3.50 \(\int \tan ^{-1}(c+d \tan (a+b x)) \, dx\)

Optimal. Leaf size=198 \[ \frac{\text{PolyLog}\left (2,-\frac{(i c+d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{i c-d+1}\right )}{4 b}-\frac{\text{PolyLog}\left (2,-\frac{(c+i (1-d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (d+1)}\right )}{4 b}+\frac{1}{2} i x \log \left (1+\frac{(i c+d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{i c-d+1}\right )-\frac{1}{2} i x \log \left (1+\frac{(c+i (1-d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (d+1)}\right )+x \tan ^{-1}(d \tan (a+b x)+c) \]

[Out]

x*ArcTan[c + d*Tan[a + b*x]] + (I/2)*x*Log[1 + ((1 + I*c + d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + I*c - d)] - (I/2)*
x*Log[1 + ((c + I*(1 - d))*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(c + I*(1 + d))] + PolyLog[2, -(((1 + I*c + d)*E^((2*I)*a
+ (2*I)*b*x))/(1 + I*c - d))]/(4*b) - PolyLog[2, -(((c + I*(1 - d))*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(c + I*(1 + d)))]
/(4*b)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.23394, antiderivative size = 198, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 4, integrand size = 11, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.364, Rules used = {5167, 2190, 2279, 2391} \[ \frac{\text{PolyLog}\left (2,-\frac{(i c+d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{i c-d+1}\right )}{4 b}-\frac{\text{PolyLog}\left (2,-\frac{(c+i (1-d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (d+1)}\right )}{4 b}+\frac{1}{2} i x \log \left (1+\frac{(i c+d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{i c-d+1}\right )-\frac{1}{2} i x \log \left (1+\frac{(c+i (1-d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (d+1)}\right )+x \tan ^{-1}(d \tan (a+b x)+c) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[ArcTan[c + d*Tan[a + b*x]],x]

[Out]

x*ArcTan[c + d*Tan[a + b*x]] + (I/2)*x*Log[1 + ((1 + I*c + d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + I*c - d)] - (I/2)*
x*Log[1 + ((c + I*(1 - d))*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(c + I*(1 + d))] + PolyLog[2, -(((1 + I*c + d)*E^((2*I)*a
+ (2*I)*b*x))/(1 + I*c - d))]/(4*b) - PolyLog[2, -(((c + I*(1 - d))*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(c + I*(1 + d)))]
/(4*b)

Rule 5167

Int[ArcTan[(c_.) + (d_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTan[c + d*Tan[a + b*x]], x] + (Dist[
b*(1 - I*c - d), Int[(x*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - I*c + d + (1 - I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x] - Dist[
b*(1 + I*c + d), Int[(x*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c - d + (1 + I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x]) /; Fre
eQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[(c + I*d)^2, -1]

Rule 2190

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(b*f*g*n*Log[F]), x]
- Dist[(d*m)/(b*f*g*n*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2279

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2391

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, -(c*e*x^n)]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rubi steps

\begin{align*} \int \tan ^{-1}(c+d \tan (a+b x)) \, dx &=x \tan ^{-1}(c+d \tan (a+b x))+(b (1-i c-d)) \int \frac{e^{2 i a+2 i b x} x}{1-i c+d+(1-i c-d) e^{2 i a+2 i b x}} \, dx-(b (1+i c+d)) \int \frac{e^{2 i a+2 i b x} x}{1+i c-d+(1+i c+d) e^{2 i a+2 i b x}} \, dx\\ &=x \tan ^{-1}(c+d \tan (a+b x))+\frac{1}{2} i x \log \left (1+\frac{(1+i c+d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c-d}\right )-\frac{1}{2} i x \log \left (1+\frac{(c+i (1-d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1+d)}\right )+\frac{1}{2} i \int \log \left (1+\frac{(1-i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-i c+d}\right ) \, dx-\frac{1}{2} i \int \log \left (1+\frac{(1+i c+d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c-d}\right ) \, dx\\ &=x \tan ^{-1}(c+d \tan (a+b x))+\frac{1}{2} i x \log \left (1+\frac{(1+i c+d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c-d}\right )-\frac{1}{2} i x \log \left (1+\frac{(c+i (1-d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1+d)}\right )+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (1+\frac{(1-i c-d) x}{1-i c+d}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i a+2 i b x}\right )}{4 b}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (1+\frac{(1+i c+d) x}{1+i c-d}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i a+2 i b x}\right )}{4 b}\\ &=x \tan ^{-1}(c+d \tan (a+b x))+\frac{1}{2} i x \log \left (1+\frac{(1+i c+d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c-d}\right )-\frac{1}{2} i x \log \left (1+\frac{(c+i (1-d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1+d)}\right )+\frac{\text{Li}_2\left (-\frac{(1+i c+d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c-d}\right )}{4 b}-\frac{\text{Li}_2\left (-\frac{(c+i (1-d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1+d)}\right )}{4 b}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 6.76453, size = 555, normalized size = 2.8 \[ x \tan ^{-1}(d \tan (a+b x)+c)+\frac{x \left (-i \sqrt{-d^2} \left (\text{PolyLog}\left (2,\frac{d^2 (1-i \tan (a+b x))}{i c d+d^2-i \sqrt{-d^2}}\right )+\log (1-i \tan (a+b x)) \log \left (\frac{d^2 (-\tan (a+b x))-c d+\sqrt{-d^2}}{-c d+i d^2+\sqrt{-d^2}}\right )\right )+i \sqrt{-d^2} \left (\text{PolyLog}\left (2,\frac{d^2 (1-i \tan (a+b x))}{i c d+d^2+i \sqrt{-d^2}}\right )+\log (1-i \tan (a+b x)) \log \left (\frac{d^2 \tan (a+b x)+c d+\sqrt{-d^2}}{c d-i d^2+\sqrt{-d^2}}\right )\right )+i \sqrt{-d^2} \left (\text{PolyLog}\left (2,\frac{d^2 (1+i \tan (a+b x))}{-i c d+d^2+i \sqrt{-d^2}}\right )+\log (1+i \tan (a+b x)) \log \left (\frac{d^2 \tan (a+b x)+c d-\sqrt{-d^2}}{c d+i d^2-\sqrt{-d^2}}\right )\right )-i \sqrt{-d^2} \left (\text{PolyLog}\left (2,\frac{d^2 (1+i \tan (a+b x))}{d^2-i \left (c d+\sqrt{-d^2}\right )}\right )+\log (1+i \tan (a+b x)) \log \left (\frac{d^2 \tan (a+b x)+c d+\sqrt{-d^2}}{c d+i d^2+\sqrt{-d^2}}\right )\right )-4 a d \tan ^{-1}(d \tan (a+b x)+c)\right )}{2 d (-i \log (1-i \tan (a+b x))+i \log (1+i \tan (a+b x))+2 a)} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[ArcTan[c + d*Tan[a + b*x]],x]

[Out]

x*ArcTan[c + d*Tan[a + b*x]] + (x*(-4*a*d*ArcTan[c + d*Tan[a + b*x]] - I*Sqrt[-d^2]*(Log[1 - I*Tan[a + b*x]]*L
og[(-(c*d) + Sqrt[-d^2] - d^2*Tan[a + b*x])/(-(c*d) + I*d^2 + Sqrt[-d^2])] + PolyLog[2, (d^2*(1 - I*Tan[a + b*
x]))/(I*c*d + d^2 - I*Sqrt[-d^2])]) + I*Sqrt[-d^2]*(Log[1 - I*Tan[a + b*x]]*Log[(c*d + Sqrt[-d^2] + d^2*Tan[a
+ b*x])/(c*d - I*d^2 + Sqrt[-d^2])] + PolyLog[2, (d^2*(1 - I*Tan[a + b*x]))/(I*c*d + d^2 + I*Sqrt[-d^2])]) + I
*Sqrt[-d^2]*(Log[1 + I*Tan[a + b*x]]*Log[(c*d - Sqrt[-d^2] + d^2*Tan[a + b*x])/(c*d + I*d^2 - Sqrt[-d^2])] + P
olyLog[2, (d^2*(1 + I*Tan[a + b*x]))/((-I)*c*d + d^2 + I*Sqrt[-d^2])]) - I*Sqrt[-d^2]*(Log[1 + I*Tan[a + b*x]]
*Log[(c*d + Sqrt[-d^2] + d^2*Tan[a + b*x])/(c*d + I*d^2 + Sqrt[-d^2])] + PolyLog[2, (d^2*(1 + I*Tan[a + b*x]))
/(d^2 - I*(c*d + Sqrt[-d^2]))])))/(2*d*(2*a - I*Log[1 - I*Tan[a + b*x]] + I*Log[1 + I*Tan[a + b*x]]))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.384, size = 1002, normalized size = 5.1 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(arctan(c+d*tan(b*x+a)),x)

[Out]

1/b*arctan(tan(b*x+a))*arctan(c+d*tan(b*x+a))+1/2*I/b*arctan((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d)*ln(1-(-I-I*d+c)*(1+I*((c+
d*tan(b*x+a))/d-c/d))^2/(((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d)^2+1)/(-I*d+I-c))+1/2/b*arctan((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d)^2+1/4/
b*polylog(2,(-I-I*d+c)*(1+I*((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d))^2/(((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d)^2+1)/(-I*d+I-c))+1/2*d/b/(I+
I*d+c)*ln(1-(I-I*d+c)*(1+I*((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d))^2/(((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d)^2+1)/(-I*d-I-c))*arctan((c+d*
tan(b*x+a))/d-c/d)+1/2/b/(I+I*d+c)*ln(1-(I-I*d+c)*(1+I*((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d))^2/(((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d)^2
+1)/(-I*d-I-c))*arctan((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d)-1/2*I/b/(I+I*d+c)*ln(1-(I-I*d+c)*(1+I*((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d))
^2/(((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d)^2+1)/(-I*d-I-c))*arctan((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d)*c-1/2*I*d/b/(I+I*d+c)*arctan((c+d
*tan(b*x+a))/d-c/d)^2-1/4*I*d/b/(I+I*d+c)*polylog(2,(I-I*d+c)*(1+I*((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d))^2/(((c+d*tan(b*x+
a))/d-c/d)^2+1)/(-I*d-I-c))-1/2*I/b/(I+I*d+c)*arctan((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d)^2-1/2/b/(I+I*d+c)*arctan((c+d*tan
(b*x+a))/d-c/d)^2*c-1/4*I/b/(I+I*d+c)*polylog(2,(I-I*d+c)*(1+I*((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d))^2/(((c+d*tan(b*x+a))/
d-c/d)^2+1)/(-I*d-I-c))-1/4/b/(I+I*d+c)*polylog(2,(I-I*d+c)*(1+I*((c+d*tan(b*x+a))/d-c/d))^2/(((c+d*tan(b*x+a)
)/d-c/d)^2+1)/(-I*d-I-c))*c

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 1.88117, size = 585, normalized size = 2.95 \begin{align*} \frac{d{\left (\frac{8 \,{\left (b x + a\right )} \arctan \left (\frac{d^{2} \tan \left (b x + a\right ) + c d}{d}\right )}{d} - \frac{4 \,{\left (b x + a\right )} \arctan \left (\frac{c d +{\left (d^{2} + d\right )} \tan \left (b x + a\right )}{c^{2} + d^{2} + 2 \, d + 1}, \frac{c d \tan \left (b x + a\right ) + c^{2} + d + 1}{c^{2} + d^{2} + 2 \, d + 1}\right ) - 4 \,{\left (b x + a\right )} \arctan \left (\frac{c d +{\left (d^{2} - d\right )} \tan \left (b x + a\right )}{c^{2} + d^{2} - 2 \, d + 1}, \frac{c d \tan \left (b x + a\right ) + c^{2} - d + 1}{c^{2} + d^{2} - 2 \, d + 1}\right ) + \log \left (\tan \left (b x + a\right )^{2} + 1\right ) \log \left (\frac{d^{2} \tan \left (b x + a\right )^{2} + 2 \, c d \tan \left (b x + a\right ) + c^{2} + 1}{c^{2} + d^{2} + 2 \, d + 1}\right ) - \log \left (\tan \left (b x + a\right )^{2} + 1\right ) \log \left (\frac{d^{2} \tan \left (b x + a\right )^{2} + 2 \, c d \tan \left (b x + a\right ) + c^{2} + 1}{c^{2} + d^{2} - 2 \, d + 1}\right ) + 2 \,{\rm Li}_2\left (-\frac{i \, d \tan \left (b x + a\right ) - d}{i \, c + d + 1}\right ) - 2 \,{\rm Li}_2\left (-\frac{i \, d \tan \left (b x + a\right ) - d}{i \, c + d - 1}\right ) + 2 \,{\rm Li}_2\left (\frac{i \, d \tan \left (b x + a\right ) + d}{-i \, c + d + 1}\right ) - 2 \,{\rm Li}_2\left (\frac{i \, d \tan \left (b x + a\right ) + d}{-i \, c + d - 1}\right )}{d}\right )} + 8 \,{\left (b x + a\right )} \arctan \left (d \tan \left (b x + a\right ) + c\right ) - 8 \,{\left (b x + a\right )} \arctan \left (\frac{d^{2} \tan \left (b x + a\right ) + c d}{d}\right )}{8 \, b} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(arctan(c+d*tan(b*x+a)),x, algorithm="maxima")

[Out]

1/8*(d*(8*(b*x + a)*arctan((d^2*tan(b*x + a) + c*d)/d)/d - (4*(b*x + a)*arctan2((c*d + (d^2 + d)*tan(b*x + a))
/(c^2 + d^2 + 2*d + 1), (c*d*tan(b*x + a) + c^2 + d + 1)/(c^2 + d^2 + 2*d + 1)) - 4*(b*x + a)*arctan2((c*d + (
d^2 - d)*tan(b*x + a))/(c^2 + d^2 - 2*d + 1), (c*d*tan(b*x + a) + c^2 - d + 1)/(c^2 + d^2 - 2*d + 1)) + log(ta
n(b*x + a)^2 + 1)*log((d^2*tan(b*x + a)^2 + 2*c*d*tan(b*x + a) + c^2 + 1)/(c^2 + d^2 + 2*d + 1)) - log(tan(b*x
+ a)^2 + 1)*log((d^2*tan(b*x + a)^2 + 2*c*d*tan(b*x + a) + c^2 + 1)/(c^2 + d^2 - 2*d + 1)) + 2*dilog(-(I*d*ta
n(b*x + a) - d)/(I*c + d + 1)) - 2*dilog(-(I*d*tan(b*x + a) - d)/(I*c + d - 1)) + 2*dilog((I*d*tan(b*x + a) +
d)/(-I*c + d + 1)) - 2*dilog((I*d*tan(b*x + a) + d)/(-I*c + d - 1)))/d) + 8*(b*x + a)*arctan(d*tan(b*x + a) +
c) - 8*(b*x + a)*arctan((d^2*tan(b*x + a) + c*d)/d))/b

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 2.70716, size = 2894, normalized size = 14.62 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(arctan(c+d*tan(b*x+a)),x, algorithm="fricas")

[Out]

1/8*(8*b*x*arctan(d*tan(b*x + a) + c) + (-2*I*b*x - 2*I*a)*log(-(2*(I*c*d - d^2 + d)*tan(b*x + a)^2 - 2*c^2 -
2*I*c*d - (-2*I*c^2 + 4*c*d + 2*I*d^2 - 2*I)*tan(b*x + a) + 2*d - 2)/((c^2 + d^2 - 2*d + 1)*tan(b*x + a)^2 + c
^2 + d^2 - 2*d + 1)) + (2*I*b*x + 2*I*a)*log(-(2*(I*c*d - d^2 - d)*tan(b*x + a)^2 - 2*c^2 - 2*I*c*d - (-2*I*c^
2 + 4*c*d + 2*I*d^2 - 2*I)*tan(b*x + a) - 2*d - 2)/((c^2 + d^2 + 2*d + 1)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + d^2 + 2*d + 1
)) + (2*I*b*x + 2*I*a)*log(-(2*(-I*c*d - d^2 + d)*tan(b*x + a)^2 - 2*c^2 + 2*I*c*d - (2*I*c^2 + 4*c*d - 2*I*d^
2 + 2*I)*tan(b*x + a) + 2*d - 2)/((c^2 + d^2 - 2*d + 1)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + d^2 - 2*d + 1)) + (-2*I*b*x - 2
*I*a)*log(-(2*(-I*c*d - d^2 - d)*tan(b*x + a)^2 - 2*c^2 + 2*I*c*d - (2*I*c^2 + 4*c*d - 2*I*d^2 + 2*I)*tan(b*x
+ a) - 2*d - 2)/((c^2 + d^2 + 2*d + 1)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + d^2 + 2*d + 1)) + 2*I*a*log(((I*c*d + d^2 + d)*t
an(b*x + a)^2 - c^2 + I*c*d + (I*c^2 + I*d^2 + 2*I*d + I)*tan(b*x + a) - d - 1)/(tan(b*x + a)^2 + 1)) - 2*I*a*
log(((I*c*d + d^2 - d)*tan(b*x + a)^2 - c^2 + I*c*d + (I*c^2 + I*d^2 - 2*I*d + I)*tan(b*x + a) + d - 1)/(tan(b
*x + a)^2 + 1)) + 2*I*a*log(((I*c*d - d^2 + d)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + I*c*d + (I*c^2 + I*d^2 - 2*I*d + I)*tan(
b*x + a) - d + 1)/(tan(b*x + a)^2 + 1)) - 2*I*a*log(((I*c*d - d^2 - d)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + I*c*d + (I*c^2 +
I*d^2 + 2*I*d + I)*tan(b*x + a) + d + 1)/(tan(b*x + a)^2 + 1)) + dilog((2*(I*c*d - d^2 + d)*tan(b*x + a)^2 -
2*c^2 - 2*I*c*d - (-2*I*c^2 + 4*c*d + 2*I*d^2 - 2*I)*tan(b*x + a) + 2*d - 2)/((c^2 + d^2 - 2*d + 1)*tan(b*x +
a)^2 + c^2 + d^2 - 2*d + 1) + 1) - dilog((2*(I*c*d - d^2 - d)*tan(b*x + a)^2 - 2*c^2 - 2*I*c*d - (-2*I*c^2 + 4
*c*d + 2*I*d^2 - 2*I)*tan(b*x + a) - 2*d - 2)/((c^2 + d^2 + 2*d + 1)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + d^2 + 2*d + 1) + 1
) + dilog((2*(-I*c*d - d^2 + d)*tan(b*x + a)^2 - 2*c^2 + 2*I*c*d - (2*I*c^2 + 4*c*d - 2*I*d^2 + 2*I)*tan(b*x +
a) + 2*d - 2)/((c^2 + d^2 - 2*d + 1)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + d^2 - 2*d + 1) + 1) - dilog((2*(-I*c*d - d^2 - d)
*tan(b*x + a)^2 - 2*c^2 + 2*I*c*d - (2*I*c^2 + 4*c*d - 2*I*d^2 + 2*I)*tan(b*x + a) - 2*d - 2)/((c^2 + d^2 + 2*
d + 1)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + d^2 + 2*d + 1) + 1))/b

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(atan(c+d*tan(b*x+a)),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \arctan \left (d \tan \left (b x + a\right ) + c\right )\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(arctan(c+d*tan(b*x+a)),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(arctan(d*tan(b*x + a) + c), x)