3.791 \(\int \frac{A+C \sinh (x)}{(a+b \cosh (x)+c \sinh (x))^3} \, dx\)

Optimal. Leaf size=198 \[ -\frac{\left (2 a^2 A+3 a c C+A \left (b^2-c^2\right )\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{c-(a-b) \tanh \left (\frac{x}{2}\right )}{\sqrt{a^2-b^2+c^2}}\right )}{\left (a^2-b^2+c^2\right )^{5/2}}+\frac{-\cosh (x) \left (a^2 (-C)+3 a A c+2 c^2 C\right )-b \sinh (x) (3 a A+2 c C)+a b C}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 (a+b \cosh (x)+c \sinh (x))}+\frac{-\cosh (x) (A c-a C)-A b \sinh (x)+b C}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \cosh (x)+c \sinh (x))^2} \]

[Out]

-(((2*a^2*A + A*(b^2 - c^2) + 3*a*c*C)*ArcTanh[(c - (a - b)*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]])/(a^2 - b^2 + c^
2)^(5/2)) + (b*C - (A*c - a*C)*Cosh[x] - A*b*Sinh[x])/(2*(a^2 - b^2 + c^2)*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2) + (a
*b*C - (3*a*A*c - a^2*C + 2*c^2*C)*Cosh[x] - b*(3*a*A + 2*c*C)*Sinh[x])/(2*(a^2 - b^2 + c^2)^2*(a + b*Cosh[x]
+ c*Sinh[x]))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.291343, antiderivative size = 198, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 5, number of rules used = 5, integrand size = 19, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.263, Rules used = {3157, 3153, 3124, 618, 206} \[ -\frac{\left (2 a^2 A+3 a c C+A \left (b^2-c^2\right )\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{c-(a-b) \tanh \left (\frac{x}{2}\right )}{\sqrt{a^2-b^2+c^2}}\right )}{\left (a^2-b^2+c^2\right )^{5/2}}+\frac{-\cosh (x) \left (a^2 (-C)+3 a A c+2 c^2 C\right )-b \sinh (x) (3 a A+2 c C)+a b C}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 (a+b \cosh (x)+c \sinh (x))}+\frac{-\cosh (x) (A c-a C)-A b \sinh (x)+b C}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \cosh (x)+c \sinh (x))^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(A + C*Sinh[x])/(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^3,x]

[Out]

-(((2*a^2*A + A*(b^2 - c^2) + 3*a*c*C)*ArcTanh[(c - (a - b)*Tanh[x/2])/Sqrt[a^2 - b^2 + c^2]])/(a^2 - b^2 + c^
2)^(5/2)) + (b*C - (A*c - a*C)*Cosh[x] - A*b*Sinh[x])/(2*(a^2 - b^2 + c^2)*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^2) + (a
*b*C - (3*a*A*c - a^2*C + 2*c^2*C)*Cosh[x] - b*(3*a*A + 2*c*C)*Sinh[x])/(2*(a^2 - b^2 + c^2)^2*(a + b*Cosh[x]
+ c*Sinh[x]))

Rule 3157

Int[((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e
_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[((b*C + (a*C - c*A)*Cos[d + e*x] + b*A*Sin[d + e*x])*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin
[d + e*x])^(n + 1))/(e*(n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2)), x] + Dist[1/((n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2)), Int[(a + b*Cos[d +
e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1)*Simp[(n + 1)*(a*A - c*C) - (n + 2)*b*A*Cos[d + e*x] + (n + 2)*(a*C - c*A)*Sin[
d + e*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, C}, x] && LtQ[n, -1] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[n, -2]

Rule 3153

Int[((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])/((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(
b_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^2, x_Symbol] :> Simp[(c*B - b*C - (a*C - c*A)*Cos[d + e*x] + (a*B - b*A)
*Sin[d + e*x])/(e*(a^2 - b^2 - c^2)*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])), x] + Dist[(a*A - b*B - c*C)/(a^2 -
b^2 - c^2), Int[1/(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B, C}, x] && NeQ[
a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[a*A - b*B - c*C, 0]

Rule 3124

Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> Module[{f = Free
Factors[Tan[(d + e*x)/2], x]}, Dist[(2*f)/e, Subst[Int[1/(a + b + 2*c*f*x + (a - b)*f^2*x^2), x], x, Tan[(d +
e*x)/2]/f], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0]

Rule 618

Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Dist[-2, Subst[Int[1/Simp[b^2 - 4*a*c - x^2, x], x]
, x, b + 2*c*x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{A+C \sinh (x)}{(a+b \cosh (x)+c \sinh (x))^3} \, dx &=\frac{b C-(A c-a C) \cosh (x)-A b \sinh (x)}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \cosh (x)+c \sinh (x))^2}-\frac{\int \frac{-2 (a A+c C)+A b \cosh (x)+(A c-a C) \sinh (x)}{(a+b \cosh (x)+c \sinh (x))^2} \, dx}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right )}\\ &=\frac{b C-(A c-a C) \cosh (x)-A b \sinh (x)}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \cosh (x)+c \sinh (x))^2}+\frac{a b C-\left (3 a A c-a^2 C+2 c^2 C\right ) \cosh (x)-b (3 a A+2 c C) \sinh (x)}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 (a+b \cosh (x)+c \sinh (x))}+\frac{\left (2 a^2 A+A \left (b^2-c^2\right )+3 a c C\right ) \int \frac{1}{a+b \cosh (x)+c \sinh (x)} \, dx}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2}\\ &=\frac{b C-(A c-a C) \cosh (x)-A b \sinh (x)}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \cosh (x)+c \sinh (x))^2}+\frac{a b C-\left (3 a A c-a^2 C+2 c^2 C\right ) \cosh (x)-b (3 a A+2 c C) \sinh (x)}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 (a+b \cosh (x)+c \sinh (x))}+\frac{\left (2 a^2 A+A \left (b^2-c^2\right )+3 a c C\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{a+b+2 c x-(a-b) x^2} \, dx,x,\tanh \left (\frac{x}{2}\right )\right )}{\left (a^2-b^2+c^2\right )^2}\\ &=\frac{b C-(A c-a C) \cosh (x)-A b \sinh (x)}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \cosh (x)+c \sinh (x))^2}+\frac{a b C-\left (3 a A c-a^2 C+2 c^2 C\right ) \cosh (x)-b (3 a A+2 c C) \sinh (x)}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 (a+b \cosh (x)+c \sinh (x))}-\frac{\left (2 \left (2 a^2 A+A \left (b^2-c^2\right )+3 a c C\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{4 \left (a^2-b^2+c^2\right )-x^2} \, dx,x,2 c+2 (-a+b) \tanh \left (\frac{x}{2}\right )\right )}{\left (a^2-b^2+c^2\right )^2}\\ &=-\frac{\left (2 a^2 A+A \left (b^2-c^2\right )+3 a c C\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{c-(a-b) \tanh \left (\frac{x}{2}\right )}{\sqrt{a^2-b^2+c^2}}\right )}{\left (a^2-b^2+c^2\right )^{5/2}}+\frac{b C-(A c-a C) \cosh (x)-A b \sinh (x)}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \cosh (x)+c \sinh (x))^2}+\frac{a b C-\left (3 a A c-a^2 C+2 c^2 C\right ) \cosh (x)-b (3 a A+2 c C) \sinh (x)}{2 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 (a+b \cosh (x)+c \sinh (x))}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.76863, size = 373, normalized size = 1.88 \[ \frac{\left (2 a^2 A+3 a c C+A \left (b^2-c^2\right )\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{(b-a) \tanh \left (\frac{x}{2}\right )+c}{\sqrt{-a^2+b^2-c^2}}\right )}{\left (-a^2+b^2-c^2\right )^{5/2}}+\frac{2 b c \cosh (x) \left (2 a^2 A+3 a c C+A \left (b^2-c^2\right )\right )+c \cosh (2 x) \left (a^2 (-c) C+3 a A \left (c^2-b^2\right )+2 c C \left (c^2-b^2\right )\right )-8 a^2 A b^2 \sinh (x)+12 a^2 A c^2 \sinh (x)+6 a^3 A c+4 a^2 b^2 C-a^2 b c C \sinh (2 x)+5 a^2 c^2 C-4 a^3 c C \sinh (x)-2 a^4 C+3 a A b^2 c-3 a A b^3 \sinh (2 x)+3 a A b c^2 \sinh (2 x)-3 a A c^3-2 a b^2 c C \sinh (x)+8 a c^3 C \sinh (x)-2 A b^2 c^2 \sinh (x)+2 A b^4 \sinh (x)+4 b^2 c^2 C-2 b^3 c C \sinh (2 x)-2 b^4 C+2 b c^3 C \sinh (2 x)-2 c^4 C}{4 b \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 (a+b \cosh (x)+c \sinh (x))^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(A + C*Sinh[x])/(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])^3,x]

[Out]

((2*a^2*A + A*(b^2 - c^2) + 3*a*c*C)*ArcTan[(c + (-a + b)*Tanh[x/2])/Sqrt[-a^2 + b^2 - c^2]])/(-a^2 + b^2 - c^
2)^(5/2) + (6*a^3*A*c + 3*a*A*b^2*c - 3*a*A*c^3 - 2*a^4*C + 4*a^2*b^2*C - 2*b^4*C + 5*a^2*c^2*C + 4*b^2*c^2*C
- 2*c^4*C + 2*b*c*(2*a^2*A + A*(b^2 - c^2) + 3*a*c*C)*Cosh[x] + c*(3*a*A*(-b^2 + c^2) - a^2*c*C + 2*c*(-b^2 +
c^2)*C)*Cosh[2*x] - 8*a^2*A*b^2*Sinh[x] + 2*A*b^4*Sinh[x] + 12*a^2*A*c^2*Sinh[x] - 2*A*b^2*c^2*Sinh[x] - 4*a^3
*c*C*Sinh[x] - 2*a*b^2*c*C*Sinh[x] + 8*a*c^3*C*Sinh[x] - 3*a*A*b^3*Sinh[2*x] + 3*a*A*b*c^2*Sinh[2*x] - a^2*b*c
*C*Sinh[2*x] - 2*b^3*c*C*Sinh[2*x] + 2*b*c^3*C*Sinh[2*x])/(4*b*(a^2 - b^2 + c^2)^2*(a + b*Cosh[x] + c*Sinh[x])
^2)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.099, size = 1091, normalized size = 5.5 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((A+C*sinh(x))/(a+b*cosh(x)+c*sinh(x))^3,x)

[Out]

-2*(-1/2*(4*A*a^3*b-7*A*a^2*b^2+5*A*a^2*c^2+2*A*a*b^3-2*A*a*b*c^2+A*b^4-3*A*b^2*c^2+2*A*c^4-3*C*a^3*c+6*C*a^2*
b*c-3*C*a*b^2*c)/(a^4-2*a^2*b^2+2*a^2*c^2+b^4-2*b^2*c^2+c^4)/(a-b)*tanh(1/2*x)^3-1/2*(4*A*a^4*c-12*A*a^3*b*c+1
3*A*a^2*b^2*c-7*A*a^2*c^3-6*A*a*b^3*c+6*A*a*b*c^3+A*b^4*c+A*b^2*c^3-2*A*c^5-2*C*a^5+2*C*a^4*b+4*C*a^3*b^2+5*C*
a^3*c^2-4*C*a^2*b^3-14*C*a^2*b*c^2-2*C*a*b^4+13*C*a*b^2*c^2-2*C*a*c^4+2*C*b^5-4*C*b^3*c^2+2*C*b*c^4)/(a^4-2*a^
2*b^2+2*a^2*c^2+b^4-2*b^2*c^2+c^4)/(a^2-2*a*b+b^2)*tanh(1/2*x)^2+1/2*(4*A*a^4*b-5*A*a^3*b^2+11*A*a^3*c^2-3*A*a
^2*b^3-3*A*a^2*b*c^2+5*A*a*b^4-7*A*a*b^2*c^2+2*A*a*c^4-A*b^5-A*b^3*c^2+2*A*b*c^4-5*C*a^4*c+5*C*a^3*b*c+5*C*a^2
*b^2*c+4*C*a^2*c^3-5*C*a*b^3*c-4*C*a*b*c^3)/(a^4-2*a^2*b^2+2*a^2*c^2+b^4-2*b^2*c^2+c^4)/(a^2-2*a*b+b^2)*tanh(1
/2*x)+1/2*(4*A*a^4*c-3*A*a^2*b^2*c+A*a^2*c^3-A*b^4*c+A*b^2*c^3-2*C*a^5+4*C*a^3*b^2+C*a^3*c^2-2*C*a*b^4-C*a*b^2
*c^2)/(a^4-2*a^2*b^2+2*a^2*c^2+b^4-2*b^2*c^2+c^4)/(a^2-2*a*b+b^2))/(a*tanh(1/2*x)^2-tanh(1/2*x)^2*b-2*c*tanh(1
/2*x)-a-b)^2-2/(a^4-2*a^2*b^2+2*a^2*c^2+b^4-2*b^2*c^2+c^4)/(-a^2+b^2-c^2)^(1/2)*arctan(1/2*(2*(a-b)*tanh(1/2*x
)-2*c)/(-a^2+b^2-c^2)^(1/2))*a^2*A-1/(a^4-2*a^2*b^2+2*a^2*c^2+b^4-2*b^2*c^2+c^4)/(-a^2+b^2-c^2)^(1/2)*arctan(1
/2*(2*(a-b)*tanh(1/2*x)-2*c)/(-a^2+b^2-c^2)^(1/2))*A*b^2+1/(a^4-2*a^2*b^2+2*a^2*c^2+b^4-2*b^2*c^2+c^4)/(-a^2+b
^2-c^2)^(1/2)*arctan(1/2*(2*(a-b)*tanh(1/2*x)-2*c)/(-a^2+b^2-c^2)^(1/2))*A*c^2-3/(a^4-2*a^2*b^2+2*a^2*c^2+b^4-
2*b^2*c^2+c^4)/(-a^2+b^2-c^2)^(1/2)*arctan(1/2*(2*(a-b)*tanh(1/2*x)-2*c)/(-a^2+b^2-c^2)^(1/2))*a*c*C

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: ValueError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+C*sinh(x))/(a+b*cosh(x)+c*sinh(x))^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 4.26035, size = 25911, normalized size = 130.86 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+C*sinh(x))/(a+b*cosh(x)+c*sinh(x))^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/2*(6*A*a^3*b^3 - 6*A*a*b^5 + 4*C*c^6 + 2*(3*A*a - 2*C*b)*c^5 + 2*(C*a^2 - 3*A*a*b - 4*C*b^2)*c^4 + 2*(3*A*a
^3 - C*a^2*b - 6*A*a*b^2 + 4*C*b^3)*c^3 + 2*(2*A*a^4*b^2 - A*a^2*b^4 - A*b^6 - A*c^6 + (3*C*a - 2*A*b)*c^5 + (
A*a^2 + 6*C*a*b + A*b^2)*c^4 + (3*C*a^3 + 2*A*a^2*b + 4*A*b^3)*c^3 + (2*A*a^4 + 6*C*a^3*b - 6*C*a*b^3 + A*b^4)
*c^2 + (4*A*a^4*b + 3*C*a^3*b^2 - 2*A*a^2*b^3 - 3*C*a*b^4 - 2*A*b^5)*c)*cosh(x)^3 + 2*(2*A*a^4*b^2 - A*a^2*b^4
- A*b^6 - A*c^6 + (3*C*a - 2*A*b)*c^5 + (A*a^2 + 6*C*a*b + A*b^2)*c^4 + (3*C*a^3 + 2*A*a^2*b + 4*A*b^3)*c^3 +
(2*A*a^4 + 6*C*a^3*b - 6*C*a*b^3 + A*b^4)*c^2 + (4*A*a^4*b + 3*C*a^3*b^2 - 2*A*a^2*b^3 - 3*C*a*b^4 - 2*A*b^5)
*c)*sinh(x)^3 - 2*(C*a^4 + 3*A*a^3*b + C*a^2*b^2 - 6*A*a*b^3 - 2*C*b^4)*c^2 - 2*(2*C*a^6 - 6*A*a^5*b - 6*C*a^4
*b^2 + 3*A*a^3*b^3 + 6*C*a^2*b^4 + 3*A*a*b^5 - 2*C*b^6 + 3*A*a*c^5 + 2*C*c^6 - 3*(C*a^2 - A*a*b + 2*C*b^2)*c^4
- 3*(A*a^3 + 3*C*a^2*b + 2*A*a*b^2)*c^3 - 3*(C*a^4 + A*a^3*b + C*a^2*b^2 + 2*A*a*b^3 - 2*C*b^4)*c^2 - 3*(2*A*
a^5 + 3*C*a^4*b - A*a^3*b^2 - 3*C*a^2*b^3 - A*a*b^4)*c)*cosh(x)^2 - 2*(2*C*a^6 - 6*A*a^5*b - 6*C*a^4*b^2 + 3*A
*a^3*b^3 + 6*C*a^2*b^4 + 3*A*a*b^5 - 2*C*b^6 + 3*A*a*c^5 + 2*C*c^6 - 3*(C*a^2 - A*a*b + 2*C*b^2)*c^4 - 3*(A*a^
3 + 3*C*a^2*b + 2*A*a*b^2)*c^3 - 3*(C*a^4 + A*a^3*b + C*a^2*b^2 + 2*A*a*b^3 - 2*C*b^4)*c^2 - 3*(2*A*a^5 + 3*C*
a^4*b - A*a^3*b^2 - 3*C*a^2*b^3 - A*a*b^4)*c - 3*(2*A*a^4*b^2 - A*a^2*b^4 - A*b^6 - A*c^6 + (3*C*a - 2*A*b)*c^
5 + (A*a^2 + 6*C*a*b + A*b^2)*c^4 + (3*C*a^3 + 2*A*a^2*b + 4*A*b^3)*c^3 + (2*A*a^4 + 6*C*a^3*b - 6*C*a*b^3 + A
*b^4)*c^2 + (4*A*a^4*b + 3*C*a^3*b^2 - 2*A*a^2*b^3 - 3*C*a*b^4 - 2*A*b^5)*c)*cosh(x))*sinh(x)^2 - (2*A*a^2*b^3
+ A*b^5 - A*c^5 + (3*C*a + A*b)*c^4 + (2*A*a^2*b^3 + A*b^5 - A*c^5 + 3*(C*a - A*b)*c^4 + (2*A*a^2 + 9*C*a*b -
2*A*b^2)*c^3 + (6*A*a^2*b + 9*C*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^2 + 3*(2*A*a^2*b^2 + C*a*b^3 + A*b^4)*c)*cosh(x)^4 + (2*A*
a^2*b^3 + A*b^5 - A*c^5 + 3*(C*a - A*b)*c^4 + (2*A*a^2 + 9*C*a*b - 2*A*b^2)*c^3 + (6*A*a^2*b + 9*C*a*b^2 + 2*A
*b^3)*c^2 + 3*(2*A*a^2*b^2 + C*a*b^3 + A*b^4)*c)*sinh(x)^4 + (2*A*a^2 - 3*C*a*b + 2*A*b^2)*c^3 + 4*(2*A*a^3*b^
2 + A*a*b^4 - A*a*c^4 + (3*C*a^2 - 2*A*a*b)*c^3 + 2*(A*a^3 + 3*C*a^2*b)*c^2 + (4*A*a^3*b + 3*C*a^2*b^2 + 2*A*a
*b^3)*c)*cosh(x)^3 + 4*(2*A*a^3*b^2 + A*a*b^4 - A*a*c^4 + (3*C*a^2 - 2*A*a*b)*c^3 + 2*(A*a^3 + 3*C*a^2*b)*c^2
+ (4*A*a^3*b + 3*C*a^2*b^2 + 2*A*a*b^3)*c + (2*A*a^2*b^3 + A*b^5 - A*c^5 + 3*(C*a - A*b)*c^4 + (2*A*a^2 + 9*C*
a*b - 2*A*b^2)*c^3 + (6*A*a^2*b + 9*C*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^2 + 3*(2*A*a^2*b^2 + C*a*b^3 + A*b^4)*c)*cosh(x))*sin
h(x)^3 - (2*A*a^2*b + 3*C*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^2 + 2*(4*A*a^4*b + 4*A*a^2*b^3 + A*b^5 + A*c^5 - (3*C*a - A*b)*c^
4 - (4*A*a^2 + 3*C*a*b + 2*A*b^2)*c^3 + (6*C*a^3 - 4*A*a^2*b + 3*C*a*b^2 - 2*A*b^3)*c^2 + (4*A*a^4 + 6*C*a^3*b
+ 4*A*a^2*b^2 + 3*C*a*b^3 + A*b^4)*c)*cosh(x)^2 + 2*(4*A*a^4*b + 4*A*a^2*b^3 + A*b^5 + A*c^5 - (3*C*a - A*b)*
c^4 - (4*A*a^2 + 3*C*a*b + 2*A*b^2)*c^3 + (6*C*a^3 - 4*A*a^2*b + 3*C*a*b^2 - 2*A*b^3)*c^2 + 3*(2*A*a^2*b^3 + A
*b^5 - A*c^5 + 3*(C*a - A*b)*c^4 + (2*A*a^2 + 9*C*a*b - 2*A*b^2)*c^3 + (6*A*a^2*b + 9*C*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^2 +
3*(2*A*a^2*b^2 + C*a*b^3 + A*b^4)*c)*cosh(x)^2 + (4*A*a^4 + 6*C*a^3*b + 4*A*a^2*b^2 + 3*C*a*b^3 + A*b^4)*c +
6*(2*A*a^3*b^2 + A*a*b^4 - A*a*c^4 + (3*C*a^2 - 2*A*a*b)*c^3 + 2*(A*a^3 + 3*C*a^2*b)*c^2 + (4*A*a^3*b + 3*C*a^
2*b^2 + 2*A*a*b^3)*c)*cosh(x))*sinh(x)^2 - (2*A*a^2*b^2 - 3*C*a*b^3 + A*b^4)*c + 4*(2*A*a^3*b^2 + A*a*b^4 + 3*
C*a^2*b^2*c - 3*C*a^2*c^3 + A*a*c^4 - 2*(A*a^3 + A*a*b^2)*c^2)*cosh(x) + 4*(2*A*a^3*b^2 + A*a*b^4 + 3*C*a^2*b^
2*c - 3*C*a^2*c^3 + A*a*c^4 + (2*A*a^2*b^3 + A*b^5 - A*c^5 + 3*(C*a - A*b)*c^4 + (2*A*a^2 + 9*C*a*b - 2*A*b^2)
*c^3 + (6*A*a^2*b + 9*C*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^2 + 3*(2*A*a^2*b^2 + C*a*b^3 + A*b^4)*c)*cosh(x)^3 - 2*(A*a^3 + A*a
*b^2)*c^2 + 3*(2*A*a^3*b^2 + A*a*b^4 - A*a*c^4 + (3*C*a^2 - 2*A*a*b)*c^3 + 2*(A*a^3 + 3*C*a^2*b)*c^2 + (4*A*a^
3*b + 3*C*a^2*b^2 + 2*A*a*b^3)*c)*cosh(x)^2 + (4*A*a^4*b + 4*A*a^2*b^3 + A*b^5 + A*c^5 - (3*C*a - A*b)*c^4 - (
4*A*a^2 + 3*C*a*b + 2*A*b^2)*c^3 + (6*C*a^3 - 4*A*a^2*b + 3*C*a*b^2 - 2*A*b^3)*c^2 + (4*A*a^4 + 6*C*a^3*b + 4*
A*a^2*b^2 + 3*C*a*b^3 + A*b^4)*c)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a^2 - b^2 + c^2)*log(((b^2 + 2*b*c + c^2)*cosh(x)^2 +
(b^2 + 2*b*c + c^2)*sinh(x)^2 + 2*a^2 - b^2 + c^2 + 2*(a*b + a*c)*cosh(x) + 2*(a*b + a*c + (b^2 + 2*b*c + c^2
)*cosh(x))*sinh(x) + 2*sqrt(a^2 - b^2 + c^2)*((b + c)*cosh(x) + (b + c)*sinh(x) + a))/((b + c)*cosh(x)^2 + (b
+ c)*sinh(x)^2 + 2*a*cosh(x) + 2*((b + c)*cosh(x) + a)*sinh(x) + b - c)) + 2*(C*a^4*b - 3*A*a^3*b^2 + C*a^2*b^
3 + 3*A*a*b^4 - 2*C*b^5)*c + 2*(10*A*a^4*b^2 - 11*A*a^2*b^4 + A*b^6 - 5*C*a*c^5 - A*c^6 - (11*A*a^2 - 3*A*b^2)
*c^4 - (C*a^3 - 10*C*a*b^2)*c^3 - (10*A*a^4 - 22*A*a^2*b^2 + 3*A*b^4)*c^2 + (4*C*a^5 + C*a^3*b^2 - 5*C*a*b^4)*
c)*cosh(x) + 2*(10*A*a^4*b^2 - 11*A*a^2*b^4 + A*b^6 - 5*C*a*c^5 - A*c^6 - (11*A*a^2 - 3*A*b^2)*c^4 - (C*a^3 -
10*C*a*b^2)*c^3 - (10*A*a^4 - 22*A*a^2*b^2 + 3*A*b^4)*c^2 + 3*(2*A*a^4*b^2 - A*a^2*b^4 - A*b^6 - A*c^6 + (3*C*
a - 2*A*b)*c^5 + (A*a^2 + 6*C*a*b + A*b^2)*c^4 + (3*C*a^3 + 2*A*a^2*b + 4*A*b^3)*c^3 + (2*A*a^4 + 6*C*a^3*b -
6*C*a*b^3 + A*b^4)*c^2 + (4*A*a^4*b + 3*C*a^3*b^2 - 2*A*a^2*b^3 - 3*C*a*b^4 - 2*A*b^5)*c)*cosh(x)^2 + (4*C*a^5
+ C*a^3*b^2 - 5*C*a*b^4)*c - 2*(2*C*a^6 - 6*A*a^5*b - 6*C*a^4*b^2 + 3*A*a^3*b^3 + 6*C*a^2*b^4 + 3*A*a*b^5 - 2
*C*b^6 + 3*A*a*c^5 + 2*C*c^6 - 3*(C*a^2 - A*a*b + 2*C*b^2)*c^4 - 3*(A*a^3 + 3*C*a^2*b + 2*A*a*b^2)*c^3 - 3*(C*
a^4 + A*a^3*b + C*a^2*b^2 + 2*A*a*b^3 - 2*C*b^4)*c^2 - 3*(2*A*a^5 + 3*C*a^4*b - A*a^3*b^2 - 3*C*a^2*b^3 - A*a*
b^4)*c)*cosh(x))*sinh(x))/(a^6*b^3 - 3*a^4*b^5 + 3*a^2*b^7 - b^9 - b*c^8 + c^9 + (3*a^2 - 4*b^2)*c^7 - (3*a^2*
b - 4*b^3)*c^6 + 3*(a^4 - 3*a^2*b^2 + 2*b^4)*c^5 - 3*(a^4*b - 3*a^2*b^3 + 2*b^5)*c^4 + (a^6*b^3 - 3*a^4*b^5 +
3*a^2*b^7 - b^9 + 3*a^2*c^7 + 3*b*c^8 + c^9 + (9*a^2*b - 8*b^3)*c^6 + 3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3*(3*a^4
*b - 5*a^2*b^3 + 2*b^5)*c^4 + (a^6 + 6*a^4*b^2 - 15*a^2*b^4 + 8*b^6)*c^3 + 3*(a^6*b - 2*a^4*b^3 + a^2*b^5)*c^2
+ 3*(a^6*b^2 - 3*a^4*b^4 + 3*a^2*b^6 - b^8)*c)*cosh(x)^4 + (a^6*b^3 - 3*a^4*b^5 + 3*a^2*b^7 - b^9 + 3*a^2*c^7
+ 3*b*c^8 + c^9 + (9*a^2*b - 8*b^3)*c^6 + 3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3*(3*a^4*b - 5*a^2*b^3 + 2*b^5)*c^4
+ (a^6 + 6*a^4*b^2 - 15*a^2*b^4 + 8*b^6)*c^3 + 3*(a^6*b - 2*a^4*b^3 + a^2*b^5)*c^2 + 3*(a^6*b^2 - 3*a^4*b^4 +
3*a^2*b^6 - b^8)*c)*sinh(x)^4 + (a^6 - 6*a^4*b^2 + 9*a^2*b^4 - 4*b^6)*c^3 + 4*(a^7*b^2 - 3*a^5*b^4 + 3*a^3*b^
6 - a*b^8 + 2*a*b*c^7 + a*c^8 + (3*a^3 - 2*a*b^2)*c^6 + 6*(a^3*b - a*b^3)*c^5 + 3*(a^5 - a^3*b^2)*c^4 + 6*(a^5
*b - 2*a^3*b^3 + a*b^5)*c^3 + (a^7 - 3*a^3*b^4 + 2*a*b^6)*c^2 + 2*(a^7*b - 3*a^5*b^3 + 3*a^3*b^5 - a*b^7)*c)*c
osh(x)^3 + 4*(a^7*b^2 - 3*a^5*b^4 + 3*a^3*b^6 - a*b^8 + 2*a*b*c^7 + a*c^8 + (3*a^3 - 2*a*b^2)*c^6 + 6*(a^3*b -
a*b^3)*c^5 + 3*(a^5 - a^3*b^2)*c^4 + 6*(a^5*b - 2*a^3*b^3 + a*b^5)*c^3 + (a^7 - 3*a^3*b^4 + 2*a*b^6)*c^2 + 2*
(a^7*b - 3*a^5*b^3 + 3*a^3*b^5 - a*b^7)*c + (a^6*b^3 - 3*a^4*b^5 + 3*a^2*b^7 - b^9 + 3*a^2*c^7 + 3*b*c^8 + c^9
+ (9*a^2*b - 8*b^3)*c^6 + 3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3*(3*a^4*b - 5*a^2*b^3 + 2*b^5)*c^4 + (a^6 + 6*a^4*
b^2 - 15*a^2*b^4 + 8*b^6)*c^3 + 3*(a^6*b - 2*a^4*b^3 + a^2*b^5)*c^2 + 3*(a^6*b^2 - 3*a^4*b^4 + 3*a^2*b^6 - b^8
)*c)*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a^6*b - 6*a^4*b^3 + 9*a^2*b^5 - 4*b^7)*c^2 + 2*(2*a^8*b - 5*a^6*b^3 + 3*a^4*b^5 + a
^2*b^7 - b^9 - b*c^8 - c^9 - (a^2 - 4*b^2)*c^7 - (a^2*b - 4*b^3)*c^6 + 3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3*(a^4*
b + a^2*b^3 - 2*b^5)*c^4 + (5*a^6 - 6*a^4*b^2 - 3*a^2*b^4 + 4*b^6)*c^3 + (5*a^6*b - 6*a^4*b^3 - 3*a^2*b^5 + 4*
b^7)*c^2 + (2*a^8 - 5*a^6*b^2 + 3*a^4*b^4 + a^2*b^6 - b^8)*c)*cosh(x)^2 + 2*(2*a^8*b - 5*a^6*b^3 + 3*a^4*b^5 +
a^2*b^7 - b^9 - b*c^8 - c^9 - (a^2 - 4*b^2)*c^7 - (a^2*b - 4*b^3)*c^6 + 3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3*(a^
4*b + a^2*b^3 - 2*b^5)*c^4 + (5*a^6 - 6*a^4*b^2 - 3*a^2*b^4 + 4*b^6)*c^3 + (5*a^6*b - 6*a^4*b^3 - 3*a^2*b^5 +
4*b^7)*c^2 + 3*(a^6*b^3 - 3*a^4*b^5 + 3*a^2*b^7 - b^9 + 3*a^2*c^7 + 3*b*c^8 + c^9 + (9*a^2*b - 8*b^3)*c^6 + 3*
(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3*(3*a^4*b - 5*a^2*b^3 + 2*b^5)*c^4 + (a^6 + 6*a^4*b^2 - 15*a^2*b^4 + 8*b^6)*c^3
+ 3*(a^6*b - 2*a^4*b^3 + a^2*b^5)*c^2 + 3*(a^6*b^2 - 3*a^4*b^4 + 3*a^2*b^6 - b^8)*c)*cosh(x)^2 + (2*a^8 - 5*a
^6*b^2 + 3*a^4*b^4 + a^2*b^6 - b^8)*c + 6*(a^7*b^2 - 3*a^5*b^4 + 3*a^3*b^6 - a*b^8 + 2*a*b*c^7 + a*c^8 + (3*a^
3 - 2*a*b^2)*c^6 + 6*(a^3*b - a*b^3)*c^5 + 3*(a^5 - a^3*b^2)*c^4 + 6*(a^5*b - 2*a^3*b^3 + a*b^5)*c^3 + (a^7 -
3*a^3*b^4 + 2*a*b^6)*c^2 + 2*(a^7*b - 3*a^5*b^3 + 3*a^3*b^5 - a*b^7)*c)*cosh(x))*sinh(x)^2 - (a^6*b^2 - 3*a^4*
b^4 + 3*a^2*b^6 - b^8)*c + 4*(a^7*b^2 - 3*a^5*b^4 + 3*a^3*b^6 - a*b^8 - a*c^8 - (3*a^3 - 4*a*b^2)*c^6 - 3*(a^5
- 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c^4 - (a^7 - 6*a^5*b^2 + 9*a^3*b^4 - 4*a*b^6)*c^2)*cosh(x) + 4*(a^7*b^2 - 3*a^5*b^4 +
3*a^3*b^6 - a*b^8 - a*c^8 - (3*a^3 - 4*a*b^2)*c^6 - 3*(a^5 - 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c^4 + (a^6*b^3 - 3*a^4*b^5 +
3*a^2*b^7 - b^9 + 3*a^2*c^7 + 3*b*c^8 + c^9 + (9*a^2*b - 8*b^3)*c^6 + 3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3*(3*a^
4*b - 5*a^2*b^3 + 2*b^5)*c^4 + (a^6 + 6*a^4*b^2 - 15*a^2*b^4 + 8*b^6)*c^3 + 3*(a^6*b - 2*a^4*b^3 + a^2*b^5)*c^
2 + 3*(a^6*b^2 - 3*a^4*b^4 + 3*a^2*b^6 - b^8)*c)*cosh(x)^3 - (a^7 - 6*a^5*b^2 + 9*a^3*b^4 - 4*a*b^6)*c^2 + 3*(
a^7*b^2 - 3*a^5*b^4 + 3*a^3*b^6 - a*b^8 + 2*a*b*c^7 + a*c^8 + (3*a^3 - 2*a*b^2)*c^6 + 6*(a^3*b - a*b^3)*c^5 +
3*(a^5 - a^3*b^2)*c^4 + 6*(a^5*b - 2*a^3*b^3 + a*b^5)*c^3 + (a^7 - 3*a^3*b^4 + 2*a*b^6)*c^2 + 2*(a^7*b - 3*a^5
*b^3 + 3*a^3*b^5 - a*b^7)*c)*cosh(x)^2 + (2*a^8*b - 5*a^6*b^3 + 3*a^4*b^5 + a^2*b^7 - b^9 - b*c^8 - c^9 - (a^2
- 4*b^2)*c^7 - (a^2*b - 4*b^3)*c^6 + 3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3*(a^4*b + a^2*b^3 - 2*b^5)*c^4 + (5*a^6
- 6*a^4*b^2 - 3*a^2*b^4 + 4*b^6)*c^3 + (5*a^6*b - 6*a^4*b^3 - 3*a^2*b^5 + 4*b^7)*c^2 + (2*a^8 - 5*a^6*b^2 + 3
*a^4*b^4 + a^2*b^6 - b^8)*c)*cosh(x))*sinh(x)), (3*A*a^3*b^3 - 3*A*a*b^5 + 2*C*c^6 + (3*A*a - 2*C*b)*c^5 + (C*
a^2 - 3*A*a*b - 4*C*b^2)*c^4 + (3*A*a^3 - C*a^2*b - 6*A*a*b^2 + 4*C*b^3)*c^3 + (2*A*a^4*b^2 - A*a^2*b^4 - A*b^
6 - A*c^6 + (3*C*a - 2*A*b)*c^5 + (A*a^2 + 6*C*a*b + A*b^2)*c^4 + (3*C*a^3 + 2*A*a^2*b + 4*A*b^3)*c^3 + (2*A*a
^4 + 6*C*a^3*b - 6*C*a*b^3 + A*b^4)*c^2 + (4*A*a^4*b + 3*C*a^3*b^2 - 2*A*a^2*b^3 - 3*C*a*b^4 - 2*A*b^5)*c)*cos
h(x)^3 + (2*A*a^4*b^2 - A*a^2*b^4 - A*b^6 - A*c^6 + (3*C*a - 2*A*b)*c^5 + (A*a^2 + 6*C*a*b + A*b^2)*c^4 + (3*C
*a^3 + 2*A*a^2*b + 4*A*b^3)*c^3 + (2*A*a^4 + 6*C*a^3*b - 6*C*a*b^3 + A*b^4)*c^2 + (4*A*a^4*b + 3*C*a^3*b^2 - 2
*A*a^2*b^3 - 3*C*a*b^4 - 2*A*b^5)*c)*sinh(x)^3 - (C*a^4 + 3*A*a^3*b + C*a^2*b^2 - 6*A*a*b^3 - 2*C*b^4)*c^2 - (
2*C*a^6 - 6*A*a^5*b - 6*C*a^4*b^2 + 3*A*a^3*b^3 + 6*C*a^2*b^4 + 3*A*a*b^5 - 2*C*b^6 + 3*A*a*c^5 + 2*C*c^6 - 3*
(C*a^2 - A*a*b + 2*C*b^2)*c^4 - 3*(A*a^3 + 3*C*a^2*b + 2*A*a*b^2)*c^3 - 3*(C*a^4 + A*a^3*b + C*a^2*b^2 + 2*A*a
*b^3 - 2*C*b^4)*c^2 - 3*(2*A*a^5 + 3*C*a^4*b - A*a^3*b^2 - 3*C*a^2*b^3 - A*a*b^4)*c)*cosh(x)^2 - (2*C*a^6 - 6*
A*a^5*b - 6*C*a^4*b^2 + 3*A*a^3*b^3 + 6*C*a^2*b^4 + 3*A*a*b^5 - 2*C*b^6 + 3*A*a*c^5 + 2*C*c^6 - 3*(C*a^2 - A*a
*b + 2*C*b^2)*c^4 - 3*(A*a^3 + 3*C*a^2*b + 2*A*a*b^2)*c^3 - 3*(C*a^4 + A*a^3*b + C*a^2*b^2 + 2*A*a*b^3 - 2*C*b
^4)*c^2 - 3*(2*A*a^5 + 3*C*a^4*b - A*a^3*b^2 - 3*C*a^2*b^3 - A*a*b^4)*c - 3*(2*A*a^4*b^2 - A*a^2*b^4 - A*b^6 -
A*c^6 + (3*C*a - 2*A*b)*c^5 + (A*a^2 + 6*C*a*b + A*b^2)*c^4 + (3*C*a^3 + 2*A*a^2*b + 4*A*b^3)*c^3 + (2*A*a^4
+ 6*C*a^3*b - 6*C*a*b^3 + A*b^4)*c^2 + (4*A*a^4*b + 3*C*a^3*b^2 - 2*A*a^2*b^3 - 3*C*a*b^4 - 2*A*b^5)*c)*cosh(x
))*sinh(x)^2 + (2*A*a^2*b^3 + A*b^5 - A*c^5 + (3*C*a + A*b)*c^4 + (2*A*a^2*b^3 + A*b^5 - A*c^5 + 3*(C*a - A*b)
*c^4 + (2*A*a^2 + 9*C*a*b - 2*A*b^2)*c^3 + (6*A*a^2*b + 9*C*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^2 + 3*(2*A*a^2*b^2 + C*a*b^3 +
A*b^4)*c)*cosh(x)^4 + (2*A*a^2*b^3 + A*b^5 - A*c^5 + 3*(C*a - A*b)*c^4 + (2*A*a^2 + 9*C*a*b - 2*A*b^2)*c^3 + (
6*A*a^2*b + 9*C*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^2 + 3*(2*A*a^2*b^2 + C*a*b^3 + A*b^4)*c)*sinh(x)^4 + (2*A*a^2 - 3*C*a*b + 2
*A*b^2)*c^3 + 4*(2*A*a^3*b^2 + A*a*b^4 - A*a*c^4 + (3*C*a^2 - 2*A*a*b)*c^3 + 2*(A*a^3 + 3*C*a^2*b)*c^2 + (4*A*
a^3*b + 3*C*a^2*b^2 + 2*A*a*b^3)*c)*cosh(x)^3 + 4*(2*A*a^3*b^2 + A*a*b^4 - A*a*c^4 + (3*C*a^2 - 2*A*a*b)*c^3 +
2*(A*a^3 + 3*C*a^2*b)*c^2 + (4*A*a^3*b + 3*C*a^2*b^2 + 2*A*a*b^3)*c + (2*A*a^2*b^3 + A*b^5 - A*c^5 + 3*(C*a -
A*b)*c^4 + (2*A*a^2 + 9*C*a*b - 2*A*b^2)*c^3 + (6*A*a^2*b + 9*C*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^2 + 3*(2*A*a^2*b^2 + C*a*b
^3 + A*b^4)*c)*cosh(x))*sinh(x)^3 - (2*A*a^2*b + 3*C*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^2 + 2*(4*A*a^4*b + 4*A*a^2*b^3 + A*b^5
+ A*c^5 - (3*C*a - A*b)*c^4 - (4*A*a^2 + 3*C*a*b + 2*A*b^2)*c^3 + (6*C*a^3 - 4*A*a^2*b + 3*C*a*b^2 - 2*A*b^3)
*c^2 + (4*A*a^4 + 6*C*a^3*b + 4*A*a^2*b^2 + 3*C*a*b^3 + A*b^4)*c)*cosh(x)^2 + 2*(4*A*a^4*b + 4*A*a^2*b^3 + A*b
^5 + A*c^5 - (3*C*a - A*b)*c^4 - (4*A*a^2 + 3*C*a*b + 2*A*b^2)*c^3 + (6*C*a^3 - 4*A*a^2*b + 3*C*a*b^2 - 2*A*b^
3)*c^2 + 3*(2*A*a^2*b^3 + A*b^5 - A*c^5 + 3*(C*a - A*b)*c^4 + (2*A*a^2 + 9*C*a*b - 2*A*b^2)*c^3 + (6*A*a^2*b +
9*C*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^2 + 3*(2*A*a^2*b^2 + C*a*b^3 + A*b^4)*c)*cosh(x)^2 + (4*A*a^4 + 6*C*a^3*b + 4*A*a^2*b^
2 + 3*C*a*b^3 + A*b^4)*c + 6*(2*A*a^3*b^2 + A*a*b^4 - A*a*c^4 + (3*C*a^2 - 2*A*a*b)*c^3 + 2*(A*a^3 + 3*C*a^2*b
)*c^2 + (4*A*a^3*b + 3*C*a^2*b^2 + 2*A*a*b^3)*c)*cosh(x))*sinh(x)^2 - (2*A*a^2*b^2 - 3*C*a*b^3 + A*b^4)*c + 4*
(2*A*a^3*b^2 + A*a*b^4 + 3*C*a^2*b^2*c - 3*C*a^2*c^3 + A*a*c^4 - 2*(A*a^3 + A*a*b^2)*c^2)*cosh(x) + 4*(2*A*a^3
*b^2 + A*a*b^4 + 3*C*a^2*b^2*c - 3*C*a^2*c^3 + A*a*c^4 + (2*A*a^2*b^3 + A*b^5 - A*c^5 + 3*(C*a - A*b)*c^4 + (2
*A*a^2 + 9*C*a*b - 2*A*b^2)*c^3 + (6*A*a^2*b + 9*C*a*b^2 + 2*A*b^3)*c^2 + 3*(2*A*a^2*b^2 + C*a*b^3 + A*b^4)*c)
*cosh(x)^3 - 2*(A*a^3 + A*a*b^2)*c^2 + 3*(2*A*a^3*b^2 + A*a*b^4 - A*a*c^4 + (3*C*a^2 - 2*A*a*b)*c^3 + 2*(A*a^3
+ 3*C*a^2*b)*c^2 + (4*A*a^3*b + 3*C*a^2*b^2 + 2*A*a*b^3)*c)*cosh(x)^2 + (4*A*a^4*b + 4*A*a^2*b^3 + A*b^5 + A*
c^5 - (3*C*a - A*b)*c^4 - (4*A*a^2 + 3*C*a*b + 2*A*b^2)*c^3 + (6*C*a^3 - 4*A*a^2*b + 3*C*a*b^2 - 2*A*b^3)*c^2
+ (4*A*a^4 + 6*C*a^3*b + 4*A*a^2*b^2 + 3*C*a*b^3 + A*b^4)*c)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a^2 + b^2 - c^2)*arctan(s
qrt(-a^2 + b^2 - c^2)*((b + c)*cosh(x) + (b + c)*sinh(x) + a)/(a^2 - b^2 + c^2)) + (C*a^4*b - 3*A*a^3*b^2 + C*
a^2*b^3 + 3*A*a*b^4 - 2*C*b^5)*c + (10*A*a^4*b^2 - 11*A*a^2*b^4 + A*b^6 - 5*C*a*c^5 - A*c^6 - (11*A*a^2 - 3*A*
b^2)*c^4 - (C*a^3 - 10*C*a*b^2)*c^3 - (10*A*a^4 - 22*A*a^2*b^2 + 3*A*b^4)*c^2 + (4*C*a^5 + C*a^3*b^2 - 5*C*a*b
^4)*c)*cosh(x) + (10*A*a^4*b^2 - 11*A*a^2*b^4 + A*b^6 - 5*C*a*c^5 - A*c^6 - (11*A*a^2 - 3*A*b^2)*c^4 - (C*a^3
- 10*C*a*b^2)*c^3 - (10*A*a^4 - 22*A*a^2*b^2 + 3*A*b^4)*c^2 + 3*(2*A*a^4*b^2 - A*a^2*b^4 - A*b^6 - A*c^6 + (3*
C*a - 2*A*b)*c^5 + (A*a^2 + 6*C*a*b + A*b^2)*c^4 + (3*C*a^3 + 2*A*a^2*b + 4*A*b^3)*c^3 + (2*A*a^4 + 6*C*a^3*b
- 6*C*a*b^3 + A*b^4)*c^2 + (4*A*a^4*b + 3*C*a^3*b^2 - 2*A*a^2*b^3 - 3*C*a*b^4 - 2*A*b^5)*c)*cosh(x)^2 + (4*C*a
^5 + C*a^3*b^2 - 5*C*a*b^4)*c - 2*(2*C*a^6 - 6*A*a^5*b - 6*C*a^4*b^2 + 3*A*a^3*b^3 + 6*C*a^2*b^4 + 3*A*a*b^5 -
2*C*b^6 + 3*A*a*c^5 + 2*C*c^6 - 3*(C*a^2 - A*a*b + 2*C*b^2)*c^4 - 3*(A*a^3 + 3*C*a^2*b + 2*A*a*b^2)*c^3 - 3*(
C*a^4 + A*a^3*b + C*a^2*b^2 + 2*A*a*b^3 - 2*C*b^4)*c^2 - 3*(2*A*a^5 + 3*C*a^4*b - A*a^3*b^2 - 3*C*a^2*b^3 - A*
a*b^4)*c)*cosh(x))*sinh(x))/(a^6*b^3 - 3*a^4*b^5 + 3*a^2*b^7 - b^9 - b*c^8 + c^9 + (3*a^2 - 4*b^2)*c^7 - (3*a^
2*b - 4*b^3)*c^6 + 3*(a^4 - 3*a^2*b^2 + 2*b^4)*c^5 - 3*(a^4*b - 3*a^2*b^3 + 2*b^5)*c^4 + (a^6*b^3 - 3*a^4*b^5
+ 3*a^2*b^7 - b^9 + 3*a^2*c^7 + 3*b*c^8 + c^9 + (9*a^2*b - 8*b^3)*c^6 + 3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3*(3*a
^4*b - 5*a^2*b^3 + 2*b^5)*c^4 + (a^6 + 6*a^4*b^2 - 15*a^2*b^4 + 8*b^6)*c^3 + 3*(a^6*b - 2*a^4*b^3 + a^2*b^5)*c
^2 + 3*(a^6*b^2 - 3*a^4*b^4 + 3*a^2*b^6 - b^8)*c)*cosh(x)^4 + (a^6*b^3 - 3*a^4*b^5 + 3*a^2*b^7 - b^9 + 3*a^2*c
^7 + 3*b*c^8 + c^9 + (9*a^2*b - 8*b^3)*c^6 + 3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3*(3*a^4*b - 5*a^2*b^3 + 2*b^5)*c
^4 + (a^6 + 6*a^4*b^2 - 15*a^2*b^4 + 8*b^6)*c^3 + 3*(a^6*b - 2*a^4*b^3 + a^2*b^5)*c^2 + 3*(a^6*b^2 - 3*a^4*b^4
+ 3*a^2*b^6 - b^8)*c)*sinh(x)^4 + (a^6 - 6*a^4*b^2 + 9*a^2*b^4 - 4*b^6)*c^3 + 4*(a^7*b^2 - 3*a^5*b^4 + 3*a^3*
b^6 - a*b^8 + 2*a*b*c^7 + a*c^8 + (3*a^3 - 2*a*b^2)*c^6 + 6*(a^3*b - a*b^3)*c^5 + 3*(a^5 - a^3*b^2)*c^4 + 6*(a
^5*b - 2*a^3*b^3 + a*b^5)*c^3 + (a^7 - 3*a^3*b^4 + 2*a*b^6)*c^2 + 2*(a^7*b - 3*a^5*b^3 + 3*a^3*b^5 - a*b^7)*c)
*cosh(x)^3 + 4*(a^7*b^2 - 3*a^5*b^4 + 3*a^3*b^6 - a*b^8 + 2*a*b*c^7 + a*c^8 + (3*a^3 - 2*a*b^2)*c^6 + 6*(a^3*b
- a*b^3)*c^5 + 3*(a^5 - a^3*b^2)*c^4 + 6*(a^5*b - 2*a^3*b^3 + a*b^5)*c^3 + (a^7 - 3*a^3*b^4 + 2*a*b^6)*c^2 +
2*(a^7*b - 3*a^5*b^3 + 3*a^3*b^5 - a*b^7)*c + (a^6*b^3 - 3*a^4*b^5 + 3*a^2*b^7 - b^9 + 3*a^2*c^7 + 3*b*c^8 + c
^9 + (9*a^2*b - 8*b^3)*c^6 + 3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3*(3*a^4*b - 5*a^2*b^3 + 2*b^5)*c^4 + (a^6 + 6*a^
4*b^2 - 15*a^2*b^4 + 8*b^6)*c^3 + 3*(a^6*b - 2*a^4*b^3 + a^2*b^5)*c^2 + 3*(a^6*b^2 - 3*a^4*b^4 + 3*a^2*b^6 - b
^8)*c)*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a^6*b - 6*a^4*b^3 + 9*a^2*b^5 - 4*b^7)*c^2 + 2*(2*a^8*b - 5*a^6*b^3 + 3*a^4*b^5 +
a^2*b^7 - b^9 - b*c^8 - c^9 - (a^2 - 4*b^2)*c^7 - (a^2*b - 4*b^3)*c^6 + 3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3*(a^
4*b + a^2*b^3 - 2*b^5)*c^4 + (5*a^6 - 6*a^4*b^2 - 3*a^2*b^4 + 4*b^6)*c^3 + (5*a^6*b - 6*a^4*b^3 - 3*a^2*b^5 +
4*b^7)*c^2 + (2*a^8 - 5*a^6*b^2 + 3*a^4*b^4 + a^2*b^6 - b^8)*c)*cosh(x)^2 + 2*(2*a^8*b - 5*a^6*b^3 + 3*a^4*b^5
+ a^2*b^7 - b^9 - b*c^8 - c^9 - (a^2 - 4*b^2)*c^7 - (a^2*b - 4*b^3)*c^6 + 3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3*(
a^4*b + a^2*b^3 - 2*b^5)*c^4 + (5*a^6 - 6*a^4*b^2 - 3*a^2*b^4 + 4*b^6)*c^3 + (5*a^6*b - 6*a^4*b^3 - 3*a^2*b^5
+ 4*b^7)*c^2 + 3*(a^6*b^3 - 3*a^4*b^5 + 3*a^2*b^7 - b^9 + 3*a^2*c^7 + 3*b*c^8 + c^9 + (9*a^2*b - 8*b^3)*c^6 +
3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3*(3*a^4*b - 5*a^2*b^3 + 2*b^5)*c^4 + (a^6 + 6*a^4*b^2 - 15*a^2*b^4 + 8*b^6)*c
^3 + 3*(a^6*b - 2*a^4*b^3 + a^2*b^5)*c^2 + 3*(a^6*b^2 - 3*a^4*b^4 + 3*a^2*b^6 - b^8)*c)*cosh(x)^2 + (2*a^8 - 5
*a^6*b^2 + 3*a^4*b^4 + a^2*b^6 - b^8)*c + 6*(a^7*b^2 - 3*a^5*b^4 + 3*a^3*b^6 - a*b^8 + 2*a*b*c^7 + a*c^8 + (3*
a^3 - 2*a*b^2)*c^6 + 6*(a^3*b - a*b^3)*c^5 + 3*(a^5 - a^3*b^2)*c^4 + 6*(a^5*b - 2*a^3*b^3 + a*b^5)*c^3 + (a^7
- 3*a^3*b^4 + 2*a*b^6)*c^2 + 2*(a^7*b - 3*a^5*b^3 + 3*a^3*b^5 - a*b^7)*c)*cosh(x))*sinh(x)^2 - (a^6*b^2 - 3*a^
4*b^4 + 3*a^2*b^6 - b^8)*c + 4*(a^7*b^2 - 3*a^5*b^4 + 3*a^3*b^6 - a*b^8 - a*c^8 - (3*a^3 - 4*a*b^2)*c^6 - 3*(a
^5 - 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c^4 - (a^7 - 6*a^5*b^2 + 9*a^3*b^4 - 4*a*b^6)*c^2)*cosh(x) + 4*(a^7*b^2 - 3*a^5*b^4
+ 3*a^3*b^6 - a*b^8 - a*c^8 - (3*a^3 - 4*a*b^2)*c^6 - 3*(a^5 - 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c^4 + (a^6*b^3 - 3*a^4*b^5
+ 3*a^2*b^7 - b^9 + 3*a^2*c^7 + 3*b*c^8 + c^9 + (9*a^2*b - 8*b^3)*c^6 + 3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3*(3*
a^4*b - 5*a^2*b^3 + 2*b^5)*c^4 + (a^6 + 6*a^4*b^2 - 15*a^2*b^4 + 8*b^6)*c^3 + 3*(a^6*b - 2*a^4*b^3 + a^2*b^5)*
c^2 + 3*(a^6*b^2 - 3*a^4*b^4 + 3*a^2*b^6 - b^8)*c)*cosh(x)^3 - (a^7 - 6*a^5*b^2 + 9*a^3*b^4 - 4*a*b^6)*c^2 + 3
*(a^7*b^2 - 3*a^5*b^4 + 3*a^3*b^6 - a*b^8 + 2*a*b*c^7 + a*c^8 + (3*a^3 - 2*a*b^2)*c^6 + 6*(a^3*b - a*b^3)*c^5
+ 3*(a^5 - a^3*b^2)*c^4 + 6*(a^5*b - 2*a^3*b^3 + a*b^5)*c^3 + (a^7 - 3*a^3*b^4 + 2*a*b^6)*c^2 + 2*(a^7*b - 3*a
^5*b^3 + 3*a^3*b^5 - a*b^7)*c)*cosh(x)^2 + (2*a^8*b - 5*a^6*b^3 + 3*a^4*b^5 + a^2*b^7 - b^9 - b*c^8 - c^9 - (a
^2 - 4*b^2)*c^7 - (a^2*b - 4*b^3)*c^6 + 3*(a^4 + a^2*b^2 - 2*b^4)*c^5 + 3*(a^4*b + a^2*b^3 - 2*b^5)*c^4 + (5*a
^6 - 6*a^4*b^2 - 3*a^2*b^4 + 4*b^6)*c^3 + (5*a^6*b - 6*a^4*b^3 - 3*a^2*b^5 + 4*b^7)*c^2 + (2*a^8 - 5*a^6*b^2 +
3*a^4*b^4 + a^2*b^6 - b^8)*c)*cosh(x))*sinh(x))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+C*sinh(x))/(a+b*cosh(x)+c*sinh(x))**3,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.22714, size = 844, normalized size = 4.26 \begin{align*} \frac{{\left (2 \, A a^{2} + A b^{2} + 3 \, C a c - A c^{2}\right )} \arctan \left (\frac{b e^{x} + c e^{x} + a}{\sqrt{-a^{2} + b^{2} - c^{2}}}\right )}{{\left (a^{4} - 2 \, a^{2} b^{2} + b^{4} + 2 \, a^{2} c^{2} - 2 \, b^{2} c^{2} + c^{4}\right )} \sqrt{-a^{2} + b^{2} - c^{2}}} + \frac{2 \, A a^{2} b^{2} e^{\left (3 \, x\right )} + A b^{4} e^{\left (3 \, x\right )} + 4 \, A a^{2} b c e^{\left (3 \, x\right )} + 3 \, C a b^{2} c e^{\left (3 \, x\right )} + 2 \, A b^{3} c e^{\left (3 \, x\right )} + 2 \, A a^{2} c^{2} e^{\left (3 \, x\right )} + 6 \, C a b c^{2} e^{\left (3 \, x\right )} + 3 \, C a c^{3} e^{\left (3 \, x\right )} - 2 \, A b c^{3} e^{\left (3 \, x\right )} - A c^{4} e^{\left (3 \, x\right )} - 2 \, C a^{4} e^{\left (2 \, x\right )} + 6 \, A a^{3} b e^{\left (2 \, x\right )} + 4 \, C a^{2} b^{2} e^{\left (2 \, x\right )} + 3 \, A a b^{3} e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, C b^{4} e^{\left (2 \, x\right )} + 6 \, A a^{3} c e^{\left (2 \, x\right )} + 9 \, C a^{2} b c e^{\left (2 \, x\right )} + 3 \, A a b^{2} c e^{\left (2 \, x\right )} + 5 \, C a^{2} c^{2} e^{\left (2 \, x\right )} - 3 \, A a b c^{2} e^{\left (2 \, x\right )} + 4 \, C b^{2} c^{2} e^{\left (2 \, x\right )} - 3 \, A a c^{3} e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, C c^{4} e^{\left (2 \, x\right )} + 10 \, A a^{2} b^{2} e^{x} - A b^{4} e^{x} + 4 \, C a^{3} c e^{x} + 5 \, C a b^{2} c e^{x} - 10 \, A a^{2} c^{2} e^{x} + 2 \, A b^{2} c^{2} e^{x} - 5 \, C a c^{3} e^{x} - A c^{4} e^{x} + 3 \, A a b^{3} + C a^{2} b c - 3 \, A a b^{2} c + 2 \, C b^{3} c - C a^{2} c^{2} - 3 \, A a b c^{2} - 2 \, C b^{2} c^{2} + 3 \, A a c^{3} - 2 \, C b c^{3} + 2 \, C c^{4}}{{\left (a^{4} b - 2 \, a^{2} b^{3} + b^{5} + a^{4} c - 2 \, a^{2} b^{2} c + b^{4} c + 2 \, a^{2} b c^{2} - 2 \, b^{3} c^{2} + 2 \, a^{2} c^{3} - 2 \, b^{2} c^{3} + b c^{4} + c^{5}\right )}{\left (b e^{\left (2 \, x\right )} + c e^{\left (2 \, x\right )} + 2 \, a e^{x} + b - c\right )}^{2}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+C*sinh(x))/(a+b*cosh(x)+c*sinh(x))^3,x, algorithm="giac")

[Out]

(2*A*a^2 + A*b^2 + 3*C*a*c - A*c^2)*arctan((b*e^x + c*e^x + a)/sqrt(-a^2 + b^2 - c^2))/((a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4
+ 2*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 + c^4)*sqrt(-a^2 + b^2 - c^2)) + (2*A*a^2*b^2*e^(3*x) + A*b^4*e^(3*x) + 4*A*a^2*b*c*e
^(3*x) + 3*C*a*b^2*c*e^(3*x) + 2*A*b^3*c*e^(3*x) + 2*A*a^2*c^2*e^(3*x) + 6*C*a*b*c^2*e^(3*x) + 3*C*a*c^3*e^(3*
x) - 2*A*b*c^3*e^(3*x) - A*c^4*e^(3*x) - 2*C*a^4*e^(2*x) + 6*A*a^3*b*e^(2*x) + 4*C*a^2*b^2*e^(2*x) + 3*A*a*b^3
*e^(2*x) - 2*C*b^4*e^(2*x) + 6*A*a^3*c*e^(2*x) + 9*C*a^2*b*c*e^(2*x) + 3*A*a*b^2*c*e^(2*x) + 5*C*a^2*c^2*e^(2*
x) - 3*A*a*b*c^2*e^(2*x) + 4*C*b^2*c^2*e^(2*x) - 3*A*a*c^3*e^(2*x) - 2*C*c^4*e^(2*x) + 10*A*a^2*b^2*e^x - A*b^
4*e^x + 4*C*a^3*c*e^x + 5*C*a*b^2*c*e^x - 10*A*a^2*c^2*e^x + 2*A*b^2*c^2*e^x - 5*C*a*c^3*e^x - A*c^4*e^x + 3*A
*a*b^3 + C*a^2*b*c - 3*A*a*b^2*c + 2*C*b^3*c - C*a^2*c^2 - 3*A*a*b*c^2 - 2*C*b^2*c^2 + 3*A*a*c^3 - 2*C*b*c^3 +
2*C*c^4)/((a^4*b - 2*a^2*b^3 + b^5 + a^4*c - 2*a^2*b^2*c + b^4*c + 2*a^2*b*c^2 - 2*b^3*c^2 + 2*a^2*c^3 - 2*b^
2*c^3 + b*c^4 + c^5)*(b*e^(2*x) + c*e^(2*x) + 2*a*e^x + b - c)^2)