### 3.370 $$\int x^3 \text{sech}(a+b x) \tanh ^2(a+b x) \, dx$$

Optimal. Leaf size=240 $-\frac{3 i x^2 \text{PolyLog}\left (2,-i e^{a+b x}\right )}{2 b^2}+\frac{3 i x^2 \text{PolyLog}\left (2,i e^{a+b x}\right )}{2 b^2}+\frac{3 i x \text{PolyLog}\left (3,-i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 i x \text{PolyLog}\left (3,i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 i \text{PolyLog}\left (2,-i e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{3 i \text{PolyLog}\left (2,i e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{3 i \text{PolyLog}\left (4,-i e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{3 i \text{PolyLog}\left (4,i e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{3 x^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b^2}+\frac{6 x \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{x^3 \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}-\frac{x^3 \tanh (a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}$

[Out]

(6*x*ArcTan[E^(a + b*x)])/b^3 + (x^3*ArcTan[E^(a + b*x)])/b - ((3*I)*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^4 - (((3*
I)/2)*x^2*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^2 + ((3*I)*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^4 + (((3*I)/2)*x^2*PolyLog[2
, I*E^(a + b*x)])/b^2 + ((3*I)*x*PolyLog[3, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 - ((3*I)*x*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)])/b^3 -
((3*I)*PolyLog[4, (-I)*E^(a + b*x)])/b^4 + ((3*I)*PolyLog[4, I*E^(a + b*x)])/b^4 - (3*x^2*Sech[a + b*x])/(2*b
^2) - (x^3*Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x])/(2*b)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.297574, antiderivative size = 240, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 25, number of rules used = 9, integrand size = 18, $$\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}$$ = 0.5, Rules used = {5455, 4180, 2531, 6609, 2282, 6589, 4186, 2279, 2391} $-\frac{3 i x^2 \text{PolyLog}\left (2,-i e^{a+b x}\right )}{2 b^2}+\frac{3 i x^2 \text{PolyLog}\left (2,i e^{a+b x}\right )}{2 b^2}+\frac{3 i x \text{PolyLog}\left (3,-i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 i x \text{PolyLog}\left (3,i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 i \text{PolyLog}\left (2,-i e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{3 i \text{PolyLog}\left (2,i e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{3 i \text{PolyLog}\left (4,-i e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{3 i \text{PolyLog}\left (4,i e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{3 x^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b^2}+\frac{6 x \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{x^3 \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}-\frac{x^3 \tanh (a+b x) \text{sech}(a+b x)}{2 b}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Int[x^3*Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x]^2,x]

[Out]

(6*x*ArcTan[E^(a + b*x)])/b^3 + (x^3*ArcTan[E^(a + b*x)])/b - ((3*I)*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^4 - (((3*
I)/2)*x^2*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)])/b^2 + ((3*I)*PolyLog[2, I*E^(a + b*x)])/b^4 + (((3*I)/2)*x^2*PolyLog[2
, I*E^(a + b*x)])/b^2 + ((3*I)*x*PolyLog[3, (-I)*E^(a + b*x)])/b^3 - ((3*I)*x*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)])/b^3 -
((3*I)*PolyLog[4, (-I)*E^(a + b*x)])/b^4 + ((3*I)*PolyLog[4, I*E^(a + b*x)])/b^4 - (3*x^2*Sech[a + b*x])/(2*b
^2) - (x^3*Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x])/(2*b)

Rule 5455

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sech[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_), x_Symbol] :> Int[(c + d
*x)^m*Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x]^(p - 2), x] - Int[(c + d*x)^m*Sech[a + b*x]^3*Tanh[a + b*x]^(p - 2), x] /; F
reeQ[{a, b, c, d, m}, x] && IGtQ[p/2, 0]

Rule 4180

Int[csc[(e_.) + Pi*(k_.) + (Complex[0, fz_])*(f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c
+ d*x)^m*ArcTanh[E^(-(I*e) + f*fz*x)/E^(I*k*Pi)])/(f*fz*I), x] + (-Dist[(d*m)/(f*fz*I), Int[(c + d*x)^(m - 1)*
Log[1 - E^(-(I*e) + f*fz*x)/E^(I*k*Pi)], x], x] + Dist[(d*m)/(f*fz*I), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(-(I*e)
+ f*fz*x)/E^(I*k*Pi)], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e, f, fz}, x] && IntegerQ[2*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 6609

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[((e + f*x)^m*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]), x] - Dist[(f*m)/(b*c*p*Log[F]), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rule 4186

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> -Simp[(b^2*(c + d*x)^m*Cot[e
+ f*x]*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2))/(f*(n - 1)), x] + (Dist[(b^2*d^2*m*(m - 1))/(f^2*(n - 1)*(n - 2)), Int[(c + d
*x)^(m - 2)*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2), x], x] + Dist[(b^2*(n - 2))/(n - 1), Int[(c + d*x)^m*(b*Csc[e + f*x])^(n
- 2), x], x] - Simp[(b^2*d*m*(c + d*x)^(m - 1)*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2))/(f^2*(n - 1)*(n - 2)), x]) /; FreeQ[
{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[n, 1] && NeQ[n, 2] && GtQ[m, 1]

Rule 2279

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2391

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, -(c*e*x^n)]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rubi steps

\begin{align*} \int x^3 \text{sech}(a+b x) \tanh ^2(a+b x) \, dx &=\int x^3 \text{sech}(a+b x) \, dx-\int x^3 \text{sech}^3(a+b x) \, dx\\ &=\frac{2 x^3 \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}-\frac{3 x^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b^2}-\frac{x^3 \text{sech}(a+b x) \tanh (a+b x)}{2 b}-\frac{1}{2} \int x^3 \text{sech}(a+b x) \, dx+\frac{3 \int x \text{sech}(a+b x) \, dx}{b^2}-\frac{(3 i) \int x^2 \log \left (1-i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b}+\frac{(3 i) \int x^2 \log \left (1+i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b}\\ &=\frac{6 x \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{x^3 \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}-\frac{3 i x^2 \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^2}+\frac{3 i x^2 \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right )}{b^2}-\frac{3 x^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b^2}-\frac{x^3 \text{sech}(a+b x) \tanh (a+b x)}{2 b}-\frac{(3 i) \int \log \left (1-i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^3}+\frac{(3 i) \int \log \left (1+i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^3}+\frac{(6 i) \int x \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^2}-\frac{(6 i) \int x \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{(3 i) \int x^2 \log \left (1-i e^{a+b x}\right ) \, dx}{2 b}-\frac{(3 i) \int x^2 \log \left (1+i e^{a+b x}\right ) \, dx}{2 b}\\ &=\frac{6 x \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{x^3 \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}-\frac{3 i x^2 \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right )}{2 b^2}+\frac{3 i x^2 \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right )}{2 b^2}+\frac{6 i x \text{Li}_3\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{6 i x \text{Li}_3\left (i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 x^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b^2}-\frac{x^3 \text{sech}(a+b x) \tanh (a+b x)}{2 b}-\frac{(3 i) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1-i x)}{x} \, dx,x,e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{(3 i) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1+i x)}{x} \, dx,x,e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{(6 i) \int \text{Li}_3\left (-i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^3}+\frac{(6 i) \int \text{Li}_3\left (i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^3}-\frac{(3 i) \int x \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{(3 i) \int x \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^2}\\ &=\frac{6 x \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{x^3 \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}-\frac{3 i \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{3 i x^2 \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right )}{2 b^2}+\frac{3 i \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{3 i x^2 \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right )}{2 b^2}+\frac{3 i x \text{Li}_3\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 i x \text{Li}_3\left (i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 x^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b^2}-\frac{x^3 \text{sech}(a+b x) \tanh (a+b x)}{2 b}-\frac{(6 i) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(-i x)}{x} \, dx,x,e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{(6 i) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(i x)}{x} \, dx,x,e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{(3 i) \int \text{Li}_3\left (-i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^3}-\frac{(3 i) \int \text{Li}_3\left (i e^{a+b x}\right ) \, dx}{b^3}\\ &=\frac{6 x \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{x^3 \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}-\frac{3 i \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{3 i x^2 \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right )}{2 b^2}+\frac{3 i \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{3 i x^2 \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right )}{2 b^2}+\frac{3 i x \text{Li}_3\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 i x \text{Li}_3\left (i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{6 i \text{Li}_4\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{6 i \text{Li}_4\left (i e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{3 x^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b^2}-\frac{x^3 \text{sech}(a+b x) \tanh (a+b x)}{2 b}+\frac{(3 i) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(-i x)}{x} \, dx,x,e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{(3 i) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(i x)}{x} \, dx,x,e^{a+b x}\right )}{b^4}\\ &=\frac{6 x \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b^3}+\frac{x^3 \tan ^{-1}\left (e^{a+b x}\right )}{b}-\frac{3 i \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{3 i x^2 \text{Li}_2\left (-i e^{a+b x}\right )}{2 b^2}+\frac{3 i \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{3 i x^2 \text{Li}_2\left (i e^{a+b x}\right )}{2 b^2}+\frac{3 i x \text{Li}_3\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 i x \text{Li}_3\left (i e^{a+b x}\right )}{b^3}-\frac{3 i \text{Li}_4\left (-i e^{a+b x}\right )}{b^4}+\frac{3 i \text{Li}_4\left (i e^{a+b x}\right )}{b^4}-\frac{3 x^2 \text{sech}(a+b x)}{2 b^2}-\frac{x^3 \text{sech}(a+b x) \tanh (a+b x)}{2 b}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 3.29312, size = 245, normalized size = 1.02 $-\frac{-i \left (-3 \left (b^2 x^2+2\right ) \text{PolyLog}\left (2,-i e^{a+b x}\right )+3 \left (b^2 x^2+2\right ) \text{PolyLog}\left (2,i e^{a+b x}\right )+6 b x \text{PolyLog}\left (3,-i e^{a+b x}\right )-6 b x \text{PolyLog}\left (3,i e^{a+b x}\right )-6 \text{PolyLog}\left (4,-i e^{a+b x}\right )+6 \text{PolyLog}\left (4,i e^{a+b x}\right )+b^3 x^3 \log \left (1-i e^{a+b x}\right )-b^3 x^3 \log \left (1+i e^{a+b x}\right )+6 b x \log \left (1-i e^{a+b x}\right )-6 b x \log \left (1+i e^{a+b x}\right )\right )+b^3 x^3 \text{sech}(a) \sinh (b x) \text{sech}^2(a+b x)+b^2 x^2 (b x \tanh (a)+3) \text{sech}(a+b x)}{2 b^4}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Integrate[x^3*Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x]^2,x]

[Out]

-((-I)*(6*b*x*Log[1 - I*E^(a + b*x)] + b^3*x^3*Log[1 - I*E^(a + b*x)] - 6*b*x*Log[1 + I*E^(a + b*x)] - b^3*x^3
*Log[1 + I*E^(a + b*x)] - 3*(2 + b^2*x^2)*PolyLog[2, (-I)*E^(a + b*x)] + 3*(2 + b^2*x^2)*PolyLog[2, I*E^(a + b
*x)] + 6*b*x*PolyLog[3, (-I)*E^(a + b*x)] - 6*b*x*PolyLog[3, I*E^(a + b*x)] - 6*PolyLog[4, (-I)*E^(a + b*x)] +
6*PolyLog[4, I*E^(a + b*x)]) + b^3*x^3*Sech[a]*Sech[a + b*x]^2*Sinh[b*x] + b^2*x^2*Sech[a + b*x]*(3 + b*x*Tan
h[a]))/(2*b^4)

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.224, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{x}^{3} \left ({\rm sech} \left (bx+a\right ) \right ) ^{3} \left ( \sinh \left ( bx+a \right ) \right ) ^{2}\, dx \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(x^3*sech(b*x+a)^3*sinh(b*x+a)^2,x)

[Out]

int(x^3*sech(b*x+a)^3*sinh(b*x+a)^2,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} -\frac{{\left (b x^{3} e^{\left (3 \, a\right )} + 3 \, x^{2} e^{\left (3 \, a\right )}\right )} e^{\left (3 \, b x\right )} -{\left (b x^{3} e^{a} - 3 \, x^{2} e^{a}\right )} e^{\left (b x\right )}}{b^{2} e^{\left (4 \, b x + 4 \, a\right )} + 2 \, b^{2} e^{\left (2 \, b x + 2 \, a\right )} + b^{2}} + 2 \, \int \frac{{\left (b^{2} x^{3} e^{a} + 6 \, x e^{a}\right )} e^{\left (b x\right )}}{2 \,{\left (b^{2} e^{\left (2 \, b x + 2 \, a\right )} + b^{2}\right )}}\,{d x} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3*sech(b*x+a)^3*sinh(b*x+a)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

-((b*x^3*e^(3*a) + 3*x^2*e^(3*a))*e^(3*b*x) - (b*x^3*e^a - 3*x^2*e^a)*e^(b*x))/(b^2*e^(4*b*x + 4*a) + 2*b^2*e^
(2*b*x + 2*a) + b^2) + 2*integrate(1/2*(b^2*x^3*e^a + 6*x*e^a)*e^(b*x)/(b^2*e^(2*b*x + 2*a) + b^2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 2.73347, size = 5955, normalized size = 24.81 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3*sech(b*x+a)^3*sinh(b*x+a)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/2*(2*(b^3*x^3 + 3*b^2*x^2)*cosh(b*x + a)^3 + 6*(b^3*x^3 + 3*b^2*x^2)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^2 + 2*(b^3
*x^3 + 3*b^2*x^2)*sinh(b*x + a)^3 - 2*(b^3*x^3 - 3*b^2*x^2)*cosh(b*x + a) - ((3*I*b^2*x^2 + 6*I)*cosh(b*x + a)
^4 + (12*I*b^2*x^2 + 24*I)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + (3*I*b^2*x^2 + 6*I)*sinh(b*x + a)^4 + 3*I*b^2*x^2 +
(6*I*b^2*x^2 + 12*I)*cosh(b*x + a)^2 + (6*I*b^2*x^2 + (18*I*b^2*x^2 + 36*I)*cosh(b*x + a)^2 + 12*I)*sinh(b*x
+ a)^2 + ((12*I*b^2*x^2 + 24*I)*cosh(b*x + a)^3 + (12*I*b^2*x^2 + 24*I)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a) + 6*I)*di
log(I*cosh(b*x + a) + I*sinh(b*x + a)) - ((-3*I*b^2*x^2 - 6*I)*cosh(b*x + a)^4 + (-12*I*b^2*x^2 - 24*I)*cosh(b
*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + (-3*I*b^2*x^2 - 6*I)*sinh(b*x + a)^4 - 3*I*b^2*x^2 + (-6*I*b^2*x^2 - 12*I)*cosh(b*x
+ a)^2 + (-6*I*b^2*x^2 + (-18*I*b^2*x^2 - 36*I)*cosh(b*x + a)^2 - 12*I)*sinh(b*x + a)^2 + ((-12*I*b^2*x^2 - 24
*I)*cosh(b*x + a)^3 + (-12*I*b^2*x^2 - 24*I)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a) - 6*I)*dilog(-I*cosh(b*x + a) - I*si
nh(b*x + a)) - ((-I*a^3 - 6*I*a)*cosh(b*x + a)^4 + (-4*I*a^3 - 24*I*a)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + (-I*a^3
- 6*I*a)*sinh(b*x + a)^4 - I*a^3 + (-2*I*a^3 - 12*I*a)*cosh(b*x + a)^2 + (-2*I*a^3 + (-6*I*a^3 - 36*I*a)*cosh
(b*x + a)^2 - 12*I*a)*sinh(b*x + a)^2 + ((-4*I*a^3 - 24*I*a)*cosh(b*x + a)^3 + (-4*I*a^3 - 24*I*a)*cosh(b*x +
a))*sinh(b*x + a) - 6*I*a)*log(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a) + I) - ((I*a^3 + 6*I*a)*cosh(b*x + a)^4 + (4*I*a^
3 + 24*I*a)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + (I*a^3 + 6*I*a)*sinh(b*x + a)^4 + I*a^3 + (2*I*a^3 + 12*I*a)*cosh(
b*x + a)^2 + (2*I*a^3 + (6*I*a^3 + 36*I*a)*cosh(b*x + a)^2 + 12*I*a)*sinh(b*x + a)^2 + ((4*I*a^3 + 24*I*a)*cos
h(b*x + a)^3 + (4*I*a^3 + 24*I*a)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a) + 6*I*a)*log(cosh(b*x + a) + sinh(b*x + a) - I)
- (-I*b^3*x^3 + (-I*b^3*x^3 - I*a^3 - 6*I*b*x - 6*I*a)*cosh(b*x + a)^4 + (-4*I*b^3*x^3 - 4*I*a^3 - 24*I*b*x -
24*I*a)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + (-I*b^3*x^3 - I*a^3 - 6*I*b*x - 6*I*a)*sinh(b*x + a)^4 - I*a^3 + (-2*
I*b^3*x^3 - 2*I*a^3 - 12*I*b*x - 12*I*a)*cosh(b*x + a)^2 + (-2*I*b^3*x^3 - 2*I*a^3 + (-6*I*b^3*x^3 - 6*I*a^3 -
36*I*b*x - 36*I*a)*cosh(b*x + a)^2 - 12*I*b*x - 12*I*a)*sinh(b*x + a)^2 - 6*I*b*x + ((-4*I*b^3*x^3 - 4*I*a^3
- 24*I*b*x - 24*I*a)*cosh(b*x + a)^3 + (-4*I*b^3*x^3 - 4*I*a^3 - 24*I*b*x - 24*I*a)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x +
a) - 6*I*a)*log(I*cosh(b*x + a) + I*sinh(b*x + a) + 1) - (I*b^3*x^3 + (I*b^3*x^3 + I*a^3 + 6*I*b*x + 6*I*a)*co
sh(b*x + a)^4 + (4*I*b^3*x^3 + 4*I*a^3 + 24*I*b*x + 24*I*a)*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + (I*b^3*x^3 + I*a^3
+ 6*I*b*x + 6*I*a)*sinh(b*x + a)^4 + I*a^3 + (2*I*b^3*x^3 + 2*I*a^3 + 12*I*b*x + 12*I*a)*cosh(b*x + a)^2 + (2
*I*b^3*x^3 + 2*I*a^3 + (6*I*b^3*x^3 + 6*I*a^3 + 36*I*b*x + 36*I*a)*cosh(b*x + a)^2 + 12*I*b*x + 12*I*a)*sinh(b
*x + a)^2 + 6*I*b*x + ((4*I*b^3*x^3 + 4*I*a^3 + 24*I*b*x + 24*I*a)*cosh(b*x + a)^3 + (4*I*b^3*x^3 + 4*I*a^3 +
24*I*b*x + 24*I*a)*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a) + 6*I*a)*log(-I*cosh(b*x + a) - I*sinh(b*x + a) + 1) - (6*I*co
sh(b*x + a)^4 + 24*I*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + 6*I*sinh(b*x + a)^4 + (36*I*cosh(b*x + a)^2 + 12*I)*sinh(
b*x + a)^2 + 12*I*cosh(b*x + a)^2 + (24*I*cosh(b*x + a)^3 + 24*I*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a) + 6*I)*polylog(4
, I*cosh(b*x + a) + I*sinh(b*x + a)) - (-6*I*cosh(b*x + a)^4 - 24*I*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 - 6*I*sinh(b
*x + a)^4 + (-36*I*cosh(b*x + a)^2 - 12*I)*sinh(b*x + a)^2 - 12*I*cosh(b*x + a)^2 + (-24*I*cosh(b*x + a)^3 - 2
4*I*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a) - 6*I)*polylog(4, -I*cosh(b*x + a) - I*sinh(b*x + a)) - (-6*I*b*x*cosh(b*x +
a)^4 - 24*I*b*x*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 - 6*I*b*x*sinh(b*x + a)^4 - 12*I*b*x*cosh(b*x + a)^2 + (-36*I*b*
x*cosh(b*x + a)^2 - 12*I*b*x)*sinh(b*x + a)^2 - 6*I*b*x + (-24*I*b*x*cosh(b*x + a)^3 - 24*I*b*x*cosh(b*x + a))
*sinh(b*x + a))*polylog(3, I*cosh(b*x + a) + I*sinh(b*x + a)) - (6*I*b*x*cosh(b*x + a)^4 + 24*I*b*x*cosh(b*x +
a)*sinh(b*x + a)^3 + 6*I*b*x*sinh(b*x + a)^4 + 12*I*b*x*cosh(b*x + a)^2 + (36*I*b*x*cosh(b*x + a)^2 + 12*I*b*
x)*sinh(b*x + a)^2 + 6*I*b*x + (24*I*b*x*cosh(b*x + a)^3 + 24*I*b*x*cosh(b*x + a))*sinh(b*x + a))*polylog(3, -
I*cosh(b*x + a) - I*sinh(b*x + a)) - 2*(b^3*x^3 - 3*b^2*x^2 - 3*(b^3*x^3 + 3*b^2*x^2)*cosh(b*x + a)^2)*sinh(b*
x + a))/(b^4*cosh(b*x + a)^4 + 4*b^4*cosh(b*x + a)*sinh(b*x + a)^3 + b^4*sinh(b*x + a)^4 + 2*b^4*cosh(b*x + a)
^2 + b^4 + 2*(3*b^4*cosh(b*x + a)^2 + b^4)*sinh(b*x + a)^2 + 4*(b^4*cosh(b*x + a)^3 + b^4*cosh(b*x + a))*sinh(
b*x + a))

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x**3*sech(b*x+a)**3*sinh(b*x+a)**2,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int x^{3} \operatorname{sech}\left (b x + a\right )^{3} \sinh \left (b x + a\right )^{2}\,{d x} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3*sech(b*x+a)^3*sinh(b*x+a)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(x^3*sech(b*x + a)^3*sinh(b*x + a)^2, x)