3.63 \(\int \tan ^{-1}(c+d \cot (a+b x)) \, dx\)

Optimal. Leaf size=198 \[ \frac{\text{PolyLog}\left (2,\frac{(i c-d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{i c+d+1}\right )}{4 b}-\frac{\text{PolyLog}\left (2,\frac{(c+i (d+1)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )}{4 b}+\frac{1}{2} i x \log \left (1-\frac{(i c-d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{i c+d+1}\right )-\frac{1}{2} i x \log \left (1-\frac{(c+i (d+1)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )+x \tan ^{-1}(d \cot (a+b x)+c) \]

[Out]

x*ArcTan[c + d*Cot[a + b*x]] + (I/2)*x*Log[1 - ((1 + I*c - d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + I*c + d)] - (I/2)*
x*Log[1 - ((c + I*(1 + d))*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(c + I*(1 - d))] + PolyLog[2, ((1 + I*c - d)*E^((2*I)*a +
(2*I)*b*x))/(1 + I*c + d)]/(4*b) - PolyLog[2, ((c + I*(1 + d))*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(c + I*(1 - d))]/(4*b)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.249962, antiderivative size = 198, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 4, integrand size = 11, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.364, Rules used = {5169, 2190, 2279, 2391} \[ \frac{\text{PolyLog}\left (2,\frac{(i c-d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{i c+d+1}\right )}{4 b}-\frac{\text{PolyLog}\left (2,\frac{(c+i (d+1)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )}{4 b}+\frac{1}{2} i x \log \left (1-\frac{(i c-d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{i c+d+1}\right )-\frac{1}{2} i x \log \left (1-\frac{(c+i (d+1)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )+x \tan ^{-1}(d \cot (a+b x)+c) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[ArcTan[c + d*Cot[a + b*x]],x]

[Out]

x*ArcTan[c + d*Cot[a + b*x]] + (I/2)*x*Log[1 - ((1 + I*c - d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + I*c + d)] - (I/2)*
x*Log[1 - ((c + I*(1 + d))*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(c + I*(1 - d))] + PolyLog[2, ((1 + I*c - d)*E^((2*I)*a +
(2*I)*b*x))/(1 + I*c + d)]/(4*b) - PolyLog[2, ((c + I*(1 + d))*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(c + I*(1 - d))]/(4*b)

Rule 5169

Int[ArcTan[(c_.) + Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTan[c + d*Cot[a + b*x]], x] + (Dist[
b*(1 + I*c - d), Int[(x*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c + d - (1 + I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x] - Dist[
b*(1 - I*c + d), Int[(x*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - I*c - d - (1 - I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x]) /; Fre
eQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[(c + I*d)^2, -1]

Rule 2190

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(b*f*g*n*Log[F]), x]
- Dist[(d*m)/(b*f*g*n*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2279

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2391

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, -(c*e*x^n)]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rubi steps

\begin{align*} \int \tan ^{-1}(c+d \cot (a+b x)) \, dx &=x \tan ^{-1}(c+d \cot (a+b x))+(b (1+i c-d)) \int \frac{e^{2 i a+2 i b x} x}{1+i c+d+(-1-i c+d) e^{2 i a+2 i b x}} \, dx-(b (1-i c+d)) \int \frac{e^{2 i a+2 i b x} x}{1-i c-d+(-1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}} \, dx\\ &=x \tan ^{-1}(c+d \cot (a+b x))+\frac{1}{2} i x \log \left (1-\frac{(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )-\frac{1}{2} i x \log \left (1-\frac{(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )+\frac{1}{2} i \int \log \left (1+\frac{(-1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-i c-d}\right ) \, dx-\frac{1}{2} i \int \log \left (1+\frac{(-1-i c+d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right ) \, dx\\ &=x \tan ^{-1}(c+d \cot (a+b x))+\frac{1}{2} i x \log \left (1-\frac{(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )-\frac{1}{2} i x \log \left (1-\frac{(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (1+\frac{(-1+i c-d) x}{1-i c-d}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i a+2 i b x}\right )}{4 b}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (1+\frac{(-1-i c+d) x}{1+i c+d}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i a+2 i b x}\right )}{4 b}\\ &=x \tan ^{-1}(c+d \cot (a+b x))+\frac{1}{2} i x \log \left (1-\frac{(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )-\frac{1}{2} i x \log \left (1-\frac{(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )+\frac{\text{Li}_2\left (\frac{(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )}{4 b}-\frac{\text{Li}_2\left (\frac{(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )}{4 b}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 21.6845, size = 1648, normalized size = 8.32 \[ \text{result too large to display} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[ArcTan[c + d*Cot[a + b*x]],x]

[Out]

x*ArcTan[c + d*Cot[a + b*x]] + (d*(4*a*Sqrt[-d^2]*ArcTan[(c*d + Tan[a + b*x] + c^2*Tan[a + b*x])/d] + I*d*Log[
1 + I*Tan[a + b*x]]*Log[(c*d - Sqrt[-d^2] + Tan[a + b*x] + c^2*Tan[a + b*x])/(I + I*c^2 + c*d - Sqrt[-d^2])] +
I*d*Log[1 - I*Tan[a + b*x]]*Log[(c*d + Sqrt[-d^2] + Tan[a + b*x] + c^2*Tan[a + b*x])/(-I - I*c^2 + c*d + Sqrt
[-d^2])] - I*d*Log[1 + I*Tan[a + b*x]]*Log[(c*d + Sqrt[-d^2] + Tan[a + b*x] + c^2*Tan[a + b*x])/(I + I*c^2 + c
*d + Sqrt[-d^2])] - I*d*Log[1 - I*Tan[a + b*x]]*Log[(-(c*d) + Sqrt[-d^2] - (1 + c^2)*Tan[a + b*x])/(I + I*c^2
- c*d + Sqrt[-d^2])] - I*d*PolyLog[2, ((1 + c^2)*(1 - I*Tan[a + b*x]))/(1 + c^2 + I*c*d - I*Sqrt[-d^2])] + I*d
*PolyLog[2, ((1 + c^2)*(1 - I*Tan[a + b*x]))/(1 + c^2 + I*c*d + I*Sqrt[-d^2])] - I*d*PolyLog[2, ((1 + c^2)*(1
+ I*Tan[a + b*x]))/(1 + c^2 - I*c*d - I*Sqrt[-d^2])] + I*d*PolyLog[2, ((1 + c^2)*(1 + I*Tan[a + b*x]))/(1 + c^
2 - I*c*d + I*Sqrt[-d^2])])*((2*a)/(b*(-1 - c^2 - d^2 + Cos[2*(a + b*x)] + c^2*Cos[2*(a + b*x)] - d^2*Cos[2*(a
+ b*x)] - 2*c*d*Sin[2*(a + b*x)])) - (2*(a + b*x))/(b*(-1 - c^2 - d^2 + Cos[2*(a + b*x)] + c^2*Cos[2*(a + b*x
)] - d^2*Cos[2*(a + b*x)] - 2*c*d*Sin[2*(a + b*x)]))))/((d*Log[1 - ((1 + c^2)*(1 - I*Tan[a + b*x]))/(1 + c^2 +
I*c*d - I*Sqrt[-d^2])]*Sec[a + b*x]^2)/(1 - I*Tan[a + b*x]) - (d*Log[1 - ((1 + c^2)*(1 - I*Tan[a + b*x]))/(1
+ c^2 + I*c*d + I*Sqrt[-d^2])]*Sec[a + b*x]^2)/(1 - I*Tan[a + b*x]) + (d*Log[(c*d + Sqrt[-d^2] + Tan[a + b*x]
+ c^2*Tan[a + b*x])/(-I - I*c^2 + c*d + Sqrt[-d^2])]*Sec[a + b*x]^2)/(1 - I*Tan[a + b*x]) - (d*Log[(-(c*d) + S
qrt[-d^2] - (1 + c^2)*Tan[a + b*x])/(I + I*c^2 - c*d + Sqrt[-d^2])]*Sec[a + b*x]^2)/(1 - I*Tan[a + b*x]) - (d*
Log[1 - ((1 + c^2)*(1 + I*Tan[a + b*x]))/(1 + c^2 - I*c*d - I*Sqrt[-d^2])]*Sec[a + b*x]^2)/(1 + I*Tan[a + b*x]
) + (d*Log[1 - ((1 + c^2)*(1 + I*Tan[a + b*x]))/(1 + c^2 - I*c*d + I*Sqrt[-d^2])]*Sec[a + b*x]^2)/(1 + I*Tan[a
+ b*x]) - (d*Log[(c*d - Sqrt[-d^2] + Tan[a + b*x] + c^2*Tan[a + b*x])/(I + I*c^2 + c*d - Sqrt[-d^2])]*Sec[a +
b*x]^2)/(1 + I*Tan[a + b*x]) + (d*Log[(c*d + Sqrt[-d^2] + Tan[a + b*x] + c^2*Tan[a + b*x])/(I + I*c^2 + c*d +
Sqrt[-d^2])]*Sec[a + b*x]^2)/(1 + I*Tan[a + b*x]) + (I*d*Log[1 + I*Tan[a + b*x]]*(Sec[a + b*x]^2 + c^2*Sec[a
+ b*x]^2))/(c*d - Sqrt[-d^2] + Tan[a + b*x] + c^2*Tan[a + b*x]) + (I*d*Log[1 - I*Tan[a + b*x]]*(Sec[a + b*x]^2
+ c^2*Sec[a + b*x]^2))/(c*d + Sqrt[-d^2] + Tan[a + b*x] + c^2*Tan[a + b*x]) - (I*d*Log[1 + I*Tan[a + b*x]]*(S
ec[a + b*x]^2 + c^2*Sec[a + b*x]^2))/(c*d + Sqrt[-d^2] + Tan[a + b*x] + c^2*Tan[a + b*x]) + (I*(1 + c^2)*d*Log
[1 - I*Tan[a + b*x]]*Sec[a + b*x]^2)/(-(c*d) + Sqrt[-d^2] - (1 + c^2)*Tan[a + b*x]) + (4*a*Sqrt[-d^2]*(Sec[a +
b*x]^2 + c^2*Sec[a + b*x]^2))/(d*(1 + (c*d + Tan[a + b*x] + c^2*Tan[a + b*x])^2/d^2)))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.38, size = 1159, normalized size = 5.9 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(arctan(c+d*cot(b*x+a)),x)

[Out]

-1/2/b*arctan(c+d*cot(b*x+a))*Pi+1/b*arctan(c+d*cot(b*x+a))*arccot(cot(b*x+a))+1/b*arctan(d*((c+d*cot(b*x+a))/
d-c/d)+c)*arctan((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)-1/2*I*d/b*ln(1-(I-I*d+c)*(1+I*(d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)+c))^2/((d*(
(c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)+c)^2+1)/(I*d+I-c))*arctan(d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)+c)/(1+I*c+d)-1/2*I/b*ln(1-(I-I*d+
c)*(1+I*(d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)+c))^2/((d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)+c)^2+1)/(I*d+I-c))*arctan(d*((c+d*cot(b
*x+a))/d-c/d)+c)/(1+I*c+d)-1/2*I/b/(-I-I*d+c)*ln(1-(I-I*d+c)*(1+I*(d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)+c))^2/((d*((c+d*
cot(b*x+a))/d-c/d)+c)^2+1)/(I*d+I-c))*arctan(d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)+c)*c-1/2*d/b*arctan(d*((c+d*cot(b*x+a)
)/d-c/d)+c)^2/(1+I*c+d)-1/4*d/b*polylog(2,(I-I*d+c)*(1+I*(d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)+c))^2/((d*((c+d*cot(b*x+a
))/d-c/d)+c)^2+1)/(I*d+I-c))/(1+I*c+d)-1/2/b*arctan(d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)+c)^2/(1+I*c+d)-1/2/b/(-I-I*d+c)
*arctan(d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)+c)^2*c-1/4/b*polylog(2,(I-I*d+c)*(1+I*(d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)+c))^2/((d
*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)+c)^2+1)/(I*d+I-c))/(1+I*c+d)-1/4/b/(-I-I*d+c)*polylog(2,(I-I*d+c)*(1+I*(d*((c+d*cot(
b*x+a))/d-c/d)+c))^2/((d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)+c)^2+1)/(I*d+I-c))*c+1/2*I/b*arctan(d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/
d)+c)*ln(1-(I+I*d+c)*(1+I*(d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)+c))^2/((d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)+c)^2+1)/(-I*d+I-c))+1
/2/b*arctan(d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)+c)^2+1/4/b*polylog(2,(I+I*d+c)*(1+I*(d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)+c))^2/(
(d*((c+d*cot(b*x+a))/d-c/d)+c)^2+1)/(-I*d+I-c))

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 1.91243, size = 710, normalized size = 3.59 \begin{align*} -\frac{d{\left (\frac{8 \,{\left (b x + a\right )} \arctan \left (\frac{c d +{\left (c^{2} + 1\right )} \tan \left (b x + a\right )}{d}\right )}{d} - \frac{8 \,{\left (b x + a\right )} \arctan \left (\frac{c d +{\left (c^{2} + 1\right )} \tan \left (b x + a\right )}{d}\right ) - 4 \, \arctan \left (c d +{\left (c^{2} + 1\right )} \tan \left (b x + a\right ), d\right ) \arctan \left (\frac{c d +{\left (c^{2} + d + 1\right )} \tan \left (b x + a\right )}{c^{2} + d^{2} + 2 \, d + 1}, -\frac{c d \tan \left (b x + a\right ) - c^{2} - d - 1}{c^{2} + d^{2} + 2 \, d + 1}\right ) + 4 \, \arctan \left (c d +{\left (c^{2} + 1\right )} \tan \left (b x + a\right ), d\right ) \arctan \left (-\frac{c d +{\left (c^{2} - d + 1\right )} \tan \left (b x + a\right )}{c^{2} + d^{2} - 2 \, d + 1}, -\frac{c d \tan \left (b x + a\right ) - c^{2} + d - 1}{c^{2} + d^{2} - 2 \, d + 1}\right ) -{\left (\log \left (\frac{{\left (c^{2} + 1\right )} \tan \left (b x + a\right )^{2} + c^{2} + 1}{c^{2} + d^{2} + 2 \, d + 1}\right ) - \log \left (\frac{{\left (c^{2} + 1\right )} \tan \left (b x + a\right )^{2} + c^{2} + 1}{c^{2} + d^{2} - 2 \, d + 1}\right )\right )} \log \left ({\left (c^{2} + 1\right )} d^{2} + 2 \,{\left (c^{3} + c\right )} d \tan \left (b x + a\right ) +{\left (c^{4} + 2 \, c^{2} + 1\right )} \tan \left (b x + a\right )^{2}\right ) - 2 \,{\rm Li}_2\left (\frac{{\left (i \, c - 1\right )} \tan \left (b x + a\right ) + i \, d}{c + i \, d + i}\right ) + 2 \,{\rm Li}_2\left (\frac{{\left (i \, c + 1\right )} \tan \left (b x + a\right ) + i \, d}{c + i \, d - i}\right ) + 2 \,{\rm Li}_2\left (-\frac{{\left (i \, c - 1\right )} \tan \left (b x + a\right ) + i \, d}{c - i \, d + i}\right ) - 2 \,{\rm Li}_2\left (-\frac{{\left (i \, c + 1\right )} \tan \left (b x + a\right ) + i \, d}{c - i \, d - i}\right )}{d}\right )} - 8 \,{\left (b x + a\right )} \arctan \left (c + \frac{d}{\tan \left (b x + a\right )}\right ) - 8 \,{\left (b x + a\right )} \arctan \left (\frac{c d +{\left (c^{2} + 1\right )} \tan \left (b x + a\right )}{d}\right )}{8 \, b} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(arctan(c+d*cot(b*x+a)),x, algorithm="maxima")

[Out]

-1/8*(d*(8*(b*x + a)*arctan((c*d + (c^2 + 1)*tan(b*x + a))/d)/d - (8*(b*x + a)*arctan((c*d + (c^2 + 1)*tan(b*x
+ a))/d) - 4*arctan2(c*d + (c^2 + 1)*tan(b*x + a), d)*arctan2((c*d + (c^2 + d + 1)*tan(b*x + a))/(c^2 + d^2 +
2*d + 1), -(c*d*tan(b*x + a) - c^2 - d - 1)/(c^2 + d^2 + 2*d + 1)) + 4*arctan2(c*d + (c^2 + 1)*tan(b*x + a),
d)*arctan2(-(c*d + (c^2 - d + 1)*tan(b*x + a))/(c^2 + d^2 - 2*d + 1), -(c*d*tan(b*x + a) - c^2 + d - 1)/(c^2 +
d^2 - 2*d + 1)) - (log(((c^2 + 1)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + 1)/(c^2 + d^2 + 2*d + 1)) - log(((c^2 + 1)*tan(b*x +
a)^2 + c^2 + 1)/(c^2 + d^2 - 2*d + 1)))*log((c^2 + 1)*d^2 + 2*(c^3 + c)*d*tan(b*x + a) + (c^4 + 2*c^2 + 1)*ta
n(b*x + a)^2) - 2*dilog(((I*c - 1)*tan(b*x + a) + I*d)/(c + I*d + I)) + 2*dilog(((I*c + 1)*tan(b*x + a) + I*d)
/(c + I*d - I)) + 2*dilog(-((I*c - 1)*tan(b*x + a) + I*d)/(c - I*d + I)) - 2*dilog(-((I*c + 1)*tan(b*x + a) +
I*d)/(c - I*d - I)))/d) - 8*(b*x + a)*arctan(c + d/tan(b*x + a)) - 8*(b*x + a)*arctan((c*d + (c^2 + 1)*tan(b*x
+ a))/d))/b

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 2.96682, size = 2508, normalized size = 12.67 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(arctan(c+d*cot(b*x+a)),x, algorithm="fricas")

[Out]

1/8*(8*b*x*arctan(d*cot(b*x + a) + c) - 2*I*a*log(1/2*c^2 + I*c*d - 1/2*d^2 - 1/2*(c^2 + d^2 + 2*d + 1)*cos(2*
b*x + 2*a) + 1/2*(I*c^2 + I*d^2 + 2*I*d + I)*sin(2*b*x + 2*a) + 1/2) + 2*I*a*log(1/2*c^2 + I*c*d - 1/2*d^2 - 1
/2*(c^2 + d^2 - 2*d + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + 1/2*(I*c^2 + I*d^2 - 2*I*d + I)*sin(2*b*x + 2*a) + 1/2) + 2*I*a*lo
g(-1/2*c^2 + I*c*d + 1/2*d^2 + 1/2*(c^2 + d^2 + 2*d + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + 1/2*(I*c^2 + I*d^2 + 2*I*d + I)*si
n(2*b*x + 2*a) - 1/2) - 2*I*a*log(-1/2*c^2 + I*c*d + 1/2*d^2 + 1/2*(c^2 + d^2 - 2*d + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + 1/
2*(I*c^2 + I*d^2 - 2*I*d + I)*sin(2*b*x + 2*a) - 1/2) + (2*I*b*x + 2*I*a)*log((c^2 + d^2 - (c^2 + 2*I*c*d - d^
2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (-I*c^2 + 2*c*d + I*d^2 - I)*sin(2*b*x + 2*a) + 2*d + 1)/(c^2 + d^2 + 2*d + 1)) + (-
2*I*b*x - 2*I*a)*log((c^2 + d^2 - (c^2 - 2*I*c*d - d^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*c^2 + 2*c*d - I*d^2 + I)*sin
(2*b*x + 2*a) + 2*d + 1)/(c^2 + d^2 + 2*d + 1)) + (-2*I*b*x - 2*I*a)*log((c^2 + d^2 - (c^2 + 2*I*c*d - d^2 + 1
)*cos(2*b*x + 2*a) + (-I*c^2 + 2*c*d + I*d^2 - I)*sin(2*b*x + 2*a) - 2*d + 1)/(c^2 + d^2 - 2*d + 1)) + (2*I*b*
x + 2*I*a)*log((c^2 + d^2 - (c^2 - 2*I*c*d - d^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*c^2 + 2*c*d - I*d^2 + I)*sin(2*b*x
+ 2*a) - 2*d + 1)/(c^2 + d^2 - 2*d + 1)) + dilog(-(c^2 + d^2 - (c^2 + 2*I*c*d - d^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (
-I*c^2 + 2*c*d + I*d^2 - I)*sin(2*b*x + 2*a) + 2*d + 1)/(c^2 + d^2 + 2*d + 1) + 1) + dilog(-(c^2 + d^2 - (c^2
- 2*I*c*d - d^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*c^2 + 2*c*d - I*d^2 + I)*sin(2*b*x + 2*a) + 2*d + 1)/(c^2 + d^2 + 2
*d + 1) + 1) - dilog(-(c^2 + d^2 - (c^2 + 2*I*c*d - d^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (-I*c^2 + 2*c*d + I*d^2 - I)*s
in(2*b*x + 2*a) - 2*d + 1)/(c^2 + d^2 - 2*d + 1) + 1) - dilog(-(c^2 + d^2 - (c^2 - 2*I*c*d - d^2 + 1)*cos(2*b*
x + 2*a) + (I*c^2 + 2*c*d - I*d^2 + I)*sin(2*b*x + 2*a) - 2*d + 1)/(c^2 + d^2 - 2*d + 1) + 1))/b

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(atan(c+d*cot(b*x+a)),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \arctan \left (d \cot \left (b x + a\right ) + c\right )\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(arctan(c+d*cot(b*x+a)),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(arctan(d*cot(b*x + a) + c), x)