### 3.44 $$\int \frac{\sinh (c+d x)}{(a+b \tanh ^2(c+d x))^3} \, dx$$

Optimal. Leaf size=126 $\frac{15 \cosh (c+d x)}{8 d (a+b)^3}-\frac{5 \cosh (c+d x)}{8 d (a+b)^2 \left (a-b \text{sech}^2(c+d x)+b\right )}-\frac{\cosh (c+d x)}{4 d (a+b) \left (a-b \text{sech}^2(c+d x)+b\right )^2}-\frac{15 \sqrt{b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \text{sech}(c+d x)}{\sqrt{a+b}}\right )}{8 d (a+b)^{7/2}}$

[Out]

(-15*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sech[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(8*(a + b)^(7/2)*d) + (15*Cosh[c + d*x])/(8*(a + b)
^3*d) - Cosh[c + d*x]/(4*(a + b)*d*(a + b - b*Sech[c + d*x]^2)^2) - (5*Cosh[c + d*x])/(8*(a + b)^2*d*(a + b -
b*Sech[c + d*x]^2))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0966862, antiderivative size = 126, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 5, number of rules used = 4, integrand size = 21, $$\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}$$ = 0.19, Rules used = {3664, 290, 325, 208} $\frac{15 \cosh (c+d x)}{8 d (a+b)^3}-\frac{5 \cosh (c+d x)}{8 d (a+b)^2 \left (a-b \text{sech}^2(c+d x)+b\right )}-\frac{\cosh (c+d x)}{4 d (a+b) \left (a-b \text{sech}^2(c+d x)+b\right )^2}-\frac{15 \sqrt{b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \text{sech}(c+d x)}{\sqrt{a+b}}\right )}{8 d (a+b)^{7/2}}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Int[Sinh[c + d*x]/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3,x]

[Out]

(-15*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sech[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(8*(a + b)^(7/2)*d) + (15*Cosh[c + d*x])/(8*(a + b)
^3*d) - Cosh[c + d*x]/(4*(a + b)*d*(a + b - b*Sech[c + d*x]^2)^2) - (5*Cosh[c + d*x])/(8*(a + b)^2*d*(a + b -
b*Sech[c + d*x]^2))

Rule 3664

Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = Free
Factors[Sec[e + f*x], x]}, Dist[1/(f*ff^m), Subst[Int[((-1 + ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a - b + b*ff^2*x^2)^p)/x^(
m + 1), x], x, Sec[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2]

Rule 290

Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> -Simp[((c*x)^(m + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1))/(
a*c*n*(p + 1)), x] + Dist[(m + n*(p + 1) + 1)/(a*n*(p + 1)), Int[(c*x)^m*(a + b*x^n)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[
{a, b, c, m}, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && IntBinomialQ[a, b, c, n, m, p, x]

Rule 325

Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[((c*x)^(m + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1))/(a*
c*(m + 1)), x] - Dist[(b*(m + n*(p + 1) + 1))/(a*c^n*(m + 1)), Int[(c*x)^(m + n)*(a + b*x^n)^p, x], x] /; Free
Q[{a, b, c, p}, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[m, -1] && IntBinomialQ[a, b, c, n, m, p, x]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\sinh (c+d x)}{\left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^3} \, dx &=-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x^2 \left (a+b-b x^2\right )^3} \, dx,x,\text{sech}(c+d x)\right )}{d}\\ &=-\frac{\cosh (c+d x)}{4 (a+b) d \left (a+b-b \text{sech}^2(c+d x)\right )^2}-\frac{5 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x^2 \left (a+b-b x^2\right )^2} \, dx,x,\text{sech}(c+d x)\right )}{4 (a+b) d}\\ &=-\frac{\cosh (c+d x)}{4 (a+b) d \left (a+b-b \text{sech}^2(c+d x)\right )^2}-\frac{5 \cosh (c+d x)}{8 (a+b)^2 d \left (a+b-b \text{sech}^2(c+d x)\right )}-\frac{15 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x^2 \left (a+b-b x^2\right )} \, dx,x,\text{sech}(c+d x)\right )}{8 (a+b)^2 d}\\ &=\frac{15 \cosh (c+d x)}{8 (a+b)^3 d}-\frac{\cosh (c+d x)}{4 (a+b) d \left (a+b-b \text{sech}^2(c+d x)\right )^2}-\frac{5 \cosh (c+d x)}{8 (a+b)^2 d \left (a+b-b \text{sech}^2(c+d x)\right )}-\frac{(15 b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{a+b-b x^2} \, dx,x,\text{sech}(c+d x)\right )}{8 (a+b)^3 d}\\ &=-\frac{15 \sqrt{b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \text{sech}(c+d x)}{\sqrt{a+b}}\right )}{8 (a+b)^{7/2} d}+\frac{15 \cosh (c+d x)}{8 (a+b)^3 d}-\frac{\cosh (c+d x)}{4 (a+b) d \left (a+b-b \text{sech}^2(c+d x)\right )^2}-\frac{5 \cosh (c+d x)}{8 (a+b)^2 d \left (a+b-b \text{sech}^2(c+d x)\right )}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 1.73717, size = 157, normalized size = 1.25 $\frac{\frac{2 \cosh (c+d x) \left (-\frac{4 b^2}{((a+b) \cosh (2 (c+d x))+a-b)^2}-\frac{9 b}{(a+b) \cosh (2 (c+d x))+a-b}+4\right )}{(a+b)^3}-\frac{15 i \sqrt{b} \left (\tan ^{-1}\left (\frac{-\sqrt{a} \tanh \left (\frac{1}{2} (c+d x)\right )-i \sqrt{a+b}}{\sqrt{b}}\right )+\tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \tanh \left (\frac{1}{2} (c+d x)\right )-i \sqrt{a+b}}{\sqrt{b}}\right )\right )}{(a+b)^{7/2}}}{8 d}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Integrate[Sinh[c + d*x]/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^3,x]

[Out]

(((-15*I)*Sqrt[b]*(ArcTan[((-I)*Sqrt[a + b] - Sqrt[a]*Tanh[(c + d*x)/2])/Sqrt[b]] + ArcTan[((-I)*Sqrt[a + b] +
Sqrt[a]*Tanh[(c + d*x)/2])/Sqrt[b]]))/(a + b)^(7/2) + (2*Cosh[c + d*x]*(4 - (4*b^2)/(a - b + (a + b)*Cosh[2*(
c + d*x)])^2 - (9*b)/(a - b + (a + b)*Cosh[2*(c + d*x)])))/(a + b)^3)/(8*d)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.089, size = 252, normalized size = 2. \begin{align*}{\frac{1}{d} \left ({\frac{1}{ \left ( a+b \right ) ^{3}} \left ( \tanh \left ({\frac{dx}{2}}+{\frac{c}{2}} \right ) +1 \right ) ^{-1}}+2\,{\frac{b}{ \left ( a+b \right ) ^{3}} \left ({\frac{1}{ \left ( \left ( \tanh \left ( 1/2\,dx+c/2 \right ) \right ) ^{4}a+2\, \left ( \tanh \left ( 1/2\,dx+c/2 \right ) \right ) ^{2}a+4\, \left ( \tanh \left ( 1/2\,dx+c/2 \right ) \right ) ^{2}b+a \right ) ^{2}} \left ( -1/8\,{\frac{ \left ( 9\,{a}^{2}+24\,ab+8\,{b}^{2} \right ) \left ( \tanh \left ( 1/2\,dx+c/2 \right ) \right ) ^{6}}{a}}-1/8\,{\frac{ \left ( 27\,{a}^{3}+78\,{a}^{2}b+88\,a{b}^{2}+16\,{b}^{3} \right ) \left ( \tanh \left ( 1/2\,dx+c/2 \right ) \right ) ^{4}}{{a}^{2}}}-1/8\,{\frac{ \left ( 27\,{a}^{2}+56\,ab+8\,{b}^{2} \right ) \left ( \tanh \left ( 1/2\,dx+c/2 \right ) \right ) ^{2}}{a}}-{\frac{9\,a}{8}}-b/4 \right ) }-{\frac{15}{16\,\sqrt{ab+{b}^{2}}}{\it Artanh} \left ( 1/4\,{\frac{2\, \left ( \tanh \left ( 1/2\,dx+c/2 \right ) \right ) ^{2}a+2\,a+4\,b}{\sqrt{ab+{b}^{2}}}} \right ) } \right ) }-{\frac{1}{ \left ( a+b \right ) ^{3}} \left ( \tanh \left ({\frac{dx}{2}}+{\frac{c}{2}} \right ) -1 \right ) ^{-1}} \right ) } \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(sinh(d*x+c)/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x)

[Out]

1/d*(1/(a+b)^3/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)+1)+2*b/(a+b)^3*((-1/8*(9*a^2+24*a*b+8*b^2)/a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^6-1/8/a^2
*(27*a^3+78*a^2*b+88*a*b^2+16*b^3)*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4-1/8*(27*a^2+56*a*b+8*b^2)/a*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2-9/8
*a-1/4*b)/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)^2-15/16/(a*b+b^2)^(1
/2)*arctanh(1/4*(2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a+2*a+4*b)/(a*b+b^2)^(1/2)))-1/(a+b)^3/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)-1))

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sinh(d*x+c)/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/4*(2*a^2 + 4*a*b + 2*b^2 + 2*(a^2*e^(10*c) + 2*a*b*e^(10*c) + b^2*e^(10*c))*e^(10*d*x) + 5*(2*a^2*e^(8*c) -
a*b*e^(8*c) - 3*b^2*e^(8*c))*e^(8*d*x) + 5*(4*a^2*e^(6*c) - 7*a*b*e^(6*c) + b^2*e^(6*c))*e^(6*d*x) + 5*(4*a^2*
e^(4*c) - 7*a*b*e^(4*c) + b^2*e^(4*c))*e^(4*d*x) + 5*(2*a^2*e^(2*c) - a*b*e^(2*c) - 3*b^2*e^(2*c))*e^(2*d*x))/
((a^5*d*e^(9*c) + 5*a^4*b*d*e^(9*c) + 10*a^3*b^2*d*e^(9*c) + 10*a^2*b^3*d*e^(9*c) + 5*a*b^4*d*e^(9*c) + b^5*d*
e^(9*c))*e^(9*d*x) + 4*(a^5*d*e^(7*c) + 3*a^4*b*d*e^(7*c) + 2*a^3*b^2*d*e^(7*c) - 2*a^2*b^3*d*e^(7*c) - 3*a*b^
4*d*e^(7*c) - b^5*d*e^(7*c))*e^(7*d*x) + 2*(3*a^5*d*e^(5*c) + 7*a^4*b*d*e^(5*c) + 6*a^3*b^2*d*e^(5*c) + 6*a^2*
b^3*d*e^(5*c) + 7*a*b^4*d*e^(5*c) + 3*b^5*d*e^(5*c))*e^(5*d*x) + 4*(a^5*d*e^(3*c) + 3*a^4*b*d*e^(3*c) + 2*a^3*
b^2*d*e^(3*c) - 2*a^2*b^3*d*e^(3*c) - 3*a*b^4*d*e^(3*c) - b^5*d*e^(3*c))*e^(3*d*x) + (a^5*d*e^c + 5*a^4*b*d*e^
c + 10*a^3*b^2*d*e^c + 10*a^2*b^3*d*e^c + 5*a*b^4*d*e^c + b^5*d*e^c)*e^(d*x)) + 1/2*integrate(15/2*(b*e^(3*d*x
+ 3*c) - b*e^(d*x + c))/(a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4 + (a^4*e^(4*c) + 4*a^3*b*e^(4*c) + 6*a^2*b
^2*e^(4*c) + 4*a*b^3*e^(4*c) + b^4*e^(4*c))*e^(4*d*x) + 2*(a^4*e^(2*c) + 2*a^3*b*e^(2*c) - 2*a*b^3*e^(2*c) - b
^4*e^(2*c))*e^(2*d*x)), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 3.08356, size = 17194, normalized size = 136.46 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sinh(d*x+c)/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/16*(8*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^10 + 80*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^9 + 8*(a^2
+ 2*a*b + b^2)*sinh(d*x + c)^10 + 20*(2*a^2 - a*b - 3*b^2)*cosh(d*x + c)^8 + 20*(18*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d
*x + c)^2 + 2*a^2 - a*b - 3*b^2)*sinh(d*x + c)^8 + 160*(6*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (2*a^2 - a*b -
3*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^7 + 20*(4*a^2 - 7*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 20*(84*(a^2 + 2*a*b + b^2)
*cosh(d*x + c)^4 + 28*(2*a^2 - a*b - 3*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 4*a^2 - 7*a*b + b^2)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(252*(a
^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 140*(2*a^2 - a*b - 3*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 15*(4*a^2 - 7*a*b + b^2)*cosh(
d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 20*(4*a^2 - 7*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 20*(84*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c
)^6 + 70*(2*a^2 - a*b - 3*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 15*(4*a^2 - 7*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 4*a^2 - 7*a*b + b^
2)*sinh(d*x + c)^4 + 80*(12*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^7 + 14*(2*a^2 - a*b - 3*b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 5
*(4*a^2 - 7*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (4*a^2 - 7*a*b + b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 20*(2*a^2 - a*
b - 3*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 20*(18*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^8 + 28*(2*a^2 - a*b - 3*b^2)*cosh(d*x +
c)^6 + 15*(4*a^2 - 7*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 6*(4*a^2 - 7*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 2*a^2 - a*b - 3*b^
2)*sinh(d*x + c)^2 + 15*((a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^9 + 9*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x +
c)^8 + (a^2 + 2*a*b + b^2)*sinh(d*x + c)^9 + 4*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^7 + 4*(9*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x
+ c)^2 + a^2 - b^2)*sinh(d*x + c)^7 + 28*(3*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (a^2 - b^2)*cosh(d*x + c))*
sinh(d*x + c)^6 + 2*(3*a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 2*(63*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 42*(
a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 3*a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*sinh(d*x + c)^5 + 2*(63*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^
5 + 70*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 5*(3*a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^4 + 4*(a^2 - b^2)*
cosh(d*x + c)^3 + 4*(21*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 35*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 5*(3*a^2 - 2*a*
b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + a^2 - b^2)*sinh(d*x + c)^3 + 4*(9*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^7 + 21*(a^2 -
b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 5*(3*a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)
^2 + (a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c) + (9*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^8 + 28*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)
^6 + 10*(3*a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 12*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2)*sinh(d*x
+ c))*sqrt(b/(a + b))*log(((a + b)*cosh(d*x + c)^4 + 4*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 + (a + b)*sinh(d
*x + c)^4 + 2*(a + 3*b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2 + a + 3*b)*sinh(d*x + c)^2 + 4*((a + b)
*cosh(d*x + c)^3 + (a + 3*b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) - 4*((a + b)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a + b)*cosh(d*x +
c)*sinh(d*x + c)^2 + (a + b)*sinh(d*x + c)^3 + (a + b)*cosh(d*x + c) + (3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2 + a + b)*sin
h(d*x + c))*sqrt(b/(a + b)) + a + b)/((a + b)*cosh(d*x + c)^4 + 4*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 + (a +
b)*sinh(d*x + c)^4 + 2*(a - b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2 + a - b)*sinh(d*x + c)^2 + 4*((
a + b)*cosh(d*x + c)^3 + (a - b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) + a + b)) + 8*a^2 + 16*a*b + 8*b^2 + 40*(2*(a^2
+ 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^9 + 4*(2*a^2 - a*b - 3*b^2)*cosh(d*x + c)^7 + 3*(4*a^2 - 7*a*b + b^2)*cosh(d*x +
c)^5 + 2*(4*a^2 - 7*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (2*a^2 - a*b - 3*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))/((a^5 + 5
*a^4*b + 10*a^3*b^2 + 10*a^2*b^3 + 5*a*b^4 + b^5)*d*cosh(d*x + c)^9 + 9*(a^5 + 5*a^4*b + 10*a^3*b^2 + 10*a^2*b
^3 + 5*a*b^4 + b^5)*d*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^8 + (a^5 + 5*a^4*b + 10*a^3*b^2 + 10*a^2*b^3 + 5*a*b^4 + b^5
)*d*sinh(d*x + c)^9 + 4*(a^5 + 3*a^4*b + 2*a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 - 3*a*b^4 - b^5)*d*cosh(d*x + c)^7 + 4*(9*(a^5
+ 5*a^4*b + 10*a^3*b^2 + 10*a^2*b^3 + 5*a*b^4 + b^5)*d*cosh(d*x + c)^2 + (a^5 + 3*a^4*b + 2*a^3*b^2 - 2*a^2*b^
3 - 3*a*b^4 - b^5)*d)*sinh(d*x + c)^7 + 2*(3*a^5 + 7*a^4*b + 6*a^3*b^2 + 6*a^2*b^3 + 7*a*b^4 + 3*b^5)*d*cosh(d
*x + c)^5 + 28*(3*(a^5 + 5*a^4*b + 10*a^3*b^2 + 10*a^2*b^3 + 5*a*b^4 + b^5)*d*cosh(d*x + c)^3 + (a^5 + 3*a^4*b
+ 2*a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 - 3*a*b^4 - b^5)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^6 + 2*(63*(a^5 + 5*a^4*b + 10*a^3*b^2
+ 10*a^2*b^3 + 5*a*b^4 + b^5)*d*cosh(d*x + c)^4 + 42*(a^5 + 3*a^4*b + 2*a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 - 3*a*b^4 - b^5)*
d*cosh(d*x + c)^2 + (3*a^5 + 7*a^4*b + 6*a^3*b^2 + 6*a^2*b^3 + 7*a*b^4 + 3*b^5)*d)*sinh(d*x + c)^5 + 4*(a^5 +
3*a^4*b + 2*a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 - 3*a*b^4 - b^5)*d*cosh(d*x + c)^3 + 2*(63*(a^5 + 5*a^4*b + 10*a^3*b^2 + 10*a^
2*b^3 + 5*a*b^4 + b^5)*d*cosh(d*x + c)^5 + 70*(a^5 + 3*a^4*b + 2*a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 - 3*a*b^4 - b^5)*d*cosh(d
*x + c)^3 + 5*(3*a^5 + 7*a^4*b + 6*a^3*b^2 + 6*a^2*b^3 + 7*a*b^4 + 3*b^5)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^4 + 4
*(21*(a^5 + 5*a^4*b + 10*a^3*b^2 + 10*a^2*b^3 + 5*a*b^4 + b^5)*d*cosh(d*x + c)^6 + 35*(a^5 + 3*a^4*b + 2*a^3*b
^2 - 2*a^2*b^3 - 3*a*b^4 - b^5)*d*cosh(d*x + c)^4 + 5*(3*a^5 + 7*a^4*b + 6*a^3*b^2 + 6*a^2*b^3 + 7*a*b^4 + 3*b
^5)*d*cosh(d*x + c)^2 + (a^5 + 3*a^4*b + 2*a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 - 3*a*b^4 - b^5)*d)*sinh(d*x + c)^3 + (a^5 + 5*
a^4*b + 10*a^3*b^2 + 10*a^2*b^3 + 5*a*b^4 + b^5)*d*cosh(d*x + c) + 4*(9*(a^5 + 5*a^4*b + 10*a^3*b^2 + 10*a^2*b
^3 + 5*a*b^4 + b^5)*d*cosh(d*x + c)^7 + 21*(a^5 + 3*a^4*b + 2*a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 - 3*a*b^4 - b^5)*d*cosh(d*x
+ c)^5 + 5*(3*a^5 + 7*a^4*b + 6*a^3*b^2 + 6*a^2*b^3 + 7*a*b^4 + 3*b^5)*d*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^5 + 3*a^4*b +
2*a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 - 3*a*b^4 - b^5)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 + (9*(a^5 + 5*a^4*b + 10*a^3*b^2 + 10*
a^2*b^3 + 5*a*b^4 + b^5)*d*cosh(d*x + c)^8 + 28*(a^5 + 3*a^4*b + 2*a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 - 3*a*b^4 - b^5)*d*cosh
(d*x + c)^6 + 10*(3*a^5 + 7*a^4*b + 6*a^3*b^2 + 6*a^2*b^3 + 7*a*b^4 + 3*b^5)*d*cosh(d*x + c)^4 + 12*(a^5 + 3*a
^4*b + 2*a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 - 3*a*b^4 - b^5)*d*cosh(d*x + c)^2 + (a^5 + 5*a^4*b + 10*a^3*b^2 + 10*a^2*b^3 + 5
*a*b^4 + b^5)*d)*sinh(d*x + c)), 1/8*(4*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^10 + 40*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x
+ c)*sinh(d*x + c)^9 + 4*(a^2 + 2*a*b + b^2)*sinh(d*x + c)^10 + 10*(2*a^2 - a*b - 3*b^2)*cosh(d*x + c)^8 + 10
*(18*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 2*a^2 - a*b - 3*b^2)*sinh(d*x + c)^8 + 80*(6*(a^2 + 2*a*b + b^2)*co
sh(d*x + c)^3 + (2*a^2 - a*b - 3*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^7 + 10*(4*a^2 - 7*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^
6 + 10*(84*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 28*(2*a^2 - a*b - 3*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 4*a^2 - 7*a*b + b^
2)*sinh(d*x + c)^6 + 4*(252*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 140*(2*a^2 - a*b - 3*b^2)*cosh(d*x + c)^3 +
15*(4*a^2 - 7*a*b + b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 10*(4*a^2 - 7*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 10*(84*(a
^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 70*(2*a^2 - a*b - 3*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 15*(4*a^2 - 7*a*b + b^2)*cosh(d
*x + c)^2 + 4*a^2 - 7*a*b + b^2)*sinh(d*x + c)^4 + 40*(12*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^7 + 14*(2*a^2 - a*
b - 3*b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 5*(4*a^2 - 7*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (4*a^2 - 7*a*b + b^2)*cosh(d*x + c))*si
nh(d*x + c)^3 + 10*(2*a^2 - a*b - 3*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 10*(18*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^8 + 28*(2*
a^2 - a*b - 3*b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 15*(4*a^2 - 7*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 6*(4*a^2 - 7*a*b + b^2)*cosh(d
*x + c)^2 + 2*a^2 - a*b - 3*b^2)*sinh(d*x + c)^2 - 15*((a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^9 + 9*(a^2 + 2*a*b +
b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^8 + (a^2 + 2*a*b + b^2)*sinh(d*x + c)^9 + 4*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^7 + 4*(
9*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^2 + a^2 - b^2)*sinh(d*x + c)^7 + 28*(3*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^3
+ (a^2 - b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^6 + 2*(3*a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 2*(63*(a^2 + 2*a*b
+ b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 42*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 3*a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*sinh(d*x + c)^5 + 2*(63*(a^2
+ 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 70*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 5*(3*a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c))*si
nh(d*x + c)^4 + 4*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 4*(21*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 35*(a^2 - b^2)*cos
h(d*x + c)^4 + 5*(3*a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + a^2 - b^2)*sinh(d*x + c)^3 + 4*(9*(a^2 + 2*a*b + b^
2)*cosh(d*x + c)^7 + 21*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 5*(3*a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^2 - b^2
)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 + (a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c) + (9*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^8
+ 28*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 10*(3*a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 12*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^2
+ a^2 + 2*a*b + b^2)*sinh(d*x + c))*sqrt(-b/(a + b))*arctan(1/2*((a + b)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a + b)*cosh(d*x
+ c)*sinh(d*x + c)^2 + (a + b)*sinh(d*x + c)^3 + (a - 3*b)*cosh(d*x + c) + (3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2 + a - 3
*b)*sinh(d*x + c))*sqrt(-b/(a + b))/b) + 15*((a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^9 + 9*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(
d*x + c)*sinh(d*x + c)^8 + (a^2 + 2*a*b + b^2)*sinh(d*x + c)^9 + 4*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^7 + 4*(9*(a^2 + 2
*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^2 + a^2 - b^2)*sinh(d*x + c)^7 + 28*(3*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (a^2 -
b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^6 + 2*(3*a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 2*(63*(a^2 + 2*a*b + b^2)*co
sh(d*x + c)^4 + 42*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 3*a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*sinh(d*x + c)^5 + 2*(63*(a^2 + 2*a*b +
b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 70*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 5*(3*a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c
)^4 + 4*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 4*(21*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 35*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)
^4 + 5*(3*a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + a^2 - b^2)*sinh(d*x + c)^3 + 4*(9*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*
x + c)^7 + 21*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 5*(3*a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^2 - b^2)*cosh(d*x
+ c))*sinh(d*x + c)^2 + (a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c) + (9*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^8 + 28*(a^2
- b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 10*(3*a^2 - 2*a*b + 3*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 12*(a^2 - b^2)*cosh(d*x + c)^2 + a^2 + 2
*a*b + b^2)*sinh(d*x + c))*sqrt(-b/(a + b))*arctan(1/2*((a + b)*cosh(d*x + c) + (a + b)*sinh(d*x + c))*sqrt(-b
/(a + b))/b) + 4*a^2 + 8*a*b + 4*b^2 + 20*(2*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^9 + 4*(2*a^2 - a*b - 3*b^2)*cos
h(d*x + c)^7 + 3*(4*a^2 - 7*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 2*(4*a^2 - 7*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (2*a^2 - a*
b - 3*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))/((a^5 + 5*a^4*b + 10*a^3*b^2 + 10*a^2*b^3 + 5*a*b^4 + b^5)*d*cosh(d*x
+ c)^9 + 9*(a^5 + 5*a^4*b + 10*a^3*b^2 + 10*a^2*b^3 + 5*a*b^4 + b^5)*d*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^8 + (a^5 +
5*a^4*b + 10*a^3*b^2 + 10*a^2*b^3 + 5*a*b^4 + b^5)*d*sinh(d*x + c)^9 + 4*(a^5 + 3*a^4*b + 2*a^3*b^2 - 2*a^2*b
^3 - 3*a*b^4 - b^5)*d*cosh(d*x + c)^7 + 4*(9*(a^5 + 5*a^4*b + 10*a^3*b^2 + 10*a^2*b^3 + 5*a*b^4 + b^5)*d*cosh(
d*x + c)^2 + (a^5 + 3*a^4*b + 2*a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 - 3*a*b^4 - b^5)*d)*sinh(d*x + c)^7 + 2*(3*a^5 + 7*a^4*b +
6*a^3*b^2 + 6*a^2*b^3 + 7*a*b^4 + 3*b^5)*d*cosh(d*x + c)^5 + 28*(3*(a^5 + 5*a^4*b + 10*a^3*b^2 + 10*a^2*b^3 +
5*a*b^4 + b^5)*d*cosh(d*x + c)^3 + (a^5 + 3*a^4*b + 2*a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 - 3*a*b^4 - b^5)*d*cosh(d*x + c))*s
inh(d*x + c)^6 + 2*(63*(a^5 + 5*a^4*b + 10*a^3*b^2 + 10*a^2*b^3 + 5*a*b^4 + b^5)*d*cosh(d*x + c)^4 + 42*(a^5 +
3*a^4*b + 2*a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 - 3*a*b^4 - b^5)*d*cosh(d*x + c)^2 + (3*a^5 + 7*a^4*b + 6*a^3*b^2 + 6*a^2*b^3
+ 7*a*b^4 + 3*b^5)*d)*sinh(d*x + c)^5 + 4*(a^5 + 3*a^4*b + 2*a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 - 3*a*b^4 - b^5)*d*cosh(d*x
+ c)^3 + 2*(63*(a^5 + 5*a^4*b + 10*a^3*b^2 + 10*a^2*b^3 + 5*a*b^4 + b^5)*d*cosh(d*x + c)^5 + 70*(a^5 + 3*a^4*b
+ 2*a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 - 3*a*b^4 - b^5)*d*cosh(d*x + c)^3 + 5*(3*a^5 + 7*a^4*b + 6*a^3*b^2 + 6*a^2*b^3 + 7*a
*b^4 + 3*b^5)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^4 + 4*(21*(a^5 + 5*a^4*b + 10*a^3*b^2 + 10*a^2*b^3 + 5*a*b^4 + b^
5)*d*cosh(d*x + c)^6 + 35*(a^5 + 3*a^4*b + 2*a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 - 3*a*b^4 - b^5)*d*cosh(d*x + c)^4 + 5*(3*a^5
+ 7*a^4*b + 6*a^3*b^2 + 6*a^2*b^3 + 7*a*b^4 + 3*b^5)*d*cosh(d*x + c)^2 + (a^5 + 3*a^4*b + 2*a^3*b^2 - 2*a^2*b
^3 - 3*a*b^4 - b^5)*d)*sinh(d*x + c)^3 + (a^5 + 5*a^4*b + 10*a^3*b^2 + 10*a^2*b^3 + 5*a*b^4 + b^5)*d*cosh(d*x
+ c) + 4*(9*(a^5 + 5*a^4*b + 10*a^3*b^2 + 10*a^2*b^3 + 5*a*b^4 + b^5)*d*cosh(d*x + c)^7 + 21*(a^5 + 3*a^4*b +
2*a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 - 3*a*b^4 - b^5)*d*cosh(d*x + c)^5 + 5*(3*a^5 + 7*a^4*b + 6*a^3*b^2 + 6*a^2*b^3 + 7*a*b^
4 + 3*b^5)*d*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^5 + 3*a^4*b + 2*a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 - 3*a*b^4 - b^5)*d*cosh(d*x + c))*sinh
(d*x + c)^2 + (9*(a^5 + 5*a^4*b + 10*a^3*b^2 + 10*a^2*b^3 + 5*a*b^4 + b^5)*d*cosh(d*x + c)^8 + 28*(a^5 + 3*a^4
*b + 2*a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 - 3*a*b^4 - b^5)*d*cosh(d*x + c)^6 + 10*(3*a^5 + 7*a^4*b + 6*a^3*b^2 + 6*a^2*b^3 +
7*a*b^4 + 3*b^5)*d*cosh(d*x + c)^4 + 12*(a^5 + 3*a^4*b + 2*a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 - 3*a*b^4 - b^5)*d*cosh(d*x + c
)^2 + (a^5 + 5*a^4*b + 10*a^3*b^2 + 10*a^2*b^3 + 5*a*b^4 + b^5)*d)*sinh(d*x + c))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sinh(d*x+c)/(a+b*tanh(d*x+c)**2)**3,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [C]  time = 2.0028, size = 8412, normalized size = 66.76 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sinh(d*x+c)/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

1/32*(30*(3*(a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c))*cos(1/2*re
al_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_
part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*
c) + b^5*e^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) +
b/(a + b))))^3 - 9*(a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c))*cos
(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/
2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(a^4*b*e^
(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a
+ b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a +
b) + b/(a + b)))) + 9*(a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c))*
cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1
/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(a^4*b
*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a
/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a +
b) + b/(a + b))))^2 - 3*(a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c
))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin
h(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) +
4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(
-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - (a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e
^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))
+ (a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c))*sin(1/2*real_part(a
rccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*arctan((((a^4 + 4*a^3*b +
6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)/(a^4*e^(4*c) + 4*a^3*b*e^(4*c) + 6*a^2*b^2*e^(4*c) + 4*a*b^3*e^(4*c) + b^4*e^(4*c)
))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b))) + e^(d*x))/(((a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)/(a^4*e^(4*
c) + 4*a^3*b*e^(4*c) + 6*a^2*b^2*e^(4*c) + 4*a*b^3*e^(4*c) + b^4*e^(4*c)))^(1/4)*sin(1/2*arccos(-(a - b)/(a +
b)))))/(2*(a^3*e^(2*c) + 3*a^2*b*e^(2*c) + 3*a*b^2*e^(2*c) + b^3*e^(2*c))^2*a*b + (a^4*e^(2*c) + 2*a^3*b*e^(2*
c) - 2*a*b^3*e^(2*c) - b^4*e^(2*c))*sqrt(-a*b)*abs(-a^3*e^(2*c) - 3*a^2*b*e^(2*c) - 3*a*b^2*e^(2*c) - b^3*e^(2
*c))) + 30*(3*(a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c))*cos(1/2*
real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*rea
l_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(
4*c) + b^5*e^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b)
+ b/(a + b))))^3 - 9*(a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c))*c
os(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(
1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(a^4*b*
e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/
(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a
+ b) + b/(a + b)))) + 9*(a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c)
)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin
(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(a^4
*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(
-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a
+ b) + b/(a + b))))^2 - 3*(a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4
*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*s
inh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c)
+ 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arcco
s(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - (a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5
*e^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))
)) + (a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c))*sin(1/2*real_part
(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*arctan(-(((a^4 + 4*a^3*
b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)/(a^4*e^(4*c) + 4*a^3*b*e^(4*c) + 6*a^2*b^2*e^(4*c) + 4*a*b^3*e^(4*c) + b^4*e^(4
*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b))) - e^(d*x))/(((a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)/(a^4*e^
(4*c) + 4*a^3*b*e^(4*c) + 6*a^2*b^2*e^(4*c) + 4*a*b^3*e^(4*c) + b^4*e^(4*c)))^(1/4)*sin(1/2*arccos(-(a - b)/(a
+ b)))))/(2*(a^3*e^(2*c) + 3*a^2*b*e^(2*c) + 3*a*b^2*e^(2*c) + b^3*e^(2*c))^2*a*b + (a^4*e^(2*c) + 2*a^3*b*e^
(2*c) - 2*a*b^3*e^(2*c) - b^4*e^(2*c))*sqrt(-a*b)*abs(-a^3*e^(2*c) - 3*a^2*b*e^(2*c) - 3*a*b^2*e^(2*c) - b^3*e
^(2*c))) + 15*((a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c))*cos(1/2
*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - 3*(a^4*b
*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/
(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a +
b) + b/(a + b))))^2 - 3*(a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c)
)*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*s
inh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c)
+ 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(
-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/
(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4
*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*
sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 9*(a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*
c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arcc
os(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a
/(a + b) + b/(a + b))))^2 - (a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(
4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))
^3 + 3*(a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c))*cos(1/2*real_pa
rt(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(ar
ccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - (a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) +
b^5*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a +
b)))) + (a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c))*cos(1/2*real_p
art(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*log(2*((a^4 + 4*a^3*
b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)/(a^4*e^(4*c) + 4*a^3*b*e^(4*c) + 6*a^2*b^2*e^(4*c) + 4*a*b^3*e^(4*c) + b^4*e^(4
*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b)))*e^(d*x) + sqrt((a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)/(a^4*
e^(4*c) + 4*a^3*b*e^(4*c) + 6*a^2*b^2*e^(4*c) + 4*a*b^3*e^(4*c) + b^4*e^(4*c))) + e^(2*d*x))/(2*(a^3*e^(2*c) +
3*a^2*b*e^(2*c) + 3*a*b^2*e^(2*c) + b^3*e^(2*c))^2*a*b + (a^4*e^(2*c) + 2*a^3*b*e^(2*c) - 2*a*b^3*e^(2*c) - b
^4*e^(2*c))*sqrt(-a*b)*abs(-a^3*e^(2*c) - 3*a^2*b*e^(2*c) - 3*a*b^2*e^(2*c) - b^3*e^(2*c))) - 15*((a^4*b*e^(4*
c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b
) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - 3*(a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c
) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh
(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(a^
4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(
-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a
/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(
4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2
*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*
(a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arcc
os(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-
a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 9*(a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*
e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))
)*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 -
(a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arc
cos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + 3*(a^4*b*e^(4*c) + 4*a
^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a
+ b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)
)))^3 - (a^4*b*e^(4*c) + 4*a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c))*cos(1/2*real_p
art(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + (a^4*b*e^(4*c) + 4*
a^3*b^2*e^(4*c) + 6*a^2*b^3*e^(4*c) + 4*a*b^4*e^(4*c) + b^5*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(
a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*log(-2*((a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 +
b^4)/(a^4*e^(4*c) + 4*a^3*b*e^(4*c) + 6*a^2*b^2*e^(4*c) + 4*a*b^3*e^(4*c) + b^4*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos
(-(a - b)/(a + b)))*e^(d*x) + sqrt((a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)/(a^4*e^(4*c) + 4*a^3*b*e^(4*c)
+ 6*a^2*b^2*e^(4*c) + 4*a*b^3*e^(4*c) + b^4*e^(4*c))) + e^(2*d*x))/(2*(a^3*e^(2*c) + 3*a^2*b*e^(2*c) + 3*a*b^2
*e^(2*c) + b^3*e^(2*c))^2*a*b + (a^4*e^(2*c) + 2*a^3*b*e^(2*c) - 2*a*b^3*e^(2*c) - b^4*e^(2*c))*sqrt(-a*b)*abs
(-a^3*e^(2*c) - 3*a^2*b*e^(2*c) - 3*a*b^2*e^(2*c) - b^3*e^(2*c))) + 16*e^(d*x + 14*c)/(a^3*e^(13*c) + 3*a^2*b*
e^(13*c) + 3*a*b^2*e^(13*c) + b^3*e^(13*c)) + 16*e^(-d*x)/(a^3*e^c + 3*a^2*b*e^c + 3*a*b^2*e^c + b^3*e^c) - 8*
(9*a*b*e^(7*d*x + 7*c) + 9*b^2*e^(7*d*x + 7*c) + 27*a*b*e^(5*d*x + 5*c) - b^2*e^(5*d*x + 5*c) + 27*a*b*e^(3*d*
x + 3*c) - b^2*e^(3*d*x + 3*c) + 9*a*b*e^(d*x + c) + 9*b^2*e^(d*x + c))/((a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*(a*e^
(4*d*x + 4*c) + b*e^(4*d*x + 4*c) + 2*a*e^(2*d*x + 2*c) - 2*b*e^(2*d*x + 2*c) + a + b)^2))/d