### 3.34 $$\int \frac{\sinh ^3(c+d x)}{(a+b \tanh ^2(c+d x))^2} \, dx$$

Optimal. Leaf size=124 $\frac{\cosh ^3(c+d x)}{3 d (a+b)^2}-\frac{(a-b) \cosh (c+d x)}{d (a+b)^3}+\frac{a b \text{sech}(c+d x)}{2 d (a+b)^3 \left (a-b \text{sech}^2(c+d x)+b\right )}+\frac{\sqrt{b} (3 a-2 b) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \text{sech}(c+d x)}{\sqrt{a+b}}\right )}{2 d (a+b)^{7/2}}$

[Out]

((3*a - 2*b)*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sech[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(2*(a + b)^(7/2)*d) - ((a - b)*Cosh[c + d*x
])/((a + b)^3*d) + Cosh[c + d*x]^3/(3*(a + b)^2*d) + (a*b*Sech[c + d*x])/(2*(a + b)^3*d*(a + b - b*Sech[c + d*
x]^2))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.218372, antiderivative size = 124, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 5, number of rules used = 4, integrand size = 23, $$\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}$$ = 0.174, Rules used = {3664, 456, 1261, 208} $\frac{\cosh ^3(c+d x)}{3 d (a+b)^2}-\frac{(a-b) \cosh (c+d x)}{d (a+b)^3}+\frac{a b \text{sech}(c+d x)}{2 d (a+b)^3 \left (a-b \text{sech}^2(c+d x)+b\right )}+\frac{\sqrt{b} (3 a-2 b) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \text{sech}(c+d x)}{\sqrt{a+b}}\right )}{2 d (a+b)^{7/2}}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Int[Sinh[c + d*x]^3/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2,x]

[Out]

((3*a - 2*b)*Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sech[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(2*(a + b)^(7/2)*d) - ((a - b)*Cosh[c + d*x
])/((a + b)^3*d) + Cosh[c + d*x]^3/(3*(a + b)^2*d) + (a*b*Sech[c + d*x])/(2*(a + b)^3*d*(a + b - b*Sech[c + d*
x]^2))

Rule 3664

Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = Free
Factors[Sec[e + f*x], x]}, Dist[1/(f*ff^m), Subst[Int[((-1 + ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a - b + b*ff^2*x^2)^p)/x^(
m + 1), x], x, Sec[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2]

Rule 456

Int[(x_)^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[((-a)^(m/2 - 1)*(b*c - a*d)*
x*(a + b*x^2)^(p + 1))/(2*b^(m/2 + 1)*(p + 1)), x] + Dist[1/(2*b^(m/2 + 1)*(p + 1)), Int[x^m*(a + b*x^2)^(p +
1)*ExpandToSum[2*b*(p + 1)*Together[(b^(m/2)*(c + d*x^2) - (-a)^(m/2 - 1)*(b*c - a*d)*x^(-m + 2))/(a + b*x^2)]
- ((-a)^(m/2 - 1)*(b*c - a*d))/x^m, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[p, -1] &
& ILtQ[m/2, 0] && (IntegerQ[p] || EqQ[m + 2*p + 1, 0])

Rule 1261

Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> In
t[ExpandIntegrand[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, q}, x] &&
NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[p, 0] && IGtQ[q, -2]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\sinh ^3(c+d x)}{\left (a+b \tanh ^2(c+d x)\right )^2} \, dx &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{-1+x^2}{x^4 \left (a+b-b x^2\right )^2} \, dx,x,\text{sech}(c+d x)\right )}{d}\\ &=\frac{a b \text{sech}(c+d x)}{2 (a+b)^3 d \left (a+b-b \text{sech}^2(c+d x)\right )}+\frac{b \operatorname{Subst}\left (\int \frac{-\frac{2}{b (a+b)}+\frac{2 a x^2}{b (a+b)^2}+\frac{a x^4}{(a+b)^3}}{x^4 \left (a+b-b x^2\right )} \, dx,x,\text{sech}(c+d x)\right )}{2 d}\\ &=\frac{a b \text{sech}(c+d x)}{2 (a+b)^3 d \left (a+b-b \text{sech}^2(c+d x)\right )}+\frac{b \operatorname{Subst}\left (\int \left (-\frac{2}{b (a+b)^2 x^4}+\frac{2 (a-b)}{b (a+b)^3 x^2}+\frac{3 a-2 b}{(a+b)^3 \left (a+b-b x^2\right )}\right ) \, dx,x,\text{sech}(c+d x)\right )}{2 d}\\ &=-\frac{(a-b) \cosh (c+d x)}{(a+b)^3 d}+\frac{\cosh ^3(c+d x)}{3 (a+b)^2 d}+\frac{a b \text{sech}(c+d x)}{2 (a+b)^3 d \left (a+b-b \text{sech}^2(c+d x)\right )}+\frac{((3 a-2 b) b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{a+b-b x^2} \, dx,x,\text{sech}(c+d x)\right )}{2 (a+b)^3 d}\\ &=\frac{(3 a-2 b) \sqrt{b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \text{sech}(c+d x)}{\sqrt{a+b}}\right )}{2 (a+b)^{7/2} d}-\frac{(a-b) \cosh (c+d x)}{(a+b)^3 d}+\frac{\cosh ^3(c+d x)}{3 (a+b)^2 d}+\frac{a b \text{sech}(c+d x)}{2 (a+b)^3 d \left (a+b-b \text{sech}^2(c+d x)\right )}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 1.22047, size = 160, normalized size = 1.29 $\frac{\frac{3 \cosh (c+d x) \left (a \left (\frac{4 b}{(a+b) \cosh (2 (c+d x))+a-b}-3\right )+5 b\right )}{(a+b)^3}+\frac{\cosh (3 (c+d x))}{(a+b)^2}+\frac{6 i \sqrt{b} (3 a-2 b) \left (\tan ^{-1}\left (\frac{-\sqrt{a} \tanh \left (\frac{1}{2} (c+d x)\right )-i \sqrt{a+b}}{\sqrt{b}}\right )+\tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \tanh \left (\frac{1}{2} (c+d x)\right )-i \sqrt{a+b}}{\sqrt{b}}\right )\right )}{(a+b)^{7/2}}}{12 d}$

Antiderivative was successfully veriﬁed.

[In]

Integrate[Sinh[c + d*x]^3/(a + b*Tanh[c + d*x]^2)^2,x]

[Out]

(((6*I)*(3*a - 2*b)*Sqrt[b]*(ArcTan[((-I)*Sqrt[a + b] - Sqrt[a]*Tanh[(c + d*x)/2])/Sqrt[b]] + ArcTan[((-I)*Sqr
t[a + b] + Sqrt[a]*Tanh[(c + d*x)/2])/Sqrt[b]]))/(a + b)^(7/2) + (3*Cosh[c + d*x]*(5*b + a*(-3 + (4*b)/(a - b
+ (a + b)*Cosh[2*(c + d*x)]))))/(a + b)^3 + Cosh[3*(c + d*x)]/(a + b)^2)/(12*d)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.095, size = 267, normalized size = 2.2 \begin{align*}{\frac{1}{d} \left ({\frac{1}{3\, \left ( a+b \right ) ^{2}} \left ( \tanh \left ({\frac{dx}{2}}+{\frac{c}{2}} \right ) +1 \right ) ^{-3}}-{\frac{1}{2\, \left ( a+b \right ) ^{2}} \left ( \tanh \left ({\frac{dx}{2}}+{\frac{c}{2}} \right ) +1 \right ) ^{-2}}-{\frac{a-3\,b}{2\, \left ( a+b \right ) ^{3}} \left ( \tanh \left ({\frac{dx}{2}}+{\frac{c}{2}} \right ) +1 \right ) ^{-1}}-4\,{\frac{b}{ \left ( a+b \right ) ^{3}} \left ({\frac{ \left ( -a/4-b/2 \right ) \left ( \tanh \left ( 1/2\,dx+c/2 \right ) \right ) ^{2}-a/4}{ \left ( \tanh \left ( 1/2\,dx+c/2 \right ) \right ) ^{4}a+2\, \left ( \tanh \left ( 1/2\,dx+c/2 \right ) \right ) ^{2}a+4\, \left ( \tanh \left ( 1/2\,dx+c/2 \right ) \right ) ^{2}b+a}}-1/8\,{\frac{3\,a-2\,b}{\sqrt{ab+{b}^{2}}}{\it Artanh} \left ( 1/4\,{\frac{2\, \left ( \tanh \left ( 1/2\,dx+c/2 \right ) \right ) ^{2}a+2\,a+4\,b}{\sqrt{ab+{b}^{2}}}} \right ) } \right ) }-{\frac{1}{3\, \left ( a+b \right ) ^{2}} \left ( \tanh \left ({\frac{dx}{2}}+{\frac{c}{2}} \right ) -1 \right ) ^{-3}}-{\frac{1}{2\, \left ( a+b \right ) ^{2}} \left ( \tanh \left ({\frac{dx}{2}}+{\frac{c}{2}} \right ) -1 \right ) ^{-2}}-{\frac{-a+3\,b}{2\, \left ( a+b \right ) ^{3}} \left ( \tanh \left ({\frac{dx}{2}}+{\frac{c}{2}} \right ) -1 \right ) ^{-1}} \right ) } \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(sinh(d*x+c)^3/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2,x)

[Out]

1/d*(1/3/(a+b)^2/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)+1)^3-1/2/(a+b)^2/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)+1)^2-1/2*(a-3*b)/(a+b)^3/(tanh(1/2
*d*x+1/2*c)+1)-4*b/(a+b)^3*(((-1/4*a-1/2*b)*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2-1/4*a)/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+2*tanh(1/2*d
*x+1/2*c)^2*a+4*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a)-1/8*(3*a-2*b)/(a*b+b^2)^(1/2)*arctanh(1/4*(2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*
a+2*a+4*b)/(a*b+b^2)^(1/2)))-1/3/(a+b)^2/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)-1)^3-1/2/(a+b)^2/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)-1)^2-1/2/(
a+b)^3*(-a+3*b)/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)-1))

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sinh(d*x+c)^3/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/24*(a^2 + 2*a*b + b^2 + (a^2*e^(10*c) + 2*a*b*e^(10*c) + b^2*e^(10*c))*e^(10*d*x) - (7*a^2*e^(8*c) - 6*a*b*e
^(8*c) - 13*b^2*e^(8*c))*e^(8*d*x) - 2*(13*a^2*e^(6*c) - 40*a*b*e^(6*c) + 7*b^2*e^(6*c))*e^(6*d*x) - 2*(13*a^2
*e^(4*c) - 40*a*b*e^(4*c) + 7*b^2*e^(4*c))*e^(4*d*x) - (7*a^2*e^(2*c) - 6*a*b*e^(2*c) - 13*b^2*e^(2*c))*e^(2*d
*x))/((a^4*d*e^(7*c) + 4*a^3*b*d*e^(7*c) + 6*a^2*b^2*d*e^(7*c) + 4*a*b^3*d*e^(7*c) + b^4*d*e^(7*c))*e^(7*d*x)
+ 2*(a^4*d*e^(5*c) + 2*a^3*b*d*e^(5*c) - 2*a*b^3*d*e^(5*c) - b^4*d*e^(5*c))*e^(5*d*x) + (a^4*d*e^(3*c) + 4*a^3
*b*d*e^(3*c) + 6*a^2*b^2*d*e^(3*c) + 4*a*b^3*d*e^(3*c) + b^4*d*e^(3*c))*e^(3*d*x)) - 1/8*integrate(8*((3*a*b*e
^(3*c) - 2*b^2*e^(3*c))*e^(3*d*x) - (3*a*b*e^c - 2*b^2*e^c)*e^(d*x))/(a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^
4 + (a^4*e^(4*c) + 4*a^3*b*e^(4*c) + 6*a^2*b^2*e^(4*c) + 4*a*b^3*e^(4*c) + b^4*e^(4*c))*e^(4*d*x) + 2*(a^4*e^(
2*c) + 2*a^3*b*e^(2*c) - 2*a*b^3*e^(2*c) - b^4*e^(2*c))*e^(2*d*x)), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 3.06339, size = 12417, normalized size = 100.14 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sinh(d*x+c)^3/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/24*((a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^10 + 10*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^9 + (a^2 + 2*
a*b + b^2)*sinh(d*x + c)^10 - (7*a^2 - 6*a*b - 13*b^2)*cosh(d*x + c)^8 + (45*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)
^2 - 7*a^2 + 6*a*b + 13*b^2)*sinh(d*x + c)^8 + 8*(15*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^3 - (7*a^2 - 6*a*b - 13
*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^7 - 2*(13*a^2 - 40*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 2*(105*(a^2 + 2*a*b + b^2
)*cosh(d*x + c)^4 - 14*(7*a^2 - 6*a*b - 13*b^2)*cosh(d*x + c)^2 - 13*a^2 + 40*a*b - 7*b^2)*sinh(d*x + c)^6 + 4
*(63*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^5 - 14*(7*a^2 - 6*a*b - 13*b^2)*cosh(d*x + c)^3 - 3*(13*a^2 - 40*a*b +
7*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 - 2*(13*a^2 - 40*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 2*(105*(a^2 + 2*a*b + b^
2)*cosh(d*x + c)^6 - 35*(7*a^2 - 6*a*b - 13*b^2)*cosh(d*x + c)^4 - 15*(13*a^2 - 40*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x + c)^
2 - 13*a^2 + 40*a*b - 7*b^2)*sinh(d*x + c)^4 + 8*(15*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^7 - 7*(7*a^2 - 6*a*b -
13*b^2)*cosh(d*x + c)^5 - 5*(13*a^2 - 40*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x + c)^3 - (13*a^2 - 40*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x + c
))*sinh(d*x + c)^3 - (7*a^2 - 6*a*b - 13*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + (45*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^8 - 28*(
7*a^2 - 6*a*b - 13*b^2)*cosh(d*x + c)^6 - 30*(13*a^2 - 40*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x + c)^4 - 12*(13*a^2 - 40*a*b +
7*b^2)*cosh(d*x + c)^2 - 7*a^2 + 6*a*b + 13*b^2)*sinh(d*x + c)^2 - 6*((3*a^2 + a*b - 2*b^2)*cosh(d*x + c)^7 +
7*(3*a^2 + a*b - 2*b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^6 + (3*a^2 + a*b - 2*b^2)*sinh(d*x + c)^7 + 2*(3*a^2 - 5*
a*b + 2*b^2)*cosh(d*x + c)^5 + (21*(3*a^2 + a*b - 2*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 6*a^2 - 10*a*b + 4*b^2)*sinh(d*x +
c)^5 + 5*(7*(3*a^2 + a*b - 2*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 2*(3*a^2 - 5*a*b + 2*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^4 +
(3*a^2 + a*b - 2*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (35*(3*a^2 + a*b - 2*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 20*(3*a^2 - 5*a*b + 2*b^2
)*cosh(d*x + c)^2 + 3*a^2 + a*b - 2*b^2)*sinh(d*x + c)^3 + (21*(3*a^2 + a*b - 2*b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 20*(3*a
^2 - 5*a*b + 2*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(3*a^2 + a*b - 2*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 + (7*(3*a^2 + a*b
- 2*b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 10*(3*a^2 - 5*a*b + 2*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 3*(3*a^2 + a*b - 2*b^2)*cosh(d*x + c)
^2)*sinh(d*x + c))*sqrt(b/(a + b))*log(((a + b)*cosh(d*x + c)^4 + 4*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 + (a
+ b)*sinh(d*x + c)^4 + 2*(a + 3*b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2 + a + 3*b)*sinh(d*x + c)^2
+ 4*((a + b)*cosh(d*x + c)^3 + (a + 3*b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) - 4*((a + b)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a + b)
*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^2 + (a + b)*sinh(d*x + c)^3 + (a + b)*cosh(d*x + c) + (3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2
+ a + b)*sinh(d*x + c))*sqrt(b/(a + b)) + a + b)/((a + b)*cosh(d*x + c)^4 + 4*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x +
c)^3 + (a + b)*sinh(d*x + c)^4 + 2*(a - b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2 + a - b)*sinh(d*x +
c)^2 + 4*((a + b)*cosh(d*x + c)^3 + (a - b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) + a + b)) + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(5
*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^9 - 4*(7*a^2 - 6*a*b - 13*b^2)*cosh(d*x + c)^7 - 6*(13*a^2 - 40*a*b + 7*b^2
)*cosh(d*x + c)^5 - 4*(13*a^2 - 40*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x + c)^3 - (7*a^2 - 6*a*b - 13*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh
(d*x + c))/((a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)*d*cosh(d*x + c)^7 + 7*(a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a
*b^3 + b^4)*d*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^6 + (a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)*d*sinh(d*x + c)^7 +
2*(a^4 + 2*a^3*b - 2*a*b^3 - b^4)*d*cosh(d*x + c)^5 + (21*(a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)*d*cosh(d
*x + c)^2 + 2*(a^4 + 2*a^3*b - 2*a*b^3 - b^4)*d)*sinh(d*x + c)^5 + (a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)
*d*cosh(d*x + c)^3 + 5*(7*(a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)*d*cosh(d*x + c)^3 + 2*(a^4 + 2*a^3*b - 2
*a*b^3 - b^4)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^4 + (35*(a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)*d*cosh(d*x +
c)^4 + 20*(a^4 + 2*a^3*b - 2*a*b^3 - b^4)*d*cosh(d*x + c)^2 + (a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)*d)*s
inh(d*x + c)^3 + (21*(a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)*d*cosh(d*x + c)^5 + 20*(a^4 + 2*a^3*b - 2*a*b
^3 - b^4)*d*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 +
(7*(a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)*d*cosh(d*x + c)^6 + 10*(a^4 + 2*a^3*b - 2*a*b^3 - b^4)*d*cosh(
d*x + c)^4 + 3*(a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)*d*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)), 1/24*((a^2 + 2*a
*b + b^2)*cosh(d*x + c)^10 + 10*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^9 + (a^2 + 2*a*b + b^2)*sinh(d
*x + c)^10 - (7*a^2 - 6*a*b - 13*b^2)*cosh(d*x + c)^8 + (45*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^2 - 7*a^2 + 6*a*
b + 13*b^2)*sinh(d*x + c)^8 + 8*(15*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^3 - (7*a^2 - 6*a*b - 13*b^2)*cosh(d*x +
c))*sinh(d*x + c)^7 - 2*(13*a^2 - 40*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 2*(105*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^4
- 14*(7*a^2 - 6*a*b - 13*b^2)*cosh(d*x + c)^2 - 13*a^2 + 40*a*b - 7*b^2)*sinh(d*x + c)^6 + 4*(63*(a^2 + 2*a*b
+ b^2)*cosh(d*x + c)^5 - 14*(7*a^2 - 6*a*b - 13*b^2)*cosh(d*x + c)^3 - 3*(13*a^2 - 40*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x +
c))*sinh(d*x + c)^5 - 2*(13*a^2 - 40*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 2*(105*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^
6 - 35*(7*a^2 - 6*a*b - 13*b^2)*cosh(d*x + c)^4 - 15*(13*a^2 - 40*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x + c)^2 - 13*a^2 + 40*a
*b - 7*b^2)*sinh(d*x + c)^4 + 8*(15*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^7 - 7*(7*a^2 - 6*a*b - 13*b^2)*cosh(d*x
+ c)^5 - 5*(13*a^2 - 40*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x + c)^3 - (13*a^2 - 40*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^
3 - (7*a^2 - 6*a*b - 13*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + (45*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x + c)^8 - 28*(7*a^2 - 6*a*b - 1
3*b^2)*cosh(d*x + c)^6 - 30*(13*a^2 - 40*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x + c)^4 - 12*(13*a^2 - 40*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x
+ c)^2 - 7*a^2 + 6*a*b + 13*b^2)*sinh(d*x + c)^2 + 12*((3*a^2 + a*b - 2*b^2)*cosh(d*x + c)^7 + 7*(3*a^2 + a*b
- 2*b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^6 + (3*a^2 + a*b - 2*b^2)*sinh(d*x + c)^7 + 2*(3*a^2 - 5*a*b + 2*b^2)*cos
h(d*x + c)^5 + (21*(3*a^2 + a*b - 2*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 6*a^2 - 10*a*b + 4*b^2)*sinh(d*x + c)^5 + 5*(7*(3*a
^2 + a*b - 2*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 2*(3*a^2 - 5*a*b + 2*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^4 + (3*a^2 + a*b -
2*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (35*(3*a^2 + a*b - 2*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 20*(3*a^2 - 5*a*b + 2*b^2)*cosh(d*x + c)^
2 + 3*a^2 + a*b - 2*b^2)*sinh(d*x + c)^3 + (21*(3*a^2 + a*b - 2*b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 20*(3*a^2 - 5*a*b + 2*b
^2)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(3*a^2 + a*b - 2*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 + (7*(3*a^2 + a*b - 2*b^2)*cosh(d
*x + c)^6 + 10*(3*a^2 - 5*a*b + 2*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 3*(3*a^2 + a*b - 2*b^2)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c
))*sqrt(-b/(a + b))*arctan(1/2*((a + b)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a + b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^2 + (a + b)*si
nh(d*x + c)^3 + (a - 3*b)*cosh(d*x + c) + (3*(a + b)*cosh(d*x + c)^2 + a - 3*b)*sinh(d*x + c))*sqrt(-b/(a + b)
)/b) - 12*((3*a^2 + a*b - 2*b^2)*cosh(d*x + c)^7 + 7*(3*a^2 + a*b - 2*b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^6 + (3*
a^2 + a*b - 2*b^2)*sinh(d*x + c)^7 + 2*(3*a^2 - 5*a*b + 2*b^2)*cosh(d*x + c)^5 + (21*(3*a^2 + a*b - 2*b^2)*cos
h(d*x + c)^2 + 6*a^2 - 10*a*b + 4*b^2)*sinh(d*x + c)^5 + 5*(7*(3*a^2 + a*b - 2*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 2*(3*a^2
- 5*a*b + 2*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^4 + (3*a^2 + a*b - 2*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + (35*(3*a^2 + a*b -
2*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 20*(3*a^2 - 5*a*b + 2*b^2)*cosh(d*x + c)^2 + 3*a^2 + a*b - 2*b^2)*sinh(d*x + c)^3 + (
21*(3*a^2 + a*b - 2*b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 20*(3*a^2 - 5*a*b + 2*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(3*a^2 + a*b - 2*b^2
)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 + (7*(3*a^2 + a*b - 2*b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 10*(3*a^2 - 5*a*b + 2*b^2)*cosh(
d*x + c)^4 + 3*(3*a^2 + a*b - 2*b^2)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c))*sqrt(-b/(a + b))*arctan(1/2*((a + b)*cosh
(d*x + c) + (a + b)*sinh(d*x + c))*sqrt(-b/(a + b))/b) + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(5*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(d*x
+ c)^9 - 4*(7*a^2 - 6*a*b - 13*b^2)*cosh(d*x + c)^7 - 6*(13*a^2 - 40*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x + c)^5 - 4*(13*a^2
- 40*a*b + 7*b^2)*cosh(d*x + c)^3 - (7*a^2 - 6*a*b - 13*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))/((a^4 + 4*a^3*b +
6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)*d*cosh(d*x + c)^7 + 7*(a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)*d*cosh(d*x + c)*s
inh(d*x + c)^6 + (a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)*d*sinh(d*x + c)^7 + 2*(a^4 + 2*a^3*b - 2*a*b^3 -
b^4)*d*cosh(d*x + c)^5 + (21*(a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)*d*cosh(d*x + c)^2 + 2*(a^4 + 2*a^3*b
- 2*a*b^3 - b^4)*d)*sinh(d*x + c)^5 + (a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)*d*cosh(d*x + c)^3 + 5*(7*(a^
4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)*d*cosh(d*x + c)^3 + 2*(a^4 + 2*a^3*b - 2*a*b^3 - b^4)*d*cosh(d*x + c)
)*sinh(d*x + c)^4 + (35*(a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)*d*cosh(d*x + c)^4 + 20*(a^4 + 2*a^3*b - 2*
a*b^3 - b^4)*d*cosh(d*x + c)^2 + (a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)*d)*sinh(d*x + c)^3 + (21*(a^4 + 4
*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)*d*cosh(d*x + c)^5 + 20*(a^4 + 2*a^3*b - 2*a*b^3 - b^4)*d*cosh(d*x + c)^3 +
3*(a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 + (7*(a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^
2 + 4*a*b^3 + b^4)*d*cosh(d*x + c)^6 + 10*(a^4 + 2*a^3*b - 2*a*b^3 - b^4)*d*cosh(d*x + c)^4 + 3*(a^4 + 4*a^3*b
+ 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)*d*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sinh(d*x+c)**3/(a+b*tanh(d*x+c)**2)**2,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [C]  time = 2.47194, size = 8694, normalized size = 70.11 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Veriﬁcation of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sinh(d*x+c)^3/(a+b*tanh(d*x+c)^2)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

-1/24*(6*(3*(3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*cos(
1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2
*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a
*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-
a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - 9*(3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) -
2*b^6*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(
a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b
)))) + 3*(3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*cosh(1/
2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*i
mag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a
*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-
a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a +
b) + b/(a + b))))^2 - 3*(3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e
^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))
^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^
3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real
_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (3*a^5*b*e^(4*c
) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a
+ b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - (3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^
(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)
)))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + (3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^
(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part
(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*arctan((((a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)/(a^4*e^(4*c) + 4*a^3*b
*e^(4*c) + 6*a^2*b^2*e^(4*c) + 4*a*b^3*e^(4*c) + b^4*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b))) + e^(d*
x))/(((a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)/(a^4*e^(4*c) + 4*a^3*b*e^(4*c) + 6*a^2*b^2*e^(4*c) + 4*a*b^3
*e^(4*c) + b^4*e^(4*c)))^(1/4)*sin(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b)))))/(2*(a^3*e^(2*c) + 3*a^2*b*e^(2*c) + 3*a*b^2
*e^(2*c) + b^3*e^(2*c))^2*a*b + (a^4*e^(2*c) + 2*a^3*b*e^(2*c) - 2*a*b^3*e^(2*c) - b^4*e^(2*c))*sqrt(-a*b)*abs
(-a^3*e^(2*c) - 3*a^2*b*e^(2*c) - 3*a*b^2*e^(2*c) - b^3*e^(2*c))) + 6*(3*(3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c)
+ 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*
cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) - (3*
a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(
arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - 9*(3*a^5*b*e^(4*c) +
10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b
) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) +
b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) +
10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*si
n(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(3*
a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(a
rccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos
(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4
*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/
(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a +
b))))^2 - 3*(3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*cos(
1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*i
mag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + (3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a
*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-
a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - (3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*
b^6*e^(4*c))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a +
b)))) + (3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*sin(1/2*
real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*arctan(-(((a^4
+ 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)/(a^4*e^(4*c) + 4*a^3*b*e^(4*c) + 6*a^2*b^2*e^(4*c) + 4*a*b^3*e^(4*c) +
b^4*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b))) - e^(d*x))/(((a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4
)/(a^4*e^(4*c) + 4*a^3*b*e^(4*c) + 6*a^2*b^2*e^(4*c) + 4*a*b^3*e^(4*c) + b^4*e^(4*c)))^(1/4)*sin(1/2*arccos(-(
a - b)/(a + b)))))/(2*(a^3*e^(2*c) + 3*a^2*b*e^(2*c) + 3*a*b^2*e^(2*c) + b^3*e^(2*c))^2*a*b + (a^4*e^(2*c) + 2
*a^3*b*e^(2*c) - 2*a*b^3*e^(2*c) - b^4*e^(2*c))*sqrt(-a*b)*abs(-a^3*e^(2*c) - 3*a^2*b*e^(2*c) - 3*a*b^2*e^(2*c
) - b^3*e^(2*c))) + (9*a*e^(2*d*x + 2*c) - 15*b*e^(2*d*x + 2*c) - a - b)*e^(-3*d*x)/(a^3*e^(3*c) + 3*a^2*b*e^(
3*c) + 3*a*b^2*e^(3*c) + b^3*e^(3*c)) + 3*((3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^
5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(
a + b) + b/(a + b))))^3 - 3*(3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b
^6*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b
))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3
*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*
imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 9*(3*a^5*b*
e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(
-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a
+ b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3*(3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e
^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)
)))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^
2 - 9*(3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*cos(1/2*re
al_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part
(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - (3*a^5*b*e^(4*c) +
10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b
) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + 3*(3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(
4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))
)*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 -
(3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*cos(1/2*real_pa
rt(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + (3*a^5*b*e^(4*c) + 1
0*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b)
+ b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*log(2*((a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^
3 + b^4)/(a^4*e^(4*c) + 4*a^3*b*e^(4*c) + 6*a^2*b^2*e^(4*c) + 4*a*b^3*e^(4*c) + b^4*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*ar
ccos(-(a - b)/(a + b)))*e^(d*x) + sqrt((a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)/(a^4*e^(4*c) + 4*a^3*b*e^(4
*c) + 6*a^2*b^2*e^(4*c) + 4*a*b^3*e^(4*c) + b^4*e^(4*c))) + e^(2*d*x))/(2*(a^3*e^(2*c) + 3*a^2*b*e^(2*c) + 3*a
*b^2*e^(2*c) + b^3*e^(2*c))^2*a*b + (a^4*e^(2*c) + 2*a^3*b*e^(2*c) - 2*a*b^3*e^(2*c) - b^4*e^(2*c))*sqrt(-a*b)
*abs(-a^3*e^(2*c) - 3*a^2*b*e^(2*c) - 3*a*b^2*e^(2*c) - b^3*e^(2*c))) - 3*((3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*
c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^
3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - 3*(3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3
*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_p
art(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 3*(3*a^5*b*e^(4*
c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a
+ b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a +
b) + b/(a + b)))) + 9*(3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^
(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^
2*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))) + 3
*(3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*cos(1/2*real_pa
rt(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(a
rccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2 - 9*(3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(
4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b)
+ b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(
a + b))))^2 - (3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*co
s(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 + 3*(
3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*cos(1/2*real_part
(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sin(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))^2*sinh(1/2*imag_part(arcc
os(-a/(a + b) + b/(a + b))))^3 - (3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c)
- 2*b^6*e^(4*c))*cos(1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*cosh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(
a + b)))) + (3*a^5*b*e^(4*c) + 10*a^4*b^2*e^(4*c) + 10*a^3*b^3*e^(4*c) - 5*a*b^5*e^(4*c) - 2*b^6*e^(4*c))*cos(
1/2*real_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b))))*sinh(1/2*imag_part(arccos(-a/(a + b) + b/(a + b)))))*log(-2*((a
^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4)/(a^4*e^(4*c) + 4*a^3*b*e^(4*c) + 6*a^2*b^2*e^(4*c) + 4*a*b^3*e^(4*c)
+ b^4*e^(4*c)))^(1/4)*cos(1/2*arccos(-(a - b)/(a + b)))*e^(d*x) + sqrt((a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 +
b^4)/(a^4*e^(4*c) + 4*a^3*b*e^(4*c) + 6*a^2*b^2*e^(4*c) + 4*a*b^3*e^(4*c) + b^4*e^(4*c))) + e^(2*d*x))/(2*(a^
3*e^(2*c) + 3*a^2*b*e^(2*c) + 3*a*b^2*e^(2*c) + b^3*e^(2*c))^2*a*b + (a^4*e^(2*c) + 2*a^3*b*e^(2*c) - 2*a*b^3*
e^(2*c) - b^4*e^(2*c))*sqrt(-a*b)*abs(-a^3*e^(2*c) - 3*a^2*b*e^(2*c) - 3*a*b^2*e^(2*c) - b^3*e^(2*c))) - (a^4*
e^(3*d*x + 36*c) + 4*a^3*b*e^(3*d*x + 36*c) + 6*a^2*b^2*e^(3*d*x + 36*c) + 4*a*b^3*e^(3*d*x + 36*c) + b^4*e^(3
*d*x + 36*c) - 9*a^4*e^(d*x + 34*c) - 12*a^3*b*e^(d*x + 34*c) + 18*a^2*b^2*e^(d*x + 34*c) + 36*a*b^3*e^(d*x +
34*c) + 15*b^4*e^(d*x + 34*c))/(a^6*e^(33*c) + 6*a^5*b*e^(33*c) + 15*a^4*b^2*e^(33*c) + 20*a^3*b^3*e^(33*c) +
15*a^2*b^4*e^(33*c) + 6*a*b^5*e^(33*c) + b^6*e^(33*c)) - 24*(a*b*e^(3*d*x + 3*c) + a*b*e^(d*x + c))/((a^3 + 3*
a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*(a*e^(4*d*x + 4*c) + b*e^(4*d*x + 4*c) + 2*a*e^(2*d*x + 2*c) - 2*b*e^(2*d*x + 2*c) + a
+ b)))/d