### 3.831 $$\int \frac{d+e \sinh (x)}{a+b \sinh (x)+c \sinh ^2(x)} \, dx$$

Optimal. Leaf size=300 $\frac{\sqrt{2} \left (-\frac{2 c d-b e}{\sqrt{4 a c-b^2}}+i e\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\tanh \left (\frac{x}{2}\right ) \sqrt{4 a c-b^2}-i b \tanh \left (\frac{x}{2}\right )+2 i c}{\sqrt{2} \sqrt{i b \sqrt{4 a c-b^2}-2 c (a-c)+b^2}}\right )}{\sqrt{i b \sqrt{4 a c-b^2}-2 c (a-c)+b^2}}+\frac{\sqrt{2} \left (\frac{2 c d-b e}{\sqrt{4 a c-b^2}}+i e\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{2 i c-\tanh \left (\frac{x}{2}\right ) \left (\sqrt{4 a c-b^2}+i b\right )}{\sqrt{2} \sqrt{-i b \sqrt{4 a c-b^2}-2 c (a-c)+b^2}}\right )}{\sqrt{-i b \sqrt{4 a c-b^2}-2 c (a-c)+b^2}}$

[Out]

(Sqrt[2]*(I*e - (2*c*d - b*e)/Sqrt[-b^2 + 4*a*c])*ArcTan[((2*I)*c - I*b*Tanh[x/2] + Sqrt[-b^2 + 4*a*c]*Tanh[x/
2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*(a - c)*c + I*b*Sqrt[-b^2 + 4*a*c]])])/Sqrt[b^2 - 2*(a - c)*c + I*b*Sqrt[-b^2 + 4*a*
c]] + (Sqrt[2]*(I*e + (2*c*d - b*e)/Sqrt[-b^2 + 4*a*c])*ArcTan[((2*I)*c - (I*b + Sqrt[-b^2 + 4*a*c])*Tanh[x/2]
)/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*(a - c)*c - I*b*Sqrt[-b^2 + 4*a*c]])])/Sqrt[b^2 - 2*(a - c)*c - I*b*Sqrt[-b^2 + 4*a*c]
]

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.757776, antiderivative size = 300, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 4, integrand size = 21, $$\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}$$ = 0.19, Rules used = {3292, 2660, 618, 204} $\frac{\sqrt{2} \left (-\frac{2 c d-b e}{\sqrt{4 a c-b^2}}+i e\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\tanh \left (\frac{x}{2}\right ) \sqrt{4 a c-b^2}-i b \tanh \left (\frac{x}{2}\right )+2 i c}{\sqrt{2} \sqrt{i b \sqrt{4 a c-b^2}-2 c (a-c)+b^2}}\right )}{\sqrt{i b \sqrt{4 a c-b^2}-2 c (a-c)+b^2}}+\frac{\sqrt{2} \left (\frac{2 c d-b e}{\sqrt{4 a c-b^2}}+i e\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{2 i c-\tanh \left (\frac{x}{2}\right ) \left (\sqrt{4 a c-b^2}+i b\right )}{\sqrt{2} \sqrt{-i b \sqrt{4 a c-b^2}-2 c (a-c)+b^2}}\right )}{\sqrt{-i b \sqrt{4 a c-b^2}-2 c (a-c)+b^2}}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Int[(d + e*Sinh[x])/(a + b*Sinh[x] + c*Sinh[x]^2),x]

[Out]

(Sqrt[2]*(I*e - (2*c*d - b*e)/Sqrt[-b^2 + 4*a*c])*ArcTan[((2*I)*c - I*b*Tanh[x/2] + Sqrt[-b^2 + 4*a*c]*Tanh[x/
2])/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*(a - c)*c + I*b*Sqrt[-b^2 + 4*a*c]])])/Sqrt[b^2 - 2*(a - c)*c + I*b*Sqrt[-b^2 + 4*a*
c]] + (Sqrt[2]*(I*e + (2*c*d - b*e)/Sqrt[-b^2 + 4*a*c])*ArcTan[((2*I)*c - (I*b + Sqrt[-b^2 + 4*a*c])*Tanh[x/2]
)/(Sqrt[2]*Sqrt[b^2 - 2*(a - c)*c - I*b*Sqrt[-b^2 + 4*a*c]])])/Sqrt[b^2 - 2*(a - c)*c - I*b*Sqrt[-b^2 + 4*a*c]
]

Rule 3292

Int[((A_) + (B_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])/((a_.) + (b_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)] + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x
_)]^2), x_Symbol] :> Module[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Dist[B + (b*B - 2*A*c)/q, Int[1/(b + q + 2*c*Sin[d + e*x
]), x], x] + Dist[B - (b*B - 2*A*c)/q, Int[1/(b - q + 2*c*Sin[d + e*x]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B
}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

Rule 2660

Int[((a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Tan[(c + d*x)/2], x]}, Dis
t[(2*e)/d, Subst[Int[1/(a + 2*b*e*x + a*e^2*x^2), x], x, Tan[(c + d*x)/2]/e], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &&
NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 618

Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Dist[-2, Subst[Int[1/Simp[b^2 - 4*a*c - x^2, x], x]
, x, b + 2*c*x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

Rule 204

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> -Simp[ArcTan[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[-a, 2]]/(Rt[-a, 2]*Rt[-b, 2]), x] /
; FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a/b] && (LtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{d+e \sinh (x)}{a+b \sinh (x)+c \sinh ^2(x)} \, dx &=\left (-i e-\frac{2 c d-b e}{\sqrt{-b^2+4 a c}}\right ) \int \frac{1}{-i b-\sqrt{-b^2+4 a c}-2 i c \sinh (x)} \, dx+\left (-i e+\frac{2 c d-b e}{\sqrt{-b^2+4 a c}}\right ) \int \frac{1}{-i b+\sqrt{-b^2+4 a c}-2 i c \sinh (x)} \, dx\\ &=-\left (\left (2 \left (i e-\frac{2 c d-b e}{\sqrt{-b^2+4 a c}}\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-i b+\sqrt{-b^2+4 a c}-4 i c x-\left (-i b+\sqrt{-b^2+4 a c}\right ) x^2} \, dx,x,\tanh \left (\frac{x}{2}\right )\right )\right )-\left (2 \left (i e+\frac{2 c d-b e}{\sqrt{-b^2+4 a c}}\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-i b-\sqrt{-b^2+4 a c}-4 i c x-\left (-i b-\sqrt{-b^2+4 a c}\right ) x^2} \, dx,x,\tanh \left (\frac{x}{2}\right )\right )\\ &=\left (4 \left (i e-\frac{2 c d-b e}{\sqrt{-b^2+4 a c}}\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-8 \left (b^2-2 (a-c) c+i b \sqrt{-b^2+4 a c}\right )-x^2} \, dx,x,-4 i c+2 \left (i b-\sqrt{-b^2+4 a c}\right ) \tanh \left (\frac{x}{2}\right )\right )+\left (4 \left (i e+\frac{2 c d-b e}{\sqrt{-b^2+4 a c}}\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-8 \left (b^2-2 (a-c) c-i b \sqrt{-b^2+4 a c}\right )-x^2} \, dx,x,-4 i c+2 \left (i b+\sqrt{-b^2+4 a c}\right ) \tanh \left (\frac{x}{2}\right )\right )\\ &=\frac{\sqrt{2} \left (i e-\frac{2 c d-b e}{\sqrt{-b^2+4 a c}}\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{2 i c-\left (i b-\sqrt{-b^2+4 a c}\right ) \tanh \left (\frac{x}{2}\right )}{\sqrt{2} \sqrt{b^2-2 (a-c) c+i b \sqrt{-b^2+4 a c}}}\right )}{\sqrt{b^2-2 (a-c) c+i b \sqrt{-b^2+4 a c}}}+\frac{\sqrt{2} \left (i e+\frac{2 c d-b e}{\sqrt{-b^2+4 a c}}\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{2 i c-\left (i b+\sqrt{-b^2+4 a c}\right ) \tanh \left (\frac{x}{2}\right )}{\sqrt{2} \sqrt{b^2-2 (a-c) c-i b \sqrt{-b^2+4 a c}}}\right )}{\sqrt{b^2-2 (a-c) c-i b \sqrt{-b^2+4 a c}}}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.512162, size = 258, normalized size = 0.86 $\frac{\sqrt{2} \left (\frac{\left (e \left (\sqrt{b^2-4 a c}-b\right )+2 c d\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\tanh \left (\frac{x}{2}\right ) \left (\sqrt{b^2-4 a c}-b\right )+2 c}{\sqrt{2 b \sqrt{b^2-4 a c}+4 c (a-c)-2 b^2}}\right )}{\sqrt{b \sqrt{b^2-4 a c}+2 c (a-c)-b^2}}+\frac{\left (e \left (\sqrt{b^2-4 a c}+b\right )-2 c d\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{2 c-\tanh \left (\frac{x}{2}\right ) \left (\sqrt{b^2-4 a c}+b\right )}{\sqrt{2} \sqrt{-b \sqrt{b^2-4 a c}+2 c (a-c)-b^2}}\right )}{\sqrt{-b \sqrt{b^2-4 a c}+2 c (a-c)-b^2}}\right )}{\sqrt{b^2-4 a c}}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Integrate[(d + e*Sinh[x])/(a + b*Sinh[x] + c*Sinh[x]^2),x]

[Out]

(Sqrt[2]*(((2*c*d + (-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)*ArcTan[(2*c + (-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Tanh[x/2])/Sqrt[-2*b^2
+ 4*(a - c)*c + 2*b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/Sqrt[-b^2 + 2*(a - c)*c + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]] + ((-2*c*d + (b + Sqrt
[b^2 - 4*a*c])*e)*ArcTan[(2*c - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Tanh[x/2])/(Sqrt[2]*Sqrt[-b^2 + 2*(a - c)*c - b*Sqrt[b
^2 - 4*a*c]])])/Sqrt[-b^2 + 2*(a - c)*c - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]]))/Sqrt[b^2 - 4*a*c]

________________________________________________________________________________________

Maple [C]  time = 0.056, size = 79, normalized size = 0.3 \begin{align*} \sum _{{\it \_R}={\it RootOf} \left ( a{{\it \_Z}}^{4}-2\,b{{\it \_Z}}^{3}+ \left ( -2\,a+4\,c \right ){{\it \_Z}}^{2}+2\,b{\it \_Z}+a \right ) }{\frac{-{{\it \_R}}^{2}d+2\,{\it \_R}\,e+d}{2\,{{\it \_R}}^{3}a-3\,b{{\it \_R}}^{2}-2\,{\it \_R}\,a+4\,c{\it \_R}+b}\ln \left ( \tanh \left ({\frac{x}{2}} \right ) -{\it \_R} \right ) } \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d+e*sinh(x))/(a+b*sinh(x)+c*sinh(x)^2),x)

[Out]

sum((-_R^2*d+2*_R*e+d)/(2*_R^3*a-3*_R^2*b-2*_R*a+4*_R*c+b)*ln(tanh(1/2*x)-_R),_R=RootOf(a*_Z^4-2*b*_Z^3+(-2*a+
4*c)*_Z^2+2*b*_Z+a))

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{e \sinh \left (x\right ) + d}{c \sinh \left (x\right )^{2} + b \sinh \left (x\right ) + a}\,{d x} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d+e*sinh(x))/(a+b*sinh(x)+c*sinh(x)^2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((e*sinh(x) + d)/(c*sinh(x)^2 + b*sinh(x) + a), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 32.5258, size = 14202, normalized size = 47.34 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d+e*sinh(x))/(a+b*sinh(x)+c*sinh(x)^2),x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/2*sqrt(2)*sqrt(((b^2 - 2*a*c + 2*c^2)*d^2 - 2*(a*b + b*c)*d*e + (2*a^2 + b^2 - 2*a*c)*e^2 + (a^2*b^2 + b^4
- 4*a*c^3 + (8*a^2 + b^2)*c^2 - 2*(2*a^3 + 3*a*b^2)*c)*sqrt((b^2*d^4 + b^2*e^4 - 4*(a*b - b*c)*d^3*e + 2*(2*a^
2 - b^2 - 4*a*c + 2*c^2)*d^2*e^2 + 4*(a*b - b*c)*d*e^3)/(a^4*b^2 + 2*a^2*b^4 + b^6 - 4*a*c^5 + (16*a^2 + b^2)*
c^4 - 12*(2*a^3 + a*b^2)*c^3 + 2*(8*a^4 + 11*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - 4*(a^5 + 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c)))/(a^2*b^2
+ b^4 - 4*a*c^3 + (8*a^2 + b^2)*c^2 - 2*(2*a^3 + 3*a*b^2)*c))*log(-2*b^2*c*d^4 + 2*a*b^2*e^4 + 2*(b^3 + 2*a*b*
c - 2*b*c^2)*d^3*e - 6*(a*b^2 - b^2*c)*d^2*e^2 + 2*(2*a^2*b - b^3 - 2*a*b*c)*d*e^3 + sqrt(2)*((b^4 - 4*a*b^2*c
)*d^3 - 3*(a*b^3 + 4*a*b*c^2 - (4*a^2*b + b^3)*c)*d^2*e + (2*a^2*b^2 - b^4 - 8*a^3*c - 8*a*c^3 + 2*(8*a^2 + b^
2)*c^2)*d*e^2 + (a*b^3 + 4*a*b*c^2 - (4*a^2*b + b^3)*c)*e^3 - ((a^2*b^4 + b^6 - 8*a*c^5 + 2*(12*a^2 + b^2)*c^4
- 6*(4*a^3 + 3*a*b^2)*c^3 + (8*a^4 + 22*a^2*b^2 + 3*b^4)*c^2 - 2*(3*a^3*b^2 + 4*a*b^4)*c)*d - (a^3*b^3 + a*b^
5 - 4*a*b*c^4 + (4*a^2*b + b^3)*c^3 + (4*a^3*b - 5*a*b^3)*c^2 - (4*a^4*b + 5*a^2*b^3 - b^5)*c)*e)*sqrt((b^2*d^
4 + b^2*e^4 - 4*(a*b - b*c)*d^3*e + 2*(2*a^2 - b^2 - 4*a*c + 2*c^2)*d^2*e^2 + 4*(a*b - b*c)*d*e^3)/(a^4*b^2 +
2*a^2*b^4 + b^6 - 4*a*c^5 + (16*a^2 + b^2)*c^4 - 12*(2*a^3 + a*b^2)*c^3 + 2*(8*a^4 + 11*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - 4
*(a^5 + 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c)))*sqrt(((b^2 - 2*a*c + 2*c^2)*d^2 - 2*(a*b + b*c)*d*e + (2*a^2 + b^2 - 2*a*c)*
e^2 + (a^2*b^2 + b^4 - 4*a*c^3 + (8*a^2 + b^2)*c^2 - 2*(2*a^3 + 3*a*b^2)*c)*sqrt((b^2*d^4 + b^2*e^4 - 4*(a*b -
b*c)*d^3*e + 2*(2*a^2 - b^2 - 4*a*c + 2*c^2)*d^2*e^2 + 4*(a*b - b*c)*d*e^3)/(a^4*b^2 + 2*a^2*b^4 + b^6 - 4*a*
c^5 + (16*a^2 + b^2)*c^4 - 12*(2*a^3 + a*b^2)*c^3 + 2*(8*a^4 + 11*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - 4*(a^5 + 3*a^3*b^2 + 2*
a*b^4)*c)))/(a^2*b^2 + b^4 - 4*a*c^3 + (8*a^2 + b^2)*c^2 - 2*(2*a^3 + 3*a*b^2)*c)) - 4*(b*c^2*d^4 - a*b*c*e^4
- (b^2*c + 2*a*c^2 - 2*c^3)*d^3*e + 3*(a*b*c - b*c^2)*d^2*e^2 + (2*a*c^2 - (2*a^2 - b^2)*c)*d*e^3)*cosh(x) - 4
*(b*c^2*d^4 - a*b*c*e^4 - (b^2*c + 2*a*c^2 - 2*c^3)*d^3*e + 3*(a*b*c - b*c^2)*d^2*e^2 + (2*a*c^2 - (2*a^2 - b^
2)*c)*d*e^3)*sinh(x) - 2*((4*a*c^4 - (8*a^2 + b^2)*c^3 + 2*(2*a^3 + 3*a*b^2)*c^2 - (a^2*b^2 + b^4)*c)*d^2 + (a
^2*b^3 + b^5 - 4*a*b*c^3 + (8*a^2*b + b^3)*c^2 - 2*(2*a^3*b + 3*a*b^3)*c)*d*e - (a^3*b^2 + a*b^4 - 4*a^2*c^3 +
(8*a^3 + a*b^2)*c^2 - 2*(2*a^4 + 3*a^2*b^2)*c)*e^2)*sqrt((b^2*d^4 + b^2*e^4 - 4*(a*b - b*c)*d^3*e + 2*(2*a^2
- b^2 - 4*a*c + 2*c^2)*d^2*e^2 + 4*(a*b - b*c)*d*e^3)/(a^4*b^2 + 2*a^2*b^4 + b^6 - 4*a*c^5 + (16*a^2 + b^2)*c^
4 - 12*(2*a^3 + a*b^2)*c^3 + 2*(8*a^4 + 11*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - 4*(a^5 + 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c))) + 1/2*sqrt(
2)*sqrt(((b^2 - 2*a*c + 2*c^2)*d^2 - 2*(a*b + b*c)*d*e + (2*a^2 + b^2 - 2*a*c)*e^2 + (a^2*b^2 + b^4 - 4*a*c^3
+ (8*a^2 + b^2)*c^2 - 2*(2*a^3 + 3*a*b^2)*c)*sqrt((b^2*d^4 + b^2*e^4 - 4*(a*b - b*c)*d^3*e + 2*(2*a^2 - b^2 -
4*a*c + 2*c^2)*d^2*e^2 + 4*(a*b - b*c)*d*e^3)/(a^4*b^2 + 2*a^2*b^4 + b^6 - 4*a*c^5 + (16*a^2 + b^2)*c^4 - 12*(
2*a^3 + a*b^2)*c^3 + 2*(8*a^4 + 11*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - 4*(a^5 + 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c)))/(a^2*b^2 + b^4 - 4*
a*c^3 + (8*a^2 + b^2)*c^2 - 2*(2*a^3 + 3*a*b^2)*c))*log(-2*b^2*c*d^4 + 2*a*b^2*e^4 + 2*(b^3 + 2*a*b*c - 2*b*c^
2)*d^3*e - 6*(a*b^2 - b^2*c)*d^2*e^2 + 2*(2*a^2*b - b^3 - 2*a*b*c)*d*e^3 - sqrt(2)*((b^4 - 4*a*b^2*c)*d^3 - 3*
(a*b^3 + 4*a*b*c^2 - (4*a^2*b + b^3)*c)*d^2*e + (2*a^2*b^2 - b^4 - 8*a^3*c - 8*a*c^3 + 2*(8*a^2 + b^2)*c^2)*d*
e^2 + (a*b^3 + 4*a*b*c^2 - (4*a^2*b + b^3)*c)*e^3 - ((a^2*b^4 + b^6 - 8*a*c^5 + 2*(12*a^2 + b^2)*c^4 - 6*(4*a^
3 + 3*a*b^2)*c^3 + (8*a^4 + 22*a^2*b^2 + 3*b^4)*c^2 - 2*(3*a^3*b^2 + 4*a*b^4)*c)*d - (a^3*b^3 + a*b^5 - 4*a*b*
c^4 + (4*a^2*b + b^3)*c^3 + (4*a^3*b - 5*a*b^3)*c^2 - (4*a^4*b + 5*a^2*b^3 - b^5)*c)*e)*sqrt((b^2*d^4 + b^2*e^
4 - 4*(a*b - b*c)*d^3*e + 2*(2*a^2 - b^2 - 4*a*c + 2*c^2)*d^2*e^2 + 4*(a*b - b*c)*d*e^3)/(a^4*b^2 + 2*a^2*b^4
+ b^6 - 4*a*c^5 + (16*a^2 + b^2)*c^4 - 12*(2*a^3 + a*b^2)*c^3 + 2*(8*a^4 + 11*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - 4*(a^5 + 3*
a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c)))*sqrt(((b^2 - 2*a*c + 2*c^2)*d^2 - 2*(a*b + b*c)*d*e + (2*a^2 + b^2 - 2*a*c)*e^2 + (a^2
*b^2 + b^4 - 4*a*c^3 + (8*a^2 + b^2)*c^2 - 2*(2*a^3 + 3*a*b^2)*c)*sqrt((b^2*d^4 + b^2*e^4 - 4*(a*b - b*c)*d^3*
e + 2*(2*a^2 - b^2 - 4*a*c + 2*c^2)*d^2*e^2 + 4*(a*b - b*c)*d*e^3)/(a^4*b^2 + 2*a^2*b^4 + b^6 - 4*a*c^5 + (16*
a^2 + b^2)*c^4 - 12*(2*a^3 + a*b^2)*c^3 + 2*(8*a^4 + 11*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - 4*(a^5 + 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c))
)/(a^2*b^2 + b^4 - 4*a*c^3 + (8*a^2 + b^2)*c^2 - 2*(2*a^3 + 3*a*b^2)*c)) - 4*(b*c^2*d^4 - a*b*c*e^4 - (b^2*c +
2*a*c^2 - 2*c^3)*d^3*e + 3*(a*b*c - b*c^2)*d^2*e^2 + (2*a*c^2 - (2*a^2 - b^2)*c)*d*e^3)*cosh(x) - 4*(b*c^2*d^
4 - a*b*c*e^4 - (b^2*c + 2*a*c^2 - 2*c^3)*d^3*e + 3*(a*b*c - b*c^2)*d^2*e^2 + (2*a*c^2 - (2*a^2 - b^2)*c)*d*e^
3)*sinh(x) - 2*((4*a*c^4 - (8*a^2 + b^2)*c^3 + 2*(2*a^3 + 3*a*b^2)*c^2 - (a^2*b^2 + b^4)*c)*d^2 + (a^2*b^3 + b
^5 - 4*a*b*c^3 + (8*a^2*b + b^3)*c^2 - 2*(2*a^3*b + 3*a*b^3)*c)*d*e - (a^3*b^2 + a*b^4 - 4*a^2*c^3 + (8*a^3 +
a*b^2)*c^2 - 2*(2*a^4 + 3*a^2*b^2)*c)*e^2)*sqrt((b^2*d^4 + b^2*e^4 - 4*(a*b - b*c)*d^3*e + 2*(2*a^2 - b^2 - 4*
a*c + 2*c^2)*d^2*e^2 + 4*(a*b - b*c)*d*e^3)/(a^4*b^2 + 2*a^2*b^4 + b^6 - 4*a*c^5 + (16*a^2 + b^2)*c^4 - 12*(2*
a^3 + a*b^2)*c^3 + 2*(8*a^4 + 11*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - 4*(a^5 + 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c))) - 1/2*sqrt(2)*sqrt(((
b^2 - 2*a*c + 2*c^2)*d^2 - 2*(a*b + b*c)*d*e + (2*a^2 + b^2 - 2*a*c)*e^2 - (a^2*b^2 + b^4 - 4*a*c^3 + (8*a^2 +
b^2)*c^2 - 2*(2*a^3 + 3*a*b^2)*c)*sqrt((b^2*d^4 + b^2*e^4 - 4*(a*b - b*c)*d^3*e + 2*(2*a^2 - b^2 - 4*a*c + 2*
c^2)*d^2*e^2 + 4*(a*b - b*c)*d*e^3)/(a^4*b^2 + 2*a^2*b^4 + b^6 - 4*a*c^5 + (16*a^2 + b^2)*c^4 - 12*(2*a^3 + a*
b^2)*c^3 + 2*(8*a^4 + 11*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - 4*(a^5 + 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c)))/(a^2*b^2 + b^4 - 4*a*c^3 + (8
*a^2 + b^2)*c^2 - 2*(2*a^3 + 3*a*b^2)*c))*log(-2*b^2*c*d^4 + 2*a*b^2*e^4 + 2*(b^3 + 2*a*b*c - 2*b*c^2)*d^3*e -
6*(a*b^2 - b^2*c)*d^2*e^2 + 2*(2*a^2*b - b^3 - 2*a*b*c)*d*e^3 + sqrt(2)*((b^4 - 4*a*b^2*c)*d^3 - 3*(a*b^3 + 4
*a*b*c^2 - (4*a^2*b + b^3)*c)*d^2*e + (2*a^2*b^2 - b^4 - 8*a^3*c - 8*a*c^3 + 2*(8*a^2 + b^2)*c^2)*d*e^2 + (a*b
^3 + 4*a*b*c^2 - (4*a^2*b + b^3)*c)*e^3 + ((a^2*b^4 + b^6 - 8*a*c^5 + 2*(12*a^2 + b^2)*c^4 - 6*(4*a^3 + 3*a*b^
2)*c^3 + (8*a^4 + 22*a^2*b^2 + 3*b^4)*c^2 - 2*(3*a^3*b^2 + 4*a*b^4)*c)*d - (a^3*b^3 + a*b^5 - 4*a*b*c^4 + (4*a
^2*b + b^3)*c^3 + (4*a^3*b - 5*a*b^3)*c^2 - (4*a^4*b + 5*a^2*b^3 - b^5)*c)*e)*sqrt((b^2*d^4 + b^2*e^4 - 4*(a*b
- b*c)*d^3*e + 2*(2*a^2 - b^2 - 4*a*c + 2*c^2)*d^2*e^2 + 4*(a*b - b*c)*d*e^3)/(a^4*b^2 + 2*a^2*b^4 + b^6 - 4*
a*c^5 + (16*a^2 + b^2)*c^4 - 12*(2*a^3 + a*b^2)*c^3 + 2*(8*a^4 + 11*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - 4*(a^5 + 3*a^3*b^2 +
2*a*b^4)*c)))*sqrt(((b^2 - 2*a*c + 2*c^2)*d^2 - 2*(a*b + b*c)*d*e + (2*a^2 + b^2 - 2*a*c)*e^2 - (a^2*b^2 + b^4
- 4*a*c^3 + (8*a^2 + b^2)*c^2 - 2*(2*a^3 + 3*a*b^2)*c)*sqrt((b^2*d^4 + b^2*e^4 - 4*(a*b - b*c)*d^3*e + 2*(2*a
^2 - b^2 - 4*a*c + 2*c^2)*d^2*e^2 + 4*(a*b - b*c)*d*e^3)/(a^4*b^2 + 2*a^2*b^4 + b^6 - 4*a*c^5 + (16*a^2 + b^2)
*c^4 - 12*(2*a^3 + a*b^2)*c^3 + 2*(8*a^4 + 11*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - 4*(a^5 + 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c)))/(a^2*b^2
+ b^4 - 4*a*c^3 + (8*a^2 + b^2)*c^2 - 2*(2*a^3 + 3*a*b^2)*c)) - 4*(b*c^2*d^4 - a*b*c*e^4 - (b^2*c + 2*a*c^2 -
2*c^3)*d^3*e + 3*(a*b*c - b*c^2)*d^2*e^2 + (2*a*c^2 - (2*a^2 - b^2)*c)*d*e^3)*cosh(x) - 4*(b*c^2*d^4 - a*b*c*
e^4 - (b^2*c + 2*a*c^2 - 2*c^3)*d^3*e + 3*(a*b*c - b*c^2)*d^2*e^2 + (2*a*c^2 - (2*a^2 - b^2)*c)*d*e^3)*sinh(x)
+ 2*((4*a*c^4 - (8*a^2 + b^2)*c^3 + 2*(2*a^3 + 3*a*b^2)*c^2 - (a^2*b^2 + b^4)*c)*d^2 + (a^2*b^3 + b^5 - 4*a*b
*c^3 + (8*a^2*b + b^3)*c^2 - 2*(2*a^3*b + 3*a*b^3)*c)*d*e - (a^3*b^2 + a*b^4 - 4*a^2*c^3 + (8*a^3 + a*b^2)*c^2
- 2*(2*a^4 + 3*a^2*b^2)*c)*e^2)*sqrt((b^2*d^4 + b^2*e^4 - 4*(a*b - b*c)*d^3*e + 2*(2*a^2 - b^2 - 4*a*c + 2*c^
2)*d^2*e^2 + 4*(a*b - b*c)*d*e^3)/(a^4*b^2 + 2*a^2*b^4 + b^6 - 4*a*c^5 + (16*a^2 + b^2)*c^4 - 12*(2*a^3 + a*b^
2)*c^3 + 2*(8*a^4 + 11*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - 4*(a^5 + 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c))) + 1/2*sqrt(2)*sqrt(((b^2 - 2*a*
c + 2*c^2)*d^2 - 2*(a*b + b*c)*d*e + (2*a^2 + b^2 - 2*a*c)*e^2 - (a^2*b^2 + b^4 - 4*a*c^3 + (8*a^2 + b^2)*c^2
- 2*(2*a^3 + 3*a*b^2)*c)*sqrt((b^2*d^4 + b^2*e^4 - 4*(a*b - b*c)*d^3*e + 2*(2*a^2 - b^2 - 4*a*c + 2*c^2)*d^2*e
^2 + 4*(a*b - b*c)*d*e^3)/(a^4*b^2 + 2*a^2*b^4 + b^6 - 4*a*c^5 + (16*a^2 + b^2)*c^4 - 12*(2*a^3 + a*b^2)*c^3 +
2*(8*a^4 + 11*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - 4*(a^5 + 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c)))/(a^2*b^2 + b^4 - 4*a*c^3 + (8*a^2 + b^2
)*c^2 - 2*(2*a^3 + 3*a*b^2)*c))*log(-2*b^2*c*d^4 + 2*a*b^2*e^4 + 2*(b^3 + 2*a*b*c - 2*b*c^2)*d^3*e - 6*(a*b^2
- b^2*c)*d^2*e^2 + 2*(2*a^2*b - b^3 - 2*a*b*c)*d*e^3 - sqrt(2)*((b^4 - 4*a*b^2*c)*d^3 - 3*(a*b^3 + 4*a*b*c^2 -
(4*a^2*b + b^3)*c)*d^2*e + (2*a^2*b^2 - b^4 - 8*a^3*c - 8*a*c^3 + 2*(8*a^2 + b^2)*c^2)*d*e^2 + (a*b^3 + 4*a*b
*c^2 - (4*a^2*b + b^3)*c)*e^3 + ((a^2*b^4 + b^6 - 8*a*c^5 + 2*(12*a^2 + b^2)*c^4 - 6*(4*a^3 + 3*a*b^2)*c^3 + (
8*a^4 + 22*a^2*b^2 + 3*b^4)*c^2 - 2*(3*a^3*b^2 + 4*a*b^4)*c)*d - (a^3*b^3 + a*b^5 - 4*a*b*c^4 + (4*a^2*b + b^3
)*c^3 + (4*a^3*b - 5*a*b^3)*c^2 - (4*a^4*b + 5*a^2*b^3 - b^5)*c)*e)*sqrt((b^2*d^4 + b^2*e^4 - 4*(a*b - b*c)*d^
3*e + 2*(2*a^2 - b^2 - 4*a*c + 2*c^2)*d^2*e^2 + 4*(a*b - b*c)*d*e^3)/(a^4*b^2 + 2*a^2*b^4 + b^6 - 4*a*c^5 + (1
6*a^2 + b^2)*c^4 - 12*(2*a^3 + a*b^2)*c^3 + 2*(8*a^4 + 11*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - 4*(a^5 + 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c
)))*sqrt(((b^2 - 2*a*c + 2*c^2)*d^2 - 2*(a*b + b*c)*d*e + (2*a^2 + b^2 - 2*a*c)*e^2 - (a^2*b^2 + b^4 - 4*a*c^3
+ (8*a^2 + b^2)*c^2 - 2*(2*a^3 + 3*a*b^2)*c)*sqrt((b^2*d^4 + b^2*e^4 - 4*(a*b - b*c)*d^3*e + 2*(2*a^2 - b^2 -
4*a*c + 2*c^2)*d^2*e^2 + 4*(a*b - b*c)*d*e^3)/(a^4*b^2 + 2*a^2*b^4 + b^6 - 4*a*c^5 + (16*a^2 + b^2)*c^4 - 12*
(2*a^3 + a*b^2)*c^3 + 2*(8*a^4 + 11*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - 4*(a^5 + 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c)))/(a^2*b^2 + b^4 - 4
*a*c^3 + (8*a^2 + b^2)*c^2 - 2*(2*a^3 + 3*a*b^2)*c)) - 4*(b*c^2*d^4 - a*b*c*e^4 - (b^2*c + 2*a*c^2 - 2*c^3)*d^
3*e + 3*(a*b*c - b*c^2)*d^2*e^2 + (2*a*c^2 - (2*a^2 - b^2)*c)*d*e^3)*cosh(x) - 4*(b*c^2*d^4 - a*b*c*e^4 - (b^2
*c + 2*a*c^2 - 2*c^3)*d^3*e + 3*(a*b*c - b*c^2)*d^2*e^2 + (2*a*c^2 - (2*a^2 - b^2)*c)*d*e^3)*sinh(x) + 2*((4*a
*c^4 - (8*a^2 + b^2)*c^3 + 2*(2*a^3 + 3*a*b^2)*c^2 - (a^2*b^2 + b^4)*c)*d^2 + (a^2*b^3 + b^5 - 4*a*b*c^3 + (8*
a^2*b + b^3)*c^2 - 2*(2*a^3*b + 3*a*b^3)*c)*d*e - (a^3*b^2 + a*b^4 - 4*a^2*c^3 + (8*a^3 + a*b^2)*c^2 - 2*(2*a^
4 + 3*a^2*b^2)*c)*e^2)*sqrt((b^2*d^4 + b^2*e^4 - 4*(a*b - b*c)*d^3*e + 2*(2*a^2 - b^2 - 4*a*c + 2*c^2)*d^2*e^2
+ 4*(a*b - b*c)*d*e^3)/(a^4*b^2 + 2*a^2*b^4 + b^6 - 4*a*c^5 + (16*a^2 + b^2)*c^4 - 12*(2*a^3 + a*b^2)*c^3 + 2
*(8*a^4 + 11*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - 4*(a^5 + 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c)))

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d+e*sinh(x))/(a+b*sinh(x)+c*sinh(x)**2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d+e*sinh(x))/(a+b*sinh(x)+c*sinh(x)^2),x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out