3.565 \(\int \frac{A+B \cos (d+e x)+C \sin (d+e x)}{(a+c \sin (d+e x))^4} \, dx\)

Optimal. Leaf size=258 \[ \frac{\left (2 a^3 A-4 a^2 c C+3 a A c^2-c^3 C\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{a \tan \left (\frac{1}{2} (d+e x)\right )+c}{\sqrt{a^2-c^2}}\right )}{e \left (a^2-c^2\right )^{7/2}}+\frac{\left (11 a^2 A c-2 a^3 C-13 a c^2 C+4 A c^3\right ) \cos (d+e x)}{6 e \left (a^2-c^2\right )^3 (a+c \sin (d+e x))}+\frac{\left (-2 a^2 C+5 a A c-3 c^2 C\right ) \cos (d+e x)}{6 e \left (a^2-c^2\right )^2 (a+c \sin (d+e x))^2}+\frac{(A c-a C) \cos (d+e x)}{3 e \left (a^2-c^2\right ) (a+c \sin (d+e x))^3}-\frac{B}{3 c e (a+c \sin (d+e x))^3} \]

[Out]

((2*a^3*A + 3*a*A*c^2 - 4*a^2*c*C - c^3*C)*ArcTan[(c + a*Tan[(d + e*x)/2])/Sqrt[a^2 - c^2]])/((a^2 - c^2)^(7/2
)*e) - B/(3*c*e*(a + c*Sin[d + e*x])^3) + ((A*c - a*C)*Cos[d + e*x])/(3*(a^2 - c^2)*e*(a + c*Sin[d + e*x])^3)
+ ((5*a*A*c - 2*a^2*C - 3*c^2*C)*Cos[d + e*x])/(6*(a^2 - c^2)^2*e*(a + c*Sin[d + e*x])^2) + ((11*a^2*A*c + 4*A
*c^3 - 2*a^3*C - 13*a*c^2*C)*Cos[d + e*x])/(6*(a^2 - c^2)^3*e*(a + c*Sin[d + e*x]))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.404632, antiderivative size = 258, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 10, number of rules used = 8, integrand size = 31, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.258, Rules used = {4376, 2754, 12, 2660, 618, 204, 2668, 32} \[ \frac{\left (2 a^3 A-4 a^2 c C+3 a A c^2-c^3 C\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{a \tan \left (\frac{1}{2} (d+e x)\right )+c}{\sqrt{a^2-c^2}}\right )}{e \left (a^2-c^2\right )^{7/2}}+\frac{\left (11 a^2 A c-2 a^3 C-13 a c^2 C+4 A c^3\right ) \cos (d+e x)}{6 e \left (a^2-c^2\right )^3 (a+c \sin (d+e x))}+\frac{\left (-2 a^2 C+5 a A c-3 c^2 C\right ) \cos (d+e x)}{6 e \left (a^2-c^2\right )^2 (a+c \sin (d+e x))^2}+\frac{(A c-a C) \cos (d+e x)}{3 e \left (a^2-c^2\right ) (a+c \sin (d+e x))^3}-\frac{B}{3 c e (a+c \sin (d+e x))^3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(A + B*Cos[d + e*x] + C*Sin[d + e*x])/(a + c*Sin[d + e*x])^4,x]

[Out]

((2*a^3*A + 3*a*A*c^2 - 4*a^2*c*C - c^3*C)*ArcTan[(c + a*Tan[(d + e*x)/2])/Sqrt[a^2 - c^2]])/((a^2 - c^2)^(7/2
)*e) - B/(3*c*e*(a + c*Sin[d + e*x])^3) + ((A*c - a*C)*Cos[d + e*x])/(3*(a^2 - c^2)*e*(a + c*Sin[d + e*x])^3)
+ ((5*a*A*c - 2*a^2*C - 3*c^2*C)*Cos[d + e*x])/(6*(a^2 - c^2)^2*e*(a + c*Sin[d + e*x])^2) + ((11*a^2*A*c + 4*A
*c^3 - 2*a^3*C - 13*a*c^2*C)*Cos[d + e*x])/(6*(a^2 - c^2)^3*e*(a + c*Sin[d + e*x]))

Rule 4376

Int[(u_)*((v_) + (d_.)*(F_)[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]^(n_.)), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Sin[c*(a +
b*x)], x]}, Int[ActivateTrig[u*v], x] + Dist[d, Int[ActivateTrig[u]*Cos[c*(a + b*x)]^n, x], x] /; FunctionOfQ[
Sin[c*(a + b*x)]/e, u, x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &&  !FreeQ[v, x] && IntegerQ[(n - 1)/2] && NonsumQ[u] &&
(EqQ[F, Cos] || EqQ[F, cos])

Rule 2754

Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> -Simp[((
b*c - a*d)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1))/(f*(m + 1)*(a^2 - b^2)), x] + Dist[1/((m + 1)*(a^2 - b^2
)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*Simp[(a*c - b*d)*(m + 1) - (b*c - a*d)*(m + 2)*Sin[e + f*x], x], x], x] /
; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1] && IntegerQ[2*m]

Rule 12

Int[(a_)*(u_), x_Symbol] :> Dist[a, Int[u, x], x] /; FreeQ[a, x] &&  !MatchQ[u, (b_)*(v_) /; FreeQ[b, x]]

Rule 2660

Int[((a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Tan[(c + d*x)/2], x]}, Dis
t[(2*e)/d, Subst[Int[1/(a + 2*b*e*x + a*e^2*x^2), x], x, Tan[(c + d*x)/2]/e], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &&
NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 618

Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Dist[-2, Subst[Int[1/Simp[b^2 - 4*a*c - x^2, x], x]
, x, b + 2*c*x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

Rule 204

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> -Simp[ArcTan[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[-a, 2]]/(Rt[-a, 2]*Rt[-b, 2]), x] /
; FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a/b] && (LtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 2668

Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Dist[1/(b^p*f), S
ubst[Int[(a + x)^m*(b^2 - x^2)^((p - 1)/2), x], x, b*Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x] && Integer
Q[(p - 1)/2] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 32

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)^(m + 1)/(b*(m + 1)), x] /; FreeQ[{a, b, m}, x] && N
eQ[m, -1]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{A+B \cos (d+e x)+C \sin (d+e x)}{(a+c \sin (d+e x))^4} \, dx &=B \int \frac{\cos (d+e x)}{(a+c \sin (d+e x))^4} \, dx+\int \frac{A+C \sin (d+e x)}{(a+c \sin (d+e x))^4} \, dx\\ &=\frac{(A c-a C) \cos (d+e x)}{3 \left (a^2-c^2\right ) e (a+c \sin (d+e x))^3}-\frac{\int \frac{-3 (a A-c C)+2 (A c-a C) \sin (d+e x)}{(a+c \sin (d+e x))^3} \, dx}{3 \left (a^2-c^2\right )}+\frac{B \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(a+x)^4} \, dx,x,c \sin (d+e x)\right )}{c e}\\ &=-\frac{B}{3 c e (a+c \sin (d+e x))^3}+\frac{(A c-a C) \cos (d+e x)}{3 \left (a^2-c^2\right ) e (a+c \sin (d+e x))^3}+\frac{\left (5 a A c-2 a^2 C-3 c^2 C\right ) \cos (d+e x)}{6 \left (a^2-c^2\right )^2 e (a+c \sin (d+e x))^2}+\frac{\int \frac{2 \left (3 a^2 A+2 A c^2-5 a c C\right )-\left (5 a A c-2 a^2 C-3 c^2 C\right ) \sin (d+e x)}{(a+c \sin (d+e x))^2} \, dx}{6 \left (a^2-c^2\right )^2}\\ &=-\frac{B}{3 c e (a+c \sin (d+e x))^3}+\frac{(A c-a C) \cos (d+e x)}{3 \left (a^2-c^2\right ) e (a+c \sin (d+e x))^3}+\frac{\left (5 a A c-2 a^2 C-3 c^2 C\right ) \cos (d+e x)}{6 \left (a^2-c^2\right )^2 e (a+c \sin (d+e x))^2}+\frac{\left (11 a^2 A c+4 A c^3-2 a^3 C-13 a c^2 C\right ) \cos (d+e x)}{6 \left (a^2-c^2\right )^3 e (a+c \sin (d+e x))}-\frac{\int -\frac{3 \left (2 a^3 A+3 a A c^2-4 a^2 c C-c^3 C\right )}{a+c \sin (d+e x)} \, dx}{6 \left (a^2-c^2\right )^3}\\ &=-\frac{B}{3 c e (a+c \sin (d+e x))^3}+\frac{(A c-a C) \cos (d+e x)}{3 \left (a^2-c^2\right ) e (a+c \sin (d+e x))^3}+\frac{\left (5 a A c-2 a^2 C-3 c^2 C\right ) \cos (d+e x)}{6 \left (a^2-c^2\right )^2 e (a+c \sin (d+e x))^2}+\frac{\left (11 a^2 A c+4 A c^3-2 a^3 C-13 a c^2 C\right ) \cos (d+e x)}{6 \left (a^2-c^2\right )^3 e (a+c \sin (d+e x))}+\frac{\left (2 a^3 A+3 a A c^2-4 a^2 c C-c^3 C\right ) \int \frac{1}{a+c \sin (d+e x)} \, dx}{2 \left (a^2-c^2\right )^3}\\ &=-\frac{B}{3 c e (a+c \sin (d+e x))^3}+\frac{(A c-a C) \cos (d+e x)}{3 \left (a^2-c^2\right ) e (a+c \sin (d+e x))^3}+\frac{\left (5 a A c-2 a^2 C-3 c^2 C\right ) \cos (d+e x)}{6 \left (a^2-c^2\right )^2 e (a+c \sin (d+e x))^2}+\frac{\left (11 a^2 A c+4 A c^3-2 a^3 C-13 a c^2 C\right ) \cos (d+e x)}{6 \left (a^2-c^2\right )^3 e (a+c \sin (d+e x))}+\frac{\left (2 a^3 A+3 a A c^2-4 a^2 c C-c^3 C\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{a+2 c x+a x^2} \, dx,x,\tan \left (\frac{1}{2} (d+e x)\right )\right )}{\left (a^2-c^2\right )^3 e}\\ &=-\frac{B}{3 c e (a+c \sin (d+e x))^3}+\frac{(A c-a C) \cos (d+e x)}{3 \left (a^2-c^2\right ) e (a+c \sin (d+e x))^3}+\frac{\left (5 a A c-2 a^2 C-3 c^2 C\right ) \cos (d+e x)}{6 \left (a^2-c^2\right )^2 e (a+c \sin (d+e x))^2}+\frac{\left (11 a^2 A c+4 A c^3-2 a^3 C-13 a c^2 C\right ) \cos (d+e x)}{6 \left (a^2-c^2\right )^3 e (a+c \sin (d+e x))}-\frac{\left (2 \left (2 a^3 A+3 a A c^2-4 a^2 c C-c^3 C\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-4 \left (a^2-c^2\right )-x^2} \, dx,x,2 c+2 a \tan \left (\frac{1}{2} (d+e x)\right )\right )}{\left (a^2-c^2\right )^3 e}\\ &=\frac{\left (2 a^3 A+3 a A c^2-4 a^2 c C-c^3 C\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{c+a \tan \left (\frac{1}{2} (d+e x)\right )}{\sqrt{a^2-c^2}}\right )}{\left (a^2-c^2\right )^{7/2} e}-\frac{B}{3 c e (a+c \sin (d+e x))^3}+\frac{(A c-a C) \cos (d+e x)}{3 \left (a^2-c^2\right ) e (a+c \sin (d+e x))^3}+\frac{\left (5 a A c-2 a^2 C-3 c^2 C\right ) \cos (d+e x)}{6 \left (a^2-c^2\right )^2 e (a+c \sin (d+e x))^2}+\frac{\left (11 a^2 A c+4 A c^3-2 a^3 C-13 a c^2 C\right ) \cos (d+e x)}{6 \left (a^2-c^2\right )^3 e (a+c \sin (d+e x))}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 2.7688, size = 244, normalized size = 0.95 \[ \frac{\frac{2 B \left (c^2-a^2\right )+2 c (A c-a C) \cos (d+e x)}{c (a-c) (a+c) (a+c \sin (d+e x))^3}+\frac{6 \left (2 a^3 A-4 a^2 c C+3 a A c^2-c^3 C\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{a \tan \left (\frac{1}{2} (d+e x)\right )+c}{\sqrt{a^2-c^2}}\right )}{\left (a^2-c^2\right )^{7/2}}+\frac{\left (11 a^2 A c-2 a^3 C-13 a c^2 C+4 A c^3\right ) \cos (d+e x)}{(a-c)^3 (a+c)^3 (a+c \sin (d+e x))}+\frac{\left (-2 a^2 C+5 a A c-3 c^2 C\right ) \cos (d+e x)}{(a-c)^2 (a+c)^2 (a+c \sin (d+e x))^2}}{6 e} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(A + B*Cos[d + e*x] + C*Sin[d + e*x])/(a + c*Sin[d + e*x])^4,x]

[Out]

((6*(2*a^3*A + 3*a*A*c^2 - 4*a^2*c*C - c^3*C)*ArcTan[(c + a*Tan[(d + e*x)/2])/Sqrt[a^2 - c^2]])/(a^2 - c^2)^(7
/2) + (2*B*(-a^2 + c^2) + 2*c*(A*c - a*C)*Cos[d + e*x])/((a - c)*c*(a + c)*(a + c*Sin[d + e*x])^3) + ((5*a*A*c
- 2*a^2*C - 3*c^2*C)*Cos[d + e*x])/((a - c)^2*(a + c)^2*(a + c*Sin[d + e*x])^2) + ((11*a^2*A*c + 4*A*c^3 - 2*
a^3*C - 13*a*c^2*C)*Cos[d + e*x])/((a - c)^3*(a + c)^3*(a + c*Sin[d + e*x])))/(6*e)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.166, size = 5051, normalized size = 19.6 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((A+B*cos(e*x+d)+C*sin(e*x+d))/(a+c*sin(e*x+d))^4,x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: ValueError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*cos(e*x+d)+C*sin(e*x+d))/(a+c*sin(e*x+d))^4,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 3.83786, size = 3085, normalized size = 11.96 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*cos(e*x+d)+C*sin(e*x+d))/(a+c*sin(e*x+d))^4,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/12*(4*B*a^8 - 16*B*a^6*c^2 + 24*B*a^4*c^4 - 16*B*a^2*c^6 + 4*B*c^8 - 2*(2*C*a^5*c^3 - 11*A*a^4*c^4 + 11*C*a
^3*c^5 + 7*A*a^2*c^6 - 13*C*a*c^7 + 4*A*c^8)*cos(e*x + d)^3 + 6*(2*C*a^6*c^2 - 9*A*a^5*c^3 + 7*C*a^4*c^4 + 8*A
*a^3*c^5 - 10*C*a^2*c^6 + A*a*c^7 + C*c^8)*cos(e*x + d)*sin(e*x + d) + 3*(2*A*a^6*c - 4*C*a^5*c^2 + 9*A*a^4*c^
3 - 13*C*a^3*c^4 + 9*A*a^2*c^5 - 3*C*a*c^6 - 3*(2*A*a^4*c^3 - 4*C*a^3*c^4 + 3*A*a^2*c^5 - C*a*c^6)*cos(e*x + d
)^2 + (6*A*a^5*c^2 - 12*C*a^4*c^3 + 11*A*a^3*c^4 - 7*C*a^2*c^5 + 3*A*a*c^6 - C*c^7 - (2*A*a^3*c^4 - 4*C*a^2*c^
5 + 3*A*a*c^6 - C*c^7)*cos(e*x + d)^2)*sin(e*x + d))*sqrt(-a^2 + c^2)*log(((2*a^2 - c^2)*cos(e*x + d)^2 - 2*a*
c*sin(e*x + d) - a^2 - c^2 + 2*(a*cos(e*x + d)*sin(e*x + d) + c*cos(e*x + d))*sqrt(-a^2 + c^2))/(c^2*cos(e*x +
d)^2 - 2*a*c*sin(e*x + d) - a^2 - c^2)) + 12*(C*a^7*c - 3*A*a^6*c^2 + C*a^5*c^3 + 2*A*a^4*c^4 - 2*C*a*c^7 + A
*c^8)*cos(e*x + d))/(3*(a^9*c^3 - 4*a^7*c^5 + 6*a^5*c^7 - 4*a^3*c^9 + a*c^11)*e*cos(e*x + d)^2 - (a^11*c - a^9
*c^3 - 6*a^7*c^5 + 14*a^5*c^7 - 11*a^3*c^9 + 3*a*c^11)*e + ((a^8*c^4 - 4*a^6*c^6 + 6*a^4*c^8 - 4*a^2*c^10 + c^
12)*e*cos(e*x + d)^2 - (3*a^10*c^2 - 11*a^8*c^4 + 14*a^6*c^6 - 6*a^4*c^8 - a^2*c^10 + c^12)*e)*sin(e*x + d)),
1/6*(2*B*a^8 - 8*B*a^6*c^2 + 12*B*a^4*c^4 - 8*B*a^2*c^6 + 2*B*c^8 - (2*C*a^5*c^3 - 11*A*a^4*c^4 + 11*C*a^3*c^5
+ 7*A*a^2*c^6 - 13*C*a*c^7 + 4*A*c^8)*cos(e*x + d)^3 + 3*(2*C*a^6*c^2 - 9*A*a^5*c^3 + 7*C*a^4*c^4 + 8*A*a^3*c
^5 - 10*C*a^2*c^6 + A*a*c^7 + C*c^8)*cos(e*x + d)*sin(e*x + d) + 3*(2*A*a^6*c - 4*C*a^5*c^2 + 9*A*a^4*c^3 - 13
*C*a^3*c^4 + 9*A*a^2*c^5 - 3*C*a*c^6 - 3*(2*A*a^4*c^3 - 4*C*a^3*c^4 + 3*A*a^2*c^5 - C*a*c^6)*cos(e*x + d)^2 +
(6*A*a^5*c^2 - 12*C*a^4*c^3 + 11*A*a^3*c^4 - 7*C*a^2*c^5 + 3*A*a*c^6 - C*c^7 - (2*A*a^3*c^4 - 4*C*a^2*c^5 + 3*
A*a*c^6 - C*c^7)*cos(e*x + d)^2)*sin(e*x + d))*sqrt(a^2 - c^2)*arctan(-(a*sin(e*x + d) + c)/(sqrt(a^2 - c^2)*c
os(e*x + d))) + 6*(C*a^7*c - 3*A*a^6*c^2 + C*a^5*c^3 + 2*A*a^4*c^4 - 2*C*a*c^7 + A*c^8)*cos(e*x + d))/(3*(a^9*
c^3 - 4*a^7*c^5 + 6*a^5*c^7 - 4*a^3*c^9 + a*c^11)*e*cos(e*x + d)^2 - (a^11*c - a^9*c^3 - 6*a^7*c^5 + 14*a^5*c^
7 - 11*a^3*c^9 + 3*a*c^11)*e + ((a^8*c^4 - 4*a^6*c^6 + 6*a^4*c^8 - 4*a^2*c^10 + c^12)*e*cos(e*x + d)^2 - (3*a^
10*c^2 - 11*a^8*c^4 + 14*a^6*c^6 - 6*a^4*c^8 - a^2*c^10 + c^12)*e)*sin(e*x + d))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*cos(e*x+d)+C*sin(e*x+d))/(a+c*sin(e*x+d))**4,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.27571, size = 1809, normalized size = 7.01 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*cos(e*x+d)+C*sin(e*x+d))/(a+c*sin(e*x+d))^4,x, algorithm="giac")

[Out]

1/3*(3*(2*A*a^3 - 4*C*a^2*c + 3*A*a*c^2 - C*c^3)*(pi*floor(1/2*(x*e + d)/pi + 1/2)*sgn(a) + arctan((a*tan(1/2*
x*e + 1/2*d) + c)/sqrt(a^2 - c^2)))/((a^6 - 3*a^4*c^2 + 3*a^2*c^4 - c^6)*sqrt(a^2 - c^2)) + (6*B*a^8*tan(1/2*x
*e + 1/2*d)^5 - 12*C*a^7*c*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^5 + 27*A*a^6*c^2*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^5 - 18*B*a^6*c^2*tan(1/2
*x*e + 1/2*d)^5 - 3*C*a^5*c^3*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^5 - 18*A*a^4*c^4*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^5 + 18*B*a^4*c^4*tan(
1/2*x*e + 1/2*d)^5 + 6*A*a^2*c^6*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^5 - 6*B*a^2*c^6*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^5 - 6*C*a^8*tan(1/2
*x*e + 1/2*d)^4 + 18*A*a^7*c*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^4 + 12*B*a^7*c*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^4 - 42*C*a^6*c^2*tan(1/2
*x*e + 1/2*d)^4 + 81*A*a^5*c^3*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^4 - 36*B*a^5*c^3*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^4 - 33*C*a^4*c^4*tan
(1/2*x*e + 1/2*d)^4 - 36*A*a^3*c^5*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^4 + 36*B*a^3*c^5*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^4 + 6*C*a^2*c^6*
tan(1/2*x*e + 1/2*d)^4 + 12*A*a*c^7*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^4 - 12*B*a*c^7*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^4 + 12*B*a^8*tan(
1/2*x*e + 1/2*d)^3 - 36*C*a^7*c*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^3 + 108*A*a^6*c^2*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^3 - 28*B*a^6*c^2*t
an(1/2*x*e + 1/2*d)^3 - 84*C*a^5*c^3*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^3 + 42*A*a^4*c^4*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^3 + 12*B*a^4*c
^4*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^3 - 34*C*a^3*c^5*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^3 - 8*A*a^2*c^6*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^3 + 12*B*a^
2*c^6*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^3 + 4*C*a*c^7*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^3 + 8*A*c^8*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^3 - 8*B*c^8*tan
(1/2*x*e + 1/2*d)^3 - 12*C*a^8*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 + 36*A*a^7*c*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 + 12*B*a^7*c*tan(1/2
*x*e + 1/2*d)^2 - 60*C*a^6*c^2*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 + 120*A*a^5*c^3*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 - 36*B*a^5*c^3*ta
n(1/2*x*e + 1/2*d)^2 - 84*C*a^4*c^4*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 - 18*A*a^3*c^5*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 + 36*B*a^3*c^
5*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 + 6*C*a^2*c^6*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 + 12*A*a*c^7*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 - 12*B*a*c^7
*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 + 6*B*a^8*tan(1/2*x*e + 1/2*d) - 24*C*a^7*c*tan(1/2*x*e + 1/2*d) + 81*A*a^6*c^2*tan(1/
2*x*e + 1/2*d) - 18*B*a^6*c^2*tan(1/2*x*e + 1/2*d) - 57*C*a^5*c^3*tan(1/2*x*e + 1/2*d) - 12*A*a^4*c^4*tan(1/2*
x*e + 1/2*d) + 18*B*a^4*c^4*tan(1/2*x*e + 1/2*d) + 6*C*a^3*c^5*tan(1/2*x*e + 1/2*d) + 6*A*a^2*c^6*tan(1/2*x*e
+ 1/2*d) - 6*B*a^2*c^6*tan(1/2*x*e + 1/2*d) - 6*C*a^8 + 18*A*a^7*c - 10*C*a^6*c^2 - 5*A*a^5*c^3 + C*a^4*c^4 +
2*A*a^3*c^5)/((a^9 - 3*a^7*c^2 + 3*a^5*c^4 - a^3*c^6)*(a*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 + 2*c*tan(1/2*x*e + 1/2*d) + a
)^3))*e^(-1)