3.448 \(\int \frac{(a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}}{\sec ^{\frac{3}{2}}(d+e x)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=371 \[ \frac{2 \left (a^2-b^2+c^2\right ) \sqrt{\frac{a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x)}{\sqrt{a^2+c^2}+b}} (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2} \text{EllipticF}\left (\frac{1}{2} \left (-\tan ^{-1}(a,c)+d+e x\right ),\frac{2 \sqrt{a^2+c^2}}{\sqrt{a^2+c^2}+b}\right )}{3 e \sec ^{\frac{3}{2}}(d+e x) (a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x))^2}+\frac{8 b (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2} E\left (\frac{1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right )|\frac{2 \sqrt{a^2+c^2}}{b+\sqrt{a^2+c^2}}\right )}{3 e \sec ^{\frac{3}{2}}(d+e x) (a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x)) \sqrt{\frac{a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x)}{\sqrt{a^2+c^2}+b}}}-\frac{2 (c \cos (d+e x)-a \sin (d+e x)) (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}}{3 e \sec ^{\frac{3}{2}}(d+e x) (a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x))} \]

[Out]

(-2*(c*Cos[d + e*x] - a*Sin[d + e*x])*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2))/(3*e*Sec[d + e*x]^(3/2)*(b
+ a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])) + (8*b*EllipticE[(d + e*x - ArcTan[a, c])/2, (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt
[a^2 + c^2])]*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2))/(3*e*Sec[d + e*x]^(3/2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin
[d + e*x])*Sqrt[(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]) + (2*(a^2 - b^2 + c^2)*EllipticF
[(d + e*x - ArcTan[a, c])/2, (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*Sqrt[(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e
*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2))/(3*e*Sec[d + e*x]^(3/2)*(b + a*Cos[d
+ e*x] + c*Sin[d + e*x])^2)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.446565, antiderivative size = 371, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 7, integrand size = 33, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.212, Rules used = {3167, 3120, 3149, 3119, 2653, 3127, 2661} \[ \frac{2 \left (a^2-b^2+c^2\right ) \sqrt{\frac{a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x)}{\sqrt{a^2+c^2}+b}} (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2} F\left (\frac{1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right )|\frac{2 \sqrt{a^2+c^2}}{b+\sqrt{a^2+c^2}}\right )}{3 e \sec ^{\frac{3}{2}}(d+e x) (a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x))^2}+\frac{8 b (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2} E\left (\frac{1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right )|\frac{2 \sqrt{a^2+c^2}}{b+\sqrt{a^2+c^2}}\right )}{3 e \sec ^{\frac{3}{2}}(d+e x) (a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x)) \sqrt{\frac{a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x)}{\sqrt{a^2+c^2}+b}}}-\frac{2 (c \cos (d+e x)-a \sin (d+e x)) (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}}{3 e \sec ^{\frac{3}{2}}(d+e x) (a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x))} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2)/Sec[d + e*x]^(3/2),x]

[Out]

(-2*(c*Cos[d + e*x] - a*Sin[d + e*x])*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2))/(3*e*Sec[d + e*x]^(3/2)*(b
+ a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])) + (8*b*EllipticE[(d + e*x - ArcTan[a, c])/2, (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt
[a^2 + c^2])]*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2))/(3*e*Sec[d + e*x]^(3/2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin
[d + e*x])*Sqrt[(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]) + (2*(a^2 - b^2 + c^2)*EllipticF
[(d + e*x - ArcTan[a, c])/2, (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*Sqrt[(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e
*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2))/(3*e*Sec[d + e*x]^(3/2)*(b + a*Cos[d
+ e*x] + c*Sin[d + e*x])^2)

Rule 3167

Int[sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*((a_.) + (b_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)] + (c_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(m_)
, x_Symbol] :> Dist[(Sec[d + e*x]^n*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^n)/(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e
*x])^n, Int[1/(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[m + n, 0] &&
!IntegerQ[n]

Rule 3120

Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> -Simp[((c*Cos[d
+ e*x] - b*Sin[d + e*x])*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n - 1))/(e*n), x] + Dist[1/n, Int[Simp[n*a^2 +
(n - 1)*(b^2 + c^2) + a*b*(2*n - 1)*Cos[d + e*x] + a*c*(2*n - 1)*Sin[d + e*x], x]*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin
[d + e*x])^(n - 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && GtQ[n, 1]

Rule 3149

Int[((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])/Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.)
+ (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Dist[B/b, Int[Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]
, x], x] + Dist[(A*b - a*B)/b, Int[1/Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
, A, B, C}, x] && EqQ[B*c - b*C, 0] && NeQ[A*b - a*B, 0]

Rule 3119

Int[Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Dist[Sqrt[a + b*C
os[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]/Sqrt[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])], Int[Sqrt[a/(a
+ Sqrt[b^2 + c^2]) + (Sqrt[b^2 + c^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[b, c]])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])], x], x] /; FreeQ[{a
, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[b^2 + c^2, 0] &&  !GtQ[a + Sqrt[b^2 + c^2], 0]

Rule 2653

Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[(2*Sqrt[a + b]*EllipticE[(1*(c - Pi/2 + d*x)
)/2, (2*b)/(a + b)])/d, x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[a + b, 0]

Rule 3127

Int[1/Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Dist[Sqrt[(a +
b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]/Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]], Int[1/Sqrt[
a/(a + Sqrt[b^2 + c^2]) + (Sqrt[b^2 + c^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[b, c]])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])], x], x] /; Free
Q[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[b^2 + c^2, 0] &&  !GtQ[a + Sqrt[b^2 + c^2], 0]

Rule 2661

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[(2*EllipticF[(1*(c - Pi/2 + d*x))/2, (2*b)
/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[a + b, 0]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}}{\sec ^{\frac{3}{2}}(d+e x)} \, dx &=\frac{(a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2} \int (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{3/2} \, dx}{\sec ^{\frac{3}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{3/2}}\\ &=-\frac{2 (c \cos (d+e x)-a \sin (d+e x)) (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}}{3 e \sec ^{\frac{3}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))}+\frac{\left (2 (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}\right ) \int \frac{\frac{1}{2} \left (a^2+3 b^2+c^2\right )+2 a b \cos (d+e x)+2 b c \sin (d+e x)}{\sqrt{b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}} \, dx}{3 \sec ^{\frac{3}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{3/2}}\\ &=-\frac{2 (c \cos (d+e x)-a \sin (d+e x)) (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}}{3 e \sec ^{\frac{3}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))}+\frac{\left (4 b (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}\right ) \int \sqrt{b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)} \, dx}{3 \sec ^{\frac{3}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{3/2}}+\frac{\left (\left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}\right ) \int \frac{1}{\sqrt{b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}} \, dx}{3 \sec ^{\frac{3}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{3/2}}\\ &=-\frac{2 (c \cos (d+e x)-a \sin (d+e x)) (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}}{3 e \sec ^{\frac{3}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))}+\frac{\left (4 b (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}\right ) \int \sqrt{\frac{b}{b+\sqrt{a^2+c^2}}+\frac{\sqrt{a^2+c^2} \cos \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right )}{b+\sqrt{a^2+c^2}}} \, dx}{3 \sec ^{\frac{3}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)) \sqrt{\frac{b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}{b+\sqrt{a^2+c^2}}}}+\frac{\left (\left (a^2-b^2+c^2\right ) \sqrt{\frac{b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}{b+\sqrt{a^2+c^2}}} (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}\right ) \int \frac{1}{\sqrt{\frac{b}{b+\sqrt{a^2+c^2}}+\frac{\sqrt{a^2+c^2} \cos \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right )}{b+\sqrt{a^2+c^2}}}} \, dx}{3 \sec ^{\frac{3}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^2}\\ &=-\frac{2 (c \cos (d+e x)-a \sin (d+e x)) (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}}{3 e \sec ^{\frac{3}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))}+\frac{8 b E\left (\frac{1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right )|\frac{2 \sqrt{a^2+c^2}}{b+\sqrt{a^2+c^2}}\right ) (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}}{3 e \sec ^{\frac{3}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)) \sqrt{\frac{b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}{b+\sqrt{a^2+c^2}}}}+\frac{2 \left (a^2-b^2+c^2\right ) F\left (\frac{1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right )|\frac{2 \sqrt{a^2+c^2}}{b+\sqrt{a^2+c^2}}\right ) \sqrt{\frac{b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}{b+\sqrt{a^2+c^2}}} (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}}{3 e \sec ^{\frac{3}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^2}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 6.45211, size = 2490, normalized size = 6.71 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2)/Sec[d + e*x]^(3/2),x]

[Out]

(((8*a*b)/(3*c) - (2*c*Cos[d + e*x])/3 + (2*a*Sin[d + e*x])/3)*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2))/(e
*Sec[d + e*x]^(3/2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])) + (2*a^2*AppellF1[1/2, 1/2, 1/2, 3/2, -((b + Sqrt[1
+ a^2/c^2]*c*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*(1 - b/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*c))*c)), -((b + Sqrt[1
+ a^2/c^2]*c*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*(-1 - b/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*c))*c))]*Sec[d + e*x +
ArcTan[a/c]]*Sqrt[(c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2] - c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(b + c*Sqrt[(
a^2 + c^2)/c^2])]*Sqrt[b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]]]*Sqrt[(c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2] +
c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(-b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2])]*(a + b*Sec[d + e*x] + c*T
an[d + e*x])^(3/2))/(3*Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*e*Sec[d + e*x]^(3/2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(3/2)) +
(2*b^2*AppellF1[1/2, 1/2, 1/2, 3/2, -((b + Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]
*(1 - b/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*c))*c)), -((b + Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*
(-1 - b/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*c))*c))]*Sec[d + e*x + ArcTan[a/c]]*Sqrt[(c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2] - c*Sqrt[(a^2 + c
^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2])]*Sqrt[b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e
*x + ArcTan[a/c]]]*Sqrt[(c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2] + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(-b + c
*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2])]*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2))/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*e*Sec[d + e*x]^(3/2
)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(3/2)) + (2*c*AppellF1[1/2, 1/2, 1/2, 3/2, -((b + Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*
Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*(1 - b/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*c))*c)), -((b + Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*S
in[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*(-1 - b/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*c))*c))]*Sec[d + e*x + ArcTan[a/c]]*S
qrt[(c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2] - c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2
])]*Sqrt[b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]]]*Sqrt[(c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2] + c*Sqrt[(a^2 +
c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(-b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2])]*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(
3/2))/(3*Sqrt[1 + a^2/c^2]*e*Sec[d + e*x]^(3/2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(3/2)) + (4*a^2*b*(-((c*
AppellF1[-1/2, -1/2, -1/2, 1/2, -((b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*(1
- b/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2])))), -((b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*(-1
- b/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]))))]*Sin[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Sqrt[(a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2]
- a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(b + a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2])]*Sqrt[b + a*Sqrt[(a^2 + c^
2)/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]]]*Sqrt[(a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2] + a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2]*Cos[d + e*x - ArcT
an[c/a]])/(-b + a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2])])) - ((2*a*(b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]]))/(a^2
+ c^2) - (c*Sin[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]))/Sqrt[b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Cos[d + e*x - Arc
Tan[c/a]]])*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2))/(3*c*e*Sec[d + e*x]^(3/2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin
[d + e*x])^(3/2)) + (4*b*c*(-((c*AppellF1[-1/2, -1/2, -1/2, 1/2, -((b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Cos[d + e*x - ArcT
an[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*(1 - b/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2])))), -((b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTa
n[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*(-1 - b/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]))))]*Sin[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^
2]*Sqrt[(a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2] - a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(b + a*Sqrt[(a^2 + c^2)
/a^2])]*Sqrt[b + a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]]]*Sqrt[(a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2] + a*Sqrt[(a
^2 + c^2)/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(-b + a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2])])) - ((2*a*(b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*
Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]]))/(a^2 + c^2) - (c*Sin[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]))/Sqrt[b + a*Sq
rt[1 + c^2/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]]])*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2))/(3*e*Sec[d + e*x]^(3
/2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(3/2))

________________________________________________________________________________________

Maple [C]  time = 2.027, size = 21265, normalized size = 57.3 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+b*sec(e*x+d)+c*tan(e*x+d))^(3/2)/sec(e*x+d)^(3/2),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (b \sec \left (e x + d\right ) + c \tan \left (e x + d\right ) + a\right )}^{\frac{3}{2}}}{\sec \left (e x + d\right )^{\frac{3}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sec(e*x+d)+c*tan(e*x+d))^(3/2)/sec(e*x+d)^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((b*sec(e*x + d) + c*tan(e*x + d) + a)^(3/2)/sec(e*x + d)^(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (\frac{{\left (b \sec \left (e x + d\right ) + c \tan \left (e x + d\right ) + a\right )}^{\frac{3}{2}}}{\sec \left (e x + d\right )^{\frac{3}{2}}}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sec(e*x+d)+c*tan(e*x+d))^(3/2)/sec(e*x+d)^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((b*sec(e*x + d) + c*tan(e*x + d) + a)^(3/2)/sec(e*x + d)^(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sec(e*x+d)+c*tan(e*x+d))**(3/2)/sec(e*x+d)**(3/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (b \sec \left (e x + d\right ) + c \tan \left (e x + d\right ) + a\right )}^{\frac{3}{2}}}{\sec \left (e x + d\right )^{\frac{3}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sec(e*x+d)+c*tan(e*x+d))^(3/2)/sec(e*x+d)^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((b*sec(e*x + d) + c*tan(e*x + d) + a)^(3/2)/sec(e*x + d)^(3/2), x)