3.177 \(\int \frac{e^{2 i \tan ^{-1}(a+b x)}}{x^2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=55 \[ -\frac{2 i b \log (x)}{(a+i)^2}+\frac{2 i b \log (a+b x+i)}{(a+i)^2}-\frac{-a+i}{(a+i) x} \]

[Out]

-((I - a)/((I + a)*x)) - ((2*I)*b*Log[x])/(I + a)^2 + ((2*I)*b*Log[I + a + b*x])/(I + a)^2

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0413953, antiderivative size = 55, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 3, number of rules used = 2, integrand size = 16, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.125, Rules used = {5095, 77} \[ -\frac{2 i b \log (x)}{(a+i)^2}+\frac{2 i b \log (a+b x+i)}{(a+i)^2}-\frac{-a+i}{(a+i) x} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[E^((2*I)*ArcTan[a + b*x])/x^2,x]

[Out]

-((I - a)/((I + a)*x)) - ((2*I)*b*Log[x])/(I + a)^2 + ((2*I)*b*Log[I + a + b*x])/(I + a)^2

Rule 5095

Int[E^(ArcTan[(c_.)*((a_) + (b_.)*(x_))]*(n_.))*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[((d + e*x)^m*(1 -
I*a*c - I*b*c*x)^((I*n)/2))/(1 + I*a*c + I*b*c*x)^((I*n)/2), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x]

Rule 77

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegran
d[(a + b*x)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && ((ILtQ[
n, 0] && ILtQ[p, 0]) || EqQ[p, 1] || (IGtQ[p, 0] && ( !IntegerQ[n] || LeQ[9*p + 5*(n + 2), 0] || GeQ[n + p + 1
, 0] || (GeQ[n + p + 2, 0] && RationalQ[a, b, c, d, e, f]))))

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{e^{2 i \tan ^{-1}(a+b x)}}{x^2} \, dx &=\int \frac{1+i a+i b x}{x^2 (1-i a-i b x)} \, dx\\ &=\int \left (\frac{i-a}{(i+a) x^2}-\frac{2 i b}{(i+a)^2 x}+\frac{2 i b^2}{(i+a)^2 (i+a+b x)}\right ) \, dx\\ &=-\frac{i-a}{(i+a) x}-\frac{2 i b \log (x)}{(i+a)^2}+\frac{2 i b \log (i+a+b x)}{(i+a)^2}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.0246957, size = 39, normalized size = 0.71 \[ \frac{a^2+2 i b x \log (a+b x+i)-2 i b x \log (x)+1}{(a+i)^2 x} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[E^((2*I)*ArcTan[a + b*x])/x^2,x]

[Out]

(1 + a^2 - (2*I)*b*x*Log[x] + (2*I)*b*x*Log[I + a + b*x])/((I + a)^2*x)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.044, size = 260, normalized size = 4.7 \begin{align*}{\frac{ib\ln \left ({b}^{2}{x}^{2}+2\,xab+{a}^{2}+1 \right ){a}^{2}}{ \left ({a}^{2}+1 \right ) ^{2}}}-{\frac{ib\ln \left ({b}^{2}{x}^{2}+2\,xab+{a}^{2}+1 \right ) }{ \left ({a}^{2}+1 \right ) ^{2}}}+2\,{\frac{b\ln \left ({b}^{2}{x}^{2}+2\,xab+{a}^{2}+1 \right ) a}{ \left ({a}^{2}+1 \right ) ^{2}}}-{\frac{4\,iba}{ \left ({a}^{2}+1 \right ) ^{2}}\arctan \left ({\frac{2\,{b}^{2}x+2\,ab}{2\,b}} \right ) }+2\,{\frac{{a}^{2}b}{ \left ({a}^{2}+1 \right ) ^{2}}\arctan \left ( 1/2\,{\frac{2\,{b}^{2}x+2\,ab}{b}} \right ) }-2\,{\frac{b}{ \left ({a}^{2}+1 \right ) ^{2}}\arctan \left ( 1/2\,{\frac{2\,{b}^{2}x+2\,ab}{b}} \right ) }-{\frac{2\,ia}{ \left ({a}^{2}+1 \right ) x}}+{\frac{{a}^{2}}{ \left ({a}^{2}+1 \right ) x}}-{\frac{1}{ \left ({a}^{2}+1 \right ) x}}-{\frac{2\,ib\ln \left ( x \right ){a}^{2}}{ \left ({a}^{2}+1 \right ) ^{2}}}+{\frac{2\,ib\ln \left ( x \right ) }{ \left ({a}^{2}+1 \right ) ^{2}}}-4\,{\frac{b\ln \left ( x \right ) a}{ \left ({a}^{2}+1 \right ) ^{2}}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((1+I*(b*x+a))^2/(1+(b*x+a)^2)/x^2,x)

[Out]

I*b/(a^2+1)^2*ln(b^2*x^2+2*a*b*x+a^2+1)*a^2-I*b/(a^2+1)^2*ln(b^2*x^2+2*a*b*x+a^2+1)+2*b/(a^2+1)^2*ln(b^2*x^2+2
*a*b*x+a^2+1)*a-4*I*b/(a^2+1)^2*arctan(1/2*(2*b^2*x+2*a*b)/b)*a+2*b/(a^2+1)^2*arctan(1/2*(2*b^2*x+2*a*b)/b)*a^
2-2*b/(a^2+1)^2*arctan(1/2*(2*b^2*x+2*a*b)/b)-2*I/(a^2+1)/x*a+1/(a^2+1)/x*a^2-1/(a^2+1)/x-2*I*b/(a^2+1)^2*ln(x
)*a^2+2*I*b/(a^2+1)^2*ln(x)-4*b/(a^2+1)^2*ln(x)*a

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 1.51218, size = 169, normalized size = 3.07 \begin{align*} \frac{2 \,{\left (a^{2} - 2 i \, a - 1\right )} b \arctan \left (\frac{b^{2} x + a b}{b}\right )}{a^{4} + 2 \, a^{2} + 1} + \frac{{\left (i \, a^{2} + 2 \, a - i\right )} b \log \left (b^{2} x^{2} + 2 \, a b x + a^{2} + 1\right )}{a^{4} + 2 \, a^{2} + 1} + \frac{{\left (-2 i \, a^{2} - 4 \, a + 2 i\right )} b \log \left (x\right )}{a^{4} + 2 \, a^{2} + 1} + \frac{a^{2} - 2 i \, a - 1}{{\left (a^{2} + 1\right )} x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((1+I*(b*x+a))^2/(1+(b*x+a)^2)/x^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

2*(a^2 - 2*I*a - 1)*b*arctan((b^2*x + a*b)/b)/(a^4 + 2*a^2 + 1) + (I*a^2 + 2*a - I)*b*log(b^2*x^2 + 2*a*b*x +
a^2 + 1)/(a^4 + 2*a^2 + 1) + (-2*I*a^2 - 4*a + 2*I)*b*log(x)/(a^4 + 2*a^2 + 1) + (a^2 - 2*I*a - 1)/((a^2 + 1)*
x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [A]  time = 1.93706, size = 111, normalized size = 2.02 \begin{align*} \frac{-2 i \, b x \log \left (x\right ) + 2 i \, b x \log \left (\frac{b x + a + i}{b}\right ) + a^{2} + 1}{{\left (a^{2} + 2 i \, a - 1\right )} x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((1+I*(b*x+a))^2/(1+(b*x+a)^2)/x^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

(-2*I*b*x*log(x) + 2*I*b*x*log((b*x + a + I)/b) + a^2 + 1)/((a^2 + 2*I*a - 1)*x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [B]  time = 8.1939, size = 3550, normalized size = 64.55 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((1+I*(b*x+a))**2/(1+(b*x+a)**2)/x**2,x)

[Out]

2*b*sqrt((-a**23 + 23*I*a**22 + 253*a**21 - 1771*I*a**20 - 8855*a**19 + 33649*I*a**18 + 100947*a**17 - 245157*
I*a**16 - 490314*a**15 + 817190*I*a**14 + 1144066*a**13 - 1352078*I*a**12 - 1352078*a**11 + 1144066*I*a**10 +
817190*a**9 - 490314*I*a**8 - 245157*a**7 + 100947*I*a**6 + 33649*a**5 - 8855*I*a**4 - 1771*a**3 + 253*I*a**2
+ 23*a - I)/(a**27 - 19*I*a**26 - 167*a**25 + 893*I*a**24 + 3198*a**23 - 7866*I*a**22 - 12650*a**21 + 9614*I*a
**20 - 10373*a**19 + 43263*I*a**18 + 62491*a**17 - 37145*I*a**16 + 29716*a**15 - 89148*I*a**14 - 89148*a**13 +
29716*I*a**12 - 37145*a**11 + 62491*I*a**10 + 43263*a**9 - 10373*I*a**8 + 9614*a**7 - 12650*I*a**6 - 7866*a**
5 + 3198*I*a**4 + 893*a**3 - 167*I*a**2 - 19*a + I))*log(-2*b*sqrt((-a**23 + 23*I*a**22 + 253*a**21 - 1771*I*a
**20 - 8855*a**19 + 33649*I*a**18 + 100947*a**17 - 245157*I*a**16 - 490314*a**15 + 817190*I*a**14 + 1144066*a*
*13 - 1352078*I*a**12 - 1352078*a**11 + 1144066*I*a**10 + 817190*a**9 - 490314*I*a**8 - 245157*a**7 + 100947*I
*a**6 + 33649*a**5 - 8855*I*a**4 - 1771*a**3 + 253*I*a**2 + 23*a - I)/(a**27 - 19*I*a**26 - 167*a**25 + 893*I*
a**24 + 3198*a**23 - 7866*I*a**22 - 12650*a**21 + 9614*I*a**20 - 10373*a**19 + 43263*I*a**18 + 62491*a**17 - 3
7145*I*a**16 + 29716*a**15 - 89148*I*a**14 - 89148*a**13 + 29716*I*a**12 - 37145*a**11 + 62491*I*a**10 + 43263
*a**9 - 10373*I*a**8 + 9614*a**7 - 12650*I*a**6 - 7866*a**5 + 3198*I*a**4 + 893*a**3 - 167*I*a**2 - 19*a + I))
*(I*a**33 + 27*a**32 - 348*I*a**31 - 2844*a**30 + 16500*I*a**29 + 72036*a**28 - 244412*I*a**27 - 654588*a**26
+ 1384344*I*a**25 + 2262000*a**24 - 2646540*I*a**23 - 1560780*a**22 - 1560780*I*a**21 - 5882940*a**20 + 900450
0*I*a**19 + 8364180*a**18 - 3421710*I*a**17 + 3421710*a**16 - 8364180*I*a**15 - 9004500*a**14 + 5882940*I*a**1
3 + 1560780*a**12 + 1560780*I*a**11 + 2646540*a**10 - 2262000*I*a**9 - 1384344*a**8 + 654588*I*a**7 + 244412*a
**6 - 72036*I*a**5 - 16500*a**4 + 2844*I*a**3 + 348*a**2 - 27*I*a - 1)/(4*a**30*b**2 - 120*I*a**29*b**2 - 1740
*a**28*b**2 + 16240*I*a**27*b**2 + 109620*a**26*b**2 - 570024*I*a**25*b**2 - 2375100*a**24*b**2 + 8143200*I*a*
*23*b**2 + 23411700*a**22*b**2 - 57228600*I*a**21*b**2 - 120180060*a**20*b**2 + 218509200*I*a**19*b**2 + 34597
2900*a**18*b**2 - 479039400*I*a**17*b**2 - 581690700*a**16*b**2 + 620470080*I*a**15*b**2 + 581690700*a**14*b**
2 - 479039400*I*a**13*b**2 - 345972900*a**12*b**2 + 218509200*I*a**11*b**2 + 120180060*a**10*b**2 - 57228600*I
*a**9*b**2 - 23411700*a**8*b**2 + 8143200*I*a**7*b**2 + 2375100*a**6*b**2 - 570024*I*a**5*b**2 - 109620*a**4*b
**2 + 16240*I*a**3*b**2 + 1740*a**2*b**2 - 120*I*a*b**2 - 4*b**2) + x + (a**50 - 48*I*a**49 - 1127*a**48 + 172
48*I*a**47 + 193452*a**46 - 1695008*I*a**45 - 12076932*a**44 + 71916768*I*a**43 + 365077482*a**42 - 1603477568
*I*a**41 - 6163366902*a**40 + 20918093728*I*a**39 + 63127818572*a**38 - 170333048928*I*a**37 - 412652088772*a*
*36 + 900331830048*I*a**35 + 1772528290407*a**34 - 3151161405168*I*a**33 - 5054988087457*a**32 + 7297426411968
*I*a**31 + 9425842448792*a**30 - 10772391370048*I*a**29 - 10649977831752*a**28 + 8643460269248*I*a**27 + 48619
46401452*a**26 + 4861946401452*a**24 - 8643460269248*I*a**23 - 10649977831752*a**22 + 10772391370048*I*a**21 +
9425842448792*a**20 - 7297426411968*I*a**19 - 5054988087457*a**18 + 3151161405168*I*a**17 + 1772528290407*a**
16 - 900331830048*I*a**15 - 412652088772*a**14 + 170333048928*I*a**13 + 63127818572*a**12 - 20918093728*I*a**1
1 - 6163366902*a**10 + 1603477568*I*a**9 + 365077482*a**8 - 71916768*I*a**7 - 12076932*a**6 + 1695008*I*a**5 +
193452*a**4 - 17248*I*a**3 - 1127*a**2 + 48*I*a + 1)/(2*a**49*b - 98*I*a**48*b - 2352*a**47*b + 36848*I*a**46
*b + 423752*a**45*b - 3813768*I*a**44*b - 27967632*a**43*b + 171801168*I*a**42*b + 901956132*a**41*b - 4108911
268*I*a**40*b - 16435645072*a**39*b + 58271832528*I*a**38*b + 184527469672*a**37*b - 525193567528*I*a**36*b -
1350497745072*a**35*b + 3151161405168*I*a**34*b + 6696217985982*a**33*b - 12998540796318*I*a**32*b - 231085169
71232*a**31*b + 37703369795168*I*a**30*b + 56555054692752*a**29*b - 78099837432848*I*a**28*b - 99399793096352*
a**27*b + 116686713634848*I*a**26*b + 126410606437752*a**25*b - 126410606437752*I*a**24*b - 116686713634848*a*
*23*b + 99399793096352*I*a**22*b + 78099837432848*a**21*b - 56555054692752*I*a**20*b - 37703369795168*a**19*b
+ 23108516971232*I*a**18*b + 12998540796318*a**17*b - 6696217985982*I*a**16*b - 3151161405168*a**15*b + 135049
7745072*I*a**14*b + 525193567528*a**13*b - 184527469672*I*a**12*b - 58271832528*a**11*b + 16435645072*I*a**10*
b + 4108911268*a**9*b - 901956132*I*a**8*b - 171801168*a**7*b + 27967632*I*a**6*b + 3813768*a**5*b - 423752*I*
a**4*b - 36848*a**3*b + 2352*I*a**2*b + 98*a*b - 2*I*b)) - 2*b*sqrt((-a**23 + 23*I*a**22 + 253*a**21 - 1771*I*
a**20 - 8855*a**19 + 33649*I*a**18 + 100947*a**17 - 245157*I*a**16 - 490314*a**15 + 817190*I*a**14 + 1144066*a
**13 - 1352078*I*a**12 - 1352078*a**11 + 1144066*I*a**10 + 817190*a**9 - 490314*I*a**8 - 245157*a**7 + 100947*
I*a**6 + 33649*a**5 - 8855*I*a**4 - 1771*a**3 + 253*I*a**2 + 23*a - I)/(a**27 - 19*I*a**26 - 167*a**25 + 893*I
*a**24 + 3198*a**23 - 7866*I*a**22 - 12650*a**21 + 9614*I*a**20 - 10373*a**19 + 43263*I*a**18 + 62491*a**17 -
37145*I*a**16 + 29716*a**15 - 89148*I*a**14 - 89148*a**13 + 29716*I*a**12 - 37145*a**11 + 62491*I*a**10 + 4326
3*a**9 - 10373*I*a**8 + 9614*a**7 - 12650*I*a**6 - 7866*a**5 + 3198*I*a**4 + 893*a**3 - 167*I*a**2 - 19*a + I)
)*log(2*b*sqrt((-a**23 + 23*I*a**22 + 253*a**21 - 1771*I*a**20 - 8855*a**19 + 33649*I*a**18 + 100947*a**17 - 2
45157*I*a**16 - 490314*a**15 + 817190*I*a**14 + 1144066*a**13 - 1352078*I*a**12 - 1352078*a**11 + 1144066*I*a*
*10 + 817190*a**9 - 490314*I*a**8 - 245157*a**7 + 100947*I*a**6 + 33649*a**5 - 8855*I*a**4 - 1771*a**3 + 253*I
*a**2 + 23*a - I)/(a**27 - 19*I*a**26 - 167*a**25 + 893*I*a**24 + 3198*a**23 - 7866*I*a**22 - 12650*a**21 + 96
14*I*a**20 - 10373*a**19 + 43263*I*a**18 + 62491*a**17 - 37145*I*a**16 + 29716*a**15 - 89148*I*a**14 - 89148*a
**13 + 29716*I*a**12 - 37145*a**11 + 62491*I*a**10 + 43263*a**9 - 10373*I*a**8 + 9614*a**7 - 12650*I*a**6 - 78
66*a**5 + 3198*I*a**4 + 893*a**3 - 167*I*a**2 - 19*a + I))*(I*a**33 + 27*a**32 - 348*I*a**31 - 2844*a**30 + 16
500*I*a**29 + 72036*a**28 - 244412*I*a**27 - 654588*a**26 + 1384344*I*a**25 + 2262000*a**24 - 2646540*I*a**23
- 1560780*a**22 - 1560780*I*a**21 - 5882940*a**20 + 9004500*I*a**19 + 8364180*a**18 - 3421710*I*a**17 + 342171
0*a**16 - 8364180*I*a**15 - 9004500*a**14 + 5882940*I*a**13 + 1560780*a**12 + 1560780*I*a**11 + 2646540*a**10
- 2262000*I*a**9 - 1384344*a**8 + 654588*I*a**7 + 244412*a**6 - 72036*I*a**5 - 16500*a**4 + 2844*I*a**3 + 348*
a**2 - 27*I*a - 1)/(4*a**30*b**2 - 120*I*a**29*b**2 - 1740*a**28*b**2 + 16240*I*a**27*b**2 + 109620*a**26*b**2
- 570024*I*a**25*b**2 - 2375100*a**24*b**2 + 8143200*I*a**23*b**2 + 23411700*a**22*b**2 - 57228600*I*a**21*b*
*2 - 120180060*a**20*b**2 + 218509200*I*a**19*b**2 + 345972900*a**18*b**2 - 479039400*I*a**17*b**2 - 581690700
*a**16*b**2 + 620470080*I*a**15*b**2 + 581690700*a**14*b**2 - 479039400*I*a**13*b**2 - 345972900*a**12*b**2 +
218509200*I*a**11*b**2 + 120180060*a**10*b**2 - 57228600*I*a**9*b**2 - 23411700*a**8*b**2 + 8143200*I*a**7*b**
2 + 2375100*a**6*b**2 - 570024*I*a**5*b**2 - 109620*a**4*b**2 + 16240*I*a**3*b**2 + 1740*a**2*b**2 - 120*I*a*b
**2 - 4*b**2) + x + (a**50 - 48*I*a**49 - 1127*a**48 + 17248*I*a**47 + 193452*a**46 - 1695008*I*a**45 - 120769
32*a**44 + 71916768*I*a**43 + 365077482*a**42 - 1603477568*I*a**41 - 6163366902*a**40 + 20918093728*I*a**39 +
63127818572*a**38 - 170333048928*I*a**37 - 412652088772*a**36 + 900331830048*I*a**35 + 1772528290407*a**34 - 3
151161405168*I*a**33 - 5054988087457*a**32 + 7297426411968*I*a**31 + 9425842448792*a**30 - 10772391370048*I*a*
*29 - 10649977831752*a**28 + 8643460269248*I*a**27 + 4861946401452*a**26 + 4861946401452*a**24 - 8643460269248
*I*a**23 - 10649977831752*a**22 + 10772391370048*I*a**21 + 9425842448792*a**20 - 7297426411968*I*a**19 - 50549
88087457*a**18 + 3151161405168*I*a**17 + 1772528290407*a**16 - 900331830048*I*a**15 - 412652088772*a**14 + 170
333048928*I*a**13 + 63127818572*a**12 - 20918093728*I*a**11 - 6163366902*a**10 + 1603477568*I*a**9 + 365077482
*a**8 - 71916768*I*a**7 - 12076932*a**6 + 1695008*I*a**5 + 193452*a**4 - 17248*I*a**3 - 1127*a**2 + 48*I*a + 1
)/(2*a**49*b - 98*I*a**48*b - 2352*a**47*b + 36848*I*a**46*b + 423752*a**45*b - 3813768*I*a**44*b - 27967632*a
**43*b + 171801168*I*a**42*b + 901956132*a**41*b - 4108911268*I*a**40*b - 16435645072*a**39*b + 58271832528*I*
a**38*b + 184527469672*a**37*b - 525193567528*I*a**36*b - 1350497745072*a**35*b + 3151161405168*I*a**34*b + 66
96217985982*a**33*b - 12998540796318*I*a**32*b - 23108516971232*a**31*b + 37703369795168*I*a**30*b + 565550546
92752*a**29*b - 78099837432848*I*a**28*b - 99399793096352*a**27*b + 116686713634848*I*a**26*b + 12641060643775
2*a**25*b - 126410606437752*I*a**24*b - 116686713634848*a**23*b + 99399793096352*I*a**22*b + 78099837432848*a*
*21*b - 56555054692752*I*a**20*b - 37703369795168*a**19*b + 23108516971232*I*a**18*b + 12998540796318*a**17*b
- 6696217985982*I*a**16*b - 3151161405168*a**15*b + 1350497745072*I*a**14*b + 525193567528*a**13*b - 184527469
672*I*a**12*b - 58271832528*a**11*b + 16435645072*I*a**10*b + 4108911268*a**9*b - 901956132*I*a**8*b - 1718011
68*a**7*b + 27967632*I*a**6*b + 3813768*a**5*b - 423752*I*a**4*b - 36848*a**3*b + 2352*I*a**2*b + 98*a*b - 2*I
*b)) + (-a**5 + 5*I*a**4 + 10*a**3 - 10*I*a**2 - 5*a + I)/(x*(-a**5 + 3*I*a**4 + 2*a**3 + 2*I*a**2 + 3*a - I))

________________________________________________________________________________________

Giac [A]  time = 1.09192, size = 92, normalized size = 1.67 \begin{align*} -\frac{2 \, b^{2} \log \left (b x + a + i\right )}{a^{2} b i - 2 \, a b - b i} + \frac{2 \, b \log \left ({\left | x \right |}\right )}{a^{2} i - 2 \, a - i} - \frac{{\left (a^{2} i + i\right )} i}{{\left (a + i\right )}^{2} x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((1+I*(b*x+a))^2/(1+(b*x+a)^2)/x^2,x, algorithm="giac")

[Out]

-2*b^2*log(b*x + a + i)/(a^2*b*i - 2*a*b - b*i) + 2*b*log(abs(x))/(a^2*i - 2*a - i) - (a^2*i + i)*i/((a + i)^2
*x)