3.927 \(\int x^5 \sec ^7(a+b x^3) \tan (a+b x^3) \, dx\)

Optimal. Leaf size=110 \[ -\frac{5 \tanh ^{-1}\left (\sin \left (a+b x^3\right )\right )}{336 b^2}-\frac{\tan \left (a+b x^3\right ) \sec ^5\left (a+b x^3\right )}{126 b^2}-\frac{5 \tan \left (a+b x^3\right ) \sec ^3\left (a+b x^3\right )}{504 b^2}-\frac{5 \tan \left (a+b x^3\right ) \sec \left (a+b x^3\right )}{336 b^2}+\frac{x^3 \sec ^7\left (a+b x^3\right )}{21 b} \]

[Out]

(-5*ArcTanh[Sin[a + b*x^3]])/(336*b^2) + (x^3*Sec[a + b*x^3]^7)/(21*b) - (5*Sec[a + b*x^3]*Tan[a + b*x^3])/(33
6*b^2) - (5*Sec[a + b*x^3]^3*Tan[a + b*x^3])/(504*b^2) - (Sec[a + b*x^3]^5*Tan[a + b*x^3])/(126*b^2)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.112444, antiderivative size = 110, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 4, integrand size = 22, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.182, Rules used = {3757, 4204, 3768, 3770} \[ -\frac{5 \tanh ^{-1}\left (\sin \left (a+b x^3\right )\right )}{336 b^2}-\frac{\tan \left (a+b x^3\right ) \sec ^5\left (a+b x^3\right )}{126 b^2}-\frac{5 \tan \left (a+b x^3\right ) \sec ^3\left (a+b x^3\right )}{504 b^2}-\frac{5 \tan \left (a+b x^3\right ) \sec \left (a+b x^3\right )}{336 b^2}+\frac{x^3 \sec ^7\left (a+b x^3\right )}{21 b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[x^5*Sec[a + b*x^3]^7*Tan[a + b*x^3],x]

[Out]

(-5*ArcTanh[Sin[a + b*x^3]])/(336*b^2) + (x^3*Sec[a + b*x^3]^7)/(21*b) - (5*Sec[a + b*x^3]*Tan[a + b*x^3])/(33
6*b^2) - (5*Sec[a + b*x^3]^3*Tan[a + b*x^3])/(504*b^2) - (Sec[a + b*x^3]^5*Tan[a + b*x^3])/(126*b^2)

Rule 3757

Int[(x_)^(m_.)*Sec[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]^(p_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(x^(
m - n + 1)*Sec[a + b*x^n]^p)/(b*n*p), x] - Dist[(m - n + 1)/(b*n*p), Int[x^(m - n)*Sec[a + b*x^n]^p, x], x] /;
FreeQ[{a, b, p}, x] && IntegerQ[n] && GeQ[m, n] && EqQ[q, 1]

Rule 4204

Int[(x_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sec[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Dist[1/n, Subst[Int[x^(Simplif
y[(m + 1)/n] - 1)*(a + b*Sec[c + d*x])^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x] && IGtQ[Simplify[
(m + 1)/n], 0] && IntegerQ[p]

Rule 3768

Int[(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(n_), x_Symbol] :> -Simp[(b*Cos[c + d*x]*(b*Csc[c + d*x])^(n - 1))/(d*(n -
1)), x] + Dist[(b^2*(n - 2))/(n - 1), Int[(b*Csc[c + d*x])^(n - 2), x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && GtQ[n, 1
] && IntegerQ[2*n]

Rule 3770

Int[csc[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> -Simp[ArcTanh[Cos[c + d*x]]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rubi steps

\begin{align*} \int x^5 \sec ^7\left (a+b x^3\right ) \tan \left (a+b x^3\right ) \, dx &=\frac{x^3 \sec ^7\left (a+b x^3\right )}{21 b}-\frac{\int x^2 \sec ^7\left (a+b x^3\right ) \, dx}{7 b}\\ &=\frac{x^3 \sec ^7\left (a+b x^3\right )}{21 b}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \sec ^7(a+b x) \, dx,x,x^3\right )}{21 b}\\ &=\frac{x^3 \sec ^7\left (a+b x^3\right )}{21 b}-\frac{\sec ^5\left (a+b x^3\right ) \tan \left (a+b x^3\right )}{126 b^2}-\frac{5 \operatorname{Subst}\left (\int \sec ^5(a+b x) \, dx,x,x^3\right )}{126 b}\\ &=\frac{x^3 \sec ^7\left (a+b x^3\right )}{21 b}-\frac{5 \sec ^3\left (a+b x^3\right ) \tan \left (a+b x^3\right )}{504 b^2}-\frac{\sec ^5\left (a+b x^3\right ) \tan \left (a+b x^3\right )}{126 b^2}-\frac{5 \operatorname{Subst}\left (\int \sec ^3(a+b x) \, dx,x,x^3\right )}{168 b}\\ &=\frac{x^3 \sec ^7\left (a+b x^3\right )}{21 b}-\frac{5 \sec \left (a+b x^3\right ) \tan \left (a+b x^3\right )}{336 b^2}-\frac{5 \sec ^3\left (a+b x^3\right ) \tan \left (a+b x^3\right )}{504 b^2}-\frac{\sec ^5\left (a+b x^3\right ) \tan \left (a+b x^3\right )}{126 b^2}-\frac{5 \operatorname{Subst}\left (\int \sec (a+b x) \, dx,x,x^3\right )}{336 b}\\ &=-\frac{5 \tanh ^{-1}\left (\sin \left (a+b x^3\right )\right )}{336 b^2}+\frac{x^3 \sec ^7\left (a+b x^3\right )}{21 b}-\frac{5 \sec \left (a+b x^3\right ) \tan \left (a+b x^3\right )}{336 b^2}-\frac{5 \sec ^3\left (a+b x^3\right ) \tan \left (a+b x^3\right )}{504 b^2}-\frac{\sec ^5\left (a+b x^3\right ) \tan \left (a+b x^3\right )}{126 b^2}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 0.883299, size = 352, normalized size = 3.2 \[ \frac{\sec ^7\left (a+b x^3\right ) \left (-566 \sin \left (2 \left (a+b x^3\right )\right )-200 \sin \left (4 \left (a+b x^3\right )\right )-30 \sin \left (6 \left (a+b x^3\right )\right )+105 \cos \left (5 \left (a+b x^3\right )\right ) \log \left (\cos \left (\frac{1}{2} \left (a+b x^3\right )\right )-\sin \left (\frac{1}{2} \left (a+b x^3\right )\right )\right )+15 \cos \left (7 \left (a+b x^3\right )\right ) \log \left (\cos \left (\frac{1}{2} \left (a+b x^3\right )\right )-\sin \left (\frac{1}{2} \left (a+b x^3\right )\right )\right )+525 \cos \left (a+b x^3\right ) \left (\log \left (\cos \left (\frac{1}{2} \left (a+b x^3\right )\right )-\sin \left (\frac{1}{2} \left (a+b x^3\right )\right )\right )-\log \left (\sin \left (\frac{1}{2} \left (a+b x^3\right )\right )+\cos \left (\frac{1}{2} \left (a+b x^3\right )\right )\right )\right )+315 \cos \left (3 \left (a+b x^3\right )\right ) \left (\log \left (\cos \left (\frac{1}{2} \left (a+b x^3\right )\right )-\sin \left (\frac{1}{2} \left (a+b x^3\right )\right )\right )-\log \left (\sin \left (\frac{1}{2} \left (a+b x^3\right )\right )+\cos \left (\frac{1}{2} \left (a+b x^3\right )\right )\right )\right )-105 \cos \left (5 \left (a+b x^3\right )\right ) \log \left (\sin \left (\frac{1}{2} \left (a+b x^3\right )\right )+\cos \left (\frac{1}{2} \left (a+b x^3\right )\right )\right )-15 \cos \left (7 \left (a+b x^3\right )\right ) \log \left (\sin \left (\frac{1}{2} \left (a+b x^3\right )\right )+\cos \left (\frac{1}{2} \left (a+b x^3\right )\right )\right )+3072 b x^3\right )}{64512 b^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[x^5*Sec[a + b*x^3]^7*Tan[a + b*x^3],x]

[Out]

(Sec[a + b*x^3]^7*(3072*b*x^3 + 105*Cos[5*(a + b*x^3)]*Log[Cos[(a + b*x^3)/2] - Sin[(a + b*x^3)/2]] + 15*Cos[7
*(a + b*x^3)]*Log[Cos[(a + b*x^3)/2] - Sin[(a + b*x^3)/2]] + 525*Cos[a + b*x^3]*(Log[Cos[(a + b*x^3)/2] - Sin[
(a + b*x^3)/2]] - Log[Cos[(a + b*x^3)/2] + Sin[(a + b*x^3)/2]]) + 315*Cos[3*(a + b*x^3)]*(Log[Cos[(a + b*x^3)/
2] - Sin[(a + b*x^3)/2]] - Log[Cos[(a + b*x^3)/2] + Sin[(a + b*x^3)/2]]) - 105*Cos[5*(a + b*x^3)]*Log[Cos[(a +
b*x^3)/2] + Sin[(a + b*x^3)/2]] - 15*Cos[7*(a + b*x^3)]*Log[Cos[(a + b*x^3)/2] + Sin[(a + b*x^3)/2]] - 566*Si
n[2*(a + b*x^3)] - 200*Sin[4*(a + b*x^3)] - 30*Sin[6*(a + b*x^3)]))/(64512*b^2)

________________________________________________________________________________________

Maple [C]  time = 0.148, size = 160, normalized size = 1.5 \begin{align*}{\frac{{\frac{i}{504}} \left ( 15\,{{\rm e}^{13\,i \left ( b{x}^{3}+a \right ) }}-3072\,ib{x}^{3}{{\rm e}^{7\,i \left ( b{x}^{3}+a \right ) }}+100\,{{\rm e}^{11\,i \left ( b{x}^{3}+a \right ) }}+283\,{{\rm e}^{9\,i \left ( b{x}^{3}+a \right ) }}-283\,{{\rm e}^{5\,i \left ( b{x}^{3}+a \right ) }}-100\,{{\rm e}^{3\,i \left ( b{x}^{3}+a \right ) }}-15\,{{\rm e}^{i \left ( b{x}^{3}+a \right ) }} \right ) }{{b}^{2} \left ({{\rm e}^{2\,i \left ( b{x}^{3}+a \right ) }}+1 \right ) ^{7}}}-{\frac{5\,\ln \left ({{\rm e}^{i \left ( b{x}^{3}+a \right ) }}+i \right ) }{336\,{b}^{2}}}+{\frac{5\,\ln \left ({{\rm e}^{i \left ( b{x}^{3}+a \right ) }}-i \right ) }{336\,{b}^{2}}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(x^5*sec(b*x^3+a)^7*tan(b*x^3+a),x)

[Out]

1/504*I/b^2/(exp(2*I*(b*x^3+a))+1)^7*(15*exp(13*I*(b*x^3+a))-3072*I*b*x^3*exp(7*I*(b*x^3+a))+100*exp(11*I*(b*x
^3+a))+283*exp(9*I*(b*x^3+a))-283*exp(5*I*(b*x^3+a))-100*exp(3*I*(b*x^3+a))-15*exp(I*(b*x^3+a)))-5/336/b^2*ln(
exp(I*(b*x^3+a))+I)+5/336/b^2*ln(exp(I*(b*x^3+a))-I)

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 2.32208, size = 5171, normalized size = 47.01 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^5*sec(b*x^3+a)^7*tan(b*x^3+a),x, algorithm="maxima")

[Out]

1/2016*(4*(3072*b*x^3*cos(7*b*x^3 + 7*a) - 15*sin(13*b*x^3 + 13*a) - 100*sin(11*b*x^3 + 11*a) - 283*sin(9*b*x^
3 + 9*a) + 283*sin(5*b*x^3 + 5*a) + 100*sin(3*b*x^3 + 3*a) + 15*sin(b*x^3 + a))*cos(14*b*x^3 + 14*a) + 420*(si
n(12*b*x^3 + 12*a) + 3*sin(10*b*x^3 + 10*a) + 5*sin(8*b*x^3 + 8*a) + 5*sin(6*b*x^3 + 6*a) + 3*sin(4*b*x^3 + 4*
a) + sin(2*b*x^3 + 2*a))*cos(13*b*x^3 + 13*a) + 28*(3072*b*x^3*cos(7*b*x^3 + 7*a) - 100*sin(11*b*x^3 + 11*a) -
283*sin(9*b*x^3 + 9*a) + 283*sin(5*b*x^3 + 5*a) + 100*sin(3*b*x^3 + 3*a) + 15*sin(b*x^3 + a))*cos(12*b*x^3 +
12*a) + 2800*(3*sin(10*b*x^3 + 10*a) + 5*sin(8*b*x^3 + 8*a) + 5*sin(6*b*x^3 + 6*a) + 3*sin(4*b*x^3 + 4*a) + si
n(2*b*x^3 + 2*a))*cos(11*b*x^3 + 11*a) + 84*(3072*b*x^3*cos(7*b*x^3 + 7*a) - 283*sin(9*b*x^3 + 9*a) + 283*sin(
5*b*x^3 + 5*a) + 100*sin(3*b*x^3 + 3*a) + 15*sin(b*x^3 + a))*cos(10*b*x^3 + 10*a) + 7924*(5*sin(8*b*x^3 + 8*a)
+ 5*sin(6*b*x^3 + 6*a) + 3*sin(4*b*x^3 + 4*a) + sin(2*b*x^3 + 2*a))*cos(9*b*x^3 + 9*a) + 140*(3072*b*x^3*cos(
7*b*x^3 + 7*a) + 283*sin(5*b*x^3 + 5*a) + 100*sin(3*b*x^3 + 3*a) + 15*sin(b*x^3 + a))*cos(8*b*x^3 + 8*a) + 122
88*(35*b*x^3*cos(6*b*x^3 + 6*a) + 21*b*x^3*cos(4*b*x^3 + 4*a) + 7*b*x^3*cos(2*b*x^3 + 2*a) + b*x^3)*cos(7*b*x^
3 + 7*a) + 140*(283*sin(5*b*x^3 + 5*a) + 100*sin(3*b*x^3 + 3*a) + 15*sin(b*x^3 + a))*cos(6*b*x^3 + 6*a) - 7924
*(3*sin(4*b*x^3 + 4*a) + sin(2*b*x^3 + 2*a))*cos(5*b*x^3 + 5*a) + 420*(20*sin(3*b*x^3 + 3*a) + 3*sin(b*x^3 + a
))*cos(4*b*x^3 + 4*a) + 15*(2*(7*cos(12*b*x^3 + 12*a) + 21*cos(10*b*x^3 + 10*a) + 35*cos(8*b*x^3 + 8*a) + 35*c
os(6*b*x^3 + 6*a) + 21*cos(4*b*x^3 + 4*a) + 7*cos(2*b*x^3 + 2*a) + 1)*cos(14*b*x^3 + 14*a) + cos(14*b*x^3 + 14
*a)^2 + 14*(21*cos(10*b*x^3 + 10*a) + 35*cos(8*b*x^3 + 8*a) + 35*cos(6*b*x^3 + 6*a) + 21*cos(4*b*x^3 + 4*a) +
7*cos(2*b*x^3 + 2*a) + 1)*cos(12*b*x^3 + 12*a) + 49*cos(12*b*x^3 + 12*a)^2 + 42*(35*cos(8*b*x^3 + 8*a) + 35*co
s(6*b*x^3 + 6*a) + 21*cos(4*b*x^3 + 4*a) + 7*cos(2*b*x^3 + 2*a) + 1)*cos(10*b*x^3 + 10*a) + 441*cos(10*b*x^3 +
10*a)^2 + 70*(35*cos(6*b*x^3 + 6*a) + 21*cos(4*b*x^3 + 4*a) + 7*cos(2*b*x^3 + 2*a) + 1)*cos(8*b*x^3 + 8*a) +
1225*cos(8*b*x^3 + 8*a)^2 + 70*(21*cos(4*b*x^3 + 4*a) + 7*cos(2*b*x^3 + 2*a) + 1)*cos(6*b*x^3 + 6*a) + 1225*co
s(6*b*x^3 + 6*a)^2 + 42*(7*cos(2*b*x^3 + 2*a) + 1)*cos(4*b*x^3 + 4*a) + 441*cos(4*b*x^3 + 4*a)^2 + 49*cos(2*b*
x^3 + 2*a)^2 + 14*(sin(12*b*x^3 + 12*a) + 3*sin(10*b*x^3 + 10*a) + 5*sin(8*b*x^3 + 8*a) + 5*sin(6*b*x^3 + 6*a)
+ 3*sin(4*b*x^3 + 4*a) + sin(2*b*x^3 + 2*a))*sin(14*b*x^3 + 14*a) + sin(14*b*x^3 + 14*a)^2 + 98*(3*sin(10*b*x
^3 + 10*a) + 5*sin(8*b*x^3 + 8*a) + 5*sin(6*b*x^3 + 6*a) + 3*sin(4*b*x^3 + 4*a) + sin(2*b*x^3 + 2*a))*sin(12*b
*x^3 + 12*a) + 49*sin(12*b*x^3 + 12*a)^2 + 294*(5*sin(8*b*x^3 + 8*a) + 5*sin(6*b*x^3 + 6*a) + 3*sin(4*b*x^3 +
4*a) + sin(2*b*x^3 + 2*a))*sin(10*b*x^3 + 10*a) + 441*sin(10*b*x^3 + 10*a)^2 + 490*(5*sin(6*b*x^3 + 6*a) + 3*s
in(4*b*x^3 + 4*a) + sin(2*b*x^3 + 2*a))*sin(8*b*x^3 + 8*a) + 1225*sin(8*b*x^3 + 8*a)^2 + 490*(3*sin(4*b*x^3 +
4*a) + sin(2*b*x^3 + 2*a))*sin(6*b*x^3 + 6*a) + 1225*sin(6*b*x^3 + 6*a)^2 + 441*sin(4*b*x^3 + 4*a)^2 + 294*sin
(4*b*x^3 + 4*a)*sin(2*b*x^3 + 2*a) + 49*sin(2*b*x^3 + 2*a)^2 + 14*cos(2*b*x^3 + 2*a) + 1)*log((cos(b*x^3 + 2*a
)^2 + cos(a)^2 - 2*cos(a)*sin(b*x^3 + 2*a) + sin(b*x^3 + 2*a)^2 + 2*cos(b*x^3 + 2*a)*sin(a) + sin(a)^2)/(cos(b
*x^3 + 2*a)^2 + cos(a)^2 + 2*cos(a)*sin(b*x^3 + 2*a) + sin(b*x^3 + 2*a)^2 - 2*cos(b*x^3 + 2*a)*sin(a) + sin(a)
^2)) + 4*(3072*b*x^3*sin(7*b*x^3 + 7*a) + 15*cos(13*b*x^3 + 13*a) + 100*cos(11*b*x^3 + 11*a) + 283*cos(9*b*x^3
+ 9*a) - 283*cos(5*b*x^3 + 5*a) - 100*cos(3*b*x^3 + 3*a) - 15*cos(b*x^3 + a))*sin(14*b*x^3 + 14*a) - 60*(7*co
s(12*b*x^3 + 12*a) + 21*cos(10*b*x^3 + 10*a) + 35*cos(8*b*x^3 + 8*a) + 35*cos(6*b*x^3 + 6*a) + 21*cos(4*b*x^3
+ 4*a) + 7*cos(2*b*x^3 + 2*a) + 1)*sin(13*b*x^3 + 13*a) + 28*(3072*b*x^3*sin(7*b*x^3 + 7*a) + 100*cos(11*b*x^3
+ 11*a) + 283*cos(9*b*x^3 + 9*a) - 283*cos(5*b*x^3 + 5*a) - 100*cos(3*b*x^3 + 3*a) - 15*cos(b*x^3 + a))*sin(1
2*b*x^3 + 12*a) - 400*(21*cos(10*b*x^3 + 10*a) + 35*cos(8*b*x^3 + 8*a) + 35*cos(6*b*x^3 + 6*a) + 21*cos(4*b*x^
3 + 4*a) + 7*cos(2*b*x^3 + 2*a) + 1)*sin(11*b*x^3 + 11*a) + 84*(3072*b*x^3*sin(7*b*x^3 + 7*a) + 283*cos(9*b*x^
3 + 9*a) - 283*cos(5*b*x^3 + 5*a) - 100*cos(3*b*x^3 + 3*a) - 15*cos(b*x^3 + a))*sin(10*b*x^3 + 10*a) - 1132*(3
5*cos(8*b*x^3 + 8*a) + 35*cos(6*b*x^3 + 6*a) + 21*cos(4*b*x^3 + 4*a) + 7*cos(2*b*x^3 + 2*a) + 1)*sin(9*b*x^3 +
9*a) + 140*(3072*b*x^3*sin(7*b*x^3 + 7*a) - 283*cos(5*b*x^3 + 5*a) - 100*cos(3*b*x^3 + 3*a) - 15*cos(b*x^3 +
a))*sin(8*b*x^3 + 8*a) + 86016*(5*b*x^3*sin(6*b*x^3 + 6*a) + 3*b*x^3*sin(4*b*x^3 + 4*a) + b*x^3*sin(2*b*x^3 +
2*a))*sin(7*b*x^3 + 7*a) - 140*(283*cos(5*b*x^3 + 5*a) + 100*cos(3*b*x^3 + 3*a) + 15*cos(b*x^3 + a))*sin(6*b*x
^3 + 6*a) + 1132*(21*cos(4*b*x^3 + 4*a) + 7*cos(2*b*x^3 + 2*a) + 1)*sin(5*b*x^3 + 5*a) - 420*(20*cos(3*b*x^3 +
3*a) + 3*cos(b*x^3 + a))*sin(4*b*x^3 + 4*a) + 400*(7*cos(2*b*x^3 + 2*a) + 1)*sin(3*b*x^3 + 3*a) - 2800*cos(3*
b*x^3 + 3*a)*sin(2*b*x^3 + 2*a) - 420*cos(b*x^3 + a)*sin(2*b*x^3 + 2*a) + 420*cos(2*b*x^3 + 2*a)*sin(b*x^3 + a
) + 60*sin(b*x^3 + a))/(b^2*cos(14*b*x^3 + 14*a)^2 + 49*b^2*cos(12*b*x^3 + 12*a)^2 + 441*b^2*cos(10*b*x^3 + 10
*a)^2 + 1225*b^2*cos(8*b*x^3 + 8*a)^2 + 1225*b^2*cos(6*b*x^3 + 6*a)^2 + 441*b^2*cos(4*b*x^3 + 4*a)^2 + 49*b^2*
cos(2*b*x^3 + 2*a)^2 + b^2*sin(14*b*x^3 + 14*a)^2 + 49*b^2*sin(12*b*x^3 + 12*a)^2 + 441*b^2*sin(10*b*x^3 + 10*
a)^2 + 1225*b^2*sin(8*b*x^3 + 8*a)^2 + 1225*b^2*sin(6*b*x^3 + 6*a)^2 + 441*b^2*sin(4*b*x^3 + 4*a)^2 + 294*b^2*
sin(4*b*x^3 + 4*a)*sin(2*b*x^3 + 2*a) + 49*b^2*sin(2*b*x^3 + 2*a)^2 + 14*b^2*cos(2*b*x^3 + 2*a) + b^2 + 2*(7*b
^2*cos(12*b*x^3 + 12*a) + 21*b^2*cos(10*b*x^3 + 10*a) + 35*b^2*cos(8*b*x^3 + 8*a) + 35*b^2*cos(6*b*x^3 + 6*a)
+ 21*b^2*cos(4*b*x^3 + 4*a) + 7*b^2*cos(2*b*x^3 + 2*a) + b^2)*cos(14*b*x^3 + 14*a) + 14*(21*b^2*cos(10*b*x^3 +
10*a) + 35*b^2*cos(8*b*x^3 + 8*a) + 35*b^2*cos(6*b*x^3 + 6*a) + 21*b^2*cos(4*b*x^3 + 4*a) + 7*b^2*cos(2*b*x^3
+ 2*a) + b^2)*cos(12*b*x^3 + 12*a) + 42*(35*b^2*cos(8*b*x^3 + 8*a) + 35*b^2*cos(6*b*x^3 + 6*a) + 21*b^2*cos(4
*b*x^3 + 4*a) + 7*b^2*cos(2*b*x^3 + 2*a) + b^2)*cos(10*b*x^3 + 10*a) + 70*(35*b^2*cos(6*b*x^3 + 6*a) + 21*b^2*
cos(4*b*x^3 + 4*a) + 7*b^2*cos(2*b*x^3 + 2*a) + b^2)*cos(8*b*x^3 + 8*a) + 70*(21*b^2*cos(4*b*x^3 + 4*a) + 7*b^
2*cos(2*b*x^3 + 2*a) + b^2)*cos(6*b*x^3 + 6*a) + 42*(7*b^2*cos(2*b*x^3 + 2*a) + b^2)*cos(4*b*x^3 + 4*a) + 14*(
b^2*sin(12*b*x^3 + 12*a) + 3*b^2*sin(10*b*x^3 + 10*a) + 5*b^2*sin(8*b*x^3 + 8*a) + 5*b^2*sin(6*b*x^3 + 6*a) +
3*b^2*sin(4*b*x^3 + 4*a) + b^2*sin(2*b*x^3 + 2*a))*sin(14*b*x^3 + 14*a) + 98*(3*b^2*sin(10*b*x^3 + 10*a) + 5*b
^2*sin(8*b*x^3 + 8*a) + 5*b^2*sin(6*b*x^3 + 6*a) + 3*b^2*sin(4*b*x^3 + 4*a) + b^2*sin(2*b*x^3 + 2*a))*sin(12*b
*x^3 + 12*a) + 294*(5*b^2*sin(8*b*x^3 + 8*a) + 5*b^2*sin(6*b*x^3 + 6*a) + 3*b^2*sin(4*b*x^3 + 4*a) + b^2*sin(2
*b*x^3 + 2*a))*sin(10*b*x^3 + 10*a) + 490*(5*b^2*sin(6*b*x^3 + 6*a) + 3*b^2*sin(4*b*x^3 + 4*a) + b^2*sin(2*b*x
^3 + 2*a))*sin(8*b*x^3 + 8*a) + 490*(3*b^2*sin(4*b*x^3 + 4*a) + b^2*sin(2*b*x^3 + 2*a))*sin(6*b*x^3 + 6*a))

________________________________________________________________________________________

Fricas [A]  time = 2.31409, size = 294, normalized size = 2.67 \begin{align*} -\frac{15 \, \cos \left (b x^{3} + a\right )^{7} \log \left (\sin \left (b x^{3} + a\right ) + 1\right ) - 15 \, \cos \left (b x^{3} + a\right )^{7} \log \left (-\sin \left (b x^{3} + a\right ) + 1\right ) - 96 \, b x^{3} + 2 \,{\left (15 \, \cos \left (b x^{3} + a\right )^{5} + 10 \, \cos \left (b x^{3} + a\right )^{3} + 8 \, \cos \left (b x^{3} + a\right )\right )} \sin \left (b x^{3} + a\right )}{2016 \, b^{2} \cos \left (b x^{3} + a\right )^{7}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^5*sec(b*x^3+a)^7*tan(b*x^3+a),x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/2016*(15*cos(b*x^3 + a)^7*log(sin(b*x^3 + a) + 1) - 15*cos(b*x^3 + a)^7*log(-sin(b*x^3 + a) + 1) - 96*b*x^3
+ 2*(15*cos(b*x^3 + a)^5 + 10*cos(b*x^3 + a)^3 + 8*cos(b*x^3 + a))*sin(b*x^3 + a))/(b^2*cos(b*x^3 + a)^7)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int x^{5} \tan{\left (a + b x^{3} \right )} \sec ^{7}{\left (a + b x^{3} \right )}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x**5*sec(b*x**3+a)**7*tan(b*x**3+a),x)

[Out]

Integral(x**5*tan(a + b*x**3)*sec(a + b*x**3)**7, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 2.43347, size = 1964, normalized size = 17.85 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^5*sec(b*x^3+a)^7*tan(b*x^3+a),x, algorithm="giac")

[Out]

-1/2016*(96*(b*x^3 + a)*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^14 - 96*a*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^14 + 15*log(2*(tan(1/2*b*x^3 +
1/2*a)^2 + 2*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a) + 1)/(tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^2 + 1))*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^14 - 15*log(2
*(tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^2 - 2*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a) + 1)/(tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^2 + 1))*tan(1/2*b*x^3 + 1/2
*a)^14 + 672*(b*x^3 + a)*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^12 - 672*a*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^12 - 105*log(2*(tan(1/2*b*x^
3 + 1/2*a)^2 + 2*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a) + 1)/(tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^2 + 1))*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^12 + 105*l
og(2*(tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^2 - 2*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a) + 1)/(tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^2 + 1))*tan(1/2*b*x^3 +
1/2*a)^12 + 132*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^13 + 2016*(b*x^3 + a)*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^10 - 2016*a*tan(1/2*b*x^3
+ 1/2*a)^10 + 315*log(2*(tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^2 + 2*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a) + 1)/(tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^2 +
1))*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^10 - 315*log(2*(tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^2 - 2*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a) + 1)/(tan(1/2*
b*x^3 + 1/2*a)^2 + 1))*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^10 - 112*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^11 + 3360*(b*x^3 + a)*tan(1/2*b*
x^3 + 1/2*a)^8 - 3360*a*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^8 - 525*log(2*(tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^2 + 2*tan(1/2*b*x^3 + 1/2
*a) + 1)/(tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^2 + 1))*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^8 + 525*log(2*(tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^2 - 2*ta
n(1/2*b*x^3 + 1/2*a) + 1)/(tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^2 + 1))*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^8 + 340*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a
)^9 + 3360*(b*x^3 + a)*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^6 - 3360*a*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^6 + 525*log(2*(tan(1/2*b*x^3 +
1/2*a)^2 + 2*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a) + 1)/(tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^2 + 1))*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^6 - 525*log(2
*(tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^2 - 2*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a) + 1)/(tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^2 + 1))*tan(1/2*b*x^3 + 1/2
*a)^6 + 2016*(b*x^3 + a)*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^4 - 2016*a*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^4 - 315*log(2*(tan(1/2*b*x^3
+ 1/2*a)^2 + 2*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a) + 1)/(tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^2 + 1))*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^4 + 315*log
(2*(tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^2 - 2*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a) + 1)/(tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^2 + 1))*tan(1/2*b*x^3 + 1
/2*a)^4 - 340*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^5 + 96*b*x^3 + 672*(b*x^3 + a)*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^2 - 672*a*tan(1/2*b
*x^3 + 1/2*a)^2 + 105*log(2*(tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^2 + 2*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a) + 1)/(tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^
2 + 1))*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^2 - 105*log(2*(tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^2 - 2*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a) + 1)/(tan(1/
2*b*x^3 + 1/2*a)^2 + 1))*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^2 + 112*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^3 - 15*log(2*(tan(1/2*b*x^3 + 1
/2*a)^2 + 2*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a) + 1)/(tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^2 + 1)) + 15*log(2*(tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^2 -
2*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a) + 1)/(tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^2 + 1)) - 132*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a))/((tan(1/2*b*x^3 +
1/2*a)^14 - 7*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^12 + 21*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^10 - 35*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^8 + 35*tan
(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^6 - 21*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^4 + 7*tan(1/2*b*x^3 + 1/2*a)^2 - 1)*b^2)