3.794 \(\int \frac{A+B \cosh (x)}{(a+b \cosh (x)+c \sinh (x))^3} \, dx\)

Optimal. Leaf size=194 \[ -\frac{\left (2 a^2 A-3 a b B+A \left (b^2-c^2\right )\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{c-(a-b) \tanh \left (\frac{x}{2}\right )}{\sqrt{a^2-b^2+c^2}}\right )}{\left (a^2-b^2+c^2\right )^{5/2}}-\frac{\sinh (x) \left (a^2 (-B)+3 a A b-2 b^2 B\right )+c \cosh (x) (3 a A-2 b B)+a B c}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 (a+b \cosh (x)+c \sinh (x))}-\frac{\sinh (x) (A b-a B)+A c \cosh (x)+B c}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \cosh (x)+c \sinh (x))^2} \]

[Out]

-(((2*a^2*A - 3*a*b*B + A*(b^2 - c^2))*ArcTanh[(c - (a - b)*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]])/(a^2 - b^2 + c^
2)^(5/2)) - (B*c + A*c*Cosh[x] + (A*b - a*B)*Sinh[x])/(2*(a^2 - b^2 + c^2)*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2) - (a
*B*c + (3*a*A - 2*b*B)*c*Cosh[x] + (3*a*A*b - a^2*B - 2*b^2*B)*Sinh[x])/(2*(a^2 - b^2 + c^2)^2*(a + b*Cosh[x]
+ c*Sinh[x]))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.276005, antiderivative size = 194, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 5, number of rules used = 5, integrand size = 19, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.263, Rules used = {3158, 3153, 3124, 618, 206} \[ -\frac{\left (2 a^2 A-3 a b B+A \left (b^2-c^2\right )\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{c-(a-b) \tanh \left (\frac{x}{2}\right )}{\sqrt{a^2-b^2+c^2}}\right )}{\left (a^2-b^2+c^2\right )^{5/2}}-\frac{\sinh (x) \left (a^2 (-B)+3 a A b-2 b^2 B\right )+c \cosh (x) (3 a A-2 b B)+a B c}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 (a+b \cosh (x)+c \sinh (x))}-\frac{\sinh (x) (A b-a B)+A c \cosh (x)+B c}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \cosh (x)+c \sinh (x))^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(A + B*Cosh[x])/(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^3,x]

[Out]

-(((2*a^2*A - 3*a*b*B + A*(b^2 - c^2))*ArcTanh[(c - (a - b)*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]])/(a^2 - b^2 + c^
2)^(5/2)) - (B*c + A*c*Cosh[x] + (A*b - a*B)*Sinh[x])/(2*(a^2 - b^2 + c^2)*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2) - (a
*B*c + (3*a*A - 2*b*B)*c*Cosh[x] + (3*a*A*b - a^2*B - 2*b^2*B)*Sinh[x])/(2*(a^2 - b^2 + c^2)^2*(a + b*Cosh[x]
+ c*Sinh[x]))

Rule 3158

Int[((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.))*((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(
x_)])^(n_), x_Symbol] :> -Simp[((c*B + c*A*Cos[d + e*x] + (a*B - b*A)*Sin[d + e*x])*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Si
n[d + e*x])^(n + 1))/(e*(n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2)), x] + Dist[1/((n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2)), Int[(a + b*Cos[d
+ e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1)*Simp[(n + 1)*(a*A - b*B) + (n + 2)*(a*B - b*A)*Cos[d + e*x] - (n + 2)*c*A*Sin
[d + e*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && LtQ[n, -1] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[n, -2
]

Rule 3153

Int[((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])/((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(
b_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^2, x_Symbol] :> Simp[(c*B - b*C - (a*C - c*A)*Cos[d + e*x] + (a*B - b*A)
*Sin[d + e*x])/(e*(a^2 - b^2 - c^2)*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])), x] + Dist[(a*A - b*B - c*C)/(a^2 -
b^2 - c^2), Int[1/(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B, C}, x] && NeQ[
a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[a*A - b*B - c*C, 0]

Rule 3124

Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> Module[{f = Free
Factors[Tan[(d + e*x)/2], x]}, Dist[(2*f)/e, Subst[Int[1/(a + b + 2*c*f*x + (a - b)*f^2*x^2), x], x, Tan[(d +
e*x)/2]/f], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0]

Rule 618

Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Dist[-2, Subst[Int[1/Simp[b^2 - 4*a*c - x^2, x], x]
, x, b + 2*c*x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{A+B \cosh (x)}{(a+b \cosh (x)+c \sinh (x))^3} \, dx &=-\frac{B c+A c \cosh (x)+(A b-a B) \sinh (x)}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \cosh (x)+c \sinh (x))^2}-\frac{\int \frac{-2 (a A-b B)+(A b-a B) \cosh (x)+A c \sinh (x)}{(a+b \cosh (x)+c \sinh (x))^2} \, dx}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right )}\\ &=-\frac{B c+A c \cosh (x)+(A b-a B) \sinh (x)}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \cosh (x)+c \sinh (x))^2}-\frac{a B c+(3 a A-2 b B) c \cosh (x)+\left (3 a A b-a^2 B-2 b^2 B\right ) \sinh (x)}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 (a+b \cosh (x)+c \sinh (x))}+\frac{\left (2 a^2 A-3 a b B+A \left (b^2-c^2\right )\right ) \int \frac{1}{a+b \cosh (x)+c \sinh (x)} \, dx}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2}\\ &=-\frac{B c+A c \cosh (x)+(A b-a B) \sinh (x)}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \cosh (x)+c \sinh (x))^2}-\frac{a B c+(3 a A-2 b B) c \cosh (x)+\left (3 a A b-a^2 B-2 b^2 B\right ) \sinh (x)}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 (a+b \cosh (x)+c \sinh (x))}+\frac{\left (2 a^2 A-3 a b B+A \left (b^2-c^2\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{a+b+2 c x-(a-b) x^2} \, dx,x,\tanh \left (\frac{x}{2}\right )\right )}{\left (a^2-b^2+c^2\right )^2}\\ &=-\frac{B c+A c \cosh (x)+(A b-a B) \sinh (x)}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \cosh (x)+c \sinh (x))^2}-\frac{a B c+(3 a A-2 b B) c \cosh (x)+\left (3 a A b-a^2 B-2 b^2 B\right ) \sinh (x)}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 (a+b \cosh (x)+c \sinh (x))}-\frac{\left (2 \left (2 a^2 A-3 a b B+A \left (b^2-c^2\right )\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{4 \left (a^2-b^2+c^2\right )-x^2} \, dx,x,2 c+2 (-a+b) \tanh \left (\frac{x}{2}\right )\right )}{\left (a^2-b^2+c^2\right )^2}\\ &=-\frac{\left (2 a^2 A-3 a b B+A \left (b^2-c^2\right )\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{c-(a-b) \tanh \left (\frac{x}{2}\right )}{\sqrt{a^2-b^2+c^2}}\right )}{\left (a^2-b^2+c^2\right )^{5/2}}-\frac{B c+A c \cosh (x)+(A b-a B) \sinh (x)}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \cosh (x)+c \sinh (x))^2}-\frac{a B c+(3 a A-2 b B) c \cosh (x)+\left (3 a A b-a^2 B-2 b^2 B\right ) \sinh (x)}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 (a+b \cosh (x)+c \sinh (x))}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.614169, size = 336, normalized size = 1.73 \[ \frac{\left (2 a^2 A-3 a b B+A \left (b^2-c^2\right )\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{(b-a) \tanh \left (\frac{x}{2}\right )+c}{\sqrt{-a^2+b^2-c^2}}\right )}{\left (-a^2+b^2-c^2\right )^{5/2}}+\frac{2 b c \cosh (x) \left (2 a^2 A-3 a b B+A \left (b^2-c^2\right )\right )+c \cosh (2 x) \left (a^2 b B+3 a A \left (c^2-b^2\right )+2 b B \left (b^2-c^2\right )\right )-8 a^2 A b^2 \sinh (x)+12 a^2 A c^2 \sinh (x)+6 a^3 A c+a^2 b^2 B \sinh (2 x)-9 a^2 b B c+4 a^3 b B \sinh (x)+3 a A b^2 c-3 a A b^3 \sinh (2 x)+3 a A b c^2 \sinh (2 x)-3 a A c^3+2 a b^3 B \sinh (x)-8 a b B c^2 \sinh (x)-2 A b^2 c^2 \sinh (x)+2 A b^4 \sinh (x)-2 b^2 B c^2 \sinh (2 x)+2 b^4 B \sinh (2 x)}{4 b \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 (a+b \cosh (x)+c \sinh (x))^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(A + B*Cosh[x])/(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^3,x]

[Out]

((2*a^2*A - 3*a*b*B + A*(b^2 - c^2))*ArcTan[(c + (-a + b)*Tanh[x/2])/Sqrt[-a^2 + b^2 - c^2]])/(-a^2 + b^2 - c^
2)^(5/2) + (6*a^3*A*c + 3*a*A*b^2*c - 9*a^2*b*B*c - 3*a*A*c^3 + 2*b*c*(2*a^2*A - 3*a*b*B + A*(b^2 - c^2))*Cosh
[x] + c*(a^2*b*B + 2*b*B*(b^2 - c^2) + 3*a*A*(-b^2 + c^2))*Cosh[2*x] - 8*a^2*A*b^2*Sinh[x] + 2*A*b^4*Sinh[x] +
4*a^3*b*B*Sinh[x] + 2*a*b^3*B*Sinh[x] + 12*a^2*A*c^2*Sinh[x] - 2*A*b^2*c^2*Sinh[x] - 8*a*b*B*c^2*Sinh[x] - 3*
a*A*b^3*Sinh[2*x] + a^2*b^2*B*Sinh[2*x] + 2*b^4*B*Sinh[2*x] + 3*a*A*b*c^2*Sinh[2*x] - 2*b^2*B*c^2*Sinh[2*x])/(
4*b*(a^2 - b^2 + c^2)^2*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.096, size = 1112, normalized size = 5.7 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((A+B*cosh(x))/(a+b*cosh(x)+c*sinh(x))^3,x)

[Out]

-2*(-1/2*(4*A*a^3*b-7*A*a^2*b^2+5*A*a^2*c^2+2*A*a*b^3-2*A*a*b*c^2+A*b^4-3*A*b^2*c^2+2*A*c^4-2*B*a^4+3*B*a^3*b-
2*B*a^2*b^2-4*B*a^2*c^2+3*B*a*b^3-2*B*b^4+4*B*b^2*c^2-2*B*c^4)/(a-b)/(a^4-2*a^2*b^2+2*a^2*c^2+b^4-2*b^2*c^2+c^
4)*tanh(1/2*x)^3-1/2*c*(4*A*a^4-12*A*a^3*b+13*A*a^2*b^2-7*A*a^2*c^2-6*A*a*b^3+6*A*a*b*c^2+A*b^4+A*b^2*c^2-2*A*
c^4+2*B*a^4-9*B*a^3*b+14*B*a^2*b^2+4*B*a^2*c^2-9*B*a*b^3+2*B*b^4-4*B*b^2*c^2+2*B*c^4)/(a^4-2*a^2*b^2+2*a^2*c^2
+b^4-2*b^2*c^2+c^4)/(a^2-2*a*b+b^2)*tanh(1/2*x)^2+1/2*(4*A*a^4*b-5*A*a^3*b^2+11*A*a^3*c^2-3*A*a^2*b^3-3*A*a^2*
b*c^2+5*A*a*b^4-7*A*a*b^2*c^2+2*A*a*c^4-A*b^5-A*b^3*c^2+2*A*b*c^4-2*B*a^5+3*B*a^4*b-B*a^3*b^2-4*B*a^3*c^2-B*a^
2*b^3-8*B*a^2*b*c^2+3*B*a*b^4+8*B*a*b^2*c^2-2*B*a*c^4-2*B*b^5+4*B*b^3*c^2-2*B*b*c^4)/(a^4-2*a^2*b^2+2*a^2*c^2+
b^4-2*b^2*c^2+c^4)/(a^2-2*a*b+b^2)*tanh(1/2*x)+1/2*c*(4*A*a^4-3*A*a^2*b^2+A*a^2*c^2-A*b^4+A*b^2*c^2-5*B*a^3*b+
5*B*a*b^3-2*B*a*b*c^2)/(a^4-2*a^2*b^2+2*a^2*c^2+b^4-2*b^2*c^2+c^4)/(a^2-2*a*b+b^2))/(a*tanh(1/2*x)^2-tanh(1/2*
x)^2*b-2*c*tanh(1/2*x)-a-b)^2-2/(a^4-2*a^2*b^2+2*a^2*c^2+b^4-2*b^2*c^2+c^4)/(-a^2+b^2-c^2)^(1/2)*arctan(1/2*(2
*(a-b)*tanh(1/2*x)-2*c)/(-a^2+b^2-c^2)^(1/2))*a^2*A-1/(a^4-2*a^2*b^2+2*a^2*c^2+b^4-2*b^2*c^2+c^4)/(-a^2+b^2-c^
2)^(1/2)*arctan(1/2*(2*(a-b)*tanh(1/2*x)-2*c)/(-a^2+b^2-c^2)^(1/2))*A*b^2+1/(a^4-2*a^2*b^2+2*a^2*c^2+b^4-2*b^2
*c^2+c^4)/(-a^2+b^2-c^2)^(1/2)*arctan(1/2*(2*(a-b)*tanh(1/2*x)-2*c)/(-a^2+b^2-c^2)^(1/2))*A*c^2+3/(a^4-2*a^2*b
^2+2*a^2*c^2+b^4-2*b^2*c^2+c^4)/(-a^2+b^2-c^2)^(1/2)*arctan(1/2*(2*(a-b)*tanh(1/2*x)-2*c)/(-a^2+b^2-c^2)^(1/2)
)*a*b*B

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: ValueError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*cosh(x))/(a+b*cosh(x)+c*sinh(x))^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 4.22518, size = 26118, normalized size = 134.63 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*cosh(x))/(a+b*cosh(x)+c*sinh(x))^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/2*(2*B*a^4*b^2 - 6*A*a^3*b^3 + 2*B*a^2*b^4 + 6*A*a*b^5 - 4*B*b^6 - 2*(3*A*a - 2*B*b)*c^5 + 2*(3*A*a*b - 2*
B*b^2)*c^4 - 2*(3*A*a^3 - B*a^2*b - 6*A*a*b^2 + 4*B*b^3)*c^3 - 2*(2*A*a^4*b^2 - 3*B*a^3*b^3 - A*a^2*b^4 + 3*B*
a*b^5 - A*b^6 - 2*A*b*c^5 - A*c^6 + (A*a^2 - 3*B*a*b + A*b^2)*c^4 + 2*(A*a^2*b - 3*B*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^3 + (2
*A*a^4 - 3*B*a^3*b + A*b^4)*c^2 + 2*(2*A*a^4*b - 3*B*a^3*b^2 - A*a^2*b^3 + 3*B*a*b^4 - A*b^5)*c)*cosh(x)^3 - 2
*(2*A*a^4*b^2 - 3*B*a^3*b^3 - A*a^2*b^4 + 3*B*a*b^5 - A*b^6 - 2*A*b*c^5 - A*c^6 + (A*a^2 - 3*B*a*b + A*b^2)*c^
4 + 2*(A*a^2*b - 3*B*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^3 + (2*A*a^4 - 3*B*a^3*b + A*b^4)*c^2 + 2*(2*A*a^4*b - 3*B*a^3*b^2 - A
*a^2*b^3 + 3*B*a*b^4 - A*b^5)*c)*sinh(x)^3 + 2*(3*A*a^3*b - B*a^2*b^2 - 6*A*a*b^3 + 4*B*b^4)*c^2 + 2*(2*B*a^6
- 6*A*a^5*b + 3*B*a^4*b^2 + 3*A*a^3*b^3 - 3*B*a^2*b^4 + 3*A*a*b^5 - 2*B*b^6 + 3*A*a*c^5 + 2*B*c^6 + 3*(2*B*a^2
+ A*a*b - 2*B*b^2)*c^4 - 3*(A*a^3 - 3*B*a^2*b + 2*A*a*b^2)*c^3 + 3*(2*B*a^4 - A*a^3*b - B*a^2*b^2 - 2*A*a*b^3
+ 2*B*b^4)*c^2 - 3*(2*A*a^5 - 3*B*a^4*b - A*a^3*b^2 + 3*B*a^2*b^3 - A*a*b^4)*c)*cosh(x)^2 + 2*(2*B*a^6 - 6*A*
a^5*b + 3*B*a^4*b^2 + 3*A*a^3*b^3 - 3*B*a^2*b^4 + 3*A*a*b^5 - 2*B*b^6 + 3*A*a*c^5 + 2*B*c^6 + 3*(2*B*a^2 + A*a
*b - 2*B*b^2)*c^4 - 3*(A*a^3 - 3*B*a^2*b + 2*A*a*b^2)*c^3 + 3*(2*B*a^4 - A*a^3*b - B*a^2*b^2 - 2*A*a*b^3 + 2*B
*b^4)*c^2 - 3*(2*A*a^5 - 3*B*a^4*b - A*a^3*b^2 + 3*B*a^2*b^3 - A*a*b^4)*c - 3*(2*A*a^4*b^2 - 3*B*a^3*b^3 - A*a
^2*b^4 + 3*B*a*b^5 - A*b^6 - 2*A*b*c^5 - A*c^6 + (A*a^2 - 3*B*a*b + A*b^2)*c^4 + 2*(A*a^2*b - 3*B*a*b^2 + 2*A*
b^3)*c^3 + (2*A*a^4 - 3*B*a^3*b + A*b^4)*c^2 + 2*(2*A*a^4*b - 3*B*a^3*b^2 - A*a^2*b^3 + 3*B*a*b^4 - A*b^5)*c)*
cosh(x))*sinh(x)^2 + (2*A*a^2*b^3 - 3*B*a*b^4 + A*b^5 + A*b*c^4 - A*c^5 + (2*A*a^2*b^3 - 3*B*a*b^4 + A*b^5 - 3
*A*b*c^4 - A*c^5 + (2*A*a^2 - 3*B*a*b - 2*A*b^2)*c^3 + (6*A*a^2*b - 9*B*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^2 + 3*(2*A*a^2*b^2
- 3*B*a*b^3 + A*b^4)*c)*cosh(x)^4 + (2*A*a^2*b^3 - 3*B*a*b^4 + A*b^5 - 3*A*b*c^4 - A*c^5 + (2*A*a^2 - 3*B*a*b
- 2*A*b^2)*c^3 + (6*A*a^2*b - 9*B*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^2 + 3*(2*A*a^2*b^2 - 3*B*a*b^3 + A*b^4)*c)*sinh(x)^4 + (2
*A*a^2 - 3*B*a*b + 2*A*b^2)*c^3 + 4*(2*A*a^3*b^2 - 3*B*a^2*b^3 + A*a*b^4 - 2*A*a*b*c^3 - A*a*c^4 + (2*A*a^3 -
3*B*a^2*b)*c^2 + 2*(2*A*a^3*b - 3*B*a^2*b^2 + A*a*b^3)*c)*cosh(x)^3 + 4*(2*A*a^3*b^2 - 3*B*a^2*b^3 + A*a*b^4 -
2*A*a*b*c^3 - A*a*c^4 + (2*A*a^3 - 3*B*a^2*b)*c^2 + 2*(2*A*a^3*b - 3*B*a^2*b^2 + A*a*b^3)*c + (2*A*a^2*b^3 -
3*B*a*b^4 + A*b^5 - 3*A*b*c^4 - A*c^5 + (2*A*a^2 - 3*B*a*b - 2*A*b^2)*c^3 + (6*A*a^2*b - 9*B*a*b^2 + 2*A*b^3)*
c^2 + 3*(2*A*a^2*b^2 - 3*B*a*b^3 + A*b^4)*c)*cosh(x))*sinh(x)^3 - (2*A*a^2*b - 3*B*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^2 + 2*(4
*A*a^4*b - 6*B*a^3*b^2 + 4*A*a^2*b^3 - 3*B*a*b^4 + A*b^5 + A*b*c^4 + A*c^5 - (4*A*a^2 - 3*B*a*b + 2*A*b^2)*c^3
- (4*A*a^2*b - 3*B*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^2 + (4*A*a^4 - 6*B*a^3*b + 4*A*a^2*b^2 - 3*B*a*b^3 + A*b^4)*c)*cosh(x)^
2 + 2*(4*A*a^4*b - 6*B*a^3*b^2 + 4*A*a^2*b^3 - 3*B*a*b^4 + A*b^5 + A*b*c^4 + A*c^5 - (4*A*a^2 - 3*B*a*b + 2*A*
b^2)*c^3 - (4*A*a^2*b - 3*B*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^2 + 3*(2*A*a^2*b^3 - 3*B*a*b^4 + A*b^5 - 3*A*b*c^4 - A*c^5 + (2
*A*a^2 - 3*B*a*b - 2*A*b^2)*c^3 + (6*A*a^2*b - 9*B*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^2 + 3*(2*A*a^2*b^2 - 3*B*a*b^3 + A*b^4)*
c)*cosh(x)^2 + (4*A*a^4 - 6*B*a^3*b + 4*A*a^2*b^2 - 3*B*a*b^3 + A*b^4)*c + 6*(2*A*a^3*b^2 - 3*B*a^2*b^3 + A*a*
b^4 - 2*A*a*b*c^3 - A*a*c^4 + (2*A*a^3 - 3*B*a^2*b)*c^2 + 2*(2*A*a^3*b - 3*B*a^2*b^2 + A*a*b^3)*c)*cosh(x))*si
nh(x)^2 - (2*A*a^2*b^2 - 3*B*a*b^3 + A*b^4)*c + 4*(2*A*a^3*b^2 - 3*B*a^2*b^3 + A*a*b^4 + A*a*c^4 - (2*A*a^3 -
3*B*a^2*b + 2*A*a*b^2)*c^2)*cosh(x) + 4*(2*A*a^3*b^2 - 3*B*a^2*b^3 + A*a*b^4 + A*a*c^4 + (2*A*a^2*b^3 - 3*B*a*
b^4 + A*b^5 - 3*A*b*c^4 - A*c^5 + (2*A*a^2 - 3*B*a*b - 2*A*b^2)*c^3 + (6*A*a^2*b - 9*B*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^2 +
3*(2*A*a^2*b^2 - 3*B*a*b^3 + A*b^4)*c)*cosh(x)^3 - (2*A*a^3 - 3*B*a^2*b + 2*A*a*b^2)*c^2 + 3*(2*A*a^3*b^2 - 3*
B*a^2*b^3 + A*a*b^4 - 2*A*a*b*c^3 - A*a*c^4 + (2*A*a^3 - 3*B*a^2*b)*c^2 + 2*(2*A*a^3*b - 3*B*a^2*b^2 + A*a*b^3
)*c)*cosh(x)^2 + (4*A*a^4*b - 6*B*a^3*b^2 + 4*A*a^2*b^3 - 3*B*a*b^4 + A*b^5 + A*b*c^4 + A*c^5 - (4*A*a^2 - 3*B
*a*b + 2*A*b^2)*c^3 - (4*A*a^2*b - 3*B*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^2 + (4*A*a^4 - 6*B*a^3*b + 4*A*a^2*b^2 - 3*B*a*b^3 +
A*b^4)*c)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a^2 - b^2 + c^2)*log(((b^2 + 2*b*c + c^2)*cosh(x)^2 + (b^2 + 2*b*c + c^2)*si
nh(x)^2 + 2*a^2 - b^2 + c^2 + 2*(a*b + a*c)*cosh(x) + 2*(a*b + a*c + (b^2 + 2*b*c + c^2)*cosh(x))*sinh(x) + 2*
sqrt(a^2 - b^2 + c^2)*((b + c)*cosh(x) + (b + c)*sinh(x) + a))/((b + c)*cosh(x)^2 + (b + c)*sinh(x)^2 + 2*a*co
sh(x) + 2*((b + c)*cosh(x) + a)*sinh(x) + b - c)) - 2*(B*a^4*b - 3*A*a^3*b^2 + B*a^2*b^3 + 3*A*a*b^4 - 2*B*b^5
)*c + 2*(4*B*a^5*b - 10*A*a^4*b^2 + B*a^3*b^3 + 11*A*a^2*b^4 - 5*B*a*b^5 - A*b^6 + A*c^6 + (11*A*a^2 - 5*B*a*b
- 3*A*b^2)*c^4 + (10*A*a^4 - B*a^3*b - 22*A*a^2*b^2 + 10*B*a*b^3 + 3*A*b^4)*c^2)*cosh(x) + 2*(4*B*a^5*b - 10*
A*a^4*b^2 + B*a^3*b^3 + 11*A*a^2*b^4 - 5*B*a*b^5 - A*b^6 + A*c^6 + (11*A*a^2 - 5*B*a*b - 3*A*b^2)*c^4 + (10*A*
a^4 - B*a^3*b - 22*A*a^2*b^2 + 10*B*a*b^3 + 3*A*b^4)*c^2 - 3*(2*A*a^4*b^2 - 3*B*a^3*b^3 - A*a^2*b^4 + 3*B*a*b^
5 - A*b^6 - 2*A*b*c^5 - A*c^6 + (A*a^2 - 3*B*a*b + A*b^2)*c^4 + 2*(A*a^2*b - 3*B*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^3 + (2*A*a
^4 - 3*B*a^3*b + A*b^4)*c^2 + 2*(2*A*a^4*b - 3*B*a^3*b^2 - A*a^2*b^3 + 3*B*a*b^4 - A*b^5)*c)*cosh(x)^2 + 2*(2*
B*a^6 - 6*A*a^5*b + 3*B*a^4*b^2 + 3*A*a^3*b^3 - 3*B*a^2*b^4 + 3*A*a*b^5 - 2*B*b^6 + 3*A*a*c^5 + 2*B*c^6 + 3*(2
*B*a^2 + A*a*b - 2*B*b^2)*c^4 - 3*(A*a^3 - 3*B*a^2*b + 2*A*a*b^2)*c^3 + 3*(2*B*a^4 - A*a^3*b - B*a^2*b^2 - 2*A
*a*b^3 + 2*B*b^4)*c^2 - 3*(2*A*a^5 - 3*B*a^4*b - A*a^3*b^2 + 3*B*a^2*b^3 - A*a*b^4)*c)*cosh(x))*sinh(x))/(a^6*
b^3 - 3*a^4*b^5 + 3*a^2*b^7 - b^9 - b*c^8 + c^9 + (3*a^2 - 4*b^2)*c^7 - (3*a^2*b - 4*b^3)*c^6 + 3*(a^4 - 3*a^2
*b^2 + 2*b^4)*c^5 - 3*(a^4*b - 3*a^2*b^3 + 2*b^5)*c^4 + (a^6*b^3 - 3*a^4*b^5 + 3*a^2*b^7 - b^9 + 3*a^2*c^7 + 3
*b*c^8 + c^9 + (9*a^2*b - 8*b^3)*c^6 + 3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3*(3*a^4*b - 5*a^2*b^3 + 2*b^5)*c^4 + (
a^6 + 6*a^4*b^2 - 15*a^2*b^4 + 8*b^6)*c^3 + 3*(a^6*b - 2*a^4*b^3 + a^2*b^5)*c^2 + 3*(a^6*b^2 - 3*a^4*b^4 + 3*a
^2*b^6 - b^8)*c)*cosh(x)^4 + (a^6*b^3 - 3*a^4*b^5 + 3*a^2*b^7 - b^9 + 3*a^2*c^7 + 3*b*c^8 + c^9 + (9*a^2*b - 8
*b^3)*c^6 + 3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3*(3*a^4*b - 5*a^2*b^3 + 2*b^5)*c^4 + (a^6 + 6*a^4*b^2 - 15*a^2*b^
4 + 8*b^6)*c^3 + 3*(a^6*b - 2*a^4*b^3 + a^2*b^5)*c^2 + 3*(a^6*b^2 - 3*a^4*b^4 + 3*a^2*b^6 - b^8)*c)*sinh(x)^4
+ (a^6 - 6*a^4*b^2 + 9*a^2*b^4 - 4*b^6)*c^3 + 4*(a^7*b^2 - 3*a^5*b^4 + 3*a^3*b^6 - a*b^8 + 2*a*b*c^7 + a*c^8 +
(3*a^3 - 2*a*b^2)*c^6 + 6*(a^3*b - a*b^3)*c^5 + 3*(a^5 - a^3*b^2)*c^4 + 6*(a^5*b - 2*a^3*b^3 + a*b^5)*c^3 + (
a^7 - 3*a^3*b^4 + 2*a*b^6)*c^2 + 2*(a^7*b - 3*a^5*b^3 + 3*a^3*b^5 - a*b^7)*c)*cosh(x)^3 + 4*(a^7*b^2 - 3*a^5*b
^4 + 3*a^3*b^6 - a*b^8 + 2*a*b*c^7 + a*c^8 + (3*a^3 - 2*a*b^2)*c^6 + 6*(a^3*b - a*b^3)*c^5 + 3*(a^5 - a^3*b^2)
*c^4 + 6*(a^5*b - 2*a^3*b^3 + a*b^5)*c^3 + (a^7 - 3*a^3*b^4 + 2*a*b^6)*c^2 + 2*(a^7*b - 3*a^5*b^3 + 3*a^3*b^5
- a*b^7)*c + (a^6*b^3 - 3*a^4*b^5 + 3*a^2*b^7 - b^9 + 3*a^2*c^7 + 3*b*c^8 + c^9 + (9*a^2*b - 8*b^3)*c^6 + 3*(a
^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3*(3*a^4*b - 5*a^2*b^3 + 2*b^5)*c^4 + (a^6 + 6*a^4*b^2 - 15*a^2*b^4 + 8*b^6)*c^3 +
3*(a^6*b - 2*a^4*b^3 + a^2*b^5)*c^2 + 3*(a^6*b^2 - 3*a^4*b^4 + 3*a^2*b^6 - b^8)*c)*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a^6*
b - 6*a^4*b^3 + 9*a^2*b^5 - 4*b^7)*c^2 + 2*(2*a^8*b - 5*a^6*b^3 + 3*a^4*b^5 + a^2*b^7 - b^9 - b*c^8 - c^9 - (a
^2 - 4*b^2)*c^7 - (a^2*b - 4*b^3)*c^6 + 3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3*(a^4*b + a^2*b^3 - 2*b^5)*c^4 + (5*a
^6 - 6*a^4*b^2 - 3*a^2*b^4 + 4*b^6)*c^3 + (5*a^6*b - 6*a^4*b^3 - 3*a^2*b^5 + 4*b^7)*c^2 + (2*a^8 - 5*a^6*b^2 +
3*a^4*b^4 + a^2*b^6 - b^8)*c)*cosh(x)^2 + 2*(2*a^8*b - 5*a^6*b^3 + 3*a^4*b^5 + a^2*b^7 - b^9 - b*c^8 - c^9 -
(a^2 - 4*b^2)*c^7 - (a^2*b - 4*b^3)*c^6 + 3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3*(a^4*b + a^2*b^3 - 2*b^5)*c^4 + (5
*a^6 - 6*a^4*b^2 - 3*a^2*b^4 + 4*b^6)*c^3 + (5*a^6*b - 6*a^4*b^3 - 3*a^2*b^5 + 4*b^7)*c^2 + 3*(a^6*b^3 - 3*a^4
*b^5 + 3*a^2*b^7 - b^9 + 3*a^2*c^7 + 3*b*c^8 + c^9 + (9*a^2*b - 8*b^3)*c^6 + 3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3
*(3*a^4*b - 5*a^2*b^3 + 2*b^5)*c^4 + (a^6 + 6*a^4*b^2 - 15*a^2*b^4 + 8*b^6)*c^3 + 3*(a^6*b - 2*a^4*b^3 + a^2*b
^5)*c^2 + 3*(a^6*b^2 - 3*a^4*b^4 + 3*a^2*b^6 - b^8)*c)*cosh(x)^2 + (2*a^8 - 5*a^6*b^2 + 3*a^4*b^4 + a^2*b^6 -
b^8)*c + 6*(a^7*b^2 - 3*a^5*b^4 + 3*a^3*b^6 - a*b^8 + 2*a*b*c^7 + a*c^8 + (3*a^3 - 2*a*b^2)*c^6 + 6*(a^3*b - a
*b^3)*c^5 + 3*(a^5 - a^3*b^2)*c^4 + 6*(a^5*b - 2*a^3*b^3 + a*b^5)*c^3 + (a^7 - 3*a^3*b^4 + 2*a*b^6)*c^2 + 2*(a
^7*b - 3*a^5*b^3 + 3*a^3*b^5 - a*b^7)*c)*cosh(x))*sinh(x)^2 - (a^6*b^2 - 3*a^4*b^4 + 3*a^2*b^6 - b^8)*c + 4*(a
^7*b^2 - 3*a^5*b^4 + 3*a^3*b^6 - a*b^8 - a*c^8 - (3*a^3 - 4*a*b^2)*c^6 - 3*(a^5 - 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c^4 - (
a^7 - 6*a^5*b^2 + 9*a^3*b^4 - 4*a*b^6)*c^2)*cosh(x) + 4*(a^7*b^2 - 3*a^5*b^4 + 3*a^3*b^6 - a*b^8 - a*c^8 - (3*
a^3 - 4*a*b^2)*c^6 - 3*(a^5 - 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c^4 + (a^6*b^3 - 3*a^4*b^5 + 3*a^2*b^7 - b^9 + 3*a^2*c^7 +
3*b*c^8 + c^9 + (9*a^2*b - 8*b^3)*c^6 + 3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3*(3*a^4*b - 5*a^2*b^3 + 2*b^5)*c^4 +
(a^6 + 6*a^4*b^2 - 15*a^2*b^4 + 8*b^6)*c^3 + 3*(a^6*b - 2*a^4*b^3 + a^2*b^5)*c^2 + 3*(a^6*b^2 - 3*a^4*b^4 + 3*
a^2*b^6 - b^8)*c)*cosh(x)^3 - (a^7 - 6*a^5*b^2 + 9*a^3*b^4 - 4*a*b^6)*c^2 + 3*(a^7*b^2 - 3*a^5*b^4 + 3*a^3*b^6
- a*b^8 + 2*a*b*c^7 + a*c^8 + (3*a^3 - 2*a*b^2)*c^6 + 6*(a^3*b - a*b^3)*c^5 + 3*(a^5 - a^3*b^2)*c^4 + 6*(a^5*
b - 2*a^3*b^3 + a*b^5)*c^3 + (a^7 - 3*a^3*b^4 + 2*a*b^6)*c^2 + 2*(a^7*b - 3*a^5*b^3 + 3*a^3*b^5 - a*b^7)*c)*co
sh(x)^2 + (2*a^8*b - 5*a^6*b^3 + 3*a^4*b^5 + a^2*b^7 - b^9 - b*c^8 - c^9 - (a^2 - 4*b^2)*c^7 - (a^2*b - 4*b^3)
*c^6 + 3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3*(a^4*b + a^2*b^3 - 2*b^5)*c^4 + (5*a^6 - 6*a^4*b^2 - 3*a^2*b^4 + 4*b^
6)*c^3 + (5*a^6*b - 6*a^4*b^3 - 3*a^2*b^5 + 4*b^7)*c^2 + (2*a^8 - 5*a^6*b^2 + 3*a^4*b^4 + a^2*b^6 - b^8)*c)*co
sh(x))*sinh(x)), -(B*a^4*b^2 - 3*A*a^3*b^3 + B*a^2*b^4 + 3*A*a*b^5 - 2*B*b^6 - (3*A*a - 2*B*b)*c^5 + (3*A*a*b
- 2*B*b^2)*c^4 - (3*A*a^3 - B*a^2*b - 6*A*a*b^2 + 4*B*b^3)*c^3 - (2*A*a^4*b^2 - 3*B*a^3*b^3 - A*a^2*b^4 + 3*B*
a*b^5 - A*b^6 - 2*A*b*c^5 - A*c^6 + (A*a^2 - 3*B*a*b + A*b^2)*c^4 + 2*(A*a^2*b - 3*B*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^3 + (2
*A*a^4 - 3*B*a^3*b + A*b^4)*c^2 + 2*(2*A*a^4*b - 3*B*a^3*b^2 - A*a^2*b^3 + 3*B*a*b^4 - A*b^5)*c)*cosh(x)^3 - (
2*A*a^4*b^2 - 3*B*a^3*b^3 - A*a^2*b^4 + 3*B*a*b^5 - A*b^6 - 2*A*b*c^5 - A*c^6 + (A*a^2 - 3*B*a*b + A*b^2)*c^4
+ 2*(A*a^2*b - 3*B*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^3 + (2*A*a^4 - 3*B*a^3*b + A*b^4)*c^2 + 2*(2*A*a^4*b - 3*B*a^3*b^2 - A*a
^2*b^3 + 3*B*a*b^4 - A*b^5)*c)*sinh(x)^3 + (3*A*a^3*b - B*a^2*b^2 - 6*A*a*b^3 + 4*B*b^4)*c^2 + (2*B*a^6 - 6*A*
a^5*b + 3*B*a^4*b^2 + 3*A*a^3*b^3 - 3*B*a^2*b^4 + 3*A*a*b^5 - 2*B*b^6 + 3*A*a*c^5 + 2*B*c^6 + 3*(2*B*a^2 + A*a
*b - 2*B*b^2)*c^4 - 3*(A*a^3 - 3*B*a^2*b + 2*A*a*b^2)*c^3 + 3*(2*B*a^4 - A*a^3*b - B*a^2*b^2 - 2*A*a*b^3 + 2*B
*b^4)*c^2 - 3*(2*A*a^5 - 3*B*a^4*b - A*a^3*b^2 + 3*B*a^2*b^3 - A*a*b^4)*c)*cosh(x)^2 + (2*B*a^6 - 6*A*a^5*b +
3*B*a^4*b^2 + 3*A*a^3*b^3 - 3*B*a^2*b^4 + 3*A*a*b^5 - 2*B*b^6 + 3*A*a*c^5 + 2*B*c^6 + 3*(2*B*a^2 + A*a*b - 2*B
*b^2)*c^4 - 3*(A*a^3 - 3*B*a^2*b + 2*A*a*b^2)*c^3 + 3*(2*B*a^4 - A*a^3*b - B*a^2*b^2 - 2*A*a*b^3 + 2*B*b^4)*c^
2 - 3*(2*A*a^5 - 3*B*a^4*b - A*a^3*b^2 + 3*B*a^2*b^3 - A*a*b^4)*c - 3*(2*A*a^4*b^2 - 3*B*a^3*b^3 - A*a^2*b^4 +
3*B*a*b^5 - A*b^6 - 2*A*b*c^5 - A*c^6 + (A*a^2 - 3*B*a*b + A*b^2)*c^4 + 2*(A*a^2*b - 3*B*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^3
+ (2*A*a^4 - 3*B*a^3*b + A*b^4)*c^2 + 2*(2*A*a^4*b - 3*B*a^3*b^2 - A*a^2*b^3 + 3*B*a*b^4 - A*b^5)*c)*cosh(x))
*sinh(x)^2 - (2*A*a^2*b^3 - 3*B*a*b^4 + A*b^5 + A*b*c^4 - A*c^5 + (2*A*a^2*b^3 - 3*B*a*b^4 + A*b^5 - 3*A*b*c^4
- A*c^5 + (2*A*a^2 - 3*B*a*b - 2*A*b^2)*c^3 + (6*A*a^2*b - 9*B*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^2 + 3*(2*A*a^2*b^2 - 3*B*a*
b^3 + A*b^4)*c)*cosh(x)^4 + (2*A*a^2*b^3 - 3*B*a*b^4 + A*b^5 - 3*A*b*c^4 - A*c^5 + (2*A*a^2 - 3*B*a*b - 2*A*b^
2)*c^3 + (6*A*a^2*b - 9*B*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^2 + 3*(2*A*a^2*b^2 - 3*B*a*b^3 + A*b^4)*c)*sinh(x)^4 + (2*A*a^2 -
3*B*a*b + 2*A*b^2)*c^3 + 4*(2*A*a^3*b^2 - 3*B*a^2*b^3 + A*a*b^4 - 2*A*a*b*c^3 - A*a*c^4 + (2*A*a^3 - 3*B*a^2*
b)*c^2 + 2*(2*A*a^3*b - 3*B*a^2*b^2 + A*a*b^3)*c)*cosh(x)^3 + 4*(2*A*a^3*b^2 - 3*B*a^2*b^3 + A*a*b^4 - 2*A*a*b
*c^3 - A*a*c^4 + (2*A*a^3 - 3*B*a^2*b)*c^2 + 2*(2*A*a^3*b - 3*B*a^2*b^2 + A*a*b^3)*c + (2*A*a^2*b^3 - 3*B*a*b^
4 + A*b^5 - 3*A*b*c^4 - A*c^5 + (2*A*a^2 - 3*B*a*b - 2*A*b^2)*c^3 + (6*A*a^2*b - 9*B*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^2 + 3*
(2*A*a^2*b^2 - 3*B*a*b^3 + A*b^4)*c)*cosh(x))*sinh(x)^3 - (2*A*a^2*b - 3*B*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^2 + 2*(4*A*a^4*b
- 6*B*a^3*b^2 + 4*A*a^2*b^3 - 3*B*a*b^4 + A*b^5 + A*b*c^4 + A*c^5 - (4*A*a^2 - 3*B*a*b + 2*A*b^2)*c^3 - (4*A*
a^2*b - 3*B*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^2 + (4*A*a^4 - 6*B*a^3*b + 4*A*a^2*b^2 - 3*B*a*b^3 + A*b^4)*c)*cosh(x)^2 + 2*(4
*A*a^4*b - 6*B*a^3*b^2 + 4*A*a^2*b^3 - 3*B*a*b^4 + A*b^5 + A*b*c^4 + A*c^5 - (4*A*a^2 - 3*B*a*b + 2*A*b^2)*c^3
- (4*A*a^2*b - 3*B*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^2 + 3*(2*A*a^2*b^3 - 3*B*a*b^4 + A*b^5 - 3*A*b*c^4 - A*c^5 + (2*A*a^2 -
3*B*a*b - 2*A*b^2)*c^3 + (6*A*a^2*b - 9*B*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^2 + 3*(2*A*a^2*b^2 - 3*B*a*b^3 + A*b^4)*c)*cosh(
x)^2 + (4*A*a^4 - 6*B*a^3*b + 4*A*a^2*b^2 - 3*B*a*b^3 + A*b^4)*c + 6*(2*A*a^3*b^2 - 3*B*a^2*b^3 + A*a*b^4 - 2*
A*a*b*c^3 - A*a*c^4 + (2*A*a^3 - 3*B*a^2*b)*c^2 + 2*(2*A*a^3*b - 3*B*a^2*b^2 + A*a*b^3)*c)*cosh(x))*sinh(x)^2
- (2*A*a^2*b^2 - 3*B*a*b^3 + A*b^4)*c + 4*(2*A*a^3*b^2 - 3*B*a^2*b^3 + A*a*b^4 + A*a*c^4 - (2*A*a^3 - 3*B*a^2*
b + 2*A*a*b^2)*c^2)*cosh(x) + 4*(2*A*a^3*b^2 - 3*B*a^2*b^3 + A*a*b^4 + A*a*c^4 + (2*A*a^2*b^3 - 3*B*a*b^4 + A*
b^5 - 3*A*b*c^4 - A*c^5 + (2*A*a^2 - 3*B*a*b - 2*A*b^2)*c^3 + (6*A*a^2*b - 9*B*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^2 + 3*(2*A*a
^2*b^2 - 3*B*a*b^3 + A*b^4)*c)*cosh(x)^3 - (2*A*a^3 - 3*B*a^2*b + 2*A*a*b^2)*c^2 + 3*(2*A*a^3*b^2 - 3*B*a^2*b^
3 + A*a*b^4 - 2*A*a*b*c^3 - A*a*c^4 + (2*A*a^3 - 3*B*a^2*b)*c^2 + 2*(2*A*a^3*b - 3*B*a^2*b^2 + A*a*b^3)*c)*cos
h(x)^2 + (4*A*a^4*b - 6*B*a^3*b^2 + 4*A*a^2*b^3 - 3*B*a*b^4 + A*b^5 + A*b*c^4 + A*c^5 - (4*A*a^2 - 3*B*a*b + 2
*A*b^2)*c^3 - (4*A*a^2*b - 3*B*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^2 + (4*A*a^4 - 6*B*a^3*b + 4*A*a^2*b^2 - 3*B*a*b^3 + A*b^4)*
c)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a^2 + b^2 - c^2)*arctan(sqrt(-a^2 + b^2 - c^2)*((b + c)*cosh(x) + (b + c)*sinh(x) +
a)/(a^2 - b^2 + c^2)) - (B*a^4*b - 3*A*a^3*b^2 + B*a^2*b^3 + 3*A*a*b^4 - 2*B*b^5)*c + (4*B*a^5*b - 10*A*a^4*b
^2 + B*a^3*b^3 + 11*A*a^2*b^4 - 5*B*a*b^5 - A*b^6 + A*c^6 + (11*A*a^2 - 5*B*a*b - 3*A*b^2)*c^4 + (10*A*a^4 - B
*a^3*b - 22*A*a^2*b^2 + 10*B*a*b^3 + 3*A*b^4)*c^2)*cosh(x) + (4*B*a^5*b - 10*A*a^4*b^2 + B*a^3*b^3 + 11*A*a^2*
b^4 - 5*B*a*b^5 - A*b^6 + A*c^6 + (11*A*a^2 - 5*B*a*b - 3*A*b^2)*c^4 + (10*A*a^4 - B*a^3*b - 22*A*a^2*b^2 + 10
*B*a*b^3 + 3*A*b^4)*c^2 - 3*(2*A*a^4*b^2 - 3*B*a^3*b^3 - A*a^2*b^4 + 3*B*a*b^5 - A*b^6 - 2*A*b*c^5 - A*c^6 + (
A*a^2 - 3*B*a*b + A*b^2)*c^4 + 2*(A*a^2*b - 3*B*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^3 + (2*A*a^4 - 3*B*a^3*b + A*b^4)*c^2 + 2*(
2*A*a^4*b - 3*B*a^3*b^2 - A*a^2*b^3 + 3*B*a*b^4 - A*b^5)*c)*cosh(x)^2 + 2*(2*B*a^6 - 6*A*a^5*b + 3*B*a^4*b^2 +
3*A*a^3*b^3 - 3*B*a^2*b^4 + 3*A*a*b^5 - 2*B*b^6 + 3*A*a*c^5 + 2*B*c^6 + 3*(2*B*a^2 + A*a*b - 2*B*b^2)*c^4 - 3
*(A*a^3 - 3*B*a^2*b + 2*A*a*b^2)*c^3 + 3*(2*B*a^4 - A*a^3*b - B*a^2*b^2 - 2*A*a*b^3 + 2*B*b^4)*c^2 - 3*(2*A*a^
5 - 3*B*a^4*b - A*a^3*b^2 + 3*B*a^2*b^3 - A*a*b^4)*c)*cosh(x))*sinh(x))/(a^6*b^3 - 3*a^4*b^5 + 3*a^2*b^7 - b^9
- b*c^8 + c^9 + (3*a^2 - 4*b^2)*c^7 - (3*a^2*b - 4*b^3)*c^6 + 3*(a^4 - 3*a^2*b^2 + 2*b^4)*c^5 - 3*(a^4*b - 3*
a^2*b^3 + 2*b^5)*c^4 + (a^6*b^3 - 3*a^4*b^5 + 3*a^2*b^7 - b^9 + 3*a^2*c^7 + 3*b*c^8 + c^9 + (9*a^2*b - 8*b^3)*
c^6 + 3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3*(3*a^4*b - 5*a^2*b^3 + 2*b^5)*c^4 + (a^6 + 6*a^4*b^2 - 15*a^2*b^4 + 8*
b^6)*c^3 + 3*(a^6*b - 2*a^4*b^3 + a^2*b^5)*c^2 + 3*(a^6*b^2 - 3*a^4*b^4 + 3*a^2*b^6 - b^8)*c)*cosh(x)^4 + (a^6
*b^3 - 3*a^4*b^5 + 3*a^2*b^7 - b^9 + 3*a^2*c^7 + 3*b*c^8 + c^9 + (9*a^2*b - 8*b^3)*c^6 + 3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*
b^4)*c^5 + 3*(3*a^4*b - 5*a^2*b^3 + 2*b^5)*c^4 + (a^6 + 6*a^4*b^2 - 15*a^2*b^4 + 8*b^6)*c^3 + 3*(a^6*b - 2*a^4
*b^3 + a^2*b^5)*c^2 + 3*(a^6*b^2 - 3*a^4*b^4 + 3*a^2*b^6 - b^8)*c)*sinh(x)^4 + (a^6 - 6*a^4*b^2 + 9*a^2*b^4 -
4*b^6)*c^3 + 4*(a^7*b^2 - 3*a^5*b^4 + 3*a^3*b^6 - a*b^8 + 2*a*b*c^7 + a*c^8 + (3*a^3 - 2*a*b^2)*c^6 + 6*(a^3*b
- a*b^3)*c^5 + 3*(a^5 - a^3*b^2)*c^4 + 6*(a^5*b - 2*a^3*b^3 + a*b^5)*c^3 + (a^7 - 3*a^3*b^4 + 2*a*b^6)*c^2 +
2*(a^7*b - 3*a^5*b^3 + 3*a^3*b^5 - a*b^7)*c)*cosh(x)^3 + 4*(a^7*b^2 - 3*a^5*b^4 + 3*a^3*b^6 - a*b^8 + 2*a*b*c^
7 + a*c^8 + (3*a^3 - 2*a*b^2)*c^6 + 6*(a^3*b - a*b^3)*c^5 + 3*(a^5 - a^3*b^2)*c^4 + 6*(a^5*b - 2*a^3*b^3 + a*b
^5)*c^3 + (a^7 - 3*a^3*b^4 + 2*a*b^6)*c^2 + 2*(a^7*b - 3*a^5*b^3 + 3*a^3*b^5 - a*b^7)*c + (a^6*b^3 - 3*a^4*b^5
+ 3*a^2*b^7 - b^9 + 3*a^2*c^7 + 3*b*c^8 + c^9 + (9*a^2*b - 8*b^3)*c^6 + 3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3*(3*
a^4*b - 5*a^2*b^3 + 2*b^5)*c^4 + (a^6 + 6*a^4*b^2 - 15*a^2*b^4 + 8*b^6)*c^3 + 3*(a^6*b - 2*a^4*b^3 + a^2*b^5)*
c^2 + 3*(a^6*b^2 - 3*a^4*b^4 + 3*a^2*b^6 - b^8)*c)*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a^6*b - 6*a^4*b^3 + 9*a^2*b^5 - 4*b^7
)*c^2 + 2*(2*a^8*b - 5*a^6*b^3 + 3*a^4*b^5 + a^2*b^7 - b^9 - b*c^8 - c^9 - (a^2 - 4*b^2)*c^7 - (a^2*b - 4*b^3)
*c^6 + 3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3*(a^4*b + a^2*b^3 - 2*b^5)*c^4 + (5*a^6 - 6*a^4*b^2 - 3*a^2*b^4 + 4*b^
6)*c^3 + (5*a^6*b - 6*a^4*b^3 - 3*a^2*b^5 + 4*b^7)*c^2 + (2*a^8 - 5*a^6*b^2 + 3*a^4*b^4 + a^2*b^6 - b^8)*c)*co
sh(x)^2 + 2*(2*a^8*b - 5*a^6*b^3 + 3*a^4*b^5 + a^2*b^7 - b^9 - b*c^8 - c^9 - (a^2 - 4*b^2)*c^7 - (a^2*b - 4*b^
3)*c^6 + 3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3*(a^4*b + a^2*b^3 - 2*b^5)*c^4 + (5*a^6 - 6*a^4*b^2 - 3*a^2*b^4 + 4*
b^6)*c^3 + (5*a^6*b - 6*a^4*b^3 - 3*a^2*b^5 + 4*b^7)*c^2 + 3*(a^6*b^3 - 3*a^4*b^5 + 3*a^2*b^7 - b^9 + 3*a^2*c^
7 + 3*b*c^8 + c^9 + (9*a^2*b - 8*b^3)*c^6 + 3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3*(3*a^4*b - 5*a^2*b^3 + 2*b^5)*c^
4 + (a^6 + 6*a^4*b^2 - 15*a^2*b^4 + 8*b^6)*c^3 + 3*(a^6*b - 2*a^4*b^3 + a^2*b^5)*c^2 + 3*(a^6*b^2 - 3*a^4*b^4
+ 3*a^2*b^6 - b^8)*c)*cosh(x)^2 + (2*a^8 - 5*a^6*b^2 + 3*a^4*b^4 + a^2*b^6 - b^8)*c + 6*(a^7*b^2 - 3*a^5*b^4 +
3*a^3*b^6 - a*b^8 + 2*a*b*c^7 + a*c^8 + (3*a^3 - 2*a*b^2)*c^6 + 6*(a^3*b - a*b^3)*c^5 + 3*(a^5 - a^3*b^2)*c^4
+ 6*(a^5*b - 2*a^3*b^3 + a*b^5)*c^3 + (a^7 - 3*a^3*b^4 + 2*a*b^6)*c^2 + 2*(a^7*b - 3*a^5*b^3 + 3*a^3*b^5 - a*
b^7)*c)*cosh(x))*sinh(x)^2 - (a^6*b^2 - 3*a^4*b^4 + 3*a^2*b^6 - b^8)*c + 4*(a^7*b^2 - 3*a^5*b^4 + 3*a^3*b^6 -
a*b^8 - a*c^8 - (3*a^3 - 4*a*b^2)*c^6 - 3*(a^5 - 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c^4 - (a^7 - 6*a^5*b^2 + 9*a^3*b^4 - 4*a
*b^6)*c^2)*cosh(x) + 4*(a^7*b^2 - 3*a^5*b^4 + 3*a^3*b^6 - a*b^8 - a*c^8 - (3*a^3 - 4*a*b^2)*c^6 - 3*(a^5 - 3*a
^3*b^2 + 2*a*b^4)*c^4 + (a^6*b^3 - 3*a^4*b^5 + 3*a^2*b^7 - b^9 + 3*a^2*c^7 + 3*b*c^8 + c^9 + (9*a^2*b - 8*b^3)
*c^6 + 3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3*(3*a^4*b - 5*a^2*b^3 + 2*b^5)*c^4 + (a^6 + 6*a^4*b^2 - 15*a^2*b^4 + 8
*b^6)*c^3 + 3*(a^6*b - 2*a^4*b^3 + a^2*b^5)*c^2 + 3*(a^6*b^2 - 3*a^4*b^4 + 3*a^2*b^6 - b^8)*c)*cosh(x)^3 - (a^
7 - 6*a^5*b^2 + 9*a^3*b^4 - 4*a*b^6)*c^2 + 3*(a^7*b^2 - 3*a^5*b^4 + 3*a^3*b^6 - a*b^8 + 2*a*b*c^7 + a*c^8 + (3
*a^3 - 2*a*b^2)*c^6 + 6*(a^3*b - a*b^3)*c^5 + 3*(a^5 - a^3*b^2)*c^4 + 6*(a^5*b - 2*a^3*b^3 + a*b^5)*c^3 + (a^7
- 3*a^3*b^4 + 2*a*b^6)*c^2 + 2*(a^7*b - 3*a^5*b^3 + 3*a^3*b^5 - a*b^7)*c)*cosh(x)^2 + (2*a^8*b - 5*a^6*b^3 +
3*a^4*b^5 + a^2*b^7 - b^9 - b*c^8 - c^9 - (a^2 - 4*b^2)*c^7 - (a^2*b - 4*b^3)*c^6 + 3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*
c^5 + 3*(a^4*b + a^2*b^3 - 2*b^5)*c^4 + (5*a^6 - 6*a^4*b^2 - 3*a^2*b^4 + 4*b^6)*c^3 + (5*a^6*b - 6*a^4*b^3 - 3
*a^2*b^5 + 4*b^7)*c^2 + (2*a^8 - 5*a^6*b^2 + 3*a^4*b^4 + a^2*b^6 - b^8)*c)*cosh(x))*sinh(x))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*cosh(x))/(a+b*cosh(x)+c*sinh(x))**3,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.19855, size = 844, normalized size = 4.35 \begin{align*} \frac{{\left (2 \, A a^{2} - 3 \, B a b + A b^{2} - A c^{2}\right )} \arctan \left (\frac{b e^{x} + c e^{x} + a}{\sqrt{-a^{2} + b^{2} - c^{2}}}\right )}{{\left (a^{4} - 2 \, a^{2} b^{2} + b^{4} + 2 \, a^{2} c^{2} - 2 \, b^{2} c^{2} + c^{4}\right )} \sqrt{-a^{2} + b^{2} - c^{2}}} + \frac{2 \, A a^{2} b^{2} e^{\left (3 \, x\right )} - 3 \, B a b^{3} e^{\left (3 \, x\right )} + A b^{4} e^{\left (3 \, x\right )} + 4 \, A a^{2} b c e^{\left (3 \, x\right )} - 6 \, B a b^{2} c e^{\left (3 \, x\right )} + 2 \, A b^{3} c e^{\left (3 \, x\right )} + 2 \, A a^{2} c^{2} e^{\left (3 \, x\right )} - 3 \, B a b c^{2} e^{\left (3 \, x\right )} - 2 \, A b c^{3} e^{\left (3 \, x\right )} - A c^{4} e^{\left (3 \, x\right )} - 2 \, B a^{4} e^{\left (2 \, x\right )} + 6 \, A a^{3} b e^{\left (2 \, x\right )} - 5 \, B a^{2} b^{2} e^{\left (2 \, x\right )} + 3 \, A a b^{3} e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, B b^{4} e^{\left (2 \, x\right )} + 6 \, A a^{3} c e^{\left (2 \, x\right )} - 9 \, B a^{2} b c e^{\left (2 \, x\right )} + 3 \, A a b^{2} c e^{\left (2 \, x\right )} - 4 \, B a^{2} c^{2} e^{\left (2 \, x\right )} - 3 \, A a b c^{2} e^{\left (2 \, x\right )} + 4 \, B b^{2} c^{2} e^{\left (2 \, x\right )} - 3 \, A a c^{3} e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, B c^{4} e^{\left (2 \, x\right )} - 4 \, B a^{3} b e^{x} + 10 \, A a^{2} b^{2} e^{x} - 5 \, B a b^{3} e^{x} - A b^{4} e^{x} - 10 \, A a^{2} c^{2} e^{x} + 5 \, B a b c^{2} e^{x} + 2 \, A b^{2} c^{2} e^{x} - A c^{4} e^{x} - B a^{2} b^{2} + 3 \, A a b^{3} - 2 \, B b^{4} + B a^{2} b c - 3 \, A a b^{2} c + 2 \, B b^{3} c - 3 \, A a b c^{2} + 2 \, B b^{2} c^{2} + 3 \, A a c^{3} - 2 \, B b c^{3}}{{\left (a^{4} b - 2 \, a^{2} b^{3} + b^{5} + a^{4} c - 2 \, a^{2} b^{2} c + b^{4} c + 2 \, a^{2} b c^{2} - 2 \, b^{3} c^{2} + 2 \, a^{2} c^{3} - 2 \, b^{2} c^{3} + b c^{4} + c^{5}\right )}{\left (b e^{\left (2 \, x\right )} + c e^{\left (2 \, x\right )} + 2 \, a e^{x} + b - c\right )}^{2}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*cosh(x))/(a+b*cosh(x)+c*sinh(x))^3,x, algorithm="giac")

[Out]

(2*A*a^2 - 3*B*a*b + A*b^2 - A*c^2)*arctan((b*e^x + c*e^x + a)/sqrt(-a^2 + b^2 - c^2))/((a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4
+ 2*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 + c^4)*sqrt(-a^2 + b^2 - c^2)) + (2*A*a^2*b^2*e^(3*x) - 3*B*a*b^3*e^(3*x) + A*b^4*e^(
3*x) + 4*A*a^2*b*c*e^(3*x) - 6*B*a*b^2*c*e^(3*x) + 2*A*b^3*c*e^(3*x) + 2*A*a^2*c^2*e^(3*x) - 3*B*a*b*c^2*e^(3*
x) - 2*A*b*c^3*e^(3*x) - A*c^4*e^(3*x) - 2*B*a^4*e^(2*x) + 6*A*a^3*b*e^(2*x) - 5*B*a^2*b^2*e^(2*x) + 3*A*a*b^3
*e^(2*x) - 2*B*b^4*e^(2*x) + 6*A*a^3*c*e^(2*x) - 9*B*a^2*b*c*e^(2*x) + 3*A*a*b^2*c*e^(2*x) - 4*B*a^2*c^2*e^(2*
x) - 3*A*a*b*c^2*e^(2*x) + 4*B*b^2*c^2*e^(2*x) - 3*A*a*c^3*e^(2*x) - 2*B*c^4*e^(2*x) - 4*B*a^3*b*e^x + 10*A*a^
2*b^2*e^x - 5*B*a*b^3*e^x - A*b^4*e^x - 10*A*a^2*c^2*e^x + 5*B*a*b*c^2*e^x + 2*A*b^2*c^2*e^x - A*c^4*e^x - B*a
^2*b^2 + 3*A*a*b^3 - 2*B*b^4 + B*a^2*b*c - 3*A*a*b^2*c + 2*B*b^3*c - 3*A*a*b*c^2 + 2*B*b^2*c^2 + 3*A*a*c^3 - 2
*B*b*c^3)/((a^4*b - 2*a^2*b^3 + b^5 + a^4*c - 2*a^2*b^2*c + b^4*c + 2*a^2*b*c^2 - 2*b^3*c^2 + 2*a^2*c^3 - 2*b^
2*c^3 + b*c^4 + c^5)*(b*e^(2*x) + c*e^(2*x) + 2*a*e^x + b - c)^2)