3.206 \(\int \frac{\coth ^3(x)}{\sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=105 \[ \frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{2 a+(b+2 c) \coth ^2(x)+b}{2 \sqrt{a+b+c} \sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )}{2 \sqrt{a+b+c}}-\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{b+2 c \coth ^2(x)}{2 \sqrt{c} \sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )}{2 \sqrt{c}} \]

[Out]

-ArcTanh[(b + 2*c*Coth[x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4])]/(2*Sqrt[c]) + ArcTanh[(2*a + b +
(b + 2*c)*Coth[x]^2)/(2*Sqrt[a + b + c]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4])]/(2*Sqrt[a + b + c])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.216574, antiderivative size = 105, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 6, integrand size = 23, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.261, Rules used = {3701, 1251, 843, 621, 206, 724} \[ \frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{2 a+(b+2 c) \coth ^2(x)+b}{2 \sqrt{a+b+c} \sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )}{2 \sqrt{a+b+c}}-\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{b+2 c \coth ^2(x)}{2 \sqrt{c} \sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )}{2 \sqrt{c}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Coth[x]^3/Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4],x]

[Out]

-ArcTanh[(b + 2*c*Coth[x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4])]/(2*Sqrt[c]) + ArcTanh[(2*a + b +
(b + 2*c)*Coth[x]^2)/(2*Sqrt[a + b + c]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4])]/(2*Sqrt[a + b + c])

Rule 3701

Int[cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(f_.))^(n_.) + (c_.)*(cot[(d_.) + (e
_.)*(x_)]*(f_.))^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> -Dist[f/e, Subst[Int[((x/f)^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p)/(f^2 + x^
2), x], x, f*Cot[d + e*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

Rule 1251

Int[(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Dist[1/2,
Subst[Int[x^((m - 1)/2)*(d + e*x)^q*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x, x^2], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p, q}, x] &&
IntegerQ[(m - 1)/2]

Rule 843

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Dis
t[g/e, Int[(d + e*x)^(m + 1)*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] + Dist[(e*f - d*g)/e, Int[(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^
2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0]
&&  !IGtQ[m, 0]

Rule 621

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Dist[2, Subst[Int[1/(4*c - x^2), x], x, (b + 2*c*x)
/Sqrt[a + b*x + c*x^2]], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 724

Int[1/(((d_.) + (e_.)*(x_))*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Dist[-2, Subst[Int[1/(4*c*d
^2 - 4*b*d*e + 4*a*e^2 - x^2), x], x, (2*a*e - b*d - (2*c*d - b*e)*x)/Sqrt[a + b*x + c*x^2]], x] /; FreeQ[{a,
b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[2*c*d - b*e, 0]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\coth ^3(x)}{\sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}} \, dx &=\operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^3}{\left (1+x^2\right ) \sqrt{a-b x^2+c x^4}} \, dx,x,-i \coth (x)\right )\\ &=\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{x}{(1+x) \sqrt{a-b x+c x^2}} \, dx,x,-\coth ^2(x)\right )\\ &=\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\sqrt{a-b x+c x^2}} \, dx,x,-\coth ^2(x)\right )-\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(1+x) \sqrt{a-b x+c x^2}} \, dx,x,-\coth ^2(x)\right )\\ &=\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{4 c-x^2} \, dx,x,\frac{-b-2 c \coth ^2(x)}{\sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )+\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{4 a+4 b+4 c-x^2} \, dx,x,\frac{2 a+b+(b+2 c) \coth ^2(x)}{\sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )\\ &=\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{-b-2 c \coth ^2(x)}{2 \sqrt{c} \sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )}{2 \sqrt{c}}+\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{2 a+b+(b+2 c) \coth ^2(x)}{2 \sqrt{a+b+c} \sqrt{a+b \coth ^2(x)+c \coth ^4(x)}}\right )}{2 \sqrt{a+b+c}}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 25.8231, size = 199, normalized size = 1.9 \[ \frac{\text{csch}^2(x) \sqrt{\cosh (4 x) (a+b+c)-4 (a-c) \cosh (2 x)+3 a-b+3 c} \left (\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\cosh (2 x) (a+b+c)-a+c}{2 \sqrt{a+b+c} \sqrt{\sinh ^4(x) (a+b+c)+(b+2 c) \sinh ^2(x)+c}}\right )}{\sqrt{a+b+c}}-\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{(b+2 c) \sinh ^2(x)+2 c}{2 \sqrt{c} \sqrt{\sinh ^4(x) (a+b+c)+(b+2 c) \sinh ^2(x)+c}}\right )}{\sqrt{c}}\right )}{2 \sqrt{\text{csch}^4(x) (\cosh (4 x) (a+b+c)-4 (a-c) \cosh (2 x)+3 a-b+3 c)}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Coth[x]^3/Sqrt[a + b*Coth[x]^2 + c*Coth[x]^4],x]

[Out]

((ArcTanh[(-a + c + (a + b + c)*Cosh[2*x])/(2*Sqrt[a + b + c]*Sqrt[c + (b + 2*c)*Sinh[x]^2 + (a + b + c)*Sinh[
x]^4])]/Sqrt[a + b + c] - ArcTanh[(2*c + (b + 2*c)*Sinh[x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[c + (b + 2*c)*Sinh[x]^2 + (a + b
+ c)*Sinh[x]^4])]/Sqrt[c])*Sqrt[3*a - b + 3*c - 4*(a - c)*Cosh[2*x] + (a + b + c)*Cosh[4*x]]*Csch[x]^2)/(2*Sq
rt[(3*a - b + 3*c - 4*(a - c)*Cosh[2*x] + (a + b + c)*Cosh[4*x])*Csch[x]^4])

________________________________________________________________________________________

Maple [A]  time = 0.063, size = 90, normalized size = 0.9 \begin{align*} -{\frac{1}{2}\ln \left ({ \left ({\frac{b}{2}}+c \left ({\rm coth} \left (x\right ) \right ) ^{2} \right ){\frac{1}{\sqrt{c}}}}+\sqrt{a+b \left ({\rm coth} \left (x\right ) \right ) ^{2}+c \left ({\rm coth} \left (x\right ) \right ) ^{4}} \right ){\frac{1}{\sqrt{c}}}}+{\frac{1}{2}{\it Artanh} \left ({\frac{b \left ({\rm coth} \left (x\right ) \right ) ^{2}+2\,c \left ({\rm coth} \left (x\right ) \right ) ^{2}+2\,a+b}{2}{\frac{1}{\sqrt{a+b+c}}}{\frac{1}{\sqrt{a+b \left ({\rm coth} \left (x\right ) \right ) ^{2}+c \left ({\rm coth} \left (x\right ) \right ) ^{4}}}}} \right ){\frac{1}{\sqrt{a+b+c}}}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(coth(x)^3/(a+b*coth(x)^2+c*coth(x)^4)^(1/2),x)

[Out]

-1/2*ln((1/2*b+c*coth(x)^2)/c^(1/2)+(a+b*coth(x)^2+c*coth(x)^4)^(1/2))/c^(1/2)+1/2/(a+b+c)^(1/2)*arctanh(1/2*(
b*coth(x)^2+2*c*coth(x)^2+2*a+b)/(a+b+c)^(1/2)/(a+b*coth(x)^2+c*coth(x)^4)^(1/2))

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\coth \left (x\right )^{3}}{\sqrt{c \coth \left (x\right )^{4} + b \coth \left (x\right )^{2} + a}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)^3/(a+b*coth(x)^2+c*coth(x)^4)^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(coth(x)^3/sqrt(c*coth(x)^4 + b*coth(x)^2 + a), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 14.5732, size = 18436, normalized size = 175.58 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)^3/(a+b*coth(x)^2+c*coth(x)^4)^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*((a + b + c)*sqrt(c)*log(((b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2)*cosh(x)^8 + 8*(b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2)*cosh(
x)*sinh(x)^7 + (b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2)*sinh(x)^8 - 4*(b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(b^2 + 4*(a
+ 2*b)*c + 8*c^2)*cosh(x)^2 - b^2 - 4*a*c + 8*c^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2)*cosh(x)^3 -
3*(b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*b^2 + 4*(3*a - 2*b)*c + 24*c^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(b^2 + 4*(
a + 2*b)*c + 8*c^2)*cosh(x)^4 - 30*(b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*cosh(x)^2 + 3*b^2 + 4*(3*a - 2*b)*c + 24*c^2)*sinh(x)
^4 + 8*(7*(b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2)*cosh(x)^5 - 10*(b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*cosh(x)^3 + (3*b^2 + 4*(3*a - 2*b
)*c + 24*c^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 4*(b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2)*cosh
(x)^6 - 15*(b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*cosh(x)^4 + 3*(3*b^2 + 4*(3*a - 2*b)*c + 24*c^2)*cosh(x)^2 - b^2 - 4*a*c + 8*
c^2)*sinh(x)^2 - 4*sqrt(2)*((b + 2*c)*cosh(x)^4 + 4*(b + 2*c)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (b + 2*c)*sinh(x)^4 - 2*(b -
2*c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(b + 2*c)*cosh(x)^2 - b + 2*c)*sinh(x)^2 + 4*((b + 2*c)*cosh(x)^3 - (b - 2*c)*cosh(x))*
sinh(x) + b + 2*c)*sqrt(c)*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a
+ b + c)*cosh(x)^2 - 2*a + 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sin
h(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)) + b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2 + 8*((b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2)*co
sh(x)^7 - 3*(b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*cosh(x)^5 + (3*b^2 + 4*(3*a - 2*b)*c + 24*c^2)*cosh(x)^3 - (b^2 + 4*a*c - 8*
c^2)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^8 + 8*cosh(x)*sinh(x)^7 + sinh(x)^8 + 4*(7*cosh(x)^2 - 1)*sinh(x)^6 - 4*cosh(x
)^6 + 8*(7*cosh(x)^3 - 3*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*cosh(x)^4 - 30*cosh(x)^2 + 3)*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)^4 + 8*
(7*cosh(x)^5 - 10*cosh(x)^3 + 3*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*cosh(x)^6 - 15*cosh(x)^4 + 9*cosh(x)^2 - 1)*sinh(x)^
2 - 4*cosh(x)^2 + 8*(cosh(x)^7 - 3*cosh(x)^5 + 3*cosh(x)^3 - cosh(x))*sinh(x) + 1)) + sqrt(a + b + c)*c*log(((
a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)*sinh(x)^7
+ (a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*sinh(x)^8 - 4*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b
+ b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^2 - a^2 - a*b + b*c + c^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)
*c + c^2)*cosh(x)^3 - 3*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*c
osh(x)^4 + 2*(35*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^4 - 30*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^2 + 3*
a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^5 - 10*(a^
2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 4*(a^2 + a*b - b*c
- c^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^6 - 15*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x
)^4 + 3*(3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^2 - a^2 - a*b + b*c + c^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*((a + b +
c)*cosh(x)^4 + 4*(a + b + c)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 2*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b +
c)*cosh(x)^2 - a + c)*sinh(x)^2 + 4*((a + b + c)*cosh(x)^3 - (a - c)*cosh(x))*sinh(x) + a + b + c)*sqrt(a + b
+ c)*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 -
2*a + 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sin
h(x)^3 + sinh(x)^4)) + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2 + 8*((a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh
(x)^7 - 3*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^5 + (3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^3 - (a^2 + a*b - b
*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + s
inh(x)^4)))/((a + b)*c + c^2), -1/4*(2*sqrt(-a - b - c)*c*arctan(sqrt(2)*((a + b + c)*cosh(x)^4 + 4*(a + b + c
)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 2*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 - a + c)*sinh(x
)^2 + 4*((a + b + c)*cosh(x)^3 - (a - c)*cosh(x))*sinh(x) + a + b + c)*sqrt(-a - b - c)*sqrt(((a + b + c)*cosh
(x)^4 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 - 2*a + 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a
- b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4))/((a^2
+ 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (
a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*sinh(x)^8 - 4*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b
^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^2 - a^2 - a*b + b*c + c^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c +
c^2)*cosh(x)^3 - 3*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^
2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^4 - 30*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^2
+ 3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x
)^5 - 10*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x))*sinh(x)^3
- 4*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^6 - 15*(a^2 + a*b
- b*c - c^2)*cosh(x)^4 + 3*(3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^2 - a^2 - a*b + b*c + c^2)*s
inh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2 + 8*((a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^7 - 3*(a
^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^5 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^3 - (a^2 + a*b - b*c -
c^2)*cosh(x))*sinh(x))) - (a + b + c)*sqrt(c)*log(((b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2)*cosh(x)^8 + 8*(b^2 + 4*(a +
2*b)*c + 8*c^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2)*sinh(x)^8 - 4*(b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*cosh(x)^
6 + 4*(7*(b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2)*cosh(x)^2 - b^2 - 4*a*c + 8*c^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(b^2 + 4*(a + 2*b)*c
+ 8*c^2)*cosh(x)^3 - 3*(b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*b^2 + 4*(3*a - 2*b)*c + 24*c^2)*cosh(x)
^4 + 2*(35*(b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2)*cosh(x)^4 - 30*(b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*cosh(x)^2 + 3*b^2 + 4*(3*a - 2*b
)*c + 24*c^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2)*cosh(x)^5 - 10*(b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*cosh(x)^3 +
(3*b^2 + 4*(3*a - 2*b)*c + 24*c^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 4*(b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(b^2 + 4*(a +
2*b)*c + 8*c^2)*cosh(x)^6 - 15*(b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*cosh(x)^4 + 3*(3*b^2 + 4*(3*a - 2*b)*c + 24*c^2)*cosh(x)
^2 - b^2 - 4*a*c + 8*c^2)*sinh(x)^2 - 4*sqrt(2)*((b + 2*c)*cosh(x)^4 + 4*(b + 2*c)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (b + 2*
c)*sinh(x)^4 - 2*(b - 2*c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(b + 2*c)*cosh(x)^2 - b + 2*c)*sinh(x)^2 + 4*((b + 2*c)*cosh(x)^3
- (b - 2*c)*cosh(x))*sinh(x) + b + 2*c)*sqrt(c)*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 4*(a - c
)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 - 2*a + 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh
(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)) + b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2 + 8*((b^2 + 4*(a
+ 2*b)*c + 8*c^2)*cosh(x)^7 - 3*(b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*cosh(x)^5 + (3*b^2 + 4*(3*a - 2*b)*c + 24*c^2)*cosh(x)^
3 - (b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^8 + 8*cosh(x)*sinh(x)^7 + sinh(x)^8 + 4*(7*cosh(x)^2 - 1)
*sinh(x)^6 - 4*cosh(x)^6 + 8*(7*cosh(x)^3 - 3*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*cosh(x)^4 - 30*cosh(x)^2 + 3)*sinh(x)
^4 + 6*cosh(x)^4 + 8*(7*cosh(x)^5 - 10*cosh(x)^3 + 3*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*cosh(x)^6 - 15*cosh(x)^4 + 9*co
sh(x)^2 - 1)*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)^2 + 8*(cosh(x)^7 - 3*cosh(x)^5 + 3*cosh(x)^3 - cosh(x))*sinh(x) + 1)))/((a
+ b)*c + c^2), 1/4*(2*(a + b + c)*sqrt(-c)*arctan(1/2*sqrt(2)*((b + 2*c)*cosh(x)^4 + 4*(b + 2*c)*cosh(x)*sinh(
x)^3 + (b + 2*c)*sinh(x)^4 - 2*(b - 2*c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(b + 2*c)*cosh(x)^2 - b + 2*c)*sinh(x)^2 + 4*((b + 2
*c)*cosh(x)^3 - (b - 2*c)*cosh(x))*sinh(x) + b + 2*c)*sqrt(-c)*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b + c)*sinh(
x)^4 - 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 - 2*a + 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4
*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4))/(((a + b)*c + c^2)*cosh(x)^8 +
8*((a + b)*c + c^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + ((a + b)*c + c^2)*sinh(x)^8 - 4*(a*c - c^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*((a + b)*
c + c^2)*cosh(x)^2 - a*c + c^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*((a + b)*c + c^2)*cosh(x)^3 - 3*(a*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x)^
5 + 2*((3*a - b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*((a + b)*c + c^2)*cosh(x)^4 - 30*(a*c - c^2)*cosh(x)^2 + (3*a -
b)*c + 3*c^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*((a + b)*c + c^2)*cosh(x)^5 - 10*(a*c - c^2)*cosh(x)^3 + ((3*a - b)*c + 3*c^2)*
cosh(x))*sinh(x)^3 - 4*(a*c - c^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*((a + b)*c + c^2)*cosh(x)^6 - 15*(a*c - c^2)*cosh(x)^4 + 3
*((3*a - b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^2 - a*c + c^2)*sinh(x)^2 + (a + b)*c + c^2 + 8*(((a + b)*c + c^2)*cosh(x)^7 - 3
*(a*c - c^2)*cosh(x)^5 + ((3*a - b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^3 - (a*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x))) + sqrt(a + b + c)*c*
log(((a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)*sin
h(x)^7 + (a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*sinh(x)^8 - 4*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(a^2 +
2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^2 - a^2 - a*b + b*c + c^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(
a + b)*c + c^2)*cosh(x)^3 - 3*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*
c^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^4 - 30*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^
2 + 3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^5 -
10*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 4*(a^2 + a*b
- b*c - c^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^6 - 15*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*
cosh(x)^4 + 3*(3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^2 - a^2 - a*b + b*c + c^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*((a
+ b + c)*cosh(x)^4 + 4*(a + b + c)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 2*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a
+ b + c)*cosh(x)^2 - a + c)*sinh(x)^2 + 4*((a + b + c)*cosh(x)^3 - (a - c)*cosh(x))*sinh(x) + a + b + c)*sqrt(
a + b + c)*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x
)^2 - 2*a + 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(
x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)) + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2 + 8*((a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2
)*cosh(x)^7 - 3*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^5 + (3*a^2 + 2*a*b + 2*(a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^3 - (a^2 + a
*b - b*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 + 4*cosh(x)*sinh(x)
^3 + sinh(x)^4)))/((a + b)*c + c^2), -1/2*(sqrt(-a - b - c)*c*arctan(sqrt(2)*((a + b + c)*cosh(x)^4 + 4*(a + b
+ c)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 2*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 - a + c)*si
nh(x)^2 + 4*((a + b + c)*cosh(x)^3 - (a - c)*cosh(x))*sinh(x) + a + b + c)*sqrt(-a - b - c)*sqrt(((a + b + c)*
cosh(x)^4 + (a + b + c)*sinh(x)^4 - 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 - 2*a + 2*c)*sinh(x)^2 +
3*a - b + 3*c)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4))/((
a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)*sinh(x)^7
+ (a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*sinh(x)^8 - 4*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b
+ b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^2 - a^2 - a*b + b*c + c^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)
*c + c^2)*cosh(x)^3 - 3*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c +
3*c^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^4 - 30*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x
)^2 + 3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*co
sh(x)^5 - 10*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x))*sinh(x
)^3 - 4*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^6 - 15*(a^2 +
a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^4 + 3*(3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^2 - a^2 - a*b + b*c + c^
2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2 + 8*((a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(a + b)*c + c^2)*cosh(x)^7 -
3*(a^2 + a*b - b*c - c^2)*cosh(x)^5 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2 + 2*(3*a + b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^3 - (a^2 + a*b - b
*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x))) - (a + b + c)*sqrt(-c)*arctan(1/2*sqrt(2)*((b + 2*c)*cosh(x)^4 + 4*(b + 2*c)*cosh
(x)*sinh(x)^3 + (b + 2*c)*sinh(x)^4 - 2*(b - 2*c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(b + 2*c)*cosh(x)^2 - b + 2*c)*sinh(x)^2 +
4*((b + 2*c)*cosh(x)^3 - (b - 2*c)*cosh(x))*sinh(x) + b + 2*c)*sqrt(-c)*sqrt(((a + b + c)*cosh(x)^4 + (a + b +
c)*sinh(x)^4 - 4*(a - c)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b + c)*cosh(x)^2 - 2*a + 2*c)*sinh(x)^2 + 3*a - b + 3*c)/(cosh
(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4))/(((a + b)*c + c^2)*cos
h(x)^8 + 8*((a + b)*c + c^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + ((a + b)*c + c^2)*sinh(x)^8 - 4*(a*c - c^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*
((a + b)*c + c^2)*cosh(x)^2 - a*c + c^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*((a + b)*c + c^2)*cosh(x)^3 - 3*(a*c - c^2)*cosh(x))
*sinh(x)^5 + 2*((3*a - b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*((a + b)*c + c^2)*cosh(x)^4 - 30*(a*c - c^2)*cosh(x)^2
+ (3*a - b)*c + 3*c^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*((a + b)*c + c^2)*cosh(x)^5 - 10*(a*c - c^2)*cosh(x)^3 + ((3*a - b)*c
+ 3*c^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 4*(a*c - c^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*((a + b)*c + c^2)*cosh(x)^6 - 15*(a*c - c^2)*cosh
(x)^4 + 3*((3*a - b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^2 - a*c + c^2)*sinh(x)^2 + (a + b)*c + c^2 + 8*(((a + b)*c + c^2)*cosh
(x)^7 - 3*(a*c - c^2)*cosh(x)^5 + ((3*a - b)*c + 3*c^2)*cosh(x)^3 - (a*c - c^2)*cosh(x))*sinh(x))))/((a + b)*c
+ c^2)]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\coth ^{3}{\left (x \right )}}{\sqrt{a + b \coth ^{2}{\left (x \right )} + c \coth ^{4}{\left (x \right )}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)**3/(a+b*coth(x)**2+c*coth(x)**4)**(1/2),x)

[Out]

Integral(coth(x)**3/sqrt(a + b*coth(x)**2 + c*coth(x)**4), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)^3/(a+b*coth(x)^2+c*coth(x)^4)^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out