3.14 \(\int \frac{\sqrt{x+\sqrt{1+x}}}{1+x^2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=337 \[ \frac{1}{2} i \sqrt{i+\sqrt{1-i}} \tan ^{-1}\left (\frac{-\left (1-2 \sqrt{1-i}\right ) \sqrt{x+1}+\sqrt{1-i}+2}{2 \sqrt{i+\sqrt{1-i}} \sqrt{x+\sqrt{x+1}}}\right )-\frac{1}{2} i \sqrt{\sqrt{1+i}-i} \tan ^{-1}\left (\frac{-\left (1-2 \sqrt{1+i}\right ) \sqrt{x+1}+\sqrt{1+i}+2}{2 \sqrt{\sqrt{1+i}-i} \sqrt{x+\sqrt{x+1}}}\right )+\frac{1}{2} i \sqrt{\sqrt{1-i}-i} \tanh ^{-1}\left (\frac{-\left (1+2 \sqrt{1-i}\right ) \sqrt{x+1}-\sqrt{1-i}+2}{2 \sqrt{\sqrt{1-i}-i} \sqrt{x+\sqrt{x+1}}}\right )-\frac{1}{2} i \sqrt{i+\sqrt{1+i}} \tanh ^{-1}\left (\frac{-\left (1+2 \sqrt{1+i}\right ) \sqrt{x+1}-\sqrt{1+i}+2}{2 \sqrt{i+\sqrt{1+i}} \sqrt{x+\sqrt{x+1}}}\right ) \]

[Out]

(I/2)*Sqrt[I + Sqrt[1 - I]]*ArcTan[(2 + Sqrt[1 - I] - (1 - 2*Sqrt[1 - I])*Sqrt[1 + x])/(2*Sqrt[I + Sqrt[1 - I]
]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]])] - (I/2)*Sqrt[-I + Sqrt[1 + I]]*ArcTan[(2 + Sqrt[1 + I] - (1 - 2*Sqrt[1 + I])*Sqrt[1
+ x])/(2*Sqrt[-I + Sqrt[1 + I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]])] + (I/2)*Sqrt[-I + Sqrt[1 - I]]*ArcTanh[(2 - Sqrt[1 - I
] - (1 + 2*Sqrt[1 - I])*Sqrt[1 + x])/(2*Sqrt[-I + Sqrt[1 - I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]])] - (I/2)*Sqrt[I + Sqrt[1
+ I]]*ArcTanh[(2 - Sqrt[1 + I] - (1 + 2*Sqrt[1 + I])*Sqrt[1 + x])/(2*Sqrt[I + Sqrt[1 + I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 +
x]])]

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.621143, antiderivative size = 337, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 22, number of rules used = 9, integrand size = 21, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.429, Rules used = {6741, 6728, 1021, 1078, 621, 206, 1033, 724, 204} \[ \frac{1}{2} i \sqrt{i+\sqrt{1-i}} \tan ^{-1}\left (\frac{-\left (1-2 \sqrt{1-i}\right ) \sqrt{x+1}+\sqrt{1-i}+2}{2 \sqrt{i+\sqrt{1-i}} \sqrt{x+\sqrt{x+1}}}\right )-\frac{1}{2} i \sqrt{\sqrt{1+i}-i} \tan ^{-1}\left (\frac{-\left (1-2 \sqrt{1+i}\right ) \sqrt{x+1}+\sqrt{1+i}+2}{2 \sqrt{\sqrt{1+i}-i} \sqrt{x+\sqrt{x+1}}}\right )+\frac{1}{2} i \sqrt{\sqrt{1-i}-i} \tanh ^{-1}\left (\frac{-\left (1+2 \sqrt{1-i}\right ) \sqrt{x+1}-\sqrt{1-i}+2}{2 \sqrt{\sqrt{1-i}-i} \sqrt{x+\sqrt{x+1}}}\right )-\frac{1}{2} i \sqrt{i+\sqrt{1+i}} \tanh ^{-1}\left (\frac{-\left (1+2 \sqrt{1+i}\right ) \sqrt{x+1}-\sqrt{1+i}+2}{2 \sqrt{i+\sqrt{1+i}} \sqrt{x+\sqrt{x+1}}}\right ) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Sqrt[x + Sqrt[1 + x]]/(1 + x^2),x]

[Out]

(I/2)*Sqrt[I + Sqrt[1 - I]]*ArcTan[(2 + Sqrt[1 - I] - (1 - 2*Sqrt[1 - I])*Sqrt[1 + x])/(2*Sqrt[I + Sqrt[1 - I]
]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]])] - (I/2)*Sqrt[-I + Sqrt[1 + I]]*ArcTan[(2 + Sqrt[1 + I] - (1 - 2*Sqrt[1 + I])*Sqrt[1
+ x])/(2*Sqrt[-I + Sqrt[1 + I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]])] + (I/2)*Sqrt[-I + Sqrt[1 - I]]*ArcTanh[(2 - Sqrt[1 - I
] - (1 + 2*Sqrt[1 - I])*Sqrt[1 + x])/(2*Sqrt[-I + Sqrt[1 - I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]])] - (I/2)*Sqrt[I + Sqrt[1
+ I]]*ArcTanh[(2 - Sqrt[1 + I] - (1 + 2*Sqrt[1 + I])*Sqrt[1 + x])/(2*Sqrt[I + Sqrt[1 + I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 +
x]])]

Rule 6741

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = NormalizeIntegrand[u, x]}, Int[v, x] /; v =!= u]

Rule 6728

Int[(u_)/((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.)), x_Symbol] :> With[{v = RationalFunctionExpand[u/(a +
b*x^n + c*x^(2*n)), x]}, Int[v, x] /; SumQ[v]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IGtQ[n, 0]

Rule 1021

Int[((g_.) + (h_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp
[(h*(a + b*x + c*x^2)^p*(d + f*x^2)^(q + 1))/(2*f*(p + q + 1)), x] - Dist[1/(2*f*(p + q + 1)), Int[(a + b*x +
c*x^2)^(p - 1)*(d + f*x^2)^q*Simp[h*p*(b*d) + a*(-2*g*f)*(p + q + 1) + (2*h*p*(c*d - a*f) + b*(-2*g*f)*(p + q
+ 1))*x + (h*p*(-(b*f)) + c*(-2*g*f)*(p + q + 1))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, f, g, h, q}, x] && NeQ
[b^2 - 4*a*c, 0] && GtQ[p, 0] && NeQ[p + q + 1, 0]

Rule 1078

Int[((A_.) + (B_.)*(x_) + (C_.)*(x_)^2)/(((a_) + (c_.)*(x_)^2)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Sym
bol] :> Dist[C/c, Int[1/Sqrt[d + e*x + f*x^2], x], x] + Dist[1/c, Int[(A*c - a*C + B*c*x)/((a + c*x^2)*Sqrt[d
+ e*x + f*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[e^2 - 4*d*f, 0]

Rule 621

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Dist[2, Subst[Int[1/(4*c - x^2), x], x, (b + 2*c*x)
/Sqrt[a + b*x + c*x^2]], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 1033

Int[((g_.) + (h_.)*(x_))/(((a_) + (c_.)*(x_)^2)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> With[{q
= Rt[-(a*c), 2]}, Dist[h/2 + (c*g)/(2*q), Int[1/((-q + c*x)*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x], x] + Dist[h/2 - (c*g)
/(2*q), Int[1/((q + c*x)*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, h}, x] && NeQ[e^2 - 4*d*f
, 0] && PosQ[-(a*c)]

Rule 724

Int[1/(((d_.) + (e_.)*(x_))*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Dist[-2, Subst[Int[1/(4*c*d
^2 - 4*b*d*e + 4*a*e^2 - x^2), x], x, (2*a*e - b*d - (2*c*d - b*e)*x)/Sqrt[a + b*x + c*x^2]], x] /; FreeQ[{a,
b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[2*c*d - b*e, 0]

Rule 204

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> -Simp[ArcTan[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[-a, 2]]/(Rt[-a, 2]*Rt[-b, 2]), x] /
; FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a/b] && (LtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\sqrt{x+\sqrt{1+x}}}{1+x^2} \, dx &=2 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{x \sqrt{-1+x+x^2}}{1+\left (-1+x^2\right )^2} \, dx,x,\sqrt{1+x}\right )\\ &=2 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{x \sqrt{-1+x+x^2}}{2-2 x^2+x^4} \, dx,x,\sqrt{1+x}\right )\\ &=2 \operatorname{Subst}\left (\int \left (\frac{i x \sqrt{-1+x+x^2}}{(2+2 i)-2 x^2}+\frac{i x \sqrt{-1+x+x^2}}{(-2+2 i)+2 x^2}\right ) \, dx,x,\sqrt{1+x}\right )\\ &=2 i \operatorname{Subst}\left (\int \frac{x \sqrt{-1+x+x^2}}{(2+2 i)-2 x^2} \, dx,x,\sqrt{1+x}\right )+2 i \operatorname{Subst}\left (\int \frac{x \sqrt{-1+x+x^2}}{(-2+2 i)+2 x^2} \, dx,x,\sqrt{1+x}\right )\\ &=i \operatorname{Subst}\left (\int \frac{(1+i)+2 i x+x^2}{\left ((2+2 i)-2 x^2\right ) \sqrt{-1+x+x^2}} \, dx,x,\sqrt{1+x}\right )-i \operatorname{Subst}\left (\int \frac{(-1+i)+2 i x-x^2}{\sqrt{-1+x+x^2} \left ((-2+2 i)+2 x^2\right )} \, dx,x,\sqrt{1+x}\right )\\ &=-\left (\frac{1}{2} i \operatorname{Subst}\left (\int \frac{(-4-4 i)-4 i x}{\left ((2+2 i)-2 x^2\right ) \sqrt{-1+x+x^2}} \, dx,x,\sqrt{1+x}\right )\right )-\frac{1}{2} i \operatorname{Subst}\left (\int \frac{(-4+4 i)+4 i x}{\sqrt{-1+x+x^2} \left ((-2+2 i)+2 x^2\right )} \, dx,x,\sqrt{1+x}\right )\\ &=-\left (\left (-1-i \sqrt{1-i}\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (-2 \sqrt{1-i}+2 x\right ) \sqrt{-1+x+x^2}} \, dx,x,\sqrt{1+x}\right )\right )-\left (-1+i \sqrt{1-i}\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (2 \sqrt{1-i}+2 x\right ) \sqrt{-1+x+x^2}} \, dx,x,\sqrt{1+x}\right )+\left (-1-i \sqrt{1+i}\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (-2 \sqrt{1+i}-2 x\right ) \sqrt{-1+x+x^2}} \, dx,x,\sqrt{1+x}\right )+\left (-1+i \sqrt{1+i}\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (2 \sqrt{1+i}-2 x\right ) \sqrt{-1+x+x^2}} \, dx,x,\sqrt{1+x}\right )\\ &=-\left (\left (2 \left (1-i \sqrt{1-i}\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-16 i-16 \sqrt{1-i}-x^2} \, dx,x,\frac{-4-2 \sqrt{1-i}-\left (-2+4 \sqrt{1-i}\right ) \sqrt{1+x}}{\sqrt{x+\sqrt{1+x}}}\right )\right )-\left (2 \left (1+i \sqrt{1-i}\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-16 i+16 \sqrt{1-i}-x^2} \, dx,x,\frac{-4+2 \sqrt{1-i}-\left (-2-4 \sqrt{1-i}\right ) \sqrt{1+x}}{\sqrt{x+\sqrt{1+x}}}\right )+\left (2 \left (1-i \sqrt{1+i}\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{16 i+16 \sqrt{1+i}-x^2} \, dx,x,\frac{4-2 \sqrt{1+i}-\left (2+4 \sqrt{1+i}\right ) \sqrt{1+x}}{\sqrt{x+\sqrt{1+x}}}\right )+\left (2 \left (1+i \sqrt{1+i}\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{16 i-16 \sqrt{1+i}-x^2} \, dx,x,\frac{4+2 \sqrt{1+i}-\left (2-4 \sqrt{1+i}\right ) \sqrt{1+x}}{\sqrt{x+\sqrt{1+x}}}\right )\\ &=\frac{1}{2} i \sqrt{i+\sqrt{1-i}} \tan ^{-1}\left (\frac{2+\sqrt{1-i}-\left (1-2 \sqrt{1-i}\right ) \sqrt{1+x}}{2 \sqrt{i+\sqrt{1-i}} \sqrt{x+\sqrt{1+x}}}\right )-\frac{1}{2} i \sqrt{-i+\sqrt{1+i}} \tan ^{-1}\left (\frac{2+\sqrt{1+i}-\left (1-2 \sqrt{1+i}\right ) \sqrt{1+x}}{2 \sqrt{-i+\sqrt{1+i}} \sqrt{x+\sqrt{1+x}}}\right )+\frac{1}{2} i \sqrt{-i+\sqrt{1-i}} \tanh ^{-1}\left (\frac{2-\sqrt{1-i}-\left (1+2 \sqrt{1-i}\right ) \sqrt{1+x}}{2 \sqrt{-i+\sqrt{1-i}} \sqrt{x+\sqrt{1+x}}}\right )-\frac{1}{2} i \sqrt{i+\sqrt{1+i}} \tanh ^{-1}\left (\frac{2-\sqrt{1+i}-\left (1+2 \sqrt{1+i}\right ) \sqrt{1+x}}{2 \sqrt{i+\sqrt{1+i}} \sqrt{x+\sqrt{1+x}}}\right )\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 5.97203, size = 2075, normalized size = 6.16 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Sqrt[x + Sqrt[1 + x]]/(1 + x^2),x]

[Out]

(1/8 + I/8)*(-2*Sqrt[(1 + I)/(I + Sqrt[1 + I])]*((1 - I) + Sqrt[1 + I])*ArcTan[(-10 - (10 - 5*I)*Sqrt[1 + I] -
(1 - 2*I)*((5 + 2*I) + 5*Sqrt[1 + I])*x + (16 + 8*I)*Sqrt[1 + x] + (10 + 5*I)*Sqrt[1 + I]*Sqrt[1 + x] + (4 -
2*I)*Sqrt[(-1 + I) + (1 + I)^(3/2)]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] + (8 - 4*I)*Sqrt[(-1 + I) + (1 + I)^(3/2)]*Sqrt[1 +
x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] + 4*Sqrt[I + Sqrt[1 + I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]]*(1 + 2*Sqrt[1 + x]))/((-15 - 5*I) - 1
0*Sqrt[1 + I] + ((-6 + 15*I) + (2 + 12*I)*Sqrt[1 + I])*x + (14 + 20*I)*Sqrt[1 + x] + (22 + 12*I)*Sqrt[1 + I]*S
qrt[1 + x])] + 2*Sqrt[(-1 + I)/(-I + Sqrt[1 - I])]*((1 + I) + Sqrt[1 - I])*ArcTan[((-2 + 4*I) - (4 - 3*I)*Sqrt
[1 - I] + ((-5 + 2*I) - 5*Sqrt[1 - I])*x - (8*I)*Sqrt[1 + x] - (5*I)*Sqrt[1 - I]*Sqrt[1 + x] + (2*I)*Sqrt[(1 +
I) - (1 - I)^(3/2)]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] + (2 + 2*I)*Sqrt[I - Sqrt[1 - I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]]*((1 + I) -
(1 + 2*I)*Sqrt[1 + x] - (2*I)*Sqrt[1 - I]*Sqrt[1 + x]))/((-8 + 6*I) - (6 - 2*I)*Sqrt[1 - I] + ((-1 + 10*I) - (
4 - 8*I)*Sqrt[1 - I])*x + (2 + 4*I)*Sqrt[1 + x] + (2 + 6*I)*Sqrt[1 - I]*Sqrt[1 + x])] - 2*Sqrt[(1 + I)/(I - Sq
rt[1 + I])]*((-1 + I) + Sqrt[1 + I])*ArcTan[(((9 - 8*I) - (5 - 10*I)*Sqrt[1 + I])*x - (2*I)*Sqrt[I - Sqrt[1 +
I]]*(-2*I + (1 + 2*I)*Sqrt[1 + I])*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]]*(1 + 2*Sqrt[1 + x]) + (2 + I)*((4 - 2*I) - (3 - 4*I)*
Sqrt[1 + I] - 8*Sqrt[1 + x] + 5*Sqrt[1 + I]*Sqrt[1 + x]))/((15 + 5*I) - 10*Sqrt[1 + I] + ((6 - 15*I) + (2 + 12
*I)*Sqrt[1 + I])*x - (14 + 20*I)*Sqrt[1 + x] + (22 + 12*I)*Sqrt[1 + I]*Sqrt[1 + x])] - (2*I)*((-1 - I) + Sqrt[
1 - I])*Sqrt[(1 - I)/(I + Sqrt[1 - I])]*ArcTanh[((4 + 2*I) - (3 + 4*I)*Sqrt[1 - I] + (2 + 5*I)*x - (5*I)*Sqrt[
1 - I]*x - 8*Sqrt[1 + x] + 5*Sqrt[1 - I]*Sqrt[1 + x] + 4*Sqrt[I + Sqrt[1 - I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] - 2*Sqrt[
(1 + I) + (1 - I)^(3/2)]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] + (8*Sqrt[1 + x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]])/Sqrt[(1 - I)/(I + Sqrt[
1 - I])] - (6 + 2*I)*Sqrt[I + Sqrt[1 - I]]*Sqrt[1 + x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]])/((8 - 6*I) - (6 - 2*I)*Sqrt[1 -
I] + ((1 - 10*I) - (4 - 8*I)*Sqrt[1 - I])*x - (2 + 4*I)*Sqrt[1 + x] + (2 + 6*I)*Sqrt[1 - I]*Sqrt[1 + x])] + I*
Sqrt[(-1 + I)/(-I + Sqrt[1 - I])]*((1 + I) + Sqrt[1 - I])*Log[(Sqrt[1 - I] - Sqrt[1 + x])^2] - I*Sqrt[(1 + I)/
(I + Sqrt[1 + I])]*((1 - I) + Sqrt[1 + I])*Log[(Sqrt[1 + I] - Sqrt[1 + x])^2] + I*((-1 - I) + Sqrt[1 - I])*Sqr
t[(1 - I)/(I + Sqrt[1 - I])]*Log[(Sqrt[1 - I] + Sqrt[1 + x])^2] + Sqrt[(1 + I)/(I - Sqrt[1 + I])]*((1 + I) - I
*Sqrt[1 + I])*Log[(Sqrt[1 + I] + Sqrt[1 + x])^2] + ((1 + I) + I*Sqrt[1 + I])*Sqrt[(1 + I)/(I + Sqrt[1 + I])]*L
og[(11 + 2*I) + (7 - I)*Sqrt[1 + I] + ((8 + 7*I) + (9 + 3*I)*Sqrt[1 + I])*x - (2 - 2*I)*Sqrt[1 + x] - (1 - 3*I
)*Sqrt[1 + I]*Sqrt[1 + x] + 8*Sqrt[(-1 + I) + (1 + I)^(3/2)]*Sqrt[1 + x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] - (2 + 2*I)*Sqr
t[I + Sqrt[1 + I]]*(2 + Sqrt[1 + I] - (3 - I)*Sqrt[1 + x])*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]]] - I*Sqrt[(-1 + I)/(-I + Sqrt
[1 - I])]*((1 + I) + Sqrt[1 - I])*Log[I*((15 + 20*I) + (5 + 15*I)*Sqrt[1 - I] + ((-2 + 25*I) - (9 - 15*I)*Sqrt
[1 - I])*x - (22 - 10*I)*Sqrt[1 + x] - (19 + 5*I)*Sqrt[1 - I]*Sqrt[1 + x] + (2 + 6*I)*Sqrt[(1 + I) - (1 - I)^(
3/2)]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] + (4 + 12*I)*Sqrt[(1 + I) - (1 - I)^(3/2)]*Sqrt[1 + x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] + (4
+ 4*I)*Sqrt[I - Sqrt[1 - I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]]*(1 + 2*Sqrt[1 + x]))] - I*((-1 - I) + Sqrt[1 - I])*Sqrt[(1
- I)/(I + Sqrt[1 - I])]*Log[(20 - 15*I) - (15 - 5*I)*Sqrt[1 - I] + ((25 + 2*I) - (15 + 9*I)*Sqrt[1 - I])*x + (
10 + 22*I)*Sqrt[1 + x] + (5 - 19*I)*Sqrt[1 - I]*Sqrt[1 + x] - (6 - 2*I)*Sqrt[(1 + I) + (1 - I)^(3/2)]*Sqrt[x +
Sqrt[1 + x]] - (12 - 4*I)*Sqrt[(1 + I) + (1 - I)^(3/2)]*Sqrt[1 + x]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]] + (4 - 4*I)*Sqrt[I
+ Sqrt[1 - I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]]*(1 + 2*Sqrt[1 + x])] + I*Sqrt[(1 + I)/(I - Sqrt[1 + I])]*((-1 + I) + Sqrt
[1 + I])*Log[(-11 - 2*I) + (7 - I)*Sqrt[1 + I] + ((-8 - 7*I) + (9 + 3*I)*Sqrt[1 + I])*x + (2 - 2*I)*Sqrt[1 + x
] - (1 - 3*I)*Sqrt[1 + I]*Sqrt[1 + x] + (2 + 2*I)*Sqrt[I - Sqrt[1 + I]]*Sqrt[x + Sqrt[1 + x]]*(2 - Sqrt[1 + I]
- (3 - I)*Sqrt[1 + x] + (4*Sqrt[1 + x])/Sqrt[1 + I])])

________________________________________________________________________________________

Maple [C]  time = 0.011, size = 105, normalized size = 0.3 \begin{align*}{\frac{1}{2}\sum _{{\it \_R}={\it RootOf} \left ({{\it \_Z}}^{8}-4\,{{\it \_Z}}^{6}+8\,{{\it \_Z}}^{5}+20\,{{\it \_Z}}^{4}-48\,{{\it \_Z}}^{3}+40\,{{\it \_Z}}^{2}-8\,{\it \_Z}+1 \right ) }{\frac{{{\it \_R}}^{6}-2\,{{\it \_R}}^{5}+2\,{\it \_R}+1}{{{\it \_R}}^{7}-3\,{{\it \_R}}^{5}+5\,{{\it \_R}}^{4}+10\,{{\it \_R}}^{3}-18\,{{\it \_R}}^{2}+10\,{\it \_R}-1}\ln \left ( \sqrt{x+\sqrt{1+x}}-\sqrt{1+x}-{\it \_R} \right ) }} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((x+(1+x)^(1/2))^(1/2)/(x^2+1),x)

[Out]

1/2*sum((_R^6-2*_R^5+2*_R+1)/(_R^7-3*_R^5+5*_R^4+10*_R^3-18*_R^2+10*_R-1)*ln((x+(1+x)^(1/2))^(1/2)-(1+x)^(1/2)
-_R),_R=RootOf(_Z^8-4*_Z^6+8*_Z^5+20*_Z^4-48*_Z^3+40*_Z^2-8*_Z+1))

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\sqrt{x + \sqrt{x + 1}}}{x^{2} + 1}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((x+(1+x)^(1/2))^(1/2)/(x^2+1),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sqrt(x + sqrt(x + 1))/(x^2 + 1), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 44.9248, size = 15946, normalized size = 47.32 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((x+(1+x)^(1/2))^(1/2)/(x^2+1),x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/4*sqrt(sqrt(1/4*I + 1/4) + sqrt(-1/4*I + 1/4) - 2*sqrt(-3/16*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 - 1/8*(2*sqrt(1/4*
I + 1/4) + I)*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) - 3/16*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I)^2))*log(-1/4*(2*(((2*x + 1)*sqrt(x
+ 1) - 9*x - 2)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) + 4*(2*x + 1)*sqrt(x + 1) - x - 8)*sqrt(x + sqrt(x + 1))*(2*sqrt(-1/
4*I + 1/4) - I)^2 + 2*(((2*x + 1)*sqrt(x + 1) - 9*x - 2)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 + (3*x - 16)*sqrt(x + 1)
+ 4*x - 3)*sqrt(x + sqrt(x + 1))*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) + 8*((((2*x + 1)*sqrt(x + 1) - 9*x - 2)*(2*sqrt(1/
4*I + 1/4) + I) + 4*(2*x + 1)*sqrt(x + 1) - x - 8)*sqrt(x + sqrt(x + 1))*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) + ((4*(2*x
+ 1)*sqrt(x + 1) - x - 8)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) - (3*x - 16)*sqrt(x + 1) - 4*x + 3)*sqrt(x + sqrt(x + 1))
)*sqrt(-3/16*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 - 1/8*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) - 3/16*(2*
sqrt(-1/4*I + 1/4) - I)^2) + 2*((4*(2*x + 1)*sqrt(x + 1) - x - 8)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 + ((3*x - 16)*sq
rt(x + 1) + 4*x - 3)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) + 12*(2*x + 1)*sqrt(x + 1) + 32*x + 46)*sqrt(x + sqrt(x + 1)) +
((3*x^2 + 8*sqrt(x + 1)*(x - 2) - 16*x + 5)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 + (3*x^2 - 2*(4*x^2 - sqrt(x + 1)*(x
- 2) + 2*x - 5)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) + 8*sqrt(x + 1)*(x - 2) - 16*x + 5)*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I)^2 + 4
4*x^2 - 2*(6*x^2 + (16*x + 3)*sqrt(x + 1) + 3*x + 10)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) - 2*((4*x^2 - sqrt(x + 1)*(x -
2) + 2*x - 5)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 + 6*x^2 + (16*x + 3)*sqrt(x + 1) + 3*x + 10)*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4)
- I) + 4*(12*x^2 + (3*x^2 + 8*sqrt(x + 1)*(x - 2) - 16*x + 5)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) + (3*x^2 - 2*(4*x^2 -
sqrt(x + 1)*(x - 2) + 2*x - 5)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) + 8*sqrt(x + 1)*(x - 2) - 16*x + 5)*(2*sqrt(-1/4*I +
1/4) - I) + 2*(16*x + 3)*sqrt(x + 1) + 6*x + 20)*sqrt(-3/16*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 - 1/8*(2*sqrt(1/4*I +
1/4) + I)*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) - 3/16*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I)^2) + 24*sqrt(x + 1)*(x - 2) + 92*x - 20
)*sqrt(sqrt(1/4*I + 1/4) + sqrt(-1/4*I + 1/4) - 2*sqrt(-3/16*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 - 1/8*(2*sqrt(1/4*I +
1/4) + I)*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) - 3/16*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I)^2)))/(x^2 + 1)) + 1/4*sqrt(sqrt(1/4*I
+ 1/4) + sqrt(-1/4*I + 1/4) - 2*sqrt(-3/16*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 - 1/8*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)*(2*sqrt
(-1/4*I + 1/4) - I) - 3/16*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I)^2))*log(-1/4*(2*(((2*x + 1)*sqrt(x + 1) - 9*x - 2)*(2*sq
rt(1/4*I + 1/4) + I) + 4*(2*x + 1)*sqrt(x + 1) - x - 8)*sqrt(x + sqrt(x + 1))*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I)^2 + 2
*(((2*x + 1)*sqrt(x + 1) - 9*x - 2)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 + (3*x - 16)*sqrt(x + 1) + 4*x - 3)*sqrt(x + s
qrt(x + 1))*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) + 8*((((2*x + 1)*sqrt(x + 1) - 9*x - 2)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) + 4*(
2*x + 1)*sqrt(x + 1) - x - 8)*sqrt(x + sqrt(x + 1))*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) + ((4*(2*x + 1)*sqrt(x + 1) - x
- 8)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) - (3*x - 16)*sqrt(x + 1) - 4*x + 3)*sqrt(x + sqrt(x + 1)))*sqrt(-3/16*(2*sqrt(
1/4*I + 1/4) + I)^2 - 1/8*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) - 3/16*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) -
I)^2) + 2*((4*(2*x + 1)*sqrt(x + 1) - x - 8)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 + ((3*x - 16)*sqrt(x + 1) + 4*x - 3)*
(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) + 12*(2*x + 1)*sqrt(x + 1) + 32*x + 46)*sqrt(x + sqrt(x + 1)) - ((3*x^2 + 8*sqrt(x +
1)*(x - 2) - 16*x + 5)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 + (3*x^2 - 2*(4*x^2 - sqrt(x + 1)*(x - 2) + 2*x - 5)*(2*sq
rt(1/4*I + 1/4) + I) + 8*sqrt(x + 1)*(x - 2) - 16*x + 5)*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I)^2 + 44*x^2 - 2*(6*x^2 + (1
6*x + 3)*sqrt(x + 1) + 3*x + 10)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) - 2*((4*x^2 - sqrt(x + 1)*(x - 2) + 2*x - 5)*(2*sqr
t(1/4*I + 1/4) + I)^2 + 6*x^2 + (16*x + 3)*sqrt(x + 1) + 3*x + 10)*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) + 4*(12*x^2 + (3
*x^2 + 8*sqrt(x + 1)*(x - 2) - 16*x + 5)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) + (3*x^2 - 2*(4*x^2 - sqrt(x + 1)*(x - 2) +
2*x - 5)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) + 8*sqrt(x + 1)*(x - 2) - 16*x + 5)*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) + 2*(16*x +
3)*sqrt(x + 1) + 6*x + 20)*sqrt(-3/16*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 - 1/8*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)*(2*sqrt(-1/
4*I + 1/4) - I) - 3/16*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I)^2) + 24*sqrt(x + 1)*(x - 2) + 92*x - 20)*sqrt(sqrt(1/4*I + 1
/4) + sqrt(-1/4*I + 1/4) - 2*sqrt(-3/16*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 - 1/8*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)*(2*sqrt(-1
/4*I + 1/4) - I) - 3/16*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I)^2)))/(x^2 + 1)) - 1/4*sqrt(sqrt(1/4*I + 1/4) + sqrt(-1/4*I
+ 1/4) + 2*sqrt(-3/16*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 - 1/8*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) -
3/16*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I)^2))*log(-1/4*(2*(((2*x + 1)*sqrt(x + 1) - 9*x - 2)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)
+ 4*(2*x + 1)*sqrt(x + 1) - x - 8)*sqrt(x + sqrt(x + 1))*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I)^2 + 2*(((2*x + 1)*sqrt(x +
1) - 9*x - 2)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 + (3*x - 16)*sqrt(x + 1) + 4*x - 3)*sqrt(x + sqrt(x + 1))*(2*sqrt(-
1/4*I + 1/4) - I) - 8*((((2*x + 1)*sqrt(x + 1) - 9*x - 2)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) + 4*(2*x + 1)*sqrt(x + 1)
- x - 8)*sqrt(x + sqrt(x + 1))*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) + ((4*(2*x + 1)*sqrt(x + 1) - x - 8)*(2*sqrt(1/4*I +
1/4) + I) - (3*x - 16)*sqrt(x + 1) - 4*x + 3)*sqrt(x + sqrt(x + 1)))*sqrt(-3/16*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 -
1/8*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) - 3/16*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I)^2) + 2*((4*(2*x +
1)*sqrt(x + 1) - x - 8)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 + ((3*x - 16)*sqrt(x + 1) + 4*x - 3)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4)
+ I) + 12*(2*x + 1)*sqrt(x + 1) + 32*x + 46)*sqrt(x + sqrt(x + 1)) + ((3*x^2 + 8*sqrt(x + 1)*(x - 2) - 16*x +
5)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 + (3*x^2 - 2*(4*x^2 - sqrt(x + 1)*(x - 2) + 2*x - 5)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)
+ 8*sqrt(x + 1)*(x - 2) - 16*x + 5)*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I)^2 + 44*x^2 - 2*(6*x^2 + (16*x + 3)*sqrt(x + 1)
+ 3*x + 10)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) - 2*((4*x^2 - sqrt(x + 1)*(x - 2) + 2*x - 5)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2
+ 6*x^2 + (16*x + 3)*sqrt(x + 1) + 3*x + 10)*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) - 4*(12*x^2 + (3*x^2 + 8*sqrt(x + 1)*
(x - 2) - 16*x + 5)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) + (3*x^2 - 2*(4*x^2 - sqrt(x + 1)*(x - 2) + 2*x - 5)*(2*sqrt(1/4
*I + 1/4) + I) + 8*sqrt(x + 1)*(x - 2) - 16*x + 5)*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) + 2*(16*x + 3)*sqrt(x + 1) + 6*x
+ 20)*sqrt(-3/16*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 - 1/8*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) - 3/1
6*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I)^2) + 24*sqrt(x + 1)*(x - 2) + 92*x - 20)*sqrt(sqrt(1/4*I + 1/4) + sqrt(-1/4*I + 1
/4) + 2*sqrt(-3/16*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 - 1/8*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) - 3/
16*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I)^2)))/(x^2 + 1)) + 1/4*sqrt(sqrt(1/4*I + 1/4) + sqrt(-1/4*I + 1/4) + 2*sqrt(-3/16
*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 - 1/8*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) - 3/16*(2*sqrt(-1/4*I
+ 1/4) - I)^2))*log(-1/4*(2*(((2*x + 1)*sqrt(x + 1) - 9*x - 2)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) + 4*(2*x + 1)*sqrt(x
+ 1) - x - 8)*sqrt(x + sqrt(x + 1))*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I)^2 + 2*(((2*x + 1)*sqrt(x + 1) - 9*x - 2)*(2*sqr
t(1/4*I + 1/4) + I)^2 + (3*x - 16)*sqrt(x + 1) + 4*x - 3)*sqrt(x + sqrt(x + 1))*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) - 8
*((((2*x + 1)*sqrt(x + 1) - 9*x - 2)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) + 4*(2*x + 1)*sqrt(x + 1) - x - 8)*sqrt(x + sqr
t(x + 1))*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) + ((4*(2*x + 1)*sqrt(x + 1) - x - 8)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) - (3*x - 1
6)*sqrt(x + 1) - 4*x + 3)*sqrt(x + sqrt(x + 1)))*sqrt(-3/16*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 - 1/8*(2*sqrt(1/4*I +
1/4) + I)*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) - 3/16*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I)^2) + 2*((4*(2*x + 1)*sqrt(x + 1) - x -
8)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 + ((3*x - 16)*sqrt(x + 1) + 4*x - 3)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) + 12*(2*x + 1)*s
qrt(x + 1) + 32*x + 46)*sqrt(x + sqrt(x + 1)) - ((3*x^2 + 8*sqrt(x + 1)*(x - 2) - 16*x + 5)*(2*sqrt(1/4*I + 1/
4) + I)^2 + (3*x^2 - 2*(4*x^2 - sqrt(x + 1)*(x - 2) + 2*x - 5)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) + 8*sqrt(x + 1)*(x -
2) - 16*x + 5)*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I)^2 + 44*x^2 - 2*(6*x^2 + (16*x + 3)*sqrt(x + 1) + 3*x + 10)*(2*sqrt(1
/4*I + 1/4) + I) - 2*((4*x^2 - sqrt(x + 1)*(x - 2) + 2*x - 5)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 + 6*x^2 + (16*x + 3)
*sqrt(x + 1) + 3*x + 10)*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) - 4*(12*x^2 + (3*x^2 + 8*sqrt(x + 1)*(x - 2) - 16*x + 5)*(
2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) + (3*x^2 - 2*(4*x^2 - sqrt(x + 1)*(x - 2) + 2*x - 5)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) + 8*sq
rt(x + 1)*(x - 2) - 16*x + 5)*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) + 2*(16*x + 3)*sqrt(x + 1) + 6*x + 20)*sqrt(-3/16*(2*
sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 - 1/8*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) - 3/16*(2*sqrt(-1/4*I + 1/
4) - I)^2) + 24*sqrt(x + 1)*(x - 2) + 92*x - 20)*sqrt(sqrt(1/4*I + 1/4) + sqrt(-1/4*I + 1/4) + 2*sqrt(-3/16*(2
*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 - 1/8*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) - 3/16*(2*sqrt(-1/4*I + 1
/4) - I)^2)))/(x^2 + 1)) + 1/2*sqrt(-1/2*sqrt(-1/4*I + 1/4) + 1/4*I)*log(((((2*x + 1)*sqrt(x + 1) - 9*x - 2)*(
2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) + 4*(2*x + 1)*sqrt(x + 1) - x - 8)*sqrt(x + sqrt(x + 1))*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I)^2
+ (((2*x + 1)*sqrt(x + 1) - 9*x - 2)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 + (3*x - 16)*sqrt(x + 1) + 4*x - 3)*sqrt(x +
sqrt(x + 1))*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) + (((2*x + 1)*sqrt(x + 1) - 9*x - 2)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^3 - 6*
(2*x + 1)*sqrt(x + 1) - 16*x - 23)*sqrt(x + sqrt(x + 1)) + (2*(4*x^2 - sqrt(x + 1)*(x - 2) + 2*x - 5)*(2*sqrt(
1/4*I + 1/4) + I)^3 - (3*x^2 - 2*(4*x^2 - sqrt(x + 1)*(x - 2) + 2*x - 5)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) + 8*sqrt(x
+ 1)*(x - 2) - 16*x + 5)*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I)^2 + 22*x^2 + 2*((4*x^2 - sqrt(x + 1)*(x - 2) + 2*x - 5)*(2
*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 + 6*x^2 + (16*x + 3)*sqrt(x + 1) + 3*x + 10)*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) + 12*sqrt(x
+ 1)*(x - 2) + 46*x - 10)*sqrt(-1/2*sqrt(-1/4*I + 1/4) + 1/4*I))/(x^2 + 1)) - 1/2*sqrt(-1/2*sqrt(-1/4*I + 1/4)
+ 1/4*I)*log(((((2*x + 1)*sqrt(x + 1) - 9*x - 2)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) + 4*(2*x + 1)*sqrt(x + 1) - x - 8)
*sqrt(x + sqrt(x + 1))*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I)^2 + (((2*x + 1)*sqrt(x + 1) - 9*x - 2)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4)
+ I)^2 + (3*x - 16)*sqrt(x + 1) + 4*x - 3)*sqrt(x + sqrt(x + 1))*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) + (((2*x + 1)*sqrt
(x + 1) - 9*x - 2)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^3 - 6*(2*x + 1)*sqrt(x + 1) - 16*x - 23)*sqrt(x + sqrt(x + 1)) -
(2*(4*x^2 - sqrt(x + 1)*(x - 2) + 2*x - 5)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^3 - (3*x^2 - 2*(4*x^2 - sqrt(x + 1)*(x -
2) + 2*x - 5)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) + 8*sqrt(x + 1)*(x - 2) - 16*x + 5)*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I)^2 + 22*
x^2 + 2*((4*x^2 - sqrt(x + 1)*(x - 2) + 2*x - 5)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 + 6*x^2 + (16*x + 3)*sqrt(x + 1)
+ 3*x + 10)*(2*sqrt(-1/4*I + 1/4) - I) + 12*sqrt(x + 1)*(x - 2) + 46*x - 10)*sqrt(-1/2*sqrt(-1/4*I + 1/4) + 1/
4*I))/(x^2 + 1)) + 1/2*sqrt(-1/2*sqrt(1/4*I + 1/4) - 1/4*I)*log(-((((2*x + 1)*sqrt(x + 1) - 9*x - 2)*(2*sqrt(1
/4*I + 1/4) + I)^3 - (4*(2*x + 1)*sqrt(x + 1) - x - 8)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 - ((3*x - 16)*sqrt(x + 1) +
4*x - 3)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) + 10*(2*x + 1)*sqrt(x + 1) - 20*x + 15)*sqrt(x + sqrt(x + 1)) + (2*(4*x^2
- sqrt(x + 1)*(x - 2) + 2*x - 5)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^3 + (3*x^2 + 8*sqrt(x + 1)*(x - 2) - 16*x + 5)*(2*s
qrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 + 10*x^2 - 2*(6*x^2 + (16*x + 3)*sqrt(x + 1) + 3*x + 10)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) - 2
0*sqrt(x + 1)*(x - 2) - 30*x - 30)*sqrt(-1/2*sqrt(1/4*I + 1/4) - 1/4*I))/(x^2 + 1)) - 1/2*sqrt(-1/2*sqrt(1/4*I
+ 1/4) - 1/4*I)*log(-((((2*x + 1)*sqrt(x + 1) - 9*x - 2)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^3 - (4*(2*x + 1)*sqrt(x +
1) - x - 8)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 - ((3*x - 16)*sqrt(x + 1) + 4*x - 3)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) + 10*(2
*x + 1)*sqrt(x + 1) - 20*x + 15)*sqrt(x + sqrt(x + 1)) - (2*(4*x^2 - sqrt(x + 1)*(x - 2) + 2*x - 5)*(2*sqrt(1/
4*I + 1/4) + I)^3 + (3*x^2 + 8*sqrt(x + 1)*(x - 2) - 16*x + 5)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I)^2 + 10*x^2 - 2*(6*x^2
+ (16*x + 3)*sqrt(x + 1) + 3*x + 10)*(2*sqrt(1/4*I + 1/4) + I) - 20*sqrt(x + 1)*(x - 2) - 30*x - 30)*sqrt(-1/
2*sqrt(1/4*I + 1/4) - 1/4*I))/(x^2 + 1))

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\sqrt{x + \sqrt{x + 1}}}{x^{2} + 1}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((x+(1+x)**(1/2))**(1/2)/(x**2+1),x)

[Out]

Integral(sqrt(x + sqrt(x + 1))/(x**2 + 1), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((x+(1+x)^(1/2))^(1/2)/(x^2+1),x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out