3.128 \(\int \coth (c+d x) \sqrt{a+b \text{sech}(c+d x)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=106 \[ \frac{2 \sqrt{a} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \text{sech}(c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )}{d}-\frac{\sqrt{a-b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \text{sech}(c+d x)}}{\sqrt{a-b}}\right )}{d}-\frac{\sqrt{a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \text{sech}(c+d x)}}{\sqrt{a+b}}\right )}{d} \]

[Out]

(2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d - (Sqrt[a - b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt
[a - b]])/d - (Sqrt[a + b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/d

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.17479, antiderivative size = 106, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 5, integrand size = 21, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.238, Rules used = {3885, 898, 1287, 206, 207} \[ \frac{2 \sqrt{a} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \text{sech}(c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )}{d}-\frac{\sqrt{a-b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \text{sech}(c+d x)}}{\sqrt{a-b}}\right )}{d}-\frac{\sqrt{a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \text{sech}(c+d x)}}{\sqrt{a+b}}\right )}{d} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Coth[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]],x]

[Out]

(2*Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d - (Sqrt[a - b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt
[a - b]])/d - (Sqrt[a + b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]]/Sqrt[a + b]])/d

Rule 3885

Int[cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_.)*(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_), x_Symbol] :> -Dist[(-1)^((m - 1
)/2)/(d*b^(m - 1)), Subst[Int[((b^2 - x^2)^((m - 1)/2)*(a + x)^n)/x, x], x, b*Csc[c + d*x]], x] /; FreeQ[{a, b
, c, d, n}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 898

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{q = De
nominator[m]}, Dist[q/e, Subst[Int[x^(q*(m + 1) - 1)*((e*f - d*g)/e + (g*x^q)/e)^n*((c*d^2 + a*e^2)/e^2 - (2*c
*d*x^q)/e^2 + (c*x^(2*q))/e^2)^p, x], x, (d + e*x)^(1/q)], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] && NeQ[e*f - d*
g, 0] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && IntegersQ[n, p] && FractionQ[m]

Rule 1287

Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.))/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Int[Ex
pandIntegrand[((f*x)^m*(d + e*x^2)^q)/(a + b*x^2 + c*x^4), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b^
2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[q] && IntegerQ[m]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 207

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> -Simp[ArcTanh[(Rt[b, 2]*x)/Rt[-a, 2]]/(Rt[-a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (LtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \coth (c+d x) \sqrt{a+b \text{sech}(c+d x)} \, dx &=-\frac{b^2 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\sqrt{a+x}}{x \left (b^2-x^2\right )} \, dx,x,b \text{sech}(c+d x)\right )}{d}\\ &=-\frac{\left (2 b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^2}{\left (-a+x^2\right ) \left (-a^2+b^2+2 a x^2-x^4\right )} \, dx,x,\sqrt{a+b \text{sech}(c+d x)}\right )}{d}\\ &=-\frac{\left (2 b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \left (-\frac{a}{b^2 \left (a-x^2\right )}+\frac{a+b}{2 b^2 \left (a+b-x^2\right )}+\frac{-a+b}{2 b^2 \left (-a+b+x^2\right )}\right ) \, dx,x,\sqrt{a+b \text{sech}(c+d x)}\right )}{d}\\ &=\frac{(2 a) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{a-x^2} \, dx,x,\sqrt{a+b \text{sech}(c+d x)}\right )}{d}+\frac{(a-b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-a+b+x^2} \, dx,x,\sqrt{a+b \text{sech}(c+d x)}\right )}{d}-\frac{(a+b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{a+b-x^2} \, dx,x,\sqrt{a+b \text{sech}(c+d x)}\right )}{d}\\ &=\frac{2 \sqrt{a} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \text{sech}(c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )}{d}-\frac{\sqrt{a-b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \text{sech}(c+d x)}}{\sqrt{a-b}}\right )}{d}-\frac{\sqrt{a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \text{sech}(c+d x)}}{\sqrt{a+b}}\right )}{d}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 2.2199, size = 195, normalized size = 1.84 \[ \frac{\sqrt{a \cosh (c+d x)} \sqrt{a+b \text{sech}(c+d x)} \left (2 \sqrt{a} \log \left (\sqrt{a \cosh (c+d x)+b}+\sqrt{a \cosh (c+d x)}\right )-\sqrt{-a-b} \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \sqrt{a \cosh (c+d x)+b}}{\sqrt{-a-b} \sqrt{a \cosh (c+d x)}}\right )-\sqrt{a-b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \sqrt{a \cosh (c+d x)+b}}{\sqrt{a-b} \sqrt{a \cosh (c+d x)}}\right )\right )}{\sqrt{a} d \sqrt{a \cosh (c+d x)+b}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Coth[c + d*x]*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]],x]

[Out]

(Sqrt[a*Cosh[c + d*x]]*(-(Sqrt[-a - b]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[b + a*Cosh[c + d*x]])/(Sqrt[-a - b]*Sqrt[a*Cosh[c
+ d*x]])]) - Sqrt[a - b]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[b + a*Cosh[c + d*x]])/(Sqrt[a - b]*Sqrt[a*Cosh[c + d*x]])] + 2*
Sqrt[a]*Log[Sqrt[a*Cosh[c + d*x]] + Sqrt[b + a*Cosh[c + d*x]]])*Sqrt[a + b*Sech[c + d*x]])/(Sqrt[a]*d*Sqrt[b +
a*Cosh[c + d*x]])

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.181, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\rm coth} \left (dx+c\right )\sqrt{a+b{\rm sech} \left (dx+c\right )}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(coth(d*x+c)*(a+b*sech(d*x+c))^(1/2),x)

[Out]

int(coth(d*x+c)*(a+b*sech(d*x+c))^(1/2),x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt{b \operatorname{sech}\left (d x + c\right ) + a} \coth \left (d x + c\right )\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(d*x+c)*(a+b*sech(d*x+c))^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sqrt(b*sech(d*x + c) + a)*coth(d*x + c), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 7.56616, size = 22756, normalized size = 214.68 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(d*x+c)*(a+b*sech(d*x+c))^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*(sqrt(a - b)*log(-((8*a^2 - 8*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^4 + (8*a^2 - 8*a*b + b^2)*sinh(d*x + c)^4 + 4*(4*a
*b - 3*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 4*(4*a*b - 3*b^2 + (8*a^2 - 8*a*b + b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 2*(8*a
^2 - 8*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(8*a^2 - 8*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 8*a^2 - 8*a*b + 3*b^2 + 6*(
4*a*b - 3*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 + 8*a^2 - 8*a*b + b^2 - 4*((2*a - b)*cosh(d*x + c)^4 + (2*a - b)
*sinh(d*x + c)^4 + 2*b*cosh(d*x + c)^3 + 2*(2*(2*a - b)*cosh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c)^3 + 2*(2*a - b)*cosh(
d*x + c)^2 + 2*(3*(2*a - b)*cosh(d*x + c)^2 + 3*b*cosh(d*x + c) + 2*a - b)*sinh(d*x + c)^2 + 2*b*cosh(d*x + c)
+ 2*(2*(2*a - b)*cosh(d*x + c)^3 + 3*b*cosh(d*x + c)^2 + 2*(2*a - b)*cosh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c) + 2*a -
b)*sqrt(a - b)*sqrt((a*cosh(d*x + c) + b)/cosh(d*x + c)) + 4*(4*a*b - 3*b^2)*cosh(d*x + c) + 4*((8*a^2 - 8*a*
b + b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(4*a*b - 3*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 4*a*b - 3*b^2 + (8*a^2 - 8*a*b + 3*b^2)*cosh(d*
x + c))*sinh(d*x + c))/(cosh(d*x + c)^4 + 4*(cosh(d*x + c) + 1)*sinh(d*x + c)^3 + sinh(d*x + c)^4 + 4*cosh(d*x
+ c)^3 + 6*(cosh(d*x + c)^2 + 2*cosh(d*x + c) + 1)*sinh(d*x + c)^2 + 6*cosh(d*x + c)^2 + 4*(cosh(d*x + c)^3 +
3*cosh(d*x + c)^2 + 3*cosh(d*x + c) + 1)*sinh(d*x + c) + 4*cosh(d*x + c) + 1)) + sqrt(a + b)*log(-((8*a^2 + 8
*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^4 + (8*a^2 + 8*a*b + b^2)*sinh(d*x + c)^4 + 4*(4*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 4*(4
*a*b + 3*b^2 + (8*a^2 + 8*a*b + b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 2*(8*a^2 + 8*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^
2 + 2*(3*(8*a^2 + 8*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 8*a^2 + 8*a*b + 3*b^2 + 6*(4*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh
(d*x + c)^2 + 8*a^2 + 8*a*b + b^2 - 4*((2*a + b)*cosh(d*x + c)^4 + (2*a + b)*sinh(d*x + c)^4 + 2*b*cosh(d*x +
c)^3 + 2*(2*(2*a + b)*cosh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c)^3 + 2*(2*a + b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(2*a + b)*cosh(d
*x + c)^2 + 3*b*cosh(d*x + c) + 2*a + b)*sinh(d*x + c)^2 + 2*b*cosh(d*x + c) + 2*(2*(2*a + b)*cosh(d*x + c)^3
+ 3*b*cosh(d*x + c)^2 + 2*(2*a + b)*cosh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c) + 2*a + b)*sqrt(a + b)*sqrt((a*cosh(d*x +
c) + b)/cosh(d*x + c)) + 4*(4*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c) + 4*((8*a^2 + 8*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(4*a*
b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 4*a*b + 3*b^2 + (8*a^2 + 8*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))/(cosh(d*x +
c)^4 + 4*(cosh(d*x + c) - 1)*sinh(d*x + c)^3 + sinh(d*x + c)^4 - 4*cosh(d*x + c)^3 + 6*(cosh(d*x + c)^2 - 2*c
osh(d*x + c) + 1)*sinh(d*x + c)^2 + 6*cosh(d*x + c)^2 + 4*(cosh(d*x + c)^3 - 3*cosh(d*x + c)^2 + 3*cosh(d*x +
c) - 1)*sinh(d*x + c) - 4*cosh(d*x + c) + 1)) + 2*sqrt(a)*log(-(2*a^2*cosh(d*x + c)^4 + 2*a^2*sinh(d*x + c)^4
+ 4*a*b*cosh(d*x + c)^3 + 4*(2*a^2*cosh(d*x + c) + a*b)*sinh(d*x + c)^3 + 4*a*b*cosh(d*x + c) + (4*a^2 + b^2)*
cosh(d*x + c)^2 + (12*a^2*cosh(d*x + c)^2 + 12*a*b*cosh(d*x + c) + 4*a^2 + b^2)*sinh(d*x + c)^2 + 2*a^2 + 2*(a
*cosh(d*x + c)^4 + a*sinh(d*x + c)^4 + b*cosh(d*x + c)^3 + (4*a*cosh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c)^3 + 2*a*cosh(
d*x + c)^2 + (6*a*cosh(d*x + c)^2 + 3*b*cosh(d*x + c) + 2*a)*sinh(d*x + c)^2 + b*cosh(d*x + c) + (4*a*cosh(d*x
+ c)^3 + 3*b*cosh(d*x + c)^2 + 4*a*cosh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c) + a)*sqrt(a)*sqrt((a*cosh(d*x + c) + b)/c
osh(d*x + c)) + 2*(4*a^2*cosh(d*x + c)^3 + 6*a*b*cosh(d*x + c)^2 + 2*a*b + (4*a^2 + b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d
*x + c))/(cosh(d*x + c)^2 + 2*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c) + sinh(d*x + c)^2)))/d, -1/4*(4*sqrt(-a)*arctan((cos
h(d*x + c)^2 + 2*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c) + sinh(d*x + c)^2 + 1)*sqrt(-a)*sqrt((a*cosh(d*x + c) + b)/cosh(d
*x + c))/(a*cosh(d*x + c)^2 + a*sinh(d*x + c)^2 + b*cosh(d*x + c) + (2*a*cosh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c) + a)
) - sqrt(a - b)*log(-((8*a^2 - 8*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^4 + (8*a^2 - 8*a*b + b^2)*sinh(d*x + c)^4 + 4*(4*a*b
- 3*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 4*(4*a*b - 3*b^2 + (8*a^2 - 8*a*b + b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 2*(8*a^2
- 8*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(8*a^2 - 8*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 8*a^2 - 8*a*b + 3*b^2 + 6*(4*
a*b - 3*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 + 8*a^2 - 8*a*b + b^2 - 4*((2*a - b)*cosh(d*x + c)^4 + (2*a - b)*s
inh(d*x + c)^4 + 2*b*cosh(d*x + c)^3 + 2*(2*(2*a - b)*cosh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c)^3 + 2*(2*a - b)*cosh(d*
x + c)^2 + 2*(3*(2*a - b)*cosh(d*x + c)^2 + 3*b*cosh(d*x + c) + 2*a - b)*sinh(d*x + c)^2 + 2*b*cosh(d*x + c) +
2*(2*(2*a - b)*cosh(d*x + c)^3 + 3*b*cosh(d*x + c)^2 + 2*(2*a - b)*cosh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c) + 2*a - b
)*sqrt(a - b)*sqrt((a*cosh(d*x + c) + b)/cosh(d*x + c)) + 4*(4*a*b - 3*b^2)*cosh(d*x + c) + 4*((8*a^2 - 8*a*b
+ b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(4*a*b - 3*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 4*a*b - 3*b^2 + (8*a^2 - 8*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x
+ c))*sinh(d*x + c))/(cosh(d*x + c)^4 + 4*(cosh(d*x + c) + 1)*sinh(d*x + c)^3 + sinh(d*x + c)^4 + 4*cosh(d*x +
c)^3 + 6*(cosh(d*x + c)^2 + 2*cosh(d*x + c) + 1)*sinh(d*x + c)^2 + 6*cosh(d*x + c)^2 + 4*(cosh(d*x + c)^3 + 3
*cosh(d*x + c)^2 + 3*cosh(d*x + c) + 1)*sinh(d*x + c) + 4*cosh(d*x + c) + 1)) - sqrt(a + b)*log(-((8*a^2 + 8*a
*b + b^2)*cosh(d*x + c)^4 + (8*a^2 + 8*a*b + b^2)*sinh(d*x + c)^4 + 4*(4*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 4*(4*a
*b + 3*b^2 + (8*a^2 + 8*a*b + b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 2*(8*a^2 + 8*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^2
+ 2*(3*(8*a^2 + 8*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 8*a^2 + 8*a*b + 3*b^2 + 6*(4*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d
*x + c)^2 + 8*a^2 + 8*a*b + b^2 - 4*((2*a + b)*cosh(d*x + c)^4 + (2*a + b)*sinh(d*x + c)^4 + 2*b*cosh(d*x + c)
^3 + 2*(2*(2*a + b)*cosh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c)^3 + 2*(2*a + b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(2*a + b)*cosh(d*x
+ c)^2 + 3*b*cosh(d*x + c) + 2*a + b)*sinh(d*x + c)^2 + 2*b*cosh(d*x + c) + 2*(2*(2*a + b)*cosh(d*x + c)^3 +
3*b*cosh(d*x + c)^2 + 2*(2*a + b)*cosh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c) + 2*a + b)*sqrt(a + b)*sqrt((a*cosh(d*x + c
) + b)/cosh(d*x + c)) + 4*(4*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c) + 4*((8*a^2 + 8*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(4*a*b
+ 3*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 4*a*b + 3*b^2 + (8*a^2 + 8*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))/(cosh(d*x + c
)^4 + 4*(cosh(d*x + c) - 1)*sinh(d*x + c)^3 + sinh(d*x + c)^4 - 4*cosh(d*x + c)^3 + 6*(cosh(d*x + c)^2 - 2*cos
h(d*x + c) + 1)*sinh(d*x + c)^2 + 6*cosh(d*x + c)^2 + 4*(cosh(d*x + c)^3 - 3*cosh(d*x + c)^2 + 3*cosh(d*x + c)
- 1)*sinh(d*x + c) - 4*cosh(d*x + c) + 1)))/d, -1/4*(2*sqrt(-a + b)*arctan(-2*(cosh(d*x + c)^2 + 2*cosh(d*x +
c)*sinh(d*x + c) + sinh(d*x + c)^2 + 1)*sqrt(-a + b)*sqrt((a*cosh(d*x + c) + b)/cosh(d*x + c))/((2*a - b)*cos
h(d*x + c)^2 + (2*a - b)*sinh(d*x + c)^2 + 2*b*cosh(d*x + c) + 2*((2*a - b)*cosh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c) +
2*a - b)) - sqrt(a + b)*log(-((8*a^2 + 8*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^4 + (8*a^2 + 8*a*b + b^2)*sinh(d*x + c)^4 +
4*(4*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 4*(4*a*b + 3*b^2 + (8*a^2 + 8*a*b + b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 +
2*(8*a^2 + 8*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(8*a^2 + 8*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 8*a^2 + 8*a*b + 3*b^
2 + 6*(4*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 + 8*a^2 + 8*a*b + b^2 - 4*((2*a + b)*cosh(d*x + c)^4 + (2
*a + b)*sinh(d*x + c)^4 + 2*b*cosh(d*x + c)^3 + 2*(2*(2*a + b)*cosh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c)^3 + 2*(2*a + b
)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(2*a + b)*cosh(d*x + c)^2 + 3*b*cosh(d*x + c) + 2*a + b)*sinh(d*x + c)^2 + 2*b*cosh(d
*x + c) + 2*(2*(2*a + b)*cosh(d*x + c)^3 + 3*b*cosh(d*x + c)^2 + 2*(2*a + b)*cosh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c)
+ 2*a + b)*sqrt(a + b)*sqrt((a*cosh(d*x + c) + b)/cosh(d*x + c)) + 4*(4*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c) + 4*((8*a^2
+ 8*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(4*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 4*a*b + 3*b^2 + (8*a^2 + 8*a*b + 3*b^2)*
cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))/(cosh(d*x + c)^4 + 4*(cosh(d*x + c) - 1)*sinh(d*x + c)^3 + sinh(d*x + c)^4 - 4*c
osh(d*x + c)^3 + 6*(cosh(d*x + c)^2 - 2*cosh(d*x + c) + 1)*sinh(d*x + c)^2 + 6*cosh(d*x + c)^2 + 4*(cosh(d*x +
c)^3 - 3*cosh(d*x + c)^2 + 3*cosh(d*x + c) - 1)*sinh(d*x + c) - 4*cosh(d*x + c) + 1)) - 2*sqrt(a)*log(-(2*a^2
*cosh(d*x + c)^4 + 2*a^2*sinh(d*x + c)^4 + 4*a*b*cosh(d*x + c)^3 + 4*(2*a^2*cosh(d*x + c) + a*b)*sinh(d*x + c)
^3 + 4*a*b*cosh(d*x + c) + (4*a^2 + b^2)*cosh(d*x + c)^2 + (12*a^2*cosh(d*x + c)^2 + 12*a*b*cosh(d*x + c) + 4*
a^2 + b^2)*sinh(d*x + c)^2 + 2*a^2 + 2*(a*cosh(d*x + c)^4 + a*sinh(d*x + c)^4 + b*cosh(d*x + c)^3 + (4*a*cosh(
d*x + c) + b)*sinh(d*x + c)^3 + 2*a*cosh(d*x + c)^2 + (6*a*cosh(d*x + c)^2 + 3*b*cosh(d*x + c) + 2*a)*sinh(d*x
+ c)^2 + b*cosh(d*x + c) + (4*a*cosh(d*x + c)^3 + 3*b*cosh(d*x + c)^2 + 4*a*cosh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c)
+ a)*sqrt(a)*sqrt((a*cosh(d*x + c) + b)/cosh(d*x + c)) + 2*(4*a^2*cosh(d*x + c)^3 + 6*a*b*cosh(d*x + c)^2 + 2*
a*b + (4*a^2 + b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))/(cosh(d*x + c)^2 + 2*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c) + sinh(d*x
+ c)^2)))/d, -1/4*(4*sqrt(-a)*arctan((cosh(d*x + c)^2 + 2*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c) + sinh(d*x + c)^2 + 1)*s
qrt(-a)*sqrt((a*cosh(d*x + c) + b)/cosh(d*x + c))/(a*cosh(d*x + c)^2 + a*sinh(d*x + c)^2 + b*cosh(d*x + c) + (
2*a*cosh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c) + a)) + 2*sqrt(-a + b)*arctan(-2*(cosh(d*x + c)^2 + 2*cosh(d*x + c)*sinh(
d*x + c) + sinh(d*x + c)^2 + 1)*sqrt(-a + b)*sqrt((a*cosh(d*x + c) + b)/cosh(d*x + c))/((2*a - b)*cosh(d*x + c
)^2 + (2*a - b)*sinh(d*x + c)^2 + 2*b*cosh(d*x + c) + 2*((2*a - b)*cosh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c) + 2*a - b)
) - sqrt(a + b)*log(-((8*a^2 + 8*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^4 + (8*a^2 + 8*a*b + b^2)*sinh(d*x + c)^4 + 4*(4*a*b
+ 3*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 4*(4*a*b + 3*b^2 + (8*a^2 + 8*a*b + b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 2*(8*a^2
+ 8*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(8*a^2 + 8*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 8*a^2 + 8*a*b + 3*b^2 + 6*(4*
a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 + 8*a^2 + 8*a*b + b^2 - 4*((2*a + b)*cosh(d*x + c)^4 + (2*a + b)*s
inh(d*x + c)^4 + 2*b*cosh(d*x + c)^3 + 2*(2*(2*a + b)*cosh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c)^3 + 2*(2*a + b)*cosh(d*
x + c)^2 + 2*(3*(2*a + b)*cosh(d*x + c)^2 + 3*b*cosh(d*x + c) + 2*a + b)*sinh(d*x + c)^2 + 2*b*cosh(d*x + c) +
2*(2*(2*a + b)*cosh(d*x + c)^3 + 3*b*cosh(d*x + c)^2 + 2*(2*a + b)*cosh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c) + 2*a + b
)*sqrt(a + b)*sqrt((a*cosh(d*x + c) + b)/cosh(d*x + c)) + 4*(4*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c) + 4*((8*a^2 + 8*a*b
+ b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(4*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 4*a*b + 3*b^2 + (8*a^2 + 8*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x
+ c))*sinh(d*x + c))/(cosh(d*x + c)^4 + 4*(cosh(d*x + c) - 1)*sinh(d*x + c)^3 + sinh(d*x + c)^4 - 4*cosh(d*x +
c)^3 + 6*(cosh(d*x + c)^2 - 2*cosh(d*x + c) + 1)*sinh(d*x + c)^2 + 6*cosh(d*x + c)^2 + 4*(cosh(d*x + c)^3 - 3
*cosh(d*x + c)^2 + 3*cosh(d*x + c) - 1)*sinh(d*x + c) - 4*cosh(d*x + c) + 1)))/d, 1/4*(2*sqrt(-a - b)*arctan(2
*(cosh(d*x + c)^2 + 2*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c) + sinh(d*x + c)^2 + 1)*sqrt(-a - b)*sqrt((a*cosh(d*x + c) +
b)/cosh(d*x + c))/((2*a + b)*cosh(d*x + c)^2 + (2*a + b)*sinh(d*x + c)^2 + 2*b*cosh(d*x + c) + 2*((2*a + b)*co
sh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c) + 2*a + b)) + sqrt(a - b)*log(-((8*a^2 - 8*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^4 + (8*a^2
- 8*a*b + b^2)*sinh(d*x + c)^4 + 4*(4*a*b - 3*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 4*(4*a*b - 3*b^2 + (8*a^2 - 8*a*b + b^2)*
cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 2*(8*a^2 - 8*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(8*a^2 - 8*a*b + b^2)*cosh(d
*x + c)^2 + 8*a^2 - 8*a*b + 3*b^2 + 6*(4*a*b - 3*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 + 8*a^2 - 8*a*b + b^2 - 4
*((2*a - b)*cosh(d*x + c)^4 + (2*a - b)*sinh(d*x + c)^4 + 2*b*cosh(d*x + c)^3 + 2*(2*(2*a - b)*cosh(d*x + c) +
b)*sinh(d*x + c)^3 + 2*(2*a - b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(2*a - b)*cosh(d*x + c)^2 + 3*b*cosh(d*x + c) + 2*a -
b)*sinh(d*x + c)^2 + 2*b*cosh(d*x + c) + 2*(2*(2*a - b)*cosh(d*x + c)^3 + 3*b*cosh(d*x + c)^2 + 2*(2*a - b)*c
osh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c) + 2*a - b)*sqrt(a - b)*sqrt((a*cosh(d*x + c) + b)/cosh(d*x + c)) + 4*(4*a*b -
3*b^2)*cosh(d*x + c) + 4*((8*a^2 - 8*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(4*a*b - 3*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 4*a*b -
3*b^2 + (8*a^2 - 8*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))/(cosh(d*x + c)^4 + 4*(cosh(d*x + c) + 1)*sinh(d*
x + c)^3 + sinh(d*x + c)^4 + 4*cosh(d*x + c)^3 + 6*(cosh(d*x + c)^2 + 2*cosh(d*x + c) + 1)*sinh(d*x + c)^2 + 6
*cosh(d*x + c)^2 + 4*(cosh(d*x + c)^3 + 3*cosh(d*x + c)^2 + 3*cosh(d*x + c) + 1)*sinh(d*x + c) + 4*cosh(d*x +
c) + 1)) + 2*sqrt(a)*log(-(2*a^2*cosh(d*x + c)^4 + 2*a^2*sinh(d*x + c)^4 + 4*a*b*cosh(d*x + c)^3 + 4*(2*a^2*co
sh(d*x + c) + a*b)*sinh(d*x + c)^3 + 4*a*b*cosh(d*x + c) + (4*a^2 + b^2)*cosh(d*x + c)^2 + (12*a^2*cosh(d*x +
c)^2 + 12*a*b*cosh(d*x + c) + 4*a^2 + b^2)*sinh(d*x + c)^2 + 2*a^2 + 2*(a*cosh(d*x + c)^4 + a*sinh(d*x + c)^4
+ b*cosh(d*x + c)^3 + (4*a*cosh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c)^3 + 2*a*cosh(d*x + c)^2 + (6*a*cosh(d*x + c)^2 + 3
*b*cosh(d*x + c) + 2*a)*sinh(d*x + c)^2 + b*cosh(d*x + c) + (4*a*cosh(d*x + c)^3 + 3*b*cosh(d*x + c)^2 + 4*a*c
osh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c) + a)*sqrt(a)*sqrt((a*cosh(d*x + c) + b)/cosh(d*x + c)) + 2*(4*a^2*cosh(d*x + c
)^3 + 6*a*b*cosh(d*x + c)^2 + 2*a*b + (4*a^2 + b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))/(cosh(d*x + c)^2 + 2*cosh(d*
x + c)*sinh(d*x + c) + sinh(d*x + c)^2)))/d, -1/4*(4*sqrt(-a)*arctan((cosh(d*x + c)^2 + 2*cosh(d*x + c)*sinh(d
*x + c) + sinh(d*x + c)^2 + 1)*sqrt(-a)*sqrt((a*cosh(d*x + c) + b)/cosh(d*x + c))/(a*cosh(d*x + c)^2 + a*sinh(
d*x + c)^2 + b*cosh(d*x + c) + (2*a*cosh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c) + a)) - 2*sqrt(-a - b)*arctan(2*(cosh(d*x
+ c)^2 + 2*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c) + sinh(d*x + c)^2 + 1)*sqrt(-a - b)*sqrt((a*cosh(d*x + c) + b)/cosh(d*
x + c))/((2*a + b)*cosh(d*x + c)^2 + (2*a + b)*sinh(d*x + c)^2 + 2*b*cosh(d*x + c) + 2*((2*a + b)*cosh(d*x + c
) + b)*sinh(d*x + c) + 2*a + b)) - sqrt(a - b)*log(-((8*a^2 - 8*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^4 + (8*a^2 - 8*a*b +
b^2)*sinh(d*x + c)^4 + 4*(4*a*b - 3*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 4*(4*a*b - 3*b^2 + (8*a^2 - 8*a*b + b^2)*cosh(d*x +
c))*sinh(d*x + c)^3 + 2*(8*a^2 - 8*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(8*a^2 - 8*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^2
+ 8*a^2 - 8*a*b + 3*b^2 + 6*(4*a*b - 3*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 + 8*a^2 - 8*a*b + b^2 - 4*((2*a - b
)*cosh(d*x + c)^4 + (2*a - b)*sinh(d*x + c)^4 + 2*b*cosh(d*x + c)^3 + 2*(2*(2*a - b)*cosh(d*x + c) + b)*sinh(d
*x + c)^3 + 2*(2*a - b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(2*a - b)*cosh(d*x + c)^2 + 3*b*cosh(d*x + c) + 2*a - b)*sinh(d
*x + c)^2 + 2*b*cosh(d*x + c) + 2*(2*(2*a - b)*cosh(d*x + c)^3 + 3*b*cosh(d*x + c)^2 + 2*(2*a - b)*cosh(d*x +
c) + b)*sinh(d*x + c) + 2*a - b)*sqrt(a - b)*sqrt((a*cosh(d*x + c) + b)/cosh(d*x + c)) + 4*(4*a*b - 3*b^2)*cos
h(d*x + c) + 4*((8*a^2 - 8*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(4*a*b - 3*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 4*a*b - 3*b^2 + (8
*a^2 - 8*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))/(cosh(d*x + c)^4 + 4*(cosh(d*x + c) + 1)*sinh(d*x + c)^3 +
sinh(d*x + c)^4 + 4*cosh(d*x + c)^3 + 6*(cosh(d*x + c)^2 + 2*cosh(d*x + c) + 1)*sinh(d*x + c)^2 + 6*cosh(d*x
+ c)^2 + 4*(cosh(d*x + c)^3 + 3*cosh(d*x + c)^2 + 3*cosh(d*x + c) + 1)*sinh(d*x + c) + 4*cosh(d*x + c) + 1)))/
d, -1/2*(sqrt(-a + b)*arctan(-2*(cosh(d*x + c)^2 + 2*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c) + sinh(d*x + c)^2 + 1)*sqrt(-
a + b)*sqrt((a*cosh(d*x + c) + b)/cosh(d*x + c))/((2*a - b)*cosh(d*x + c)^2 + (2*a - b)*sinh(d*x + c)^2 + 2*b*
cosh(d*x + c) + 2*((2*a - b)*cosh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c) + 2*a - b)) - sqrt(-a - b)*arctan(2*(cosh(d*x +
c)^2 + 2*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c) + sinh(d*x + c)^2 + 1)*sqrt(-a - b)*sqrt((a*cosh(d*x + c) + b)/cosh(d*x +
c))/((2*a + b)*cosh(d*x + c)^2 + (2*a + b)*sinh(d*x + c)^2 + 2*b*cosh(d*x + c) + 2*((2*a + b)*cosh(d*x + c) +
b)*sinh(d*x + c) + 2*a + b)) - sqrt(a)*log(-(2*a^2*cosh(d*x + c)^4 + 2*a^2*sinh(d*x + c)^4 + 4*a*b*cosh(d*x +
c)^3 + 4*(2*a^2*cosh(d*x + c) + a*b)*sinh(d*x + c)^3 + 4*a*b*cosh(d*x + c) + (4*a^2 + b^2)*cosh(d*x + c)^2 +
(12*a^2*cosh(d*x + c)^2 + 12*a*b*cosh(d*x + c) + 4*a^2 + b^2)*sinh(d*x + c)^2 + 2*a^2 + 2*(a*cosh(d*x + c)^4 +
a*sinh(d*x + c)^4 + b*cosh(d*x + c)^3 + (4*a*cosh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c)^3 + 2*a*cosh(d*x + c)^2 + (6*a*
cosh(d*x + c)^2 + 3*b*cosh(d*x + c) + 2*a)*sinh(d*x + c)^2 + b*cosh(d*x + c) + (4*a*cosh(d*x + c)^3 + 3*b*cosh
(d*x + c)^2 + 4*a*cosh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c) + a)*sqrt(a)*sqrt((a*cosh(d*x + c) + b)/cosh(d*x + c)) + 2*
(4*a^2*cosh(d*x + c)^3 + 6*a*b*cosh(d*x + c)^2 + 2*a*b + (4*a^2 + b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))/(cosh(d*x
+ c)^2 + 2*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c) + sinh(d*x + c)^2)))/d, -1/2*(2*sqrt(-a)*arctan((cosh(d*x + c)^2 + 2*c
osh(d*x + c)*sinh(d*x + c) + sinh(d*x + c)^2 + 1)*sqrt(-a)*sqrt((a*cosh(d*x + c) + b)/cosh(d*x + c))/(a*cosh(d
*x + c)^2 + a*sinh(d*x + c)^2 + b*cosh(d*x + c) + (2*a*cosh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c) + a)) + sqrt(-a + b)*a
rctan(-2*(cosh(d*x + c)^2 + 2*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c) + sinh(d*x + c)^2 + 1)*sqrt(-a + b)*sqrt((a*cosh(d*x
+ c) + b)/cosh(d*x + c))/((2*a - b)*cosh(d*x + c)^2 + (2*a - b)*sinh(d*x + c)^2 + 2*b*cosh(d*x + c) + 2*((2*a
- b)*cosh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c) + 2*a - b)) - sqrt(-a - b)*arctan(2*(cosh(d*x + c)^2 + 2*cosh(d*x + c)*
sinh(d*x + c) + sinh(d*x + c)^2 + 1)*sqrt(-a - b)*sqrt((a*cosh(d*x + c) + b)/cosh(d*x + c))/((2*a + b)*cosh(d*
x + c)^2 + (2*a + b)*sinh(d*x + c)^2 + 2*b*cosh(d*x + c) + 2*((2*a + b)*cosh(d*x + c) + b)*sinh(d*x + c) + 2*a
+ b)))/d]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt{a + b \operatorname{sech}{\left (c + d x \right )}} \coth{\left (c + d x \right )}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(d*x+c)*(a+b*sech(d*x+c))**(1/2),x)

[Out]

Integral(sqrt(a + b*sech(c + d*x))*coth(c + d*x), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt{b \operatorname{sech}\left (d x + c\right ) + a} \coth \left (d x + c\right )\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(d*x+c)*(a+b*sech(d*x+c))^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(sqrt(b*sech(d*x + c) + a)*coth(d*x + c), x)