### 3.508 $$\int x^3 \text{csch}^3(a+b x) \text{sech}(a+b x) \, dx$$

Optimal. Leaf size=240 $\frac{3 x^2 \text{PolyLog}\left (2,-e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^2}-\frac{3 x^2 \text{PolyLog}\left (2,e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^2}-\frac{3 x \text{PolyLog}\left (3,-e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^3}+\frac{3 x \text{PolyLog}\left (3,e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^3}+\frac{3 \text{PolyLog}\left (2,e^{2 (a+b x)}\right )}{2 b^4}+\frac{3 \text{PolyLog}\left (4,-e^{2 a+2 b x}\right )}{4 b^4}-\frac{3 \text{PolyLog}\left (4,e^{2 a+2 b x}\right )}{4 b^4}-\frac{3 x^2 \coth (a+b x)}{2 b^2}+\frac{3 x \log \left (1-e^{2 (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{2 x^3 \tanh ^{-1}\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b}-\frac{x^3 \coth ^2(a+b x)}{2 b}-\frac{3 x^2}{2 b^2}+\frac{x^3}{2 b}$

[Out]

(-3*x^2)/(2*b^2) + x^3/(2*b) + (2*x^3*ArcTanh[E^(2*a + 2*b*x)])/b - (3*x^2*Coth[a + b*x])/(2*b^2) - (x^3*Coth[
a + b*x]^2)/(2*b) + (3*x*Log[1 - E^(2*(a + b*x))])/b^3 + (3*PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))])/(2*b^4) + (3*x^2*Poly
Log[2, -E^(2*a + 2*b*x)])/(2*b^2) - (3*x^2*PolyLog[2, E^(2*a + 2*b*x)])/(2*b^2) - (3*x*PolyLog[3, -E^(2*a + 2*
b*x)])/(2*b^3) + (3*x*PolyLog[3, E^(2*a + 2*b*x)])/(2*b^3) + (3*PolyLog[4, -E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^4) - (3*Pol
yLog[4, E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^4)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.423705, antiderivative size = 240, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 20, number of rules used = 16, integrand size = 18, $$\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}$$ = 0.889, Rules used = {2620, 14, 5462, 3720, 3716, 2190, 2279, 2391, 30, 2551, 12, 4182, 2531, 6609, 2282, 6589} $\frac{3 x^2 \text{PolyLog}\left (2,-e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^2}-\frac{3 x^2 \text{PolyLog}\left (2,e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^2}-\frac{3 x \text{PolyLog}\left (3,-e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^3}+\frac{3 x \text{PolyLog}\left (3,e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^3}+\frac{3 \text{PolyLog}\left (2,e^{2 (a+b x)}\right )}{2 b^4}+\frac{3 \text{PolyLog}\left (4,-e^{2 a+2 b x}\right )}{4 b^4}-\frac{3 \text{PolyLog}\left (4,e^{2 a+2 b x}\right )}{4 b^4}-\frac{3 x^2 \coth (a+b x)}{2 b^2}+\frac{3 x \log \left (1-e^{2 (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{2 x^3 \tanh ^{-1}\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b}-\frac{x^3 \coth ^2(a+b x)}{2 b}-\frac{3 x^2}{2 b^2}+\frac{x^3}{2 b}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Int[x^3*Csch[a + b*x]^3*Sech[a + b*x],x]

[Out]

(-3*x^2)/(2*b^2) + x^3/(2*b) + (2*x^3*ArcTanh[E^(2*a + 2*b*x)])/b - (3*x^2*Coth[a + b*x])/(2*b^2) - (x^3*Coth[
a + b*x]^2)/(2*b) + (3*x*Log[1 - E^(2*(a + b*x))])/b^3 + (3*PolyLog[2, E^(2*(a + b*x))])/(2*b^4) + (3*x^2*Poly
Log[2, -E^(2*a + 2*b*x)])/(2*b^2) - (3*x^2*PolyLog[2, E^(2*a + 2*b*x)])/(2*b^2) - (3*x*PolyLog[3, -E^(2*a + 2*
b*x)])/(2*b^3) + (3*x*PolyLog[3, E^(2*a + 2*b*x)])/(2*b^3) + (3*PolyLog[4, -E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^4) - (3*Pol
yLog[4, E^(2*a + 2*b*x)])/(4*b^4)

Rule 2620

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Dist[1/f, Subst[Int[(1 + x^2)^((
m + n)/2 - 1)/x^m, x], x, Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[{e, f}, x] && IntegersQ[m, n, (m + n)/2]

Rule 14

Int[(u_)*((c_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(c*x)^m*u, x], x] /; FreeQ[{c, m}, x] && SumQ[u]
&&  !LinearQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (a_) + (b_.)*(v_) /; FreeQ[{a, b}, x] && InverseFunctionQ[v]]

Rule 5462

Int[Csch[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sech[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Wit
h[{u = IntHide[Csch[a + b*x]^n*Sech[a + b*x]^p, x]}, Dist[(c + d*x)^m, u, x] - Dist[d*m, Int[(c + d*x)^(m - 1)
*u, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IntegersQ[n, p] && GtQ[m, 0] && NeQ[n, p]

Rule 3720

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(b*(c + d*x)^m*(b*Tan[e
+ f*x])^(n - 1))/(f*(n - 1)), x] + (-Dist[(b*d*m)/(f*(n - 1)), Int[(c + d*x)^(m - 1)*(b*Tan[e + f*x])^(n - 1)
, x], x] - Dist[b^2, Int[(c + d*x)^m*(b*Tan[e + f*x])^(n - 2), x], x]) /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[n,
1] && GtQ[m, 0]

Rule 3716

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*tan[(e_.) + Pi*(k_.) + (Complex[0, fz_])*(f_.)*(x_)], x_Symbol] :> -Simp[(I*(c
+ d*x)^(m + 1))/(d*(m + 1)), x] + Dist[2*I, Int[((c + d*x)^m*E^(2*(-(I*e) + f*fz*x)))/(E^(2*I*k*Pi)*(1 + E^(2*
(-(I*e) + f*fz*x))/E^(2*I*k*Pi))), x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f, fz}, x] && IntegerQ[4*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 2190

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(b*f*g*n*Log[F]), x]
- Dist[(d*m)/(b*f*g*n*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2279

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2391

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, -(c*e*x^n)]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rule 30

Int[(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)/(m + 1), x] /; FreeQ[m, x] && NeQ[m, -1]

Rule 2551

Int[Log[u_]*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[((a + b*x)^(m + 1)*Log[u])/(b*(m + 1)), x] - Dist[1/
(b*(m + 1)), Int[SimplifyIntegrand[((a + b*x)^(m + 1)*D[u, x])/u, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, m}, x] && Inverse
FunctionFreeQ[u, x] && NeQ[m, -1]

Rule 12

Int[(a_)*(u_), x_Symbol] :> Dist[a, Int[u, x], x] /; FreeQ[a, x] &&  !MatchQ[u, (b_)*(v_) /; FreeQ[b, x]]

Rule 4182

Int[csc[(e_.) + (Complex[0, fz_])*(f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c + d*x)^m*Ar
cTanh[E^(-(I*e) + f*fz*x)])/(f*fz*I), x] + (-Dist[(d*m)/(f*fz*I), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(-(I*e) + f*
fz*x)], x], x] + Dist[(d*m)/(f*fz*I), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(-(I*e) + f*fz*x)], x], x]) /; FreeQ[{c,
d, e, f, fz}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 6609

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[((e + f*x)^m*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]), x] - Dist[(f*m)/(b*c*p*Log[F]), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rubi steps

\begin{align*} \int x^3 \text{csch}^3(a+b x) \text{sech}(a+b x) \, dx &=-\frac{x^3 \coth ^2(a+b x)}{2 b}-\frac{x^3 \log (\tanh (a+b x))}{b}-3 \int x^2 \left (-\frac{\coth ^2(a+b x)}{2 b}-\frac{\log (\tanh (a+b x))}{b}\right ) \, dx\\ &=-\frac{x^3 \coth ^2(a+b x)}{2 b}-\frac{x^3 \log (\tanh (a+b x))}{b}-3 \int \left (-\frac{x^2 \coth ^2(a+b x)}{2 b}-\frac{x^2 \log (\tanh (a+b x))}{b}\right ) \, dx\\ &=-\frac{x^3 \coth ^2(a+b x)}{2 b}-\frac{x^3 \log (\tanh (a+b x))}{b}+\frac{3 \int x^2 \coth ^2(a+b x) \, dx}{2 b}+\frac{3 \int x^2 \log (\tanh (a+b x)) \, dx}{b}\\ &=-\frac{3 x^2 \coth (a+b x)}{2 b^2}-\frac{x^3 \coth ^2(a+b x)}{2 b}+\frac{3 \int x \coth (a+b x) \, dx}{b^2}-\frac{\int 2 b x^3 \text{csch}(2 a+2 b x) \, dx}{b}+\frac{3 \int x^2 \, dx}{2 b}\\ &=-\frac{3 x^2}{2 b^2}+\frac{x^3}{2 b}-\frac{3 x^2 \coth (a+b x)}{2 b^2}-\frac{x^3 \coth ^2(a+b x)}{2 b}-2 \int x^3 \text{csch}(2 a+2 b x) \, dx-\frac{6 \int \frac{e^{2 (a+b x)} x}{1-e^{2 (a+b x)}} \, dx}{b^2}\\ &=-\frac{3 x^2}{2 b^2}+\frac{x^3}{2 b}+\frac{2 x^3 \tanh ^{-1}\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b}-\frac{3 x^2 \coth (a+b x)}{2 b^2}-\frac{x^3 \coth ^2(a+b x)}{2 b}+\frac{3 x \log \left (1-e^{2 (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 \int \log \left (1-e^{2 (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}+\frac{3 \int x^2 \log \left (1-e^{2 a+2 b x}\right ) \, dx}{b}-\frac{3 \int x^2 \log \left (1+e^{2 a+2 b x}\right ) \, dx}{b}\\ &=-\frac{3 x^2}{2 b^2}+\frac{x^3}{2 b}+\frac{2 x^3 \tanh ^{-1}\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b}-\frac{3 x^2 \coth (a+b x)}{2 b^2}-\frac{x^3 \coth ^2(a+b x)}{2 b}+\frac{3 x \log \left (1-e^{2 (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 x^2 \text{Li}_2\left (-e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^2}-\frac{3 x^2 \text{Li}_2\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^2}-\frac{3 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1-x)}{x} \, dx,x,e^{2 (a+b x)}\right )}{2 b^4}-\frac{3 \int x \text{Li}_2\left (-e^{2 a+2 b x}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{3 \int x \text{Li}_2\left (e^{2 a+2 b x}\right ) \, dx}{b^2}\\ &=-\frac{3 x^2}{2 b^2}+\frac{x^3}{2 b}+\frac{2 x^3 \tanh ^{-1}\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b}-\frac{3 x^2 \coth (a+b x)}{2 b^2}-\frac{x^3 \coth ^2(a+b x)}{2 b}+\frac{3 x \log \left (1-e^{2 (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 \text{Li}_2\left (e^{2 (a+b x)}\right )}{2 b^4}+\frac{3 x^2 \text{Li}_2\left (-e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^2}-\frac{3 x^2 \text{Li}_2\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^2}-\frac{3 x \text{Li}_3\left (-e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^3}+\frac{3 x \text{Li}_3\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^3}+\frac{3 \int \text{Li}_3\left (-e^{2 a+2 b x}\right ) \, dx}{2 b^3}-\frac{3 \int \text{Li}_3\left (e^{2 a+2 b x}\right ) \, dx}{2 b^3}\\ &=-\frac{3 x^2}{2 b^2}+\frac{x^3}{2 b}+\frac{2 x^3 \tanh ^{-1}\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b}-\frac{3 x^2 \coth (a+b x)}{2 b^2}-\frac{x^3 \coth ^2(a+b x)}{2 b}+\frac{3 x \log \left (1-e^{2 (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 \text{Li}_2\left (e^{2 (a+b x)}\right )}{2 b^4}+\frac{3 x^2 \text{Li}_2\left (-e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^2}-\frac{3 x^2 \text{Li}_2\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^2}-\frac{3 x \text{Li}_3\left (-e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^3}+\frac{3 x \text{Li}_3\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^3}+\frac{3 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(-x)}{x} \, dx,x,e^{2 a+2 b x}\right )}{4 b^4}-\frac{3 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(x)}{x} \, dx,x,e^{2 a+2 b x}\right )}{4 b^4}\\ &=-\frac{3 x^2}{2 b^2}+\frac{x^3}{2 b}+\frac{2 x^3 \tanh ^{-1}\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{b}-\frac{3 x^2 \coth (a+b x)}{2 b^2}-\frac{x^3 \coth ^2(a+b x)}{2 b}+\frac{3 x \log \left (1-e^{2 (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 \text{Li}_2\left (e^{2 (a+b x)}\right )}{2 b^4}+\frac{3 x^2 \text{Li}_2\left (-e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^2}-\frac{3 x^2 \text{Li}_2\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^2}-\frac{3 x \text{Li}_3\left (-e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^3}+\frac{3 x \text{Li}_3\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{2 b^3}+\frac{3 \text{Li}_4\left (-e^{2 a+2 b x}\right )}{4 b^4}-\frac{3 \text{Li}_4\left (e^{2 a+2 b x}\right )}{4 b^4}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 7.48996, size = 490, normalized size = 2.04 $-\frac{3 \left (2 b^2 x^2 \text{PolyLog}\left (2,-e^{-2 (a+b x)}\right )+2 b x \text{PolyLog}\left (3,-e^{-2 (a+b x)}\right )+\text{PolyLog}\left (4,-e^{-2 (a+b x)}\right )\right )}{4 b^4}+\frac{e^{2 a} \left (6 \left (1-e^{-2 a}\right ) \left (b^2 x^2 \text{PolyLog}\left (2,-e^{-a-b x}\right )+2 \left (b x \text{PolyLog}\left (3,-e^{-a-b x}\right )+\text{PolyLog}\left (4,-e^{-a-b x}\right )\right )\right )+6 \left (1-e^{-2 a}\right ) \left (b^2 x^2 \text{PolyLog}\left (2,e^{-a-b x}\right )+2 \left (b x \text{PolyLog}\left (3,e^{-a-b x}\right )+\text{PolyLog}\left (4,e^{-a-b x}\right )\right )\right )-6 \left (1-e^{-2 a}\right ) \text{PolyLog}\left (2,-e^{-a-b x}\right )-6 \left (1-e^{-2 a}\right ) \text{PolyLog}\left (2,e^{-a-b x}\right )+e^{-2 a} b^4 x^4-6 e^{-2 a} b^2 x^2-2 e^{-2 a} \left (e^{2 a}-1\right ) b^3 x^3 \log \left (1-e^{-a-b x}\right )-2 e^{-2 a} \left (e^{2 a}-1\right ) b^3 x^3 \log \left (e^{-a-b x}+1\right )+6 \left (1-e^{-2 a}\right ) b x \log \left (1-e^{-a-b x}\right )+6 \left (1-e^{-2 a}\right ) b x \log \left (e^{-a-b x}+1\right )\right )}{2 \left (e^{2 a}-1\right ) b^4}+\frac{3 x^2 \text{csch}(a) \sinh (b x) \text{csch}(a+b x)}{2 b^2}+\frac{x^3 \log \left (e^{-2 (a+b x)}+1\right )}{b}-\frac{x^3 \text{csch}^2(a+b x)}{2 b}+\frac{x^4}{2 e^{2 a}+2}-\frac{1}{4} x^4 \text{csch}(a) \text{sech}(a)$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Integrate[x^3*Csch[a + b*x]^3*Sech[a + b*x],x]

[Out]

x^4/(2 + 2*E^(2*a)) - (x^3*Csch[a + b*x]^2)/(2*b) + (x^3*Log[1 + E^(-2*(a + b*x))])/b + (E^(2*a)*((-6*b^2*x^2)
/E^(2*a) + (b^4*x^4)/E^(2*a) + 6*b*(1 - E^(-2*a))*x*Log[1 - E^(-a - b*x)] - (2*b^3*(-1 + E^(2*a))*x^3*Log[1 -
E^(-a - b*x)])/E^(2*a) + 6*b*(1 - E^(-2*a))*x*Log[1 + E^(-a - b*x)] - (2*b^3*(-1 + E^(2*a))*x^3*Log[1 + E^(-a
- b*x)])/E^(2*a) - 6*(1 - E^(-2*a))*PolyLog[2, -E^(-a - b*x)] - 6*(1 - E^(-2*a))*PolyLog[2, E^(-a - b*x)] + 6*
(1 - E^(-2*a))*(b^2*x^2*PolyLog[2, -E^(-a - b*x)] + 2*(b*x*PolyLog[3, -E^(-a - b*x)] + PolyLog[4, -E^(-a - b*x
)])) + 6*(1 - E^(-2*a))*(b^2*x^2*PolyLog[2, E^(-a - b*x)] + 2*(b*x*PolyLog[3, E^(-a - b*x)] + PolyLog[4, E^(-a
- b*x)]))))/(2*b^4*(-1 + E^(2*a))) - (3*(2*b^2*x^2*PolyLog[2, -E^(-2*(a + b*x))] + 2*b*x*PolyLog[3, -E^(-2*(a
+ b*x))] + PolyLog[4, -E^(-2*(a + b*x))]))/(4*b^4) - (x^4*Csch[a]*Sech[a])/4 + (3*x^2*Csch[a]*Csch[a + b*x]*S
inh[b*x])/(2*b^2)

________________________________________________________________________________________

Maple [A]  time = 0.056, size = 417, normalized size = 1.7 \begin{align*} 3\,{\frac{{\it polylog} \left ( 2,{{\rm e}^{bx+a}} \right ) }{{b}^{4}}}+3\,{\frac{{\it polylog} \left ( 2,-{{\rm e}^{bx+a}} \right ) }{{b}^{4}}}-{\frac{{x}^{2} \left ( 2\,bx{{\rm e}^{2\,bx+2\,a}}+3\,{{\rm e}^{2\,bx+2\,a}}-3 \right ) }{{b}^{2} \left ({{\rm e}^{2\,bx+2\,a}}-1 \right ) ^{2}}}+3\,{\frac{\ln \left ( 1+{{\rm e}^{bx+a}} \right ) x}{{b}^{3}}}+3\,{\frac{\ln \left ( 1-{{\rm e}^{bx+a}} \right ) x}{{b}^{3}}}+3\,{\frac{\ln \left ( 1-{{\rm e}^{bx+a}} \right ) a}{{b}^{4}}}-3\,{\frac{a\ln \left ({{\rm e}^{bx+a}}-1 \right ) }{{b}^{4}}}+{\frac{3\,{\it polylog} \left ( 4,-{{\rm e}^{2\,bx+2\,a}} \right ) }{4\,{b}^{4}}}-6\,{\frac{{\it polylog} \left ( 4,{{\rm e}^{bx+a}} \right ) }{{b}^{4}}}-6\,{\frac{{\it polylog} \left ( 4,-{{\rm e}^{bx+a}} \right ) }{{b}^{4}}}+{\frac{{a}^{3}\ln \left ({{\rm e}^{bx+a}}-1 \right ) }{{b}^{4}}}-{\frac{\ln \left ( 1-{{\rm e}^{bx+a}} \right ){a}^{3}}{{b}^{4}}}-3\,{\frac{{\it polylog} \left ( 2,-{{\rm e}^{bx+a}} \right ){x}^{2}}{{b}^{2}}}+6\,{\frac{{\it polylog} \left ( 3,-{{\rm e}^{bx+a}} \right ) x}{{b}^{3}}}-{\frac{\ln \left ( 1-{{\rm e}^{bx+a}} \right ){x}^{3}}{b}}-3\,{\frac{{\it polylog} \left ( 2,{{\rm e}^{bx+a}} \right ){x}^{2}}{{b}^{2}}}+6\,{\frac{{\it polylog} \left ( 3,{{\rm e}^{bx+a}} \right ) x}{{b}^{3}}}-{\frac{\ln \left ( 1+{{\rm e}^{bx+a}} \right ){x}^{3}}{b}}+{\frac{{x}^{3}\ln \left ( 1+{{\rm e}^{2\,bx+2\,a}} \right ) }{b}}+{\frac{3\,{x}^{2}{\it polylog} \left ( 2,-{{\rm e}^{2\,bx+2\,a}} \right ) }{2\,{b}^{2}}}-{\frac{3\,x{\it polylog} \left ( 3,-{{\rm e}^{2\,bx+2\,a}} \right ) }{2\,{b}^{3}}}-6\,{\frac{ax}{{b}^{3}}}+6\,{\frac{a\ln \left ({{\rm e}^{bx+a}} \right ) }{{b}^{4}}}-3\,{\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}}-3\,{\frac{{a}^{2}}{{b}^{4}}} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(x^3*csch(b*x+a)^3*sech(b*x+a),x)

[Out]

3/b^4*polylog(2,exp(b*x+a))+3/b^4*polylog(2,-exp(b*x+a))-x^2*(2*b*x*exp(2*b*x+2*a)+3*exp(2*b*x+2*a)-3)/b^2/(ex
p(2*b*x+2*a)-1)^2+3/b^3*ln(1+exp(b*x+a))*x+3/b^3*ln(1-exp(b*x+a))*x+3/b^4*ln(1-exp(b*x+a))*a-3/b^4*a*ln(exp(b*
x+a)-1)+3/4*polylog(4,-exp(2*b*x+2*a))/b^4-6/b^4*polylog(4,exp(b*x+a))-6/b^4*polylog(4,-exp(b*x+a))+1/b^4*a^3*
ln(exp(b*x+a)-1)-1/b^4*ln(1-exp(b*x+a))*a^3-3/b^2*polylog(2,-exp(b*x+a))*x^2+6/b^3*polylog(3,-exp(b*x+a))*x-1/
b*ln(1-exp(b*x+a))*x^3-3/b^2*polylog(2,exp(b*x+a))*x^2+6/b^3*polylog(3,exp(b*x+a))*x-1/b*ln(1+exp(b*x+a))*x^3+
x^3*ln(1+exp(2*b*x+2*a))/b+3/2*x^2*polylog(2,-exp(2*b*x+2*a))/b^2-3/2*x*polylog(3,-exp(2*b*x+2*a))/b^3-6/b^3*a
*x+6/b^4*a*ln(exp(b*x+a))-3*x^2/b^2-3/b^4*a^2

________________________________________________________________________________________

Maxima [A]  time = 1.22673, size = 475, normalized size = 1.98 \begin{align*} -\frac{1}{2} \, x^{4} + \frac{3 \, x^{2} -{\left (2 \, b x^{3} e^{\left (2 \, a\right )} + 3 \, x^{2} e^{\left (2 \, a\right )}\right )} e^{\left (2 \, b x\right )}}{b^{2} e^{\left (4 \, b x + 4 \, a\right )} - 2 \, b^{2} e^{\left (2 \, b x + 2 \, a\right )} + b^{2}} + \frac{b^{4} x^{4} - 6 \, b^{2} x^{2}}{2 \, b^{4}} + \frac{4 \, b^{3} x^{3} \log \left (e^{\left (2 \, b x + 2 \, a\right )} + 1\right ) + 6 \, b^{2} x^{2}{\rm Li}_2\left (-e^{\left (2 \, b x + 2 \, a\right )}\right ) - 6 \, b x{\rm Li}_{3}(-e^{\left (2 \, b x + 2 \, a\right )}) + 3 \,{\rm Li}_{4}(-e^{\left (2 \, b x + 2 \, a\right )})}{3 \, b^{4}} - \frac{b^{3} x^{3} \log \left (e^{\left (b x + a\right )} + 1\right ) + 3 \, b^{2} x^{2}{\rm Li}_2\left (-e^{\left (b x + a\right )}\right ) - 6 \, b x{\rm Li}_{3}(-e^{\left (b x + a\right )}) + 6 \,{\rm Li}_{4}(-e^{\left (b x + a\right )})}{b^{4}} - \frac{b^{3} x^{3} \log \left (-e^{\left (b x + a\right )} + 1\right ) + 3 \, b^{2} x^{2}{\rm Li}_2\left (e^{\left (b x + a\right )}\right ) - 6 \, b x{\rm Li}_{3}(e^{\left (b x + a\right )}) + 6 \,{\rm Li}_{4}(e^{\left (b x + a\right )})}{b^{4}} + \frac{3 \,{\left (b x \log \left (e^{\left (b x + a\right )} + 1\right ) +{\rm Li}_2\left (-e^{\left (b x + a\right )}\right )\right )}}{b^{4}} + \frac{3 \,{\left (b x \log \left (-e^{\left (b x + a\right )} + 1\right ) +{\rm Li}_2\left (e^{\left (b x + a\right )}\right )\right )}}{b^{4}} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3*csch(b*x+a)^3*sech(b*x+a),x, algorithm="maxima")

[Out]

-1/2*x^4 + (3*x^2 - (2*b*x^3*e^(2*a) + 3*x^2*e^(2*a))*e^(2*b*x))/(b^2*e^(4*b*x + 4*a) - 2*b^2*e^(2*b*x + 2*a)
+ b^2) + 1/2*(b^4*x^4 - 6*b^2*x^2)/b^4 + 1/3*(4*b^3*x^3*log(e^(2*b*x + 2*a) + 1) + 6*b^2*x^2*dilog(-e^(2*b*x +
2*a)) - 6*b*x*polylog(3, -e^(2*b*x + 2*a)) + 3*polylog(4, -e^(2*b*x + 2*a)))/b^4 - (b^3*x^3*log(e^(b*x + a) +
1) + 3*b^2*x^2*dilog(-e^(b*x + a)) - 6*b*x*polylog(3, -e^(b*x + a)) + 6*polylog(4, -e^(b*x + a)))/b^4 - (b^3*
x^3*log(-e^(b*x + a) + 1) + 3*b^2*x^2*dilog(e^(b*x + a)) - 6*b*x*polylog(3, e^(b*x + a)) + 6*polylog(4, e^(b*x
+ a)))/b^4 + 3*(b*x*log(e^(b*x + a) + 1) + dilog(-e^(b*x + a)))/b^4 + 3*(b*x*log(-e^(b*x + a) + 1) + dilog(e^
(b*x + a)))/b^4

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 3.00788, size = 8660, normalized size = 36.08 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3*csch(b*x+a)^3*sech(b*x+a),x, algorithm="fricas")

[Out]

-(3*(b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^4 + 12*(b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + 3*(b^2*x^2 - a^2)*sin
h(b*x + a)^4 + (2*b^3*x^3 - 3*b^2*x^2 + 6*a^2)*cosh(b*x + a)^2 + (2*b^3*x^3 - 3*b^2*x^2 + 18*(b^2*x^2 - a^2)*c
osh(b*x + a)^2 + 6*a^2)*sinh(b*x + a)^2 - 3*a^2 + 3*((b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^4 + 4*(b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x
+ a)*sinh(b*x + a)^3 + (b^2*x^2 - 1)*sinh(b*x + a)^4 + b^2*x^2 - 2*(b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^2 - 2*(b^2*x^2
- 3*(b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^2 - 1)*sinh(b*x + a)^2 + 4*((b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^3 - (b^2*x^2 - 1)*cosh
(b*x + a))*sinh(b*x + a) - 1)*dilog(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a)) - 3*(b^2*x^2*cosh(b*x + a)^4 + 4*b^2*x^2*co
sh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + b^2*x^2*sinh(b*x + a)^4 - 2*b^2*x^2*cosh(b*x + a)^2 + b^2*x^2 + 2*(3*b^2*x^2*cos
h(b*x + a)^2 - b^2*x^2)*sinh(b*x + a)^2 + 4*(b^2*x^2*cosh(b*x + a)^3 - b^2*x^2*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))*d
ilog(I*cosh(b*x + a) + I*sinh(b*x + a)) - 3*(b^2*x^2*cosh(b*x + a)^4 + 4*b^2*x^2*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3
+ b^2*x^2*sinh(b*x + a)^4 - 2*b^2*x^2*cosh(b*x + a)^2 + b^2*x^2 + 2*(3*b^2*x^2*cosh(b*x + a)^2 - b^2*x^2)*sin
h(b*x + a)^2 + 4*(b^2*x^2*cosh(b*x + a)^3 - b^2*x^2*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))*dilog(-I*cosh(b*x + a) - I*s
inh(b*x + a)) + 3*((b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^4 + 4*(b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + (b^2*x^2 -
1)*sinh(b*x + a)^4 + b^2*x^2 - 2*(b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^2 - 2*(b^2*x^2 - 3*(b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^2
- 1)*sinh(b*x + a)^2 + 4*((b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a)^3 - (b^2*x^2 - 1)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a) - 1)*dilo
g(-cosh(b*x + a) - sinh(b*x + a)) + (b^3*x^3 + (b^3*x^3 - 3*b*x)*cosh(b*x + a)^4 + 4*(b^3*x^3 - 3*b*x)*cosh(b*
x + a)*sinh(b*x + a)^3 + (b^3*x^3 - 3*b*x)*sinh(b*x + a)^4 - 2*(b^3*x^3 - 3*b*x)*cosh(b*x + a)^2 - 2*(b^3*x^3
- 3*(b^3*x^3 - 3*b*x)*cosh(b*x + a)^2 - 3*b*x)*sinh(b*x + a)^2 - 3*b*x + 4*((b^3*x^3 - 3*b*x)*cosh(b*x + a)^3
- (b^3*x^3 - 3*b*x)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))*log(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a) + 1) + (a^3*cosh(b*x + a)^
4 + 4*a^3*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + a^3*sinh(b*x + a)^4 - 2*a^3*cosh(b*x + a)^2 + a^3 + 2*(3*a^3*cosh(b*
x + a)^2 - a^3)*sinh(b*x + a)^2 + 4*(a^3*cosh(b*x + a)^3 - a^3*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))*log(cosh(b*x + a)
+ sinh(b*x + a) + I) + (a^3*cosh(b*x + a)^4 + 4*a^3*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + a^3*sinh(b*x + a)^4 - 2*a
^3*cosh(b*x + a)^2 + a^3 + 2*(3*a^3*cosh(b*x + a)^2 - a^3)*sinh(b*x + a)^2 + 4*(a^3*cosh(b*x + a)^3 - a^3*cosh
(b*x + a))*sinh(b*x + a))*log(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a) - I) - ((a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)^4 + 4*(a^3 - 3*a
)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + (a^3 - 3*a)*sinh(b*x + a)^4 + a^3 - 2*(a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)^2 - 2*(a^3 -
3*(a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)^2 - 3*a)*sinh(b*x + a)^2 + 4*((a^3 - 3*a)*cosh(b*x + a)^3 - (a^3 - 3*a)*cosh(b*x
+ a))*sinh(b*x + a) - 3*a)*log(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a) - 1) - (b^3*x^3 + (b^3*x^3 + a^3)*cosh(b*x + a)^4
+ 4*(b^3*x^3 + a^3)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + (b^3*x^3 + a^3)*sinh(b*x + a)^4 + a^3 - 2*(b^3*x^3 + a^3)
*cosh(b*x + a)^2 - 2*(b^3*x^3 + a^3 - 3*(b^3*x^3 + a^3)*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*x + a)^2 + 4*((b^3*x^3 + a^3)*
cosh(b*x + a)^3 - (b^3*x^3 + a^3)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))*log(I*cosh(b*x + a) + I*sinh(b*x + a) + 1) - (
b^3*x^3 + (b^3*x^3 + a^3)*cosh(b*x + a)^4 + 4*(b^3*x^3 + a^3)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + (b^3*x^3 + a^3)*
sinh(b*x + a)^4 + a^3 - 2*(b^3*x^3 + a^3)*cosh(b*x + a)^2 - 2*(b^3*x^3 + a^3 - 3*(b^3*x^3 + a^3)*cosh(b*x + a)
^2)*sinh(b*x + a)^2 + 4*((b^3*x^3 + a^3)*cosh(b*x + a)^3 - (b^3*x^3 + a^3)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))*log(-
I*cosh(b*x + a) - I*sinh(b*x + a) + 1) + (b^3*x^3 + (b^3*x^3 + a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a)^4 + 4*(b^3*x^3
+ a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + (b^3*x^3 + a^3 - 3*b*x - 3*a)*sinh(b*x + a)^4 + a^3 - 2*
(b^3*x^3 + a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a)^2 - 2*(b^3*x^3 + a^3 - 3*(b^3*x^3 + a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x +
a)^2 - 3*b*x - 3*a)*sinh(b*x + a)^2 - 3*b*x + 4*((b^3*x^3 + a^3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a)^3 - (b^3*x^3 + a^
3 - 3*b*x - 3*a)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a) - 3*a)*log(-cosh(b*x + a) - sinh(b*x + a) + 1) + 6*(cosh(b*x + a
)^4 + 4*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + sinh(b*x + a)^4 + 2*(3*cosh(b*x + a)^2 - 1)*sinh(b*x + a)^2 - 2*cosh(b
*x + a)^2 + 4*(cosh(b*x + a)^3 - cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a) + 1)*polylog(4, cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a)) -
6*(cosh(b*x + a)^4 + 4*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + sinh(b*x + a)^4 + 2*(3*cosh(b*x + a)^2 - 1)*sinh(b*x +
a)^2 - 2*cosh(b*x + a)^2 + 4*(cosh(b*x + a)^3 - cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a) + 1)*polylog(4, I*cosh(b*x + a)
+ I*sinh(b*x + a)) - 6*(cosh(b*x + a)^4 + 4*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + sinh(b*x + a)^4 + 2*(3*cosh(b*x +
a)^2 - 1)*sinh(b*x + a)^2 - 2*cosh(b*x + a)^2 + 4*(cosh(b*x + a)^3 - cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a) + 1)*polylog
(4, -I*cosh(b*x + a) - I*sinh(b*x + a)) + 6*(cosh(b*x + a)^4 + 4*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + sinh(b*x + a)
^4 + 2*(3*cosh(b*x + a)^2 - 1)*sinh(b*x + a)^2 - 2*cosh(b*x + a)^2 + 4*(cosh(b*x + a)^3 - cosh(b*x + a))*sinh(
b*x + a) + 1)*polylog(4, -cosh(b*x + a) - sinh(b*x + a)) - 6*(b*x*cosh(b*x + a)^4 + 4*b*x*cosh(b*x + a)*sinh(b
*x + a)^3 + b*x*sinh(b*x + a)^4 - 2*b*x*cosh(b*x + a)^2 + 2*(3*b*x*cosh(b*x + a)^2 - b*x)*sinh(b*x + a)^2 + b*
x + 4*(b*x*cosh(b*x + a)^3 - b*x*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))*polylog(3, cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a)) + 6*(
b*x*cosh(b*x + a)^4 + 4*b*x*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + b*x*sinh(b*x + a)^4 - 2*b*x*cosh(b*x + a)^2 + 2*(3
*b*x*cosh(b*x + a)^2 - b*x)*sinh(b*x + a)^2 + b*x + 4*(b*x*cosh(b*x + a)^3 - b*x*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))
*polylog(3, I*cosh(b*x + a) + I*sinh(b*x + a)) + 6*(b*x*cosh(b*x + a)^4 + 4*b*x*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3
+ b*x*sinh(b*x + a)^4 - 2*b*x*cosh(b*x + a)^2 + 2*(3*b*x*cosh(b*x + a)^2 - b*x)*sinh(b*x + a)^2 + b*x + 4*(b*x
*cosh(b*x + a)^3 - b*x*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))*polylog(3, -I*cosh(b*x + a) - I*sinh(b*x + a)) - 6*(b*x*c
osh(b*x + a)^4 + 4*b*x*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + b*x*sinh(b*x + a)^4 - 2*b*x*cosh(b*x + a)^2 + 2*(3*b*x*
cosh(b*x + a)^2 - b*x)*sinh(b*x + a)^2 + b*x + 4*(b*x*cosh(b*x + a)^3 - b*x*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))*poly
log(3, -cosh(b*x + a) - sinh(b*x + a)) + 2*(6*(b^2*x^2 - a^2)*cosh(b*x + a)^3 + (2*b^3*x^3 - 3*b^2*x^2 + 6*a^2
)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))/(b^4*cosh(b*x + a)^4 + 4*b^4*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + b^4*sinh(b*x + a)
^4 - 2*b^4*cosh(b*x + a)^2 + b^4 + 2*(3*b^4*cosh(b*x + a)^2 - b^4)*sinh(b*x + a)^2 + 4*(b^4*cosh(b*x + a)^3 -
b^4*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int x^{3} \operatorname{csch}^{3}{\left (a + b x \right )} \operatorname{sech}{\left (a + b x \right )}\, dx \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x**3*csch(b*x+a)**3*sech(b*x+a),x)

[Out]

Integral(x**3*csch(a + b*x)**3*sech(a + b*x), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int x^{3} \operatorname{csch}\left (b x + a\right )^{3} \operatorname{sech}\left (b x + a\right )\,{d x} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3*csch(b*x+a)^3*sech(b*x+a),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(x^3*csch(b*x + a)^3*sech(b*x + a), x)