3.423 \(\int x^3 \cosh ^2(x) \coth ^3(x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=158 \[ 3 x^2 \text{PolyLog}\left (2,e^{2 x}\right )-3 x \text{PolyLog}\left (3,e^{2 x}\right )+\frac{3}{2} \text{PolyLog}\left (2,e^{2 x}\right )+\frac{3}{2} \text{PolyLog}\left (4,e^{2 x}\right )-\frac{x^4}{2}+\frac{3 x^3}{4}-\frac{3 x^2}{2}+2 x^3 \log \left (1-e^{2 x}\right )+\frac{1}{2} x^3 \sinh ^2(x)-\frac{1}{2} x^3 \coth ^2(x)-\frac{3}{2} x^2 \coth (x)-\frac{3}{4} x^2 \sinh (x) \cosh (x)+\frac{3 x}{8}+3 x \log \left (1-e^{2 x}\right )+\frac{3}{4} x \sinh ^2(x)-\frac{3}{8} \sinh (x) \cosh (x) \]

[Out]

(3*x)/8 - (3*x^2)/2 + (3*x^3)/4 - x^4/2 - (3*x^2*Coth[x])/2 - (x^3*Coth[x]^2)/2 + 3*x*Log[1 - E^(2*x)] + 2*x^3
*Log[1 - E^(2*x)] + (3*PolyLog[2, E^(2*x)])/2 + 3*x^2*PolyLog[2, E^(2*x)] - 3*x*PolyLog[3, E^(2*x)] + (3*PolyL
og[4, E^(2*x)])/2 - (3*Cosh[x]*Sinh[x])/8 - (3*x^2*Cosh[x]*Sinh[x])/4 + (3*x*Sinh[x]^2)/4 + (x^3*Sinh[x]^2)/2

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.385664, antiderivative size = 158, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 26, number of rules used = 15, integrand size = 12, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 1.25, Rules used = {5450, 5372, 3311, 30, 2635, 8, 3716, 2190, 2531, 6609, 2282, 6589, 3720, 2279, 2391} \[ 3 x^2 \text{PolyLog}\left (2,e^{2 x}\right )-3 x \text{PolyLog}\left (3,e^{2 x}\right )+\frac{3}{2} \text{PolyLog}\left (2,e^{2 x}\right )+\frac{3}{2} \text{PolyLog}\left (4,e^{2 x}\right )-\frac{x^4}{2}+\frac{3 x^3}{4}-\frac{3 x^2}{2}+2 x^3 \log \left (1-e^{2 x}\right )+\frac{1}{2} x^3 \sinh ^2(x)-\frac{1}{2} x^3 \coth ^2(x)-\frac{3}{2} x^2 \coth (x)-\frac{3}{4} x^2 \sinh (x) \cosh (x)+\frac{3 x}{8}+3 x \log \left (1-e^{2 x}\right )+\frac{3}{4} x \sinh ^2(x)-\frac{3}{8} \sinh (x) \cosh (x) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[x^3*Cosh[x]^2*Coth[x]^3,x]

[Out]

(3*x)/8 - (3*x^2)/2 + (3*x^3)/4 - x^4/2 - (3*x^2*Coth[x])/2 - (x^3*Coth[x]^2)/2 + 3*x*Log[1 - E^(2*x)] + 2*x^3
*Log[1 - E^(2*x)] + (3*PolyLog[2, E^(2*x)])/2 + 3*x^2*PolyLog[2, E^(2*x)] - 3*x*PolyLog[3, E^(2*x)] + (3*PolyL
og[4, E^(2*x)])/2 - (3*Cosh[x]*Sinh[x])/8 - (3*x^2*Cosh[x]*Sinh[x])/4 + (3*x*Sinh[x]^2)/4 + (x^3*Sinh[x]^2)/2

Rule 5450

Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int
[(c + d*x)^m*Cosh[a + b*x]^n*Coth[a + b*x]^(p - 2), x] + Int[(c + d*x)^m*Cosh[a + b*x]^(n - 2)*Coth[a + b*x]^p
, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

Rule 5372

Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]*(x_)^(m_.)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(x^(m -
n + 1)*Sinh[a + b*x^n]^(p + 1))/(b*n*(p + 1)), x] - Dist[(m - n + 1)/(b*n*(p + 1)), Int[x^(m - n)*Sinh[a + b*x
^n]^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, p}, x] && LtQ[0, n, m + 1] && NeQ[p, -1]

Rule 3311

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_)*((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(d*m*(c + d*x)^(m - 1)*(
b*Sin[e + f*x])^n)/(f^2*n^2), x] + (Dist[(b^2*(n - 1))/n, Int[(c + d*x)^m*(b*Sin[e + f*x])^(n - 2), x], x] - D
ist[(d^2*m*(m - 1))/(f^2*n^2), Int[(c + d*x)^(m - 2)*(b*Sin[e + f*x])^n, x], x] - Simp[(b*(c + d*x)^m*Cos[e +
f*x]*(b*Sin[e + f*x])^(n - 1))/(f*n), x]) /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[n, 1] && GtQ[m, 1]

Rule 30

Int[(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)/(m + 1), x] /; FreeQ[m, x] && NeQ[m, -1]

Rule 2635

Int[((b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> -Simp[(b*Cos[c + d*x]*(b*Sin[c + d*x])^(n - 1))/(d*n),
x] + Dist[(b^2*(n - 1))/n, Int[(b*Sin[c + d*x])^(n - 2), x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && GtQ[n, 1] && Integer
Q[2*n]

Rule 8

Int[a_, x_Symbol] :> Simp[a*x, x] /; FreeQ[a, x]

Rule 3716

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*tan[(e_.) + Pi*(k_.) + (Complex[0, fz_])*(f_.)*(x_)], x_Symbol] :> -Simp[(I*(c
+ d*x)^(m + 1))/(d*(m + 1)), x] + Dist[2*I, Int[((c + d*x)^m*E^(2*(-(I*e) + f*fz*x)))/(E^(2*I*k*Pi)*(1 + E^(2*
(-(I*e) + f*fz*x))/E^(2*I*k*Pi))), x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f, fz}, x] && IntegerQ[4*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 2190

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(b*f*g*n*Log[F]), x]
- Dist[(d*m)/(b*f*g*n*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 6609

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[((e + f*x)^m*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]), x] - Dist[(f*m)/(b*c*p*Log[F]), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rule 3720

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(b*(c + d*x)^m*(b*Tan[e
+ f*x])^(n - 1))/(f*(n - 1)), x] + (-Dist[(b*d*m)/(f*(n - 1)), Int[(c + d*x)^(m - 1)*(b*Tan[e + f*x])^(n - 1)
, x], x] - Dist[b^2, Int[(c + d*x)^m*(b*Tan[e + f*x])^(n - 2), x], x]) /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[n,
1] && GtQ[m, 0]

Rule 2279

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2391

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, -(c*e*x^n)]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rubi steps

\begin{align*} \int x^3 \cosh ^2(x) \coth ^3(x) \, dx &=\int x^3 \cosh ^2(x) \coth (x) \, dx+\int x^3 \coth ^3(x) \, dx\\ &=-\frac{1}{2} x^3 \coth ^2(x)+\frac{3}{2} \int x^2 \coth ^2(x) \, dx+2 \int x^3 \coth (x) \, dx+\int x^3 \cosh (x) \sinh (x) \, dx\\ &=-\frac{3}{2} x^2 \coth (x)-\frac{1}{2} x^3 \coth ^2(x)+\frac{1}{2} x^3 \sinh ^2(x)+\frac{3 \int x^2 \, dx}{2}-\frac{3}{2} \int x^2 \sinh ^2(x) \, dx+2 \left (-\frac{x^4}{4}-2 \int \frac{e^{2 x} x^3}{1-e^{2 x}} \, dx\right )+3 \int x \coth (x) \, dx\\ &=-\frac{3 x^2}{2}+\frac{x^3}{2}-\frac{3}{2} x^2 \coth (x)-\frac{1}{2} x^3 \coth ^2(x)-\frac{3}{4} x^2 \cosh (x) \sinh (x)+\frac{3}{4} x \sinh ^2(x)+\frac{1}{2} x^3 \sinh ^2(x)+\frac{3 \int x^2 \, dx}{4}-\frac{3}{4} \int \sinh ^2(x) \, dx+2 \left (-\frac{x^4}{4}+x^3 \log \left (1-e^{2 x}\right )-3 \int x^2 \log \left (1-e^{2 x}\right ) \, dx\right )-6 \int \frac{e^{2 x} x}{1-e^{2 x}} \, dx\\ &=-\frac{3 x^2}{2}+\frac{3 x^3}{4}-\frac{3}{2} x^2 \coth (x)-\frac{1}{2} x^3 \coth ^2(x)+3 x \log \left (1-e^{2 x}\right )-\frac{3}{8} \cosh (x) \sinh (x)-\frac{3}{4} x^2 \cosh (x) \sinh (x)+\frac{3}{4} x \sinh ^2(x)+\frac{1}{2} x^3 \sinh ^2(x)+\frac{3 \int 1 \, dx}{8}-3 \int \log \left (1-e^{2 x}\right ) \, dx+2 \left (-\frac{x^4}{4}+x^3 \log \left (1-e^{2 x}\right )+\frac{3}{2} x^2 \text{Li}_2\left (e^{2 x}\right )-3 \int x \text{Li}_2\left (e^{2 x}\right ) \, dx\right )\\ &=\frac{3 x}{8}-\frac{3 x^2}{2}+\frac{3 x^3}{4}-\frac{3}{2} x^2 \coth (x)-\frac{1}{2} x^3 \coth ^2(x)+3 x \log \left (1-e^{2 x}\right )-\frac{3}{8} \cosh (x) \sinh (x)-\frac{3}{4} x^2 \cosh (x) \sinh (x)+\frac{3}{4} x \sinh ^2(x)+\frac{1}{2} x^3 \sinh ^2(x)+2 \left (-\frac{x^4}{4}+x^3 \log \left (1-e^{2 x}\right )+\frac{3}{2} x^2 \text{Li}_2\left (e^{2 x}\right )-\frac{3}{2} x \text{Li}_3\left (e^{2 x}\right )+\frac{3}{2} \int \text{Li}_3\left (e^{2 x}\right ) \, dx\right )-\frac{3}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1-x)}{x} \, dx,x,e^{2 x}\right )\\ &=\frac{3 x}{8}-\frac{3 x^2}{2}+\frac{3 x^3}{4}-\frac{3}{2} x^2 \coth (x)-\frac{1}{2} x^3 \coth ^2(x)+3 x \log \left (1-e^{2 x}\right )+\frac{3 \text{Li}_2\left (e^{2 x}\right )}{2}-\frac{3}{8} \cosh (x) \sinh (x)-\frac{3}{4} x^2 \cosh (x) \sinh (x)+\frac{3}{4} x \sinh ^2(x)+\frac{1}{2} x^3 \sinh ^2(x)+2 \left (-\frac{x^4}{4}+x^3 \log \left (1-e^{2 x}\right )+\frac{3}{2} x^2 \text{Li}_2\left (e^{2 x}\right )-\frac{3}{2} x \text{Li}_3\left (e^{2 x}\right )+\frac{3}{4} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(x)}{x} \, dx,x,e^{2 x}\right )\right )\\ &=\frac{3 x}{8}-\frac{3 x^2}{2}+\frac{3 x^3}{4}-\frac{3}{2} x^2 \coth (x)-\frac{1}{2} x^3 \coth ^2(x)+3 x \log \left (1-e^{2 x}\right )+\frac{3 \text{Li}_2\left (e^{2 x}\right )}{2}+2 \left (-\frac{x^4}{4}+x^3 \log \left (1-e^{2 x}\right )+\frac{3}{2} x^2 \text{Li}_2\left (e^{2 x}\right )-\frac{3}{2} x \text{Li}_3\left (e^{2 x}\right )+\frac{3 \text{Li}_4\left (e^{2 x}\right )}{4}\right )-\frac{3}{8} \cosh (x) \sinh (x)-\frac{3}{4} x^2 \cosh (x) \sinh (x)+\frac{3}{4} x \sinh ^2(x)+\frac{1}{2} x^3 \sinh ^2(x)\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.333773, size = 133, normalized size = 0.84 \[ \frac{1}{32} \left (96 x^2 \text{PolyLog}\left (2,e^{2 x}\right )-96 x \text{PolyLog}\left (3,e^{2 x}\right )-48 \text{PolyLog}\left (2,e^{-2 x}\right )+48 \text{PolyLog}\left (4,e^{2 x}\right )-16 x^4+48 x^2+64 x^3 \log \left (1-e^{2 x}\right )-12 x^2 \sinh (2 x)+8 x^3 \cosh (2 x)-48 x^2 \coth (x)-16 x^3 \text{csch}^2(x)+96 x \log \left (1-e^{-2 x}\right )-6 \sinh (2 x)+12 x \cosh (2 x)+\pi ^4\right ) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[x^3*Cosh[x]^2*Coth[x]^3,x]

[Out]

(Pi^4 + 48*x^2 - 16*x^4 + 12*x*Cosh[2*x] + 8*x^3*Cosh[2*x] - 48*x^2*Coth[x] - 16*x^3*Csch[x]^2 + 96*x*Log[1 -
E^(-2*x)] + 64*x^3*Log[1 - E^(2*x)] - 48*PolyLog[2, E^(-2*x)] + 96*x^2*PolyLog[2, E^(2*x)] - 96*x*PolyLog[3, E
^(2*x)] + 48*PolyLog[4, E^(2*x)] - 6*Sinh[2*x] - 12*x^2*Sinh[2*x])/32

________________________________________________________________________________________

Maple [A]  time = 0.061, size = 184, normalized size = 1.2 \begin{align*} -{\frac{{x}^{4}}{2}}+ \left ( -{\frac{3}{32}}+{\frac{3\,x}{16}}-{\frac{3\,{x}^{2}}{16}}+{\frac{{x}^{3}}{8}} \right ){{\rm e}^{2\,x}}+ \left ({\frac{3}{32}}+{\frac{3\,x}{16}}+{\frac{3\,{x}^{2}}{16}}+{\frac{{x}^{3}}{8}} \right ){{\rm e}^{-2\,x}}-{\frac{{x}^{2} \left ( 2\,x{{\rm e}^{2\,x}}+3\,{{\rm e}^{2\,x}}-3 \right ) }{ \left ({{\rm e}^{2\,x}}-1 \right ) ^{2}}}-3\,{x}^{2}+3\,x\ln \left ({{\rm e}^{x}}+1 \right ) +3\,{\it polylog} \left ( 2,-{{\rm e}^{x}} \right ) +3\,x\ln \left ( 1-{{\rm e}^{x}} \right ) +3\,{\it polylog} \left ( 2,{{\rm e}^{x}} \right ) +2\,{x}^{3}\ln \left ({{\rm e}^{x}}+1 \right ) +6\,{x}^{2}{\it polylog} \left ( 2,-{{\rm e}^{x}} \right ) -12\,x{\it polylog} \left ( 3,-{{\rm e}^{x}} \right ) +12\,{\it polylog} \left ( 4,-{{\rm e}^{x}} \right ) +2\,{x}^{3}\ln \left ( 1-{{\rm e}^{x}} \right ) +6\,{x}^{2}{\it polylog} \left ( 2,{{\rm e}^{x}} \right ) -12\,x{\it polylog} \left ( 3,{{\rm e}^{x}} \right ) +12\,{\it polylog} \left ( 4,{{\rm e}^{x}} \right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(x^3*cosh(x)^2*coth(x)^3,x)

[Out]

-1/2*x^4+(-3/32+3/16*x-3/16*x^2+1/8*x^3)*exp(2*x)+(3/32+3/16*x+3/16*x^2+1/8*x^3)*exp(-2*x)-x^2*(2*x*exp(2*x)+3
*exp(2*x)-3)/(exp(2*x)-1)^2-3*x^2+3*x*ln(exp(x)+1)+3*polylog(2,-exp(x))+3*x*ln(1-exp(x))+3*polylog(2,exp(x))+2
*x^3*ln(exp(x)+1)+6*x^2*polylog(2,-exp(x))-12*x*polylog(3,-exp(x))+12*polylog(4,-exp(x))+2*x^3*ln(1-exp(x))+6*
x^2*polylog(2,exp(x))-12*x*polylog(3,exp(x))+12*polylog(4,exp(x))

________________________________________________________________________________________

Maxima [A]  time = 1.29036, size = 321, normalized size = 2.03 \begin{align*} -x^{4} + 2 \, x^{3} \log \left (e^{x} + 1\right ) + 2 \, x^{3} \log \left (-e^{x} + 1\right ) + 6 \, x^{2}{\rm Li}_2\left (-e^{x}\right ) + 6 \, x^{2}{\rm Li}_2\left (e^{x}\right ) - 3 \, x^{2} + 3 \, x \log \left (e^{x} + 1\right ) + 3 \, x \log \left (-e^{x} + 1\right ) - 12 \, x{\rm Li}_{3}(-e^{x}) - 12 \, x{\rm Li}_{3}(e^{x}) + \frac{16 \, x^{4} - 8 \, x^{3} + 84 \, x^{2} +{\left (4 \, x^{3} - 6 \, x^{2} + 6 \, x - 3\right )} e^{\left (6 \, x\right )} + 2 \,{\left (8 \, x^{4} - 4 \, x^{3} + 6 \, x^{2} - 6 \, x + 3\right )} e^{\left (4 \, x\right )} - 4 \,{\left (8 \, x^{4} + 14 \, x^{3} + 24 \, x^{2} - 3 \, x\right )} e^{\left (2 \, x\right )} +{\left (4 \, x^{3} + 6 \, x^{2} + 6 \, x + 3\right )} e^{\left (-2 \, x\right )} - 12 \, x - 6}{32 \,{\left (e^{\left (4 \, x\right )} - 2 \, e^{\left (2 \, x\right )} + 1\right )}} + 3 \,{\rm Li}_2\left (-e^{x}\right ) + 3 \,{\rm Li}_2\left (e^{x}\right ) + 12 \,{\rm Li}_{4}(-e^{x}) + 12 \,{\rm Li}_{4}(e^{x}) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3*cosh(x)^2*coth(x)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

-x^4 + 2*x^3*log(e^x + 1) + 2*x^3*log(-e^x + 1) + 6*x^2*dilog(-e^x) + 6*x^2*dilog(e^x) - 3*x^2 + 3*x*log(e^x +
1) + 3*x*log(-e^x + 1) - 12*x*polylog(3, -e^x) - 12*x*polylog(3, e^x) + 1/32*(16*x^4 - 8*x^3 + 84*x^2 + (4*x^
3 - 6*x^2 + 6*x - 3)*e^(6*x) + 2*(8*x^4 - 4*x^3 + 6*x^2 - 6*x + 3)*e^(4*x) - 4*(8*x^4 + 14*x^3 + 24*x^2 - 3*x)
*e^(2*x) + (4*x^3 + 6*x^2 + 6*x + 3)*e^(-2*x) - 12*x - 6)/(e^(4*x) - 2*e^(2*x) + 1) + 3*dilog(-e^x) + 3*dilog(
e^x) + 12*polylog(4, -e^x) + 12*polylog(4, e^x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 2.38015, size = 5913, normalized size = 37.42 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3*cosh(x)^2*coth(x)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/32*((4*x^3 - 6*x^2 + 6*x - 3)*cosh(x)^8 + 8*(4*x^3 - 6*x^2 + 6*x - 3)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (4*x^3 - 6*x^2 + 6
*x - 3)*sinh(x)^8 - 2*(8*x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 + 6*x - 3)*cosh(x)^6 - 2*(8*x^4 + 4*x^3 - 14*(4*x^3 - 6*x^2 + 6*
x - 3)*cosh(x)^2 + 42*x^2 + 6*x - 3)*sinh(x)^6 + 4*(14*(4*x^3 - 6*x^2 + 6*x - 3)*cosh(x)^3 - 3*(8*x^4 + 4*x^3
+ 42*x^2 + 6*x - 3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 4*(8*x^4 - 14*x^3 + 24*x^2 + 3*x)*cosh(x)^4 + 2*(35*(4*x^3 - 6*x^2 +
6*x - 3)*cosh(x)^4 + 16*x^4 - 28*x^3 - 15*(8*x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 + 6*x - 3)*cosh(x)^2 + 48*x^2 + 6*x)*sinh(x)
^4 + 8*(7*(4*x^3 - 6*x^2 + 6*x - 3)*cosh(x)^5 - 5*(8*x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 + 6*x - 3)*cosh(x)^3 + 2*(8*x^4 - 14
*x^3 + 24*x^2 + 3*x)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*x^3 - 2*(8*x^4 + 4*x^3 + 6*x^2 + 6*x + 3)*cosh(x)^2 + 2*(14*(4*x^3
- 6*x^2 + 6*x - 3)*cosh(x)^6 - 15*(8*x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 + 6*x - 3)*cosh(x)^4 - 8*x^4 - 4*x^3 + 12*(8*x^4 -
14*x^3 + 24*x^2 + 3*x)*cosh(x)^2 - 6*x^2 - 6*x - 3)*sinh(x)^2 + 6*x^2 + 96*((2*x^2 + 1)*cosh(x)^6 + 6*(2*x^2 +
1)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (2*x^2 + 1)*sinh(x)^6 - 2*(2*x^2 + 1)*cosh(x)^4 + (15*(2*x^2 + 1)*cosh(x)^2 - 4*x^2 -
2)*sinh(x)^4 + 4*(5*(2*x^2 + 1)*cosh(x)^3 - 2*(2*x^2 + 1)*cosh(x))*sinh(x)^3 + (2*x^2 + 1)*cosh(x)^2 + (15*(2*
x^2 + 1)*cosh(x)^4 - 12*(2*x^2 + 1)*cosh(x)^2 + 2*x^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*(3*(2*x^2 + 1)*cosh(x)^5 - 4*(2*x^2 +
1)*cosh(x)^3 + (2*x^2 + 1)*cosh(x))*sinh(x))*dilog(cosh(x) + sinh(x)) + 96*((2*x^2 + 1)*cosh(x)^6 + 6*(2*x^2
+ 1)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (2*x^2 + 1)*sinh(x)^6 - 2*(2*x^2 + 1)*cosh(x)^4 + (15*(2*x^2 + 1)*cosh(x)^2 - 4*x^2 -
2)*sinh(x)^4 + 4*(5*(2*x^2 + 1)*cosh(x)^3 - 2*(2*x^2 + 1)*cosh(x))*sinh(x)^3 + (2*x^2 + 1)*cosh(x)^2 + (15*(2
*x^2 + 1)*cosh(x)^4 - 12*(2*x^2 + 1)*cosh(x)^2 + 2*x^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*(3*(2*x^2 + 1)*cosh(x)^5 - 4*(2*x^2
+ 1)*cosh(x)^3 + (2*x^2 + 1)*cosh(x))*sinh(x))*dilog(-cosh(x) - sinh(x)) + 32*((2*x^3 + 3*x)*cosh(x)^6 + 6*(2*
x^3 + 3*x)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (2*x^3 + 3*x)*sinh(x)^6 - 2*(2*x^3 + 3*x)*cosh(x)^4 - (4*x^3 - 15*(2*x^3 + 3*x)
*cosh(x)^2 + 6*x)*sinh(x)^4 + 4*(5*(2*x^3 + 3*x)*cosh(x)^3 - 2*(2*x^3 + 3*x)*cosh(x))*sinh(x)^3 + (2*x^3 + 3*x
)*cosh(x)^2 + (15*(2*x^3 + 3*x)*cosh(x)^4 + 2*x^3 - 12*(2*x^3 + 3*x)*cosh(x)^2 + 3*x)*sinh(x)^2 + 2*(3*(2*x^3
+ 3*x)*cosh(x)^5 - 4*(2*x^3 + 3*x)*cosh(x)^3 + (2*x^3 + 3*x)*cosh(x))*sinh(x))*log(cosh(x) + sinh(x) + 1) + 32
*((2*x^3 + 3*x)*cosh(x)^6 + 6*(2*x^3 + 3*x)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (2*x^3 + 3*x)*sinh(x)^6 - 2*(2*x^3 + 3*x)*cosh
(x)^4 - (4*x^3 - 15*(2*x^3 + 3*x)*cosh(x)^2 + 6*x)*sinh(x)^4 + 4*(5*(2*x^3 + 3*x)*cosh(x)^3 - 2*(2*x^3 + 3*x)*
cosh(x))*sinh(x)^3 + (2*x^3 + 3*x)*cosh(x)^2 + (15*(2*x^3 + 3*x)*cosh(x)^4 + 2*x^3 - 12*(2*x^3 + 3*x)*cosh(x)^
2 + 3*x)*sinh(x)^2 + 2*(3*(2*x^3 + 3*x)*cosh(x)^5 - 4*(2*x^3 + 3*x)*cosh(x)^3 + (2*x^3 + 3*x)*cosh(x))*sinh(x)
)*log(-cosh(x) - sinh(x) + 1) + 384*(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6 + (15*cosh(x)^2 - 2)*sinh(x)^
4 - 2*cosh(x)^4 + 4*(5*cosh(x)^3 - 2*cosh(x))*sinh(x)^3 + (15*cosh(x)^4 - 12*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + cosh(x
)^2 + 2*(3*cosh(x)^5 - 4*cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x))*polylog(4, cosh(x) + sinh(x)) + 384*(cosh(x)^6 + 6*cosh
(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6 + (15*cosh(x)^2 - 2)*sinh(x)^4 - 2*cosh(x)^4 + 4*(5*cosh(x)^3 - 2*cosh(x))*sinh(x)^3
+ (15*cosh(x)^4 - 12*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + cosh(x)^2 + 2*(3*cosh(x)^5 - 4*cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x))*
polylog(4, -cosh(x) - sinh(x)) - 384*(x*cosh(x)^6 + 6*x*cosh(x)*sinh(x)^5 + x*sinh(x)^6 - 2*x*cosh(x)^4 + (15*
x*cosh(x)^2 - 2*x)*sinh(x)^4 + 4*(5*x*cosh(x)^3 - 2*x*cosh(x))*sinh(x)^3 + x*cosh(x)^2 + (15*x*cosh(x)^4 - 12*
x*cosh(x)^2 + x)*sinh(x)^2 + 2*(3*x*cosh(x)^5 - 4*x*cosh(x)^3 + x*cosh(x))*sinh(x))*polylog(3, cosh(x) + sinh(
x)) - 384*(x*cosh(x)^6 + 6*x*cosh(x)*sinh(x)^5 + x*sinh(x)^6 - 2*x*cosh(x)^4 + (15*x*cosh(x)^2 - 2*x)*sinh(x)^
4 + 4*(5*x*cosh(x)^3 - 2*x*cosh(x))*sinh(x)^3 + x*cosh(x)^2 + (15*x*cosh(x)^4 - 12*x*cosh(x)^2 + x)*sinh(x)^2
+ 2*(3*x*cosh(x)^5 - 4*x*cosh(x)^3 + x*cosh(x))*sinh(x))*polylog(3, -cosh(x) - sinh(x)) + 4*(2*(4*x^3 - 6*x^2
+ 6*x - 3)*cosh(x)^7 - 3*(8*x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 + 6*x - 3)*cosh(x)^5 + 4*(8*x^4 - 14*x^3 + 24*x^2 + 3*x)*cosh
(x)^3 - (8*x^4 + 4*x^3 + 6*x^2 + 6*x + 3)*cosh(x))*sinh(x) + 6*x + 3)/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(
x)^6 + (15*cosh(x)^2 - 2)*sinh(x)^4 - 2*cosh(x)^4 + 4*(5*cosh(x)^3 - 2*cosh(x))*sinh(x)^3 + (15*cosh(x)^4 - 12
*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + cosh(x)^2 + 2*(3*cosh(x)^5 - 4*cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x))

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x**3*cosh(x)**2*coth(x)**3,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int x^{3} \cosh \left (x\right )^{2} \coth \left (x\right )^{3}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3*cosh(x)^2*coth(x)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(x^3*cosh(x)^2*coth(x)^3, x)