3.48 \(\int x^2 \tan ^{-1}(c+d \tan (a+b x)) \, dx\)

Optimal. Leaf size=403 \[ \frac{i x \text{PolyLog}\left (3,-\frac{(i c+d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{i c-d+1}\right )}{4 b^2}-\frac{i x \text{PolyLog}\left (3,-\frac{(c+i (1-d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (d+1)}\right )}{4 b^2}-\frac{\text{PolyLog}\left (4,-\frac{(i c+d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{i c-d+1}\right )}{8 b^3}+\frac{\text{PolyLog}\left (4,-\frac{(c+i (1-d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (d+1)}\right )}{8 b^3}+\frac{x^2 \text{PolyLog}\left (2,-\frac{(i c+d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{i c-d+1}\right )}{4 b}-\frac{x^2 \text{PolyLog}\left (2,-\frac{(c+i (1-d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (d+1)}\right )}{4 b}+\frac{1}{6} i x^3 \log \left (1+\frac{(i c+d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{i c-d+1}\right )-\frac{1}{6} i x^3 \log \left (1+\frac{(c+i (1-d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (d+1)}\right )+\frac{1}{3} x^3 \tan ^{-1}(d \tan (a+b x)+c) \]

[Out]

(x^3*ArcTan[c + d*Tan[a + b*x]])/3 + (I/6)*x^3*Log[1 + ((1 + I*c + d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + I*c - d)]
- (I/6)*x^3*Log[1 + ((c + I*(1 - d))*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(c + I*(1 + d))] + (x^2*PolyLog[2, -(((1 + I*c +
d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + I*c - d))])/(4*b) - (x^2*PolyLog[2, -(((c + I*(1 - d))*E^((2*I)*a + (2*I)*b*
x))/(c + I*(1 + d)))])/(4*b) + ((I/4)*x*PolyLog[3, -(((1 + I*c + d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + I*c - d))])/
b^2 - ((I/4)*x*PolyLog[3, -(((c + I*(1 - d))*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(c + I*(1 + d)))])/b^2 - PolyLog[4, -(((
1 + I*c + d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + I*c - d))]/(8*b^3) + PolyLog[4, -(((c + I*(1 - d))*E^((2*I)*a + (2*
I)*b*x))/(c + I*(1 + d)))]/(8*b^3)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.516526, antiderivative size = 403, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 11, number of rules used = 6, integrand size = 15, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.4, Rules used = {5175, 2190, 2531, 6609, 2282, 6589} \[ \frac{i x \text{PolyLog}\left (3,-\frac{(i c+d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{i c-d+1}\right )}{4 b^2}-\frac{i x \text{PolyLog}\left (3,-\frac{(c+i (1-d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (d+1)}\right )}{4 b^2}-\frac{\text{PolyLog}\left (4,-\frac{(i c+d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{i c-d+1}\right )}{8 b^3}+\frac{\text{PolyLog}\left (4,-\frac{(c+i (1-d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (d+1)}\right )}{8 b^3}+\frac{x^2 \text{PolyLog}\left (2,-\frac{(i c+d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{i c-d+1}\right )}{4 b}-\frac{x^2 \text{PolyLog}\left (2,-\frac{(c+i (1-d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (d+1)}\right )}{4 b}+\frac{1}{6} i x^3 \log \left (1+\frac{(i c+d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{i c-d+1}\right )-\frac{1}{6} i x^3 \log \left (1+\frac{(c+i (1-d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (d+1)}\right )+\frac{1}{3} x^3 \tan ^{-1}(d \tan (a+b x)+c) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[x^2*ArcTan[c + d*Tan[a + b*x]],x]

[Out]

(x^3*ArcTan[c + d*Tan[a + b*x]])/3 + (I/6)*x^3*Log[1 + ((1 + I*c + d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + I*c - d)]
- (I/6)*x^3*Log[1 + ((c + I*(1 - d))*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(c + I*(1 + d))] + (x^2*PolyLog[2, -(((1 + I*c +
d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + I*c - d))])/(4*b) - (x^2*PolyLog[2, -(((c + I*(1 - d))*E^((2*I)*a + (2*I)*b*
x))/(c + I*(1 + d)))])/(4*b) + ((I/4)*x*PolyLog[3, -(((1 + I*c + d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + I*c - d))])/
b^2 - ((I/4)*x*PolyLog[3, -(((c + I*(1 - d))*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(c + I*(1 + d)))])/b^2 - PolyLog[4, -(((
1 + I*c + d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + I*c - d))]/(8*b^3) + PolyLog[4, -(((c + I*(1 - d))*E^((2*I)*a + (2*
I)*b*x))/(c + I*(1 + d)))]/(8*b^3)

Rule 5175

Int[ArcTan[(c_.) + (d_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[((e + f*x)^(m
+ 1)*ArcTan[c + d*Tan[a + b*x]])/(f*(m + 1)), x] + (Dist[(b*(1 - I*c - d))/(f*(m + 1)), Int[((e + f*x)^(m + 1)
*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 - I*c + d + (1 - I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x] - Dist[(b*(1 + I*c + d))/(f*(m
+ 1)), Int[((e + f*x)^(m + 1)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))/(1 + I*c - d + (1 + I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x])
/; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[(c + I*d)^2, -1]

Rule 2190

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(b*f*g*n*Log[F]), x]
- Dist[(d*m)/(b*f*g*n*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 6609

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[((e + f*x)^m*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]), x] - Dist[(f*m)/(b*c*p*Log[F]), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rubi steps

\begin{align*} \int x^2 \tan ^{-1}(c+d \tan (a+b x)) \, dx &=\frac{1}{3} x^3 \tan ^{-1}(c+d \tan (a+b x))+\frac{1}{3} (b (1-i c-d)) \int \frac{e^{2 i a+2 i b x} x^3}{1-i c+d+(1-i c-d) e^{2 i a+2 i b x}} \, dx-\frac{1}{3} (b (1+i c+d)) \int \frac{e^{2 i a+2 i b x} x^3}{1+i c-d+(1+i c+d) e^{2 i a+2 i b x}} \, dx\\ &=\frac{1}{3} x^3 \tan ^{-1}(c+d \tan (a+b x))+\frac{1}{6} i x^3 \log \left (1+\frac{(1+i c+d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c-d}\right )-\frac{1}{6} i x^3 \log \left (1+\frac{(c+i (1-d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1+d)}\right )+\frac{1}{2} i \int x^2 \log \left (1+\frac{(1-i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-i c+d}\right ) \, dx-\frac{1}{2} i \int x^2 \log \left (1+\frac{(1+i c+d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c-d}\right ) \, dx\\ &=\frac{1}{3} x^3 \tan ^{-1}(c+d \tan (a+b x))+\frac{1}{6} i x^3 \log \left (1+\frac{(1+i c+d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c-d}\right )-\frac{1}{6} i x^3 \log \left (1+\frac{(c+i (1-d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1+d)}\right )+\frac{x^2 \text{Li}_2\left (-\frac{(1+i c+d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c-d}\right )}{4 b}-\frac{x^2 \text{Li}_2\left (-\frac{(c+i (1-d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1+d)}\right )}{4 b}+\frac{\int x \text{Li}_2\left (-\frac{(1-i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-i c+d}\right ) \, dx}{2 b}-\frac{\int x \text{Li}_2\left (-\frac{(1+i c+d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c-d}\right ) \, dx}{2 b}\\ &=\frac{1}{3} x^3 \tan ^{-1}(c+d \tan (a+b x))+\frac{1}{6} i x^3 \log \left (1+\frac{(1+i c+d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c-d}\right )-\frac{1}{6} i x^3 \log \left (1+\frac{(c+i (1-d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1+d)}\right )+\frac{x^2 \text{Li}_2\left (-\frac{(1+i c+d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c-d}\right )}{4 b}-\frac{x^2 \text{Li}_2\left (-\frac{(c+i (1-d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1+d)}\right )}{4 b}+\frac{i x \text{Li}_3\left (-\frac{(1+i c+d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c-d}\right )}{4 b^2}-\frac{i x \text{Li}_3\left (-\frac{(c+i (1-d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1+d)}\right )}{4 b^2}+\frac{i \int \text{Li}_3\left (-\frac{(1-i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-i c+d}\right ) \, dx}{4 b^2}-\frac{i \int \text{Li}_3\left (-\frac{(1+i c+d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c-d}\right ) \, dx}{4 b^2}\\ &=\frac{1}{3} x^3 \tan ^{-1}(c+d \tan (a+b x))+\frac{1}{6} i x^3 \log \left (1+\frac{(1+i c+d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c-d}\right )-\frac{1}{6} i x^3 \log \left (1+\frac{(c+i (1-d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1+d)}\right )+\frac{x^2 \text{Li}_2\left (-\frac{(1+i c+d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c-d}\right )}{4 b}-\frac{x^2 \text{Li}_2\left (-\frac{(c+i (1-d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1+d)}\right )}{4 b}+\frac{i x \text{Li}_3\left (-\frac{(1+i c+d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c-d}\right )}{4 b^2}-\frac{i x \text{Li}_3\left (-\frac{(c+i (1-d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1+d)}\right )}{4 b^2}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3\left (-\frac{(1+i c+d) x}{1+i c-d}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i a+2 i b x}\right )}{8 b^3}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3\left (-\frac{(c-i (-1+d)) x}{c+i (1+d)}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i a+2 i b x}\right )}{8 b^3}\\ &=\frac{1}{3} x^3 \tan ^{-1}(c+d \tan (a+b x))+\frac{1}{6} i x^3 \log \left (1+\frac{(1+i c+d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c-d}\right )-\frac{1}{6} i x^3 \log \left (1+\frac{(c+i (1-d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1+d)}\right )+\frac{x^2 \text{Li}_2\left (-\frac{(1+i c+d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c-d}\right )}{4 b}-\frac{x^2 \text{Li}_2\left (-\frac{(c+i (1-d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1+d)}\right )}{4 b}+\frac{i x \text{Li}_3\left (-\frac{(1+i c+d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c-d}\right )}{4 b^2}-\frac{i x \text{Li}_3\left (-\frac{(c+i (1-d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1+d)}\right )}{4 b^2}-\frac{\text{Li}_4\left (-\frac{(1+i c+d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c-d}\right )}{8 b^3}+\frac{\text{Li}_4\left (-\frac{(c+i (1-d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1+d)}\right )}{8 b^3}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.909663, size = 363, normalized size = 0.9 \[ \frac{1}{3} x^3 \tan ^{-1}(d \tan (a+b x)+c)+\frac{6 b^2 x^2 \text{PolyLog}\left (2,-\frac{(c-i (d+1)) e^{2 i (a+b x)}}{c+i (d-1)}\right )-6 b^2 x^2 \text{PolyLog}\left (2,-\frac{(c-i d+i) e^{2 i (a+b x)}}{c+i (d+1)}\right )+6 i b x \text{PolyLog}\left (3,-\frac{(c-i (d+1)) e^{2 i (a+b x)}}{c+i (d-1)}\right )-6 i b x \text{PolyLog}\left (3,-\frac{(c-i d+i) e^{2 i (a+b x)}}{c+i (d+1)}\right )-3 \text{PolyLog}\left (4,-\frac{(c-i (d+1)) e^{2 i (a+b x)}}{c+i (d-1)}\right )+3 \text{PolyLog}\left (4,-\frac{(c-i d+i) e^{2 i (a+b x)}}{c+i (d+1)}\right )+4 i b^3 x^3 \log \left (1+\frac{(c-i (d+1)) e^{2 i (a+b x)}}{c+i (d-1)}\right )-4 i b^3 x^3 \log \left (1+\frac{(c-i d+i) e^{2 i (a+b x)}}{c+i (d+1)}\right )}{24 b^3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[x^2*ArcTan[c + d*Tan[a + b*x]],x]

[Out]

(x^3*ArcTan[c + d*Tan[a + b*x]])/3 + ((4*I)*b^3*x^3*Log[1 + ((c - I*(1 + d))*E^((2*I)*(a + b*x)))/(c + I*(-1 +
d))] - (4*I)*b^3*x^3*Log[1 + ((I + c - I*d)*E^((2*I)*(a + b*x)))/(c + I*(1 + d))] + 6*b^2*x^2*PolyLog[2, -(((
c - I*(1 + d))*E^((2*I)*(a + b*x)))/(c + I*(-1 + d)))] - 6*b^2*x^2*PolyLog[2, -(((I + c - I*d)*E^((2*I)*(a + b
*x)))/(c + I*(1 + d)))] + (6*I)*b*x*PolyLog[3, -(((c - I*(1 + d))*E^((2*I)*(a + b*x)))/(c + I*(-1 + d)))] - (6
*I)*b*x*PolyLog[3, -(((I + c - I*d)*E^((2*I)*(a + b*x)))/(c + I*(1 + d)))] - 3*PolyLog[4, -(((c - I*(1 + d))*E
^((2*I)*(a + b*x)))/(c + I*(-1 + d)))] + 3*PolyLog[4, -(((I + c - I*d)*E^((2*I)*(a + b*x)))/(c + I*(1 + d)))])
/(24*b^3)

________________________________________________________________________________________

Maple [C]  time = 8.128, size = 8076, normalized size = 20. \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(x^2*arctan(c+d*tan(b*x+a)),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^2*arctan(c+d*tan(b*x+a)),x, algorithm="maxima")

[Out]

1/6*x^3*arctan2(c*cos(2*b*x + 2*a) + (d + 1)*sin(2*b*x + 2*a) + c, (d + 1)*cos(2*b*x + 2*a) - c*sin(2*b*x + 2*
a) - d + 1) + 1/6*x^3*arctan2(c*cos(2*b*x + 2*a) + (d - 1)*sin(2*b*x + 2*a) + c, -(d - 1)*cos(2*b*x + 2*a) + c
*sin(2*b*x + 2*a) + d + 1) + 4*b*d*integrate(-1/3*(2*(c^2 + d^2 + 1)*x^3*cos(2*b*x + 2*a)^2 + 2*c*d*x^3*sin(2*
b*x + 2*a) + 2*(c^2 + d^2 + 1)*x^3*sin(2*b*x + 2*a)^2 + (c^2 - d^2 + 1)*x^3*cos(2*b*x + 2*a) - (2*c*d*x^3*sin(
2*b*x + 2*a) - (c^2 - d^2 + 1)*x^3*cos(2*b*x + 2*a))*cos(4*b*x + 4*a) + (2*c*d*x^3*cos(2*b*x + 2*a) + (c^2 - d
^2 + 1)*x^3*sin(2*b*x + 2*a))*sin(4*b*x + 4*a))/(c^4 + d^4 + 2*(c^2 - 1)*d^2 + (c^4 + d^4 + 2*(c^2 - 1)*d^2 +
2*c^2 + 1)*cos(4*b*x + 4*a)^2 + 4*(c^4 + d^4 + 2*(c^2 + 1)*d^2 + 2*c^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (c^4 + d^4 +
2*(c^2 - 1)*d^2 + 2*c^2 + 1)*sin(4*b*x + 4*a)^2 + 4*(c^4 + d^4 + 2*(c^2 + 1)*d^2 + 2*c^2 + 1)*sin(2*b*x + 2*a)
^2 + 2*c^2 + 2*(c^4 + d^4 - 2*(3*c^2 + 1)*d^2 + 2*c^2 + 2*(c^4 - d^4 + 2*c^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) - 4*(c*d^3
+ (c^3 + c)*d)*sin(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(4*b*x + 4*a) + 4*(c^4 - d^4 + 2*c^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) - 4*(2*c*d^
3 - 2*(c^3 + c)*d - 2*(c*d^3 + (c^3 + c)*d)*cos(2*b*x + 2*a) - (c^4 - d^4 + 2*c^2 + 1)*sin(2*b*x + 2*a))*sin(4
*b*x + 4*a) + 8*(c*d^3 + (c^3 + c)*d)*sin(2*b*x + 2*a) + 1), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 2.95211, size = 5146, normalized size = 12.77 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^2*arctan(c+d*tan(b*x+a)),x, algorithm="fricas")

[Out]

1/48*(16*b^3*x^3*arctan(d*tan(b*x + a) + c) + 6*b^2*x^2*dilog((2*(I*c*d - d^2 + d)*tan(b*x + a)^2 - 2*c^2 - 2*
I*c*d - (-2*I*c^2 + 4*c*d + 2*I*d^2 - 2*I)*tan(b*x + a) + 2*d - 2)/((c^2 + d^2 - 2*d + 1)*tan(b*x + a)^2 + c^2
+ d^2 - 2*d + 1) + 1) - 6*b^2*x^2*dilog((2*(I*c*d - d^2 - d)*tan(b*x + a)^2 - 2*c^2 - 2*I*c*d - (-2*I*c^2 + 4
*c*d + 2*I*d^2 - 2*I)*tan(b*x + a) - 2*d - 2)/((c^2 + d^2 + 2*d + 1)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + d^2 + 2*d + 1) + 1
) + 6*b^2*x^2*dilog((2*(-I*c*d - d^2 + d)*tan(b*x + a)^2 - 2*c^2 + 2*I*c*d - (2*I*c^2 + 4*c*d - 2*I*d^2 + 2*I)
*tan(b*x + a) + 2*d - 2)/((c^2 + d^2 - 2*d + 1)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + d^2 - 2*d + 1) + 1) - 6*b^2*x^2*dilog((
2*(-I*c*d - d^2 - d)*tan(b*x + a)^2 - 2*c^2 + 2*I*c*d - (2*I*c^2 + 4*c*d - 2*I*d^2 + 2*I)*tan(b*x + a) - 2*d -
2)/((c^2 + d^2 + 2*d + 1)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + d^2 + 2*d + 1) + 1) + 4*I*a^3*log(((I*c*d + d^2 + d)*tan(b*x
+ a)^2 - c^2 + I*c*d + (I*c^2 + I*d^2 + 2*I*d + I)*tan(b*x + a) - d - 1)/(tan(b*x + a)^2 + 1)) - 4*I*a^3*log(
((I*c*d + d^2 - d)*tan(b*x + a)^2 - c^2 + I*c*d + (I*c^2 + I*d^2 - 2*I*d + I)*tan(b*x + a) + d - 1)/(tan(b*x +
a)^2 + 1)) + 4*I*a^3*log(((I*c*d - d^2 + d)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + I*c*d + (I*c^2 + I*d^2 - 2*I*d + I)*tan(b*
x + a) - d + 1)/(tan(b*x + a)^2 + 1)) - 4*I*a^3*log(((I*c*d - d^2 - d)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + I*c*d + (I*c^2 +
I*d^2 + 2*I*d + I)*tan(b*x + a) + d + 1)/(tan(b*x + a)^2 + 1)) + 6*I*b*x*polylog(3, ((c^2 + 2*I*c*d - d^2 + 1
)*tan(b*x + a)^2 - c^2 - 2*I*c*d + d^2 + (2*I*c^2 - 4*c*d - 2*I*d^2 + 2*I)*tan(b*x + a) - 1)/((c^2 + d^2 + 2*d
+ 1)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + d^2 + 2*d + 1)) - 6*I*b*x*polylog(3, ((c^2 - 2*I*c*d - d^2 + 1)*tan(b*x + a)^2 -
c^2 + 2*I*c*d + d^2 + (-2*I*c^2 - 4*c*d + 2*I*d^2 - 2*I)*tan(b*x + a) - 1)/((c^2 + d^2 + 2*d + 1)*tan(b*x + a)
^2 + c^2 + d^2 + 2*d + 1)) - 6*I*b*x*polylog(3, ((c^2 + 2*I*c*d - d^2 + 1)*tan(b*x + a)^2 - c^2 - 2*I*c*d + d^
2 + (2*I*c^2 - 4*c*d - 2*I*d^2 + 2*I)*tan(b*x + a) - 1)/((c^2 + d^2 - 2*d + 1)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + d^2 - 2*
d + 1)) + 6*I*b*x*polylog(3, ((c^2 - 2*I*c*d - d^2 + 1)*tan(b*x + a)^2 - c^2 + 2*I*c*d + d^2 + (-2*I*c^2 - 4*c
*d + 2*I*d^2 - 2*I)*tan(b*x + a) - 1)/((c^2 + d^2 - 2*d + 1)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + d^2 - 2*d + 1)) + (-4*I*b^
3*x^3 - 4*I*a^3)*log(-(2*(I*c*d - d^2 + d)*tan(b*x + a)^2 - 2*c^2 - 2*I*c*d - (-2*I*c^2 + 4*c*d + 2*I*d^2 - 2*
I)*tan(b*x + a) + 2*d - 2)/((c^2 + d^2 - 2*d + 1)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + d^2 - 2*d + 1)) + (4*I*b^3*x^3 + 4*I*
a^3)*log(-(2*(I*c*d - d^2 - d)*tan(b*x + a)^2 - 2*c^2 - 2*I*c*d - (-2*I*c^2 + 4*c*d + 2*I*d^2 - 2*I)*tan(b*x +
a) - 2*d - 2)/((c^2 + d^2 + 2*d + 1)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + d^2 + 2*d + 1)) + (4*I*b^3*x^3 + 4*I*a^3)*log(-(2
*(-I*c*d - d^2 + d)*tan(b*x + a)^2 - 2*c^2 + 2*I*c*d - (2*I*c^2 + 4*c*d - 2*I*d^2 + 2*I)*tan(b*x + a) + 2*d -
2)/((c^2 + d^2 - 2*d + 1)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + d^2 - 2*d + 1)) + (-4*I*b^3*x^3 - 4*I*a^3)*log(-(2*(-I*c*d -
d^2 - d)*tan(b*x + a)^2 - 2*c^2 + 2*I*c*d - (2*I*c^2 + 4*c*d - 2*I*d^2 + 2*I)*tan(b*x + a) - 2*d - 2)/((c^2 +
d^2 + 2*d + 1)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + d^2 + 2*d + 1)) + 3*polylog(4, ((c^2 + 2*I*c*d - d^2 + 1)*tan(b*x + a)^2
- c^2 - 2*I*c*d + d^2 + (2*I*c^2 - 4*c*d - 2*I*d^2 + 2*I)*tan(b*x + a) - 1)/((c^2 + d^2 + 2*d + 1)*tan(b*x +
a)^2 + c^2 + d^2 + 2*d + 1)) + 3*polylog(4, ((c^2 - 2*I*c*d - d^2 + 1)*tan(b*x + a)^2 - c^2 + 2*I*c*d + d^2 +
(-2*I*c^2 - 4*c*d + 2*I*d^2 - 2*I)*tan(b*x + a) - 1)/((c^2 + d^2 + 2*d + 1)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + d^2 + 2*d +
1)) - 3*polylog(4, ((c^2 + 2*I*c*d - d^2 + 1)*tan(b*x + a)^2 - c^2 - 2*I*c*d + d^2 + (2*I*c^2 - 4*c*d - 2*I*d
^2 + 2*I)*tan(b*x + a) - 1)/((c^2 + d^2 - 2*d + 1)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + d^2 - 2*d + 1)) - 3*polylog(4, ((c^2
- 2*I*c*d - d^2 + 1)*tan(b*x + a)^2 - c^2 + 2*I*c*d + d^2 + (-2*I*c^2 - 4*c*d + 2*I*d^2 - 2*I)*tan(b*x + a) -
1)/((c^2 + d^2 - 2*d + 1)*tan(b*x + a)^2 + c^2 + d^2 - 2*d + 1)))/b^3

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x**2*atan(c+d*tan(b*x+a)),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int x^{2} \arctan \left (d \tan \left (b x + a\right ) + c\right )\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^2*arctan(c+d*tan(b*x+a)),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(x^2*arctan(d*tan(b*x + a) + c), x)