### 3.515 $$\int x^3 \text{csch}^3(a+b x) \text{sech}^2(a+b x) \, dx$$

Optimal. Leaf size=317 $\frac{9 x^2 \text{PolyLog}\left (2,-e^{a+b x}\right )}{2 b^2}-\frac{9 x^2 \text{PolyLog}\left (2,e^{a+b x}\right )}{2 b^2}-\frac{6 i x \text{PolyLog}\left (2,-i e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{6 i x \text{PolyLog}\left (2,i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{9 x \text{PolyLog}\left (3,-e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{9 x \text{PolyLog}\left (3,e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 \text{PolyLog}\left (2,-e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{3 \text{PolyLog}\left (2,e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{6 i \text{PolyLog}\left (3,-i e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{6 i \text{PolyLog}\left (3,i e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{9 \text{PolyLog}\left (4,-e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{9 \text{PolyLog}\left (4,e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{6 x^2 \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{3 x^2 \text{csch}(a+b x)}{2 b^2}-\frac{6 x \tanh ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{3 x^3 \tanh ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}-\frac{3 x^3 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^3 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}$

[Out]

(6*x^2*ArcTan[E^(a + b*x)])/b^2 - (6*x*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b^3 + (3*x^3*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b - (3*x^2*Csc
h[a + b*x])/(2*b^2) - (3*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^4 + (9*x^2*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/(2*b^2) - ((6*I)*x*P
olyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 + ((6*I)*x*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^3 + (3*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^4 -
(9*x^2*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/(2*b^2) - (9*x*PolyLog[3, -E^(a + b*x)])/b^3 + ((6*I)*PolyLog[3, (-I)*E^(a +
b*x)])/b^4 - ((6*I)*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)])/b^4 + (9*x*PolyLog[3, E^(a + b*x)])/b^3 + (9*PolyLog[4, -E^(a +
b*x)])/b^4 - (9*PolyLog[4, E^(a + b*x)])/b^4 - (3*x^3*Sech[a + b*x])/(2*b) - (x^3*Csch[a + b*x]^2*Sech[a + b*
x])/(2*b)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 1.17728, antiderivative size = 317, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 40, number of rules used = 19, integrand size = 20, $$\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}$$ = 0.95, Rules used = {2622, 288, 321, 207, 5462, 14, 6273, 12, 4182, 2531, 6609, 2282, 6589, 6742, 4180, 2621, 5205, 2279, 2391} $\frac{9 x^2 \text{PolyLog}\left (2,-e^{a+b x}\right )}{2 b^2}-\frac{9 x^2 \text{PolyLog}\left (2,e^{a+b x}\right )}{2 b^2}-\frac{6 i x \text{PolyLog}\left (2,-i e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{6 i x \text{PolyLog}\left (2,i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{9 x \text{PolyLog}\left (3,-e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{9 x \text{PolyLog}\left (3,e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 \text{PolyLog}\left (2,-e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{3 \text{PolyLog}\left (2,e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{6 i \text{PolyLog}\left (3,-i e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{6 i \text{PolyLog}\left (3,i e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{9 \text{PolyLog}\left (4,-e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{9 \text{PolyLog}\left (4,e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{6 x^2 \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{3 x^2 \text{csch}(a+b x)}{2 b^2}-\frac{6 x \tanh ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{3 x^3 \tanh ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}-\frac{3 x^3 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^3 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Int[x^3*Csch[a + b*x]^3*Sech[a + b*x]^2,x]

[Out]

(6*x^2*ArcTan[E^(a + b*x)])/b^2 - (6*x*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b^3 + (3*x^3*ArcTanh[E^(a + b*x)])/b - (3*x^2*Csc
h[a + b*x])/(2*b^2) - (3*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/b^4 + (9*x^2*PolyLog[2, -E^(a + b*x)])/(2*b^2) - ((6*I)*x*P
olyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 + ((6*I)*x*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^3 + (3*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/b^4 -
(9*x^2*PolyLog[2, E^(a + b*x)])/(2*b^2) - (9*x*PolyLog[3, -E^(a + b*x)])/b^3 + ((6*I)*PolyLog[3, (-I)*E^(a +
b*x)])/b^4 - ((6*I)*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)])/b^4 + (9*x*PolyLog[3, E^(a + b*x)])/b^3 + (9*PolyLog[4, -E^(a +
b*x)])/b^4 - (9*PolyLog[4, E^(a + b*x)])/b^4 - (3*x^3*Sech[a + b*x])/(2*b) - (x^3*Csch[a + b*x]^2*Sech[a + b*
x])/(2*b)

Rule 2622

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.)*((a_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Dist[1/(f*a^n), Subst[Int
[x^(m + n - 1)/(-1 + x^2/a^2)^((n + 1)/2), x], x, a*Sec[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, e, f, m}, x] && IntegerQ[(n
+ 1)/2] &&  !(IntegerQ[(m + 1)/2] && LtQ[0, m, n])

Rule 288

Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c^(n - 1)*(c*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^
n)^(p + 1))/(b*n*(p + 1)), x] - Dist[(c^n*(m - n + 1))/(b*n*(p + 1)), Int[(c*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^(p + 1), x
], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m + 1, n] &&  !ILtQ[(m + n*(p + 1) + 1)/n, 0]
&& IntBinomialQ[a, b, c, n, m, p, x]

Rule 321

Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c^(n - 1)*(c*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^n
)^(p + 1))/(b*(m + n*p + 1)), x] - Dist[(a*c^n*(m - n + 1))/(b*(m + n*p + 1)), Int[(c*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^p
, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m, n - 1] && NeQ[m + n*p + 1, 0] && IntBinomialQ[a, b,
c, n, m, p, x]

Rule 207

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> -Simp[ArcTanh[(Rt[b, 2]*x)/Rt[-a, 2]]/(Rt[-a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (LtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rule 5462

Int[Csch[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sech[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Wit
h[{u = IntHide[Csch[a + b*x]^n*Sech[a + b*x]^p, x]}, Dist[(c + d*x)^m, u, x] - Dist[d*m, Int[(c + d*x)^(m - 1)
*u, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IntegersQ[n, p] && GtQ[m, 0] && NeQ[n, p]

Rule 14

Int[(u_)*((c_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(c*x)^m*u, x], x] /; FreeQ[{c, m}, x] && SumQ[u]
&&  !LinearQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (a_) + (b_.)*(v_) /; FreeQ[{a, b}, x] && InverseFunctionQ[v]]

Rule 6273

Int[((a_.) + ArcTanh[u_]*(b_.))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^(m + 1)*(a + b*ArcTan
h[u]))/(d*(m + 1)), x] - Dist[b/(d*(m + 1)), Int[SimplifyIntegrand[((c + d*x)^(m + 1)*D[u, x])/(1 - u^2), x],
x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !FunctionOfQ[(c + d*x)^(m
+ 1), u, x] && FalseQ[PowerVariableExpn[u, m + 1, x]]

Rule 12

Int[(a_)*(u_), x_Symbol] :> Dist[a, Int[u, x], x] /; FreeQ[a, x] &&  !MatchQ[u, (b_)*(v_) /; FreeQ[b, x]]

Rule 4182

Int[csc[(e_.) + (Complex[0, fz_])*(f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c + d*x)^m*Ar
cTanh[E^(-(I*e) + f*fz*x)])/(f*fz*I), x] + (-Dist[(d*m)/(f*fz*I), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(-(I*e) + f*
fz*x)], x], x] + Dist[(d*m)/(f*fz*I), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(-(I*e) + f*fz*x)], x], x]) /; FreeQ[{c,
d, e, f, fz}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 6609

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[((e + f*x)^m*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]), x] - Dist[(f*m)/(b*c*p*Log[F]), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rule 6742

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = ExpandIntegrand[u, x]}, Int[v, x] /; SumQ[v]]

Rule 4180

Int[csc[(e_.) + Pi*(k_.) + (Complex[0, fz_])*(f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c
+ d*x)^m*ArcTanh[E^(-(I*e) + f*fz*x)/E^(I*k*Pi)])/(f*fz*I), x] + (-Dist[(d*m)/(f*fz*I), Int[(c + d*x)^(m - 1)*
Log[1 - E^(-(I*e) + f*fz*x)/E^(I*k*Pi)], x], x] + Dist[(d*m)/(f*fz*I), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(-(I*e)
+ f*fz*x)/E^(I*k*Pi)], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e, f, fz}, x] && IntegerQ[2*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 2621

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> -Dist[(f*a^n)^(-1), Subst
[Int[x^(m + n - 1)/(-1 + x^2/a^2)^((n + 1)/2), x], x, a*Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, e, f, m}, x] && Integer
Q[(n + 1)/2] &&  !(IntegerQ[(m + 1)/2] && LtQ[0, m, n])

Rule 5205

Int[((a_.) + ArcTan[u_]*(b_.))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^(m + 1)*(a + b*ArcTan[
u]))/(d*(m + 1)), x] - Dist[b/(d*(m + 1)), Int[SimplifyIntegrand[((c + d*x)^(m + 1)*D[u, x])/(1 + u^2), x], x]
, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !FunctionOfQ[(c + d*x)^(m +
1), u, x] && FalseQ[PowerVariableExpn[u, m + 1, x]]

Rule 2279

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2391

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, -(c*e*x^n)]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rubi steps

\begin{align*} \int x^3 \text{csch}^3(a+b x) \text{sech}^2(a+b x) \, dx &=\frac{3 x^3 \tanh ^{-1}(\cosh (a+b x))}{2 b}-\frac{3 x^3 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^3 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}-3 \int x^2 \left (\frac{3 \tanh ^{-1}(\cosh (a+b x))}{2 b}-\frac{3 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{\text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}\right ) \, dx\\ &=\frac{3 x^3 \tanh ^{-1}(\cosh (a+b x))}{2 b}-\frac{3 x^3 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^3 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}-3 \int \left (\frac{3 x^2 \tanh ^{-1}(\cosh (a+b x))}{2 b}-\frac{x^2 \left (3+\text{csch}^2(a+b x)\right ) \text{sech}(a+b x)}{2 b}\right ) \, dx\\ &=\frac{3 x^3 \tanh ^{-1}(\cosh (a+b x))}{2 b}-\frac{3 x^3 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^3 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}+\frac{3 \int x^2 \left (3+\text{csch}^2(a+b x)\right ) \text{sech}(a+b x) \, dx}{2 b}-\frac{9 \int x^2 \tanh ^{-1}(\cosh (a+b x)) \, dx}{2 b}\\ &=-\frac{3 x^3 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^3 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{3 \int b x^3 \text{csch}(a+b x) \, dx}{2 b}+\frac{3 \int \left (3 x^2 \text{sech}(a+b x)+x^2 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)\right ) \, dx}{2 b}\\ &=-\frac{3 x^3 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^3 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{3}{2} \int x^3 \text{csch}(a+b x) \, dx+\frac{3 \int x^2 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x) \, dx}{2 b}+\frac{9 \int x^2 \text{sech}(a+b x) \, dx}{2 b}\\ &=\frac{9 x^2 \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{3 x^2 \tan ^{-1}(\sinh (a+b x))}{2 b^2}+\frac{3 x^3 \tanh ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}-\frac{3 x^2 \text{csch}(a+b x)}{2 b^2}-\frac{3 x^3 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^3 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{(9 i) \int x \log \left (1-i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{(9 i) \int x \log \left (1+i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^2}-\frac{3 \int x \left (-\frac{\tan ^{-1}(\sinh (a+b x))}{b}-\frac{\text{csch}(a+b x)}{b}\right ) \, dx}{b}+\frac{9 \int x^2 \log \left (1-e^{a+b x}\right ) \, dx}{2 b}-\frac{9 \int x^2 \log \left (1+e^{a+b x}\right ) \, dx}{2 b}\\ &=\frac{9 x^2 \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{3 x^2 \tan ^{-1}(\sinh (a+b x))}{2 b^2}+\frac{3 x^3 \tanh ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}-\frac{3 x^2 \text{csch}(a+b x)}{2 b^2}+\frac{9 x^2 \text{Li}_2\left (-e^{a+b x}\right )}{2 b^2}-\frac{9 i x \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{9 i x \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{9 x^2 \text{Li}_2\left (e^{a+b x}\right )}{2 b^2}-\frac{3 x^3 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^3 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}+\frac{(9 i) \int \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^3}-\frac{(9 i) \int \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^3}-\frac{9 \int x \text{Li}_2\left (-e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{9 \int x \text{Li}_2\left (e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^2}-\frac{3 \int \left (-\frac{x \tan ^{-1}(\sinh (a+b x))}{b}-\frac{x \text{csch}(a+b x)}{b}\right ) \, dx}{b}\\ &=\frac{9 x^2 \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{3 x^2 \tan ^{-1}(\sinh (a+b x))}{2 b^2}+\frac{3 x^3 \tanh ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}-\frac{3 x^2 \text{csch}(a+b x)}{2 b^2}+\frac{9 x^2 \text{Li}_2\left (-e^{a+b x}\right )}{2 b^2}-\frac{9 i x \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{9 i x \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{9 x^2 \text{Li}_2\left (e^{a+b x}\right )}{2 b^2}-\frac{9 x \text{Li}_3\left (-e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{9 x \text{Li}_3\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 x^3 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^3 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}+\frac{(9 i) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(-i x)}{x} \, dx,x,e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{(9 i) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(i x)}{x} \, dx,x,e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{9 \int \text{Li}_3\left (-e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^3}-\frac{9 \int \text{Li}_3\left (e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^3}+\frac{3 \int x \tan ^{-1}(\sinh (a+b x)) \, dx}{b^2}+\frac{3 \int x \text{csch}(a+b x) \, dx}{b^2}\\ &=\frac{9 x^2 \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{6 x \tanh ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{3 x^3 \tanh ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}-\frac{3 x^2 \text{csch}(a+b x)}{2 b^2}+\frac{9 x^2 \text{Li}_2\left (-e^{a+b x}\right )}{2 b^2}-\frac{9 i x \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{9 i x \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{9 x^2 \text{Li}_2\left (e^{a+b x}\right )}{2 b^2}-\frac{9 x \text{Li}_3\left (-e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{9 i \text{Li}_3\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{9 i \text{Li}_3\left (i e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{9 x \text{Li}_3\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 x^3 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^3 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}+\frac{9 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(-x)}{x} \, dx,x,e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{9 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(x)}{x} \, dx,x,e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{3 \int \log \left (1-e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^3}+\frac{3 \int \log \left (1+e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^3}-\frac{3 \int b x^2 \text{sech}(a+b x) \, dx}{2 b^2}\\ &=\frac{9 x^2 \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{6 x \tanh ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{3 x^3 \tanh ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}-\frac{3 x^2 \text{csch}(a+b x)}{2 b^2}+\frac{9 x^2 \text{Li}_2\left (-e^{a+b x}\right )}{2 b^2}-\frac{9 i x \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{9 i x \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{9 x^2 \text{Li}_2\left (e^{a+b x}\right )}{2 b^2}-\frac{9 x \text{Li}_3\left (-e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{9 i \text{Li}_3\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{9 i \text{Li}_3\left (i e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{9 x \text{Li}_3\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{9 \text{Li}_4\left (-e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{9 \text{Li}_4\left (e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{3 x^3 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^3 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{3 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1-x)}{x} \, dx,x,e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{3 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1+x)}{x} \, dx,x,e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{3 \int x^2 \text{sech}(a+b x) \, dx}{2 b}\\ &=\frac{6 x^2 \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{6 x \tanh ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{3 x^3 \tanh ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}-\frac{3 x^2 \text{csch}(a+b x)}{2 b^2}-\frac{3 \text{Li}_2\left (-e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{9 x^2 \text{Li}_2\left (-e^{a+b x}\right )}{2 b^2}-\frac{9 i x \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{9 i x \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{3 \text{Li}_2\left (e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{9 x^2 \text{Li}_2\left (e^{a+b x}\right )}{2 b^2}-\frac{9 x \text{Li}_3\left (-e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{9 i \text{Li}_3\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{9 i \text{Li}_3\left (i e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{9 x \text{Li}_3\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{9 \text{Li}_4\left (-e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{9 \text{Li}_4\left (e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{3 x^3 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^3 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}+\frac{(3 i) \int x \log \left (1-i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^2}-\frac{(3 i) \int x \log \left (1+i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^2}\\ &=\frac{6 x^2 \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{6 x \tanh ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{3 x^3 \tanh ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}-\frac{3 x^2 \text{csch}(a+b x)}{2 b^2}-\frac{3 \text{Li}_2\left (-e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{9 x^2 \text{Li}_2\left (-e^{a+b x}\right )}{2 b^2}-\frac{6 i x \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{6 i x \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{3 \text{Li}_2\left (e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{9 x^2 \text{Li}_2\left (e^{a+b x}\right )}{2 b^2}-\frac{9 x \text{Li}_3\left (-e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{9 i \text{Li}_3\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{9 i \text{Li}_3\left (i e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{9 x \text{Li}_3\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{9 \text{Li}_4\left (-e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{9 \text{Li}_4\left (e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{3 x^3 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^3 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{(3 i) \int \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^3}+\frac{(3 i) \int \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^3}\\ &=\frac{6 x^2 \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{6 x \tanh ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{3 x^3 \tanh ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}-\frac{3 x^2 \text{csch}(a+b x)}{2 b^2}-\frac{3 \text{Li}_2\left (-e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{9 x^2 \text{Li}_2\left (-e^{a+b x}\right )}{2 b^2}-\frac{6 i x \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{6 i x \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{3 \text{Li}_2\left (e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{9 x^2 \text{Li}_2\left (e^{a+b x}\right )}{2 b^2}-\frac{9 x \text{Li}_3\left (-e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{9 i \text{Li}_3\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{9 i \text{Li}_3\left (i e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{9 x \text{Li}_3\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{9 \text{Li}_4\left (-e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{9 \text{Li}_4\left (e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{3 x^3 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^3 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{(3 i) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(-i x)}{x} \, dx,x,e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{(3 i) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(i x)}{x} \, dx,x,e^{a+b x}\right )}{b^4}\\ &=\frac{6 x^2 \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{6 x \tanh ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{3 x^3 \tanh ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}-\frac{3 x^2 \text{csch}(a+b x)}{2 b^2}-\frac{3 \text{Li}_2\left (-e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{9 x^2 \text{Li}_2\left (-e^{a+b x}\right )}{2 b^2}-\frac{6 i x \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{6 i x \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{3 \text{Li}_2\left (e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{9 x^2 \text{Li}_2\left (e^{a+b x}\right )}{2 b^2}-\frac{9 x \text{Li}_3\left (-e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{6 i \text{Li}_3\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{6 i \text{Li}_3\left (i e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{9 x \text{Li}_3\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{9 \text{Li}_4\left (-e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{9 \text{Li}_4\left (e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{3 x^3 \text{sech}(a+b x)}{2 b}-\frac{x^3 \text{csch}^2(a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 8.26819, size = 433, normalized size = 1.37 $\frac{3 i \left (-2 b x \text{PolyLog}\left (2,-i e^{a+b x}\right )+2 b x \text{PolyLog}\left (2,i e^{a+b x}\right )+2 \text{PolyLog}\left (3,-i e^{a+b x}\right )-2 \text{PolyLog}\left (3,i e^{a+b x}\right )+b^2 x^2 \log \left (1-i e^{a+b x}\right )-b^2 x^2 \log \left (1+i e^{a+b x}\right )\right )}{b^4}-\frac{3 \left (\left (2-3 b^2 x^2\right ) \text{PolyLog}\left (2,-e^{a+b x}\right )+\left (3 b^2 x^2-2\right ) \text{PolyLog}\left (2,e^{a+b x}\right )+6 b x \text{PolyLog}\left (3,-e^{a+b x}\right )-6 b x \text{PolyLog}\left (3,e^{a+b x}\right )-6 \text{PolyLog}\left (4,-e^{a+b x}\right )+6 \text{PolyLog}\left (4,e^{a+b x}\right )+b^3 x^3 \log \left (1-e^{a+b x}\right )-b^3 x^3 \log \left (e^{a+b x}+1\right )-2 b x \log \left (1-e^{a+b x}\right )+2 b x \log \left (e^{a+b x}+1\right )\right )}{2 b^4}-\frac{3 x^2 \text{csch}(a)}{2 b^2}+\frac{3 x^2 \text{csch}\left (\frac{a}{2}\right ) \sinh \left (\frac{b x}{2}\right ) \text{csch}\left (\frac{a}{2}+\frac{b x}{2}\right )}{4 b^2}+\frac{3 x^2 \text{sech}\left (\frac{a}{2}\right ) \sinh \left (\frac{b x}{2}\right ) \text{sech}\left (\frac{a}{2}+\frac{b x}{2}\right )}{4 b^2}-\frac{x^3 \text{csch}^2\left (\frac{a}{2}+\frac{b x}{2}\right )}{8 b}-\frac{x^3 \text{sech}^2\left (\frac{a}{2}+\frac{b x}{2}\right )}{8 b}-\frac{x^3 \text{sech}(a+b x)}{b}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Integrate[x^3*Csch[a + b*x]^3*Sech[a + b*x]^2,x]

[Out]

(-3*x^2*Csch[a])/(2*b^2) - (x^3*Csch[a/2 + (b*x)/2]^2)/(8*b) + ((3*I)*(b^2*x^2*Log[1 - I*E^(a + b*x)] - b^2*x^
2*Log[1 + I*E^(a + b*x)] - 2*b*x*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)] + 2*b*x*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)] + 2*PolyLog[3,
(-I)*E^(a + b*x)] - 2*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)]))/b^4 - (3*(-2*b*x*Log[1 - E^(a + b*x)] + b^3*x^3*Log[1 - E^(
a + b*x)] + 2*b*x*Log[1 + E^(a + b*x)] - b^3*x^3*Log[1 + E^(a + b*x)] + (2 - 3*b^2*x^2)*PolyLog[2, -E^(a + b*x
)] + (-2 + 3*b^2*x^2)*PolyLog[2, E^(a + b*x)] + 6*b*x*PolyLog[3, -E^(a + b*x)] - 6*b*x*PolyLog[3, E^(a + b*x)]
- 6*PolyLog[4, -E^(a + b*x)] + 6*PolyLog[4, E^(a + b*x)]))/(2*b^4) - (x^3*Sech[a/2 + (b*x)/2]^2)/(8*b) - (x^3
*Sech[a + b*x])/b + (3*x^2*Csch[a/2]*Csch[a/2 + (b*x)/2]*Sinh[(b*x)/2])/(4*b^2) + (3*x^2*Sech[a/2]*Sech[a/2 +
(b*x)/2]*Sinh[(b*x)/2])/(4*b^2)

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.441, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{x}^{3} \left ({\rm csch} \left (bx+a\right ) \right ) ^{3} \left ({\rm sech} \left (bx+a\right ) \right ) ^{2}\, dx \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(x^3*csch(b*x+a)^3*sech(b*x+a)^2,x)

[Out]

int(x^3*csch(b*x+a)^3*sech(b*x+a)^2,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \frac{2 \, b x^{3} e^{\left (3 \, b x + 3 \, a\right )} - 3 \,{\left (b x^{3} e^{\left (5 \, a\right )} + x^{2} e^{\left (5 \, a\right )}\right )} e^{\left (5 \, b x\right )} - 3 \,{\left (b x^{3} e^{a} - x^{2} e^{a}\right )} e^{\left (b x\right )}}{b^{2} e^{\left (6 \, b x + 6 \, a\right )} - b^{2} e^{\left (4 \, b x + 4 \, a\right )} - b^{2} e^{\left (2 \, b x + 2 \, a\right )} + b^{2}} + \frac{3 \,{\left (b^{3} x^{3} \log \left (e^{\left (b x + a\right )} + 1\right ) + 3 \, b^{2} x^{2}{\rm Li}_2\left (-e^{\left (b x + a\right )}\right ) - 6 \, b x{\rm Li}_{3}(-e^{\left (b x + a\right )}) + 6 \,{\rm Li}_{4}(-e^{\left (b x + a\right )})\right )}}{2 \, b^{4}} - \frac{3 \,{\left (b^{3} x^{3} \log \left (-e^{\left (b x + a\right )} + 1\right ) + 3 \, b^{2} x^{2}{\rm Li}_2\left (e^{\left (b x + a\right )}\right ) - 6 \, b x{\rm Li}_{3}(e^{\left (b x + a\right )}) + 6 \,{\rm Li}_{4}(e^{\left (b x + a\right )})\right )}}{2 \, b^{4}} - \frac{3 \,{\left (b x \log \left (e^{\left (b x + a\right )} + 1\right ) +{\rm Li}_2\left (-e^{\left (b x + a\right )}\right )\right )}}{b^{4}} + \frac{3 \,{\left (b x \log \left (-e^{\left (b x + a\right )} + 1\right ) +{\rm Li}_2\left (e^{\left (b x + a\right )}\right )\right )}}{b^{4}} + 96 \, \int \frac{x^{2} e^{\left (b x + a\right )}}{16 \,{\left (b e^{\left (2 \, b x + 2 \, a\right )} + b\right )}}\,{d x} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3*csch(b*x+a)^3*sech(b*x+a)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

(2*b*x^3*e^(3*b*x + 3*a) - 3*(b*x^3*e^(5*a) + x^2*e^(5*a))*e^(5*b*x) - 3*(b*x^3*e^a - x^2*e^a)*e^(b*x))/(b^2*e
^(6*b*x + 6*a) - b^2*e^(4*b*x + 4*a) - b^2*e^(2*b*x + 2*a) + b^2) + 3/2*(b^3*x^3*log(e^(b*x + a) + 1) + 3*b^2*
x^2*dilog(-e^(b*x + a)) - 6*b*x*polylog(3, -e^(b*x + a)) + 6*polylog(4, -e^(b*x + a)))/b^4 - 3/2*(b^3*x^3*log(
-e^(b*x + a) + 1) + 3*b^2*x^2*dilog(e^(b*x + a)) - 6*b*x*polylog(3, e^(b*x + a)) + 6*polylog(4, e^(b*x + a)))/
b^4 - 3*(b*x*log(e^(b*x + a) + 1) + dilog(-e^(b*x + a)))/b^4 + 3*(b*x*log(-e^(b*x + a) + 1) + dilog(e^(b*x + a
)))/b^4 + 96*integrate(1/16*x^2*e^(b*x + a)/(b*e^(2*b*x + 2*a) + b), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 3.40904, size = 14033, normalized size = 44.27 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3*csch(b*x+a)^3*sech(b*x+a)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/2*(4*b^3*x^3*cosh(b*x + a)^3 - 6*(b^3*x^3 + b^2*x^2)*cosh(b*x + a)^5 - 30*(b^3*x^3 + b^2*x^2)*cosh(b*x + a)*
sinh(b*x + a)^4 - 6*(b^3*x^3 + b^2*x^2)*sinh(b*x + a)^5 + 4*(b^3*x^3 - 15*(b^3*x^3 + b^2*x^2)*cosh(b*x + a)^2)
*sinh(b*x + a)^3 + 12*(b^3*x^3*cosh(b*x + a) - 5*(b^3*x^3 + b^2*x^2)*cosh(b*x + a)^3)*sinh(b*x + a)^2 - 6*(b^3
*x^3 - b^2*x^2)*cosh(b*x + a) - 3*((3*b^2*x^2 - 2)*cosh(b*x + a)^6 + 6*(3*b^2*x^2 - 2)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x
+ a)^5 + (3*b^2*x^2 - 2)*sinh(b*x + a)^6 - (3*b^2*x^2 - 2)*cosh(b*x + a)^4 - (3*b^2*x^2 - 15*(3*b^2*x^2 - 2)*c
osh(b*x + a)^2 - 2)*sinh(b*x + a)^4 + 3*b^2*x^2 + 4*(5*(3*b^2*x^2 - 2)*cosh(b*x + a)^3 - (3*b^2*x^2 - 2)*cosh(
b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 - (3*b^2*x^2 - 2)*cosh(b*x + a)^2 + (15*(3*b^2*x^2 - 2)*cosh(b*x + a)^4 - 3*b^2*x^2
- 6*(3*b^2*x^2 - 2)*cosh(b*x + a)^2 + 2)*sinh(b*x + a)^2 + 2*(3*(3*b^2*x^2 - 2)*cosh(b*x + a)^5 - 2*(3*b^2*x^2
- 2)*cosh(b*x + a)^3 - (3*b^2*x^2 - 2)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a) - 2)*dilog(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a))
+ (12*I*b*x*cosh(b*x + a)^6 + 72*I*b*x*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^5 + 12*I*b*x*sinh(b*x + a)^6 - 12*I*b*x*co
sh(b*x + a)^4 + (180*I*b*x*cosh(b*x + a)^2 - 12*I*b*x)*sinh(b*x + a)^4 - 12*I*b*x*cosh(b*x + a)^2 + (240*I*b*x
*cosh(b*x + a)^3 - 48*I*b*x*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + (180*I*b*x*cosh(b*x + a)^4 - 72*I*b*x*cosh(b*x +
a)^2 - 12*I*b*x)*sinh(b*x + a)^2 + 12*I*b*x + (72*I*b*x*cosh(b*x + a)^5 - 48*I*b*x*cosh(b*x + a)^3 - 24*I*b*x*
cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))*dilog(I*cosh(b*x + a) + I*sinh(b*x + a)) + (-12*I*b*x*cosh(b*x + a)^6 - 72*I*b*x
*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^5 - 12*I*b*x*sinh(b*x + a)^6 + 12*I*b*x*cosh(b*x + a)^4 + (-180*I*b*x*cosh(b*x +
a)^2 + 12*I*b*x)*sinh(b*x + a)^4 + 12*I*b*x*cosh(b*x + a)^2 + (-240*I*b*x*cosh(b*x + a)^3 + 48*I*b*x*cosh(b*x
+ a))*sinh(b*x + a)^3 + (-180*I*b*x*cosh(b*x + a)^4 + 72*I*b*x*cosh(b*x + a)^2 + 12*I*b*x)*sinh(b*x + a)^2 - 1
2*I*b*x + (-72*I*b*x*cosh(b*x + a)^5 + 48*I*b*x*cosh(b*x + a)^3 + 24*I*b*x*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))*dilog
(-I*cosh(b*x + a) - I*sinh(b*x + a)) + 3*((3*b^2*x^2 - 2)*cosh(b*x + a)^6 + 6*(3*b^2*x^2 - 2)*cosh(b*x + a)*si
nh(b*x + a)^5 + (3*b^2*x^2 - 2)*sinh(b*x + a)^6 - (3*b^2*x^2 - 2)*cosh(b*x + a)^4 - (3*b^2*x^2 - 15*(3*b^2*x^2
- 2)*cosh(b*x + a)^2 - 2)*sinh(b*x + a)^4 + 3*b^2*x^2 + 4*(5*(3*b^2*x^2 - 2)*cosh(b*x + a)^3 - (3*b^2*x^2 - 2
)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 - (3*b^2*x^2 - 2)*cosh(b*x + a)^2 + (15*(3*b^2*x^2 - 2)*cosh(b*x + a)^4 - 3*b
^2*x^2 - 6*(3*b^2*x^2 - 2)*cosh(b*x + a)^2 + 2)*sinh(b*x + a)^2 + 2*(3*(3*b^2*x^2 - 2)*cosh(b*x + a)^5 - 2*(3*
b^2*x^2 - 2)*cosh(b*x + a)^3 - (3*b^2*x^2 - 2)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a) - 2)*dilog(-cosh(b*x + a) - sinh(b
*x + a)) + 3*((b^3*x^3 - 2*b*x)*cosh(b*x + a)^6 + 6*(b^3*x^3 - 2*b*x)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^5 + (b^3*x^3
- 2*b*x)*sinh(b*x + a)^6 + b^3*x^3 - (b^3*x^3 - 2*b*x)*cosh(b*x + a)^4 - (b^3*x^3 - 15*(b^3*x^3 - 2*b*x)*cosh
(b*x + a)^2 - 2*b*x)*sinh(b*x + a)^4 + 4*(5*(b^3*x^3 - 2*b*x)*cosh(b*x + a)^3 - (b^3*x^3 - 2*b*x)*cosh(b*x + a
))*sinh(b*x + a)^3 - (b^3*x^3 - 2*b*x)*cosh(b*x + a)^2 - (b^3*x^3 - 15*(b^3*x^3 - 2*b*x)*cosh(b*x + a)^4 + 6*(
b^3*x^3 - 2*b*x)*cosh(b*x + a)^2 - 2*b*x)*sinh(b*x + a)^2 - 2*b*x + 2*(3*(b^3*x^3 - 2*b*x)*cosh(b*x + a)^5 - 2
*(b^3*x^3 - 2*b*x)*cosh(b*x + a)^3 - (b^3*x^3 - 2*b*x)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))*log(cosh(b*x + a) + sinh(
b*x + a) + 1) + (6*I*a^2*cosh(b*x + a)^6 + 36*I*a^2*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^5 + 6*I*a^2*sinh(b*x + a)^6 -
6*I*a^2*cosh(b*x + a)^4 + (90*I*a^2*cosh(b*x + a)^2 - 6*I*a^2)*sinh(b*x + a)^4 - 6*I*a^2*cosh(b*x + a)^2 + (12
0*I*a^2*cosh(b*x + a)^3 - 24*I*a^2*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + (90*I*a^2*cosh(b*x + a)^4 - 36*I*a^2*cosh(
b*x + a)^2 - 6*I*a^2)*sinh(b*x + a)^2 + 6*I*a^2 + (36*I*a^2*cosh(b*x + a)^5 - 24*I*a^2*cosh(b*x + a)^3 - 12*I*
a^2*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))*log(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a) + I) + (-6*I*a^2*cosh(b*x + a)^6 - 36*I*a^
2*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^5 - 6*I*a^2*sinh(b*x + a)^6 + 6*I*a^2*cosh(b*x + a)^4 + (-90*I*a^2*cosh(b*x + a)
^2 + 6*I*a^2)*sinh(b*x + a)^4 + 6*I*a^2*cosh(b*x + a)^2 + (-120*I*a^2*cosh(b*x + a)^3 + 24*I*a^2*cosh(b*x + a)
)*sinh(b*x + a)^3 + (-90*I*a^2*cosh(b*x + a)^4 + 36*I*a^2*cosh(b*x + a)^2 + 6*I*a^2)*sinh(b*x + a)^2 - 6*I*a^2
+ (-36*I*a^2*cosh(b*x + a)^5 + 24*I*a^2*cosh(b*x + a)^3 + 12*I*a^2*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))*log(cosh(b*x
+ a) + sinh(b*x + a) - I) + 3*((a^3 - 2*a)*cosh(b*x + a)^6 + 6*(a^3 - 2*a)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^5 + (a
^3 - 2*a)*sinh(b*x + a)^6 - (a^3 - 2*a)*cosh(b*x + a)^4 - (a^3 - 15*(a^3 - 2*a)*cosh(b*x + a)^2 - 2*a)*sinh(b*
x + a)^4 + 4*(5*(a^3 - 2*a)*cosh(b*x + a)^3 - (a^3 - 2*a)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + a^3 - (a^3 - 2*a)*c
osh(b*x + a)^2 + (15*(a^3 - 2*a)*cosh(b*x + a)^4 - a^3 - 6*(a^3 - 2*a)*cosh(b*x + a)^2 + 2*a)*sinh(b*x + a)^2
+ 2*(3*(a^3 - 2*a)*cosh(b*x + a)^5 - 2*(a^3 - 2*a)*cosh(b*x + a)^3 - (a^3 - 2*a)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)
- 2*a)*log(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a) - 1) + ((-6*I*b^2*x^2 + 6*I*a^2)*cosh(b*x + a)^6 + (-36*I*b^2*x^2 + 3
6*I*a^2)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^5 + (-6*I*b^2*x^2 + 6*I*a^2)*sinh(b*x + a)^6 + (6*I*b^2*x^2 - 6*I*a^2)*co
sh(b*x + a)^4 + (6*I*b^2*x^2 + (-90*I*b^2*x^2 + 90*I*a^2)*cosh(b*x + a)^2 - 6*I*a^2)*sinh(b*x + a)^4 - 6*I*b^2
*x^2 + ((-120*I*b^2*x^2 + 120*I*a^2)*cosh(b*x + a)^3 + (24*I*b^2*x^2 - 24*I*a^2)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^
3 + (6*I*b^2*x^2 - 6*I*a^2)*cosh(b*x + a)^2 + ((-90*I*b^2*x^2 + 90*I*a^2)*cosh(b*x + a)^4 + 6*I*b^2*x^2 + (36*
I*b^2*x^2 - 36*I*a^2)*cosh(b*x + a)^2 - 6*I*a^2)*sinh(b*x + a)^2 + 6*I*a^2 + ((-36*I*b^2*x^2 + 36*I*a^2)*cosh(
b*x + a)^5 + (24*I*b^2*x^2 - 24*I*a^2)*cosh(b*x + a)^3 + (12*I*b^2*x^2 - 12*I*a^2)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a
))*log(I*cosh(b*x + a) + I*sinh(b*x + a) + 1) + ((6*I*b^2*x^2 - 6*I*a^2)*cosh(b*x + a)^6 + (36*I*b^2*x^2 - 36*
I*a^2)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^5 + (6*I*b^2*x^2 - 6*I*a^2)*sinh(b*x + a)^6 + (-6*I*b^2*x^2 + 6*I*a^2)*cosh
(b*x + a)^4 + (-6*I*b^2*x^2 + (90*I*b^2*x^2 - 90*I*a^2)*cosh(b*x + a)^2 + 6*I*a^2)*sinh(b*x + a)^4 + 6*I*b^2*x
^2 + ((120*I*b^2*x^2 - 120*I*a^2)*cosh(b*x + a)^3 + (-24*I*b^2*x^2 + 24*I*a^2)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3
+ (-6*I*b^2*x^2 + 6*I*a^2)*cosh(b*x + a)^2 + ((90*I*b^2*x^2 - 90*I*a^2)*cosh(b*x + a)^4 - 6*I*b^2*x^2 + (-36*I
*b^2*x^2 + 36*I*a^2)*cosh(b*x + a)^2 + 6*I*a^2)*sinh(b*x + a)^2 - 6*I*a^2 + ((36*I*b^2*x^2 - 36*I*a^2)*cosh(b*
x + a)^5 + (-24*I*b^2*x^2 + 24*I*a^2)*cosh(b*x + a)^3 + (-12*I*b^2*x^2 + 12*I*a^2)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a
))*log(-I*cosh(b*x + a) - I*sinh(b*x + a) + 1) - 3*((b^3*x^3 + a^3 - 2*b*x - 2*a)*cosh(b*x + a)^6 + 6*(b^3*x^3
+ a^3 - 2*b*x - 2*a)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^5 + (b^3*x^3 + a^3 - 2*b*x - 2*a)*sinh(b*x + a)^6 + b^3*x^3
- (b^3*x^3 + a^3 - 2*b*x - 2*a)*cosh(b*x + a)^4 - (b^3*x^3 + a^3 - 15*(b^3*x^3 + a^3 - 2*b*x - 2*a)*cosh(b*x +
a)^2 - 2*b*x - 2*a)*sinh(b*x + a)^4 + 4*(5*(b^3*x^3 + a^3 - 2*b*x - 2*a)*cosh(b*x + a)^3 - (b^3*x^3 + a^3 - 2
*b*x - 2*a)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + a^3 - (b^3*x^3 + a^3 - 2*b*x - 2*a)*cosh(b*x + a)^2 - (b^3*x^3 -
15*(b^3*x^3 + a^3 - 2*b*x - 2*a)*cosh(b*x + a)^4 + a^3 + 6*(b^3*x^3 + a^3 - 2*b*x - 2*a)*cosh(b*x + a)^2 - 2*b
*x - 2*a)*sinh(b*x + a)^2 - 2*b*x + 2*(3*(b^3*x^3 + a^3 - 2*b*x - 2*a)*cosh(b*x + a)^5 - 2*(b^3*x^3 + a^3 - 2*
b*x - 2*a)*cosh(b*x + a)^3 - (b^3*x^3 + a^3 - 2*b*x - 2*a)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a) - 2*a)*log(-cosh(b*x +
a) - sinh(b*x + a) + 1) - 18*(cosh(b*x + a)^6 + 6*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^5 + sinh(b*x + a)^6 + (15*cosh(
b*x + a)^2 - 1)*sinh(b*x + a)^4 - cosh(b*x + a)^4 + 4*(5*cosh(b*x + a)^3 - cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + (1
5*cosh(b*x + a)^4 - 6*cosh(b*x + a)^2 - 1)*sinh(b*x + a)^2 - cosh(b*x + a)^2 + 2*(3*cosh(b*x + a)^5 - 2*cosh(b
*x + a)^3 - cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a) + 1)*polylog(4, cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a)) + 18*(cosh(b*x + a)^6
+ 6*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^5 + sinh(b*x + a)^6 + (15*cosh(b*x + a)^2 - 1)*sinh(b*x + a)^4 - cosh(b*x + a)
^4 + 4*(5*cosh(b*x + a)^3 - cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + (15*cosh(b*x + a)^4 - 6*cosh(b*x + a)^2 - 1)*sinh
(b*x + a)^2 - cosh(b*x + a)^2 + 2*(3*cosh(b*x + a)^5 - 2*cosh(b*x + a)^3 - cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a) + 1)*p
olylog(4, -cosh(b*x + a) - sinh(b*x + a)) + 18*(b*x*cosh(b*x + a)^6 + 6*b*x*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^5 + b*
x*sinh(b*x + a)^6 - b*x*cosh(b*x + a)^4 + (15*b*x*cosh(b*x + a)^2 - b*x)*sinh(b*x + a)^4 - b*x*cosh(b*x + a)^2
+ 4*(5*b*x*cosh(b*x + a)^3 - b*x*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + (15*b*x*cosh(b*x + a)^4 - 6*b*x*cosh(b*x +
a)^2 - b*x)*sinh(b*x + a)^2 + b*x + 2*(3*b*x*cosh(b*x + a)^5 - 2*b*x*cosh(b*x + a)^3 - b*x*cosh(b*x + a))*sinh
(b*x + a))*polylog(3, cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a)) + (-12*I*cosh(b*x + a)^6 - 72*I*cosh(b*x + a)*sinh(b*x +
a)^5 - 12*I*sinh(b*x + a)^6 + (-180*I*cosh(b*x + a)^2 + 12*I)*sinh(b*x + a)^4 + 12*I*cosh(b*x + a)^4 + (-240*I
*cosh(b*x + a)^3 + 48*I*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + (-180*I*cosh(b*x + a)^4 + 72*I*cosh(b*x + a)^2 + 12*I
)*sinh(b*x + a)^2 + 12*I*cosh(b*x + a)^2 + (-72*I*cosh(b*x + a)^5 + 48*I*cosh(b*x + a)^3 + 24*I*cosh(b*x + a))
*sinh(b*x + a) - 12*I)*polylog(3, I*cosh(b*x + a) + I*sinh(b*x + a)) + (12*I*cosh(b*x + a)^6 + 72*I*cosh(b*x +
a)*sinh(b*x + a)^5 + 12*I*sinh(b*x + a)^6 + (180*I*cosh(b*x + a)^2 - 12*I)*sinh(b*x + a)^4 - 12*I*cosh(b*x +
a)^4 + (240*I*cosh(b*x + a)^3 - 48*I*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + (180*I*cosh(b*x + a)^4 - 72*I*cosh(b*x +
a)^2 - 12*I)*sinh(b*x + a)^2 - 12*I*cosh(b*x + a)^2 + (72*I*cosh(b*x + a)^5 - 48*I*cosh(b*x + a)^3 - 24*I*cos
h(b*x + a))*sinh(b*x + a) + 12*I)*polylog(3, -I*cosh(b*x + a) - I*sinh(b*x + a)) - 18*(b*x*cosh(b*x + a)^6 + 6
*b*x*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^5 + b*x*sinh(b*x + a)^6 - b*x*cosh(b*x + a)^4 + (15*b*x*cosh(b*x + a)^2 - b*x
)*sinh(b*x + a)^4 - b*x*cosh(b*x + a)^2 + 4*(5*b*x*cosh(b*x + a)^3 - b*x*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a)^3 + (15*
b*x*cosh(b*x + a)^4 - 6*b*x*cosh(b*x + a)^2 - b*x)*sinh(b*x + a)^2 + b*x + 2*(3*b*x*cosh(b*x + a)^5 - 2*b*x*co
sh(b*x + a)^3 - b*x*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))*polylog(3, -cosh(b*x + a) - sinh(b*x + a)) + 6*(2*b^3*x^3*co
sh(b*x + a)^2 - b^3*x^3 - 5*(b^3*x^3 + b^2*x^2)*cosh(b*x + a)^4 + b^2*x^2)*sinh(b*x + a))/(b^4*cosh(b*x + a)^6
+ 6*b^4*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^5 + b^4*sinh(b*x + a)^6 - b^4*cosh(b*x + a)^4 - b^4*cosh(b*x + a)^2 + (15
*b^4*cosh(b*x + a)^2 - b^4)*sinh(b*x + a)^4 + b^4 + 4*(5*b^4*cosh(b*x + a)^3 - b^4*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a
)^3 + (15*b^4*cosh(b*x + a)^4 - 6*b^4*cosh(b*x + a)^2 - b^4)*sinh(b*x + a)^2 + 2*(3*b^4*cosh(b*x + a)^5 - 2*b^
4*cosh(b*x + a)^3 - b^4*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int x^{3} \operatorname{csch}^{3}{\left (a + b x \right )} \operatorname{sech}^{2}{\left (a + b x \right )}\, dx \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x**3*csch(b*x+a)**3*sech(b*x+a)**2,x)

[Out]

Integral(x**3*csch(a + b*x)**3*sech(a + b*x)**2, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \mathit{sage}_{0} x \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3*csch(b*x+a)^3*sech(b*x+a)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

sage0*x