3.98 \(\int x^2 \tan ^{-1}(c+d \coth (a+b x)) \, dx\)

Optimal. Leaf size=351 \[ -\frac{i x \text{PolyLog}\left (3,\frac{(-c-d+i) e^{2 a+2 b x}}{-c+d+i}\right )}{4 b^2}+\frac{i x \text{PolyLog}\left (3,\frac{(c+d+i) e^{2 a+2 b x}}{c-d+i}\right )}{4 b^2}+\frac{i \text{PolyLog}\left (4,\frac{(-c-d+i) e^{2 a+2 b x}}{-c+d+i}\right )}{8 b^3}-\frac{i \text{PolyLog}\left (4,\frac{(c+d+i) e^{2 a+2 b x}}{c-d+i}\right )}{8 b^3}+\frac{i x^2 \text{PolyLog}\left (2,\frac{(-c-d+i) e^{2 a+2 b x}}{-c+d+i}\right )}{4 b}-\frac{i x^2 \text{PolyLog}\left (2,\frac{(c+d+i) e^{2 a+2 b x}}{c-d+i}\right )}{4 b}+\frac{1}{6} i x^3 \log \left (1-\frac{(-c-d+i) e^{2 a+2 b x}}{-c+d+i}\right )-\frac{1}{6} i x^3 \log \left (1-\frac{(c+d+i) e^{2 a+2 b x}}{c-d+i}\right )+\frac{1}{3} x^3 \tan ^{-1}(d \coth (a+b x)+c) \]

[Out]

(x^3*ArcTan[c + d*Coth[a + b*x]])/3 + (I/6)*x^3*Log[1 - ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)] - (I/6)*x^3
*Log[1 - ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)] + ((I/4)*x^2*PolyLog[2, ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I -
c + d)])/b - ((I/4)*x^2*PolyLog[2, ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)])/b - ((I/4)*x*PolyLog[3, ((I -
c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)])/b^2 + ((I/4)*x*PolyLog[3, ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)])/b^
2 + ((I/8)*PolyLog[4, ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)])/b^3 - ((I/8)*PolyLog[4, ((I + c + d)*E^(2*a
+ 2*b*x))/(I + c - d)])/b^3

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.464925, antiderivative size = 351, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 11, number of rules used = 6, integrand size = 15, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.4, Rules used = {5201, 2190, 2531, 6609, 2282, 6589} \[ -\frac{i x \text{PolyLog}\left (3,\frac{(-c-d+i) e^{2 a+2 b x}}{-c+d+i}\right )}{4 b^2}+\frac{i x \text{PolyLog}\left (3,\frac{(c+d+i) e^{2 a+2 b x}}{c-d+i}\right )}{4 b^2}+\frac{i \text{PolyLog}\left (4,\frac{(-c-d+i) e^{2 a+2 b x}}{-c+d+i}\right )}{8 b^3}-\frac{i \text{PolyLog}\left (4,\frac{(c+d+i) e^{2 a+2 b x}}{c-d+i}\right )}{8 b^3}+\frac{i x^2 \text{PolyLog}\left (2,\frac{(-c-d+i) e^{2 a+2 b x}}{-c+d+i}\right )}{4 b}-\frac{i x^2 \text{PolyLog}\left (2,\frac{(c+d+i) e^{2 a+2 b x}}{c-d+i}\right )}{4 b}+\frac{1}{6} i x^3 \log \left (1-\frac{(-c-d+i) e^{2 a+2 b x}}{-c+d+i}\right )-\frac{1}{6} i x^3 \log \left (1-\frac{(c+d+i) e^{2 a+2 b x}}{c-d+i}\right )+\frac{1}{3} x^3 \tan ^{-1}(d \coth (a+b x)+c) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[x^2*ArcTan[c + d*Coth[a + b*x]],x]

[Out]

(x^3*ArcTan[c + d*Coth[a + b*x]])/3 + (I/6)*x^3*Log[1 - ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)] - (I/6)*x^3
*Log[1 - ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)] + ((I/4)*x^2*PolyLog[2, ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I -
c + d)])/b - ((I/4)*x^2*PolyLog[2, ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)])/b - ((I/4)*x*PolyLog[3, ((I -
c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)])/b^2 + ((I/4)*x*PolyLog[3, ((I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d)])/b^
2 + ((I/8)*PolyLog[4, ((I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d)])/b^3 - ((I/8)*PolyLog[4, ((I + c + d)*E^(2*a
+ 2*b*x))/(I + c - d)])/b^3

Rule 5201

Int[ArcTan[(c_.) + Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[((e + f*x)^(m
+ 1)*ArcTan[c + d*Coth[a + b*x]])/(f*(m + 1)), x] + (-Dist[(I*b*(I - c - d))/(f*(m + 1)), Int[((e + f*x)^(m +
1)*E^(2*a + 2*b*x))/(I - c + d - (I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x)), x], x] + Dist[(I*b*(I + c + d))/(f*(m + 1)), I
nt[((e + f*x)^(m + 1)*E^(2*a + 2*b*x))/(I + c - d - (I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x)), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d
, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[(c - d)^2, -1]

Rule 2190

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(b*f*g*n*Log[F]), x]
- Dist[(d*m)/(b*f*g*n*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 6609

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[((e + f*x)^m*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]), x] - Dist[(f*m)/(b*c*p*Log[F]), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rubi steps

\begin{align*} \int x^2 \tan ^{-1}(c+d \coth (a+b x)) \, dx &=\frac{1}{3} x^3 \tan ^{-1}(c+d \coth (a+b x))-\frac{1}{3} (b (1-i (c+d))) \int \frac{e^{2 a+2 b x} x^3}{i+c-d+(-i-c-d) e^{2 a+2 b x}} \, dx+\frac{1}{3} (b (1+i (c+d))) \int \frac{e^{2 a+2 b x} x^3}{i-c+d+(-i+c+d) e^{2 a+2 b x}} \, dx\\ &=\frac{1}{3} x^3 \tan ^{-1}(c+d \coth (a+b x))+\frac{1}{6} i x^3 \log \left (1-\frac{(i-c-d) e^{2 a+2 b x}}{i-c+d}\right )-\frac{1}{6} i x^3 \log \left (1-\frac{(i+c+d) e^{2 a+2 b x}}{i+c-d}\right )+\frac{1}{2} i \int x^2 \log \left (1+\frac{(-i-c-d) e^{2 a+2 b x}}{i+c-d}\right ) \, dx-\frac{1}{2} i \int x^2 \log \left (1+\frac{(-i+c+d) e^{2 a+2 b x}}{i-c+d}\right ) \, dx\\ &=\frac{1}{3} x^3 \tan ^{-1}(c+d \coth (a+b x))+\frac{1}{6} i x^3 \log \left (1-\frac{(i-c-d) e^{2 a+2 b x}}{i-c+d}\right )-\frac{1}{6} i x^3 \log \left (1-\frac{(i+c+d) e^{2 a+2 b x}}{i+c-d}\right )+\frac{i x^2 \text{Li}_2\left (\frac{(i-c-d) e^{2 a+2 b x}}{i-c+d}\right )}{4 b}-\frac{i x^2 \text{Li}_2\left (\frac{(i+c+d) e^{2 a+2 b x}}{i+c-d}\right )}{4 b}+\frac{i \int x \text{Li}_2\left (-\frac{(-i-c-d) e^{2 a+2 b x}}{i+c-d}\right ) \, dx}{2 b}-\frac{i \int x \text{Li}_2\left (-\frac{(-i+c+d) e^{2 a+2 b x}}{i-c+d}\right ) \, dx}{2 b}\\ &=\frac{1}{3} x^3 \tan ^{-1}(c+d \coth (a+b x))+\frac{1}{6} i x^3 \log \left (1-\frac{(i-c-d) e^{2 a+2 b x}}{i-c+d}\right )-\frac{1}{6} i x^3 \log \left (1-\frac{(i+c+d) e^{2 a+2 b x}}{i+c-d}\right )+\frac{i x^2 \text{Li}_2\left (\frac{(i-c-d) e^{2 a+2 b x}}{i-c+d}\right )}{4 b}-\frac{i x^2 \text{Li}_2\left (\frac{(i+c+d) e^{2 a+2 b x}}{i+c-d}\right )}{4 b}-\frac{i x \text{Li}_3\left (\frac{(i-c-d) e^{2 a+2 b x}}{i-c+d}\right )}{4 b^2}+\frac{i x \text{Li}_3\left (\frac{(i+c+d) e^{2 a+2 b x}}{i+c-d}\right )}{4 b^2}-\frac{i \int \text{Li}_3\left (-\frac{(-i-c-d) e^{2 a+2 b x}}{i+c-d}\right ) \, dx}{4 b^2}+\frac{i \int \text{Li}_3\left (-\frac{(-i+c+d) e^{2 a+2 b x}}{i-c+d}\right ) \, dx}{4 b^2}\\ &=\frac{1}{3} x^3 \tan ^{-1}(c+d \coth (a+b x))+\frac{1}{6} i x^3 \log \left (1-\frac{(i-c-d) e^{2 a+2 b x}}{i-c+d}\right )-\frac{1}{6} i x^3 \log \left (1-\frac{(i+c+d) e^{2 a+2 b x}}{i+c-d}\right )+\frac{i x^2 \text{Li}_2\left (\frac{(i-c-d) e^{2 a+2 b x}}{i-c+d}\right )}{4 b}-\frac{i x^2 \text{Li}_2\left (\frac{(i+c+d) e^{2 a+2 b x}}{i+c-d}\right )}{4 b}-\frac{i x \text{Li}_3\left (\frac{(i-c-d) e^{2 a+2 b x}}{i-c+d}\right )}{4 b^2}+\frac{i x \text{Li}_3\left (\frac{(i+c+d) e^{2 a+2 b x}}{i+c-d}\right )}{4 b^2}+\frac{i \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3\left (\frac{(-i+c+d) x}{-i+c-d}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 a+2 b x}\right )}{8 b^3}-\frac{i \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3\left (\frac{(i+c+d) x}{i+c-d}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 a+2 b x}\right )}{8 b^3}\\ &=\frac{1}{3} x^3 \tan ^{-1}(c+d \coth (a+b x))+\frac{1}{6} i x^3 \log \left (1-\frac{(i-c-d) e^{2 a+2 b x}}{i-c+d}\right )-\frac{1}{6} i x^3 \log \left (1-\frac{(i+c+d) e^{2 a+2 b x}}{i+c-d}\right )+\frac{i x^2 \text{Li}_2\left (\frac{(i-c-d) e^{2 a+2 b x}}{i-c+d}\right )}{4 b}-\frac{i x^2 \text{Li}_2\left (\frac{(i+c+d) e^{2 a+2 b x}}{i+c-d}\right )}{4 b}-\frac{i x \text{Li}_3\left (\frac{(i-c-d) e^{2 a+2 b x}}{i-c+d}\right )}{4 b^2}+\frac{i x \text{Li}_3\left (\frac{(i+c+d) e^{2 a+2 b x}}{i+c-d}\right )}{4 b^2}+\frac{i \text{Li}_4\left (\frac{(i-c-d) e^{2 a+2 b x}}{i-c+d}\right )}{8 b^3}-\frac{i \text{Li}_4\left (\frac{(i+c+d) e^{2 a+2 b x}}{i+c-d}\right )}{8 b^3}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 5.47724, size = 299, normalized size = 0.85 \[ \frac{1}{3} x^3 \tan ^{-1}(d \coth (a+b x)+c)+\frac{i \left (6 b^2 x^2 \text{PolyLog}\left (2,\frac{(c+d-i) e^{2 (a+b x)}}{c-d-i}\right )-6 b^2 x^2 \text{PolyLog}\left (2,\frac{(c+d+i) e^{2 (a+b x)}}{c-d+i}\right )-6 b x \text{PolyLog}\left (3,\frac{(c+d-i) e^{2 (a+b x)}}{c-d-i}\right )+6 b x \text{PolyLog}\left (3,\frac{(c+d+i) e^{2 (a+b x)}}{c-d+i}\right )+3 \text{PolyLog}\left (4,\frac{(c+d-i) e^{2 (a+b x)}}{c-d-i}\right )-3 \text{PolyLog}\left (4,\frac{(c+d+i) e^{2 (a+b x)}}{c-d+i}\right )+4 b^3 x^3 \log \left (1+\frac{(c+d-i) e^{2 (a+b x)}}{-c+d+i}\right )-4 b^3 x^3 \log \left (1+\frac{(c+d+i) e^{2 (a+b x)}}{-c+d-i}\right )\right )}{24 b^3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[x^2*ArcTan[c + d*Coth[a + b*x]],x]

[Out]

(x^3*ArcTan[c + d*Coth[a + b*x]])/3 + ((I/24)*(4*b^3*x^3*Log[1 + ((-I + c + d)*E^(2*(a + b*x)))/(I - c + d)] -
4*b^3*x^3*Log[1 + ((I + c + d)*E^(2*(a + b*x)))/(-I - c + d)] + 6*b^2*x^2*PolyLog[2, ((-I + c + d)*E^(2*(a +
b*x)))/(-I + c - d)] - 6*b^2*x^2*PolyLog[2, ((I + c + d)*E^(2*(a + b*x)))/(I + c - d)] - 6*b*x*PolyLog[3, ((-I
+ c + d)*E^(2*(a + b*x)))/(-I + c - d)] + 6*b*x*PolyLog[3, ((I + c + d)*E^(2*(a + b*x)))/(I + c - d)] + 3*Pol
yLog[4, ((-I + c + d)*E^(2*(a + b*x)))/(-I + c - d)] - 3*PolyLog[4, ((I + c + d)*E^(2*(a + b*x)))/(I + c - d)]
))/b^3

________________________________________________________________________________________

Maple [C]  time = 5.885, size = 6909, normalized size = 19.7 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(x^2*arctan(c+d*coth(b*x+a)),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \frac{1}{3} \, x^{3} \arctan \left ({\left (c e^{\left (2 \, a\right )} + d e^{\left (2 \, a\right )}\right )} e^{\left (2 \, b x\right )} - c + d, e^{\left (2 \, b x + 2 \, a\right )} - 1\right ) + 4 \, b d \int \frac{x^{3} e^{\left (2 \, b x + 2 \, a\right )}}{3 \,{\left (c^{2} - 2 \, c d + d^{2} +{\left (c^{2} e^{\left (4 \, a\right )} + 2 \, c d e^{\left (4 \, a\right )} + d^{2} e^{\left (4 \, a\right )} + e^{\left (4 \, a\right )}\right )} e^{\left (4 \, b x\right )} - 2 \,{\left (c^{2} e^{\left (2 \, a\right )} - d^{2} e^{\left (2 \, a\right )} + e^{\left (2 \, a\right )}\right )} e^{\left (2 \, b x\right )} + 1\right )}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^2*arctan(c+d*coth(b*x+a)),x, algorithm="maxima")

[Out]

1/3*x^3*arctan2((c*e^(2*a) + d*e^(2*a))*e^(2*b*x) - c + d, e^(2*b*x + 2*a) - 1) + 4*b*d*integrate(1/3*x^3*e^(2
*b*x + 2*a)/(c^2 - 2*c*d + d^2 + (c^2*e^(4*a) + 2*c*d*e^(4*a) + d^2*e^(4*a) + e^(4*a))*e^(4*b*x) - 2*(c^2*e^(2
*a) - d^2*e^(2*a) + e^(2*a))*e^(2*b*x) + 1), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 3.26848, size = 3614, normalized size = 10.3 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^2*arctan(c+d*coth(b*x+a)),x, algorithm="fricas")

[Out]

1/6*(2*b^3*x^3*arctan((d*cosh(b*x + a) + c*sinh(b*x + a))/sinh(b*x + a)) + 3*I*b^2*x^2*dilog(1/2*sqrt((4*c^2 -
4*d^2 + 8*I*d + 4)/(c^2 - 2*c*d + d^2 + 1))*(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a))) + 3*I*b^2*x^2*dilog(-1/2*sqrt((4
*c^2 - 4*d^2 + 8*I*d + 4)/(c^2 - 2*c*d + d^2 + 1))*(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a))) - 3*I*b^2*x^2*dilog(1/2*sq
rt((4*c^2 - 4*d^2 - 8*I*d + 4)/(c^2 - 2*c*d + d^2 + 1))*(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a))) - 3*I*b^2*x^2*dilog(-
1/2*sqrt((4*c^2 - 4*d^2 - 8*I*d + 4)/(c^2 - 2*c*d + d^2 + 1))*(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a))) - I*a^3*log(2*(
c^2 + 2*c*d + d^2 + 1)*cosh(b*x + a) + 2*(c^2 + 2*c*d + d^2 + 1)*sinh(b*x + a) + (c^2 - d^2 - 2*I*d + 1)*sqrt(
(4*c^2 - 4*d^2 + 8*I*d + 4)/(c^2 - 2*c*d + d^2 + 1))) - I*a^3*log(2*(c^2 + 2*c*d + d^2 + 1)*cosh(b*x + a) + 2*
(c^2 + 2*c*d + d^2 + 1)*sinh(b*x + a) - (c^2 - d^2 - 2*I*d + 1)*sqrt((4*c^2 - 4*d^2 + 8*I*d + 4)/(c^2 - 2*c*d
+ d^2 + 1))) + I*a^3*log(2*(c^2 + 2*c*d + d^2 + 1)*cosh(b*x + a) + 2*(c^2 + 2*c*d + d^2 + 1)*sinh(b*x + a) + (
c^2 - d^2 + 2*I*d + 1)*sqrt((4*c^2 - 4*d^2 - 8*I*d + 4)/(c^2 - 2*c*d + d^2 + 1))) + I*a^3*log(2*(c^2 + 2*c*d +
d^2 + 1)*cosh(b*x + a) + 2*(c^2 + 2*c*d + d^2 + 1)*sinh(b*x + a) - (c^2 - d^2 + 2*I*d + 1)*sqrt((4*c^2 - 4*d^
2 - 8*I*d + 4)/(c^2 - 2*c*d + d^2 + 1))) - 6*I*b*x*polylog(3, 1/2*sqrt((4*c^2 - 4*d^2 + 8*I*d + 4)/(c^2 - 2*c*
d + d^2 + 1))*(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a))) - 6*I*b*x*polylog(3, -1/2*sqrt((4*c^2 - 4*d^2 + 8*I*d + 4)/(c^2
- 2*c*d + d^2 + 1))*(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a))) + 6*I*b*x*polylog(3, 1/2*sqrt((4*c^2 - 4*d^2 - 8*I*d + 4
)/(c^2 - 2*c*d + d^2 + 1))*(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a))) + 6*I*b*x*polylog(3, -1/2*sqrt((4*c^2 - 4*d^2 - 8*
I*d + 4)/(c^2 - 2*c*d + d^2 + 1))*(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a))) + (I*b^3*x^3 + I*a^3)*log(1/2*sqrt((4*c^2 -
4*d^2 + 8*I*d + 4)/(c^2 - 2*c*d + d^2 + 1))*(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a)) + 1) + (I*b^3*x^3 + I*a^3)*log(-1
/2*sqrt((4*c^2 - 4*d^2 + 8*I*d + 4)/(c^2 - 2*c*d + d^2 + 1))*(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a)) + 1) + (-I*b^3*x^
3 - I*a^3)*log(1/2*sqrt((4*c^2 - 4*d^2 - 8*I*d + 4)/(c^2 - 2*c*d + d^2 + 1))*(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a)) +
1) + (-I*b^3*x^3 - I*a^3)*log(-1/2*sqrt((4*c^2 - 4*d^2 - 8*I*d + 4)/(c^2 - 2*c*d + d^2 + 1))*(cosh(b*x + a) +
sinh(b*x + a)) + 1) + 6*I*polylog(4, 1/2*sqrt((4*c^2 - 4*d^2 + 8*I*d + 4)/(c^2 - 2*c*d + d^2 + 1))*(cosh(b*x
+ a) + sinh(b*x + a))) + 6*I*polylog(4, -1/2*sqrt((4*c^2 - 4*d^2 + 8*I*d + 4)/(c^2 - 2*c*d + d^2 + 1))*(cosh(b
*x + a) + sinh(b*x + a))) - 6*I*polylog(4, 1/2*sqrt((4*c^2 - 4*d^2 - 8*I*d + 4)/(c^2 - 2*c*d + d^2 + 1))*(cosh
(b*x + a) + sinh(b*x + a))) - 6*I*polylog(4, -1/2*sqrt((4*c^2 - 4*d^2 - 8*I*d + 4)/(c^2 - 2*c*d + d^2 + 1))*(c
osh(b*x + a) + sinh(b*x + a))))/b^3

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x**2*atan(c+d*coth(b*x+a)),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int x^{2} \arctan \left (d \coth \left (b x + a\right ) + c\right )\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^2*arctan(c+d*coth(b*x+a)),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(x^2*arctan(d*coth(b*x + a) + c), x)