2*a) + (-I*c^2 + 2*(c + 1)*d + I*d^2 - 2*I*c - I)*sin(2*b*x + 2*a) + 2*c + 1)/(c^2 + d^2 + 2*c +
1)) - 4*(b^3*x^3 + a^3)*log((c^2 + d^2 - (c^2 - 2*I*(c + 1)*d - d^2 + 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*c^2 + 2*
(c + 1)*d - I*d^2 + 2*I*c + I)*sin(2*b*x + 2*a) + 2*c + 1)/(c^2 + d^2 + 2*c + 1)) + 4*(b^3*x^3 + a^3)*log((c^2
+ d^2 - (c^2 + 2*I*(c - 1)*d - d^2 - 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (-I*c^2 + 2*(c - 1)*d + I*d^2 + 2*I*c - I)*s
in(2*b*x + 2*a) - 2*c + 1)/(c^2 + d^2 - 2*c + 1)) + 4*(b^3*x^3 + a^3)*log((c^2 + d^2 - (c^2 - 2*I*(c - 1)*d -
d^2 - 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*c^2 + 2*(c - 1)*d - I*d^2 - 2*I*c + I)*sin(2*b*x + 2*a) - 2*c + 1)/(c^2 +
d^2 - 2*c + 1)) - 3*I*polylog(4, ((c^2 + 2*I*(c + 1)*d - d^2 + 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*c^2 - 2*(c + 1)
*d - I*d^2 + 2*I*c + I)*sin(2*b*x + 2*a))/(c^2 + d^2 + 2*c + 1)) + 3*I*polylog(4, ((c^2 - 2*I*(c + 1)*d - d^2
+ 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (-I*c^2 - 2*(c + 1)*d + I*d^2 - 2*I*c - I)*sin(2*b*x + 2*a))/(c^2 + d^2 + 2*c +
1)) + 3*I*polylog(4, ((c^2 + 2*I*(c - 1)*d - d^2 - 2*c + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*c^2 - 2*(c - 1)*d - I*d^2 -
2*I*c + I)*sin(2*b*x + 2*a))/(c^2 + d^2 - 2*c + 1)) - 3*I*polylog(4, ((c^2 - 2*I*(c - 1)*d - d^2 - 2*c + 1)*co
s(2*b*x + 2*a) + (-I*c^2 - 2*(c - 1)*d + I*d^2 + 2*I*c - I)*sin(2*b*x + 2*a))/(c^2 + d^2 - 2*c + 1)))/b^3

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x**2*acoth(c+d*cot(b*x+a)),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int x^{2} \operatorname{arcoth}\left (d \cot \left (b x + a\right ) + c\right )\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^2*arccoth(c+d*cot(b*x+a)),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(x^2*arccoth(d*cot(b*x + a) + c), x)