3.402 \(\int \frac{1}{(a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^4} \, dx\)

Optimal. Leaf size=292 \[ \frac{a \left (2 a^2+3 \left (b^2+c^2\right )\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{(a-b) \tan \left (\frac{1}{2} (d+e x)\right )+c}{\sqrt{a^2-b^2-c^2}}\right )}{e \left (a^2-b^2-c^2\right )^{7/2}}+\frac{c \left (11 a^2+4 \left (b^2+c^2\right )\right ) \cos (d+e x)-b \left (11 a^2+4 \left (b^2+c^2\right )\right ) \sin (d+e x)}{6 e \left (a^2-b^2-c^2\right )^3 (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))}+\frac{5 (a c \cos (d+e x)-a b \sin (d+e x))}{6 e \left (a^2-b^2-c^2\right )^2 (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^2}+\frac{c \cos (d+e x)-b \sin (d+e x)}{3 e \left (a^2-b^2-c^2\right ) (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^3} \]

[Out]

(a*(2*a^2 + 3*(b^2 + c^2))*ArcTan[(c + (a - b)*Tan[(d + e*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]])/((a^2 - b^2 - c^2)^(7
/2)*e) + (c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])/(3*(a^2 - b^2 - c^2)*e*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^3) + (
5*(a*c*Cos[d + e*x] - a*b*Sin[d + e*x]))/(6*(a^2 - b^2 - c^2)^2*e*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2) + (
c*(11*a^2 + 4*(b^2 + c^2))*Cos[d + e*x] - b*(11*a^2 + 4*(b^2 + c^2))*Sin[d + e*x])/(6*(a^2 - b^2 - c^2)^3*e*(a
+ b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.376103, antiderivative size = 292, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 6, integrand size = 20, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.3, Rules used = {3129, 3156, 3153, 3124, 618, 204} \[ \frac{a \left (2 a^2+3 \left (b^2+c^2\right )\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{(a-b) \tan \left (\frac{1}{2} (d+e x)\right )+c}{\sqrt{a^2-b^2-c^2}}\right )}{e \left (a^2-b^2-c^2\right )^{7/2}}+\frac{c \left (11 a^2+4 \left (b^2+c^2\right )\right ) \cos (d+e x)-b \left (11 a^2+4 \left (b^2+c^2\right )\right ) \sin (d+e x)}{6 e \left (a^2-b^2-c^2\right )^3 (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))}+\frac{5 (a c \cos (d+e x)-a b \sin (d+e x))}{6 e \left (a^2-b^2-c^2\right )^2 (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^2}+\frac{c \cos (d+e x)-b \sin (d+e x)}{3 e \left (a^2-b^2-c^2\right ) (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(-4),x]

[Out]

(a*(2*a^2 + 3*(b^2 + c^2))*ArcTan[(c + (a - b)*Tan[(d + e*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2 - c^2]])/((a^2 - b^2 - c^2)^(7
/2)*e) + (c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])/(3*(a^2 - b^2 - c^2)*e*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^3) + (
5*(a*c*Cos[d + e*x] - a*b*Sin[d + e*x]))/(6*(a^2 - b^2 - c^2)^2*e*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2) + (
c*(11*a^2 + 4*(b^2 + c^2))*Cos[d + e*x] - b*(11*a^2 + 4*(b^2 + c^2))*Sin[d + e*x])/(6*(a^2 - b^2 - c^2)^3*e*(a
+ b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))

Rule 3129

Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[((-(c*Cos[d
+ e*x]) + b*Sin[d + e*x])*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1))/(e*(n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2)), x] +
Dist[1/((n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2)), Int[(a*(n + 1) - b*(n + 2)*Cos[d + e*x] - c*(n + 2)*Sin[d + e*x])*(a + b*C
os[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && LtQ[n
, -1] && NeQ[n, -3/2]

Rule 3156

Int[((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x
_)]*(B_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]), x_Symbol] :> -Simp[((c*B - b*C - (a*C - c*A)*Cos[d + e*x] + (a*B -
b*A)*Sin[d + e*x])*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1))/(e*(n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2)), x] + Dist[1/
((n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2)), Int[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1)*Simp[(n + 1)*(a*A - b*B - c*C)
+ (n + 2)*(a*B - b*A)*Cos[d + e*x] + (n + 2)*(a*C - c*A)*Sin[d + e*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A,
B, C}, x] && LtQ[n, -1] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[n, -2]

Rule 3153

Int[((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])/((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(
b_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^2, x_Symbol] :> Simp[(c*B - b*C - (a*C - c*A)*Cos[d + e*x] + (a*B - b*A)
*Sin[d + e*x])/(e*(a^2 - b^2 - c^2)*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])), x] + Dist[(a*A - b*B - c*C)/(a^2 -
b^2 - c^2), Int[1/(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B, C}, x] && NeQ[
a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[a*A - b*B - c*C, 0]

Rule 3124

Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> Module[{f = Free
Factors[Tan[(d + e*x)/2], x]}, Dist[(2*f)/e, Subst[Int[1/(a + b + 2*c*f*x + (a - b)*f^2*x^2), x], x, Tan[(d +
e*x)/2]/f], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0]

Rule 618

Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Dist[-2, Subst[Int[1/Simp[b^2 - 4*a*c - x^2, x], x]
, x, b + 2*c*x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

Rule 204

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> -Simp[ArcTan[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[-a, 2]]/(Rt[-a, 2]*Rt[-b, 2]), x] /
; FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a/b] && (LtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{1}{(a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^4} \, dx &=\frac{c \cos (d+e x)-b \sin (d+e x)}{3 \left (a^2-b^2-c^2\right ) e (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^3}-\frac{\int \frac{-3 a+2 b \cos (d+e x)+2 c \sin (d+e x)}{(a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^3} \, dx}{3 \left (a^2-b^2-c^2\right )}\\ &=\frac{c \cos (d+e x)-b \sin (d+e x)}{3 \left (a^2-b^2-c^2\right ) e (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^3}+\frac{5 (a c \cos (d+e x)-a b \sin (d+e x))}{6 \left (a^2-b^2-c^2\right )^2 e (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^2}+\frac{\int \frac{2 \left (3 a^2+2 \left (b^2+c^2\right )\right )-5 a b \cos (d+e x)-5 a c \sin (d+e x)}{(a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^2} \, dx}{6 \left (a^2-b^2-c^2\right )^2}\\ &=\frac{c \cos (d+e x)-b \sin (d+e x)}{3 \left (a^2-b^2-c^2\right ) e (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^3}+\frac{5 (a c \cos (d+e x)-a b \sin (d+e x))}{6 \left (a^2-b^2-c^2\right )^2 e (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^2}+\frac{c \left (11 a^2+4 \left (b^2+c^2\right )\right ) \cos (d+e x)-b \left (11 a^2+4 \left (b^2+c^2\right )\right ) \sin (d+e x)}{6 \left (a^2-b^2-c^2\right )^3 e (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))}+\frac{\left (a \left (2 a^2+3 \left (b^2+c^2\right )\right )\right ) \int \frac{1}{a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)} \, dx}{2 \left (a^2-b^2-c^2\right )^3}\\ &=\frac{c \cos (d+e x)-b \sin (d+e x)}{3 \left (a^2-b^2-c^2\right ) e (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^3}+\frac{5 (a c \cos (d+e x)-a b \sin (d+e x))}{6 \left (a^2-b^2-c^2\right )^2 e (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^2}+\frac{c \left (11 a^2+4 \left (b^2+c^2\right )\right ) \cos (d+e x)-b \left (11 a^2+4 \left (b^2+c^2\right )\right ) \sin (d+e x)}{6 \left (a^2-b^2-c^2\right )^3 e (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))}+\frac{\left (a \left (2 a^2+3 \left (b^2+c^2\right )\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{a+b+2 c x+(a-b) x^2} \, dx,x,\tan \left (\frac{1}{2} (d+e x)\right )\right )}{\left (a^2-b^2-c^2\right )^3 e}\\ &=\frac{c \cos (d+e x)-b \sin (d+e x)}{3 \left (a^2-b^2-c^2\right ) e (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^3}+\frac{5 (a c \cos (d+e x)-a b \sin (d+e x))}{6 \left (a^2-b^2-c^2\right )^2 e (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^2}+\frac{c \left (11 a^2+4 \left (b^2+c^2\right )\right ) \cos (d+e x)-b \left (11 a^2+4 \left (b^2+c^2\right )\right ) \sin (d+e x)}{6 \left (a^2-b^2-c^2\right )^3 e (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))}-\frac{\left (2 a \left (2 a^2+3 \left (b^2+c^2\right )\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-4 \left (a^2-b^2-c^2\right )-x^2} \, dx,x,2 c+2 (a-b) \tan \left (\frac{1}{2} (d+e x)\right )\right )}{\left (a^2-b^2-c^2\right )^3 e}\\ &=\frac{a \left (2 a^2+3 \left (b^2+c^2\right )\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{c+(a-b) \tan \left (\frac{1}{2} (d+e x)\right )}{\sqrt{a^2-b^2-c^2}}\right )}{\left (a^2-b^2-c^2\right )^{7/2} e}+\frac{c \cos (d+e x)-b \sin (d+e x)}{3 \left (a^2-b^2-c^2\right ) e (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^3}+\frac{5 (a c \cos (d+e x)-a b \sin (d+e x))}{6 \left (a^2-b^2-c^2\right )^2 e (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^2}+\frac{c \left (11 a^2+4 \left (b^2+c^2\right )\right ) \cos (d+e x)-b \left (11 a^2+4 \left (b^2+c^2\right )\right ) \sin (d+e x)}{6 \left (a^2-b^2-c^2\right )^3 e (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 2.08475, size = 606, normalized size = 2.08 \[ \frac{\frac{72 a^2 b^2 c^2 \sin (d+e x)+30 a^2 b c \left (2 a^2+3 \left (b^2+c^2\right )\right ) \cos (d+e x)-6 a c \left (a^2 \left (7 b^2+11 c^2\right )+2 b^2 c^2-2 b^4+4 c^4\right ) \cos (2 (d+e x))-22 a^2 b^3 c \cos (3 (d+e x))+82 a^3 b^2 c-9 a^2 b^4 \sin (d+e x)+11 a^2 b^4 \sin (3 (d+e x))+54 a^3 b^3 \sin (2 (d+e x))+72 a^4 b^2 \sin (d+e x)+78 a^3 b c^2 \sin (2 (d+e x))-22 a^2 b c^3 \cos (3 (d+e x))+81 a^2 c^4 \sin (d+e x)+132 a^4 c^2 \sin (d+e x)-11 a^2 c^4 \sin (3 (d+e x))+82 a^3 c^3+44 a^5 c+48 a b^3 c^2 \sin (2 (d+e x))+48 a b^2 c^3+24 a b^4 c+6 a b^5 \sin (2 (d+e x))+42 a b c^4 \sin (2 (d+e x))+24 a c^5+36 b^4 c^2 \sin (d+e x)+4 b^4 c^2 \sin (3 (d+e x))+36 b^2 c^4 \sin (d+e x)-4 b^2 c^4 \sin (3 (d+e x))-16 b^3 c^3 \cos (3 (d+e x))-8 b^5 c \cos (3 (d+e x))+12 b^6 \sin (d+e x)+4 b^6 \sin (3 (d+e x))-8 b c^5 \cos (3 (d+e x))+12 c^6 \sin (d+e x)-4 c^6 \sin (3 (d+e x))}{b \left (-a^2+b^2+c^2\right )^3 (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^3}+\frac{24 a \left (2 a^2+3 \left (b^2+c^2\right )\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{(a-b) \tan \left (\frac{1}{2} (d+e x)\right )+c}{\sqrt{-a^2+b^2+c^2}}\right )}{\left (-a^2+b^2+c^2\right )^{7/2}}}{24 e} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(-4),x]

[Out]

((24*a*(2*a^2 + 3*(b^2 + c^2))*ArcTanh[(c + (a - b)*Tan[(d + e*x)/2])/Sqrt[-a^2 + b^2 + c^2]])/(-a^2 + b^2 + c
^2)^(7/2) + (44*a^5*c + 82*a^3*b^2*c + 24*a*b^4*c + 82*a^3*c^3 + 48*a*b^2*c^3 + 24*a*c^5 + 30*a^2*b*c*(2*a^2 +
3*(b^2 + c^2))*Cos[d + e*x] - 6*a*c*(-2*b^4 + 2*b^2*c^2 + 4*c^4 + a^2*(7*b^2 + 11*c^2))*Cos[2*(d + e*x)] - 22
*a^2*b^3*c*Cos[3*(d + e*x)] - 8*b^5*c*Cos[3*(d + e*x)] - 22*a^2*b*c^3*Cos[3*(d + e*x)] - 16*b^3*c^3*Cos[3*(d +
e*x)] - 8*b*c^5*Cos[3*(d + e*x)] + 72*a^4*b^2*Sin[d + e*x] - 9*a^2*b^4*Sin[d + e*x] + 12*b^6*Sin[d + e*x] + 1
32*a^4*c^2*Sin[d + e*x] + 72*a^2*b^2*c^2*Sin[d + e*x] + 36*b^4*c^2*Sin[d + e*x] + 81*a^2*c^4*Sin[d + e*x] + 36
*b^2*c^4*Sin[d + e*x] + 12*c^6*Sin[d + e*x] + 54*a^3*b^3*Sin[2*(d + e*x)] + 6*a*b^5*Sin[2*(d + e*x)] + 78*a^3*
b*c^2*Sin[2*(d + e*x)] + 48*a*b^3*c^2*Sin[2*(d + e*x)] + 42*a*b*c^4*Sin[2*(d + e*x)] + 11*a^2*b^4*Sin[3*(d + e
*x)] + 4*b^6*Sin[3*(d + e*x)] + 4*b^4*c^2*Sin[3*(d + e*x)] - 11*a^2*c^4*Sin[3*(d + e*x)] - 4*b^2*c^4*Sin[3*(d
+ e*x)] - 4*c^6*Sin[3*(d + e*x)])/(b*(-a^2 + b^2 + c^2)^3*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^3))/(24*e)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.291, size = 16909, normalized size = 57.9 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(1/(a+b*cos(e*x+d)+c*sin(e*x+d))^4,x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: ValueError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+b*cos(e*x+d)+c*sin(e*x+d))^4,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 5.09825, size = 8541, normalized size = 29.25 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+b*cos(e*x+d)+c*sin(e*x+d))^4,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/12*(6*a*b*c^5 + 12*(4*a^3*b + a*b^3)*c^3 + 2*(4*c^7 + (7*a^2 - 4*b^2)*c^5 - (11*a^4 + 14*a^2*b^2 + 20*b^4)*
c^3 + 3*(11*a^4*b^2 - 7*a^2*b^4 - 4*b^6)*c)*cos(e*x + d)^3 - 12*(a*b*c^5 + 2*(4*a^3*b + a*b^3)*c^3 - (9*a^5*b
- 8*a^3*b^3 - a*b^5)*c)*cos(e*x + d)^2 + 3*(2*a^6 + 3*a^4*b^2 + 9*a^2*c^4 + (2*a^3*b^3 + 3*a*b^5 - 9*a*b*c^4 -
6*(a^3*b + a*b^3)*c^2)*cos(e*x + d)^3 + 9*(a^4 + a^2*b^2)*c^2 + 3*(2*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 - 2*a^4*c^2 - 3*a^2*
c^4)*cos(e*x + d)^2 + 3*(2*a^5*b + 3*a^3*b^3 + 3*a*b*c^4 + (5*a^3*b + 3*a*b^3)*c^2)*cos(e*x + d) + (3*a*c^5 +
(11*a^3 + 3*a*b^2)*c^3 - (3*a*c^5 + 2*(a^3 - 3*a*b^2)*c^3 - 3*(2*a^3*b^2 + 3*a*b^4)*c)*cos(e*x + d)^2 + 3*(2*a
^5 + 3*a^3*b^2)*c + 6*(3*a^2*b*c^3 + (2*a^4*b + 3*a^2*b^3)*c)*cos(e*x + d))*sin(e*x + d))*sqrt(-a^2 + b^2 + c^
2)*log((a^2*b^2 - 2*b^4 - c^4 - (a^2 + 3*b^2)*c^2 - (2*a^2*b^2 - b^4 - 2*a^2*c^2 + c^4)*cos(e*x + d)^2 - 2*(a*
b^3 + a*b*c^2)*cos(e*x + d) - 2*(a*b^2*c + a*c^3 - (b*c^3 - (2*a^2*b - b^3)*c)*cos(e*x + d))*sin(e*x + d) - 2*
(2*a*b*c*cos(e*x + d)^2 - a*b*c + (b^2*c + c^3)*cos(e*x + d) - (b^3 + b*c^2 + (a*b^2 - a*c^2)*cos(e*x + d))*si
n(e*x + d))*sqrt(-a^2 + b^2 + c^2))/(2*a*b*cos(e*x + d) + (b^2 - c^2)*cos(e*x + d)^2 + a^2 + c^2 + 2*(b*c*cos(
e*x + d) + a*c)*sin(e*x + d))) - 6*(9*a^5*b - 8*a^3*b^3 - a*b^5)*c - 6*(2*b^2*c^5 + 2*c^7 + (4*a^4 - 7*a^2*b^2
- 2*b^4)*c^3 - (6*a^6 - 15*a^4*b^2 + 7*a^2*b^4 + 2*b^6)*c)*cos(e*x + d) - 2*(18*a^6*b - 23*a^4*b^3 + 7*a^2*b^
5 - 2*b^7 - 14*b^3*c^4 - 6*b*c^6 - (12*a^4*b - 7*a^2*b^3 + 10*b^5)*c^2 + (11*a^4*b^3 - 7*a^2*b^5 - 4*b^7 + 12*
b*c^6 + (21*a^2*b + 20*b^3)*c^4 - (33*a^4*b - 14*a^2*b^3 - 4*b^5)*c^2)*cos(e*x + d)^2 + 3*(9*a^5*b^2 - 8*a^3*b
^4 - a*b^6 + a*c^6 + (8*a^3 + a*b^2)*c^4 - (9*a^5 + a*b^4)*c^2)*cos(e*x + d))*sin(e*x + d))/((a^8*b^3 - 4*a^6*
b^5 + 6*a^4*b^7 - 4*a^2*b^9 + b^11 - 3*b*c^10 + (12*a^2*b - 11*b^3)*c^8 - 2*(9*a^4*b - 16*a^2*b^3 + 7*b^5)*c^6
+ 6*(2*a^6*b - 5*a^4*b^3 + 4*a^2*b^5 - b^7)*c^4 - (3*a^8*b - 8*a^6*b^3 + 6*a^4*b^5 - b^9)*c^2)*e*cos(e*x + d)
^3 + 3*(a^9*b^2 - 4*a^7*b^4 + 6*a^5*b^6 - 4*a^3*b^8 + a*b^10 - a*c^10 + (4*a^3 - 3*a*b^2)*c^8 - 2*(3*a^5 - 4*a
^3*b^2 + a*b^4)*c^6 + 2*(2*a^7 - 3*a^5*b^2 + a*b^6)*c^4 - (a^9 - 6*a^5*b^4 + 8*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*c^2)*e*cos(e
*x + d)^2 + 3*(a^10*b - 4*a^8*b^3 + 6*a^6*b^5 - 4*a^4*b^7 + a^2*b^9 + b*c^10 - (3*a^2*b - 4*b^3)*c^8 + 2*(a^4*
b - 4*a^2*b^3 + 3*b^5)*c^6 + 2*(a^6*b - 3*a^2*b^5 + 2*b^7)*c^4 - (3*a^8*b - 8*a^6*b^3 + 6*a^4*b^5 - b^9)*c^2)*
e*cos(e*x + d) + (a^11 - 4*a^9*b^2 + 6*a^7*b^4 - 4*a^5*b^6 + a^3*b^8 + 3*a*c^10 - (11*a^3 - 12*a*b^2)*c^8 + 2*
(7*a^5 - 16*a^3*b^2 + 9*a*b^4)*c^6 - 6*(a^7 - 4*a^5*b^2 + 5*a^3*b^4 - 2*a*b^6)*c^4 - (a^9 - 6*a^5*b^4 + 8*a^3*
b^6 - 3*a*b^8)*c^2)*e - ((c^11 - (4*a^2 - b^2)*c^9 + 6*(a^4 - b^4)*c^7 - 2*(2*a^6 + 3*a^4*b^2 - 12*a^2*b^4 + 7
*b^6)*c^5 + (a^8 + 8*a^6*b^2 - 30*a^4*b^4 + 32*a^2*b^6 - 11*b^8)*c^3 - 3*(a^8*b^2 - 4*a^6*b^4 + 6*a^4*b^6 - 4*
a^2*b^8 + b^10)*c)*e*cos(e*x + d)^2 - 6*(a*b*c^9 - 4*(a^3*b - a*b^3)*c^7 + 6*(a^5*b - 2*a^3*b^3 + a*b^5)*c^5 -
4*(a^7*b - 3*a^5*b^3 + 3*a^3*b^5 - a*b^7)*c^3 + (a^9*b - 4*a^7*b^3 + 6*a^5*b^5 - 4*a^3*b^7 + a*b^9)*c)*e*cos(
e*x + d) - (c^11 - (a^2 - 4*b^2)*c^9 - 6*(a^4 - b^4)*c^7 + 2*(7*a^6 - 12*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + 2*b^6)*c^5 - (1
1*a^8 - 32*a^6*b^2 + 30*a^4*b^4 - 8*a^2*b^6 - b^8)*c^3 + 3*(a^10 - 4*a^8*b^2 + 6*a^6*b^4 - 4*a^4*b^6 + a^2*b^8
)*c)*e)*sin(e*x + d)), 1/6*(3*a*b*c^5 + 6*(4*a^3*b + a*b^3)*c^3 + (4*c^7 + (7*a^2 - 4*b^2)*c^5 - (11*a^4 + 14*
a^2*b^2 + 20*b^4)*c^3 + 3*(11*a^4*b^2 - 7*a^2*b^4 - 4*b^6)*c)*cos(e*x + d)^3 - 6*(a*b*c^5 + 2*(4*a^3*b + a*b^3
)*c^3 - (9*a^5*b - 8*a^3*b^3 - a*b^5)*c)*cos(e*x + d)^2 + 3*(2*a^6 + 3*a^4*b^2 + 9*a^2*c^4 + (2*a^3*b^3 + 3*a*
b^5 - 9*a*b*c^4 - 6*(a^3*b + a*b^3)*c^2)*cos(e*x + d)^3 + 9*(a^4 + a^2*b^2)*c^2 + 3*(2*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 - 2
*a^4*c^2 - 3*a^2*c^4)*cos(e*x + d)^2 + 3*(2*a^5*b + 3*a^3*b^3 + 3*a*b*c^4 + (5*a^3*b + 3*a*b^3)*c^2)*cos(e*x +
d) + (3*a*c^5 + (11*a^3 + 3*a*b^2)*c^3 - (3*a*c^5 + 2*(a^3 - 3*a*b^2)*c^3 - 3*(2*a^3*b^2 + 3*a*b^4)*c)*cos(e*
x + d)^2 + 3*(2*a^5 + 3*a^3*b^2)*c + 6*(3*a^2*b*c^3 + (2*a^4*b + 3*a^2*b^3)*c)*cos(e*x + d))*sin(e*x + d))*sqr
t(a^2 - b^2 - c^2)*arctan(-(a*b*cos(e*x + d) + a*c*sin(e*x + d) + b^2 + c^2)*sqrt(a^2 - b^2 - c^2)/((c^3 - (a^
2 - b^2)*c)*cos(e*x + d) + (a^2*b - b^3 - b*c^2)*sin(e*x + d))) - 3*(9*a^5*b - 8*a^3*b^3 - a*b^5)*c - 3*(2*b^2
*c^5 + 2*c^7 + (4*a^4 - 7*a^2*b^2 - 2*b^4)*c^3 - (6*a^6 - 15*a^4*b^2 + 7*a^2*b^4 + 2*b^6)*c)*cos(e*x + d) - (1
8*a^6*b - 23*a^4*b^3 + 7*a^2*b^5 - 2*b^7 - 14*b^3*c^4 - 6*b*c^6 - (12*a^4*b - 7*a^2*b^3 + 10*b^5)*c^2 + (11*a^
4*b^3 - 7*a^2*b^5 - 4*b^7 + 12*b*c^6 + (21*a^2*b + 20*b^3)*c^4 - (33*a^4*b - 14*a^2*b^3 - 4*b^5)*c^2)*cos(e*x
+ d)^2 + 3*(9*a^5*b^2 - 8*a^3*b^4 - a*b^6 + a*c^6 + (8*a^3 + a*b^2)*c^4 - (9*a^5 + a*b^4)*c^2)*cos(e*x + d))*s
in(e*x + d))/((a^8*b^3 - 4*a^6*b^5 + 6*a^4*b^7 - 4*a^2*b^9 + b^11 - 3*b*c^10 + (12*a^2*b - 11*b^3)*c^8 - 2*(9*
a^4*b - 16*a^2*b^3 + 7*b^5)*c^6 + 6*(2*a^6*b - 5*a^4*b^3 + 4*a^2*b^5 - b^7)*c^4 - (3*a^8*b - 8*a^6*b^3 + 6*a^4
*b^5 - b^9)*c^2)*e*cos(e*x + d)^3 + 3*(a^9*b^2 - 4*a^7*b^4 + 6*a^5*b^6 - 4*a^3*b^8 + a*b^10 - a*c^10 + (4*a^3
- 3*a*b^2)*c^8 - 2*(3*a^5 - 4*a^3*b^2 + a*b^4)*c^6 + 2*(2*a^7 - 3*a^5*b^2 + a*b^6)*c^4 - (a^9 - 6*a^5*b^4 + 8*
a^3*b^6 - 3*a*b^8)*c^2)*e*cos(e*x + d)^2 + 3*(a^10*b - 4*a^8*b^3 + 6*a^6*b^5 - 4*a^4*b^7 + a^2*b^9 + b*c^10 -
(3*a^2*b - 4*b^3)*c^8 + 2*(a^4*b - 4*a^2*b^3 + 3*b^5)*c^6 + 2*(a^6*b - 3*a^2*b^5 + 2*b^7)*c^4 - (3*a^8*b - 8*a
^6*b^3 + 6*a^4*b^5 - b^9)*c^2)*e*cos(e*x + d) + (a^11 - 4*a^9*b^2 + 6*a^7*b^4 - 4*a^5*b^6 + a^3*b^8 + 3*a*c^10
- (11*a^3 - 12*a*b^2)*c^8 + 2*(7*a^5 - 16*a^3*b^2 + 9*a*b^4)*c^6 - 6*(a^7 - 4*a^5*b^2 + 5*a^3*b^4 - 2*a*b^6)*
c^4 - (a^9 - 6*a^5*b^4 + 8*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*c^2)*e - ((c^11 - (4*a^2 - b^2)*c^9 + 6*(a^4 - b^4)*c^7 - 2*(2*a
^6 + 3*a^4*b^2 - 12*a^2*b^4 + 7*b^6)*c^5 + (a^8 + 8*a^6*b^2 - 30*a^4*b^4 + 32*a^2*b^6 - 11*b^8)*c^3 - 3*(a^8*b
^2 - 4*a^6*b^4 + 6*a^4*b^6 - 4*a^2*b^8 + b^10)*c)*e*cos(e*x + d)^2 - 6*(a*b*c^9 - 4*(a^3*b - a*b^3)*c^7 + 6*(a
^5*b - 2*a^3*b^3 + a*b^5)*c^5 - 4*(a^7*b - 3*a^5*b^3 + 3*a^3*b^5 - a*b^7)*c^3 + (a^9*b - 4*a^7*b^3 + 6*a^5*b^5
- 4*a^3*b^7 + a*b^9)*c)*e*cos(e*x + d) - (c^11 - (a^2 - 4*b^2)*c^9 - 6*(a^4 - b^4)*c^7 + 2*(7*a^6 - 12*a^4*b^
2 + 3*a^2*b^4 + 2*b^6)*c^5 - (11*a^8 - 32*a^6*b^2 + 30*a^4*b^4 - 8*a^2*b^6 - b^8)*c^3 + 3*(a^10 - 4*a^8*b^2 +
6*a^6*b^4 - 4*a^4*b^6 + a^2*b^8)*c)*e)*sin(e*x + d))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+b*cos(e*x+d)+c*sin(e*x+d))**4,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.49059, size = 3606, normalized size = 12.35 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+b*cos(e*x+d)+c*sin(e*x+d))^4,x, algorithm="giac")

[Out]

-1/3*(3*(2*a^3 + 3*a*b^2 + 3*a*c^2)*(pi*floor(1/2*(x*e + d)/pi + 1/2)*sgn(-2*a + 2*b) + arctan(-(a*tan(1/2*x*e
+ 1/2*d) - b*tan(1/2*x*e + 1/2*d) + c)/sqrt(a^2 - b^2 - c^2)))/((a^6 - 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 - b^6 - 3*a^4*c^
2 + 6*a^2*b^2*c^2 - 3*b^4*c^2 + 3*a^2*c^4 - 3*b^2*c^4 - c^6)*sqrt(a^2 - b^2 - c^2)) + (18*a^7*b*tan(1/2*x*e +
1/2*d)^5 - 81*a^6*b^2*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^5 + 141*a^5*b^3*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^5 - 120*a^4*b^4*tan(1/2*x*e +
1/2*d)^5 + 60*a^3*b^5*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^5 - 33*a^2*b^6*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^5 + 21*a*b^7*tan(1/2*x*e + 1/2*
d)^5 - 6*b^8*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^5 - 27*a^6*c^2*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^5 + 81*a^5*b*c^2*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^5
- 72*a^4*b^2*c^2*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^5 + 18*a^3*b^3*c^2*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^5 - 27*a^2*b^4*c^2*tan(1/2*x*e +
1/2*d)^5 + 45*a*b^5*c^2*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^5 - 18*b^6*c^2*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^5 + 18*a^4*c^4*tan(1/2*x*e +
1/2*d)^5 - 36*a^3*b*c^4*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^5 + 36*a*b^3*c^4*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^5 - 18*b^4*c^4*tan(1/2*x*e
+ 1/2*d)^5 - 6*a^2*c^6*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^5 + 12*a*b*c^6*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^5 - 6*b^2*c^6*tan(1/2*x*e + 1
/2*d)^5 - 18*a^7*c*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^4 + 108*a^6*b*c*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^4 - 261*a^5*b^2*c*tan(1/2*x*e + 1
/2*d)^4 + 336*a^4*b^3*c*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^4 - 264*a^3*b^4*c*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^4 + 144*a^2*b^5*c*tan(1/2*
x*e + 1/2*d)^4 - 57*a*b^6*c*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^4 + 12*b^7*c*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^4 - 81*a^5*c^3*tan(1/2*x*e
+ 1/2*d)^4 + 216*a^4*b*c^3*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^4 - 198*a^3*b^2*c^3*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^4 + 108*a^2*b^3*c^3*t
an(1/2*x*e + 1/2*d)^4 - 81*a*b^4*c^3*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^4 + 36*b^5*c^3*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^4 + 36*a^3*c^5*t
an(1/2*x*e + 1/2*d)^4 - 36*a^2*b*c^5*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^4 - 36*a*b^2*c^5*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^4 + 36*b^3*c^5
*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^4 - 12*a*c^7*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^4 + 12*b*c^7*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^4 + 36*a^7*b*tan(1/2
*x*e + 1/2*d)^3 - 108*a^6*b^2*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^3 + 76*a^5*b^3*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^3 + 60*a^4*b^4*tan(1/2*
x*e + 1/2*d)^3 - 100*a^3*b^5*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^3 + 44*a^2*b^6*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^3 - 12*a*b^7*tan(1/2*x*e
+ 1/2*d)^3 + 4*b^8*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^3 - 108*a^6*c^2*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^3 + 240*a^5*b*c^2*tan(1/2*x*e +
1/2*d)^3 - 162*a^4*b^2*c^2*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^3 + 122*a^3*b^3*c^2*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^3 - 174*a^2*b^4*c^2*t
an(1/2*x*e + 1/2*d)^3 + 78*a*b^5*c^2*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^3 + 4*b^6*c^2*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^3 - 42*a^4*c^4*ta
n(1/2*x*e + 1/2*d)^3 + 162*a^3*b*c^4*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^3 - 210*a^2*b^2*c^4*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^3 + 102*a*b
^3*c^4*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^3 - 12*b^4*c^4*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^3 + 8*a^2*c^6*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^3 + 12*a*b*
c^6*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^3 - 20*b^2*c^6*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^3 - 8*c^8*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^3 - 36*a^7*c*tan(1
/2*x*e + 1/2*d)^2 + 108*a^6*b*c*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 - 108*a^5*b^2*c*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 + 12*a^4*b^3*c*t
an(1/2*x*e + 1/2*d)^2 + 84*a^3*b^4*c*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 - 108*a^2*b^5*c*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 + 60*a*b^6*
c*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 - 12*b^7*c*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 - 120*a^5*c^3*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 + 132*a^4*b*c^
3*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 + 42*a^3*b^2*c^3*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 - 36*a^2*b^3*c^3*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 + 18*
a*b^4*c^3*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 - 36*b^5*c^3*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 + 18*a^3*c^5*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 + 72*
a^2*b*c^5*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 - 54*a*b^2*c^5*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 - 36*b^3*c^5*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 - 1
2*a*c^7*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 - 12*b*c^7*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 + 18*a^7*b*tan(1/2*x*e + 1/2*d) - 27*a^6*b^2*
tan(1/2*x*e + 1/2*d) - 21*a^5*b^3*tan(1/2*x*e + 1/2*d) + 48*a^4*b^4*tan(1/2*x*e + 1/2*d) - 12*a^3*b^5*tan(1/2*
x*e + 1/2*d) - 15*a^2*b^6*tan(1/2*x*e + 1/2*d) + 15*a*b^7*tan(1/2*x*e + 1/2*d) - 6*b^8*tan(1/2*x*e + 1/2*d) -
81*a^6*c^2*tan(1/2*x*e + 1/2*d) + 27*a^5*b*c^2*tan(1/2*x*e + 1/2*d) + 90*a^4*b^2*c^2*tan(1/2*x*e + 1/2*d) + 9*
a^2*b^4*c^2*tan(1/2*x*e + 1/2*d) - 27*a*b^5*c^2*tan(1/2*x*e + 1/2*d) - 18*b^6*c^2*tan(1/2*x*e + 1/2*d) + 12*a^
4*c^4*tan(1/2*x*e + 1/2*d) + 42*a^3*b*c^4*tan(1/2*x*e + 1/2*d) + 18*a^2*b^2*c^4*tan(1/2*x*e + 1/2*d) - 54*a*b^
3*c^4*tan(1/2*x*e + 1/2*d) - 18*b^4*c^4*tan(1/2*x*e + 1/2*d) - 6*a^2*c^6*tan(1/2*x*e + 1/2*d) - 12*a*b*c^6*tan
(1/2*x*e + 1/2*d) - 6*b^2*c^6*tan(1/2*x*e + 1/2*d) - 18*a^7*c + 21*a^5*b^2*c + 12*a^3*b^4*c - 15*a*b^6*c + 5*a
^5*c^3 + 16*a^3*b^2*c^3 - 21*a*b^4*c^3 - 2*a^3*c^5 - 6*a*b^2*c^5)/((a^9 - 3*a^8*b + 8*a^6*b^3 - 6*a^5*b^4 - 6*
a^4*b^5 + 8*a^3*b^6 - 3*a*b^8 + b^9 - 3*a^7*c^2 + 9*a^6*b*c^2 - 3*a^5*b^2*c^2 - 15*a^4*b^3*c^2 + 15*a^3*b^4*c^
2 + 3*a^2*b^5*c^2 - 9*a*b^6*c^2 + 3*b^7*c^2 + 3*a^5*c^4 - 9*a^4*b*c^4 + 6*a^3*b^2*c^4 + 6*a^2*b^3*c^4 - 9*a*b^
4*c^4 + 3*b^5*c^4 - a^3*c^6 + 3*a^2*b*c^6 - 3*a*b^2*c^6 + b^3*c^6)*(a*tan(1/2*x*e + 1/2*d)^2 - b*tan(1/2*x*e +
1/2*d)^2 + 2*c*tan(1/2*x*e + 1/2*d) + a + b)^3))*e^(-1)