3.58 \(\int \tan ^{-1}(c+(-1+i c) \tan (a+b x)) \, dx\)

Optimal. Leaf size=86 \[ \frac{\text{PolyLog}\left (2,-i c e^{2 i a+2 i b x}\right )}{4 b}+\frac{1}{2} i x \log \left (1+i c e^{2 i a+2 i b x}\right )+x \tan ^{-1}(c-(1-i c) \tan (a+b x))+\frac{b x^2}{2} \]

[Out]

(b*x^2)/2 + x*ArcTan[c - (1 - I*c)*Tan[a + b*x]] + (I/2)*x*Log[1 + I*c*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x)] + PolyLog[2, (
-I)*c*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x)]/(4*b)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.128898, antiderivative size = 86, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 5, number of rules used = 5, integrand size = 17, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.294, Rules used = {5163, 2184, 2190, 2279, 2391} \[ \frac{\text{PolyLog}\left (2,-i c e^{2 i a+2 i b x}\right )}{4 b}+\frac{1}{2} i x \log \left (1+i c e^{2 i a+2 i b x}\right )+x \tan ^{-1}(c-(1-i c) \tan (a+b x))+\frac{b x^2}{2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[ArcTan[c + (-1 + I*c)*Tan[a + b*x]],x]

[Out]

(b*x^2)/2 + x*ArcTan[c - (1 - I*c)*Tan[a + b*x]] + (I/2)*x*Log[1 + I*c*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x)] + PolyLog[2, (
-I)*c*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x)]/(4*b)

Rule 5163

Int[ArcTan[(c_.) + (d_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTan[c + d*Tan[a + b*x]], x] - Dist[I
*b, Int[x/(c + I*d + c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[(c + I*d)^2, -1]

Rule 2184

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[(c
+ d*x)^(m + 1)/(a*d*(m + 1)), x] - Dist[b/a, Int[((c + d*x)^m*(F^(g*(e + f*x)))^n)/(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)
, x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2190

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(b*f*g*n*Log[F]), x]
- Dist[(d*m)/(b*f*g*n*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2279

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2391

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, -(c*e*x^n)]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rubi steps

\begin{align*} \int \tan ^{-1}(c+(-1+i c) \tan (a+b x)) \, dx &=x \tan ^{-1}(c-(1-i c) \tan (a+b x))-(i b) \int \frac{x}{i (-1+i c)+c+c e^{2 i a+2 i b x}} \, dx\\ &=\frac{b x^2}{2}+x \tan ^{-1}(c-(1-i c) \tan (a+b x))-(b c) \int \frac{e^{2 i a+2 i b x} x}{i (-1+i c)+c+c e^{2 i a+2 i b x}} \, dx\\ &=\frac{b x^2}{2}+x \tan ^{-1}(c-(1-i c) \tan (a+b x))+\frac{1}{2} i x \log \left (1+i c e^{2 i a+2 i b x}\right )-\frac{1}{2} i \int \log \left (1+\frac{c e^{2 i a+2 i b x}}{i (-1+i c)+c}\right ) \, dx\\ &=\frac{b x^2}{2}+x \tan ^{-1}(c-(1-i c) \tan (a+b x))+\frac{1}{2} i x \log \left (1+i c e^{2 i a+2 i b x}\right )-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (1+\frac{c x}{i (-1+i c)+c}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i a+2 i b x}\right )}{4 b}\\ &=\frac{b x^2}{2}+x \tan ^{-1}(c-(1-i c) \tan (a+b x))+\frac{1}{2} i x \log \left (1+i c e^{2 i a+2 i b x}\right )+\frac{\text{Li}_2\left (-i c e^{2 i a+2 i b x}\right )}{4 b}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 13.6178, size = 847, normalized size = 9.85 \[ x \tan ^{-1}(c+i (c+i) \tan (a+b x))+\frac{i x \left (-2 i b x \log (2 \cos (b x) (\cos (b x)-i \sin (b x)))+\log \left (\frac{\sec (b x) (\cos (a)-i \sin (a)) ((c-i) \cos (a+b x)+i (c+i) \sin (a+b x))}{2 c}\right ) \log (1-i \tan (b x))-\log \left (\frac{1}{2} \sec (b x) (\cos (a)+i \sin (a)) ((i c+1) \cos (a+b x)-(c+i) \sin (a+b x))\right ) \log (i \tan (b x)+1)+\text{PolyLog}(2,i \sin (2 b x)-\cos (2 b x))+\text{PolyLog}\left (2,\frac{\sec (b x) ((c+i) \cos (a)+(i c+1) \sin (a)) (\cos (a+b x)-i \sin (a+b x))}{2 c}\right )-\text{PolyLog}\left (2,\frac{1}{2} (\cos (a)+i \sin (a)) ((c+i) \cos (a)+(i c+1) \sin (a)) (\tan (b x)-i)\right )\right ) \sec (a+b x) (\cos (b x)+i \sin (b x)) (i \cos (b x)+\sin (b x))}{((c-i) \cos (a+b x)+i (c+i) \sin (a+b x)) \left (-\frac{\log \left (\frac{1}{2} \sec (b x) (\cos (a)+i \sin (a)) ((i c+1) \cos (a+b x)-(c+i) \sin (a+b x))\right ) \sec ^2(b x)}{\tan (b x)-i}+\frac{\log \left (1-\frac{1}{2} (\cos (a)+i \sin (a)) ((c+i) \cos (a)+(i c+1) \sin (a)) (\tan (b x)-i)\right ) \sec ^2(b x)}{\tan (b x)-i}+\frac{\log \left (\frac{\sec (b x) (\cos (a)-i \sin (a)) ((c-i) \cos (a+b x)+i (c+i) \sin (a+b x))}{2 c}\right ) \sec ^2(b x)}{\tan (b x)+i}-2 b x+i \log \left (1-\frac{\sec (b x) ((c+i) \cos (a)+(i c+1) \sin (a)) (\cos (a+b x)-i \sin (a+b x))}{2 c}\right )+2 i b x \tan (b x)-\log \left (1-\frac{\sec (b x) ((c+i) \cos (a)+(i c+1) \sin (a)) (\cos (a+b x)-i \sin (a+b x))}{2 c}\right ) \tan (b x)+\log (1-i \tan (b x)) \tan (b x)-\log (i \tan (b x)+1) \tan (b x)+\frac{i (c+i) \cos (a+b x) (\log (1-i \tan (b x))-\log (i \tan (b x)+1))}{(c-i) \cos (a+b x)+i (c+i) \sin (a+b x)}+\frac{(i c+1) (\log (1-i \tan (b x))-\log (i \tan (b x)+1)) \sin (a+b x)}{(-i c-1) \cos (a+b x)+(c+i) \sin (a+b x)}\right ) (\tan (a+b x)-i)} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[ArcTan[c + (-1 + I*c)*Tan[a + b*x]],x]

[Out]

x*ArcTan[c + I*(I + c)*Tan[a + b*x]] + (I*x*((-2*I)*b*x*Log[2*Cos[b*x]*(Cos[b*x] - I*Sin[b*x])] + Log[(Sec[b*x
]*(Cos[a] - I*Sin[a])*((-I + c)*Cos[a + b*x] + I*(I + c)*Sin[a + b*x]))/(2*c)]*Log[1 - I*Tan[b*x]] - Log[(Sec[
b*x]*(Cos[a] + I*Sin[a])*((1 + I*c)*Cos[a + b*x] - (I + c)*Sin[a + b*x]))/2]*Log[1 + I*Tan[b*x]] + PolyLog[2,
-Cos[2*b*x] + I*Sin[2*b*x]] + PolyLog[2, (Sec[b*x]*((I + c)*Cos[a] + (1 + I*c)*Sin[a])*(Cos[a + b*x] - I*Sin[a
+ b*x]))/(2*c)] - PolyLog[2, ((Cos[a] + I*Sin[a])*((I + c)*Cos[a] + (1 + I*c)*Sin[a])*(-I + Tan[b*x]))/2])*Se
c[a + b*x]*(Cos[b*x] + I*Sin[b*x])*(I*Cos[b*x] + Sin[b*x]))/(((-I + c)*Cos[a + b*x] + I*(I + c)*Sin[a + b*x])*
(-2*b*x + I*Log[1 - (Sec[b*x]*((I + c)*Cos[a] + (1 + I*c)*Sin[a])*(Cos[a + b*x] - I*Sin[a + b*x]))/(2*c)] + (I
*(I + c)*Cos[a + b*x]*(Log[1 - I*Tan[b*x]] - Log[1 + I*Tan[b*x]]))/((-I + c)*Cos[a + b*x] + I*(I + c)*Sin[a +
b*x]) + ((1 + I*c)*(Log[1 - I*Tan[b*x]] - Log[1 + I*Tan[b*x]])*Sin[a + b*x])/((-1 - I*c)*Cos[a + b*x] + (I + c
)*Sin[a + b*x]) + (2*I)*b*x*Tan[b*x] - Log[1 - (Sec[b*x]*((I + c)*Cos[a] + (1 + I*c)*Sin[a])*(Cos[a + b*x] - I
*Sin[a + b*x]))/(2*c)]*Tan[b*x] + Log[1 - I*Tan[b*x]]*Tan[b*x] - Log[1 + I*Tan[b*x]]*Tan[b*x] - (Log[(Sec[b*x]
*(Cos[a] + I*Sin[a])*((1 + I*c)*Cos[a + b*x] - (I + c)*Sin[a + b*x]))/2]*Sec[b*x]^2)/(-I + Tan[b*x]) + (Log[1
- ((Cos[a] + I*Sin[a])*((I + c)*Cos[a] + (1 + I*c)*Sin[a])*(-I + Tan[b*x]))/2]*Sec[b*x]^2)/(-I + Tan[b*x]) + (
Log[(Sec[b*x]*(Cos[a] - I*Sin[a])*((-I + c)*Cos[a + b*x] + I*(I + c)*Sin[a + b*x]))/(2*c)]*Sec[b*x]^2)/(I + Ta
n[b*x]))*(-I + Tan[a + b*x]))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.143, size = 1681, normalized size = 19.6 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(arctan(c+(-1+I*c)*tan(b*x+a)),x)

[Out]

1/4*I/(-1+I*c)/b/(I+c)*ln(-1/2*(-c-(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I)/c)*ln(c-(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I)+1/2/(-1+I*c)/b/(I+c)*
ln(-1/2*(-c-(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I)/c)*ln(c-(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I)*c-1/2/(-1+I*c)/b/(I+c)*ln((-c-(-1+I*c)*tan(b
*x+a)-I)/(-2*I-2*c))*ln(c-(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I)*c+1/2/(-1+I*c)/b/(I+c)*ln(-1/2*I*(c+(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I))*l
n(-1/2*I*(-c-(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I))*c+1/(-1+I*c)/b*arctan(c+(-1+I*c)*tan(b*x+a))/(2*I+2*c)*ln(c+(-1+I*c)*tan(
b*x+a)+I)*c^2-1/(-1+I*c)/b*arctan(c+(-1+I*c)*tan(b*x+a))/(2*I+2*c)*ln(c-(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I)*c^2-1/2/(-1+I*c
)/b/(I+c)*ln(-1/2*I*(-c-(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I))*ln(c+(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I)*c-1/4*I/(-1+I*c)/b/(I+c)*ln((-c-(-
1+I*c)*tan(b*x+a)-I)/(-2*I-2*c))*ln(c-(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I)+1/4*I/(-1+I*c)/b/(I+c)*ln(-1/2*I*(c+(-1+I*c)*tan(
b*x+a)+I))*ln(-1/2*I*(-c-(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I))-1/4*I/(-1+I*c)/b/(I+c)*dilog(-1/2*I*(c+(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I)
)*c^2-1/8*I/(-1+I*c)/b/(I+c)*ln(c+(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I)^2*c^2-1/4*I/(-1+I*c)/b/(I+c)*dilog(-1/2*(-c-(-1+I*c)*
tan(b*x+a)+I)/c)*c^2+1/4*I/(-1+I*c)/b/(I+c)*dilog((-c-(-1+I*c)*tan(b*x+a)-I)/(-2*I-2*c))*c^2-1/4*I/(-1+I*c)/b/
(I+c)*ln(-1/2*I*(-c-(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I))*ln(c+(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I)-2*I/(-1+I*c)/b*arctan(c+(-1+I*c)*tan(b
*x+a))/(2*I+2*c)*ln(c-(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I)*c-1/4*I/(-1+I*c)/b/(I+c)*ln(-1/2*I*(c+(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I))*ln(
-1/2*I*(-c-(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I))*c^2+1/4*I/(-1+I*c)/b/(I+c)*ln(-1/2*I*(-c-(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I))*ln(c+(-1+I
*c)*tan(b*x+a)+I)*c^2-1/4*I/(-1+I*c)/b/(I+c)*ln(-1/2*(-c-(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I)/c)*ln(c-(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I)
*c^2+1/4*I/(-1+I*c)/b/(I+c)*ln((-c-(-1+I*c)*tan(b*x+a)-I)/(-2*I-2*c))*ln(c-(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I)*c^2+2*I/(-1+
I*c)/b*arctan(c+(-1+I*c)*tan(b*x+a))/(2*I+2*c)*ln(c+(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I)*c+1/4*I/(-1+I*c)/b/(I+c)*dilog(-1/2
*(-c-(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I)/c)-1/4*I/(-1+I*c)/b/(I+c)*dilog((-c-(-1+I*c)*tan(b*x+a)-I)/(-2*I-2*c))-1/(-1+I*c)/
b*arctan(c+(-1+I*c)*tan(b*x+a))/(2*I+2*c)*ln(c+(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I)+1/(-1+I*c)/b*arctan(c+(-1+I*c)*tan(b*x+a
))/(2*I+2*c)*ln(c-(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I)+1/2/(-1+I*c)/b/(I+c)*dilog(-1/2*I*(c+(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I))*c+1/4/(-
1+I*c)/b/(I+c)*ln(c+(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I)^2*c+1/2/(-1+I*c)/b/(I+c)*dilog(-1/2*(-c-(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I)/c)*c
-1/2/(-1+I*c)/b/(I+c)*dilog((-c-(-1+I*c)*tan(b*x+a)-I)/(-2*I-2*c))*c+1/8*I/(-1+I*c)/b/(I+c)*ln(c+(-1+I*c)*tan(
b*x+a)+I)^2+1/4*I/(-1+I*c)/b/(I+c)*dilog(-1/2*I*(c+(-1+I*c)*tan(b*x+a)+I))

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 1.58137, size = 605, normalized size = 7.03 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(arctan(c+(-1+I*c)*tan(b*x+a)),x, algorithm="maxima")

[Out]

-1/8*((I*c - 1)*(4*I*(b*x + a)*log((2*I*c^2 - 2*(c^2 + 2*I*c - 1)*tan(b*x + a) + 2*I)/(2*I*c^2 - 2*(c^2 + 2*I*
c - 1)*tan(b*x + a) - 4*c - 2*I))/(I*c - 1) + I*(4*(b*x + a)*(log(-I*c^2 + (c^2 + 2*I*c - 1)*tan(b*x + a) + 2*
c + I) - log(-I*c^2 + (c^2 + 2*I*c - 1)*tan(b*x + a) - I)) + I*log(-I*c^2 + (c^2 + 2*I*c - 1)*tan(b*x + a) + 2
*c + I)^2 - 2*I*log(-I*c^2 + (c^2 + 2*I*c - 1)*tan(b*x + a) - I)*log(1/2*(c + I)*tan(b*x + a) - 1/2*I*c + 1/2)
+ 2*I*log(-I*c^2 + (c^2 + 2*I*c - 1)*tan(b*x + a) - I)*log(-1/2*((I*c - 1)*tan(b*x + a) + c - I)/c + 1) - 2*I
*log(-I*c^2 + (c^2 + 2*I*c - 1)*tan(b*x + a) + 2*c + I)*log(-1/2*I*tan(b*x + a) + 1/2) - 2*I*dilog(-1/2*(c + I
)*tan(b*x + a) + 1/2*I*c + 1/2) + 2*I*dilog(1/2*((I*c - 1)*tan(b*x + a) + c - I)/c) - 2*I*dilog(1/2*I*tan(b*x
+ a) + 1/2))/(I*c - 1)) - 8*(b*x + a)*arctan((I*c - 1)*tan(b*x + a) + c) + 4*(-I*b*x - I*a)*log((2*I*c^2 - 2*(
c^2 + 2*I*c - 1)*tan(b*x + a) + 2*I)/(2*I*c^2 - 2*(c^2 + 2*I*c - 1)*tan(b*x + a) - 4*c - 2*I)))/b

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 1.72881, size = 549, normalized size = 6.38 \begin{align*} \frac{b^{2} x^{2} + i \, b x \log \left (-\frac{{\left (c + i\right )} e^{\left (2 i \, b x + 2 i \, a\right )}}{c e^{\left (2 i \, b x + 2 i \, a\right )} - i}\right ) - a^{2} +{\left (i \, b x + i \, a\right )} \log \left (\frac{1}{2} \, \sqrt{-4 i \, c} e^{\left (i \, b x + i \, a\right )} + 1\right ) +{\left (i \, b x + i \, a\right )} \log \left (-\frac{1}{2} \, \sqrt{-4 i \, c} e^{\left (i \, b x + i \, a\right )} + 1\right ) - i \, a \log \left (\frac{2 \, c e^{\left (i \, b x + i \, a\right )} + i \, \sqrt{-4 i \, c}}{2 \, c}\right ) - i \, a \log \left (\frac{2 \, c e^{\left (i \, b x + i \, a\right )} - i \, \sqrt{-4 i \, c}}{2 \, c}\right ) +{\rm Li}_2\left (\frac{1}{2} \, \sqrt{-4 i \, c} e^{\left (i \, b x + i \, a\right )}\right ) +{\rm Li}_2\left (-\frac{1}{2} \, \sqrt{-4 i \, c} e^{\left (i \, b x + i \, a\right )}\right )}{2 \, b} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(arctan(c+(-1+I*c)*tan(b*x+a)),x, algorithm="fricas")

[Out]

1/2*(b^2*x^2 + I*b*x*log(-(c + I)*e^(2*I*b*x + 2*I*a)/(c*e^(2*I*b*x + 2*I*a) - I)) - a^2 + (I*b*x + I*a)*log(1
/2*sqrt(-4*I*c)*e^(I*b*x + I*a) + 1) + (I*b*x + I*a)*log(-1/2*sqrt(-4*I*c)*e^(I*b*x + I*a) + 1) - I*a*log(1/2*
(2*c*e^(I*b*x + I*a) + I*sqrt(-4*I*c))/c) - I*a*log(1/2*(2*c*e^(I*b*x + I*a) - I*sqrt(-4*I*c))/c) + dilog(1/2*
sqrt(-4*I*c)*e^(I*b*x + I*a)) + dilog(-1/2*sqrt(-4*I*c)*e^(I*b*x + I*a)))/b

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} b \int \frac{x}{i c e^{2 i a} e^{2 i b x} + 1}\, dx + \frac{i x \log{\left (- i c + \frac{i c}{e^{2 i a} e^{2 i b x} + 1} - \frac{i c e^{i a} e^{i b x}}{e^{i a} e^{i b x} + e^{- i a} e^{- i b x}} + 1 - \frac{1}{e^{2 i a} e^{2 i b x} + 1} + \frac{e^{i a} e^{i b x}}{e^{i a} e^{i b x} + e^{- i a} e^{- i b x}} \right )}}{2} - \frac{i x \log{\left (i c - \frac{i c}{e^{2 i a} e^{2 i b x} + 1} + \frac{i c e^{i a} e^{i b x}}{e^{i a} e^{i b x} + e^{- i a} e^{- i b x}} + 1 + \frac{1}{e^{2 i a} e^{2 i b x} + 1} - \frac{e^{i a} e^{i b x}}{e^{i a} e^{i b x} + e^{- i a} e^{- i b x}} \right )}}{2} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(atan(c+(-1+I*c)*tan(b*x+a)),x)

[Out]

b*Integral(x/(I*c*exp(2*I*a)*exp(2*I*b*x) + 1), x) + I*x*log(-I*c + I*c/(exp(2*I*a)*exp(2*I*b*x) + 1) - I*c*ex
p(I*a)*exp(I*b*x)/(exp(I*a)*exp(I*b*x) + exp(-I*a)*exp(-I*b*x)) + 1 - 1/(exp(2*I*a)*exp(2*I*b*x) + 1) + exp(I*
a)*exp(I*b*x)/(exp(I*a)*exp(I*b*x) + exp(-I*a)*exp(-I*b*x)))/2 - I*x*log(I*c - I*c/(exp(2*I*a)*exp(2*I*b*x) +
1) + I*c*exp(I*a)*exp(I*b*x)/(exp(I*a)*exp(I*b*x) + exp(-I*a)*exp(-I*b*x)) + 1 + 1/(exp(2*I*a)*exp(2*I*b*x) +
1) - exp(I*a)*exp(I*b*x)/(exp(I*a)*exp(I*b*x) + exp(-I*a)*exp(-I*b*x)))/2

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \arctan \left ({\left (i \, c - 1\right )} \tan \left (b x + a\right ) + c\right )\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(arctan(c+(-1+I*c)*tan(b*x+a)),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(arctan((I*c - 1)*tan(b*x + a) + c), x)