3.238 \(\int \coth ^{-1}(c+d \tan (a+b x)) \, dx\)

Optimal. Leaf size=194 \[ -\frac{i \text{PolyLog}\left (2,-\frac{(-c+i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{-c-i d+1}\right )}{4 b}+\frac{i \text{PolyLog}\left (2,-\frac{(c-i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i d+1}\right )}{4 b}+\frac{1}{2} x \log \left (1+\frac{(-c+i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{-c-i d+1}\right )-\frac{1}{2} x \log \left (1+\frac{(c-i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i d+1}\right )+x \coth ^{-1}(d \tan (a+b x)+c) \]

[Out]

x*ArcCoth[c + d*Tan[a + b*x]] + (x*Log[1 + ((1 - c + I*d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 - c - I*d)])/2 - (x*Log[
1 + ((1 + c - I*d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + c + I*d)])/2 - ((I/4)*PolyLog[2, -(((1 - c + I*d)*E^((2*I)*a
+ (2*I)*b*x))/(1 - c - I*d))])/b + ((I/4)*PolyLog[2, -(((1 + c - I*d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + c + I*d))]
)/b

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.250733, antiderivative size = 194, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 4, integrand size = 11, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.364, Rules used = {6260, 2190, 2279, 2391} \[ -\frac{i \text{PolyLog}\left (2,-\frac{(-c+i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{-c-i d+1}\right )}{4 b}+\frac{i \text{PolyLog}\left (2,-\frac{(c-i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i d+1}\right )}{4 b}+\frac{1}{2} x \log \left (1+\frac{(-c+i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{-c-i d+1}\right )-\frac{1}{2} x \log \left (1+\frac{(c-i d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i d+1}\right )+x \coth ^{-1}(d \tan (a+b x)+c) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[ArcCoth[c + d*Tan[a + b*x]],x]

[Out]

x*ArcCoth[c + d*Tan[a + b*x]] + (x*Log[1 + ((1 - c + I*d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 - c - I*d)])/2 - (x*Log[
1 + ((1 + c - I*d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + c + I*d)])/2 - ((I/4)*PolyLog[2, -(((1 - c + I*d)*E^((2*I)*a
+ (2*I)*b*x))/(1 - c - I*d))])/b + ((I/4)*PolyLog[2, -(((1 + c - I*d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + c + I*d))]
)/b

Rule 6260

Int[ArcCoth[(c_.) + (d_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCoth[c + d*Tan[a + b*x]], x] + (-Di
st[I*b*(1 + c - I*d), Int[(x*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + c + I*d + (1 + c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x] +
Dist[I*b*(1 - c + I*d), Int[(x*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - c - I*d + (1 - c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x])
/; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[(c + I*d)^2, 1]

Rule 2190

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(b*f*g*n*Log[F]), x]
- Dist[(d*m)/(b*f*g*n*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2279

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2391

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, -(c*e*x^n)]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rubi steps

\begin{align*} \int \coth ^{-1}(c+d \tan (a+b x)) \, dx &=x \coth ^{-1}(c+d \tan (a+b x))+(b (i (1-c)-d)) \int \frac{e^{2 i a+2 i b x} x}{1-c-i d+(1-c+i d) e^{2 i a+2 i b x}} \, dx-(b (i+i c+d)) \int \frac{e^{2 i a+2 i b x} x}{1+c+i d+(1+c-i d) e^{2 i a+2 i b x}} \, dx\\ &=x \coth ^{-1}(c+d \tan (a+b x))+\frac{1}{2} x \log \left (1+\frac{(1-c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c-i d}\right )-\frac{1}{2} x \log \left (1+\frac{(1+c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c+i d}\right )-\frac{1}{2} \int \log \left (1+\frac{(1-c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c-i d}\right ) \, dx+\frac{1}{2} \int \log \left (1+\frac{(1+c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c+i d}\right ) \, dx\\ &=x \coth ^{-1}(c+d \tan (a+b x))+\frac{1}{2} x \log \left (1+\frac{(1-c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c-i d}\right )-\frac{1}{2} x \log \left (1+\frac{(1+c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c+i d}\right )+\frac{i \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (1+\frac{(1-c+i d) x}{1-c-i d}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i a+2 i b x}\right )}{4 b}-\frac{i \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (1+\frac{(1+c-i d) x}{1+c+i d}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i a+2 i b x}\right )}{4 b}\\ &=x \coth ^{-1}(c+d \tan (a+b x))+\frac{1}{2} x \log \left (1+\frac{(1-c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c-i d}\right )-\frac{1}{2} x \log \left (1+\frac{(1+c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c+i d}\right )-\frac{i \text{Li}_2\left (-\frac{(1-c+i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-c-i d}\right )}{4 b}+\frac{i \text{Li}_2\left (-\frac{(1+c-i d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+c+i d}\right )}{4 b}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 13.2235, size = 4654, normalized size = 23.99 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[ArcCoth[c + d*Tan[a + b*x]],x]

[Out]

x*ArcCoth[c + d*Tan[a + b*x]] + (d*(-(a*Log[-(Sec[(a + b*x)/2]^2*((-1 + c)*Cos[a + b*x] + d*Sin[a + b*x]))]) +
a*Log[Sec[(a + b*x)/2]^2*(Cos[a + b*x] + c*Cos[a + b*x] + d*Sin[a + b*x])] + (a + b*x)*Log[(-d + Sqrt[1 - 2*c
+ c^2 + d^2])/(-1 + c) + Tan[(a + b*x)/2]] + I*Log[((-1 + c)*(1 + I*Tan[(a + b*x)/2]))/(-1 + c + I*d - I*Sqrt
[1 - 2*c + c^2 + d^2])]*Log[(-d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])/(-1 + c) + Tan[(a + b*x)/2]] - I*Log[-(((-1 + c)*
(I + Tan[(a + b*x)/2]))/(I - I*c - d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2]))]*Log[(-d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])/(-1 +
c) + Tan[(a + b*x)/2]] + (a + b*x)*Log[(d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])/(1 - c) + Tan[(a + b*x)/2]] + I*Log[((
-1 + c)*(-I + Tan[(a + b*x)/2]))/(I - I*c + d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])]*Log[(d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2]
)/(1 - c) + Tan[(a + b*x)/2]] - I*Log[((-1 + c)*(I + Tan[(a + b*x)/2]))/(-I + I*c + d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d
^2])]*Log[(d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])/(1 - c) + Tan[(a + b*x)/2]] - (a + b*x)*Log[-((d + Sqrt[1 + 2*c + c^
2 + d^2])/(1 + c)) + Tan[(a + b*x)/2]] - I*Log[((1 + c)*(-I + Tan[(a + b*x)/2]))/(-I - I*c + d + Sqrt[1 + 2*c
+ c^2 + d^2])]*Log[-((d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])/(1 + c)) + Tan[(a + b*x)/2]] + I*Log[((1 + c)*(I + Tan[(a
+ b*x)/2]))/(I + I*c + d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])]*Log[-((d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])/(1 + c)) + Tan[(
a + b*x)/2]] - (a + b*x)*Log[(-d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + (1 + c)*Tan[(a + b*x)/2])/(1 + c)] + I*Log[((1
+ c)*(1 - I*Tan[(a + b*x)/2]))/(1 + c - I*d + I*Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])]*Log[(-d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2
] + (1 + c)*Tan[(a + b*x)/2])/(1 + c)] - I*Log[((1 + c)*(1 + I*Tan[(a + b*x)/2]))/(1 + c + I*d - I*Sqrt[1 + 2*
c + c^2 + d^2])]*Log[(-d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + (1 + c)*Tan[(a + b*x)/2])/(1 + c)] + I*PolyLog[2, (d +
Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] - (-1 + c)*Tan[(a + b*x)/2])/(I - I*c + d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])] - I*PolyLog[
2, (d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] - (-1 + c)*Tan[(a + b*x)/2])/(-I + I*c + d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])] - I
*PolyLog[2, (-d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] + (-1 + c)*Tan[(a + b*x)/2])/(I - I*c - d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d
^2])] + I*PolyLog[2, (-d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] + (-1 + c)*Tan[(a + b*x)/2])/(-I + I*c - d + Sqrt[1 - 2*c
+ c^2 + d^2])] - I*PolyLog[2, (d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] - (1 + c)*Tan[(a + b*x)/2])/(-I - I*c + d + Sqrt
[1 + 2*c + c^2 + d^2])] + I*PolyLog[2, (d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] - (1 + c)*Tan[(a + b*x)/2])/(I + I*c + d
+ Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])] + I*PolyLog[2, (-d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + (1 + c)*Tan[(a + b*x)/2])/(-I
- I*c - d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])] - I*PolyLog[2, (-d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + (1 + c)*Tan[(a + b*x)
/2])/(I + I*c - d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])])*((-2*a)/(b*(-1 + c^2 + d^2 - Cos[2*(a + b*x)] + c^2*Cos[2*(a
+ b*x)] - d^2*Cos[2*(a + b*x)] + 2*c*d*Sin[2*(a + b*x)])) + (2*(a + b*x))/(b*(-1 + c^2 + d^2 - Cos[2*(a + b*x)
] + c^2*Cos[2*(a + b*x)] - d^2*Cos[2*(a + b*x)] + 2*c*d*Sin[2*(a + b*x)]))))/(Log[(-d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d
^2])/(-1 + c) + Tan[(a + b*x)/2]] + Log[(d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])/(1 - c) + Tan[(a + b*x)/2]] - Log[-((d
+ Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])/(1 + c)) + Tan[(a + b*x)/2]] - Log[(-d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + (1 + c)*Tan
[(a + b*x)/2])/(1 + c)] + (Log[(-d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + (1 + c)*Tan[(a + b*x)/2])/(1 + c)]*Sec[(a + b
*x)/2]^2)/(2*(1 - I*Tan[(a + b*x)/2])) - (Log[(-d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])/(-1 + c) + Tan[(a + b*x)/2]]*Se
c[(a + b*x)/2]^2)/(2*(1 + I*Tan[(a + b*x)/2])) + (Log[(-d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + (1 + c)*Tan[(a + b*x)/
2])/(1 + c)]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(2*(1 + I*Tan[(a + b*x)/2])) + ((I/2)*Log[(d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])/(1
- c) + Tan[(a + b*x)/2]]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(-I + Tan[(a + b*x)/2]) - ((I/2)*Log[-((d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 +
d^2])/(1 + c)) + Tan[(a + b*x)/2]]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(-I + Tan[(a + b*x)/2]) - ((I/2)*Log[(-d + Sqrt[1 - 2*c
+ c^2 + d^2])/(-1 + c) + Tan[(a + b*x)/2]]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(I + Tan[(a + b*x)/2]) - ((I/2)*Log[(d + Sqrt[
1 - 2*c + c^2 + d^2])/(1 - c) + Tan[(a + b*x)/2]]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(I + Tan[(a + b*x)/2]) + ((I/2)*Log[-((d
+ Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])/(1 + c)) + Tan[(a + b*x)/2]]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(I + Tan[(a + b*x)/2]) + ((a +
b*x)*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(2*((-d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])/(-1 + c) + Tan[(a + b*x)/2])) + ((I/2)*Log[((-1
+ c)*(1 + I*Tan[(a + b*x)/2]))/(-1 + c + I*d - I*Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/((-d + Sqrt[1
- 2*c + c^2 + d^2])/(-1 + c) + Tan[(a + b*x)/2]) - ((I/2)*Log[-(((-1 + c)*(I + Tan[(a + b*x)/2]))/(I - I*c -
d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2]))]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/((-d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])/(-1 + c) + Tan[(a + b*x
)/2]) + ((a + b*x)*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(2*((d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])/(1 - c) + Tan[(a + b*x)/2])) + ((I/
2)*Log[((-1 + c)*(-I + Tan[(a + b*x)/2]))/(I - I*c + d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/((d +
Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])/(1 - c) + Tan[(a + b*x)/2]) - ((I/2)*Log[((-1 + c)*(I + Tan[(a + b*x)/2]))/(-I + I
*c + d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/((d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])/(1 - c) + Tan[(a + b
*x)/2]) - ((a + b*x)*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(2*(-((d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])/(1 + c)) + Tan[(a + b*x)/2])) -
((I/2)*Log[((1 + c)*(-I + Tan[(a + b*x)/2]))/(-I - I*c + d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/
(-((d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])/(1 + c)) + Tan[(a + b*x)/2]) + ((I/2)*Log[((1 + c)*(I + Tan[(a + b*x)/2]))/
(I + I*c + d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(-((d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])/(1 + c)) + T
an[(a + b*x)/2]) + ((I/2)*(-1 + c)*Log[1 - (d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] - (-1 + c)*Tan[(a + b*x)/2])/(I - I*
c + d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] - (-1 + c)*Tan[(a + b*x
)/2]) - ((I/2)*(-1 + c)*Log[1 - (d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] - (-1 + c)*Tan[(a + b*x)/2])/(-I + I*c + d + Sq
rt[1 - 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] - (-1 + c)*Tan[(a + b*x)/2]) + ((
I/2)*(-1 + c)*Log[1 - (-d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] + (-1 + c)*Tan[(a + b*x)/2])/(I - I*c - d + Sqrt[1 - 2*c
+ c^2 + d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(-d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] + (-1 + c)*Tan[(a + b*x)/2]) - ((I/2)*(-1
+ c)*Log[1 - (-d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] + (-1 + c)*Tan[(a + b*x)/2])/(-I + I*c - d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 +
d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(-d + Sqrt[1 - 2*c + c^2 + d^2] + (-1 + c)*Tan[(a + b*x)/2]) - ((I/2)*(1 + c)*Log[
1 - (d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] - (1 + c)*Tan[(a + b*x)/2])/(-I - I*c + d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])]*Sec
[(a + b*x)/2]^2)/(d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] - (1 + c)*Tan[(a + b*x)/2]) + ((I/2)*(1 + c)*Log[1 - (d + Sqrt
[1 + 2*c + c^2 + d^2] - (1 + c)*Tan[(a + b*x)/2])/(I + I*c + d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^
2)/(d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] - (1 + c)*Tan[(a + b*x)/2]) - ((1 + c)*(a + b*x)*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(2*(-d
+ Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + (1 + c)*Tan[(a + b*x)/2])) + ((I/2)*(1 + c)*Log[((1 + c)*(1 - I*Tan[(a + b*x)/2]
))/(1 + c - I*d + I*Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(-d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + (1 + c)*
Tan[(a + b*x)/2]) - ((I/2)*(1 + c)*Log[((1 + c)*(1 + I*Tan[(a + b*x)/2]))/(1 + c + I*d - I*Sqrt[1 + 2*c + c^2
+ d^2])]*Sec[(a + b*x)/2]^2)/(-d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + (1 + c)*Tan[(a + b*x)/2]) - ((I/2)*(1 + c)*Log[
1 - (-d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + (1 + c)*Tan[(a + b*x)/2])/(-I - I*c - d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])]*Se
c[(a + b*x)/2]^2)/(-d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + (1 + c)*Tan[(a + b*x)/2]) + ((I/2)*(1 + c)*Log[1 - (-d + S
qrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + (1 + c)*Tan[(a + b*x)/2])/(I + I*c - d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2])]*Sec[(a + b*x)/
2]^2)/(-d + Sqrt[1 + 2*c + c^2 + d^2] + (1 + c)*Tan[(a + b*x)/2]) + (a*Cos[(a + b*x)/2]^2*(-(Sec[(a + b*x)/2]^
2*(d*Cos[a + b*x] - (-1 + c)*Sin[a + b*x])) - Sec[(a + b*x)/2]^2*((-1 + c)*Cos[a + b*x] + d*Sin[a + b*x])*Tan[
(a + b*x)/2]))/((-1 + c)*Cos[a + b*x] + d*Sin[a + b*x]) + (a*Cos[(a + b*x)/2]^2*(Sec[(a + b*x)/2]^2*(d*Cos[a +
b*x] - Sin[a + b*x] - c*Sin[a + b*x]) + Sec[(a + b*x)/2]^2*(Cos[a + b*x] + c*Cos[a + b*x] + d*Sin[a + b*x])*T
an[(a + b*x)/2]))/(Cos[a + b*x] + c*Cos[a + b*x] + d*Sin[a + b*x]))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.131, size = 612, normalized size = 3.2 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(arccoth(c+d*tan(b*x+a)),x)

[Out]

1/b*arctan(tan(b*x+a))*arccoth(c+d*tan(b*x+a))-1/2/b*arctan((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d)*ln(d*((c+d*tan(b*x+a))/d-c
/d)+c+1)+1/2/b*arctan((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d)*ln(d*((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d)+c-1)+1/4*I/b*ln(d*((c+d*tan(b*x+a)
)/d-c/d)+c-1)*ln((I*d-d*((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d))/(I*d+c-1))-1/4*I/b*ln(d*((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d)+c-1)*ln((I*
d+d*((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d))/(1-c+I*d))+1/4*I/b*dilog((I*d-d*((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d))/(I*d+c-1))-1/4*I/b*dil
og((I*d+d*((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d))/(1-c+I*d))-1/4*I/b*ln(d*((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d)+c+1)*ln((I*d-d*((c+d*tan(
b*x+a))/d-c/d))/(1+c+I*d))+1/4*I/b*ln(d*((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d)+c+1)*ln((I*d+d*((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d))/(I*d
-c-1))-1/4*I/b*dilog((I*d-d*((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d))/(1+c+I*d))+1/4*I/b*dilog((I*d+d*((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d)
)/(I*d-c-1))

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 2.12998, size = 502, normalized size = 2.59 \begin{align*} \frac{4 \,{\left (b x + a\right )} \operatorname{arcoth}\left (d \tan \left (b x + a\right ) + c\right ) +{\left (\arctan \left (\frac{d^{2} \tan \left (b x + a\right ) +{\left (c + 1\right )} d}{c^{2} + d^{2} + 2 \, c + 1}, \frac{{\left (c + 1\right )} d \tan \left (b x + a\right ) + c^{2} + 2 \, c + 1}{c^{2} + d^{2} + 2 \, c + 1}\right ) - \arctan \left (\frac{d^{2} \tan \left (b x + a\right ) +{\left (c - 1\right )} d}{c^{2} + d^{2} - 2 \, c + 1}, \frac{{\left (c - 1\right )} d \tan \left (b x + a\right ) + c^{2} - 2 \, c + 1}{c^{2} + d^{2} - 2 \, c + 1}\right )\right )} \log \left (\tan \left (b x + a\right )^{2} + 1\right ) -{\left (b x + a\right )} \log \left (\frac{d^{2} \tan \left (b x + a\right )^{2} + 2 \,{\left (c + 1\right )} d \tan \left (b x + a\right ) + c^{2} + 2 \, c + 1}{c^{2} + d^{2} + 2 \, c + 1}\right ) +{\left (b x + a\right )} \log \left (\frac{d^{2} \tan \left (b x + a\right )^{2} + 2 \,{\left (c - 1\right )} d \tan \left (b x + a\right ) + c^{2} - 2 \, c + 1}{c^{2} + d^{2} - 2 \, c + 1}\right ) - i \,{\rm Li}_2\left (-\frac{i \, d \tan \left (b x + a\right ) - d}{i \, c + d + i}\right ) + i \,{\rm Li}_2\left (-\frac{i \, d \tan \left (b x + a\right ) - d}{i \, c + d - i}\right ) - i \,{\rm Li}_2\left (\frac{i \, d \tan \left (b x + a\right ) + d}{-i \, c + d + i}\right ) + i \,{\rm Li}_2\left (\frac{i \, d \tan \left (b x + a\right ) + d}{-i \, c + d - i}\right )}{4 \, b} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(arccoth(c+d*tan(b*x+a)),x, algorithm="maxima")

[Out]

1/4*(4*(b*x + a)*arccoth(d*tan(b*x + a) + c) + (arctan2((d^2*tan(b*x + a) + (c + 1)*d)/(c^2 + d^2 + 2*c + 1),
((c + 1)*d*tan(b*x + a) + c^2 + 2*c + 1)/(c^2 + d^2 + 2*c + 1)) - arctan2((d^2*tan(b*x + a) + (c - 1)*d)/(c^2
+ d^2 - 2*c + 1), ((c - 1)*d*tan(b*x + a) + c^2 - 2*c + 1)/(c^2 + d^2 - 2*c + 1)))*log(tan(b*x + a)^2 + 1) - (
b*x + a)*log((d^2*tan(b*x + a)^2 + 2*(c + 1)*d*tan(b*x + a) + c^2 + 2*c + 1)/(c^2 + d^2 + 2*c + 1)) + (b*x + a
)*log((d^2*tan(b*x + a)^2 + 2*(c - 1)*d*tan(b*x + a) + c^2 - 2*c + 1)/(c^2 + d^2 - 2*c + 1)) - I*dilog(-(I*d*t
an(b*x + a) - d)/(I*c + d + I)) + I*dilog(-(I*d*tan(b*x + a) - d)/(I*c + d - I)) - I*dilog((I*d*tan(b*x + a) +
d)/(-I*c + d + I)) + I*dilog((I*d*tan(b*x + a) + d)/(-I*c + d - I)))/b

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 2.43372, size = 3210, normalized size = 16.55 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(arccoth(c+d*tan(b*x+a)),x, algorithm="fricas")

[Out]

1/8*(4*b*x*log((d*tan(b*x + a) + c + 1)/(d*tan(b*x + a) + c - 1)) - 2*(b*x + a)*log(((2*I*(c + 1)*d + 2*d^2)*t
an(b*x + a)^2 + 2*c^2 - 2*I*(c + 1)*d + (2*I*c^2 + 4*(c + 1)*d - 2*I*d^2 + 4*I*c + 2*I)*tan(b*x + a) + 4*c + 2
)/((c^2 + d^2 + 2*c + 1)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + d^2 + 2*c + 1)) - 2*(b*x + a)*log(((-2*I*(c + 1)*d + 2*d^2)*ta
n(b*x + a)^2 + 2*c^2 + 2*I*(c + 1)*d + (-2*I*c^2 + 4*(c + 1)*d + 2*I*d^2 - 4*I*c - 2*I)*tan(b*x + a) + 4*c + 2
)/((c^2 + d^2 + 2*c + 1)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + d^2 + 2*c + 1)) + 2*(b*x + a)*log(((2*I*(c - 1)*d + 2*d^2)*tan
(b*x + a)^2 + 2*c^2 - 2*I*(c - 1)*d + (2*I*c^2 + 4*(c - 1)*d - 2*I*d^2 - 4*I*c + 2*I)*tan(b*x + a) - 4*c + 2)/
((c^2 + d^2 - 2*c + 1)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + d^2 - 2*c + 1)) + 2*(b*x + a)*log(((-2*I*(c - 1)*d + 2*d^2)*tan(
b*x + a)^2 + 2*c^2 + 2*I*(c - 1)*d + (-2*I*c^2 + 4*(c - 1)*d + 2*I*d^2 + 4*I*c - 2*I)*tan(b*x + a) - 4*c + 2)/
((c^2 + d^2 - 2*c + 1)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + d^2 - 2*c + 1)) + 2*a*log(((I*(c + 1)*d + d^2)*tan(b*x + a)^2 -
c^2 + I*(c + 1)*d + (I*c^2 + I*d^2 + 2*I*c + I)*tan(b*x + a) - 2*c - 1)/(tan(b*x + a)^2 + 1)) + 2*a*log(((I*(c
+ 1)*d - d^2)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + I*(c + 1)*d + (I*c^2 + I*d^2 + 2*I*c + I)*tan(b*x + a) + 2*c + 1)/(tan(b
*x + a)^2 + 1)) - 2*a*log(((I*(c - 1)*d + d^2)*tan(b*x + a)^2 - c^2 + I*(c - 1)*d + (I*c^2 + I*d^2 - 2*I*c + I
)*tan(b*x + a) + 2*c - 1)/(tan(b*x + a)^2 + 1)) - 2*a*log(((I*(c - 1)*d - d^2)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + I*(c - 1
)*d + (I*c^2 + I*d^2 - 2*I*c + I)*tan(b*x + a) - 2*c + 1)/(tan(b*x + a)^2 + 1)) + I*dilog(-((2*I*(c + 1)*d + 2
*d^2)*tan(b*x + a)^2 + 2*c^2 - 2*I*(c + 1)*d + (2*I*c^2 + 4*(c + 1)*d - 2*I*d^2 + 4*I*c + 2*I)*tan(b*x + a) +
4*c + 2)/((c^2 + d^2 + 2*c + 1)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + d^2 + 2*c + 1) + 1) - I*dilog(-((-2*I*(c + 1)*d + 2*d^2
)*tan(b*x + a)^2 + 2*c^2 + 2*I*(c + 1)*d + (-2*I*c^2 + 4*(c + 1)*d + 2*I*d^2 - 4*I*c - 2*I)*tan(b*x + a) + 4*c
+ 2)/((c^2 + d^2 + 2*c + 1)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + d^2 + 2*c + 1) + 1) - I*dilog(-((2*I*(c - 1)*d + 2*d^2)*ta
n(b*x + a)^2 + 2*c^2 - 2*I*(c - 1)*d + (2*I*c^2 + 4*(c - 1)*d - 2*I*d^2 - 4*I*c + 2*I)*tan(b*x + a) - 4*c + 2)
/((c^2 + d^2 - 2*c + 1)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + d^2 - 2*c + 1) + 1) + I*dilog(-((-2*I*(c - 1)*d + 2*d^2)*tan(b*
x + a)^2 + 2*c^2 + 2*I*(c - 1)*d + (-2*I*c^2 + 4*(c - 1)*d + 2*I*d^2 + 4*I*c - 2*I)*tan(b*x + a) - 4*c + 2)/((
c^2 + d^2 - 2*c + 1)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + d^2 - 2*c + 1) + 1))/b

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(acoth(c+d*tan(b*x+a)),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \operatorname{arcoth}\left (d \tan \left (b x + a\right ) + c\right )\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(arccoth(c+d*tan(b*x+a)),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(arccoth(d*tan(b*x + a) + c), x)