### 3.516 $$\int x^2 \text{csch}^3(a+b x) \text{sech}^2(a+b x) \, dx$$

Optimal. Leaf size=197 $\frac{3 x \text{PolyLog}\left (2,-e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{3 x \text{PolyLog}\left (2,e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{2 i \text{PolyLog}\left (2,-i e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{2 i \text{PolyLog}\left (2,i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 \text{PolyLog}\left (3,-e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{3 \text{PolyLog}\left (3,e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{4 x \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{x \text{csch}(a+b x)}{b^2}-\frac{\tanh ^{-1}(\cosh (a+b x))}{b^3}+\frac{3 x^2 \tanh ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}-\frac{3 x^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^2 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}$

[Out]

(4*x*ArcTan[E^(a + b*x)])/b^2 + (3*x^2*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b - ArcTanh[Cosh[a + b*x]]/b^3 - (x*Csch[a + b*x]
)/b^2 + (3*x*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^2 - ((2*I)*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 + ((2*I)*PolyLog[2, I*E^
(a + b*x)])/b^3 - (3*x*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^2 - (3*PolyLog[3, -E^(a + b*x)])/b^3 + (3*PolyLog[3, E^(a +
b*x)])/b^3 - (3*x^2*Sech[a + b*x])/(2*b) - (x^2*Csch[a + b*x]^2*Sech[a + b*x])/(2*b)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.488723, antiderivative size = 197, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 29, number of rules used = 19, integrand size = 20, $$\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}$$ = 0.95, Rules used = {2622, 288, 321, 207, 5462, 14, 6273, 12, 4182, 2531, 2282, 6589, 6742, 4180, 2279, 2391, 2621, 5203, 3770} $\frac{3 x \text{PolyLog}\left (2,-e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{3 x \text{PolyLog}\left (2,e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{2 i \text{PolyLog}\left (2,-i e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{2 i \text{PolyLog}\left (2,i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 \text{PolyLog}\left (3,-e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{3 \text{PolyLog}\left (3,e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{4 x \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{x \text{csch}(a+b x)}{b^2}-\frac{\tanh ^{-1}(\cosh (a+b x))}{b^3}+\frac{3 x^2 \tanh ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}-\frac{3 x^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^2 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Int[x^2*Csch[a + b*x]^3*Sech[a + b*x]^2,x]

[Out]

(4*x*ArcTan[E^(a + b*x)])/b^2 + (3*x^2*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b - ArcTanh[Cosh[a + b*x]]/b^3 - (x*Csch[a + b*x]
)/b^2 + (3*x*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^2 - ((2*I)*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 + ((2*I)*PolyLog[2, I*E^
(a + b*x)])/b^3 - (3*x*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^2 - (3*PolyLog[3, -E^(a + b*x)])/b^3 + (3*PolyLog[3, E^(a +
b*x)])/b^3 - (3*x^2*Sech[a + b*x])/(2*b) - (x^2*Csch[a + b*x]^2*Sech[a + b*x])/(2*b)

Rule 2622

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.)*((a_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Dist[1/(f*a^n), Subst[Int
[x^(m + n - 1)/(-1 + x^2/a^2)^((n + 1)/2), x], x, a*Sec[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, e, f, m}, x] && IntegerQ[(n
+ 1)/2] &&  !(IntegerQ[(m + 1)/2] && LtQ[0, m, n])

Rule 288

Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c^(n - 1)*(c*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^
n)^(p + 1))/(b*n*(p + 1)), x] - Dist[(c^n*(m - n + 1))/(b*n*(p + 1)), Int[(c*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^(p + 1), x
], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m + 1, n] &&  !ILtQ[(m + n*(p + 1) + 1)/n, 0]
&& IntBinomialQ[a, b, c, n, m, p, x]

Rule 321

Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c^(n - 1)*(c*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^n
)^(p + 1))/(b*(m + n*p + 1)), x] - Dist[(a*c^n*(m - n + 1))/(b*(m + n*p + 1)), Int[(c*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^p
, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m, n - 1] && NeQ[m + n*p + 1, 0] && IntBinomialQ[a, b,
c, n, m, p, x]

Rule 207

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> -Simp[ArcTanh[(Rt[b, 2]*x)/Rt[-a, 2]]/(Rt[-a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (LtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rule 5462

Int[Csch[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sech[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Wit
h[{u = IntHide[Csch[a + b*x]^n*Sech[a + b*x]^p, x]}, Dist[(c + d*x)^m, u, x] - Dist[d*m, Int[(c + d*x)^(m - 1)
*u, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IntegersQ[n, p] && GtQ[m, 0] && NeQ[n, p]

Rule 14

Int[(u_)*((c_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(c*x)^m*u, x], x] /; FreeQ[{c, m}, x] && SumQ[u]
&&  !LinearQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (a_) + (b_.)*(v_) /; FreeQ[{a, b}, x] && InverseFunctionQ[v]]

Rule 6273

Int[((a_.) + ArcTanh[u_]*(b_.))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^(m + 1)*(a + b*ArcTan
h[u]))/(d*(m + 1)), x] - Dist[b/(d*(m + 1)), Int[SimplifyIntegrand[((c + d*x)^(m + 1)*D[u, x])/(1 - u^2), x],
x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !FunctionOfQ[(c + d*x)^(m
+ 1), u, x] && FalseQ[PowerVariableExpn[u, m + 1, x]]

Rule 12

Int[(a_)*(u_), x_Symbol] :> Dist[a, Int[u, x], x] /; FreeQ[a, x] &&  !MatchQ[u, (b_)*(v_) /; FreeQ[b, x]]

Rule 4182

Int[csc[(e_.) + (Complex[0, fz_])*(f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c + d*x)^m*Ar
cTanh[E^(-(I*e) + f*fz*x)])/(f*fz*I), x] + (-Dist[(d*m)/(f*fz*I), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(-(I*e) + f*
fz*x)], x], x] + Dist[(d*m)/(f*fz*I), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(-(I*e) + f*fz*x)], x], x]) /; FreeQ[{c,
d, e, f, fz}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rule 6742

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = ExpandIntegrand[u, x]}, Int[v, x] /; SumQ[v]]

Rule 4180

Int[csc[(e_.) + Pi*(k_.) + (Complex[0, fz_])*(f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c
+ d*x)^m*ArcTanh[E^(-(I*e) + f*fz*x)/E^(I*k*Pi)])/(f*fz*I), x] + (-Dist[(d*m)/(f*fz*I), Int[(c + d*x)^(m - 1)*
Log[1 - E^(-(I*e) + f*fz*x)/E^(I*k*Pi)], x], x] + Dist[(d*m)/(f*fz*I), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(-(I*e)
+ f*fz*x)/E^(I*k*Pi)], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e, f, fz}, x] && IntegerQ[2*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 2279

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2391

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, -(c*e*x^n)]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rule 2621

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> -Dist[(f*a^n)^(-1), Subst
[Int[x^(m + n - 1)/(-1 + x^2/a^2)^((n + 1)/2), x], x, a*Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, e, f, m}, x] && Integer
Q[(n + 1)/2] &&  !(IntegerQ[(m + 1)/2] && LtQ[0, m, n])

Rule 5203

Int[ArcTan[u_], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTan[u], x] - Int[SimplifyIntegrand[(x*D[u, x])/(1 + u^2), x], x] /; Inv
erseFunctionFreeQ[u, x]

Rule 3770

Int[csc[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> -Simp[ArcTanh[Cos[c + d*x]]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rubi steps

\begin{align*} \int x^2 \text{csch}^3(a+b x) \text{sech}^2(a+b x) \, dx &=\frac{3 x^2 \tanh ^{-1}(\cosh (a+b x))}{2 b}-\frac{3 x^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^2 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}-2 \int x \left (\frac{3 \tanh ^{-1}(\cosh (a+b x))}{2 b}-\frac{3 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{\text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}\right ) \, dx\\ &=\frac{3 x^2 \tanh ^{-1}(\cosh (a+b x))}{2 b}-\frac{3 x^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^2 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}-2 \int \left (\frac{3 x \tanh ^{-1}(\cosh (a+b x))}{2 b}-\frac{x \left (3+\text{csch}^2(a+b x)\right ) \text{sech}(a+b x)}{2 b}\right ) \, dx\\ &=\frac{3 x^2 \tanh ^{-1}(\cosh (a+b x))}{2 b}-\frac{3 x^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^2 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}+\frac{\int x \left (3+\text{csch}^2(a+b x)\right ) \text{sech}(a+b x) \, dx}{b}-\frac{3 \int x \tanh ^{-1}(\cosh (a+b x)) \, dx}{b}\\ &=-\frac{3 x^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^2 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}+\frac{\int \left (3 x \text{sech}(a+b x)+x \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)\right ) \, dx}{b}-\frac{3 \int b x^2 \text{csch}(a+b x) \, dx}{2 b}\\ &=-\frac{3 x^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^2 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{3}{2} \int x^2 \text{csch}(a+b x) \, dx+\frac{\int x \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x) \, dx}{b}+\frac{3 \int x \text{sech}(a+b x) \, dx}{b}\\ &=\frac{6 x \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{x \tan ^{-1}(\sinh (a+b x))}{b^2}+\frac{3 x^2 \tanh ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}-\frac{x \text{csch}(a+b x)}{b^2}-\frac{3 x^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^2 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{(3 i) \int \log \left (1-i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{(3 i) \int \log \left (1+i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^2}-\frac{\int \left (-\frac{\tan ^{-1}(\sinh (a+b x))}{b}-\frac{\text{csch}(a+b x)}{b}\right ) \, dx}{b}+\frac{3 \int x \log \left (1-e^{a+b x}\right ) \, dx}{b}-\frac{3 \int x \log \left (1+e^{a+b x}\right ) \, dx}{b}\\ &=\frac{6 x \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{x \tan ^{-1}(\sinh (a+b x))}{b^2}+\frac{3 x^2 \tanh ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}-\frac{x \text{csch}(a+b x)}{b^2}+\frac{3 x \text{Li}_2\left (-e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{3 x \text{Li}_2\left (e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{3 x^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^2 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{(3 i) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1-i x)}{x} \, dx,x,e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{(3 i) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1+i x)}{x} \, dx,x,e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{\int \tan ^{-1}(\sinh (a+b x)) \, dx}{b^2}+\frac{\int \text{csch}(a+b x) \, dx}{b^2}-\frac{3 \int \text{Li}_2\left (-e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{3 \int \text{Li}_2\left (e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^2}\\ &=\frac{6 x \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^2}+\frac{3 x^2 \tanh ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}-\frac{\tanh ^{-1}(\cosh (a+b x))}{b^3}-\frac{x \text{csch}(a+b x)}{b^2}+\frac{3 x \text{Li}_2\left (-e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{3 i \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{3 i \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 x \text{Li}_2\left (e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{3 x^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^2 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{3 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(-x)}{x} \, dx,x,e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{3 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(x)}{x} \, dx,x,e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{\int b x \text{sech}(a+b x) \, dx}{b^2}\\ &=\frac{6 x \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^2}+\frac{3 x^2 \tanh ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}-\frac{\tanh ^{-1}(\cosh (a+b x))}{b^3}-\frac{x \text{csch}(a+b x)}{b^2}+\frac{3 x \text{Li}_2\left (-e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{3 i \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{3 i \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 x \text{Li}_2\left (e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{3 \text{Li}_3\left (-e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{3 \text{Li}_3\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 x^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^2 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{\int x \text{sech}(a+b x) \, dx}{b}\\ &=\frac{4 x \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^2}+\frac{3 x^2 \tanh ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}-\frac{\tanh ^{-1}(\cosh (a+b x))}{b^3}-\frac{x \text{csch}(a+b x)}{b^2}+\frac{3 x \text{Li}_2\left (-e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{3 i \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{3 i \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 x \text{Li}_2\left (e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{3 \text{Li}_3\left (-e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{3 \text{Li}_3\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 x^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^2 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}+\frac{i \int \log \left (1-i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^2}-\frac{i \int \log \left (1+i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^2}\\ &=\frac{4 x \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^2}+\frac{3 x^2 \tanh ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}-\frac{\tanh ^{-1}(\cosh (a+b x))}{b^3}-\frac{x \text{csch}(a+b x)}{b^2}+\frac{3 x \text{Li}_2\left (-e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{3 i \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{3 i \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 x \text{Li}_2\left (e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{3 \text{Li}_3\left (-e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{3 \text{Li}_3\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 x^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^2 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}+\frac{i \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1-i x)}{x} \, dx,x,e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{i \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1+i x)}{x} \, dx,x,e^{a+b x}\right )}{b^3}\\ &=\frac{4 x \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^2}+\frac{3 x^2 \tanh ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}-\frac{\tanh ^{-1}(\cosh (a+b x))}{b^3}-\frac{x \text{csch}(a+b x)}{b^2}+\frac{3 x \text{Li}_2\left (-e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{2 i \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{2 i \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 x \text{Li}_2\left (e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{3 \text{Li}_3\left (-e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{3 \text{Li}_3\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 x^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^2 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 7.94988, size = 441, normalized size = 2.24 $\frac{6 b x \text{PolyLog}\left (2,-e^{a+b x}\right )-6 b x \text{PolyLog}\left (2,e^{a+b x}\right )-6 \text{PolyLog}\left (3,-e^{a+b x}\right )+6 \text{PolyLog}\left (3,e^{a+b x}\right )-3 b^2 x^2 \log \left (1-e^{a+b x}\right )+3 b^2 x^2 \log \left (e^{a+b x}+1\right )+2 \log \left (1-e^{a+b x}\right )-2 \log \left (e^{a+b x}+1\right )}{2 b^3}-\frac{2 \left (i \left (\text{PolyLog}\left (2,-e^{i \left (-i a-i b x+\frac{\pi }{2}\right )}\right )-\text{PolyLog}\left (2,e^{i \left (-i a-i b x+\frac{\pi }{2}\right )}\right )\right )+\left (-i a-i b x+\frac{\pi }{2}\right ) \left (\log \left (1-e^{i \left (-i a-i b x+\frac{\pi }{2}\right )}\right )-\log \left (1+e^{i \left (-i a-i b x+\frac{\pi }{2}\right )}\right )\right )-\left (\frac{\pi }{2}-i a\right ) \log \left (\tan \left (\frac{1}{2} \left (-i a-i b x+\frac{\pi }{2}\right )\right )\right )\right )}{b^3}-\frac{x \text{csch}(a)}{b^2}+\frac{x \text{csch}\left (\frac{a}{2}\right ) \sinh \left (\frac{b x}{2}\right ) \text{csch}\left (\frac{a}{2}+\frac{b x}{2}\right )}{2 b^2}+\frac{x \text{sech}\left (\frac{a}{2}\right ) \sinh \left (\frac{b x}{2}\right ) \text{sech}\left (\frac{a}{2}+\frac{b x}{2}\right )}{2 b^2}-\frac{x^2 \text{csch}^2\left (\frac{a}{2}+\frac{b x}{2}\right )}{8 b}-\frac{x^2 \text{sech}^2\left (\frac{a}{2}+\frac{b x}{2}\right )}{8 b}-\frac{x^2 \text{sech}(a+b x)}{b}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Integrate[x^2*Csch[a + b*x]^3*Sech[a + b*x]^2,x]

[Out]

-((x*Csch[a])/b^2) - (x^2*Csch[a/2 + (b*x)/2]^2)/(8*b) - (2*(((-I)*a + Pi/2 - I*b*x)*(Log[1 - E^(I*((-I)*a + P
i/2 - I*b*x))] - Log[1 + E^(I*((-I)*a + Pi/2 - I*b*x))]) - ((-I)*a + Pi/2)*Log[Tan[((-I)*a + Pi/2 - I*b*x)/2]]
+ I*(PolyLog[2, -E^(I*((-I)*a + Pi/2 - I*b*x))] - PolyLog[2, E^(I*((-I)*a + Pi/2 - I*b*x))])))/b^3 + (2*Log[1
- E^(a + b*x)] - 3*b^2*x^2*Log[1 - E^(a + b*x)] - 2*Log[1 + E^(a + b*x)] + 3*b^2*x^2*Log[1 + E^(a + b*x)] + 6
*b*x*PolyLog[2, -E^(a + b*x)] - 6*b*x*PolyLog[2, E^(a + b*x)] - 6*PolyLog[3, -E^(a + b*x)] + 6*PolyLog[3, E^(a
+ b*x)])/(2*b^3) - (x^2*Sech[a/2 + (b*x)/2]^2)/(8*b) - (x^2*Sech[a + b*x])/b + (x*Csch[a/2]*Csch[a/2 + (b*x)/
2]*Sinh[(b*x)/2])/(2*b^2) + (x*Sech[a/2]*Sech[a/2 + (b*x)/2]*Sinh[(b*x)/2])/(2*b^2)

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.291, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{x}^{2} \left ({\rm csch} \left (bx+a\right ) \right ) ^{3} \left ({\rm sech} \left (bx+a\right ) \right ) ^{2}\, dx \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(x^2*csch(b*x+a)^3*sech(b*x+a)^2,x)

[Out]

int(x^2*csch(b*x+a)^3*sech(b*x+a)^2,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \frac{2 \, b x^{2} e^{\left (3 \, b x + 3 \, a\right )} -{\left (3 \, b x^{2} e^{\left (5 \, a\right )} + 2 \, x e^{\left (5 \, a\right )}\right )} e^{\left (5 \, b x\right )} -{\left (3 \, b x^{2} e^{a} - 2 \, x e^{a}\right )} e^{\left (b x\right )}}{b^{2} e^{\left (6 \, b x + 6 \, a\right )} - b^{2} e^{\left (4 \, b x + 4 \, a\right )} - b^{2} e^{\left (2 \, b x + 2 \, a\right )} + b^{2}} + \frac{3 \,{\left (b^{2} x^{2} \log \left (e^{\left (b x + a\right )} + 1\right ) + 2 \, b x{\rm Li}_2\left (-e^{\left (b x + a\right )}\right ) - 2 \,{\rm Li}_{3}(-e^{\left (b x + a\right )})\right )}}{2 \, b^{3}} - \frac{3 \,{\left (b^{2} x^{2} \log \left (-e^{\left (b x + a\right )} + 1\right ) + 2 \, b x{\rm Li}_2\left (e^{\left (b x + a\right )}\right ) - 2 \,{\rm Li}_{3}(e^{\left (b x + a\right )})\right )}}{2 \, b^{3}} - \frac{\log \left (e^{\left (b x + a\right )} + 1\right )}{b^{3}} + \frac{\log \left (e^{\left (b x + a\right )} - 1\right )}{b^{3}} + 32 \, \int \frac{x e^{\left (b x + a\right )}}{8 \,{\left (b e^{\left (2 \, b x + 2 \, a\right )} + b\right )}}\,{d x} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^2*csch(b*x+a)^3*sech(b*x+a)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

(2*b*x^2*e^(3*b*x + 3*a) - (3*b*x^2*e^(5*a) + 2*x*e^(5*a))*e^(5*b*x) - (3*b*x^2*e^a - 2*x*e^a)*e^(b*x))/(b^2*e
^(6*b*x + 6*a) - b^2*e^(4*b*x + 4*a) - b^2*e^(2*b*x + 2*a) + b^2) + 3/2*(b^2*x^2*log(e^(b*x + a) + 1) + 2*b*x*
dilog(-e^(b*x + a)) - 2*polylog(3, -e^(b*x + a)))/b^3 - 3/2*(b^2*x^2*log(-e^(b*x + a) + 1) + 2*b*x*dilog(e^(b*
x + a)) - 2*polylog(3, e^(b*x + a)))/b^3 - log(e^(b*x + a) + 1)/b^3 + log(e^(b*x + a) - 1)/b^3 + 32*integrate(
1/8*x*e^(b*x + a)/(b*e^(2*b*x + 2*a) + b), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 2.5645, size = 10167, normalized size = 51.61 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^2*csch(b*x+a)^3*sech(b*x+a)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/2*(4*b^2*x^2*cosh(b*x + a)^3 - 2*(3*b^2*x^2 + 2*b*x)*cosh(b*x + a)^5 - 10*(3*b^2*x^2 + 2*b*x)*cosh(b*x + a)*
sinh(b*x + a)^4 - 2*(3*b^2*x^2 + 2*b*x)*sinh(b*x + a)^5 + 4*(b^2*x^2 - 5*(3*b^2*x^2 + 2*b*x)*cosh(b*x + a)^2)*
sinh(b*x + a)^3 + 4*(3*b^2*x^2*cosh(b*x + a) - 5*(3*b^2*x^2 + 2*b*x)*cosh(b*x + a)^3)*sinh(b*x + a)^2 - 2*(3*b
^2*x^2 - 2*b*x)*cosh(b*x + a) - 6*(b*x*cosh(b*x + a)^6 + 6*b*x*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^5 + b*x*sinh(b*x +
a)^6 - b*x*cosh(b*x + a)^4 + (15*b*x*cosh(b*x + a)^2 - b*x)*sinh(b*x + a)^4 - b*x*cosh(b*x + a)^2 + 4*(5*b*x*c
osh(b*x + a)^3 - b*x*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + (15*b*x*cosh(b*x + a)^4 - 6*b*x*cosh(b*x + a)^2 - b*x)*s
inh(b*x + a)^2 + b*x + 2*(3*b*x*cosh(b*x + a)^5 - 2*b*x*cosh(b*x + a)^3 - b*x*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))*di
log(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a)) + (4*I*cosh(b*x + a)^6 + 24*I*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^5 + 4*I*sinh(b*x
+ a)^6 + (60*I*cosh(b*x + a)^2 - 4*I)*sinh(b*x + a)^4 - 4*I*cosh(b*x + a)^4 + (80*I*cosh(b*x + a)^3 - 16*I*cos
h(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + (60*I*cosh(b*x + a)^4 - 24*I*cosh(b*x + a)^2 - 4*I)*sinh(b*x + a)^2 - 4*I*cosh(b
*x + a)^2 + (24*I*cosh(b*x + a)^5 - 16*I*cosh(b*x + a)^3 - 8*I*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a) + 4*I)*dilog(I*cos
h(b*x + a) + I*sinh(b*x + a)) + (-4*I*cosh(b*x + a)^6 - 24*I*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^5 - 4*I*sinh(b*x + a)
^6 + (-60*I*cosh(b*x + a)^2 + 4*I)*sinh(b*x + a)^4 + 4*I*cosh(b*x + a)^4 + (-80*I*cosh(b*x + a)^3 + 16*I*cosh(
b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + (-60*I*cosh(b*x + a)^4 + 24*I*cosh(b*x + a)^2 + 4*I)*sinh(b*x + a)^2 + 4*I*cosh(b*
x + a)^2 + (-24*I*cosh(b*x + a)^5 + 16*I*cosh(b*x + a)^3 + 8*I*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a) - 4*I)*dilog(-I*co
sh(b*x + a) - I*sinh(b*x + a)) + 6*(b*x*cosh(b*x + a)^6 + 6*b*x*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^5 + b*x*sinh(b*x +
a)^6 - b*x*cosh(b*x + a)^4 + (15*b*x*cosh(b*x + a)^2 - b*x)*sinh(b*x + a)^4 - b*x*cosh(b*x + a)^2 + 4*(5*b*x*
cosh(b*x + a)^3 - b*x*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + (15*b*x*cosh(b*x + a)^4 - 6*b*x*cosh(b*x + a)^2 - b*x)*
sinh(b*x + a)^2 + b*x + 2*(3*b*x*cosh(b*x + a)^5 - 2*b*x*cosh(b*x + a)^3 - b*x*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))*d
ilog(-cosh(b*x + a) - sinh(b*x + a)) + ((3*b^2*x^2 - 2)*cosh(b*x + a)^6 + 6*(3*b^2*x^2 - 2)*cosh(b*x + a)*sinh
(b*x + a)^5 + (3*b^2*x^2 - 2)*sinh(b*x + a)^6 - (3*b^2*x^2 - 2)*cosh(b*x + a)^4 - (3*b^2*x^2 - 15*(3*b^2*x^2 -
2)*cosh(b*x + a)^2 - 2)*sinh(b*x + a)^4 + 3*b^2*x^2 + 4*(5*(3*b^2*x^2 - 2)*cosh(b*x + a)^3 - (3*b^2*x^2 - 2)*
cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 - (3*b^2*x^2 - 2)*cosh(b*x + a)^2 + (15*(3*b^2*x^2 - 2)*cosh(b*x + a)^4 - 3*b^2
*x^2 - 6*(3*b^2*x^2 - 2)*cosh(b*x + a)^2 + 2)*sinh(b*x + a)^2 + 2*(3*(3*b^2*x^2 - 2)*cosh(b*x + a)^5 - 2*(3*b^
2*x^2 - 2)*cosh(b*x + a)^3 - (3*b^2*x^2 - 2)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a) - 2)*log(cosh(b*x + a) + sinh(b*x +
a) + 1) + (-4*I*a*cosh(b*x + a)^6 - 24*I*a*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^5 - 4*I*a*sinh(b*x + a)^6 + 4*I*a*cosh(
b*x + a)^4 + (-60*I*a*cosh(b*x + a)^2 + 4*I*a)*sinh(b*x + a)^4 + (-80*I*a*cosh(b*x + a)^3 + 16*I*a*cosh(b*x +
a))*sinh(b*x + a)^3 + 4*I*a*cosh(b*x + a)^2 + (-60*I*a*cosh(b*x + a)^4 + 24*I*a*cosh(b*x + a)^2 + 4*I*a)*sinh(
b*x + a)^2 + (-24*I*a*cosh(b*x + a)^5 + 16*I*a*cosh(b*x + a)^3 + 8*I*a*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a) - 4*I*a)*l
og(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a) + I) + (4*I*a*cosh(b*x + a)^6 + 24*I*a*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^5 + 4*I*a*
sinh(b*x + a)^6 - 4*I*a*cosh(b*x + a)^4 + (60*I*a*cosh(b*x + a)^2 - 4*I*a)*sinh(b*x + a)^4 + (80*I*a*cosh(b*x
+ a)^3 - 16*I*a*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 - 4*I*a*cosh(b*x + a)^2 + (60*I*a*cosh(b*x + a)^4 - 24*I*a*cosh
(b*x + a)^2 - 4*I*a)*sinh(b*x + a)^2 + (24*I*a*cosh(b*x + a)^5 - 16*I*a*cosh(b*x + a)^3 - 8*I*a*cosh(b*x + a))
*sinh(b*x + a) + 4*I*a)*log(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a) - I) - ((3*a^2 - 2)*cosh(b*x + a)^6 + 6*(3*a^2 - 2)*
cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^5 + (3*a^2 - 2)*sinh(b*x + a)^6 - (3*a^2 - 2)*cosh(b*x + a)^4 + (15*(3*a^2 - 2)*co
sh(b*x + a)^2 - 3*a^2 + 2)*sinh(b*x + a)^4 + 4*(5*(3*a^2 - 2)*cosh(b*x + a)^3 - (3*a^2 - 2)*cosh(b*x + a))*sin
h(b*x + a)^3 - (3*a^2 - 2)*cosh(b*x + a)^2 + (15*(3*a^2 - 2)*cosh(b*x + a)^4 - 6*(3*a^2 - 2)*cosh(b*x + a)^2 -
3*a^2 + 2)*sinh(b*x + a)^2 + 3*a^2 + 2*(3*(3*a^2 - 2)*cosh(b*x + a)^5 - 2*(3*a^2 - 2)*cosh(b*x + a)^3 - (3*a^
2 - 2)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a) - 2)*log(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a) - 1) + ((-4*I*b*x - 4*I*a)*cosh(b*x
+ a)^6 + (-24*I*b*x - 24*I*a)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^5 + (-4*I*b*x - 4*I*a)*sinh(b*x + a)^6 + (4*I*b*x +
4*I*a)*cosh(b*x + a)^4 + ((-60*I*b*x - 60*I*a)*cosh(b*x + a)^2 + 4*I*b*x + 4*I*a)*sinh(b*x + a)^4 + ((-80*I*b
*x - 80*I*a)*cosh(b*x + a)^3 + (16*I*b*x + 16*I*a)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + (4*I*b*x + 4*I*a)*cosh(b*x
+ a)^2 + ((-60*I*b*x - 60*I*a)*cosh(b*x + a)^4 + (24*I*b*x + 24*I*a)*cosh(b*x + a)^2 + 4*I*b*x + 4*I*a)*sinh(
b*x + a)^2 - 4*I*b*x + ((-24*I*b*x - 24*I*a)*cosh(b*x + a)^5 + (16*I*b*x + 16*I*a)*cosh(b*x + a)^3 + (8*I*b*x
+ 8*I*a)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a) - 4*I*a)*log(I*cosh(b*x + a) + I*sinh(b*x + a) + 1) + ((4*I*b*x + 4*I*a)
*cosh(b*x + a)^6 + (24*I*b*x + 24*I*a)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^5 + (4*I*b*x + 4*I*a)*sinh(b*x + a)^6 + (-4
*I*b*x - 4*I*a)*cosh(b*x + a)^4 + ((60*I*b*x + 60*I*a)*cosh(b*x + a)^2 - 4*I*b*x - 4*I*a)*sinh(b*x + a)^4 + ((
80*I*b*x + 80*I*a)*cosh(b*x + a)^3 + (-16*I*b*x - 16*I*a)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + (-4*I*b*x - 4*I*a)*
cosh(b*x + a)^2 + ((60*I*b*x + 60*I*a)*cosh(b*x + a)^4 + (-24*I*b*x - 24*I*a)*cosh(b*x + a)^2 - 4*I*b*x - 4*I*
a)*sinh(b*x + a)^2 + 4*I*b*x + ((24*I*b*x + 24*I*a)*cosh(b*x + a)^5 + (-16*I*b*x - 16*I*a)*cosh(b*x + a)^3 + (
-8*I*b*x - 8*I*a)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a) + 4*I*a)*log(-I*cosh(b*x + a) - I*sinh(b*x + a) + 1) - 3*((b^2*
x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^6 + 6*(b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^5 + (b^2*x^2 - a^2)*sinh(b*x + a)^6
- (b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^4 - (b^2*x^2 - 15*(b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^2 - a^2)*sinh(b*x + a)^4 + b^
2*x^2 + 4*(5*(b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^3 - (b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 - (b^2*x^2 - a^2
)*cosh(b*x + a)^2 + (15*(b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^4 - b^2*x^2 - 6*(b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^2 + a^2)*s
inh(b*x + a)^2 - a^2 + 2*(3*(b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^5 - 2*(b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^3 - (b^2*x^2 - a
^2)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))*log(-cosh(b*x + a) - sinh(b*x + a) + 1) + 6*(cosh(b*x + a)^6 + 6*cosh(b*x +
a)*sinh(b*x + a)^5 + sinh(b*x + a)^6 + (15*cosh(b*x + a)^2 - 1)*sinh(b*x + a)^4 - cosh(b*x + a)^4 + 4*(5*cosh(
b*x + a)^3 - cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + (15*cosh(b*x + a)^4 - 6*cosh(b*x + a)^2 - 1)*sinh(b*x + a)^2 - c
osh(b*x + a)^2 + 2*(3*cosh(b*x + a)^5 - 2*cosh(b*x + a)^3 - cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a) + 1)*polylog(3, cosh(
b*x + a) + sinh(b*x + a)) - 6*(cosh(b*x + a)^6 + 6*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^5 + sinh(b*x + a)^6 + (15*cosh(
b*x + a)^2 - 1)*sinh(b*x + a)^4 - cosh(b*x + a)^4 + 4*(5*cosh(b*x + a)^3 - cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + (1
5*cosh(b*x + a)^4 - 6*cosh(b*x + a)^2 - 1)*sinh(b*x + a)^2 - cosh(b*x + a)^2 + 2*(3*cosh(b*x + a)^5 - 2*cosh(b
*x + a)^3 - cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a) + 1)*polylog(3, -cosh(b*x + a) - sinh(b*x + a)) + 2*(6*b^2*x^2*cosh(b
*x + a)^2 - 5*(3*b^2*x^2 + 2*b*x)*cosh(b*x + a)^4 - 3*b^2*x^2 + 2*b*x)*sinh(b*x + a))/(b^3*cosh(b*x + a)^6 + 6
*b^3*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^5 + b^3*sinh(b*x + a)^6 - b^3*cosh(b*x + a)^4 - b^3*cosh(b*x + a)^2 + (15*b^3
*cosh(b*x + a)^2 - b^3)*sinh(b*x + a)^4 + 4*(5*b^3*cosh(b*x + a)^3 - b^3*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + b^3
+ (15*b^3*cosh(b*x + a)^4 - 6*b^3*cosh(b*x + a)^2 - b^3)*sinh(b*x + a)^2 + 2*(3*b^3*cosh(b*x + a)^5 - 2*b^3*co
sh(b*x + a)^3 - b^3*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int x^{2} \operatorname{csch}^{3}{\left (a + b x \right )} \operatorname{sech}^{2}{\left (a + b x \right )}\, dx \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x**2*csch(b*x+a)**3*sech(b*x+a)**2,x)

[Out]

Integral(x**2*csch(a + b*x)**3*sech(a + b*x)**2, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int x^{2} \operatorname{csch}\left (b x + a\right )^{3} \operatorname{sech}\left (b x + a\right )^{2}\,{d x} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^2*csch(b*x+a)^3*sech(b*x+a)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(x^2*csch(b*x + a)^3*sech(b*x + a)^2, x)