3.204 \(\int \frac{e^{-2 i \tan ^{-1}(a+b x)}}{x^2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=62 \[ \frac{2 i b \log (x)}{(-a+i)^2}-\frac{2 i b \log (-a-b x+i)}{(-a+i)^2}-\frac{a+i}{(-a+i) x} \]

[Out]

-((I + a)/((I - a)*x)) + ((2*I)*b*Log[x])/(I - a)^2 - ((2*I)*b*Log[I - a - b*x])/(I - a)^2

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0423323, antiderivative size = 62, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 3, number of rules used = 2, integrand size = 16, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.125, Rules used = {5095, 77} \[ \frac{2 i b \log (x)}{(-a+i)^2}-\frac{2 i b \log (-a-b x+i)}{(-a+i)^2}-\frac{a+i}{(-a+i) x} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[1/(E^((2*I)*ArcTan[a + b*x])*x^2),x]

[Out]

-((I + a)/((I - a)*x)) + ((2*I)*b*Log[x])/(I - a)^2 - ((2*I)*b*Log[I - a - b*x])/(I - a)^2

Rule 5095

Int[E^(ArcTan[(c_.)*((a_) + (b_.)*(x_))]*(n_.))*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[((d + e*x)^m*(1 -
I*a*c - I*b*c*x)^((I*n)/2))/(1 + I*a*c + I*b*c*x)^((I*n)/2), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x]

Rule 77

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegran
d[(a + b*x)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && ((ILtQ[
n, 0] && ILtQ[p, 0]) || EqQ[p, 1] || (IGtQ[p, 0] && ( !IntegerQ[n] || LeQ[9*p + 5*(n + 2), 0] || GeQ[n + p + 1
, 0] || (GeQ[n + p + 2, 0] && RationalQ[a, b, c, d, e, f]))))

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{e^{-2 i \tan ^{-1}(a+b x)}}{x^2} \, dx &=\int \frac{1-i a-i b x}{x^2 (1+i a+i b x)} \, dx\\ &=\int \left (\frac{-i-a}{(-i+a) x^2}+\frac{2 i b}{(-i+a)^2 x}-\frac{2 i b^2}{(-i+a)^2 (-i+a+b x)}\right ) \, dx\\ &=-\frac{i+a}{(i-a) x}+\frac{2 i b \log (x)}{(i-a)^2}-\frac{2 i b \log (i-a-b x)}{(i-a)^2}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.0233313, size = 42, normalized size = 0.68 \[ \frac{a^2-2 i b x \log (-a-b x+i)+2 i b x \log (x)+1}{(a-i)^2 x} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[1/(E^((2*I)*ArcTan[a + b*x])*x^2),x]

[Out]

(1 + a^2 + (2*I)*b*x*Log[x] - (2*I)*b*x*Log[I - a - b*x])/((-I + a)^2*x)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.052, size = 152, normalized size = 2.5 \begin{align*}{\frac{ib\ln \left ({b}^{2}{x}^{2}+2\,xab+{a}^{2}+1 \right ) a}{ \left ( i-a \right ) ^{3}}}+{\frac{b\ln \left ({b}^{2}{x}^{2}+2\,xab+{a}^{2}+1 \right ) }{ \left ( i-a \right ) ^{3}}}-2\,{\frac{b\arctan \left ( bx+a \right ) a}{ \left ( i-a \right ) ^{3}}}+{\frac{2\,ib\arctan \left ( bx+a \right ) }{ \left ( i-a \right ) ^{3}}}+{\frac{{a}^{2}}{x \left ( i-a \right ) ^{2}}}+{\frac{1}{x \left ( i-a \right ) ^{2}}}-{\frac{2\,ib\ln \left ( x \right ) a}{ \left ( i-a \right ) ^{3}}}-2\,{\frac{b\ln \left ( x \right ) }{ \left ( i-a \right ) ^{3}}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(1/(1+I*(b*x+a))^2*(1+(b*x+a)^2)/x^2,x)

[Out]

I*b/(I-a)^3*ln(b^2*x^2+2*a*b*x+a^2+1)*a+b/(I-a)^3*ln(b^2*x^2+2*a*b*x+a^2+1)-2*b/(I-a)^3*arctan(b*x+a)*a+2*I*b/
(I-a)^3*arctan(b*x+a)+1/x/(I-a)^2*a^2+1/x/(I-a)^2-2*I*b/(I-a)^3*ln(x)*a-2*b/(I-a)^3*ln(x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 1.01585, size = 153, normalized size = 2.47 \begin{align*} -\frac{{\left (2 \, a - 2 i\right )} b \log \left (i \, b x + i \, a + 1\right )}{-i \, a^{3} - 3 \, a^{2} + 3 i \, a + 1} + \frac{{\left (2 \, a - 2 i\right )} b \log \left (x\right )}{-i \, a^{3} - 3 \, a^{2} + 3 i \, a + 1} + \frac{a^{3} +{\left (a^{2} + 1\right )} b x - i \, a^{2} + a - i}{{\left (a^{2} - 2 i \, a - 1\right )} b x^{2} +{\left (a^{3} - 3 i \, a^{2} - 3 \, a + i\right )} x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(1+I*(b*x+a))^2*(1+(b*x+a)^2)/x^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

-(2*a - 2*I)*b*log(I*b*x + I*a + 1)/(-I*a^3 - 3*a^2 + 3*I*a + 1) + (2*a - 2*I)*b*log(x)/(-I*a^3 - 3*a^2 + 3*I*
a + 1) + (a^3 + (a^2 + 1)*b*x - I*a^2 + a - I)/((a^2 - 2*I*a - 1)*b*x^2 + (a^3 - 3*I*a^2 - 3*a + I)*x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [A]  time = 2.14245, size = 109, normalized size = 1.76 \begin{align*} \frac{2 i \, b x \log \left (x\right ) - 2 i \, b x \log \left (\frac{b x + a - i}{b}\right ) + a^{2} + 1}{{\left (a^{2} - 2 i \, a - 1\right )} x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(1+I*(b*x+a))^2*(1+(b*x+a)^2)/x^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

(2*I*b*x*log(x) - 2*I*b*x*log((b*x + a - I)/b) + a^2 + 1)/((a^2 - 2*I*a - 1)*x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [B]  time = 8.05596, size = 3550, normalized size = 57.26 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(1+I*(b*x+a))**2*(1+(b*x+a)**2)/x**2,x)

[Out]

-2*b*sqrt((-a**23 - 23*I*a**22 + 253*a**21 + 1771*I*a**20 - 8855*a**19 - 33649*I*a**18 + 100947*a**17 + 245157
*I*a**16 - 490314*a**15 - 817190*I*a**14 + 1144066*a**13 + 1352078*I*a**12 - 1352078*a**11 - 1144066*I*a**10 +
817190*a**9 + 490314*I*a**8 - 245157*a**7 - 100947*I*a**6 + 33649*a**5 + 8855*I*a**4 - 1771*a**3 - 253*I*a**2
+ 23*a + I)/(a**27 + 19*I*a**26 - 167*a**25 - 893*I*a**24 + 3198*a**23 + 7866*I*a**22 - 12650*a**21 - 9614*I*
a**20 - 10373*a**19 - 43263*I*a**18 + 62491*a**17 + 37145*I*a**16 + 29716*a**15 + 89148*I*a**14 - 89148*a**13
- 29716*I*a**12 - 37145*a**11 - 62491*I*a**10 + 43263*a**9 + 10373*I*a**8 + 9614*a**7 + 12650*I*a**6 - 7866*a*
*5 - 3198*I*a**4 + 893*a**3 + 167*I*a**2 - 19*a - I))*log(-2*b*sqrt((-a**23 - 23*I*a**22 + 253*a**21 + 1771*I*
a**20 - 8855*a**19 - 33649*I*a**18 + 100947*a**17 + 245157*I*a**16 - 490314*a**15 - 817190*I*a**14 + 1144066*a
**13 + 1352078*I*a**12 - 1352078*a**11 - 1144066*I*a**10 + 817190*a**9 + 490314*I*a**8 - 245157*a**7 - 100947*
I*a**6 + 33649*a**5 + 8855*I*a**4 - 1771*a**3 - 253*I*a**2 + 23*a + I)/(a**27 + 19*I*a**26 - 167*a**25 - 893*I
*a**24 + 3198*a**23 + 7866*I*a**22 - 12650*a**21 - 9614*I*a**20 - 10373*a**19 - 43263*I*a**18 + 62491*a**17 +
37145*I*a**16 + 29716*a**15 + 89148*I*a**14 - 89148*a**13 - 29716*I*a**12 - 37145*a**11 - 62491*I*a**10 + 4326
3*a**9 + 10373*I*a**8 + 9614*a**7 + 12650*I*a**6 - 7866*a**5 - 3198*I*a**4 + 893*a**3 + 167*I*a**2 - 19*a - I)
)*(I*a**33 - 27*a**32 - 348*I*a**31 + 2844*a**30 + 16500*I*a**29 - 72036*a**28 - 244412*I*a**27 + 654588*a**26
+ 1384344*I*a**25 - 2262000*a**24 - 2646540*I*a**23 + 1560780*a**22 - 1560780*I*a**21 + 5882940*a**20 + 90045
00*I*a**19 - 8364180*a**18 - 3421710*I*a**17 - 3421710*a**16 - 8364180*I*a**15 + 9004500*a**14 + 5882940*I*a**
13 - 1560780*a**12 + 1560780*I*a**11 - 2646540*a**10 - 2262000*I*a**9 + 1384344*a**8 + 654588*I*a**7 - 244412*
a**6 - 72036*I*a**5 + 16500*a**4 + 2844*I*a**3 - 348*a**2 - 27*I*a + 1)/(4*a**30*b**2 + 120*I*a**29*b**2 - 174
0*a**28*b**2 - 16240*I*a**27*b**2 + 109620*a**26*b**2 + 570024*I*a**25*b**2 - 2375100*a**24*b**2 - 8143200*I*a
**23*b**2 + 23411700*a**22*b**2 + 57228600*I*a**21*b**2 - 120180060*a**20*b**2 - 218509200*I*a**19*b**2 + 3459
72900*a**18*b**2 + 479039400*I*a**17*b**2 - 581690700*a**16*b**2 - 620470080*I*a**15*b**2 + 581690700*a**14*b*
*2 + 479039400*I*a**13*b**2 - 345972900*a**12*b**2 - 218509200*I*a**11*b**2 + 120180060*a**10*b**2 + 57228600*
I*a**9*b**2 - 23411700*a**8*b**2 - 8143200*I*a**7*b**2 + 2375100*a**6*b**2 + 570024*I*a**5*b**2 - 109620*a**4*
b**2 - 16240*I*a**3*b**2 + 1740*a**2*b**2 + 120*I*a*b**2 - 4*b**2) + x + (a**50 + 48*I*a**49 - 1127*a**48 - 17
248*I*a**47 + 193452*a**46 + 1695008*I*a**45 - 12076932*a**44 - 71916768*I*a**43 + 365077482*a**42 + 160347756
8*I*a**41 - 6163366902*a**40 - 20918093728*I*a**39 + 63127818572*a**38 + 170333048928*I*a**37 - 412652088772*a
**36 - 900331830048*I*a**35 + 1772528290407*a**34 + 3151161405168*I*a**33 - 5054988087457*a**32 - 729742641196
8*I*a**31 + 9425842448792*a**30 + 10772391370048*I*a**29 - 10649977831752*a**28 - 8643460269248*I*a**27 + 4861
946401452*a**26 + 4861946401452*a**24 + 8643460269248*I*a**23 - 10649977831752*a**22 - 10772391370048*I*a**21
+ 9425842448792*a**20 + 7297426411968*I*a**19 - 5054988087457*a**18 - 3151161405168*I*a**17 + 1772528290407*a*
*16 + 900331830048*I*a**15 - 412652088772*a**14 - 170333048928*I*a**13 + 63127818572*a**12 + 20918093728*I*a**
11 - 6163366902*a**10 - 1603477568*I*a**9 + 365077482*a**8 + 71916768*I*a**7 - 12076932*a**6 - 1695008*I*a**5
+ 193452*a**4 + 17248*I*a**3 - 1127*a**2 - 48*I*a + 1)/(2*a**49*b + 98*I*a**48*b - 2352*a**47*b - 36848*I*a**4
6*b + 423752*a**45*b + 3813768*I*a**44*b - 27967632*a**43*b - 171801168*I*a**42*b + 901956132*a**41*b + 410891
1268*I*a**40*b - 16435645072*a**39*b - 58271832528*I*a**38*b + 184527469672*a**37*b + 525193567528*I*a**36*b -
1350497745072*a**35*b - 3151161405168*I*a**34*b + 6696217985982*a**33*b + 12998540796318*I*a**32*b - 23108516
971232*a**31*b - 37703369795168*I*a**30*b + 56555054692752*a**29*b + 78099837432848*I*a**28*b - 99399793096352
*a**27*b - 116686713634848*I*a**26*b + 126410606437752*a**25*b + 126410606437752*I*a**24*b - 116686713634848*a
**23*b - 99399793096352*I*a**22*b + 78099837432848*a**21*b + 56555054692752*I*a**20*b - 37703369795168*a**19*b
- 23108516971232*I*a**18*b + 12998540796318*a**17*b + 6696217985982*I*a**16*b - 3151161405168*a**15*b - 13504
97745072*I*a**14*b + 525193567528*a**13*b + 184527469672*I*a**12*b - 58271832528*a**11*b - 16435645072*I*a**10
*b + 4108911268*a**9*b + 901956132*I*a**8*b - 171801168*a**7*b - 27967632*I*a**6*b + 3813768*a**5*b + 423752*I
*a**4*b - 36848*a**3*b - 2352*I*a**2*b + 98*a*b + 2*I*b)) + 2*b*sqrt((-a**23 - 23*I*a**22 + 253*a**21 + 1771*I
*a**20 - 8855*a**19 - 33649*I*a**18 + 100947*a**17 + 245157*I*a**16 - 490314*a**15 - 817190*I*a**14 + 1144066*
a**13 + 1352078*I*a**12 - 1352078*a**11 - 1144066*I*a**10 + 817190*a**9 + 490314*I*a**8 - 245157*a**7 - 100947
*I*a**6 + 33649*a**5 + 8855*I*a**4 - 1771*a**3 - 253*I*a**2 + 23*a + I)/(a**27 + 19*I*a**26 - 167*a**25 - 893*
I*a**24 + 3198*a**23 + 7866*I*a**22 - 12650*a**21 - 9614*I*a**20 - 10373*a**19 - 43263*I*a**18 + 62491*a**17 +
37145*I*a**16 + 29716*a**15 + 89148*I*a**14 - 89148*a**13 - 29716*I*a**12 - 37145*a**11 - 62491*I*a**10 + 432
63*a**9 + 10373*I*a**8 + 9614*a**7 + 12650*I*a**6 - 7866*a**5 - 3198*I*a**4 + 893*a**3 + 167*I*a**2 - 19*a - I
))*log(2*b*sqrt((-a**23 - 23*I*a**22 + 253*a**21 + 1771*I*a**20 - 8855*a**19 - 33649*I*a**18 + 100947*a**17 +
245157*I*a**16 - 490314*a**15 - 817190*I*a**14 + 1144066*a**13 + 1352078*I*a**12 - 1352078*a**11 - 1144066*I*a
**10 + 817190*a**9 + 490314*I*a**8 - 245157*a**7 - 100947*I*a**6 + 33649*a**5 + 8855*I*a**4 - 1771*a**3 - 253*
I*a**2 + 23*a + I)/(a**27 + 19*I*a**26 - 167*a**25 - 893*I*a**24 + 3198*a**23 + 7866*I*a**22 - 12650*a**21 - 9
614*I*a**20 - 10373*a**19 - 43263*I*a**18 + 62491*a**17 + 37145*I*a**16 + 29716*a**15 + 89148*I*a**14 - 89148*
a**13 - 29716*I*a**12 - 37145*a**11 - 62491*I*a**10 + 43263*a**9 + 10373*I*a**8 + 9614*a**7 + 12650*I*a**6 - 7
866*a**5 - 3198*I*a**4 + 893*a**3 + 167*I*a**2 - 19*a - I))*(I*a**33 - 27*a**32 - 348*I*a**31 + 2844*a**30 + 1
6500*I*a**29 - 72036*a**28 - 244412*I*a**27 + 654588*a**26 + 1384344*I*a**25 - 2262000*a**24 - 2646540*I*a**23
+ 1560780*a**22 - 1560780*I*a**21 + 5882940*a**20 + 9004500*I*a**19 - 8364180*a**18 - 3421710*I*a**17 - 34217
10*a**16 - 8364180*I*a**15 + 9004500*a**14 + 5882940*I*a**13 - 1560780*a**12 + 1560780*I*a**11 - 2646540*a**10
- 2262000*I*a**9 + 1384344*a**8 + 654588*I*a**7 - 244412*a**6 - 72036*I*a**5 + 16500*a**4 + 2844*I*a**3 - 348
*a**2 - 27*I*a + 1)/(4*a**30*b**2 + 120*I*a**29*b**2 - 1740*a**28*b**2 - 16240*I*a**27*b**2 + 109620*a**26*b**
2 + 570024*I*a**25*b**2 - 2375100*a**24*b**2 - 8143200*I*a**23*b**2 + 23411700*a**22*b**2 + 57228600*I*a**21*b
**2 - 120180060*a**20*b**2 - 218509200*I*a**19*b**2 + 345972900*a**18*b**2 + 479039400*I*a**17*b**2 - 58169070
0*a**16*b**2 - 620470080*I*a**15*b**2 + 581690700*a**14*b**2 + 479039400*I*a**13*b**2 - 345972900*a**12*b**2 -
218509200*I*a**11*b**2 + 120180060*a**10*b**2 + 57228600*I*a**9*b**2 - 23411700*a**8*b**2 - 8143200*I*a**7*b*
*2 + 2375100*a**6*b**2 + 570024*I*a**5*b**2 - 109620*a**4*b**2 - 16240*I*a**3*b**2 + 1740*a**2*b**2 + 120*I*a*
b**2 - 4*b**2) + x + (a**50 + 48*I*a**49 - 1127*a**48 - 17248*I*a**47 + 193452*a**46 + 1695008*I*a**45 - 12076
932*a**44 - 71916768*I*a**43 + 365077482*a**42 + 1603477568*I*a**41 - 6163366902*a**40 - 20918093728*I*a**39 +
63127818572*a**38 + 170333048928*I*a**37 - 412652088772*a**36 - 900331830048*I*a**35 + 1772528290407*a**34 +
3151161405168*I*a**33 - 5054988087457*a**32 - 7297426411968*I*a**31 + 9425842448792*a**30 + 10772391370048*I*a
**29 - 10649977831752*a**28 - 8643460269248*I*a**27 + 4861946401452*a**26 + 4861946401452*a**24 + 864346026924
8*I*a**23 - 10649977831752*a**22 - 10772391370048*I*a**21 + 9425842448792*a**20 + 7297426411968*I*a**19 - 5054
988087457*a**18 - 3151161405168*I*a**17 + 1772528290407*a**16 + 900331830048*I*a**15 - 412652088772*a**14 - 17
0333048928*I*a**13 + 63127818572*a**12 + 20918093728*I*a**11 - 6163366902*a**10 - 1603477568*I*a**9 + 36507748
2*a**8 + 71916768*I*a**7 - 12076932*a**6 - 1695008*I*a**5 + 193452*a**4 + 17248*I*a**3 - 1127*a**2 - 48*I*a +
1)/(2*a**49*b + 98*I*a**48*b - 2352*a**47*b - 36848*I*a**46*b + 423752*a**45*b + 3813768*I*a**44*b - 27967632*
a**43*b - 171801168*I*a**42*b + 901956132*a**41*b + 4108911268*I*a**40*b - 16435645072*a**39*b - 58271832528*I
*a**38*b + 184527469672*a**37*b + 525193567528*I*a**36*b - 1350497745072*a**35*b - 3151161405168*I*a**34*b + 6
696217985982*a**33*b + 12998540796318*I*a**32*b - 23108516971232*a**31*b - 37703369795168*I*a**30*b + 56555054
692752*a**29*b + 78099837432848*I*a**28*b - 99399793096352*a**27*b - 116686713634848*I*a**26*b + 1264106064377
52*a**25*b + 126410606437752*I*a**24*b - 116686713634848*a**23*b - 99399793096352*I*a**22*b + 78099837432848*a
**21*b + 56555054692752*I*a**20*b - 37703369795168*a**19*b - 23108516971232*I*a**18*b + 12998540796318*a**17*b
+ 6696217985982*I*a**16*b - 3151161405168*a**15*b - 1350497745072*I*a**14*b + 525193567528*a**13*b + 18452746
9672*I*a**12*b - 58271832528*a**11*b - 16435645072*I*a**10*b + 4108911268*a**9*b + 901956132*I*a**8*b - 171801
168*a**7*b - 27967632*I*a**6*b + 3813768*a**5*b + 423752*I*a**4*b - 36848*a**3*b - 2352*I*a**2*b + 98*a*b + 2*
I*b)) + (a**5 + 5*I*a**4 - 10*a**3 - 10*I*a**2 + 5*a + I)/(x*(a**5 + 3*I*a**4 - 2*a**3 + 2*I*a**2 - 3*a - I))

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.11125, size = 143, normalized size = 2.31 \begin{align*} -\frac{2 \, b^{2} \log \left (-\frac{a i}{b i x + a i + 1} + \frac{i^{2}}{b i x + a i + 1} + 1\right )}{a^{2} b i + 2 \, a b - b i} - \frac{a b + b i}{{\left (a - i\right )}^{2}{\left (\frac{a i}{b i x + a i + 1} - \frac{i^{2}}{b i x + a i + 1} - 1\right )}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(1+I*(b*x+a))^2*(1+(b*x+a)^2)/x^2,x, algorithm="giac")

[Out]

-2*b^2*log(-a*i/(b*i*x + a*i + 1) + i^2/(b*i*x + a*i + 1) + 1)/(a^2*b*i + 2*a*b - b*i) - (a*b + b*i)/((a - i)^
2*(a*i/(b*i*x + a*i + 1) - i^2/(b*i*x + a*i + 1) - 1))